人教版九年级数学上册22.1.4二次函数的图像和性质第一课时课件
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二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)
然后描点、连线，得到图象如下图.
y
-4 -2 O 2 4
-2 4 6 8
由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x
x
的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最 大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
( C) A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛 物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点 P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的 说法如下，
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函 数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D)
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( B)
(1)求 b、c 的值；
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教版九年级上册数学课件：二次函数的图像与性质PPT
解法二：设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
评价
通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解， 方法比较灵活
人教版九年级上册数学课件：22.1.4 二次函 数的图 像与性 质
人教版九年级上册数学课件：22.1.4 二次函 数的图 像与性 质
人教版九年级上册数学课件：22.1.4 二次函 数的图 像与性 质
知识提高：
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，
图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经
过解点：（∵3二，次-函6）数。的求最大a、值b是、2c。
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1
可得方程组
评价 通过利用给定的条件
列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式．
过程较繁杂，
人教版九年级上册数学课件：22.1.4 二次函 数的图 像与性 质
人教版九年级上册数学课件：22.1.4 二次函 数的图 像与性 质
应用
例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
2
12
(2) y 2(x 2)2 3
人教版九年级上册数学课件：22.1.4 二次函 数的图 像与性 质
人教版九年级上册数学课件：22.1.4 二次函 数的图 像与性 质
熟能生巧
1、已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,－3)，(2,-7) 三点，则该二次函数关系式为__y_____1_x_2___5_x_。
九年级数学上册教学课件《二次函数的图象和性质(第1课时)》
向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；
当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其
图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x轴的交点坐标
是 (-1,0),(1,0) .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
y 1 x2+2 2
（0，-2）
y 1 x2 2
y 1 x2 -2
2
-2 O -2
-4
-6
2 4x
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
y 4
在同一坐标系内画出
2
下列二次函数的图象：
-2
0
2
x
-2
y 1 x2
-4
3
y1
1 3
x2
2
y2
1 3
当x＞0时，y随x的增大而增大.
巩固练习
22.1 二次函数的图像和性质
在同一坐标系中，画出二次函数
y
1 2
x
2
，y
1 2
x2
2
，y
1 2
x2
2
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
如图所示
y
抛物线
开口方向 向下 向下 向下
对称轴 x=0 x=0 x=0
顶点坐标
-4
（0,0） （0,2）
顶点坐标
（0,1） （0，-1）
y y = 2x2+1
8 6 4 2
-4 -2 O 2 4 x -1
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；
当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其
图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x轴的交点坐标
是 (-1,0),(1,0) .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
y 1 x2+2 2
（0，-2）
y 1 x2 2
y 1 x2 -2
2
-2 O -2
-4
-6
2 4x
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
y 4
在同一坐标系内画出
2
下列二次函数的图象：
-2
0
2
x
-2
y 1 x2
-4
3
y1
1 3
x2
2
y2
1 3
当x＞0时，y随x的增大而增大.
巩固练习
22.1 二次函数的图像和性质
在同一坐标系中，画出二次函数
y
1 2
x
2
，y
1 2
x2
2
，y
1 2
x2
2
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
如图所示
y
抛物线
开口方向 向下 向下 向下
对称轴 x=0 x=0 x=0
顶点坐标
-4
（0,0） （0,2）
顶点坐标
（0,1） （0，-1）
y y = 2x2+1
8 6 4 2
-4 -2 O 2 4 x -1
人教版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课件
2
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
人教版九年级数学上册课件：22.1二次函数的图像和性质第一课时
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午4时8分 36秒下午4时8分16:08:3621.11.7
归纳
用平移观点看函数：
抛物线
可以看作是由
抛物线
平移得到。
(1)当c>0时，向上平移 y
个单位；
(2)当c<0时，向下平移
个单位；
ox
巩固
2、二次函数
是由二次函
数
向 平移 个单位得到的。
3、二次函数
是由二次函
数
向上平移5个单位得到的。
探究
三、观察三条抛物线： y
(1)开口方向是什么？
9 8
7
开口都向上
6 5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 x
-2
探究
三、观察三条抛物线： y
(2)开口大小有没有
9 8
变化？
7 6
没有变化
5 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 x
-2
探究
三、观察三条抛物线： y
(3)对称轴是什么？
9 8
7
对称轴是y轴
6 5
4
3
2
1
-4 -3 -2 --110 1 2 3 4 x
-2
Байду номын сангаас
探究
三、观察三条抛物线： y
9
(4)顶点各是什么？ 8
7
(0，3)
6 5
4
(0，0)
巩固 4、说出下列函数图象的性质：
开口方向、对称轴、顶点、增减性。
归纳
用平移观点看函数：
抛物线
可以看作是由
抛物线
平移得到。
(1)当c>0时，向上平移 y
个单位；
(2)当c<0时，向下平移
个单位；
ox
巩固
2、二次函数
是由二次函
数
向 平移 个单位得到的。
3、二次函数
是由二次函
数
向上平移5个单位得到的。
探究
三、观察三条抛物线： y
(1)开口方向是什么？
9 8
7
开口都向上
6 5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 x
-2
探究
三、观察三条抛物线： y
(2)开口大小有没有
9 8
变化？
7 6
没有变化
5 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 x
-2
探究
三、观察三条抛物线： y
(3)对称轴是什么？
9 8
7
对称轴是y轴
6 5
4
3
2
1
-4 -3 -2 --110 1 2 3 4 x
-2
Байду номын сангаас
探究
三、观察三条抛物线： y
9
(4)顶点各是什么？ 8
7
(0，3)
6 5
4
(0，0)
巩固 4、说出下列函数图象的性质：
开口方向、对称轴、顶点、增减性。
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
课件_人教版数学九年级二次函数y=ax的图像和性质PPT课件_优秀版
y -4 -2 0 2 4 x
-3 -6 -9
探究新知 知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
探究新知
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
解②得:m1=－2, m2=1
（1） 你们喜欢打篮球吗？
y
利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
顶点（ 0 ，0 ）;
9
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
在已对知称 ：轴如的图左，侧直线, yy随＝x3的x增＋大4与而抛物线y＝, x2交于A、B两点，求出A6、B两点的坐标，并对求称出两轴交与点与抛原物点所线围的成的交三角形的面积．
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
-3 -6 -9
探究新知 知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
探究新知
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
解②得:m1=－2, m2=1
（1） 你们喜欢打篮球吗？
y
利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
顶点（ 0 ，0 ）;
9
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
在已对知称 ：轴如的图左，侧直线, yy随＝x3的x增＋大4与而抛物线y＝, x2交于A、B两点，求出A6、B两点的坐标，并对求称出两轴交与点与抛原物点所线围的成的交三角形的面积．
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
人教版数学九年级上册课件22.1.4二次函数的图像和性质
2 2
16
14
12
10
8
6
4
2
15
10
5
5
10
15
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 试将式一般转化为顶点 式.
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
2
y ax2 bx c 2 b a x x c a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
图象特征 图象特征
归纳总结： a的符号决定 开口方向 ,简记为 “上正下负 ”. a,b的符号决定 对称轴位置 ,简记为 “左同右异 ”. c的符号决定 与y轴交点 ,简记为 “ 上正下负 ”
16
14
12
10
8
6
4
2
15
10
5
5
10
15
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 试将式一般转化为顶点 式.
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
2
y ax2 bx c 2 b a x x c a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
图象特征 图象特征
归纳总结： a的符号决定 开口方向 ,简记为 “上正下负 ”. a,b的符号决定 对称轴位置 ,简记为 “左同右异 ”. c的符号决定 与y轴交点 ,简记为 “ 上正下负 ”
人教版数学九年级上册22.1 二次函数的图象和性质(第1课时)-课件
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m1n2 1n
22 y2x0 24x0 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
二次函数的定义：一般地，形如 ya2xb xc（a ，b ，c 是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项．
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们的形状是怎样画出来的？
2．通过实例，归纳二次函数的定义
正方体的棱长为 x ，那么正方体的表面积 y 与 x 之 间有什么关系？
y 6x2
2．通过实例，归纳二次函数的定义
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比 赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
子天 是开
梅放
tomorrow.
花； ，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
m 1n2 1n 22
2．通过实例，归纳二次函数的定义
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y2 0 x24 0 x2 0
y 6x2 m1n2 1n
22 y2x0 24x0 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
二次函数的定义：一般地，形如 ya2xb xc（a ，b ，c 是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项．
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们的形状是怎样画出来的？
2．通过实例，归纳二次函数的定义
正方体的棱长为 x ，那么正方体的表面积 y 与 x 之 间有什么关系？
y 6x2
2．通过实例，归纳二次函数的定义
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比 赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
子天 是开
梅放
tomorrow.
花； ，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
m 1n2 1n 22
2．通过实例，归纳二次函数的定义
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y2 0 x24 0 x2 0
22-1-4二次函数图像与性质课件人教版九年级数学上册
对称轴：x=-2
2 最值：x=-2时，y最小值=3 当x＜-2时，函数值y随x的增大而增小；
10
5
当x＞-2时，函数5 值y随x的增大而1减0 大；
15
当x=-2时，函数取得最小值，最小值y=3.
2
4
练习：
. 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解： y 2x2 8x 7
2(x2 4x) 7
顾 y=-x²
开口方向 对称轴 顶点坐标
最值
向下 y轴或
x=0
(0,0)
x=0时，y 的最大值
是0
y=-(x+1)² 向下 x=-1
x=-1时， (-1,0) y的最大
值是0
y=-(x-1)² 向下 x=1
x=1时，y (1,0) 的最大值
是0
增减性
当x＞0时，y随x的 增大而减小；当x ＜0时，y随x的增
左右平移规律：
x的值进行变化：左加右减
新课导入 画出y=x²的图像并进行上下平移3个单位
y=8 x²+3
6
y=x²
4
2
15
10
5
5
10
15
2
y=x²-3
4
6
新课导入 画出y=2x²的图像并进行左右平移2个单位
8
yx²
6
y=（x+2）²
4
2
15
10
5 2 4 6
y=（x-2）²
5
10
15
新课导入
大而增大
当x＞-1时，y随x 的增大而减小；当 x＜-1时，y随x的
增大而增大 当x＞1时，y随x的 增大而减小；当x ＜1时，y随x的增
人教版九年级数学上册22.1二次函数的图象和性质(一) (共16张PPT)
4.已知点A(-2,a)是抛物线y=x2上一点,
则a= 4 ,点A关于原点的对称点B是(2,-4) , -----------------
----------------
A点关于y轴的对称点C是-(---2---,--4----)------,其中点
B,C在抛物线y=x 上的是C点 2 --------------------。
5.二次函数的图象如图所示，则它的表
达式为__y__=_x__2，如果另一函数图象与
该图象关于x轴对称，那么它的表达式
是__y__=_-_x.2
6，当a<-1时,点A(a-1,y1),B(a,y2),C(a+1,y3) 在抛物线y=x2上,则y1,y2,y3的大小关系是 _y_1＞__y__2＞y3
巩固练习: 1.抛物线y=2x2的顶点坐标是_（__0，__0;） 对称轴是__y_轴___;在_对__称__轴__的_右___ 侧, y随着x的增大而增大;在对__称__轴__的__左_侧,
y随着x的增大而减小;当x= 0 时,函
数y的值最小,最小值是 0 ;抛物线 y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外).
小结 拓展
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口 向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向 下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增
复习引入
1.用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 列表→描点→连线
2.一次函数和反比例函数的图象分别是什么呢? 一次函数的图象是一条直线, 反比例函数的图象是双曲线.
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数的图象和性质课件
五、强化训练
１、二次函数的图象 y ax2 bx c 的位置（ D ） A．只与a有关 B．只与b有关 C．只与a、b有关 D．只与a、b、c有关
2、已知二次函数y 2x2 8x 6 ，当
x__＜__-_2_时，y随x的增大而增大；当x＝ __-_2____时，y有最__大___(大、小)值是 __2_____.
x
b
，2ba顶2点4坐ac4标a b是2 因（此，b抛，物4a线c 的b2对）称轴
2a
如果a＞0，开口向上
，当x＜
b2a时，随4a 的增大
2a
而 减小 ；当x＞ b 时，随的增大而 增大 ；
2a
如果a<0，开口向 下 ，当x＜ b 时，随的增大
而增大；当x＞ b
2a
时，随的增大而 减小.
2a
三、研读课文
而 增大 ； 当x＞ -1 时，随的增大而 减小.
练一练
写出下列抛物线的开口方向对称轴和顶点：
知
y 3x2 2x
识
y x2 2x
点
解：y=3x2+2x
解：y=-x2-2x
二
的开口方向向上， 的口方向向下，对
对称轴为x= 1
3
顶点坐标为
（ 1 ， 1 ）
3
3
称轴为x=-1 顶点坐标为 （ -1， 1 ）
练一练
y 2x2 8x 8
y 1 x2 4x 3
知
2
识 点 二
解：y=-2x2+8x-8
解：y= 1 x2-4x+3
的口方向向下，对称
2
的口方向向下，对称
轴为x=2
轴为x=4
顶点坐标为
顶点坐标为
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（ 4） y
1 2 x 4x 3 2
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
2 1 x顶 23 3
22 1 y顶 43 3
1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
2 y x 2x （ 2）
S＝l ( 30－l )
即 S＝－l
2
200
+30l
( 0 < l < 30 ) 100
5 10 15 20 25 30 l
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线 的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图 O 象的最高点，也就是说，当l取顶点的横 坐标时，这个函数有最大值．由公式可求 出顶点的横坐标．
S＝－l 2 +30l
y
时，y随x的增大而减小.
O
y ax 2 bx
a<0
x
b x 2a
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的
变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值． 矩形场地的周长是60m，一边长为l，
s
则另一边长为 30 l m ，场地的面积
b 因此，抛物线 y ax 2bx c 的对称轴是 x 2a b 4ac b
2
b 4ac b 2 a x 2a 4a
2
顶点坐标是
, 2a
4a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
b 4ac b 2 另 2a h, 4a ＝k
( 0 < l < 30 )
b 30 15 时， 因此，当 l 2a 2 1
4ac b 2 302 S有最大值 225 ， 4a 4 1
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax 2 bx c 的顶点是最 低（高）点，所以当 x
例如，y=2x2－8x＋12,通过配方得y=2(x－2)2＋4就 可以通过平移y=2x2得到，如演示所示 把抛物线y=2x2先向右平移2个单位， 再向上平移4个单位就得到抛物线 y=2x2－8x＋12.
8 6 4 2
－4
－2
2
4
从二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像可以看出：
y ax bx c
2 y ax bx c a 0 的图象． 画二次函数
1 2 我们来画 y x 6 x 21 的图象，并讨论一般地怎样 2
探究
我们知道，像 y ax h2 k 这样的函数的图像和性 质，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函 数
1 2 y x 6 x 21 也能化成这样的形式吗？ 2
4ac b 2 有最小（大）值 4a
b 2a
2 时，二次函数y ax bx c
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x 为何值时y的值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
2
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x顶 1 2 1
2 y顶 1 4 1
2
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1
2
观察归纳
1 2 从二次函数 y x 6 x 21 的图像可以看出： 2
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降； 在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大.
y 10
y
1 2 x 6x 2
5
O
5 x6
10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点与对称轴 y ax2 bx c
配方可得 y
1 2 由此可知，抛物线 y x 6 x 21 的顶点是（6，3），对 2 称轴是直线 x = 6
1 2 1 2 x 6 3 x 6 x 21 2 2
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x · · · 3 4 5 6 7 8 9 · · · · · ·
y ax bx c
2
第一课时
2 y ax 1.二次函数 的图像和性质： 2 y ax k 的图像和性质： 2.二次函数
3.抛物线 y a( x h)2的图像和性质： 4.抛物线 y a( x h)2 k的图像和性质： 2 2 2 y a ( x h ) k 5.抛物线 y ax k 、y a( x h) 、 2 与抛物线 y ax 有怎样的关系？
2
b 4ac b 2 a x 2a 4a
b 2a
2
y
y ax 2 bx c
如果a>0，当x<
当x>
b 2a
时，y随x的增大而减小，
O
x b 2a
a>0
x
时，y随x的增大而增大；
b 2a
如果a<0，当x< 当x>
b 2a
时，y随x的增大而增大，
配方
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b 4ac b2 y a x 2a 4a
2
所以，有y=a(x－h)2+k
因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移 得到. 当h>0时，向左平移h个单位，当h<0时，向右平移|h| 个单位， 当k>0时，向上平移k个单位，当k<0时，向下平移|k| 个单位， 就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．
y
1 2 x 6 x 21 · · · 2
y
7.5
5 3.5
3
3.5
5 7.5
y 10
1 2 x 6 x 21 2
1 2 先画出二次函数 y 2 x
5
O
5
10 x
的 图像，然后把这个图像向 右平移6个单位长度，再向 上平移3个单位长度，得到 1 二次函数 y 2 x 6 x 21