【名师导学】2015届新高考数学(理)第一轮总复习课件8.59

Байду номын сангаас
【解析】由题设可知 AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD， 以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由 AB＝1，得 A(0，0，0)， B(1，0，0)，A1(0，0，1)， 1 E0，0，2，D(0，1，0)， C(1，1，0)
4．如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，F 是 DD1 的中点，则 B1 到 平面 ABF 的距离为( D ) 3 5 A. B. 3 5 5 2 5 C. D. 3 5
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1， 1 0，1)，B1(1，1，0)，F0，0，2，B(1，1，1)， → ＝(0，1，0)， ∴AB 1 → AF＝－1，0，－2. .
→ ＝(2，－1，－2)，PC → ＝(2，1，－2)，PB →＝ (2)∵PD (0，1，－2) 设平面 PBC 的法向量 n＝(x，y，z) → ＝2x＋y－2z＝0 PC n· x＝0 由 得 → ＝y－2z＝0 y＝2z PB n· 令 z＝1 得 n＝(0，2，1) → ·n PD －4 4 5 → cos 〈PD，n〉＝ ＝ ＝－ 15 → |· |PD |n| 3× 5 4 5 故直线 PD 与平面 PCB 所成角的正弦值为 . 15
设 平 面 ABF 的 法 向 量 为 n ＝ (x ， y ， z) ， 则 y＝ 0， → AB · n ＝ 0 ， ∴ 1 →· －x－ z＝0. n＝0. AF 2 令 x＝1，则 n＝(1，0，－2)． 又 AB1 ＝(0，1，－1)， →1·n| 2 5 |AB ∴B1 到平面 ABF 的距离为 d＝ ＝ |n| 5
1 【解析】∵cos〈m，n〉＝－ ， 2 1 ∴sin α＝|cos〈m，n〉|＝ ， 2 又∵直线与平面所成角α满足 0°≤α≤90°， ∴α＝30°.
3．如图，矩形 ABCD 中，AB＝3， BC＝4，沿对角线 BD 将△ABD 折起， 使 A 点在平面 BCD 内的射影 O 落在 BC 边上，若二面角 C－AB－D 的大小 为 θ，则 sin θ 的值等于( A ) 3 7 3 7 4 A. B. C. D. 4 4 7 5 9 7 3 【解析】由题意可求得 BO＝ ，OC＝ ，AO＝ 7，建 4 4 4 7 9 立空间直角坐标系如图， 则 C4，0，0， B－4，0，0， 7 3 A0，0，4 7，D4，3，0， 9 3 → ＝(4，3，0)，BA → ＝ ，0， 7， BD 4 4
【点评】 利用向量法求距离关键是应用一个向量在另一 个向量上的投影．
三、应用空间向量求空间角 例3在四棱锥 P—ABCD 中，底面 是边长为 2 的正方形，平面 PAB⊥平 面 ABCD，PA＝PB＝ 5，E 为 PB 的 中点． (1)求异面直线 PD 与 CE 所成角的余弦值； (2)求 PD 与平面 PCB 所成角的正弦值； (3)求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的大小．
→ ，DC → ，DD →1 【解析】(1)以 D 为原点，以DA 的正向分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系，则 D(0，0，0)，A(2，0，0)， B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，5)， E(0，0，1)，F(2，2，4)．
→ ＝(－2，2，0)，AF → ＝(0，2，4)， 于是AC → ＝(－2，－2，1)． BE → ·AC → ＝0，BE → ·AF → ＝0， ∵BE ∴BE⊥AC，BE⊥AF，且 AC∩AF＝A， ∴BE⊥平面 ACF. → 为平面 ACF 的一个法向量， (2)由(1)知，BE → 在 BE → 上的射影的大小即为 E 到平面 ∴向量 AE ACF 的距离，设为 d1， → |·|cos 〈AE → ，BE → 〉| 于是 d1＝|AE → ·BE →| | AE → |· ＝|AE → |·|BE →| |AE |（－2，0，1）· （－2，－2，1）| 5 ＝ ＝ ， 2 2 2 3 （－2） ＋（－2） ＋1 5 故点 E 到平面 ACF 的距离为 . 3
设平面 BDE 的法向量为 n＝(x，y，z)， 1 → ＝－1，0， ， 又BE 2 → ＝(－1，1，0) BD 1 → n· BE＝－x＋ z＝0 2 由 → ＝－x＋y＝0 BD n· z＝2x 得 y＝x 设 x＝1，得 n＝(1，1，2)． → (1)由于A 1C＝(1，1，－1) → 因为A 1C·n＝1×1＋1×1＋2×(－1)＝0， → 所以A 1C⊥n，又 A1C⊄平面 BDE， 故 A1C∥平面 BDE.
【点评】 应用空间向量判定空间直线关系， 关键是 准确求得直线和平面的方向向量和法向量， 然后将线面 关系由题设转化为向量的关系问题， 通过向量运算判定 线面关系．
二、应用空间向量求空间距离 例2如图，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，已知 AB＝2，AA1＝5，E，F 分别为 D1D，B1B 上的点，且 DE＝B1F＝1. (1)求证：BE⊥平面 ACF； (2)求点 E 到平面 ACF 的距离； (3)求异面直线 AF 与 BE 之间的距离．
【解析】∵c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)， ∴a∥c.又 a· b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.
2．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面α 的方向 1 向量和法向量，若 cos〈m，n〉＝－ ，则 l 与 α 所成 2 的角为( A ) A．30° B．60° C．120° D．150°
4．点到平面的距离 n ，P 是平面 α 外一点，Q 是 设平面 α 的法向量为____ → 在法 平面 α 内任一点，则点 P 到平面 α 的距离 d 等于PQ →| |n· PQ |n| 向量 n 上的投影的绝对值，即 d＝________ ．
一、应用空间向量判定线面关系 例1如图，四边形 ABCD 与 A1ABB1 都 是边长为 1 的正方形，点 E 是 AA1 的中点， AA1⊥平面 ABCD. (1)求证：A1C∥平面 BDE； (2)求证：平面 A1AC⊥平面 BDE.
第59讲
立体几何中的向量法
【学习目标】 1．会找直线的方向向量和平面的法向量，能用向量 语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、 平行关系． 2． 能用向量法证明有关直线和平面关系的一些定理． 3．会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角 及二面角，会用向量法计算空间距离．
【基础检测】 1．已知向量 a＝(－2，－3，1)， 、b＝ (2，0，4) 、 c＝(－4，－6，2)分别是直线 a，b，c 的方向向量，则 下列结论正确的是( C ) A．a∥c，b⊥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
→1＝(0，0，1)，AC → ＝(1，1，0)， (2)由于AA 设平面 A1AC 的法向量 v＝(x1，y1，z1) →1·v＝z1＝0 AA x1＝－y1 由 即 →· z 1 ＝ 0 v＝x1＋y1＝0 AC 令 x1＝1 得 v＝(1，－1，0)， 又因为 v·n＝1×1＋(－1)×1＋0×2＝0 所以 v⊥n，故平面 A1AC⊥平面 BDE.
【知识要点】 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量： l 是空间一直线， A，B 是直线 l → 为直线 l 的方向向量． 上任意两点，则称AB ②平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 α 内不共线向量， n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方 a＝ 0， n· 程组为 . b＝ 0 n·
3.空间角和空间距离的向量表示 (1)直线与平面所成的角 直线 a 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直 线 a 与平面 α 所成的角 θ 等于向量 m,n 所成的锐角的余角 |m·n| sinθ ＝ |m|· |n| ． (若所成角为钝角,则取其补角的余角),即 ______________ 特例:若 m⊥n，则______ a∥α 或_______ a⊂α ．若 m∥n，则 a⊥ α. (2)二面角的平面角 设二面角 α－ l－ β 的两个半平面 α 和 β 的法向量分别 为 m，n，设二面角 α－l－β 的大小为 θ，则二面角的平面 角与两法向量所成的角相等或互补．当二面角为锐角时， |m·n| cos θ ＝|cos 〈m，n〉|＝ ；当二面角为钝角时， |m||n| |m·n| cos θ＝－|cos〈m，n〉|＝－ |m||n| ． _________________________________ α∥β ，若 m⊥n，则 _______ α⊥ β ． 特例：若 m∥ n，则 ______
【解析】 取 AB 的中点 O， CD 的中点 F， 连接 PO， OF， 由 PA＝PB 得 PO⊥AB， 又平面 PAB⊥平面 ABCD，则 PO⊥平面 ABCD， 所以 PO⊥OF，PO⊥AB， 又底面 ABCD 为正方形，则 OF⊥AB.
以 O 为坐标原点，OF，OB，OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O—xyz，如图所示． 从而 AB＝CD＝2，PA＝ 5， 则 PO＝2， 从而 O(0，0，0)，P(0，0，2)， A(0，－1，0)，B(0，1，0)， F(2，0，0)，D(2，－1，0)， 1 C(2，1，0)，E0，2，1. 1 → → (1)∵PD＝(2，－1，－2)，CE＝－2，－2，1 11 － →· → 2 PD CE 11 21 → → ∴cos 〈PD，CE〉＝ ＝ ＝－ 63 → | |CE →| 21 |PD 3× 2 11 21 故异面直线 PD 与 CE 所成角的余弦值为 . 63
设 m＝(x，y，z)是平面 ABD 的一个法向量． → m · BD＝4x＋3y＝0 由 ， 9 3 7 → BA＝ x＋ z＝ 0 m· 4 4 4 y＝－3x 得 . z＝－3 7 7 28 令 x＝7，则 m＝7，－ 3 ，－3 7， → ＝(0，3，0)是平面 ABC 的一个法向量． 又CD → －28 m · CD 7 → ∴cos〈m，CD〉＝ ＝ ＝－ . 4 → 16 7 m· CD 3× 3 7 2 3 ∴sin θ＝ 1－－ ＝ . 4 4