数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

《数学分析》第十七章多元函数微分学

06 曲线积分与曲面积分在多元函数中的应用
曲线积分计算及其在电磁学中的应用
曲线积分的定义与计算方法
包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念、性质及计算方法。
曲线积分在电磁学中的应用
通过曲线积分可以计算电场强度、磁场强度等物理量，进而研究电磁场的分布和变化规律。
曲面积分计算及其在流体力学中的应用
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y) to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称$P_0(x_0,y_0)$为函数 $f(x,y)$的间断点。
全微分概念与计算
全微分的定义
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点附近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体为将函数的增量表示为各自变量增量的线性组合，系数即为偏导数。
全微分的几何意义
全微分表示函数在某一点附近的变化量，可以用来近似计算函数值的增量。
多元反函数微分法
多元反函数存在定理
若函数$f: D subseteq mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$在点$x_0$处可逆，即存在反函数$f^{-1}$，则$f^{1}$在点$f(x_0)$处也可微。
多元反函数微分法
设$y = f(x)$在点$x_0$处可微，且$f'(x_0)$可逆，则反函数$x = f^{-1}(y)$在点$y_0 = f(x_0)$处也可微，且其导数为$[f^{-1}]'(y_0) = [f'(x_0)]^{-1}$。

《数学分析》多元函数微分学

《数学分析》多元函数微分学数学分析是数学中的一个重要分支，它主要研究的是函数的变化规律。

在数学分析中，多元函数微分学是一个重要的内容，它研究的是多元函数在其中一点的微分性质。

本文将介绍多元函数微分学的基本概念和定理，以及一些相关的应用。

一、多元函数的定义在数学中，多元函数是指定义在多维空间中的函数。

通常情况下，多元函数可以用一个或多个自变量来描述，例如二元函数可以写成f(x,y)，三元函数可以写成f(x,y,z)等。

多元函数在数学分析中有着重要的应用，因此多元函数微分学也是数学分析的重要内容之一二、偏导数的定义在多元函数微分学中，偏导数是一个重要的概念。

偏导数表示函数在其中一个方向上的变化率，可以通过对函数的自变量进行偏微分来得到。

偏导数的定义如下：对于一个具有多个自变量的函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其在点(a₁,a₂, ..., an)处关于第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) [f(a₁, ..., ai+h, ..., an) - f(a₁, ...,ai, ..., an)] / h其中偏导数表示在变量xi方向上的变化率，可以通过对xi进行微小改变来计算函数f的变化量。

三、偏导数的性质偏导数具有一些性质，其中最重要的是混合偏导数的性质。

对于一个具有多个自变量的函数f，它的混合偏导数可以通过对其各个自变量的偏导数进行求导得到。

混合偏导数的性质如下：∂/∂x(∂f/∂y)=∂/∂y(∂f/∂x)这个性质表明对于一个函数f，其混合偏导数与求导的顺序无关，这为我们在实际应用中提供了便利。

四、多元函数的微分多元函数的微分是多元函数微分学中的一个重要内容。

对于一个具有多个自变量的函数f，其在其中一点处的微分可以表示为：df = ∂f/∂x₁dx₁ + ∂f/∂x₂dx₂ + ... + ∂f/∂xn dxn其中dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。

§17.2 复合函数微分法数学分析课件(华师大四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

*设函数(,)(,)x s t y s t ϕψ==与(1)定义在st 平面的区域D 上, =(,)z f x y (2)定义在xy 平面的区域__D 上. {}__(,)(,),(,),(,),x y x s t y s t s t D D ϕψ==∈⊂则可构成复合函数:(,)((,),(,)),(,).z F s t f s t s t s t D ϕψ==∈(3)其中(1) 为内函数, (2)为外函数, (s , t ) 为自变量.复合函数的求导法则后退前进目录退出函数若( x , y ) 为中间变量,定理17.3下面将讨论复合函数F 的可微性.(,)z f x y =(,)((,),(,))x y s t s t ϕψ=在点可微,且关于s 与t 的偏导数分别为((,),(,))z f s t s t ϕψ=(,)s t 则复合函数在点可微，(,)(,)(,)(,)(,),s t x y s t x y s t z z x z y s x s y s ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂(4)公式(4) 也称为链式法则.(,),(,)x s t y s t ϕψ==(,)s t D ∈在点可微，若函数(,)(,)(,)(,)(,).s t x y s t x y s t z z x z y t x t y t ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂22,y y y s t s t s tαβ∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂(6)(,),(,)x s t y s t ϕψ==(,)s t 证由假设在点可微, 于是11,x x x s t s t s tαβ∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂(5),z z z x y x y x y αβ∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂(7)(,)(0,0)s t ∆∆→1122(,,,)(0,0,0,0).αβαβ→其中时=(,)z f x y (,)x y 又由在点可微, 故有(,)(0,0)x y ∆∆→(,)(0,0),αβ→其中时，0x y ∆=∆=0.αβ==定义: 当时, 并可补充现把(5), (6) 两式代入(7) 式，得到11z x x z s t s t x s t ∆ααβ⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+⋅∆+∆+∆+∆+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭22.z y y s t s t y s t βαβ⎛⎫⎛⎫∂∂∂++⋅∆+∆+∆+∆ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭整理后又得z x z y z s x s y s ⎛⎫∂∂∂∂∆=⋅+⋅∆ ⎪∂∂∂∂⎝⎭(8),z x z y t s t x t y t αβ⎛⎫∂∂∂∂+⋅+⋅∆+∆+∆ ⎪∂∂∂∂⎝⎭1212.z z x y x y t tβββαβαβββ∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂ (10) 由于(,),(,)s t s t ϕψ在点(,)s t 可微，因此在点(,)s t 并求得z 关于s 和t 的偏导数公式(4)．(,)(0,0),αβ→从而1122(,,,)(0,0,0,0).αβαβ→以及于是在(9), (10) 两式中, 当(,)(0,0)s t ∆∆→时, 有1212,z z x y x y s sααααβααβα∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂ (9) 其中都连续，(,)(0,0).x y ∆∆→(,)(0,0)s t ∆∆→即当时，(,)(0,0).αβ→故由(8)式推知复合函数(3)可微，能轻易省略的, 否则上述复合求导公式就不一定成立．例如注如果只是求复合函数((,),(,))f s t s t ϕψ关于s 或t 的偏导数, 因为以s ∆或t ∆0s ∆→0,t ∆→除(7) 式两边, 然后让或但是对外函数f 的可微性假设是不须具有关于s 或t 的偏导数就够了. 到相应的结果. (,),(,)x s t y s t ϕψ==只则上述定理中也能得2222222,0,(,)0,0.x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩()(,)2,z F t f t t t ===(4),若形式地使用法则将得出错误结论:为内函数，(0,0)(0,0)0,x y f f ==(,)f x y 由§1 习题6 已知但(,)f x y ,x t y t ==若以为外函数, 000(0,0)(0,0)d d d d d d t t t z z x z y t x t y t ===∂∂=⋅+⋅∂∂在点(0,0) 不可微. ≡d 1.d 2z t 有则得到以t 为自变量的复合函数01010.=⨯+⨯=这说明：在使用链式法则时, 必须注意外函数可微这个条件.则复合函数11,(,,)(,,)m m f u u u u 一般地若在点可微,1(,,)(1,2,,)k k n u g x x k m == 1(,,)(1,2,,),n i x x x i n =在点具有对于的偏导数 11211((,,),(,,),,(,,))n n m n f g x x g x x g x x 1(1,2,,).m k k i k iu f f i n x u x =∂∂∂=⋅=∂∂∂∑ 关于自变量(1,2,,)i x i n = 的偏导数为函数组多元函数的复合求导一般比较复杂，必须要区分哪些是中间变量，哪些是自变量，法则求出正确的结果.z x y s t s t z x ∂∂z y ∂∂x s ∂∂x t ∂∂y s ∂∂y t ∂∂可以按照各变量间的复合关系,画如图那样的树形图.首先从因变量z 向中间变量x , y 画两个分枝, 别从中间变量x , y 向自变量s ,t 画分枝, 分枝上写上对应的偏导数.这样才能正确使用链式为了便于记忆，然后再分并在每个zz s s∂∂例如，求时，只要把从到的每条路径上的各个∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂.z z x z y s x s y s z z x z y t x t y t∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂zxys tstz x ∂∂z y ∂∂xs ∂∂x t ∂∂y s ∂∂y t ∂∂偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得类似地, 考察从z 到t 的路径,得.z z x y∂∂∂∂求与解所讨论的复合函数以(u , v ) 为中间变量, (x , y ) 为自变量, 并满足定理17.5 的条件. 222ln(),e,1,x y z u v u v x y +=+==+而例设试22,z uu u v∂=∂+22e ,2e ,x y x y u u y x y++∂∂==∂∂因此由21,z v u v∂=∂+2,1,v v x x y ∂∂==∂∂根据链式法则得到22221e 2x y u x u v u v +=⋅+⋅++z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂222(e ),x y u x u v+=⋅++221(4e 1).x y u y u v+=⋅++z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂例2 (,),cos ,u u x y x r θ==设可微在极坐标变换222221.u u u u r x y r θ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭证把u 看作,r θ的复合函数(cos ,sin )u u r r θθ=，因此有sin ,y r θ=之下证明:u u x u y r x r y r ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂u u x u y x y θθθ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂cos sin ,u u x y θθ∂∂=+∂∂(sin )cos .u u r r x yθθ∂∂=-+∂∂于是2221u u r r θ⎛⎫⎛⎫∂∂+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭221sin cos u ur r x y r θθ⎛⎫∂∂+-+ ⎪∂∂⎝⎭22.u u x y ⎛⎫⎛⎫∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭2cos sin u ux y θθ⎛⎫∂∂=+⎪∂∂⎝⎭解复合后仅是自变量t 的一元函数．d d d d d d d d z z u z v z t t u t v t t t ∂∂∂=++∂∂∂例3 d sin ,e ,cos ,.d tz z uv t u v t t=+==设其中求e (sin )cos tv u t t =+-+e (cos sin )cos .tt t t =-+注上面第一个等式中，左边的d d zt是作为一元函数的复合函数对t 求导数(又称“全导数”);是外函数(是u, v, t 的三元函数) 对t 求偏导.注意区分．z u v tttz u ∂∂zv∂∂z t ∂∂ut∂∂v t∂∂于是zt∂∂右边的例4用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:2(1)ln (2).sin cos x x y x x+=+解 (1) 令,,,,v xy u v w u x w x ====从而有()d d d d y y u y x u x v ∂∂=⋅+∂∂11ln [ln ]x xxx x x xx xxx x xx x --=⋅+⋅+21ln (ln ).x xxx xx x x ⎡⎤=⋅++⎢⎥⎣⎦1ln []v vvuu u -=+(1);xx y x =d d v w v w x x∂∂⋅+∂∂1ln x x xw w w -+,sin cos ,vwy u x x u ==+令解则有d d d d y y u x u x ∂=⋅∂221(sin cos )(1)ln (sin cos )x x x x x x ⎡=-+⎣+2(cos sin )v wx x u-=-21(sin cos )(2ln ).xx x x x x+⎤+++⎦2(1)ln (2).sin cos x x y x x +=+21,ln ,v x w x =+=d d y v v x ∂+⋅∂d d y ww x∂+⋅∂2w x u +⋅1v u x +⋅由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数导数的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算.例5 设(,),(1,1)1,(1,1),x f x y f f a ==为可微函数 (1,1),()(,(,(,))),(1).y f b x f x f x f x x ϕϕ'==试求解令()(,),(,),(,),,x f x y y f x z z f x u u x ϕ====d ()d x y y x f f x ϕ'=+⋅则有d .d x y x z x u u f f f f f f x ⎡⎤⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦d d x y x z z f f f f x ⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪⎝⎭23(1)[()].a b a b a b a ab ab b ϕ'=+++=+++因此d 1,(1,1),(1,1)(1,1)(1,1),d x y z u u f a f f f b x由=====而实用的写法(省去了引入中间变量):说明上面的解法是通过引进中间变量,,y z u 后, 借助链式法则而求得的; 121212()[(1)],x f f f f f f ϕ'=+⋅+⋅+⋅[()].a b a b a b =+++121(1)(1,1)(1,1){(1,1)f f f ϕ'=+⋅212(1,1)[(1,1)(1,1)]}f f f +⋅+上述过程还有一种比较简洁()()(),,,,,,,.u f x y z y x t t x z u u x z ϕψ设都有一阶连续偏例6导数，求 ===∂∂∂∂u x z y x t z x f x ∂∂f y ∂∂f z ∂∂x ϕ∂∂t ϕ∂∂x ψ∂∂z ψ∂∂代入中间变量解，得复合函数()()(),,,,,u f x x x z z x z ϕψ=为的()函数见图，u f x x ∂∂=∂∂u f z y t z ϕψ∂∂∂∂=∂∂∂∂()()(),,,,u u f x x x z z x ϕψ∂=∂注意，这里用表示复合函数得到：f y x ϕ∂∂+∂∂f y t x ϕψ∂∂∂+∂∂∂f z ∂+∂(,)(,).x y y f x y x f x y ⋅=⋅0.f θ∂=∂证明: 在极坐标系里f 只是r 的函数．为此设 (,),cos ,sin ,u f x y x r y θθ===则得证本题是要证明: 经极坐标变换后, f 满足2R f 例7 设在上的可微函数满足方程(),,f x u f x y z x对的偏导数,而用表示函数对第一∂=∂.x 个变量的偏导数，以区别两者的不同(sin )(cos )u u r r x yθθ∂∂=⋅-+⋅∂∂u u y x x y∂∂=-⋅+⋅∂∂是r 的函数．f 2R θf 从而在上的极坐标系里与无关, 于是只0.f f y x x y∂∂=-⋅+⋅=∂∂u u x u y x y θθθ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂若以,x y 为自变量的函数(,)z f x y =可微, 其全微分为(,),(,),x s t y s t ϕψ==d d d .z z z x y x y∂∂=+∂∂(11),x y ,s t 如果作为中间变量, 又是自变量的可微函数则由定理17.5 知道, 复合函数((,),(,))f s t s t ϕψ是可微的, 其全微分为复合函数的全微分d z x z y s x s y s ⎛⎫∂∂∂∂=⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂⎝⎭由于,x y 又是(,)s t 的可微函数, 因此同时有 d d d z z z s t s t∂∂=+∂∂将(13) 式代入(12) 式, 得到与(11) 式完全相同的结果, d z x z y t x t y t ⎛⎫∂∂∂∂+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂⎝⎭d d z x x s t x s t ⎛⎫∂∂∂=⋅+ ⎪∂∂∂⎝⎭(12)d d .z y y s t y s t ⎛⎫∂∂∂+⋅+ ⎪∂∂∂⎝⎭d d d ,d d d .x x y y x s t y s t s t s t∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂(13)这就是多元函数的一阶(全) 微分形式不变性.必须指出,在 (11)式中当,x y 作为自变量时,d x 和 d y 如 (13) 式所示, 它们的值由,,d ,d s t s t 所确定．利用微分形式不变性, 能更有条理地计算复合函数的全微分．d d d .z z z x y x y ∂∂=+∂∂(11)d d d ,d d d .x x y y x s t y s t s t s t∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂ (13) d x 和d y 各自独立取值; ,x y 作为中间变量时,当解令e sin ,,u z v u xy v x y ===+．由于d d d u v z z u z v =+d d d ,u y x x y =+因此d e sin (d d )e cos (d d )u u z v y x x y v x y =+++e [sin()cos()]d x y y x y x y x=+++e [sin()cos()]d ,x yx x y x y y ++++.z z x y∂∂∂∂与d ,z 算并由此导出例8e sin(),x yz x y =+设利用微分形式不变性计e sin d e cos d ,u u v u v v =+d d d ,v x y =+e [sin()cos()],x y z y x y x y x∂=+++∂e [sin()cos()].x y z x x y x y y∂=+++∂并由此得到d e [sin()cos()]d x y z y x y x y x=+++e [sin()cos()]d ,x yx x y x y y ++++1. 在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一个结果:1()(1ln )ln .x x x x x x x x x x x -'=+=⋅+不难看出等式右边两项恰好是把x x 分别看成幂函数与指数函数求导数而得到的. 有人认为这是偶然的巧合，也有人认为这是必然的结果．种看法是正确的？请说出依据．试问哪一到((,),(,),)u u x s t y s t t =,它是一个以,s t 为自变量的复合函数. 写法:,u u x u y u t x t y t t ∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+∂∂∂∂∂∂试问这个写法有何不妥？怎样纠正？2. 设由可微的(,,),(,),(,)u u x y t x x s t y y s t ===得考察下面计算复合函数偏导数的一种。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1xZ ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明:(1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ∂∂=222x u a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x.2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,y Z ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤； (2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+; (3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n 1k k0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f(a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求xk z h y g y f x e z d z c y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 m y y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1xZ ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明:(1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ∂∂=222x u a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x.2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,y Z ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤； (2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+; (3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n 1k k0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f(a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求xk z h y g y f x e z d z c y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 m y y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。

数学分析教案(华东师大版)导数和微分

数学分析教案（华东师大版）导数和微分一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义；2. 掌握导数的计算法则；3. 学会应用导数解决实际问题，如求函数的极值、单调区间等；4. 理解微分的概念及其应用。

二、教学内容1. 导数的定义与几何意义引入极限的概念，说明导数是函数在某一点的切线斜率；解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率；借助几何图形，展示导数表示切线的斜率。

2. 导数的计算法则幂函数、指数函数、对数函数的导数；三角函数的导数；复合函数的导数（链式法则）；反函数的导数；高阶导数。

3. 应用导数解决实际问题求函数的极值；判断函数的单调性；求解曲线的切线方程；应用导数解决物理、经济等领域的实际问题。

4. 微分的概念与计算引入微分的概念，说明微分表示函数在某一点的增量；掌握微分的计算法则，如乘法法则、幂函数的微分等；应用微分求解函数的增量。

三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍导数和微分的概念、计算法则及应用；2. 借助图形和实例，直观地展示导数和微分的几何意义；3. 引导学生通过练习，巩固所学知识，提高解题能力；4. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。

四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源；2. 投影仪、黑板、粉笔等教学工具；3. 练习题及答案。

五、教学评价1. 课堂提问：检查学生对导数和微分概念、计算法则的理解；2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握程度；3. 章节测试：检测学生对导数和微分知识的综合运用能力。

六、教学内容5. 利用导数研究函数的极值与单调性定义极值的概念，介绍第一类和第二类极值；利用导数判断函数的单调区间；求解函数的极值点和单调区间。

6. 洛必达法则与极限的计算引入洛必达法则，解释其在极限计算中的应用；演示洛必达法则的具体操作步骤；练习使用洛必达法则计算极限。

七、教学内容7. 高阶导数与隐函数求导定义高阶导数，介绍高阶导数的计算法则；引入隐函数的概念，讲解隐函数求导的方法；举例说明隐函数求导的应用。

17-3——华东师范大学数学分析课件PPT

数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析第十七章多元函数微分学

数学分析2课件：第十七章多元函数微分学

lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时，即 x 0 且 y 0时，
f y(x,
y)
xy x2 y2
y
x ( x2 y2) 2 y xy ( x2 y2 )2
第十七章多元函数微分学
§1 可微性 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题
§1 可微性
一、全微分的定义二、偏导数的定义及其计算法三、可微的条件四可微性的几何意义与应用
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) f x ( x, y)x
T p
RT V2
R p
V R
RT pV
1.
有关偏导数的几点说明：
１、
偏导数 u 是一个整体记号，不能拆分; x
２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例6
设
f
( x,
y)
xy x2 y2

,
x2 y2 0, 。
0,
x2 y2 0
求 f x ( x, y), f y ( x, y). 解 (1) 先求 f x ( x, y).
如果考虑点 P(x, y)沿着直线 y x 趋近于(0, 0)，
则
x y (x)2 (y)2
x x (x)2 (x)2
1 2
,

数学分析课件华东师大版

202X-01-04
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础课程，主要研究实数、函数、极限、连续性、可微性和积分等概念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌握数学的基本原理和方法，培养逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常用方法，它通过求不定积分的原函数（即不定积分），然后利用原函数计算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方法，通过将两个函数的乘积进行求导，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方法，通过改变定积分的积分变量或积分区间，将复杂的积分转化为容易计算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界性、局部保序性、迫近性等性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序性、迫近性等性质。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个自变量的偏导数存在，则称该函数在该点关于该自变量可偏

数学分析第十七章多元函数微分学

第17章多元函数微分学
§1 可微性
一、可微性与全微分
f(x)在点 x0可微 : f(x0x)f(x0)Axo(x)
其中 Af(x0).
定义1. 设函数z f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U(P0)
内有定义, 对于U(P0)中点P(x, y) (x0 x, y0 y),
若函数f在点P0处的全增量 z可表示为:
若(x,y)属于该邻,则域存在 x0 1(x-x0)和y0 2(yy0),01,2 1,使得
f(x,y) f (x0,y0) fx(,y)(xx0) fy(x0,)(yy0).(12
偏导数连续
可微连续
偏导数存在
练 :考习 f(x察 ), y x y e x的 y 可 ,求 (微 2 1 在 )的 , 性全 .
y)
x2 y2,
0,
在原点的可微.性
x2 y2 0, x2 y2 0
这个例子 :函说数明即使在一存点 ,在也偏不导一在该点(但可一微元函数在与一导点数可存).微在
编辑ppt
7
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2).
作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0)
AxByo(),
(1)
其中A,B是仅与点P0有关的常数 , x2 y2, o()
是较高阶的无穷小,量则称函数在P点0可微. 并称(1)式
编辑ppt
1
中关 x,y 于的线A 性 xB 函 y为数函 f在数 P 0 点的全微 ,记分作
f (x, y0)在x0的某邻域内有定 ,则义当极限

17-1——华东师范大学数学分析课件PPT

x0 x x0
x
存在时, 称此极限为 f 在点 ( x0 , y0 )关于x 的偏导
数, 记作
f x ( x0 , y0 ), 或 zx ( x0 , y0 ),
f x
,
( x0 , y0 )
z .
x ( x0 , y0 )
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数可微性与全微分
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
例1 考察 f ( x, y) x y 在任一点 ( x0, y0 ) 的可微性.
解 f 在点( x0, y0 ) 处的全增量为
f ( x0 , y0 ) ( x0 x) ( y0 y) x0 y0
y0 x x0 y x y.
由于 | x y | | x | | y | 0 ( 0),
因此 xy o( ). 从而 f 在 ( x0 , y0 ) 可微, 且
d f y0 x x0 y.
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数可微性与全微分
( x, y) y y0, | x x0 |
或 ( x, y) x x0, | y y0 |
数学分析第十七章多元函数微分学
§1 可微性与偏导数
本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多元函数微分学最基本的概念. 然后给出对单个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用.
一、可微性与全微分
二、偏导数三、可微性条件四、可微性的几何意义

《数学分析》教案(华师大版)《数学分析》教案(华师大版)

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数学与计算机科学学院教案专用纸。

数学分析第十七章多元函数微分学

数学分析第十七章多元函数微分学首先介绍多元函数的偏导数。

偏导数是指多元函数在其中一点处，沿着其中一坐标轴方向求导得到的导数。

对于函数$z=f(x, y)$，其偏导数可以表示为$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$。

求解偏导数的方法与一元函数的求导类似，将其它变量视为常数，对变量进行求导。

然后介绍全微分。

对于函数$z=f(x, y)$，它的全微分表示为$d z =\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$。

全微分可以看作是函数在其中一点附近的变化率，可以用来近似表示函数的变化情况。

通过全微分可以推导出偏导数和方向导数的关系。

接下来介绍方向导数和梯度。

方向导数表示函数在其中一点沿着其中一方向的变化率，可以用来描述函数的变化速度和方向。

对于函数$z=f(x, y)$，它的方向导数可以表示为$\frac{{\partial z}}{{\partialx}}cos\alpha+\frac{{\partial z}}{{\partial y}}cos\beta$，其中$\alpha$和$\beta$是方向向量的夹角。

梯度是一个向量，它的方向与函数在其中一点的最大方向导数方向相同，大小为最大方向导数的值。

对于函数$z=f(x, y)$，它的梯度可以表示为$\nabla z = \frac{{\partial z}}{{\partialx}}\mathbf{i}+\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\mathbf{j}$。

梯度可以用来判断函数在其中一点的变化速度最快的方向和大小。

最后介绍多元函数的极值。

对于函数$z=f(x, y)$，要求出它的极值，首先需要求出函数的偏导数，并解出偏导数为零的方程组。

(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。

教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。

教学时数：18学时§1 可微性一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时.2．全微分:例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.3.求偏导数:例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 .例5. 求偏导数.例6. 求偏导数.例7. 求偏导数, 并求.例8. 求和.解=,=.例9证明函数在点连续, 并求和.证. 在点连续 .,不存在 .三.可微条件:1.必要条件:Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且. ( 证) 由于, 微分记为.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分.例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 .2.充分条件:Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在,则函数在点可微 .证.即在点可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例11验证函数在点可微, 但和在点处不连续 . (简证,留为作业)证因此, 即,在点可微, . 但时, 有,沿方向不存在, 沿方向极限不存在; 又时,,因此, 不存在, 在点处不连续. 由关于和对称,也在点处不连续 .四.中值定理:Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于该邻域, 则存在和, , 使得. ( 证) 例12设在区域D内. 证明在D内.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义. P113.Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微 . ( 证略)2. 切平面的求法: 设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为（其中），法线方向数为，法线方程为.例13试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程 . P115例63. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理 .例14 求的近似值. P115例7例15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得,. 若测量的误差为的误差为. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116.§2 复合函数微分法简介二元复合函数: .以下列三种情况介绍复合线路图;, ;.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数在点D可微, 函数在点可微, 则复合函数在点可微, 且,. ( 证) P118称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括 .对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱.对外元, 内元, 有，.外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例1. 求和. P120例1例2, . 求和.例3, 求和.例4设函数可微 ..求、和.例5用链导公式计算下列一元函数的导数:ⅰ> ; ⅱ> . P121例4例6设函数可微. 在极坐标变换下, 证明. P120例2 例7设函数可微, . 求证.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8. 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和.P122 例5§3 方向导数和梯度一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义 .为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点, 以表示与两点间的距离 . 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数, 记为或、.对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 .易见, 、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 .例1=. 求在点处沿方向的方向导数,其中ⅰ>为方向; ⅱ>为从点到点的方向.解ⅰ>为方向的射线为. 即. ,.因此,ⅱ>从点到点的方向的方向数为方向的射线为., ;.因此,2. 方向导数的计算:Th 若函数在点可微, 则在点处沿任一方向的方向导数都存在, 且++,其中、和为的方向余弦. ( 证) P125 对二元函数, +, 其中和是的方向角.註由++==, , , , , 可见, 为向量, , 在方向上的投影.例2 ( 上述例1 )解ⅰ>的方向余弦为=, =, =.=1 , =, =.因此, =++=.ⅱ>的方向余弦为=, =, =. 因此, =.可微是方向导数存在的充分条件, 但不必要 .例3 P126 .二. 梯度( 陡度):1. 梯度的定义: , , .|= .易见, 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数, 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为|.其中是与夹角. 可见时取最大值, 在的反方向取最小值 .3. 梯度的运算:ⅰ> .ⅱ>(+) = +.ⅲ> () = +.ⅳ> .ⅴ> () = .证ⅳ> , ..§4 Taylor公式和极值问题一、高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9 求二阶偏导数和. P128例1 例10 . 求二阶偏导数. P128例2 2.关于混合偏导数: P129—131.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式, P131-132例11 . 求和. P132例34. 验证或化简偏微分方程:例12 . 证明+ . ( Laplace方程) 例13 将方程变为极坐标形式.解., , , ., ;因此, .方程化简为.例14试确定和, 利用线性变换将方程化为.解, .=+++==+2+.=+++==++.=++.因此,+ (+ . 令, 或或……, 此时方程化简为.二．中值定理和泰肋公式：凸区域 .Th 1 设二元函数在凸区域D 上连续, 在D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点 D , 存在, 使.证令.系若函数在区域D上存在偏导数, 且, 则是D上的常值函数.二. Taylor公式:Th 2 (Taylor公式) 若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏导数, 则对内任一点,存在相应的, 使证P134例1 求函数在点的Taylor公式( 到二阶为止) . 并用它计算P135—136例4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 P136例52．极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设为函数的极值点 . 则当和存在时, 有=. ( 证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实)二次型. 其矩阵为.ⅰ> 是正定的,顺序主子式全,是半正定的,顺序主子式全;ⅱ> 是负定的,, 其中为阶顺序主子式.是半负定的, .ⅲ> < 0时, 是不定的.充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor公式, 有++ .令, , , 则当为驻点时, 有.其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> , 为( 严格) 极小值点;ⅱ> , 为( 严格) 极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .综上, 有以下定理 .Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数, 是驻点 . 则ⅰ> 时, 为极小值点;ⅱ> 时, 为极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .例3—7 P138—140 例6—10 .四．函数的最值：例8 求函数在域D = 上的最值 .解令解得驻点为. .在边界上, , 驻点为, ;在边界上, , 没有驻点;在边界上, , 驻点为, .又.于是,..[]。

数学分析教案华东师大版

数学分析教案华东师大版一、教学目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.熟悉数学分析的基本概念和基本原理；2.掌握数学分析中的常用方法和技巧；3.培养数学分析的思维方式和解决问题的能力；4.培养学生的数学思维和创造性思维。

二、教学内容本教案主要包括以下内容：1.函数、极限与连续性–函数的定义和性质–极限的定义和性质–连续函数的定义和性质–极限存在的判定方法–无穷小量与无穷大量2.一元函数的微分学–导数的定义和性质–导数的几何意义和物理意义–某类函数的导数–高阶导数与导数的运算法则–隐函数与参数方程的求导公式3.一元函数的积分学–积分的定义和性质–函数的原函数与不定积分–定积分的定义和性质–定积分的计算方法–积分中值定理4.多元函数的微分学–多元函数的定义和性质–多元函数的极限和连续性–偏导数和全微分–隐函数与参数方程的求导公式–多元函数的极值与最值问题5.多元函数的积分学–重积分的定义和性质–二重积分的计算方法–三重积分的计算方法–曲线与曲面的面积与弧长–应用于物理和几何的多重积分三、教学方法1.讲授法：通过讲解基本概念和原理，逐步引导学生掌握数学分析的基本知识；2.示例法：通过实际例子和问题，帮助学生理解和应用数学分析的方法和技巧；3.探究法：引导学生通过自主思考和探索，培养解决问题的能力和创造性思维；4.实践法：通过实际应用和实验，帮助学生将数学分析知识应用到实际问题中。

四、教学工具在教学过程中，我们将使用以下工具：1.教材：华东师大版《数学分析》教材；2.黑板和白板：用于讲解和演示数学分析的概念和方法；3.计算器：用于计算和验证数学分析中的计算步骤；4.电脑和投影仪：用于展示教材、图片和视频资料；5.实验器材：用于进行一些实际应用和实验。

五、教学评价为了评价学生的学习效果和掌握程度，我们将采用以下方式进行评价：1.平时成绩：包括作业完成情况、课堂参与度等；2.期中考试：对学生的理论知识和基本应用进行考核；3.期末考试：对学生的综合应用和解决问题能力进行考核；4.实验报告和小组项目：对学生的实践能力和团队合作能力进行考核；5.学习笔记和讨论记录：对学生的学习态度和思维能力进行考核。

数学分析学习指导书

篇一:数学分析学习指导(ⅲ)(未含附录)数学分析课程简要学习指导书数学分析(ⅲ)课程学习简要指导书(配套教材:《数学分析》华东师大数学系编)王石安编华南农业大学理学院应用数学系二○一二年八月1□课程的性质和任务数学分析是应用数学专业的一门重要基础课,它是一系列后继课程如微分方程,微分几何,复变函数,实变函数,泛函分析,概率论以及相关课程如普通物理,理论力学等不可缺少的基础。

学习这门课程的基本内容与方法对于培养学生的分析思维能力、学生的基本功与良好素质、培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法以及实际工作能力有着十分重要的作用。

其主要任务是通过教学与练习,要求学生掌握数学分析的基本概念,基本理论和基本方法和运算技能,并获得运用这些知识的能力。

□课程的内容和基本要求本课程学习数学分析(ⅲ)的基本知识,包括反常积分、多元函数的极限和连续性、多元函数微分学、隐函数定理及其应用、曲线积分、重积分及曲面积分等基本内容。

在教学上要求学生能掌握四个基本方面,即基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。

在教学基本要求上分为三个档次,即熟练掌握、掌握和理解。

熟练掌握--基本概念明确,能联系几何与物理的直观背景,并能从正反两方面进行理解;基本理论较扎实,具有较好的推理论证和分析问题的能力;基本方法较熟练,具备较好的运算和解决应用问题的能力,并能较灵活地运用基本技巧。

掌握--对基本概念一般只要求能从正面理解;对基本理论一般要求能应用和了解如何证明;对基本方法一般要求能掌握运用,但不要求很熟练和技巧性。

理解--对基本理论只要求能应用,不要求掌握证明方法;对基本方法一般要求会做,不要求灵活技巧。

□对学生能力的培养的要求通过理论教学,使学生熟悉数学分析的研究内容,该学科解决问题的基本原则和方法,具备较高的理论水平和计算能力。

□学习材料1、基本教材《数学分析》(华东师范大学数学系编)高等教育出版社 2、辅导教材(1)《数学分析》(面向课程教材)上、下册,陈纪修、於崇华、金路编著,高等教育出版社数学分析课程简要学习指导书(2)中国科技大学编《数学分析》(上、中、下册) 3、参考书籍《数学分析习题集》(吉米多维(苏)著) 4、授课课件□学习方法从课堂启发式教学-> 个人自学,以学生本身为主,教师引导为辅。

17-4——华东师范大学数学分析课件PPT

高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例1 求函数 z 解由于 z
e x2y ex2y
的所有二阶偏导数和 , z 2e x2 y ,
3z y x2
.
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x2y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
y
3
z x
22yz2x
yy(22zexx2 y)x (42eexx22yy;)
2e
x
2
y
.
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例2 求函数 z arctan y 的所有二阶偏导数. x
x2 y2
f (x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
其一阶偏导数为
f
x
(
x,
y)
y( x4 4x2 y2 ( x2 y2 )2
y4)
,
0,
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
数学分析第十七章多元函数微分学

数学分析课本(华师大版)-习题及答案十七

第十七章多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有xy1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x xF x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0)证明:(1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x xf x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x mzf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n kn k21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 2e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:t u ∂∂=222xu a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x. 2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求x dZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,yZ ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1. 21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度.22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤；(2) Z=22y xy x +-,(){}1y x y ,x ≤+;(3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1n n1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n 1k k0;x u (2)∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f (a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求x k z h y g y f x e z d zc y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z )h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin x y ,试证 my y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。

多元函数的微分学教案3

§3 方向导数与梯度教学目的掌握方向导数与梯度的定义，学会计算方向导数与梯度．教学要求掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算．教学建议(1) 适当介绍引入方向导数和梯度的意义（物理意义和计算方法上的意义）．(2) 对学生强调方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系．教学程序一、方向导数：（一）、方向导数的定义：定义设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义 . l 为从点0P 出发的射线 . ),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点 , 以ρ表示P 与0P 两点间的距离 . 若极限 ρρρρf P f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在 , 则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数 , 记为0P l f ∂∂ 或)(0P f l 、),,(000z y x f l . 对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数 .易见 x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和 Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中（1） l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; （2） l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解（1） l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即 ) 0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x . 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f , 37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 , .3137lim )()(lim 230000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f l f t P ρρ （2）从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 , .1051059lim )()(lim 20000-=-=-=∂∂++→→t t t P f P f l f t P ρρ（二）、方向导数的计算:定理: 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微 , 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在 , 且=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦.( 证 ) 对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注: 由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x ,)(0P f y ,)(0P f z (αcos ,βcos , γcos ),可见 , )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影. 例2 ( 上述例1 )解（1） l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31. )(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z . 因此 , l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+.（2） l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 , l f ∂∂=10510321011-=⋅-⋅. 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .二、梯度 ( 陡度 ):（一）、梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf = ()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见 , 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.（二）、梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 .（三）、梯度的运算:1 grad =+)(c u grad u .2 grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .3 grad (u v ) = u grad v +v grad u .4 grad 2u vgradu ugradv u v -=. 5 grad f (u ) = gradu u f )('.证: 4 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv u y x y x[]=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -. 总结：gradf 的方向表示数量场f 在l 分三元沿此方向的方向导数达到最大；gradf 的根长就是这个最大的方向导数。

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