2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(一) 集合、常用逻辑用语 Word版含解析

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2018年高考数学二轮复习专题(通用版)课时跟踪检测二十三理科数学(含答案)

课时跟踪检测（二十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )。

通用版2018学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测十八数列理201802062107

课时跟踪检测（十八）数列1．(2017· 长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)． (1)若数列{b n }满足b n ＝a n －12，求证：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知得a n ＋1－12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12(n ∈N *)，从而有b n ＋1＝3b n .又b 1＝a 1－12＝1，所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得b n ＝3n －1，从而a n ＝3n －1＋12，所以S n ＝1＋12＋3＋12＋…＋3n －1＋12＝1＋3＋…＋3n －1＋n 2＝1－3n 1－3＋n 2＝3n ＋n －12.2．(2017·云南模拟)已知数列{a n }中，a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0，得(a n －n ＋2)(a n ＋n )＝0.∴a n ＝n －2或a n ＝－n .∴{a n }的通项公式为a n ＝n －2或a n ＝－n .(2)①当a n ＝n －2时，易知{a n }为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n a 1＋a n 2＝n －1＋n －2＝n n －2.②当a n ＝－n 时，易知{a n }也为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n a 1＋a n 2＝n－1－n 2＝－nn ＋2.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n n －2a n ＝n －，－n n ＋2a n ＝－n3．(2017·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5，可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5，所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)，可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)． ∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1) ＝(1－3)＋(5－7)＋…＋(4n －3－4n ＋1) ＝(－2)×n ＝－2n .4．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋d ＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1. (2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，即1S n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 5．(2018届高三·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2. 等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12. T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.6．(2017·石家庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n 2＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．解：(1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4，且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则有2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m m －2×2＝0，即a 1＝1－m ，∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4， ∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3， ∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2. 设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2，① 2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1，② ①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1 ＝2－1－2n 1－2－n ×2n －1＝2n －1－12－n ×2n －1， ∴T n ＝(n －1)×2n －1＋12(n ∈N *)．。

高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(一) 集合、常用逻辑用语 Word版含解析

课时跟踪检测（一）集合、常用逻辑用语1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．2．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：选D由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．3．(2017·合肥模拟)已知命题q：∀x∈R，x2＞0，则()A．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为假命题B．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为真命题C．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为假命题D．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为真命题解析：选D全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题．4．(2018届高三·郑州四校联考)命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是() A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.5．(2017·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．6．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选D 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，即m ∈A ，得m 2≥4，所以m ≥2或m ≤－2.7.(2017·唐山模拟)已知集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}解析：选C 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x <1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．8．(2018届高三·河北五校联考)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选C 根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，綈p 是真命题；∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan x ＝sin x cos x， ∴0<cos x <1，tan x >sin x ，∴q 为真命题，选C.9．(2017·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q ，则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.10．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，则P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}．由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．11．(2018届高三·广西五校联考)命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m ＋5＜0”，命题q ：“关于x 的方程2x －m ＝0有正实数解”，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是( )A ．[1,10]B ．(－∞，－2)∪(1,10]C ．[－2,10]D ．(－∞，－2]∪(0,10]解析：选B 若命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m ＋5＜0”为真命题，则Δ＝m 2－8m －20＞0，∴m ＜－2或m ＞10；若命题q 为真命题，则关于x 的方程m ＝2x 有正实数解，因为当x ＞0时，2x ＞1，所以m ＞1.因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，故p 真q 假或p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜－2或m ＞10，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤10，m ＞1，所以m ＜－2或1＜m ≤10.12．(2017·石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( )A ．若a ＞b ＞0，则ln a ＜ln bB ．向量a ＝(1，m )与b ＝(m,2m －1)(m ∈R)垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1” D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D A 中，因为函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数，所以若a ＞b ＞0，则ln a ＞ln b ，故A 错；B 中，若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错；C 中，命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n 0∈N *，3n 0≤(n 0＋2)·2n 0－1”，故C 错；D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )＜0”，是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)＞0，故D 正确．13．(2018届高三·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18. 答案：1或－1814．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.答案：(2，＋∞)15．(2017·广东中山一中模拟)已知非空集合A ，B 满足下列四个条件：①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}；②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A ＝________；(2)有序集合对(A ，B )的个数是________．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A ＝{6}．(2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上可知，有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.答案：(1){6} (2)3216．(2017·张掖模拟)下列说法中不正确的是________．(填序号)①若a ∈R ，则“1a ＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件；②“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件；③若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则p 是真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0”．解析：由1a ＜1，得a ＜0或a ＞1，反之，由a ＞1，得1a ＜1，∴“1a＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件，故①正确；由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题，反之，由p ∨q 为真命题，得p ，q 至少有一个为真命题，所以p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故②不正确；∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， ∴命题p 为真命题，③正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故④不正确．答案：②④。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(二十四) 函数与导数

课时跟踪检测（二十四）函数与导数1．(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋x 2＋b ，g (x )＝a ln x .(1)若f (x )在⎣⎡⎭⎫－12，1上的最大值为38，求实数b 的值； (2)若对任意的x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0时，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫23，1时，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数．∵f ⎝⎛⎭⎫－12＝38＋b ，f ⎝⎛⎭⎫23＝427＋b ， ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＞f ⎝⎛⎭⎫23. ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝38＋b ＝38，∴b ＝0. (2)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x ，∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，由于不能同时取等号，∴ln x ＜x ，即x －ln x ＞0，∴a ≤x 2－2x x －ln x(x ∈[1，e])恒成立．令h(x)＝x2－2xx－ln x，x∈[1，e]，则h′(x)＝(x－1)(x＋2－2ln x)(x－ln x)2，当x∈[1，e]时，x－1≥0，x＋2－2ln x＝x＋2(1－ln x)＞0，从而h′(x)≥0，∴函数h(x)＝x2－2xx－ln x在[1，e]上为增函数，∴h(x)min＝h(1)＝－1，∴a≤－1，故实数a的取值范围为(－∞，－1]．2．(2018届高三·合肥调研)已知函数f(x)＝e x－12ax2(x＞0，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)当a＝2时，求证：f(x)＞1；(2)是否存在正整数a，使得f′(x)≥x2ln x对一切x∈(0，＋∞)恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当a＝2时，f(x)＝e x－x2，则f′(x)＝e x－2x，令f1(x)＝f′(x)＝e x－2x，则f1′(x)＝e x－2，令f1′(x)＝0，得x＝ln 2，又0＜x＜ln 2时，f1′(x)＜0，x＞ln 2时，f1′(x)＞0，∴f1(x)＝f′(x)在x＝ln 2时取得极小值，也是最小值．∵f′(ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．∴f(x)＞f(0)＝1.(2)由已知，得f′(x)＝e x－ax，由f′(x)≥x2ln x，得e x －ax ≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立，当x ＝1时，可得a ≤e ，∴若存在，则正整数a 的值只能取1,2.下面证明当a ＝2时，不等式恒成立，设g (x )＝e x x 2－2x－ln x ，则g ′(x )＝(x －2)e x x 3＋2x 2－1x ＝(x －2)(e x －x )x 3，由(1)得e x ＞x 2＋1≥2x ＞x ，∴e x －x ＞0(x ＞0)，∴当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0；当x ＞2时，g ′(x )＞0.∴g (x )在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．∴g (x )≥g (2)＝14(e 2－4－4ln 2)＞14×(2.72－4－4ln 2)＞14(3－ln 16)＞0， ∴当a ＝2时，不等式f ′(x )≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立，故a 的最大值是2.3．(2017·安徽二校联考)已知函数f (x )＝ln x －a x －m (a ，m ∈R)在x ＝e(e 为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x 1，x 2.(1)求实数a 的值，以及实数m 的取值范围；(2)证明：ln x 1＋ln x 2＞2.解：(1)f ′(x )＝1x ·x －(ln x －a )x 2＝a ＋1－ln x x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e a ＋1，且当0＜x ＜e a ＋1时，f ′(x )＞0，当x ＞e a ＋1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在x ＝e a ＋1时取得极值，所以e a ＋1＝e ，解得a ＝0.所以f (x )＝ln x x －m (x ＞0)，f ′(x )＝1－ln x x 2，函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，f (e)＝1e－m .又x →0(x ＞0)时，f (x )→－∞；x →＋∞时，f (x )→－m ，f (x )有两个零点x 1，x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧1e －m ＞0，－m ＜0，解得0＜m ＜1e . 所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1e . (2)证明：不妨设x 1＜x 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ ln x 1＝mx 1，ln x 2＝mx 2. 则ln x 1x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 2x 1＝m (x 2－x 1)⇒m ＝ln x 2x 1x 2－x 1.欲证ln x 1＋ln x 2＞2，只需证ln x 1x 2＞2，只需证m (x 1＋x 2)＞2，即证x 1＋x 2x 2－x 1ln x 2x 1＞2. 即证1＋x 2x 1x 2x 1－1ln x 2x 1＞2，设t ＝x 2x 1＞1，则只需证ln t ＞2(t －1)t ＋1. 即证ln t －2(t －1)t ＋1＞0.记u (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t ＞1)，则u ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0. 所以u (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以u (t )＞u (1)＝0，所以原不等式成立，故ln x 1＋ln x 2＞2，得证．4．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x .(1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12·⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意；②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.令x ＝1＋12n ，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n . 从而ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <e. 而⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3.。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(七)三角函数的图象与性质含解析

课时跟踪检测（七）三角函数的图象与性质1．(2018届高三·湖北七校联考）要得到函数y＝sin错误!的图象,只需将函数y＝sin 2x的图象( ）A．向左平移π6个单位长度B．向右平移错误!个单位长度C．向左平移错误!个单位长度D．向右平移错误!个单位长度解析：选A ∵y＝sin错误!＝sin错误!，∴只需将函数y＝sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度即可得到函数y＝sin错误!的图象．2．（2017·山东高考)函数y＝错误!sin 2x＋cos 2x的最小正周期为（）A。

错误! B.错误!C．π D．2π解析：选C ∵y＝错误!sin 2x＋cos 2x＝2sin错误!，∴最小正周期T＝错误!＝π。

3．(2018届高三·石家庄摸底）已知函数f（x)＝sin错误!＋cos 2x，则f（x）的一个单调递减区间是（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析:选A f(x）＝sin错误!＋cos 2x＝错误!sin 2x＋错误!cos 2x＋cos 2x ＝错误!sin 2x＋错误!cos 2x＝错误!sin2x＋错误!.由2kπ＋错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!（k∈Z），得kπ＋错误!≤x≤kπ＋错误!(k∈Z）,所以f(x)的一个单调递减区间为错误!.4．(2017·长沙模拟）将函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位长度,所得图象对应的函数解析式为( ）A．y＝sin错误!B．y＝－cos 2xC．y＝cos 2x D．y＝sin错误!解析:选A 依题意得，y＝sin错误!＝sin错误!＝sin错误!.5.(2017·兰州模拟）函数f（x)＝sin(ωx＋φ) 错误!的部分图象如图所示,若x1，x2∈错误!，且f(x1）＝f （x2),则f(x1＋x2)＝（)A.错误!B.错误!C。

32D．1解析:选C 由图知,T2＝π2，即T＝π,则ω＝2,∵点错误!在函数f(x)的图象上，∴sin错误!＝0，即错误!＋φ＝kπ，k∈Z.又｜φ|＜π2,∴φ＝错误!，∴f（x)＝sin错误!.∵x1,x2∈－错误!，错误!，且f(x1)＝f(x2），∴错误!＝错误!，∴x1＋x2＝错误!,∴f（x1＋x2)＝sin错误!＝错误!.6．已知x＝错误!是函数f（x)＝错误!sin(2x＋φ）＋cos（2x＋φ)（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g(x）的图象，则函数g(x）在错误!上的最小值为( ) A．－2 B．－1C．－ 2 D．－错误!解析：选B ∵x＝错误!是f（x)＝2sin错误!图象的一条对称轴，∴错误!＋φ＝kπ＋错误!(k∈Z)，即φ＝错误!＋kπ(k∈Z）．∵0＜φ＜π，∴φ＝错误!，∴g(x）＝2sin错误!＝2sin错误!.又∵－错误!≤x≤错误!，∴错误!≤2x＋错误!≤错误!，∴－1≤2sin错误!≤2.∴g（x)在错误!上的最小值为－1。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(十一)直线与圆有解析

课时跟踪检测（十一）直线与圆1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 若a ≠0，则由l 1∥l 2，得a ＋11＝－a 2a ，所以2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，则l 1∥l 2.所以a 的值为－32或0.2．在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋(y －1)2＝4上存在A ，B 两点关于点P (1,2)成中心对称，则直线AB 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 由题意得圆心(0,1)与点P (1,2)的连线垂直于直线AB ，所以k AB ·2－11－0＝－1，解得k AB ＝－1.而直线AB 过点P ，所以直线AB 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.3．(2017·沈阳一模)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，又直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则其斜率为1，故直线l 的方程为x －y ＋3＝0.4．(2017·菏泽一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝112＋(－3)2＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2.5．(2017·惠州三调)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝3，即d ＝|－a |2＜3，解得－32＜a ＜3 2. 6．(2018届高三·湖北八校联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，故直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)经过圆心(1,2)，即a ＋2b ＝6.又6＝a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时取等号，故ab 的最大值为92.7．(2017·西安模拟)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x －a )2＋(y －b )2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为( )A ．2 5B ．5 2C ．4D ．8解析：选B ∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝(x ＋2)2＋(0－4)2＋(x ＋1)2＋(0－3)2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和，设点A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝(－1＋2)2＋(3＋4)2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为( )A ．－1或1B ．0或－43C ．1D ．－1解析：选A 设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2，k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝⎛⎭⎫k ＋b x 1⎝⎛⎭⎫k ＋b x 2 ＝k 2＋kb ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b 2x 1x 2＝k 2＋kb⎝⎛⎭⎫－2kb b 2－4＋b 2(1＋k 2)b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4，由k OP ·k OQ ＝k 2，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2，解得k ＝±1.12．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝3，∴|AC |2＋|BD |2＝4(4－|OP |2)＋4(4－|OQ |2)＝20.又|AC |2＋|BD |2≥2|AC |·|BD |，则|AC |·|BD |≤10， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时等号成立， ∴四边形ABCD 面积的最大值为5.故选A.13．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 14．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意得圆的半径为4，因为△ABC 是直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，即|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.答案：－115．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，由题意，设A (a ，ka )，B (2a ，2ka )，将A 点坐标代入圆C 的方程得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0. ①记AB 中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫32a ，32ka ，所以CD ⊥AB ，所以32ka 32a －3＝－1k . ②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝54，k ＝±155，可得点D 坐标为⎝⎛⎭⎫158，±3158，所以圆心C 到直线l 的距离为|CD |＝ ⎝⎛⎭⎫158－32＋⎝⎛⎭⎫31582＝364. 答案：36416．(2017·云南模拟)已知动圆C 过A (4,0)，B (0，－2)两点，圆心C 关于直线x ＋y ＝0的对称点为M ，过点M 的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意知，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C 的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝2＜5，所以点M 位于圆C 内，当点M 为线段EF 的中点(过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短)时，|EF |最小，其最小值等于2(5)2－(2)2＝2 3.答案：23。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(十五) 排列、组合与二项式定理

课时跟踪检测（十五）排列、组合与二项式定理1．(2017·宝鸡模拟)我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为( )A ．12B ．8C ．6D ．4解析：选C 由题意知除两端的2个河滩主题公园之外，从中间5个河滩主题公园中调整2个，保留3个，可以从这3个河滩主题公园的4个空中任选2个来调整，共有C 24＝6种方法．2．若⎝⎛⎭⎫9x －13x n (n ∈N *)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )A ．84B ．－252C ．252D ．－84解析：选A 由题意可得C 2n ＝36，∴n ＝9.∴⎝⎛⎭⎫9x －13x n ＝⎝⎛⎭⎫9x －13x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9·99－r ·⎝⎛⎭⎫－13r令9－3r 2＝0，得r ＝6. ∴展开式中的常数项为C 69×93×⎝⎛⎭⎫－136＝84.3．(2017·昆明一模)旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )A ．24B ．18C ．16D ．10解析：选D 第一类，甲在最后一个体验，则有A 33种方法；第二类，甲不在最后一个体验，则有A 12A 22种方法，所以小李旅游的方法共有A 33＋A 12A 22＝10种．4．(2017·西安二检)将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为( )A ．15B ．21C ．18D ．24解析：选B 分两类，第一类：两个红球分给其中一个人，有A 33种分法；第二类：白球和黄球分给一个人，有A 13种分法；第三类：白球和一个红球分给一个人，有A 33种分法；第四类：黄球和一个红球分给一个人，有A 33种分法．总共有A 33＋A 13＋A 33＋A 33＝21种分法．5．将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则n 为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 二项式的展开式为T r ＋1＝C r n (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r n ⎝⎛⎭⎫12r ，由前三项系数成等差数列得C 0n ＋C 2n ⎝⎛⎭⎫122＝2C 1n ⎝⎛⎭⎫121，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.6．(2017·西安二模)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种解析：选A 1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有C14C33＋C24C22＝10(种)．7．(2017·广州模拟)将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A．150种B．180种C．240种D．540种解析：选A先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有C35＋C15×C24·C222！＝25种方法，再将三组学生分到3所学校有A33＝6种方法，共有25×6＝150种不同的保送方法．8．(2017·成都模拟)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为()A．25 B．5C．－15 D．－20解析：选C因为(x＋1)5的展开式的通项公式为T r＋1＝C r5x5－r，令5－r＝2，得r＝3；令5－r＝1，得r＝4，所以(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为－2C35＋C45＝－15.9．(2018届高三·桂林中学摸底)从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x2 a2＋y2b2＝1中的a和b，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为() A．43 B．72C．863 D．90解析：选B在1,2,3，…，8中任取两个数作为a和b，共有A28＝56个椭圆；在9,10中取一个作为a，在1,2,3，…，8中取一个作为b，共有A12A18＝16个椭圆，由分类加法计数原理，知满足条件的椭圆的个数为56＋16＝72.10．(2018届高三·威海二中调研)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B，C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A．24种B．96种C．120种D．144种解析：选B先安排程序A，从第一步或最后一步选一个，有A12种，再把B，C看成一个整体和其余三个程序编排，有A44种，最后B，C排序，有A22种，故共有A12A44A22＝96种．11．在(2x－3y)10的展开式中，奇数项的二项式系数和与各项系数的和的比值为() A．210B．29C.1210 D.129解析：选B令x＝1，y＝1，则各项系数的和为(2－3)10＝1，因为C010＋C210＋C410＋…＋C1010＝C110＋C310＋C510＋…＋C910，C010＋C110＋C210＋C310＋C410＋C510＋…＋C910＋C1010＝210，故奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋C410＋…＋C1010＝29，故奇数项的二项式系数和与各项系数的和的比值为29.12．(2017·衡水二模)已知数列{a n}共有5项，其中a1＝0，a5＝2，且|a i＋1－a i|＝1，i＝1,2,3,4，则满足条件的数列{a n}的个数为()A．2 B．3C．4 D．6解析：选C法一：因为|a i＋1－a i|＝1，所以a i＋1－a i＝1或a i＋1－a i＝－1，即数列{a n}从前往后，相邻两项之间增加1或减少1，因为a1＝0，a5＝2，所以从a1到a5有3次增加1，有1次减少1，故数列{a n}的个数为C34＝4.法二：设b i＝a i＋1－a i，i＝1,2,3,4，∵|a i＋1－a i|＝1，∴|b i|＝1，即b i＝1或－1.a5＝a5－a4＋a4－a3＋a3－a2＋a2－a1＋a1＝b4＋b3＋b2＋b1＝2，故b i(i＝1,2,3,4)中有3个1,1个－1，故满足条件的数例{a n}的个数为C14＝4.13．(2018届高三·湖南五校联考)在(2x＋1)(x－1)5的展开式中含x3项的系数是________．(用数字作答)解析：由题易得二项式的展开式中含x 3项的系数为C 25(－1)2＋2C 35(－1)3＝－10.答案：－1014．(2018届高三·西安八校联考)已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为________．解析：依题意得2n＝32，n ＝5，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5·(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝C r 5·a r 令15－5r 6＝0，得r ＝3.由C 35·a 3＝10a 3＝80，解得a ＝2. 答案：215．(2018届高三·广西五校联考)已知n ＝∫20x 3d x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x n 的展开式中常数项为________．解析：n ＝∫20x 3d x ＝14x 4| 20＝4，二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x 4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－23x r ＝(－2)r C r 4x 4－43r ，令4－43r ＝0，则r ＝3，展开式中常数项为(－2)3C 34＝－8×4＝－32. 答案：－3216．(2017·中山模拟)由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A 28；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是A 28A 22；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是A 28A 22.故所求的四位数的个数是A 28＋A 28A 22＋A 28A 22＝280.答案：280。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(十六)概率含解析

课时跟踪检测（十六）概率1．（2017·衡水模拟）设某批产品合格率为错误!，不合格率为错误!,现对该产品进行测试，设第X次首次取到正品,则P(X＝3)等于（) A．C错误!错误!2×错误!B．C错误!错误!2×错误!C．错误!2×错误!D．错误!2×错误!解析:选C 根据题意P（X＝3）即第3次首次取到正品的概率．若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品,则P(X＝3）＝错误!2×错误!。

2．（2017·沈阳模拟）将A，B,C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：选B A，B，C，D 4名同学排成一排有A错误!＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A,C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为错误!＝错误!.3。

如图，长方形的四个顶点为O（0,0)，A（4，0）,B（4，2),C（0,2)，曲线y＝错误!经过点B,现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：选C 由题意可得，阴影部分的面积S＝错误!错误!错误!d x＝错误!x错误!错误!错误!＝错误!，故质点落在图中阴影区域的概率P＝错误!＝错误!.4．(2017·广东韶关调研）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化"校本课程学习内容,则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（)A.错误!B.错误!C。

错误! D.错误!解析：选A 从10部名著中选择2部名著的方法数为C2，10＝45，所选的2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C错误!＝21，只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C错误!×C错误!＝21，于是事件“所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著"的概率P＝错误!＝错误!.5．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2）,则函数f(x）＝x2＋2x ＋ξ不存在零点的概率为( ）A。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(六) 导数的简单应用

课时跟踪检测（六）导数的简单应用[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1．(2018届高三·江西师范大学附中调研)若⎠⎛12(x －a )d x2x d x ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选B ⎠⎛12(x －a )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－ax ⎪⎪⎪21＝32－a2x d x ＝12sin 2x⎪⎪⎪⎪π41＝12.由32－a ＝12，得a ＝1. 2．(2017·北京模拟)曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选B 因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π4.3．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x ＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞)．4．(2016·沈阳监测)由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23 D ．1解析：选B 由题意可知所求面积(如图阴影部分所示)为∫10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －13x 3| 10＝13. 5．(2018届高三·江西赣中南五校联考)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝( )A ．0B ．2C ．4D ．8解析：选A 因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4，所以f ′(2)＝2×2－4＝0.6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．0B ．－5C ．－10D ．－37解析：选D 由题意知，f ′(x )＝6x 2－12x ，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f (0)＝m ＝3，∴f (2)＝－5，f (－2)＝－37，∴最小值为－37.7．(2017·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 由题易知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2.所以当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2时，点P 的坐标为(1，－1)；当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2时，点P 的坐标为(－1,1)． 8．(2017·昆明检测)若函数f (x )＝e 2x ＋ax 在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－2，＋∞)解析：选C ∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ′(x )＝2e 2x ＋a ，∴f ′(x )＝2e 2x ＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥－2e 2x 在(0，＋∞)上恒成立，又x ∈(0，＋∞)时，－2e 2x ＜－2，∴a ≥－2.9．(2018届高三·重庆调研)若函数f(x)＝(x＋a)e x在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，0)C．(－1,0) D．[－1，＋∞)解析：选A f′(x)＝e x(x＋a＋1)，由题意，知方程e x(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1＞0，解得a＜－1.10．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()解析：选D当x＜0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＜0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减，排除A、B；当x＞0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增，排除C，故选D.11．(2017·重庆适应性考试)设函数f(x)＝e x(x－a e x)(其中e是自然对数的底数)恰有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列说法不正确的是()A．0＜a＜12B．－1＜x1＜0C．－12＜f(0)＜0 D．f(x1)＋f(x2)＞0解析：选D由题意得f′(x)＝e x(1－a e x)＋e x(x－a e x)＝e x(1＋x －2a e x)，函数f(x)的两个极值点为x1，x2(x1＜x2)，即x1，x2(x1＜x2)是方程f′(x)＝0的两个不相等的实数根，所以1＋x－2a e x＝0且a≠0，所以x ＋12a ＝e x ，设函数y ＝x ＋12a(a ≠0)，y ＝e x ，在同一坐标系中画出两个函数的大致图象如图所示，要使得两个函数图象有2个不同的交点，应满足⎩⎨⎧12a＞0，12a ＞1，解得0＜a ＜12，且－1＜x 1＜0，因为f (0)＝e 0(0－a e 0)＝－a ，所以－12＜f (0)＜0，故选D.12．已知函数f (x )＝e xx 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)解析：选A f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x ＝(x －2)⎝⎛⎭⎫e xx －k x 2(x >0)．设g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝(x －1)e xx 2，则g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e xx 与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e.13．(2017·云南模拟)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R)，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：414．(2017·太原二模)若函数f (x )＝sin x ＋ax 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝cos x ＋a ，由题意可知，f ′(x )≤0对任意的x ∈R 都成立，∴a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]15．(2017·新乡一模)设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2<x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2<0，解得2<a<6.答案：(2,6)16．(2017·金华十校联考)若函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为________．解析：函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，又f′(x)＝1x＋a，即1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即a＝2－1x在(0，＋∞)上有解，因为x＞0，所以2－1x＜2，所以实数a的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)[B级——中档小题强化练]1．(2017·开封二模)过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有()A．3条B．2条C．1条D．0条解析：选A由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x30－3x0)，那么切线的斜率为k ＝3x20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x30－6x20＋7＝0.令y＝2x30－6x20＋7，则y′＝6x20－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝7>0；x0＝2时，y＝－1<0.所以方程2x30－6x20＋7＝0有3个解．故过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有3条．2．(2018届高三·东北三校一联)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象为一条连续不断的曲线，f(1＋x)＝f(1－x)，f(1)＝a，且当0＜x＜1时，f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)＜f(x)，则f(x)在[2 015,2 016]上的最大值为()A ．aB ．0C ．－aD ．2 016解析：选C 由f (1＋x )＝f (1－x )可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，且f (x )的图象关于点(0,0)对称，所以f (x )是以4为周期的周期函数，则f (x )在[2 015,2016]上的图象与[－1,0]上的图象形状完全相同．令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ＜0(x ∈(0,1))，函数g (x )在(0,1)上单调递减，则g (x )＜g (0)＝0，所以f ′(x )＜f (x )＜0，则函数f (x )在(0,1)上单调递减．又由奇函数的性质可得f (x )在(－1,0)上也单调递减，则f (x )在[2 015，2 016]上的最大值为f (2 015)＝f (－1)＝－f (1)＝－a .3．(2017·宝鸡一检)已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋ax，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥－(2x 2＋4x )或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1＜x ＜2，则－16＜g (x )＜－6，∴a ≥－6或a ≤－16.4．(2017·广西三市联考)已知函数f (x )＝e x (x －b )(b ∈R)．若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )＞0，则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，83 B.⎝⎛⎭⎫－∞，56C.⎝⎛⎭⎫－32，56D.⎝⎛⎭⎫83，＋∞ 解析：选A 由f (x )＋xf ′(x )＞0，得[xf (x )]′＞0，设g (x )＝xf (x )＝e x (x 2－bx )，若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )＞0，则函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上存在子区间使得g ′(x )＞0成立． g ′(x )＝e x (x 2－bx )＋e x (2x －b )＝e x [x 2＋(2－b )x －b ]，设h (x )＝x 2＋(2－b )x －b ，则h (2)＞0或h ⎝⎛⎭⎫12＞0，即8－3b ＞0或54－32b ＞0，得b ＜83.5．(2017·甘肃一诊)若函数f (x )＝x 2－4e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x 2－4e x －ax ，所以f ′(x )＝2x －4e x －a .由题意，f ′(x )＝2x －4e x －a ＞0，即a ＜2x －4e x 有解．设g (x )＝2x －4e x ，则g ′(x )＝2－4e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝－ln 2.当x ∈(－∞，－ln 2)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减．所以当x ＝－ln 2时，g (x )取得最大值－2－2ln 2，所以a ＜－2－2ln 2. 答案：(－∞，－2－2ln 2)6．(2018届高三·兰州四校联考)已知f (x )＝(x ＋1)3e－x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≥g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≥g (x 1)成立，即为f (x )max ≥g (x )min .又f ′(x )＝(x ＋1)2e －x＋1(－x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝－1或2，故当x ＜2时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当x ＞2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (2)＝27e ，又g (x )min ＝a ，则a ≤27e，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，27e . 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，27e [C 级——压轴小题突破练]1．(2017·宝鸡模拟)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫22，2D.()2，3解析：选D 函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，在点(x 0，x 20)处的切线的斜率为k ＝2x 0，切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)，设切线与y ＝ln x 相切的切点为(m ，ln m )，0＜m ＜1，因为y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，所以2x 0＝1m ，切线方程为y －ln m ＝1m (x －m )，令x ＝0，可得y ＝ln m －1＝－x 20，由0＜m ＜1，可得x 0＝12m ＞12，且x 20＞1，解得x 0＞1，由m ＝12x 0，可得x 20－ln(2x 0)－1＝0，令f (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ＞1，则f ′(x )＝2x －1x ＞0，f (x )在x ＞1时单调递增，且f (2)＝2－ln 22－1＜0，f (3)＝3－ln 23－1＞0，则有x 20－ln(2x 0)－1＝0的根x 0∈(2，3)．2．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＜2f (1)的解集为( )A ．(e ，＋∞)B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝⎛⎭⎫1e ，e解析：选D f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x )，所以f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＜2f (1)可变形为f (ln x )＜f (1)．f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，因为2＋cos x ＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以f (ln x )＜f (1)等价于－1＜ln x ＜1，所以1e ＜x ＜e.。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(二十三) 圆锥曲线

课时跟踪检测（二十三）圆锥曲线1．(2018届高三·石家庄摸底)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围．解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝yx ＋4，k 2＝yx －4. 由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3.所以－20＜OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的值为－20. 综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为⎣⎡⎦⎤－20，－523. 2．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM ―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·PQ ―→＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)．由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )， OQ ―→·PF ―→＝3＋3m －tn ，OP ―→＝(m ，n )，PQ ―→＝(－3－m ，t －n )．由OP ―→·PQ ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ ―→·PF ―→＝0，即OQ ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .3．(2018届高三·西安八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和等于4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，A 为椭圆C 的左顶点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .问：以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)由椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和是42，可得2a ＝42，a ＝2 2. 又T (2，2)在椭圆上，因此4a 2＋2b 2＝1，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，所以点A 的坐标为(－22，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于E ，F 两点，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0＞0)，则点F (－x 0，－y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2，所以x 0＝221＋2k2，则y 0＝22k 1＋2k 2，所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋22)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0，得y ＝22k 1＋1＋2k2，即点M 0，22k 1＋1＋2k2.同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |.设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k . 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)．4.(2017·安徽二校联考)已知焦点为F 的抛物线C1：x 2＝2py (p ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2＝1，直线l 与抛物线相切于点P ，与圆相切于点Q .(1)当直线l 的方程为x －y －2＝0时，求抛物线C 1的方程； (2)记S 1，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求S 1S 2的最小值．解：(1)设点P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 202p ，由x 2＝2py (p ＞0)得， y ＝x 22p ，求得y ′＝xp ，因为直线PQ 的斜率为1，所以x 0p ＝1且x 0－x 202p －2＝0，解得p ＝2 2.所以抛物线C 1的方程为x 2＝42y . (2)点P 处的切线方程为y －x 202p ＝x 0p (x －x 0)，即2x 0x －2py －x 20＝0，OQ 的方程为y ＝－px 0x . 根据切线与圆相切，得|－x 20|4x 20＋4p2＝1，化简得x 40＝4x 20＋4p 2，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0x －2py －x 20＝0，y ＝－px 0x ，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0，4－x 202p .所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋x 2p 2⎪⎪⎪⎪x 0－2x 0＝ p 2＋x 20p ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0，又点F ⎝⎛⎭⎫0，p2到切线PQ 的距离 d 1＝|－p 2－x 20|4x 20＋4p2＝12x 20＋p 2，所以S 1＝12|PQ |d 1＝12·p 2＋x 20p ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0·12x 20＋p 2＝x 20＋p 24p ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0， S 2＝12|OF ||x Q |＝p 2|x 0|，而由x 40＝4x 20＋4p 2知，4p 2＝x 40－4x 20＞0，得|x 0|＞2，所以S 1S 2＝x 20＋p 24p ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0·2|x 0|p＝(x 20＋p 2)(x 20－2)2p 2＝(4x 20＋x 40－4x 20)(x 20－2)2(x 40－4x 2) ＝x 20(x 20－2)2(x 20－4)＝x 20－42＋4x 20－4＋3≥22＋3，当且仅当x 20－42＝4x 20－4时取等号，即x 20＝4＋22时取等号，此时p ＝2＋2 2.所以S 1S 2的最小值为22＋3.。

2018年高考理科数通用版二轮创新专题复习：课时跟踪检测(二十六)含答案

课时跟踪检测（二十六）一、选择题1．已知直线ax＋by＝1经过点（1,2)，则2a＋4b的最小值为（) A.错误!B．2错误!C．4 D．4错误!解析：选B 因为直线ax＋by＝1经过点（1,2)，所以a＋2b＝1，则2a＋4b≥2错误!＝2错误!＝2错误!,当且仅当a＝2b＝错误!时等号成立．2．(2018届高三·湖南五市十校联考)已知函数f（x)＝x＋sin x(x∈R)，且f（y2－2y＋3)＋f（x2－4x＋1)≤0，则当y≥1时，yx＋1的取值范围是（)A。

错误! B.错误!C．［1,3错误!－3] D。

错误!解析：选A 函数f(x）＝x＋sin x（x∈R)为奇函数，又f′（x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x）在其定义域内单调递增，则f(x2－4x＋1)≤f（－y2＋2y－3），即x2－4x＋1≤－y2＋2y－3，化简得（x－2）2＋（y－1）2≤1,当y≥1时表示的区域为上半圆及其内部，如图所示．令k＝错误!＝错误!，其几何意义为过点(－1，0)与半圆相交或相切的直线的斜率，斜率最小时直线过点（3,1），此时k min＝错误!＝错误!，斜率最大时直线刚好与半圆相切，圆心到直线的距离d＝错误!＝1(k〉0），解得k max＝错误!，故选A. 3．（2017·石家庄质检）在平面直角坐标系中，不等式组｛x＋y≤0，，x－y≤0，，x2＋y2≤r2（r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝错误!的最小值为（）A．－1 B．－错误!C。

错误!D．－错误!解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知错误!πr2＝π,解得r＝2.z＝错误!＝1＋错误!，表示可行域内的点与点P（－3，2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有错误!＝2，解得k＝－错误!或k＝0（舍去）,所以z min＝1－错误!＝－错误!，故选D。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(十九)立体几何含解析

课时跟踪检测（十九) 立体几何1。

（2018届高三·广西五校联考)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2。

（1)求证:BD⊥平面ACFE；(2）当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC。

∵AE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AE.∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE。

―→的方向为x (2）以O为坐标原点,OA，―→，OB轴，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴（向上为正方向)，建立如图所示的空间直角坐标系O。

xyz，设CF＝a，则B(0,错误!，0），D（0,－错误!，0），E（1，0,2)，F（－1，0,a)(a＞0）,错误!＝(－1,0，a)．设平面BED的法向量为n＝(x,y，z），则错误!即错误!令z＝1，则n＝(－2,0，1）,由题意得sin 45°＝｜cos<错误!,n〉|＝错误!＝错误!＝错误!，解得a＝3或a＝－错误!.由a＞0，得a＝3，错误!＝（－1,0，3),错误!＝(1，－错误!，2），∴cos〈错误!，错误!>＝错误!＝错误!,故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为错误!。

2.（2017·合肥模拟)如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD 为菱形，∠BAD＝120°,AB＝AA1＝2A1B1＝2。

（1）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B;(2）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．解：（1)证明：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴△ACD为等边三角形,又M为CD中点，∴AM⊥CD，由CD∥AB得，AM⊥AB.∵AA1⊥底面ABCD,AM⊂平面ABCD,∴AM⊥AA1.又AB∩AA1＝A，∴AM⊥平面AA1B1B。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(四) 函数的图象与性质

课时跟踪检测（四）函数的图象与性质[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x ＞0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝( )A.43 B.73 C ．4D.133解析：选D 将点(0,2)代入y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，得2＝log c 19，解得c ＝13.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y ＝ax ＋b ，解得a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＋c ＝133.2.(2018届高三·武汉调研)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝2－x 22xB ．f (x )＝cos xx 2 C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：选D A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x ＞0，x →0时，f (x )＜0，与题图不符，故不成立．选D.3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) A ．f (x )＝x 3，x ∈(－3,3) B ．f (x )＝tan x C ．f (x )＝x |x |D ．f (x )＝ln 2ee －－xx解析：选D 选项A 、B 、C 、D 对应的函数都是奇函数，但选项A 、B 、C 对应的函数在其定义域内都不是减函数，故排除A 、B 、C ；对于选项D ，因为f (x )＝ln 2ee －－xx，所以f (x )＝(e －x －e x )ln 2，由于函数g (x )＝e －x 与函数h (x )＝－e x 都是减函数，又ln 2＞0，所以函数f (x )＝(e －x －e x )ln 2是减函数，故选D.4．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]． 5．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln [x (2－x )]＝ln [－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＋ln ⎝⎛⎭⎫2－12＝ln 34， f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎫2－32＝ln 34，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C.6．函数f (x )＝cos (πx )x 2的图象大致是( )解析：选A 由题意知，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝cos (－πx )(－x )2＝cos (πx )x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，排除C 、D ；当x ＝1时，f (1)＝cos π1＝－1＜0，排除B ，故选A.7．(2018届高三·衡阳八中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72＜f (1)＜f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52＜f (1)＜f ⎝⎛⎭⎫72 解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称．又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72＞3＞52，所以f ⎝⎛⎭⎫72＜f (3)＜f ⎝⎛⎭⎫52，即f ⎝⎛⎭⎫72＜f (1)＜f ⎝⎛⎭⎫52. 8．(2017·甘肃会宁一中摸底)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－1，12 B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1]D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选A 法一：当x ≥1时，ln x ≥0，要使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a ＜12.法二：取a ＝－1，则函数f (x )的值域为R ，所以a ＝－1满足题意，排除B 、D ；取a ＝－2，则函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪[0，＋∞)，所以a ＝－2不满足题意，排除C ，故选A.9.(2018届高三·辽宁实验中学摸底)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a＞b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致为( )解析：选A由一元二次方程的解法易得(x－a)(x－b)＝0的两根为a，b，根据函数零点与方程的根的关系，可得f(x)＝(x－a)(x－b)的零点就是a，b，即函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标为a，b.观察f(x)＝(x－a)·(x－b)的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间(－2，－1)与(0,1)上，又由a＞b，可得－2＜b＜－1,0＜a＜1.函数g(x)＝a x＋b，由0＜a＜1可知其是减函数，又由－2＜b＜－1可知其图象与y轴的交点在x轴的下方，分析选项可得A符合这两点，B、C、D均不满足，故选A.10．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)解析：选C作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．11．(2017·安徽六安一中测试)已知函数y＝3－|x|3＋|x|的定义域为[a，b](a，b∈Z)，值域为[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)共有() A．6个B．7个C ．8个D ．9个解析：选B 函数y ＝3－|x |3＋|x |＝63＋|x |－1，易知函数是偶函数，x＞0时是减函数，所以函数的图象如图所示，根据图象可知，函数y＝3－|x |3＋|x |的定义域可能为[－3,0]，[－3,1]，[－3,2]，[－3,3]，[－2,3]，[－1,3]，[0,3]，共7种，所以满足条件的整数对(a ，b )共有7个．12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．13．若函数f (x )＝a －12x＋1为奇函数，则a ＝________. 解析：由题意知f (0)＝0，即a －120＋1＝0，解得a ＝12.答案：1214．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)，若f (2 017)＝k ，则f (－2 017)＝________.解析：由f (2 017)＝k 可得，a ×2 0173＋b ×2 017＋1＝k ，∴2 0173a ＋2 017b ＝k －1，∴f (－2 017)＝－a ×2 0173－b ×2 017＋1＝2－k .答案：2－k15．(2017·安徽二校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝______.解析：因为log 49＝log 23＞0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－22log 3－＝－2＝－13.答案：－1316．已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x ，且当x ∈[－3，－1]时，n ≤f (x )≤m恒成立，则m －n 的最小值是________．解析：∵当x ∈[－3，－1]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，∴n ≤f (x )min 且m ≥f (x )max ，∴m －n 的最小值是f (x )max －f (x )min ，由偶函数的图象关于y 轴对称知，当x ∈[－3，－1]时，函数的最值与x ∈[1,3]时的最值相同，又当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x ，在[1,2]上递减，在[2,3]上递增，且f (1)＞f (3)， ∴f (x )max －f (x )min ＝f (1)－f (2)＝5－4＝1. 故m －n 的最小值是1. 答案：1[B 级——中档小题强化练]1．函数f (x )＝1＋ln ⎝⎛⎭⎫x 2＋2e 的图象大致是( )解析：选D 因为f (0)＝ln 2＞0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.2．(2018届高三·东北三校联考)已知函数f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2＋1，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－∞，13 解析：选A 易知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2＋1 是增函数，∴使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 满足|2x －1|＜|x |，解得13＜x ＜1.3．(2017·潍坊一模)设函数f (x )为偶函数，且∀x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以f (x )＝f (x ＋2)，得f (x )的周期为2. 因为当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，所以当x∈[0,1]时，x＋2∈[2,3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2.又f(x)为偶函数，所以当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，f(x)＝f(－x)＝－x＋2，当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0,1]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋4，所以当x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1|.4.(2017·安庆二模)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O沿l1以1 m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t＝0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为()解析：选B法一：如图所示，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x 2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．故其对应的大致图象应为B.法二：由题意可知，当t ＝1时，圆O 在直线l2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以cos π＝－1，排除A 、D ；当t ＝12时，如图所示，易知∠BOC ＝2π3，所以cos 2π3＝－12＜0，排除C ，故选B.5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )．又f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12×12＝－12. 答案：－126．(2017·张掖模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意的实数x ，均有f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2且f (1)＝2，则f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3， ∴f (x ＋1)≤f (x )＋1，又f (x )＋3＋f (x ＋2)≥f (x ＋3)＋f (x )＋2，即f (x ＋2)＋1≥f (x ＋3)， ∴f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，利用叠加法，得f (2 017)＝2 018.答案：2 018[C 级——压轴小题突破练]1．设m ∈Z ，对于给定的实数x ，若x ∈⎝⎛⎦⎤m －12，m ＋12，则我们就把整数m 叫做距实数x 最近的整数，并把它记为{x }，现有关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12； ②函数f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤－12，12； ③函数f (x )是奇函数；④函数f (x )是周期函数，其最小正周期为1.其中，真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①∵－1－12＜－12≤－1＋12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－12＋1＝12，所以①是假命题；②令x ＝m ＋a ，m ∈Z ，a ∈⎝⎛⎦⎤－12，12，则f (x )＝x －{x }＝a ，∴f (x )∈⎝⎛⎦⎤－12，12，所以②是真命题； ③∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12－0＝12，f ⎝⎛⎭⎫－12＝12≠－f ⎝⎛⎭⎫12， ∴函数f (x )不是奇函数，故③是假命题；④∵f (x ＋1)＝(x ＋1)－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，∴函数f (x )的最小正周期为1，故④是真命题．综上，真命题的个数为2，故选B.2.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P以1 cm /s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为S ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( )解析：选A 当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，CQ ＝8－2t ，则S ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24；当4＜t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，CQ ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t ＝45(t 2－4t )；当6＜t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×CP sin ∠ACB ＝12(2t －8)(14－t )×35＝35(t －4)(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A.3．(2017·河北邯郸一中月考)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2＋|f 1(x )－f 2(x )|2，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2＞0恒成立，则b －a 的最大值为________．解析：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2＋f 1(x )－f 2(x )2＝f 1(x )；当f 1(x )＜f 2(x )时，g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2＋f 2(x )－f 1(x )2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≥f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )＜f 2(x )，即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，如图所示，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，故a ，b ∈[0,5]，所以b －a 的最大值为5.答案：54．(2017·湘中名校联考)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：因为f (x －2)是偶函数，所以函数f (x )的图象关于x ＝－2对称．又f (x )在(－∞，－2)上为增函数，则f (x )在(－2，＋∞)上为减函数，所以不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立等价于|2sin x －2＋2|＜|sin x －1－m ＋2|，即|2sin x |＜|sin x ＋1－m |，两边同时平方，得3sin 2x －2(1－m )sin x －(1－m )2＜0，即(3sin x ＋1－m )(sin x －1＋m )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3sin x ＋1－m ＞0，sin x －1＋m ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧ 3sin x ＋1－m ＜0，sin x －1＋m ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3sin x ＞m －1，sin x ＜1－m 或⎩⎪⎨⎪⎧ 3sin x ＜m －1，sin x ＞1－m ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＜－3，1－m ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＞3，1－m ＜－1，即m ＜－2或m ＞4，故m 的取值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(三) 不等式

课时跟踪检测（三）不等式1．(2018届高三·湖南四校联考)已知不等式mx 2＋nx －1m ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－12或x ＞2，则m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：选B 由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m ＜0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52.2．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a ＋4b 的最小值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选B ∵直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，∴a ＋2b ＝1，则2a ＋4b ≥22a ·22b ＝22a ＋2b＝22，当且仅当2a ＝22b ，即a ＝12，b ＝14时取等号．3．(2017·兰州模拟)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y的最小值是( )A ．5B ．7C ．8D ．23解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，对该直线进行平移，可以发现经过⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3的交点A (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值7.4．(2017·贵阳一模)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，所以x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值为4.5．(2017·云南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x －2，x ＜1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤3}解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x－2，x ＜2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x ＜2时，由22－x －2≤0，解得1≤x ＜2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．6．(2017·武汉调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：选B 根据约束条件画出可行域如图①中阴影部分所示．可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点A 处z 有最小值，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ×a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5. 当a ＝－5时，如图②，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．7．(2017·合肥二模)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－x ，设f (x )＝2x －x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g (x )＝x 2＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.8．(2017·太原一模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4] C.⎣⎡⎦⎤45，13 D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，故选C.9．(2017·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63B.233C.433D.263解析：选C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号． ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．故黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时，种植总利润最大．11．已知点M 是△ABC 内的一点，且AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，则4x ＋y xy 的最小值为( )A ．16B ．18C ．20D ．27解析：选D 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . ∵AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，∴|AB ―→|·|AC ―→|cos π6＝23，∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin π6＝14bc ＝1.∵△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，∴23＋x ＋y ＝1，即x ＋y ＝13， ∴4x ＋y xy ＝1x ＋4y ＝3(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝3⎝⎛⎭⎫1＋4＋y x ＋4xy ≥3⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝27，当且仅当y ＝2x ＝29时取等号，故4x ＋yxy 的最小值为27.12．(2017·安徽二校联考)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0] C.⎣⎡⎦⎤－15，35 D.⎣⎡⎦⎤－15，0 解析：选D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y －4＝x ，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)．要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0.13．(2018届高三·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.答案：314．(2017·石家庄模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12515．(2017·成都二诊)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a ＜|x |x 2＋2，当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号)，当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0＜24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫24，＋∞.答案：⎣⎡⎭⎫24，＋∞16．(2018届高三·福州调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ；②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的可行域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)．因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ，由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z ＝x －y ，则a ≥z min .当目标函数z ＝x －y 过点C (1,3)时，z ＝x －y 取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a ≥－2.综上可知，实数a 的取值范围为[－2,1]．答案：[－2,1]。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(二) 平面向量与复数

课时跟踪检测（二）平面向量与复数1．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2解析：选C 因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．(2017·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－23 B.23 C.38 D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38.4．(2018届高三·西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6B.π3C.π4D.3π4解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.5．(2017·湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝(±1)2＋(3)2＝2.6．(2017·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.7．(2018届高三·云南调研)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C AM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM ―→)＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝⎛⎭⎫12 AB ―→－13 AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24. 8．(2018届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝i.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→ 在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.10．(2018届高三·湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→|＝|b |＝2，|AB ―→|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC ―→2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.11．(2017·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13. 12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.13．(2017·成都模拟)若复数z ＝a i1＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.解析：因为z ＝a i1＋i ＝a i·(1－i )(1＋i )(1－i )＝a 2＋a 2i 的虚部为－1，所以a 2＝－1，解得a ＝－2.答案：－214．(2017·兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为________．解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.答案： 515．(2018届高三·石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意：x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cos π3＋λ2m 2＝⎝⎛⎭⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ·n ＋m ·n ＋m ·n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83. 答案：8316.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→·CD ―→的取值范围为________．解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1，∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )，其中0≤y ≤1，∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]；当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝－1.综上所述，DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]．答案：[－1,0]。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(二十六) 临界知识问题

课时跟踪检测（二十六）临界知识问题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎡⎦⎤x 10 B ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋510解析：选B 法一：特殊值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.法二：设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎡⎦⎤x 10，当6＜α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎡⎦⎤x 10＋1，所以选B. 2．对于定义域为R 的函数f (x )，若f (x )在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则称函数f (x )为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是( )A ．f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R)B ．f (x )＝2－|x －1|C ．f (x )＝2x －x 2D ．f (x )＝x －sin x解析：选D 因为f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R)的零点即为方程x 2＋bx －1＝0的根，所以Δ＝b 2＋4＞0，且方程x 2＋bx －1＝0有一正根一负根，故函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R)是“含界点函数”；令2－|x －1|＝0，得x ＝3或x ＝－1，故f (x )＝2－|x －1|在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，即f (x )为“含界点函数”；作出y ＝x 2和y ＝2x 的图象，可知f (x )＝2x －x 2在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，故f (x )＝2x －x 2是“含界点函数”；因为f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数，且f (0)＝0，故f (x )＝x －sin x 不是“含界点函数”． 3．下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝2x ；③y ＝x 2；④y ＝x sin x ；⑤y ＝x x 2＋x ＋1中，属于有界泛函数的序号是________．解析：当x ≠0时，①⎪⎪⎪⎪y x ＝2≤2； ④⎪⎪⎪⎪y x ＝|sin x |≤1；⑤⎪⎪⎪⎪y x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 2＋x ＋1≤43.对于②，当x ≥4时，2x≥x 2，⎪⎪⎪⎪y x ＝⎪⎪⎪⎪2xx ≥⎪⎪⎪⎪x 2x ＝|x |无界；对于③，当x ≠0时，⎪⎪⎪⎪y x ＝|x |无界．故填①④⑤. 答案：①④⑤4．对于具有相同定义域D 的函数f (x )和g (x )，若存在函数h (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数)对任给的正数x ，存在相应的x 0∈D 使得当x ∈D 且x ＞x 0时，总有x →∞时f (x )－g (x )→0，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )的“分渐近线”．给出定义域均为D ＝{x |x ＞1}的三组函数如下：①f (x )＝x 2，g (x )＝x ； ②f (x )＝10－x ＋2，g (x )＝2x －3x ； ③f (x )＝2x 2x ＋1，g (x )＝2(x －1－e －x )，其中，曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )存在“分渐近线”的是________．(填序号) 解析：f (x )和g (x )存在分渐近线的充要条件是x →∞时，f (x )－g (x )→0.对于①：f (x )＝x 2，g (x )＝x ，因为当x ＞1，x →∞时，f (x )－g (x )＝x (x x －1)→＋∞，所以①不存在；对于②：f (x )＝10－x ＋2，g (x )＝2x －3x ，因为当x ＞1，x →∞时，f (x )－g (x )＝110x ＋3x→0，所以存在分渐近线；对于③：f (x )＝2x 2x ＋1，g (x )＝2(x －1－e －x )，当x ＞1，x →∞时，f (x )－g (x )＝－21＋1x ＋2＋2e x →0，因此，存在分渐近线．故存在分渐近线的是②③. 答案：②③5．求函数f (x )＝⎣⎡⎦⎤x 15⎣⎡⎦⎤－15x ＋1(0＜x ＜100)的值域．([x ]表示不大于x 的最大整数) 解：①当0＜x ＜15时，得0＜x15＜1，则⎣⎡⎦⎤x 15＝0，f (x )＝1.②当15≤x ＜100时，－1≤－15x ＜－320，所以f (x )＝－⎣⎡⎦⎤x 15＋1，因为1≤x 15＜10015＝623，所以⎣⎡⎦⎤x 15＝1,2,3,4,5,6， f (x )＝0，－1，－2，－3，－4，－5.所以值域为{1,0，－1，－2，－3，－4，－5}．6．已知上凸函数f (x )在定义域内满足f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2.若函数y ＝sin x 在(0，π)上是上凸函数，那么在△ABC 中，求sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值．解：因为y ＝sin x 在(0，π)上是上凸函数，则13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝sin π3＝32，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤332，当且仅当sin A ＝sin B ＝sin C 时，即A ＝B ＝C ＝π3时，取等号．故sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.7．已知不等式12＋13＋…＋1n ＞12[log 2n ]，其中n 为大于2的整数，[log 2n ]表示不超过log 2n 的最大整数．设数列{a n }的各项为正，且满足a 1＝b (b ＞0)，a n ≤na n －1n ＋a n －1，n ＝2,3,4，….(1)证明a n ＜2b2＋b [log 2n ]，n ＝3,4,5，…；(2)试确定一个正整数N ，使得当n ＞N 时，对任意b ＞0，都有a n ＜15.解：(1)证明：法一：因为当n ≥2时，0＜a n ≤na n －1n ＋a n －1，所以1a n ≥n ＋a n －1na n －1＝1a n －1＋1n ，即1a n －1a n －1≥1n ，于是有1a 2－1a 1≥12，1a 3－1a 2≥13，…，1a n －1a n －1≥1n .所有不等式两边相加可得1a n －1a 1≥12＋13＋…＋1n .由已知不等式知，当n ≥3时，有1a n －1a 1＞12[log 2n ]．因为a 1＝b ，所以1a n ＞1b ＋12[log 2n ]＝2＋b [log 2n ]2b .所以a n ＜2b2＋b [log 2n ].法二：设f (n )＝12＋13＋…＋1n ，首先利用数学归纳法证不等式a n ≤b 1＋f (n )b，n ＝3,4,5，….①当n ＝3时，由a 3≤3a 23＋a 2＝33a 2＋1≤33·2＋a 12a 1＋1＝b1＋f (3)b 知不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，不等式成立，即a k ≤b1＋f (k )b ，则a k ＋1≤(k ＋1)a k(k ＋1)＋a k ＝k ＋1(k ＋1)a k ＋1≤k ＋1(k ＋1)·1＋f (k )b b ＋1＝(k ＋1)b(k ＋1)＋(k ＋1)f (k )b ＋b＝b1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫f (k )＋1k ＋1b＝b1＋f (k ＋1)b ，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②知，a n ≤b1＋f (n )b，n ＝3,4,5，….又由已知不等式得a n ＜b1＋12[log 2n ]b ＝2b 2＋b [log 2n ]，n ＝3,4,5，….(2)因为2b 2＋b [log 2n ]＜2[log 2n ]，令2[log 2n ]＜15，则有log 2n ≥[log 2n ]＞10⇒n ＞210＝1 024，故取N ＝1 024，可使当n ＞N 时，都有a n ＜15.8.如图，已知异面直线a ，b 成60°角，其公垂线段(指与a ，b 直线垂直相交的线段)EF ＝2，长为4的线段AB 的两端点A ，B 分别在直线a ，b 上运动．(1)指出AB 中点P 的轨迹所在位置； (2)求AB 中点P 的轨迹所在的曲线方程．解：(1)设EF 的中点O ，而P 为AB 的中点，故O ，P 在EF 的中垂面α上，从而P 点轨迹在EF 的中垂面α上．(2)设A ，B 在面α上的射影为C ，D ，则由AP ＝PB ＝2，AC ＝BD ＝1，得CD ＝2 3.因为a ∥OC ，b ∥OD ，所以∠COD ＝60°.在平面α内，以O 为原点，∠COD 的角平分线为x 轴的正半轴建立直角坐标系如图．设C 点的坐标为(3t 1，t 1)，D 点坐标为(3t 2，－t 2)，则P 点坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝32(t 1＋t 2)，y ＝12(t 1－t 2)，因为CD ＝23，所以[3(t 1－t 2)]2＋(t 1＋t 2)2＝12.所以x 29＋y 2＝1，故P 点轨迹在EF 的中垂面α上，且轨迹为椭圆．9．设P 为椭圆x 225＋y 216＝1长轴上一个动点，过P 点斜率为k 的直线交椭圆于A ，B 两点．若|PA |2＋|PB |2的值仅依赖于k 而与P 无关，求k 的值．解：设点P 的坐标为(a,0)，直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝t sin θ代入椭圆方程x 225＋y 216＝1得(16cos 2θ＋25sin 2θ)t 2＋32a cos θt ＋16a 2－400＝0.所以t 1＋t 2＝－32a cos θ16cos 2θ＋25sin 2θ，t 1t 2＝16a 2－40016cos 2θ＋25sin 2θ.所以|PA |2＋|PB |2＝t 21＋t 22＝(t 1＋t 2)2－2t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a cos θ16cos 2θ＋25sin 2θ2－2×16a 2－40016cos 2θ＋25sin 2θ ＝32×(16cos 2θ－25sin 2θ)a 2＋400cos 2θ＋625sin 2θ(16cos 2θ＋25sin 2θ)2.因为|PA |2＋|PB |2的值与P 无关就是与a 无关，所以16cos 2θ－25sin 2θ＝0，所以k ＝±45.10．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)直线 l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，为什么？解：(1)当m ＝0时，直线l 的斜率为0；当m ≠0时，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1＝1m ＋1m . 当m ＞0时，m ＋1m ≥2，所以0＜k ≤12；当m ＜0时，m ＋1m ≤－2，所以－12≤k ＜0.所以直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (2)法一：因为圆心C (4，－2)到直线l 的距离d ＝|4m ＋2(m 2＋1)－4m |m 2＋(m 2＋1)2＝2(m 2＋1)m 4＋3m 2＋1.若直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为120°.所以d ＝r2＝1，即2(m 2＋1)＝m 4＋3m 2＋1，化简得3m 4＋5m 2＋3＝0.而此方程无实数解，所以直线l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．法二：因为直线l 的方程可化为：(m －4)x －(m 2＋1)y ＝0，所以直线l 恒过点(4,0)，此点正好是圆C 与x 轴的切点，由几何知识可得要使直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，则直线l 的倾斜角为60°或120°，所以直线l 的斜率为±3，这与k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12矛盾，所以直线l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(十三) 算法、推理与证明

课时跟踪检测（十三）算法、推理与证明1．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)．A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：选C①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．2.(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0,0B．1,1C．0,1D．1,0解析：选D当输入x＝7时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x成立，故a＝1，输出a的值为1.当输入x＝9时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.3.(2017·惠州模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A．7B．9C ．10D ．11解析：选B 法一：i ＝1，S ＝lg 13＝－lg 3＞－1；i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5＞－1；i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7＞－1；i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9＞－1；i ＝9，S ＝lg19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11＜－1，故输出的i ＝9.法二：因为S ＝lg 13＋lg 35＋…＋lg i i ＋2＝lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg(i ＋2)＝－lg(i＋2)，当i ＝9时，S ＝－lg(9＋2)＜－lg 10＝－1，所以输出的i ＝9.4．通过圆与球的类比，由结论“半径为r 的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r 2”猜想关于球的相应结论为“半径为R 的球的内接六面体中，______”．( )A ．长方体的体积最大，最大值为2R 3B ．正方体的体积最大，最大值为3R 3C ．长方体的体积最大，最大值为43R 39D ．正方体的体积最大，最大值为83R 39解析：选D 类比可知半径为R 的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a ，正方体体对角线的长度等于球的直径，即3a ＝2R ，得a ＝2R 3，体积V ＝a 3＝83R 39.5．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧3，5，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7，9，11，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13，15，17，19，……，若m 3的“分裂”中有一个数是2 017，则m ＝( )A ．44B ．45C ．46D ．47解析：选B 由题意不难找出规律，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，……，m 增加1，累加的奇数个数便多1，易得2 017是第1 009个奇数，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＋3＋…＋(m －1)＜1 009，1＋2＋3＋…＋(m －1)＋m ≥1 009，得⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)2＜1 009，m (m ＋1)2≥1 009，又m ∈N *，所以m ＝45.6．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n也为等差数列．类比这一性质，可知若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn B ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋n －12d＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q d n ＝(c 1·c 2·…·c n )1n ＝c 1{d n }为等比数列，故选D.7．(2018届高三·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选D 根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D.8．在平面几何中，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，若四面体A -BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R ，则四面体的体积为( )A.13(S 1＋S 2＋S 3)R B.14(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R 2 C.13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R 2 D.13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R 解析：选D 三角形面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径，二维图形中的12类比为三维图形中的13，从而得出结论．所以V A -BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R . 9．(2017·成都模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 017次操作后得到的数是( )A ．25B ．250C ．55D ．133解析：选D 由规定：第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，…，故操作得到的数值周期出现，且周期为3.又2 017＝3×672＋1，相当于操作了1次，故选D.10．定义运算a ⊗b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－1解析：选A 由程序框图可知，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a －b )，a ≥b ，b (a ＋1)，a <b ，因为2cos 5π3＝1,2tan 5π4＝2,1<2，所以⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4＝2(1＋1)＝4.11．(2018届高三·西安八校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 014?B ．i ≤2 016?C ．i ≤2 018?D ．i ≤2 020?解析：选B 依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋12，i ＝4；…；S ＝0＋12＋14＋…＋12 014＋12 016，i ＝2 018，输出的S ＝12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016，所以题中的判断框内应填入的是“i ≤2016”．12．(2018届高三·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选B 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．13．(2018届高三·安溪三校联考)已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a >1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立．解析：对于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22成立．答案：sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 2214．(2017·合肥模拟)观察下列等式： S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝An 6＋12n 5＋512n 4＋Bn 2，…可以推测，A －B ＝________.解析：由S 1，S 2，S 3，S 4，S 5的特征，推测A ＝16.又S k 的各项系数的和为1，∴A ＋12＋512＋B ＝1，∴B ＝－112.故推测A －B ＝16＋112＝14.答案：1415．(2017·江西师大附中期末考试)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义： ω＝sin 2(a 1－a 0)＋sin 2(a 2－a 0)＋…＋sin 2(a n －a 0)n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为________．解析：由题意，得集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为ω＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫5π6－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫7π6－a 03.即3ω＝cos 2a 0＋1－cos ⎝⎛⎭⎫5π3－2a 02＋1－cos ⎝⎛⎭⎫7π3－2a 02，所以6ω＝2cos 2a 0＋1－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2a 0＋1－cos π3－2a 0，即6ω＝2cos 2a 0＋2－2cos π3cos 2a 0，所以6ω＝2cos 2a 0＋2－(2cos 2a 0－1)，于是ω＝12.答案：1216．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．解析：S ＝sin1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2 017×π3＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3×336＋sin 1×π3＝32. 答案：32。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(二十五) 创新应用问题 Word版含解析

课时跟踪检测（二十五）创新应用问题．(·大连二模)定义运算：＝(\\(，≥，，＜，))例如：＝，(－)＝，则函数()＝(－)的最大值为( )．．．．解析：选由题意可得()＝(－)＝(\\(，≤≤，－，＞或＜，))当≤≤时，()∈[]；当＞或＜时，()∈(－∞，)．综上可得函数()的最大值为.．朱载堉(—)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为.则＝( )．解析：选设个音的频率所成的等比数列{}的公比为，则依题意，有＝·＝，所以＝，所以＝＝＝＝.．(·宜昌三模)已知甲、乙两车间的月产值在年月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到年月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间年月份月产值的大小，则( )．甲车间大于乙车间．甲车间等于乙车间．甲车间小于乙车间．不确定解析：选设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为，甲、乙两车间的月产值在年月份均为，则由题意得＋＝×(＋).①月份甲车间的月产值为＋月份乙车间的月产值为×(＋)，由①知，(＋)＝＋，即月份乙车间的月产值为＝，∵(＋)－(＋)＝＞，∴＋＞，即月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值．.如图，某广场要规划一矩形区域，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有宽的走道，已知三块绿化区的总面积为，则该矩形区域占地面积的最小值为( ) ．．．．解析：选设绿化区域小矩形的宽为，长为，则＝，∴＝，故矩形区域的面积＝(＋)(＋)＝(＋)＝＋＋≥＋)＝，当且仅当＝，即＝时取“＝”，∴矩形区域的面积的最小值为 .．已知函数＝()(∈)，对函数＝()(∈)，定义()关于()的“对称函数”为函数＝()(∈)，＝()满足：对任意的∈，两个点(，())，(，())关于点(，())对称．若()是()＝关于()＝＋的“对称函数”，且()＞()恒成立，则实数的取值范围是．解析：根据“对称函数”的定义可知，＝＋，即()＝＋－，()＞()恒成立，等价于＋－＞，即＋＞恒成立，设()＝＋，()＝，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离＝＝＝，即＝，∴＝或＝－(舍去)，即要使()＞()恒成立，则＞，即实数的取值范围是(，＋∞)．答案：(，＋∞)．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰的高度，立两根高均为丈的标杆和，前后标杆相距步，使后标杆杆脚与前标杆杆脚与山峰脚在同一直线上，从前标杆杆脚退行步到，人眼著地观测到岛峰，，，三点共线，从后标杆杆脚退行步到，人眼著地观测到岛峰，，，三点也共线，问岛峰的高度＝步．(古制：步＝尺，里＝丈＝尺＝步)解析：如图所示，由题意知＝＝步，＝步，＝步，设＝步，因为∥，所以△∽△，所以＝，所以＝，即＝.因为∥，所以△∽△，所以＝，所以＝，即＝，由题意(－)－(－)＝，即－－＝，＝，即＝步．答案：．对于定义在区间上的函数()，若存在闭区间[，]⊆和常数，使得对任意∈[，]，都有()＝，且对任意∈，当∉[，]时，()＜恒成立，则称函数()为区间上的“平顶型”函数．给出下列结论：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(十八)数列有解析

课时跟踪检测（十八）数列1．(2017· 长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)． (1)若数列{b n }满足b n ＝a n －12，求证：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知得a n ＋1－12＝3⎝⎛⎭⎫a n －12(n ∈N *)，从而有b n ＋1＝3b n .又b 1＝a 1－12＝1，所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得b n ＝3n －1，从而a n ＝3n －1＋12，所以S n ＝1＋12＋3＋12＋…＋3n －1＋12＝1＋3＋…＋3n －1＋n 2＝1－3n 1－3＋n 2＝3n ＋n －12. 2．(2017·云南模拟)已知数列{a n }中，a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0，得(a n －n ＋2)(a n ＋n )＝0.∴a n ＝n －2或a n ＝－n .∴{a n }的通项公式为a n ＝n －2或a n ＝－n .(2)①当a n ＝n －2时，易知{a n }为等差数列，且a 1＝－1，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－1＋n －2)2＝n (n －3)2. ②当a n ＝－n 时，易知{a n }也为等差数列，且a 1＝－1，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－1－n )2＝－n (n ＋1)2. 故S n ＝⎩⎨⎧ n (n－3)2(a n ＝n －2)，－n (n ＋1)2(a n ＝－n ).3．(2017·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5，可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5，所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)，可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)．∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1)＝(1－3)＋(5－7)＋…＋(4n －3－4n ＋1)＝(－2)×n ＝－2n .4．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q (2＋d )＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，即1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 5．(2018届高三·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3，b n ＝3n －1. 数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12. T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.6．(2017·石家庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n 2＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．解：(1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4，且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则有2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m (m －1)2×2＝0，即a 1＝1－m ，∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4， ∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3， ∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2. 设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2，① 2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1，② ①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1 ＝2－1(1－2n )1－2－n ×2n －1 ＝2n －1－12－n ×2n －1， ∴T n ＝(n －1)×2n －1＋12(n ∈N *)．。