长春三模文科数学命题双向细目表
吉林省吉林市高三第三次模拟考试数学文含答案.doc
吉林市普通中学高中毕业班下学期期末教学质量检测数学（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题〜第24题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。
第I卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A={1,2,3,4},/?={X|X =G EW A}，则 =A. {1,2}B. {1,4}C. {2,3}D. {9,16}2. 设i为虚数单位，复数岁在复平面上对应的点在A.第一象限B.第二象限C. 第三象限D.第四象限3. 下列命题中，说法错误的是• •A. “若p ,则g"的否命题是：“若「p ,贝fB. “ Vx>2, x2 -2x> 0"的否定是：“岂丫5 2, x2 -2x<0"J “ p /\q是真命题"是"p 7 q是真命题"的充分不必要条件D. 若“b = （）,则函数f（x） = ax2+bx + c是偶函数〃的的逆命题是真命题A. 10B. 18C. 20D. 284. 在等差数列{色}中，已知色+禺=10,贝i]3a5+ci7=（）5. 某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数y （人）与月平均气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4个月的月患病(感冒)人数与当月平均气温，其数据如下表:月平均气温x(°C) 17. 13 8 2月患病y (人)243340 55由表中数据算出线性回归方程y = bx + a 中的b 二- 2 ,气象部门预测下个月的平均气温约 为6°C,据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为A. 38B. 40C. 46D. 58 6.函数的值域为[1,+-),则/(一4)与/⑴的关系是A./(-4)>/(DB. /(-4) = /(I)C. /(-4) < /(I)D.不能确定7. 已知向量： = ("),& = (2,2),且：+ &与：共线,那么：•方的值为 A ・1B ・2C. 3D ・4沖18. 已知实数兀,y 满足y<2x-l ,如果目标函数z =兀-丿的最小值为-2,则实数加的x + y<m值为A ・ 0B ・2C ・4D ・89.已知实数xw[l,10],执行如图所示的流程图,4 9]_32 5 310则输出的x 不小于63的概率为A. B.C. D.10. 如图，正方体ABCD ・£BCD \中，E, F 分别为棱AB , CC|的中点，在平面ADD }A }内且与平面平行的直线A. 有无数条B. 有2条C. 有1条D.不存在11. 对于下列命题：①在AABC 中，若sin2A = sin2B,则\ABC 为等腰三角形;7T②在AABC 中，角A.B.C 的对边分别为cibc,若Q = 4/ = 10,A = —,则AABC 有6两组解;一 叽 .2014龙 , 2014龙 2014龙 niI , ③ 设a = sm ----------- , b = cos ------------ , c = tan ------------- ,贝U ^ < /? < c ；333④ 将函数y = sin(3x + 一)的图像向左平移个一单位，得到函数y = cos(3x + -)的图 46•4像.其中正确命题的个数是曲线的一条渐近线恰是线段P 济的中垂线，则该双曲线的离心率是A- V2B. >/3C. 2D. V5第II 卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)
高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin210°的值为（）A. B. - C. D. -2.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A. {-1，0，1，2}B. {-1，0，1}C. {0，1，2}D. {0，1}3.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 7205.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S5=（）A. 0B. 10C. 15D. 306.已知、是两个单位向量，且夹角为，则（-2）•（-2+）=（）A. B. C. D.7.若，b=0.43，c=ln3，则a、b、c的大小关系是（）A. a＜c＜bB. a＜b＜cC. c＜b＜aD. b＜c＜a8.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A. m∥n，m⊂α，n⊂βB. m∥n，m⊥α，n⊥βC. m⊥n，m∥α，n∥βD. m⊥n，m⊥α，n⊥β9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012-2013年研发投入占营收比增量相比2017-2018年增量大B. 该企业连续12年研发投入逐年增加C. 2015-2016年研发投入增值最大D. 该企业连续12年研发投入占营收比逐年增加10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.11.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为4，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A. B. 8 C. D.12.已如函数f（x）=，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（）A. [2，+∞）B. （-∞，2]C. （2，+∞）D. （-∞，2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数的最小正周期为π，则ω=______，若，则sin2α=______．14.已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为______．15.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为.其中正确的序号为_______.16.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=（n∈N*），则=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AB=6，．（1）若，求△ABC的面积；（2）若点D在BC边上且BD=2DC，AD=BD，求BC的长．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．19.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）当四棱锥P-ABCE体积最大时，求点C到平面PAB的距离．20.已知函数f（x）=+a ln x（a＞0）．（Ⅰ）若函数y=f（x）图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2有解，求a的取值范围．21.如图所示，椭圆离心率为，B1、B2是椭圆C的短轴端点，且B1到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1、B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求++的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-．故选：B．所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】D【解析】解：集合A={-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B={0，1}，故选：D．找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选A．4.【答案】B【解析】解：由已知中N=4，第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，故输出的p值是24故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算p值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：数列{a n}为等差数列，且a2=4，a4=2，所以由a2+a4=2a3，得a3=3，∴S5==5a3=5×3=15，故选：C．由a2+a4=2a3，再根据S5于a3的关系，可得．本题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，为基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平面向量．向量的数量积的应用，是基本知识的考查．利用平面向量的数量积的运算法则求解即可．【解答】解：、是两个单位向量，且夹角为，则（-2）•（-2+）==-4+5×=-．故选：A．7.【答案】B【解析】解：因为∈（-∞，0），b=0.43∈（0，1），c=ln3∈（1，+∞），所以a＜b＜c，故选：B．由对数值的运算及比较大小得：因为∈（-∞，0），b=0.43∈（0，1），c=ln3∈（1，+∞），所以a＜b＜c，得解本题考查了对数值的运算及比较大小，属简单题8.【答案】B【解析】解：对于A，若α∩β=l，m∥l，n∥l，显然条件成立，但α，β不平行，故A错误；对于B，由m∥n，m⊥α可得n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故B正确；对于C，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α，β可能平行，可能相交，故C错误；对于D，m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D错误．故选：B．根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明．本题主要考查空间直线与平面位置关系，属于基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查折线统计图与条形统计图，属于基础题．根据图形给出的信息，分析判断即可．【解答】解：从研发投入占营收比（图中的折线）可知，2008～2009年的研发投入占营收比有所下降，并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错误．故选D．10.【答案】A【解析】解：函数f（-x）==-=-f（x）则函数为奇函数，可排除C，D，由4x2-1≠0得x2≠，得x≠±，当x=1时，f（1）==＞0，排除B．故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由|PO|=|PB，|知|PA|+|PO|的最小值为|AB|，由此能求出结果．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，∵|AF|=4，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为2，∵点A在抛物线上，∴不妨取A的坐标A（2，4）∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，0），∴|PO|=|PB|，∴|PA|+|PO|的最小值：|AB|==2．故选A．12.【答案】C【解析】解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1．因为当x1和x2都＞1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，∴x1，x2不可能同时＞1．而x1≠x2，∴x1＜1＜x2，∴f（x1）+f（x2）=3x1-2+1+ln x2=3x1+ln x2-1，∵f（x1）+f（x2）=2，∴3x1+ln x2-1=2，∴，∴=，（x2＞1）．构造函数，（x＞1）．则．∵x＞1，∴3x＞3，∴，∴，∴．∴g′（x）＞0．∴g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数．∴g（x）min=g（1）=2．∴g（x）＞2．∴x1+x2＞2．故选：C．本题可现根据题意及画出的分段函数的图象确定出x1＜1＜x2，然后可将f（x1）和f（x2）代入到确定的表达式，得到x1和x2的关系式，再用x2表示x1，则可只用x2表达x1+x2，再构造函数g（x）与x1+x2的表达式一致，通过求导方法判断出g（x）的值域即可得到x1+x2的取值范围．本题主要考查函数与导数的相关知识，以及通过构造函数并求导确定该函数的单调性求二元函数的函数取值问题．本题属中档题．13.【答案】2【解析】解：由周期公式，可得ω=2，由得，，所以，平方得，∴，故答案为：2；-．由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得s in2α的值．本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：由题意可得点OA=OB=2，AC=5设双曲线的标准方程是．则2c=4，c=2则2a=AC-BC=5-3=2，所以a=1．所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．由题意可得点A，B，C的坐标，设出双曲线的标准方程，根据题意知2a=AC-BC，求得a，进而求得c，则双曲线的离心率可得．本题主要考查了双曲线的性质的简单应用，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题．15.【答案】①②④【解析】【分析】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，然后逐一分析四个命题得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为，故②正确；由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4π×=24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④．故答案为：①②④．16.【答案】n2【解析】解：由a n+1=，得，即，∴数列{}是以为首项，以2为公差的等差数列，则=．故答案为：．把已知数列递推式变形，可得，则数列{}是以为首项，以2为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．17.【答案】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：，所以sin C=1，，所以，所以．（6分）（2）设DC=x，则BD=2x，由余弦定理可得解得：所以．（12分）【解析】（1）通过正弦定理求出BC，然后求解三角形的面积．（2）设出DC，然后通过余弦定理转化求解即可．本题考查解三角形的相关知识．正弦定理以及余弦定理的应用．18.【答案】解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的人数为200×=60（人），……..（2分）估计第二车间生产时间小于75min的人数为400×（0.025+0.05）×10=300（人）；……………………．（4分）（II）第一车间生产时间平均值约为=×（60×2+70×4+80×10+90×4）=78（min），……………………………．（5分）第二车间生产时间平均值约为=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5（min）；…………………………..（6分）∵＞，∴第二车间工人生产效率更高；………………………………..（8分）（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，分别用A1、A2代表生产时间小于65min的工人，用B1、B2、B3、B4代表生产时间大于或等于65min，且小于75min的工人；抽取2人基本事件空间为Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}共15个基本事件；……………………………………………..（9分）设事件A=“2人中至少1人生产时间小于65min”，则事件A={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）}共9个基本事件；………………………………………………（10分）∴P（A）==．……………………………………………………（12分）【解析】（I）根据频率分布直方图和频率分布表计算第一、第二车间生产时间小于75min 的人数；（II）分别计算第一、第二车间生产时间平均值，比较大小即可；（III）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．19.【答案】（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，∵AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C=∠ADE=，∠DAB=∠ABC=，∴在等腰ADB中，∠ADB=∠ABD=，∴∠DBC=-=，即BD⊥BC，∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB=O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（Ⅱ）设点C到平面PAB的距离为d，由题意得，OP⊥平面ABCE时，四棱锥P-ABCE体积最大，∵OP=OB=，∴PB=，∵AP=AB=1，∴S△PAB==，S△ABC==，∴V P-ABC==，又V P-ABC=V C-PAB==，∴d=．【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中连接BD，交AE于点O，证明BD⊥AE即可得出翻折后AE⊥平面POB，从而AE⊥PB；（Ⅱ）根据V P-ABC=V C-PAB列方程求出点C到平面PAB的距离．20.【答案】解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（0，+），f′（x）==，∵a＞0,∴当时，f′（x）取最大值，∴，∵a＞0，∴a=4，∴f′（x）=，当（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极小值点为x=，无极大值点．（Ⅱ）∵f′（x）=，其中x＞0且a＞0，∴当（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）≥f（）=a+a ln．∵关于x的不等式f（x）＜2有解，∴a+a ln＜2，∵a＞0，∴＜0，令g（x）=ln x+1-x，∴g′（x）=，当（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，∴＜0等价于＞0且．∴a的取值范围是a＞0且a≠2．【解析】本题考查利用导数求函数的单调性与极值，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是较难题．（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到当时，f′（x）取最大值，由求得a值，代入函数解析式，分析单调性，进一步得到极值点．（Ⅱ）求出原函数的导函数，分析单调性，得到f（x）≥f（）=a+a ln，把关于x的不等式f（x）＜2有解转化为a+a ln＜2，即＜0，再由g（x）=ln x+1-x的单调性得到g（x）≤g（1）=0，则＜0等价于＞0且，由此求得a的取值范围．21.【答案】解：（1）∵，∴，又，且a2=b2+c2，∴a2=18，b2=9，因此椭圆C的方程为．（2）法一：设M（x0，y0）（x0≠0），N（x1，y1），∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，∴直线NB1：……①直线NB2：……②由①，②解得：，又∵，∴，四边形MB2NB1的面积，∵，∴当时，S的最大值为．法二：设直线MB1：y=kx-3（k≠0），则直线NB1：……①直线MB1与椭圆C：的交点M的坐标为，则直线MB2的斜率为，∴直线NB2：y=2kx+3……②由①，②解得N点的横坐标为，因此四边形MB2NB1的面积，当且仅当时，S取得最大值．【解析】（1）利用离心率为，a=3且a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）方法一：设M（x0，y0），N（x1，y1），分别求出直线NB1和直线NB2的方程，即可求出x1和x0的关系，表示四边形ABF2F1面积，即可求出面积的最大值，方法二：设直线MB1：y=kx-3（k≠0），则直线NB1：，分别与椭圆联立，求出M，N的坐标，表示四边形ABF2F1面积，根据不等式，即可求出面积的最大值，本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计算，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为，即（t为参数）．………………………………………（2分）设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）．……………………………………………（5分）（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，……………………………（7分）即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-3，………………（9分）∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．………………………………………（10分）【解析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ=4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）≤4⇔或或，解得-≤x≤2，故不等式f（x）≤4的解集为{x|-≤x≤2}（Ⅱ）∵f（x）=，∴f（x）min=，即m=，又a，b，c∈R+且a+b+c=，z则2a+2b+2c=1，设x=，y=，z=，∵x2+y2≥2xy，2xy≤x2+y2=2a+1+2b+1=2a+2b+2，同理：2yz≤2a+2c+2，2xz≤2c+2a+2，∴2xy+2yz+2xz≤2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2=8，∴（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz≤2a+1+2b+1+2c+1+8=12，∴x+y+z≤2，即++≤2，当且仅当a=b=c=时，取得最大值2．【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等式，在相并；（Ⅱ）先求得m=，再设x=，y=，z=，然后利用重要不等式以及不要等式的性质可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届吉林省长春市高三质量监测（三）（三模）数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}21A x x =≤，{}lg 1B x x =≤，则A B =I （ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1C ．()0,1D ．[]1,10-答案：B先分别计算集合A 和B ，再计算A B I 解：{}{}21=-11A x x x x =≤≤≤ {}{}lg 1010B x x x x =≤=<≤ {}01A B x x ⋂=<≤故答案选B 点评：本题考查了集合的运算，属于简单题型.2．已知向量,a b r r 满足a =r （2，1），b =r （1，y ），且a b ⊥r r，则2a b +r r ＝（ ）A B ．C ．5D ．4答案：C根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 解：根据题意，a =r （2，1），b =r （1，y ），且a b ⊥r r ，则有a b ⋅=r r 2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，即b =r（1，﹣2），则2a b +=r r（4，﹣3），故2a b +=r r =5；故选：C 点评：本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.3．已知复数z 满足（1+i ）2•z ＝1﹣i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B利用复数除法运算求得z，由此求得z，进而求得z对应点的坐标及其所在象限. 解：由（1+i）2•z＝1﹣i，得z()()2211111(1)2222i ii iii i i----====--+-，则1122z i=-+，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（12-，12），位于第二象限．故选：B点评：本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x y+的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10答案：B对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，又乙班学生的平均分是86，总分等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，可得x+y＝8．故选：B．点评：本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x ，y 的值，进而得到x +y 的值．5．等比数列{a n }中，a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，则a 3•a 9等于（ ） A ．﹣3 B ．3C ．﹣4D ．4答案：B根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得39a a ⋅的值. 解：∵a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，∴a 5、a 7是方程x 2﹣4x +3＝0的两个根， ∴a 5•a 7＝3，由等比数列的性质可得：a 3•a 9＝a 5•a 7＝3． 故选：B 点评：本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.6．函数3()x xx f x e e-=-的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．答案：B根据解析式求得函数奇偶性，以及()1f 即可容易求得结果. 解：因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3x xx f x f x e e--==-，故()f x 为偶函数，排除C ，D ，验算特值11(1)=0f e e-<-，排除A,故选：B 点评：本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题.7．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥r r的一个充分条件是（ ）A ．,//,a b αβαβ⊥⊥B ．,,//a b αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥答案：C根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出a b ⊥r r成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案. 解：A. 由,//,a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（1），所以不正确.B. 由,,//a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（2），所以不正确.C. 由,//b βαβ⊥，可得b α⊥，又,a α⊂所以有a b ⊥r r，所以正确. D. 由,//,a b αβαβ⊂⊥，如图（3），所以不正确. 故选：C点评：本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和空间想象能力，属于基础题.8．已知直线y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．566k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， B ．51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，C ．51166k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， D ．511612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， 答案：B根据周期求得ω，再根据单调区间的求法，求得()f x 的单调区间. 解：∵y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T ＝2，即2πω=2，得ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x 3π-），由2k π2π-≤2x 3π-≤2k π2π+，k ∈Z ，得k π12π-≤x ≤k π512π+，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[k π12π-，k π512π+]，k∈Z ， 故选：B 点评：本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题.9．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f （﹣4）＝0，则使得xf （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，4）B ．（﹣4，0）∪（0，4）C ．（0，4）∪（4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）答案：D根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式()x f x ⋅的解集. 解：∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f （x ）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f （﹣4）＝0，∴f （4）＝0，由xf （x ）＞0，得()00x f x ⎧⎨⎩＞＞或()00x f x ⎧⎨⎩＜＜，∴x ＞4或x ＜﹣4．∴x 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D 点评：本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.10．若函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C ．[﹣1，0）D ．[0，+∞）答案：B根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 解：当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B 点评：本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.11．已知双曲线2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）与椭圆22182x y +=1有相同焦点F 1，F 2，离心率为43．若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为12，N 为线段MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．23答案：B根据双曲线的定义求得NO 的表达式，根据椭圆方程求得双曲线的c ，结合双曲线的离心率求得a ，由此求得NO 的值. 解：如图，∵N 为线段MF 2的中点，∴|NO |12=|MF 1|12=（|MF 2|﹣2a ）＝6﹣a ，∵双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为 e 43=，∴43c a =，∵椭圆22182x y +=1与双曲线2222x y a b-=1的焦点相同，∴。
吉林省长春市2021届高三数学(文)4月三模试题(Word版附答案)(文件编号：21041455)
长春市2021届高三质量监测（三)文科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1.已知集合{0,1,2,4},{|2,}n A B x x n A ===∈，则A B =A. {1,2}B. {1,4}C. {2,4}D. {1,2,4} 2.已知复数(12i)i (i z =-⋅为虚数单位），则复数z 的虚部是A. 1B. 1-C. 2D. 2-3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =-，则4a 的值为A. 7B. 13C. 28D. 36 4.下列函数中，周期为π，且在区间(,)2ππ单调递增的是A. |sin |y x =B. tan 2y x =C. cos 2y x =D. sin 2y x = 5.已知向量,a b 满足||1||21==⋅=-，，a b a b ，则|2|-=a bA. 2B. 22C. 23D. 25 6.设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，则下列说法正确的是 A. 若//,a b αα⊂ ，则//a b B. 若//,//a b a α ，则//b α C. 若,//a a αβ⊥，则αβ⊥ D. 若,a a b α⊥⊥，则//b α 7.曲线ln y x x =在x e =处的切线方程为A. y x =B. 2y x e =-C. y ex e =-D. 2y ex e e =-+8.右图是某多面体的三视图，其俯视图为等腰直角三角形，则该多面体各面中，最大面的面积为 A.52 B. 62C. 2D. 29.某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是A. 1B. 2C. 5D. 610.已知直线:240l ax by ++=被圆22:5C x y +=截得弦长为2，则ab 的最大值为A.5B. 2C. 3D. 111.已知函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪-⎩≥，若方程()f x k =有且仅有两个不等实根，则实数k 的取值范围是A. 13k <<B. 13k <≤C. 03k <<D. 3k <12.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家.根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线,AC BD （如图)，且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为A.34 B. 74 C. 916D. 32二、填空题:本题共4小题，每小题5分.13.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点(2,1)-在终边上，则cos2α= .14.根据事实222211132;1355;3;1374;=+=++=+++=……，写出一个含有量词的全称命题： .15.已知双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，O 为坐标原点，且21tan 3PF O ∠=，则双曲线的离心率为 .16.△ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2sin sin()23sin sin 2Ba C A C c A +=,则角B 的值为 ；若6a c +=，△ABC 的面积为23，则边长b 的值为 .三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.（本小题满分12分)已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足33117,2S a a ==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ）设2log n n n b a a =-，求数列{}n b 前n 项和为n T .18.(本小题满分12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，特别在疫情期间，电子商务更被群众广泛认可，2020年双11期间，某平台的销售业绩高达3568亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次.(Ⅰ)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?(Ⅱ）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.(本小题满分12分)如图，三棱锥-P ABC 的底面ABC 和侧面PAB 都是边长为4的等边三角形,且平面PAB ⊥平面ABC ，点E 为线段PA 中点，O 为AB 中点,点F 为AB 上的动点. (I)若//PO 平面CEF ，求线段AF 的长;(II ）在(I)条件下，求三棱锥-E ACF 与四棱锥-C BPEF 的体积之比.20.(本小题满分12分)设函数1(),()ln +.x e f x g x x x x== (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)设函数()()()F x f x ag x =-是增函数，求实数a 的值.21.（本小题满分12分)已知椭圆222: 1 (2x y C a a +=>的右焦点为F ，A 、B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，△ABF 1.( I )求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)过点F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，直线AP 、AQ 分别与直线x =M 、N ．证明：FM FN ⊥.(二）选考题:共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，曲线1C 与2C 相交于,A B 两点.(I)求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程; (Ⅱ）求点(1,1)M -到,A B 两点的距离之和. 23.(本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 (I)求|21||4<23|x x -+-的解集M ;(II)在(Ⅰ)条件下，设,,a b c M ∈，证明:(2),(2),(2)a b b c c a ---不能都大于1.长春市普通高中2021届高三质量监测（三）数学(文科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.【答案】D 【解析】:{|2,}{1,2,4,16}:.{1,2,4}nB x x n A A B ==∈==2.【答案】A 【解析】(12)2z i i i =-=+∴虚部为1.3.【答案】B 【解析】443=13a S S -=4.【答案】C 【解析】由三角函数图象及性质（周期、单调性）可得5.【答案】C 【解析】2223|2|4412|2|2-=+-⋅=⇒-=a b a b a b a b .6.【答案】C 【解析】对于A:,a b 可能异面；对于B ：b 可能在面α内；对于D ：b 可能在面α内。
2025届吉林省长春市十一高中高考数学三模试卷含解析
2025届吉林省长春市十一高中高考数学三模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20172．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<3．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤4．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=5．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)[5,)+∞B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]57．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．33y x =± C ．2y x =± D ．12y x =±9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408B ．120C ．156D ．24011．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省长春市高考数学三模试卷文科解析版
2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1 •已知复数z=1+2i ，则|「』=（ ）A. 5B. 5+4iC.— 3 D . 3-4i2•已知集合 A={x|x 2-2x - 3V 0}，B={x|| x| V 2}则 A H B=（）A. {x| — 2V x v 2}B. {x| — 2V x v 3}C. {x| — 1V x v 3}D. {x| — 1v x v 2} 3.设a ，b 均为实数，则“A |b|”是“3i >b 3”—)A .充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 直线x — 3y+3=0与圆（x — 1） 2+ （y — 3） 2=10相交所得弦长为（ ） A.-.1 B.C. 4 ■■:D. 3. ■:5. 下列命题中错误的是（C. 如果平面a 丄平面B 那么平面a 内所有直线都垂直于平面 B D. 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交°：」| ，A.— 4 B. 4 C. — 2 D . 27. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（Z zd 2rA .如果平面a 外的直线a 不平行于平面 a 内不存在与a 平行的直线B.如果平面 a 丄平面丫，平面B 丄平面 Y aH B =l 那么直线I 丄平面丫 6.在平面内的动点（x, y ）满足不等式 则z=2x+y 的最大值是（）I? 4 SA. 4 B•旨辽D. T8. 某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作a i （i=1，2，…，24），若成绩小于为达标，则如图所示的程序A.求24名男生的达标率C•求24名男生的达标人数 D.求24名男生的不达标人数框图的功能是（B. 求24名男生的不达标率9. 等比数列｛a n｝中各项均为正数，S是其前n项和，且满足2S3=8ai+3a2, a4=16, 则S^=（）A. 9B. 15C. 18D. 30取值范围是（）TV 若关于x 的方程2sin (2x+——)=m 在［0,兀一］上有两个不等实根，则10.函数y=J 的大致图象是（ ）11.A. (I,'；)B. [0, 2]C. [1, 2)D. [1,-；]12•对■■二,23x< log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是( )A. ( 0 ,寻)B. (「寺]C.[寺・1 ) D•[寺・1)二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)•13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92,其中学号为前30名的同学平均成绩为90,则后20名同学的平均成绩为 _.14. 若函数f (x)=e?sinx,贝U f ( 0)= ____ .15•《九章算术》是我国第一部数学专着，下有源自其中的一个问题：今有金箠(chu)长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问金箠重几何？”其意思为：今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤.问金杖重多少？”则答案是 _.2 216. F为双曲线(a>b>0)的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两|a21/条渐近线分别交于A, B两点，若+十丄，则双曲线的离心率为—.三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).17. 已知点P (亦，1), Q (cosx, si nx), O 为坐标原点，函数 f (x) = OP .(1)求函数f (x)的解析式及最小正周期；(2)若A ABC的内角，f (A) =4, BC=3 △ ABC的面积为斗,求厶ABC 的周长.18 .某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用分值区[50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100] 户间频数20 40 80 50 10囲性刑尸(2)根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都 小于90分的概率.19. 女口图，四棱锥P — ABCD 的底面ABCD 为矩形，PA ±底面ABCD , AD=AP=2 AB=2 \ E 为棱PD 的中点. (I )证明：PD 丄平面ABE(U)求三棱锥C — PBD 外接球的体积.20. 已知函数 f (x ) =ax — lnx .(1) 过原点O 作曲线y=f (x )的切线，求切点的横坐标；频数 45 75 90 60 30(1)完成下列频率分布直方图, 并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定 (不 计算具体值，给出结论即可)；C Jr 11 1 *4-Z ■ F ■ ■ F ■■U L 1L L L■: 114"■'■ I BL .1 甲 q 1■ ■ i ■尸. -r - —I-—■ ■IF ■ ’ L ■ J ■■ -4.-i ii百1 a-I--'■ L■ -r --r-- ■ ■-JMM I …「工出二二tkCl ■一i____ LM■ fL__ L攻性用尸 0,01 ■■十0W5 …|(2)对？(€ [ 1, +x),不等式f (x)> a (2x—x2),求实数a的取值范围.221. 已知椭圆C: 2- :- ' ■ ', F1, F2分别是其左、右焦点，以F1E2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设过点F l 且不与坐标轴垂直的直线I 交椭圆于A , B 两点，线段AB 的垂直 平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是(土，0),求线段AB 长的取 值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选 修4-4：坐标系与参数方程选讲］(共1小题，满分10 分)22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极 轴，建立极坐标系，曲线 C 1的极坐标方程为 p =4cos ，直线I 的参数方程为(1)求曲线C i 的直角坐标方程及直线I 的普通方程;［选修4-5：不等式选讲］(共1小题，满分0分)23. 已知 a >0，b >0，函数 f (x ) =| x+a|+| 2x - b| 的最小值为 1. (1) 求证：2a+b=2;(2) 若a+2b >tab 恒成立，求实数t 的最大值.(2)若曲线C 2的参数方程为 :Q 为曲线C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线I 距离的最大值. (2)若曲线C2的参数方程为、 (a 为参数)，曲线C 1上点P 的极角为 7U—，(t 为参数).2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上)1 •已知复数z=1+2i，则=( )A. 5B. 5+4iC.- 3D. 3-4i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由已知直接利用z^=|z|2求解.【解答】解：：z=1+2i，.°."艺=| z| 2=(Q I ?+*)J5.故选：A.2. 已知集合A={x|x2-2x- 3v0}，B={x|| x| v2}则A n B=( )A. {x| —2v x v2}B. {x| —2v x v 3}C. {x| —1 v x v 3}D. {x| —1v x v 2}【考点】交集及其运算.【分析】解不等式得出集合A、B,根据交集的定义写出A n B.【解答】解：集合A={x| x2—2x—3v 0} ={x| — 1 v x v 3}，B={x|| x| v 2}={x| —2v x v 2}.故选：D.3. 设a，b均为实数，则“A|b|”是“V b3”—)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】解：由a>|b|”能推出“a>b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a=1，b=—2，不是必要条件，故选：A.4•直线x-3y+3=0与圆（x- 1）2+ （y-3）2=10相交所得弦长为（）A. .B.—C. 4 ■：D. 3.'；【考点】直线与圆相交的性质.【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案.【解答】解：圆（x- 1）2+ （y-3）2=10的圆心坐标为（1, 3）,半径r的, 圆心到直线x-3y+3=0的距离d」= ：_ ,故弦AB=2 j ] 「.,故选A.5.下列命题中错误的是（）A. 如果平面a外的直线a不平行于平面a内不存在与a平行的直线B. 如果平面a丄平面Y平面B丄平面Y aG B =那么直线I丄平面丫C. 如果平面a丄平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面BD. —条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案.【解答】解：如果平面a外的直线a不平行于平面a,则a与a相交,则a内不存在与a平行的直线，故A正确；如图：a丄Y aG 丫=冃肚Y阳Y =b a^B =l在丫内取一点P ,过P作PAL a于A，作PB丄b于B ,由面面垂直的性质可得PA丄I , PB丄I ,则I丄Y故B正确；如果平面a丄平面B,那么平面a内的直线与平面B有三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故D正确.故选：C.6.在平面内的动点（x, y）满足不等式,则z=2x+y的最大值是（A.—4B. 4C. - 2D. 2【考点】简单线性规划.【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可.【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于直线x+y - 3=0的下方区域和直线x-y+1=0的上方区域，根据目标函数的几何意义，可知目标函数经过A时，z取得最大值. 由：:二可得A（1, 2），所以目标函数z的最大值为4.故选B.7. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（【考点】由三视图求面积、体积.【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥， 结合三视图的数据，求出几何体 的体积.【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2, 所以四棱锥的体积M 丄吃么冬.故选D .8. 某高中体育小组共有男生24人，其50m 跑成绩记作a i Zr正瘢1侧视图C. 求24名男生的达标人数D. 求24名男生的不达标人数A 4 BU C •二 D. A .求24名男生的达标率（i=1，2，…，24），B. 求24名男生的不达标率【考点】程序框图.【分析】由题意，从成绩中搜索出大于的成绩，计算24名中不达标率.【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此丁表示不达标率；故选B.9. 等比数列｛a n｝中各项均为正数，S是其前n项和，且满足2Ss=8ai+3a2, a4=16, 则S4=( )A. 9B. 15C. 18D. 30【考点】等比数列的前n项和.【分析】设等比数列｛a n｝的公比为q> 0，由2Sj=8a i+3a2，可得2 (a i +a2+a3) =8ai+3a2，化为：2q2- q - 6=0，解得q，进而得出.【解答】解：设等比数列｛a n｝的公比为q>0，V 2S3=8a1+3a2，••• 2 (a1+a2+a3) =8ai+3a2，化为:2a3=6a1+a2，可得2a t q2=6a i+a1 q，化为:2q2-q- 6=0,解得q=2.又a4=16，可得a1X 23=16,解得a1=2.则祜一 -=30.2-1故选：D.【考点】函数的图象.【分析】利用函数的定义域排除选项，值域排除选项即可得到结果.【解答】解：由函数定义域排除A,函数的值域•可知x>0时，y>0,当x v0 时，y v0,排除C, D.故选：B.11 •若关于x的方程2sin (2x+-—) =m在[0,——]上有两个不等实根，则m的取值范围是( )A. (1, -；)B. [0, 2]C. [1, 2)D. [1,;]【考点】正弦函数的图象.【分析】把方程2sin (2x+——)=m化为sin (2x^-)=丄，画出函数f (x) =sin(2x+ )在x€ [0,丄]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的b z取值范围.兀【解答】解：方程2sin (2xr) =m可化为b/ 兀、nisin (2x+^~)—,, 7T r JU TT 7 JU当 x € ［0,三］时，2x+——€ ［百,—］,画出函数y=f (x ) =sin (2x+=-)在x € ［0,—］上的图象如图所示;K m v 2兀-一]上有两个不等实根,1 ““=m 在［0,根据方程2sin ( 2••• m的取值范围是［1 , 2).故选：C.12•对■■ -二,23x< log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是( )A . B.(0 f2］C•［存1)D•［芥1)【考点】函数恒成立问题；全称命题.【分析】先构造函数 f (x) =x2+x, g (x) =- log a x. h (x) =f (x) +g (x),将问题等价转化为函数h (x)在区间(0,=)上恒有h (x)< 0,又函数为增函数，故可求答案. 【解答】解：构造函数f (x) =23x, g ( x) =- log a x - 1 .h (x) =f (x) +g (x). (0 v x v£)易知，在区间(0,丄)上，函数f (x), g (x)均是递增函数，•••函数h (x) =f (x) +g (x)在区间(0,寺)上是递增函数.由题设可知，函数h (x)在区间(0,〒)上恒有h (x)< 0.•必有h (*)w0.即有2 - log a (g)- K 0.整理就是log a a=1< log a (),•实数a的取值范围是寺w a v 1.故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)•13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92,其中学号为前30名的同学平均成绩为90,则后20名同学的平均成绩为95 .【考点】众数、中位数、平均数.【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x,得到关于x的方程，解出即可.【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x ,则 92X 50=90X 30+20x ,解得：x=95,故答案为：95.14.若函数 f (x ) =e?sinx,贝U f (0) = 1.【考点】导数的运算.【分析】先求f (x )的导数，再求导数值. 【解答】解：f (x ) =e x ?sinx , f'(x ) = (e x )' si+e x . (sinx ) ' =?sinx+e x ?cosx, f (0) =0+1=1故答案为：115. 《九章算术》是我国第一部数学专着，下有源自其中的一个问题： 今有金箠 (chu )长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问金箠重几何？ ”其意思为：今有金杖(粗细均匀变化)长 5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末 端1尺，重2斤.问金杖重多少？ ”则答案是 15斤.【考点】等差数列的通项公式.由题意可知等差数列的首项和第 5项，由等差数列的前n 项和得答案. 解：由题意可知等差数列中a 1=4, a 5=2,则Ss= •••金杖重15斤.故答案为：15斤./ y 2 16. F 为双曲线——7=1 (a >b >0)的左焦点，过点F 且斜率为1的直线与两 a b "条渐近线分别交于A , B 两点，若船-丄，则双曲线的离心率为 灯莎 .【考点】双曲线的简单性质.【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把 A , B 表示出来, 再由条件可得A 为FB 的中点，运用中点坐标公式，可得 a , b , c 的关系，然后【分【解求双曲线的离心率.【解答】解：设F ( - c , 0),则过F 作斜率为1的直线为：y=x+c .—r /冃 3.0 cc a.c可得-c — =-2y , 化为 b=3a , c=『产；,=li'ia, e —=. ：i. a故答案为：顷.三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤).17. 已知点P (亦，1), Q (cosx , si nx ), O 为坐标原点，函数fW = OP * QP .(1) 求函数f (x )的解析式及最小正周期；(2)若 A ABC 的内角，f (A ) =4, BC=3 △ ABC 的面积为芋■，求△ ABC 的周长.【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理.【分析】(1)利用向量数量积运算，即可求函数 f (x )的解析式及最小正周期；(2)利用，△ ABC 的面积为，.，求出bc ,利用余弦定理，求出」:.「；，即 可求△ ABC 的周长.【解答】解：(1) 一 - 一 '一 ：：■：■'：'：■■, _ _ 口 兀 ••• ■丽=归(馅弋口5工)+1-五］1工=4 — 2sin (),f (x )的最小正周期为2n ；而渐近线的方程是： y=±— x , ab 得：A (- 八得，B(-h+-，!+!■），a-b )， 若 1 若 B F ~2 aca-b ac 由 由，可得A 为FB 的中点,（2）因为 f （A ） =4,所si 口〔A+冷-）二0,因为 O v A v n,所以 A —, 因为 壮血c 今吉，所以bc=3, 根据余弦定理-■ ~f - -"'}- - T-— 二!' - - ，所以'一 -, 即三角形的周长为厂:. 18 •某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手 机进行评分，评分的频数分布表如下： 女性用 分值区 [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100] 户 间 频数 20 40 80 50 10 男性用 分值区 [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100] 户 间 频数 45 75 90 60 30 （1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定 （不 计算具体值，给出结论即可）； （2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20名用户，在这20名 用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都 小于90分的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图.【分析】（1）作出女性用户和男性用户的频率分布表， 由图可得女性用户更稳定.（2）运用分层抽样从男性用户中抽取 20名用户，评分不低于80分有6人，其 中评組更QD J ：5,：3:.工 g0.L:0.01 1 j ■ r ■ 1 ■ F ■■ ■ M -- _L _ —■— _L _ ■I _L_ _f L _ H 一・ FL -i|r - -r - 一— -i1 ■ L - 八 ■■ ■冃 1i -■ -- ■ L ■ ■ ■■ ■ ■ ■ ■ J ■ .L . ■丄 ." 1 划 <1 i I--r- ■ F ■ ■ ■ ■ ■4Z?攻性用尸 L 4 W !» M M *L I 團性稱尸分小于90分的人数为4,记为A, B, C, D,评分不小于90分的人数为2, 记为a, b,设事件M为两名用尸评分都小于90分从6人人任取2人，利用列举法能求出两名用户中评分都小于90分的概率.【解答】(本小题满分12分)解：(1)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图:nu o -fl- U(2)运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人, 其中评分小于90分的人数为4,记为A, B, C, D,评分不小于90分的人数为2,记为a, b,设事件M为两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，基本事件空间为Q= (AB), (AC), (AD), (Aa), (Ab),(BO, ( BD), ( Ba), ( Bb), (CD, (Ca), (Cb),(Da), (Db), (ab) },共有15 个元素.M={ (AB), (AC), (AD), (BC), (BD) ( CD) },共有6 个元素. z、J__2P (M)=，-..19. 如图,四棱锥P- ABCD的底面ABCD为矩形,PAL底面ABCD, AD=AP=2 AB=2 ' , E为棱PD的中点.(I )证明：PD丄平面ABE(U)求三棱锥C-PBD外接球的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定.【分析】(I)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD丄平面ABE(U)三棱锥C- PBD外接球即以AB, AD，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥C-PBD外接球的体积.【解答】证明：(I)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P (0, 0, 2)，D (0，2, 0)，A (0，0，0)，B (昕，0，0)，E (0，1, 1)，PD= (0, 2,- 2),忑=(祈,0, 0),忑=(0, 1, 1),匸二」七=0,三• • 7 =0,••• PD丄AB, PD丄AE,••• AB n AE=A ••• PD丄平面ABE解: ( n)v AD, AP, AB两垂直，底面ABCD为矩形，•••三棱锥C- PBD外接球即以AB, AD, AP为棱的长方体的外接球，•••三棱锥C- PBD外接球的半径R=亠匚'=3,4 1 |4•••三棱锥C- PBD外接球的体积Vh兀衬可XX跡=36n20. 已知函数f (x) =ax- Inx.(1)过原点0作曲线y=f (x)的切线，求切点的横坐标；(2)对［ 1, +x),不等式f (x)> a (2x- x2),求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)过原点O作曲线y=f (x)的切线，求出切线方程，即可求切点的横坐标；(2)对?x€ [ 1, +x),不等式f (x)> a (2x-x2),化为ax2- ax- lnx>0 对? € [1, +x)恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围.【解答】解：(1)设切点为(x o，ax o-Inx o), 二F'〔工沪n-占，直线的切线方程为y-(ax o- Inx o) = (a-J ) (x-x o)，又切线过原点-ax o+lnx o=- ax o+1，所以Inx o=1，解得x o=e，所以切点的横坐标为e.(2)因为不等式ax - Inx>a (2x- x2)对？x€ [ 1，+x)恒成立，所以ax2- ax- lnx>0 对？(€ [ 1，+x)恒成立.设g (x) =ax2- ax - Inx，g'(x) =2ax- a-丄.①当a<o时，••• $〔只)二且(力-1)-^<0，二g (x)在[1，+x)上单调递减，即g (x)< g (1) =0,.°. a< 0 不符合题意.2②当a>o时，『吕迁竺主.设»(球至日J PL W备&弓*寺1,在[1，+x)上单调递增，即a> 1.(i)当a> 1 时，由h (x)>0，得g' (x)>0，二g (x)在[1，+^)上单调递增，即g (x)> g (1) =0,二a> 1 符合题意；(ii)当O v a v 1 时，：a- 1v0,二0o€ [1, +*)使得h (x o) =0,则g (X)在[1,刈)上单调递减，在(x o, +x)上单调递增，g (x o)v g (1) =0,则O v a v 1不合题意.综上所述，a> 1.221.已知椭圆C: -- ■' ■ ', F1, F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直a径的圆与椭圆C有且仅有两个交点.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线I交椭圆于A, B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范围是（亠，0）,求线段AB长的取值范围.【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系.【分析】（1）根据题意，分析可得b=c=1，计算可得a的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设直线AB的方程为y=k（x+1）,与牙打二i联立可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2- 2=0，设A （x i，y i），B （x2，y2），AB 的中点为M（x o，y o），由根与系数的关系分析可得直线AB的垂直平分线方程，由弦长公式可以表示|AB|，计算可得答案.【解答】解：（1）根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以b=c=1，即a= ='：，2 °即椭圆C的方程为卡+長二£，（2）根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直线I交椭圆于A，B两点，即直线AB 的斜率存在，设直线AB的方程为y=k （x+1），与一匕「八联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2- 2=0,设直线AB的垂直平分线方程为设 A （X1, y1），B （X2, y2 ），AB 的中点为M（x o，y o），4k22k2即线段AB 长的范围是（；,2.':）. 4—1 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选 修4-4:坐标系与参数方程选讲］（共1小题，满分10分） 22.已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极 轴，建立极坐标系，曲线 C i 的极坐标方程为 p =4cos ，直线I 的参数方程为 （t 为参数）. （1） 求曲线C i 的直角坐标方程及直线I 的普通方程； （2） 若曲线C 2的参数方程为］初（ a 为参数），曲线C i 上点P 的极角为中, Q 为曲线C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线I 距离的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程. 【分析】（1）曲线C i 的极坐标方程为p =4cos ，即p=4 p cos, 0可得直角坐标方 （2 ） 后，于），直角坐标为 （2 ， 2 ）J 1号 Z ），利用点到直线的距离公式及其三 角函数的单调性可得最大值.【解答】解：（1）曲线C 1的极坐标方程为p =4cos, 0即p=4 p cos ， 可得直角坐标方程：Cy x 一m .（1+心［〔』 程.直线I 的参数方程为（t 为参数），消去参数t 可得普通方程. I I (1+k 2) "斗+；K=1--- t,(t 为参数)，5消去参数t 可得普通方程：x+2y — 3=0.Q(2cos G J 乩门口)，M(l+口□刁口！14^-sinCt )， 直线I 的参数方程为 P (2V2-寻)， 直角坐标为 (2 ， 2 )，:.M 到 I 的距离；■' 从而最大值为丄I 5 ［选修4-5:不等式选讲］(共1小题，满分0 分) 23.已知 a >0，b >0,函数 f (x ) =| x+a|+| 2x -b| 的最小值为 1. (1)求证：2a+b=2; (2)若a+2b >tab 恒成立，求实数t 的最大值. 【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法. 【分析】(1)法一：根据绝对值的性质求出f (x )的最小值，得到 x=-时取等号, 证明结论即可；法二：根据f (x )的分段函数的形式，求出f (x )的最小值，证 明即可; 屏2b ab 的最小值，从而求出t 的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可. (2)法一，二：问题转化为 >t 恒成立，根据基本不等式的性质求出 【解答】 解：(1)法一:f (x ) =| x+a|+| 2x — b| =| x+a|+| x b. _ | 0,:bh h 卜 | \1 T | x+a|+| x -丁 | > | (x+a ) — ( x -瓦)I =a 迈"且 |x -豆 | > 0, 1+1 x .f (x )> a+7；，当x==时取等号，即f (x )的最小值为c+--，La+~=1，2a+b=2 ； 法二：T — a v —，••• f (x ) =| x+a|+| 2x — b|-z+a+bj _a_<23x+a-b»I显然f （乂）在（-X, \］上单调递减，f （ X ）在脊,+X ）上单调递增, ••• f （X ）的最小值为f （昔）=a^-,（2）方法一 ：：a+2b > tab 恒成立，•‘ > t 恒成立，ab警卡令（+弓（2a+b ）啥令（1+4哥今）冶（诃+2咅迢碍, 当a=b 今时，瞬取得最小值十，方法二：••• a+2b >tab 恒成立,》t 恒成立，t < - ab > t ，即实数t 的最大值为方法三：••• a+2b >tab 恒成立,• a+2 (2 - a )> ta (2 - a )恒成立,• 2ta 2 -(3+2t ) a+4> 0 恒成立， 1 2 1b a b'2a _2_> 厂 |bt2a恒成立,> t ，即实数t 的最大值为•( 3+2t) 2-326W 0,1 Qt W^,实数t的最大值为2017年4月18日。
2023年考点统计打印版双向细目表
神经系统的分级调节
人脑的高级功能
激素与内分泌系统
激素调节的过程
体液调节与神经调节的关系
免疫系统的组成与功能
免疫失调
免疫学的应用
植物生长素
其他植物激素
植物生长调节剂的应用
环境因素参与调节植物的生命活动
选择性必修二 生物与环境
种群的特征
调查种群的其他方法
培养液中种群数量的变化
影响种群数量变化的因素
基因重组
人类遗传病的类型
人类遗传病的监测和预防
调查常见的人类遗传病
生物进化理论
生物进化的证据
模拟用DNA分子杂交方法分析人员间亲缘关系
生物进化导致生物的多样性和适应性
生物进化与生物多样性的形成
选择性物体维持PH的稳定
神经调节的结构基础
神经调节的基本方式
(7) 探究影响酶活性的因素
(8) 叶绿体色素的提取和分离
(9) 探究酵母菌的呼吸方式
(10) 观察细胞的有丝分裂
(11) 模拟探究细胞表面积与体积的关系
必修二遗传与进化
(1) 观察细胞的减数分裂
(2) 低温诱导染色体加倍
(3) 调查常见的人类遗传病
选择性必修一稳态与调节
模拟生物体维持PH的稳定
探索生长素类调节剂促进插条生根的最适浓度
生物体的生长主要是细胞增值的结果
细胞增值与有丝分裂
观察植物根尖细胞有丝分裂
细胞的分化和细胞全能性
细胞衰老和细胞死亡
必修二遗传与进化
减数分裂产生精子或卵细胞
观察植物细胞的减数分裂
模拟哺乳动物精子和卵细胞的形成过程
(4) 癌细胞的主要特征及防治
受精作用孕育新生命
三模文科数学答案
sin A sin C
3
又△ ABC 面积为 6 ，即 1 AB ⋅ BC ⋅ sin B = 6 ，即 1 × 5 BC × BC × 2 5 = 6 ，
2
23
5
解得 BC = 3 2 .
法二：
（12 分）
过 A 作 AH ⊥ BC 于 H ，设 AH = x ，
在 Rt△ ABH 中，因为 tan B = 2 ，所以 AH = x ， 2
（6 分）
所以估计该公司生产宣纸的年利润为 400 万元.
（12 分）
【题号】18
【参考答案与评分细则】（1）法一：由 2a = 2b cos C + c sin B ，由正弦定理得
所以 2sin A = 2sin B cos C + sin B sin C ，
又 A = π − (B + C) ，因此 sin A = sin(B + C) ，
=
1 3
BC
⋅
S
Δ
PAE
=
2 9
∴
SΔ
PAE
=
2 3
∵ S Δ PAB = 1
得 PE = 2 ∴ PE = 2 PB 3 EB
连 DB 交
AC
于G
，连 EG
，
DG GB
=
DC AB
=
2
=
PE EB
∴ GE ∥ PD ， PD ⊄ 平面 AEC ， GE ⊂ 平面 AEC ，∴ PD ∥平面 AEC . （12 分）
当且仅当 (x − 2)(x + 3) ≤ 0 ，即 x ∈[−3, 2] 时等号成立，
所以 m ≤ 5 ，即 m ∈ (−∞,5] . （5 分）
2020年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知向量，满足，，且，则A. B. C. 5 D. 43.已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为A. 7B. 8C. 9D. 105.等比数列中，、是函数的两个零点，则等于A. B. 3 C. D. 46.函数的图象大致为A. B.C. D.7.设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.9.已知函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.10.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是A. B. ，C. D.11.已知双曲线与椭圆有相同焦点，，离心率为若双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为12，N为线段的中点，O为坐标原点，则等于A. 4B. 3C. 2D.12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分包括黑白交界处中一点，则的最大值为2；设点，点Q在此太极图上，使得，b的范围是．其中所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，则______ ．14.已知长方形ABCD中，，，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为______．15.若，是函数的两个极值点，则______；______．16.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，设，为数列的前n项和，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌优等品和合格品，某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x，，质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀张进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；Ⅱ试估计该公司生产宣纸的年利润单位：万元．18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．Ⅰ求tan B；Ⅱ若，的面积为6，求BC．19.四棱锥中，，，，，平面ABCD，E在棱PB上．Ⅰ求证：；Ⅱ若，求证：平面AEC．20.已知O为坐标原点，抛物线E的方程为，其焦点为F，过点的直线1与抛物线相交于P、Q两点且为以O为直角顶点的直角三角形．Ⅰ求E的方程；Ⅱ设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．21.已知函数，，若曲线与曲线都过点且在点P处有相同的切线l．Ⅰ求切线l的方程；Ⅱ若关于x的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线1的参数方程为为参数．Ⅰ求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；Ⅱ设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：根据题意，，，且，则有，解可得，即，则，故；故选：C．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3.答案：B解析：解：由，得，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.答案：B解析：解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知．由茎叶图可知乙班学生的总分为，又乙班学生的平均分是86，总分又等于所以，解得，可得．故选：B．对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到的值．5.答案：B解析：解：、是函数的两个零点，、是方程的两个根，，由等比数列的性质可得：．故选：B．利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又，可排除A；故选：B．先判断函数的奇偶性，可排除选项CD，再由，可排除选项A，进而得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：A、B、D的反例如图．故选：C．根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．本题考查线面间的位置关系，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．属于基础题．8.答案：B解析：解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．9.答案：D解析：解：函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，函数是在上是增函数，又，，由，得或，或．的取值范围是．故选：D．由奇函数的图象关于原点对称及在为增函数，可得函数是在上是增函数，结合，转化为不等式组求解．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．10.答案：B解析：解：当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，当时，，，，所以或，即或，故选：B．当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．11.答案：B解析：解：如图，为线段的中点，，双曲线的离心率为，，椭圆与双曲线的焦点相同，，则，即，．故选：B．由题意画出图形，利用三角形的中位线定理可得，再由已知椭圆方程及双曲线的离心率求解a，则答案可求．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.答案：A解析：解：对于，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于，直线，圆的方程为，联立可得，，，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线与白色部分没有公共点，错误；对于，设l：，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大，由解得舍去，错误；对于，要使得，即需要过点P的切线所成角大于等于90度，所以，即，于是，解得．故选：A．根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假．本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题．13.答案：解析：解：，，，，则，故答案为：由的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，代入原式计算即可．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14.答案：解析：解：长方形ABCD中，，，可得，，作于E，可得，所以，，因为平面平面BCD，面ABD，平面平面，所以面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点，且外接圆的半径，过作垂直于底面BCD，所以，所以，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作于F，则四边形为矩形，，，则，在中，即；在中：，即；由可得，，即外接球的球心为，所以外接球的表面积，故答案为：．由长方形中，，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面平面BCD 可得面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．15.答案：2解析：解：函数，，，令得：，，是方程的两个根，，，，故答案为：2，．先求出导函数，由题意可得，是方程的两个根，利用韦达定理可得，，代入即可求出．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题．16.答案：880解析：解：，当时，，解得或舍去，当时，，，得：，整理得：，数列的各项均为正数，，即，数列是首项为2，公差为2的等差数列，，，，故答案为：880．利用公式可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以，进而，再利用并项求和法即可算出结果．本题主要考查了数列的递推式，以及并项求和法求数列的前n项和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基本事件有：AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共10种，其中无废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6种，其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得：一刀张宣纸有正牌宣纸张，有副牌宣纸张，有废品张，该公司一刀宣纸的利润为元，估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．解析：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基利用列举法能求出其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得一刀张宣纸有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能估计该公司生产宣纸的年利润．本题考查概率、利润的求法，考查考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，利用正弦定理可得：，又，化为：，．，，可得，．．，可得：．又，可得．，解得．解析：由，利用正弦定理可得：，又，化简即可得出．由，，可得，，由正弦定理：，可得：又，可得即可得出a．本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：证明：Ⅰ过A作于F，，，，四边形ABCF为正方形，则，，得，又底面ABCD，平面ABCD，，又PA，平面PAD，，平面PAD，又平面PAD，；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，则，得．又，则PB：：：1．，，，连接DB交AC于O，连接OE，∽，：：1，得DB：：1，：：OB，则．又平面AEC，平面AEC，平面AEC．解析：Ⅰ过A作于F，推导出，，从而平面PAD，由此能求出；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，由已知体积列式求得h，可得PB：：：1，连接DB交AC于O，连接OE，再由三角形相似证得DB：：1，可得PB：：OB，得到，再由直线与平面平行的判定可得平面AEC．本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，设，，联立直线l与抛物线的方程，整理可得：，所以，所以，因为是以O为直角顶点的直角三角形，所以，即，所以，解得，所以抛物线的方程为：；Ⅱ证明：由Ⅰ得，准线方程为：，设，则NF的中点M的纵坐标，即以NF为直径的圆的圆心M到x轴的距离为，而由抛物线的性质可得，即以NF为直径的圆的半径为，所以可得圆心M到x轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN为直径的圆与x轴相切．解析：Ⅰ由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之积，由是以O为直角顶点的直角三角形，所以，可得p的值，进而求出抛物线的方程；Ⅱ由Ⅰ可得F的坐标和准线方程，设N的坐标，可得NF的中点M，即圆心的坐标，求出M 的纵坐标到x轴的距离，再求NF的半径，可得M的纵坐标恰好等于半径，可证得结论．本题考查直角三角形与向量的关系，及直线与抛物线的综合，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，，由已知可得，即，解得，，，切线的斜率，切线l的方程为，即，Ⅱ由Ⅰ可得，，设，即，对任意恒成立，从而，，当时，，在上单调递减，又，显然不恒成立，当时，，解得，，当时，即时，，单调递增，又，显然不恒成立，当时，即时，，单调递增，，即恒成立，当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，解得，，综上所述得．解析：Ⅰ根据导数的几何意义即可求出切线方程；Ⅱ构造函数，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为为参数，．直线1的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为．Ⅱ设，，所以点P到直线l的距离，由于，所以，所以，故等边三角形的边长的取值范围：．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。
长春三模文科试题
长春市普通高中2015届高三质量监测（三）数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则AB =A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z= A. 1i - B. 1i + C. 1i --D. 1i -+3. 已知1,==a b ，且⊥a b ，则||+a b 为A.B. C. 2 D. 4. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为A. 12B. 1C.D. 25. 2x <是2320x x -+<成立的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线222211x y a a -=-(0)a >a 的值为A. 12B.C. 13D.7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是A. 6n =B. 6n <C. 6n ≤D. 8n ≤8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A. 323B. 64C.D.6439. 函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有()()44f x f x ππ+=-，则()4f π等于A. 2或0B. 2-或2C. 0D. 2-或010. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥，则2x y +的最大值是A. 2B. 8C. 14D. 1611. 已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x -与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点. 若AF mFB =，则m 的值为A.B.32C. 2D. 312. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：(i) 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；(ii) 当12120,0,1x x x x +≥≥≤时，总有1212()()()f x f x f x x ++≥成立. 则下列三个函数中不．是M 函数的个数是 ① 2()f x x = ② 2()1f x x =+ ③ ()21xf x =- A. 0 B. 1 C. 2D. 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.函数1sin 22y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________.14. 将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 .15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(1)0f = ，则不等式(2)0f x -≥的解集是 .16. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的体积为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. (本小题满分12分)等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足299,9971-=-=+S a a . ⑴ 求数列}{n a 的通项公式； ⑵ 设nn S b 21=，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：43->n T .18. (本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10⑴ ⑵ 在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点,E F 分别为为AB 和PD 中点.⑴ 求证：直线//AF 平面PEC ； ⑵ 求三棱锥P BEF -的表面积.ABCDPFE20. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,2)，且离心率为2.⑴ 求椭圆C 的方程； ⑵ 证明：过圆222x y r +=上一点00(,)Q x y 的切线方程为200x x y y r +=；⑶ 从椭圆C 上一点P 向圆221x y +=引两条切线，切点为,A B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于,M N 两点时，求MN 的最小值.21. (本小题满分12分)已知函数23)(ax x x f -=，a ∈R . ⑴ 若1a =，过点(1,0)作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；⑵ 若曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，求实数a 的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. (本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD 为圆O 的切线，B ，D 为切点.，⑴ 求证：OC AD //； ⑵ 若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23. (本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）⑴ 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； ⑵ 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.24. (本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲⑴ 已知,a b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；⑵ 已知,,a b c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++++≥. 长春市普通高中2015届高三质量监测（三）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. C2. A3. B4. C5. A6. B7. C8. D9. B 10. C 11. D 12. B 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】C {11}{02}{01}A B x x x x x x =-≤≤≤≤=≤≤，故选C. 2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法运算，对考生的运算求解能力有一定要求.【试题解析】A 由i iz -=+=1122，故选A. 3. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查. 【试题解析】B 因为⊥a b ，所以=0⋅a b ，于是由22223+=+⋅+=a b a a b b ，于是可求得+=a b ，故选B.4. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】C 由222a b c bc =+-，可得 60=A ，则所求面积3sin 21==A bc S ，故选C.5. 【命题意图】本小题通过二次不等式的解法来考查充分必要条件，是一道经典题.【试题解析】A 由2320x x -+<解得21<<x ，再根据已知条件易知选A. 6. 【命题意图】本小题是一道简单题，考查双曲线离心率的表达式，以及双曲线的标准方程.【试题解析】B 由双曲线的离心率为1c e a a ===2a =. 故选B.7. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试题解析】C ∵1111124612++=，因此应选择6n =时满足，而8n =时不满足条件∴6n ≤，故选C. 8. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，长度都为4， ∴其体积为643，故选D.9. 【命题意图】本小题结合函数的对成性来考查三角函数的图像与性质，不但要求考生对三角函数的图像与性质有着深刻的认识，更重要的是对基本抽象函数的表达有着充分的认知.【试题解析】B 由()()44f x f x ππ+=-可知函数图像关于直线4π=x 对称，则在4π=x 处取得最值，所以2)4(±=πf ，故选B.10. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C 根据线性规划的方法可求得最优解为点)6,2(，此时2x y +的值等于14，故选C.11. 【命题意图】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】D 将⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y 4)1(32联立，解得31,3==B A x x ， 因为所给直线经过抛物线的焦点F ，且其准线为1-=x ，所以A 点到准线的距离为4，B 点到准线的距离为34，据抛物线定义可有FB AF 3=，结合已知条件即可确定，故选D.12. 【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】B (i)在[0,1]上，三个函数都满足；(ii)12120,0,1x x x x ≥≥+≤；对于①，0222≥=+-+=+-+21212212121)()()]()([)(x x x x x x x f x f x x f ，满足；对于②，22212121212()[()()][()1][(1)(1)]f x x f x f x x x x x +-+=++-+++ 02<-=121x x ，不满足.对于③，)121()]()([)(21212121-+--=+-++x x x x x f x f x x f 21)-(2 0222≥--=+--=)12)(12(12212121x x x x x x ，满足； 故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. [0,]6π14. 17 15. (,1][3,)-∞+∞ 16.简答与提示： 13. 【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试题.【试题解析】∵1sin sin()23y x x x π==+，∴函数的增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈，又[0,]2x π∈，∴增区间为[0,]6π. 14. 【命题意图】本小题主要考查系统抽样的基本概念，属于概念题，也是考生必须准备的简单题.【试题解析】根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17. 15. 【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想.【试题解析】由已知21x -≥或21x -≤-，∴解集是(,1][3,)-∞+∞. 16. 【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】设所给半球的半径为R ，则棱锥的高R h =，底面正方形中有R DA CD BC AB 2====，所以其体积324323=R ，则3R =，于是所求半球的体积为ππ324323==R V .三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，以及利用裂项求和等内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+29936996211d a d a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1231d a ，于是可求得212+-=n a n ；6分（Ⅱ）因为2)2(+-=n n S n ，故)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ，于是)211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n又因为211123+-+-n n 23<，所以43->n T . 12分18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本事件概率的求取等内容. 本题主要考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解：（1）两个班数据的平均值都为7，（2）甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e Ω由25个基本事件组成，这25个是等可能的；将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，A 由10个基本事件组成，所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102255=. 12分19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间几何体表面积的求法等. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：（1）证明：作FM ∥CD 交PC 于M .∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=.∴FM AB AE ==21，∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC. (6分) （2）连结ED 可知ED AB ⊥，,,P A A B C D P A A B A B P E F A B A B C D A B P E A B F ED E A B P E F E P E F ⎫⊥⎫⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⊥⎬⎪ ⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面平面，由此111222PEFS PF ED =⋅=⋅= 111112224PBF S PF BD =⋅=⋅⋅=；11122228PBE S PE BE =⋅=⋅⋅=；111112224BEF S EF EB =⋅=⋅⋅=；因此三棱锥P BEF -的表面积P BEF PEFPBFPBE BEFS SSSS-=+++=. 12分20. 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：（1） 2b =，c e a =， 4,2a b ∴==∴椭圆C 方程为221164x y +=. 4分ABCDPFE（2）当切线的斜率k 存在时，设切线方程为00()y y k x x -=-，又因为00x k y =-，故切线方程为0000()xy y x x y -=--，200x x y y r ∴+=当k 不存在时，切点坐标为(),0r ±，切线方程为x r =±，符合200x x y y r +=， 综上，切线方程为200x x y y r +=.8分（3）设点P 坐标为(,)p p x y ，,PA PB 是圆221x y +=的切线， 切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的圆的切线为111x x y y +=， 过点B 的圆的切线为221x x y y += 两切线都过P 点，112211p p p p x x y y x x y y ∴+=+=，∴切点弦AB 的方程为1p p x x y y +=，由题知0P P x y ≠ ，1(0)p M y ∴，，1(,0)p N x ，22222221111=164p p p p pp x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫∴=++⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221111119=+++16416416416p p p p x y y x ⋅+⋅≥+=，当且仅当2163P x =， 283Py =时取等号，34MN ∴≥，MN ∴的最小值为34.12分21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到曲线的切线方程的求取，利用导数刻画函数的单调性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：（1）设切点P 为00(,)x y ，则P 处的切线方程为23200000(32)()y x x x x x x =--+-. 该直线经过点(1,0)， 所以有232000000(32)(1)x x x x x =--+-，化简得3200020x x x -+=，解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =和1y x =-.4分（2）法一：由题得方程3210x ax x --+=只有一个根，设32()1g x x ax x =-++，则2'()321g x x ax =--，因为24120,a ∆=+>数学（文科）试题 第11页（共13页）所以'()g x 有两个零点12,x x ，即23210i i x ax --=（1,2i =），且120x x <，2312i ix a x -=，不妨设120x x <<，所以()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞单调递增，在12(,)x x 单调递减，1()g x 为极大值，2()g x 为极小值，方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >， 或者1()0g x <且2()0g x <，又232323311()111(1,2)222i i i iii ii i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=，设31()122x h x x =--+，所以231'()022h x x =--<，所以()h x 为减函数，又(1)0h =，所以1x <时()0h x >，1x >时()0h x <，所以(1,2)i x i =大于1或小于1，由120x x <<知，(1,2)i x i =只能小于1， 所以由二次函数2'()321g x x ax =--性质可得'(1)3210g a =-->，所以1a <. 12分法二：曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点， 等价于关于x 的方程231ax x x =-+只有一个实根.显然0x ≠，所以方程211a x xx=-+只有一个实根. 设函数211()g x x x x =-+，则2312'()1g x x x =+-=设3()2h x x x =+-，2'()310h x x =+>，()h x 所以当0x <时，'()0g x >，()g x 为增函数；当01x <<时，'()0g x <，()g x 为减函数； 当1x >时，'()0g x >，()g x 为增函数； 所以()g x 在1x =时取极小值1.又当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷；又当x 趋向于负无穷时，()g x 又当x 趋向于正无穷时，()g x 趋向于正无穷所以()g x 图象大致如图所示：所以方程211a x xx=-+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞.12分22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.数学（文科）试题 第12页（共13页）【试题解析】解： (1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，//AD OC . 5分(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆， AD AB OB OC=，8AD OC AB OB ⋅=⋅=. 10分23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . 2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ.5分 （2）点),(y x M 到直线AB 02=+-y x 的距离为2|9sin 2cos 2|+-=θθd7分ABM ∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S所以ABM ∆面积的最大值为229+ 10分24. 【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力. 【试题解析】解：（1）证明：33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-. 因为,a b 都是正数，所以0a b +>. 又因为a b ≠，所以2()0a b ->.于是2()()0a b a b +->,即3322()()0a b a b ab +-+>所以3322a b a b ab +>+；5分（2）证明：因为2222,0b c bc a +≥≥，所以2222()2a b c a bc +≥. ①同理2222()2b a c ab c +≥. ②2222()2c a b a b c +≥. ③ ①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++ 从而222222()a b b c c a abc a b c ++≥++.数学（文科）试题 第13页（共13页）由,,a b c 都是正数，得0a b c ++>，因此222222a b b c c a abc a b c++≥++. 10分。
吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第三次模拟考试
2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知复数z=1+2i ，则=（ ）A ．5B ．5+4iC ．﹣3D ．3﹣4i2. 已知集合A={x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，{}|2x x <，则A ∩B=（ ）A ．{x |-2＜x ＜2}B ．{x |﹣2＜x ＜3}C ．{x |﹣1＜x ＜3}D ．{x |﹣1＜x ＜2 }3.设,a b 均为实数，则“a b >”是“33a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.直线330x y -+=与圆()()221310x y -+-=相交所得的弦长为A.30 B.532C. 42D.33 5.下列命题中错误的是A.如果平面外的一条直线a 不平行于平面α，则α内不存在与a 平行的直线B.如果平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，l αβ= ，则l γ⊥C.如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面βD.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交6. 在平面内的动点（x ，y ）满足不等式，则z=2x +y 的最大值是（ ） A ．﹣4 B ．4C ．﹣2D ．27. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 4B. 73C. 43D.838. 某高中体育小组共有男生24人，其50m 跑成绩记作a i （i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s 为达标，则如图所示的程序框图的功能是（ ）A ．求24名男生的达标率B ．求24名男生的不达标率C ．求24名男生的达标人数D ．求24名男生的不达标人数9. 等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3=8a 1+3a 2，a 4=16，则S 4=（ ） A ．9B ．15C ．18D ．3010.函数xe y x=的大致图象是11. 若方程在上有两个不相等的实数解x 1，x 2，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()1,3 B. []0,2 C. [)1,2 D.1,3⎡⎤⎣⎦12.对310,,2log 13xa x x ⎛⎫∀∈≤+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是 A. 20,3⎛⎫⎪⎝⎭ B. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某班有50名同学，一次数学测试平均成绩为92，如果学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为 .14. 函数f （x ）=e x•sinx 在点（0，f （0））处的切线斜率为 .15. 《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是 ．16. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A ，B 两点，若12AFBF =，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知点，Q （cosx ，sinx ），O 为坐标原点，函数．（1）求函数f （x ）的最小值及此时x 的值；（2）若A 为△ABC 的内角，f （A ）=4，BC=3，ABC ∆的面积为334，求△ABC 的周长．18.（本题满分12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下： 女性用户分值区间 [50，60） [60，70） [70，80）[80，90） [90，100] 频数20 40 80 50 10 男性用户分值区间 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户中评分都小于90分的概率．19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AD=AP=2，27AB =，E 为棱PD 中点．（1）求证：PD ⊥平面ABE ；（2）求三棱锥C PBD -的外接球的体积．20.（本题满分12分） 已知函数()ln .f x ax x =-（1）过原点O 作曲线()y f x =的切线，求切点的横坐标；（2）对[)1,x ∀∈+∞，不等式()()22f x a x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知F 1，F 2分别是椭圆C ：()22210x y a a+=>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点.． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是，求线段AB 长的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．。
吉林省长春市普通高中高三质量监测(三)数学文科
长春市普通高中2016届高三质量监测（三） 数学文科（试卷类型A ）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 设集合{|13}A x x =-<<，{|12}B x x =-<<，则A B =A. (1,2)B. (1,2)-C. (1,3)D. (1,3)-2. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若12z i =+，则2z = A. 2i + B. 2i -+ C. 2i - D. 2i --3. 已知向量21=-（，）a ，01=（，）b ，则|2|=a +bA.C. 2D. 44. 已知函数5log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，则1(())5f f =A. 2B. 12C. 2-D. 12- 5. 已知tan 2α=，则sin 2α=A. 35-45D.356. 某集团计划提高某种产品的价格，为此销售部在3月日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x （元）与销售量y （万件）之间的数据如下表所示：日期 3月日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 价格x （元） 9 9.5 10 10.5 11 销售量y （万件） 11 10 8 6 5已知销售量y 与价格x 之间具有线性相关关系，其回归方程为ˆ40ybx =+，当集团将该产品的价格提高到12元时，估计该批发市场的日销售量约为 A. 4万件 B. 3.8万件 C. 2.6万件 D. 1.6万件7. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，满足cos cos a A b B =,则ABC ∆的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 18B. 14C. 12D. 99. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =A.B. C. 47D. 4510. 将函数()sin()(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移6π个单位后的图象关于y 对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为3B.12 C. 12-D. 3把a 的右数第i 位数字赋给t是 否开始 输入a6?i >1i i =+输出b 结束0b =1i =12i b b t -=+⋅11. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆和双曲线的一个交点为M , 且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线的离心率是D. 2 12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，若1|(ln )(ln )|(1)2f x f x f -<，则x 的取值范围是A. 1(0,)eB. (0,)eC. 1(,)e eD. (,)e +∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知实数,x y 满足120x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥，则2+x y 的最大值为___________. 14.设函数()1xf x e =-的图象与x 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为_________.15. 已知椭圆221369x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线:9l y =-与椭圆交于,A B 两点，则1ABF ∆的周长为__ .16. 已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，顶点P 在底面ABCD 上的射影是底面的中心，当该四棱锥的底面边长和高均为4时，其外接球的表面积为___________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足434(1)S a =+，3435a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{||}n a 的前n 项和为n T .18. （本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm ）：7155789998161845298356170275461241801119男女男生成绩不低于175cm 的定义为“合格”，成绩低于175cm 的定义为“不合格”；女生成绩不低于165cm 的定义为“合格”，成绩低于165cm 的定义为“不合格”. (1)求女生立定跳远成绩的中位数；(2)若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取6个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；（3）若从(2)问所抽取的6人中任选2人，求这2人中恰有人成绩“合格”的概率. 19. （本小题满分12分）已知等腰梯形ABCD 如图所示，其中AB ∥CD ，,E F 分别为AB 和CD 的中点，且2AB EF ==，6CD =，M 为BC 中点，现将梯形ABCD 按EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA ，如图2所示，N 在线段CD 上，且2CN ND =.（1）求证：MN ∥平面ADFE ； （2）求三棱锥F ADN -的高. 20. （本小题满分12分）动点P 在抛物线2=2x y 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设2PM PQ =. (1)求点M 的轨迹E 的方程;(2) 设点(4,4)N -,过点(4,5)H 的直线交轨迹E 于,A B （不同于点N ）两点，设直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R .（1）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，1()()2g x f x x m x=++-有两个零点12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P .（1）求证：AB MD AD BM ⋅=⋅；(2) 若CP MD CB BM ⋅=⋅，求证：AB BC =. 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.已知直线的参数方程为x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线上.（1）若直线与曲线C 交于A ,B 两点，求||||FA FB ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲. 已知0x ∃∈R 使不等式|1||2|x x t ---≥成立. (1)求满足条件的实数的集合T ；(2) 若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求m n +的最小值.长春市普通高中2016届高三质量监测（三）数学(文科)参考答案及评分参考一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. B2. B3. B4. B5. C6. D7. D8. A9. A 10. D 11.C 12. C 简答与提示：1. B 【命题意图】本题主要考查集合的交运算，属于基础题.【试题解析】B 由题意可知{|12}A B x x =-<<. 故选B. 2. B 【命题意图】本题考查复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】B 由复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以实部相反，虚部相同，则复数22z i =-+. 故选B.3. B 【命题意图】本题主要考查平面向量的运算性质.【试题解析】B 由题可知2(2,1),+=a b得|2|+=a b B. 4. B 【命题意图】本题考查分段函数及指数、对数运算，是一道基础题.【试题解析】B11()1,(1)52f f =--=. 故选B. 5. C 【命题意图】本题考查三角函数定义及恒等变换.【试题解析】C 由三角函数定义sin αα==，或sin αα==4sin 22sin cos 5ααα==. 故选C. 6. D 【命题意图】本题考查回归直线的基本内容，属于基础题.【试题解析】D 由数据可知10,8,x y ==将(,)x y 代入回归直线方程，可得 3.2b =-，故当价格提高到12元时，ˆ 1.6y=.故选D. 7.D 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识，是一道基础题.【试题解析】D 由题可知，sin 2sin 2A B =，所以A B =或22A B π+=，因此此三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选D .8.A 【命题意图】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力，属于基础题.【试题解析】A 该几何体可以看成由两个四棱锥组成，每个四棱锥的底面面积为9，高为3，故其体积为9，所以整个几何体体积为18. 故选A. 9.A 【命题意图】本题考查程序框图及进位制，属基础题. 【试题解析】A 由题意知01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选A.10.D 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像及性质，是一道中档题. 【试题解析】D 由题可知，3πϕ=-，从而()sin()3f x x π=-，则该函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为. 故选D. 11. C 【命题意图】本题是考查双曲线性质的中档题.【试题解析】C 由题可知2||,b MF b a b a===. 故选C.12. C 【命题意图】本题是函数性质综合运用题，是一道较难题.【试题解析】C 由题可知函数在(,)-∞+∞上单调递增，所求不等式等价于|(ln )|(1)f x f <，从而(1)(ln )(1)f f x f -<<，进而1ln 1x -<<，所以1x e e<<. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 4 14. y x =- 15. 24 16. 36π 简答与提示：13. 4【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查.【试题解析】令2z x y =+，根据可行域及z 的几何意义，可确定最优解为(2,0)，从而2x y +的最大值为4.14. y x =-【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】由题意(0,0)P ，(),(0)1xf x e f ''=-=-，从而曲线在点P 处的切线方程为y x =-.15. 24【命题意图】本题考查椭圆的定义.【试题解析】由题意知:9l y =-过椭圆的右焦点2F ，从而1ABF ∆的周长为1212424AF AF BF BF a +++==.16. 36π【命题意图】本题求四棱锥外接球表面积运算，是一道较难题.【试题解析】由题意可求出外接球的半径为3，故其表面积为36π. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列的通项公式，前n 项和公式，是一道基础题.【试题解析】解：(1) 由题意可求得⎩⎨⎧+=+++=+)3(5)2(3)12(4641111d a d a d a d a ，解得,2,91-==d a 所以n a n 211-=.(6分)(2) 设{}n a 的前n 项和为n S ，则210n n S n -=，设{}n a 的前n 项和为n T ， 当5≤n 时，210,0n n S T a n n n -==>，当6≥n 时，50102)(2555765+-=-=--=----=n n S S S S S a a a S T n n n n综上得⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=6,50105,1022n n n n n n T n .(12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，包括茎叶图、概率. 本题主要考查学生数据处理能力.【试题解析】(1)． （3分） (2) 6个人，则抽取成绩“合格”人数为4人；（3分）(3) 由(2)设成绩“合格”的4人为A ，B ，C ，D ，成绩“不合格”的2人为b a ,,从中选出2人有（A ,B ），（A ,C ），（A ,D ），（A ,a ），（A ,b ），（B ,C ），（B ,D ），（B ,a ），（B ,b ），（C ,D ），（C ,a ），（C ,b ），（D ,a ），（D ,b ），（b a ,），共15种，其中恰有1人成绩“合格”的有（A ,a ），（A ,b ），（B ,a ），（B ,b ），（C ,a ），（C ,b ），（D ,a ），（D ,b ），共8种，故所求 (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 过点M 作EF MP ⊥于点P ，过点N 作FD NQ ⊥于点Q ，连接PQ . 由题意，平面⊥EFCB 平面EFDA ，所以⊥MP 平面EFDA且22=+=CFBE MP ，因为EF DF EF CF ⊥⊥,，所以⊥EF 平面CFD ，所以EF NQ ⊥，由FD NQ ⊥，所以⊥NQ 平面EFDA ，又12CN ND =，所以，即NQ MP NQ MP =,//，则MN //PQ ，由MN ⊄平面ADFE ，（6分） (2) AND S ∆=N 到平面AFD 的距离为2，3AFD S ∆=，所以三棱锥F ADN -的高2AFDANDS h S ∆∆==. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 设),(y x M ，有)2,(y x P ，将P 代入y x 22=，得y x 42=，从而点M 的轨迹E 的方程为y x 42=. （4分）(2) 设),(),,(2211y x B y x A ，联立⎩⎨⎧=+-=yx x k y 45)4(2，得0201642=-+-k kx x ，则⎩⎨⎧-==+201642121k x x k x x ，因为44,44222111+-=+-=x y k x y k ，所以41)4)(4()14)(14(212121-=+++-+-=⋅x x k kx k kx k k .(12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性等情况. 本题对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解(1) 因为()ax x x f -=ln ，则()xaxa x x f -=-='11， 若函数()ax x x f -=ln 在()∞+，1上单调递减，则10ax -≤在()∞+，1上恒成立， 即当1x >时1a x>恒成立，所以1≥a . (6分)(2) 证明：根据题意，()1ln (0)2g x x m x x =+->， 因为1x ，2x 是函数()1ln 2g x x m x=+-的两个零点， 所以111ln 02x m x +-=，221ln 02x m x +-=.两式相减，可得122111ln 22x x x x =-即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122ln x x x x x x -=.那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=.令12x t x =，其中01t <<，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 构造函数1()2ln (01)h t t t t t=--<<，则22(1)'()t h t t -=. 因为01t <<，所以'()0h t >恒成立，故()(1)h t h <，即12ln 0t t t--<.由ln 0t <，可知112ln t t t->，故121x x +>. (12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解(1) 由BC CD =可知，BAC DAC ∠=∠，在△ABD 中，则AB ADBM DM=，因此AB MD AD BM ⋅=⋅； (5分) (2) 由CP MD CB BM ⋅=⋅可知CP BM CB MD =，又由(1)可知BM AB MD AD =，则CP ABCB AD=，由题意BAD PCB ∠=∠，可得△BAD ∽△PCB ，则ADB CBP ∠=∠，又ADB ACB ∠=∠，即CBP ACB ∠=∠，又PB 为圆O 的切线，则CBP CAB ∠=∠，因此ACB CAB ∠=∠， 即AB AC =. (10分)23. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解(1) 已知曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为(-，则m =-将直线的参数方程x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=，则12||||||2FA FB t t ⋅==. (5分)(2) 由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C上的动点,2sin )P θθ则以P为顶点的内接矩形周长为42sin )16sin()(0)32ππθθθθ⨯+=+<<，因此该内接矩形周长的最大值为16.(10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(1) 令1,1()|1||2|23,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则1()1f x -≤≤，由于0x ∃∈R 使不等式|1||2|x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤. (5分)(2) 由(1)知，33log log 1m n ⋅≥，根据基本不等式33log log 2m n ≥+≥ 从而23mn ≥当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥当且仅当3m n ==时取等号，所以m n +的最小值为6. (10分)。
高考数学文科三模试卷长春含答案
2013年高考数学文科三模试卷(长春含答案)2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试数学(文科)1．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.不等式表示的区域在直线的A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.已知复数，且为实数，则A.B.C.D.3.已知，则的值为A.B.C.D.4.已知是平面向量，下列命题中真命题的个数是①②③④A.1B.2C.3D.45.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为A.7B.15C.31D.636.已知函数的图像关于直线对称，则最小正实数的值为A.B.C.D.7.已知数列满足，，则A.121B.136C.144D.1698.一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为A.B.C.D.9.在中产生区间上均匀随机数的函数为“()”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为A.B.C.D.10.已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则A.B.C.D.11.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.12.若函数对任意的都有，且，则A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.函数的定义域为____________.14.若等比数列的首项是，公比为，是其前项和，则=_____________.15.双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与轴垂直的直线和双曲线的一个交点为，若是和的等差中项，则该双曲线的离心率为.16.已知集合，，若，则实数的取值范围是__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）在三角形中，.⑴求角的大小；⑵若，且，求的面积.18.（本小题满分12分）2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类:第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）.某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.⑴求该小区居民用电量的中位数与平均数；⑵本月份该小区没有第三类的用电户出现，为鼓励居民节约用电，供电部门决定：对第一类每户奖励20元钱，第二类每户奖励5元钱，求每户居民获得奖励的平均值；⑶利用分层抽样的方法从该小区内选出5户居民代表，若从该5户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率.19.（本小题满分12分）如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.⑴求证：平面平面；⑵求四棱锥的体积.20．（本小题满分12分）如图，曲线与曲线相交于、、、四个点.⑴求的取值范围；⑵求四边形的面积的最大值及此时对角线与的交点坐标. 21（本小题满分12分）已知函数.⑴求函数的单调区间；⑵如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；⑶是否存在正实数，使得：当时，不等式恒成立？请给出结论并说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 如图，是的直径，弦与垂直，并与相交于点，点为弦上异于点的任意一点，连结、并延长交于点、.⑴求证：、、、四点共圆；⑵求证：.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；⑵当时，曲线和相交于、两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数，．⑴求不等式的解集；⑵如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2013年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.B2.C3.A4.A5.B6.A7.C8.B9.D10.A11.B12.B简答与提示：1.【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式所表示的区域位置问题，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】B右下方为不等式所表示区域，故选B.2.【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是共轭复数的乘法运算以及对共轭复数的基本性质的考查，对考生的运算求解能力有一定要求.【试题解析】C由为实数，且，所以可知，，则，故选C.3.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式以及倍角的余弦公式的应用，对学生的化归与转化思想以及运算求解能力提出一定要求.【试题解析】A由，得，故选A.4.【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质，特别是对平面向量运算律的全面考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】A由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确，故选A.5.【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试题解析】B有程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.6.【命题意图】本题着重考查三角函数基础知识的应用，对于三角函数的对称性也作出较高要求.本小题同时也考查考生的运算求解能力与考生的数形结合思想.【试题解析】A函数的对称轴为，则，即，因此的最小正数值为.故选A.7.【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题，以及等差数列的通项公式，也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.【试题解析】C由，可知，即，故是公差为1的等差数列，，则.故选C.8.【命题意图】本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体中基本量的关系，以及球表面积公式的应用，本考点是近年来高考中的热点问题，同时此类问题对学生的运算求解能力与空间想象能力也提出较高要求.【试题解析】B由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则.故选B.9.【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的定义与简单应用，对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求.本题着重考查考生数据处理的能力，与归一化的数学思想.【试题解析】D.由于，，而，，所以坐标变换公式为，.故选D.10.【命题意图】本小题是定值问题，考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质.本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.【试题解析】A设，，由题意可知，，，则，联立直线与抛物线方程消去得，，可知，故.故选A.11.【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式. 【试题解析】B由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此.故选B.12.【命题意图】本小题着重考查函数的周期性问题，以及复合函数的求值问题，对于不同的表达式，函数周期性的意义也不同，此类问题时高考中常见的重要考点之一，请广大考生务必理解函数的周期与对称问题.本题主要对考生的推理论证能力与运算求解能力进行考查.【试题解析】B由可知函数周期，当时可知，，，因此.故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.14.15.216.简答与提示：13.【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质与其定义域的求取问题，以及一元二次不等式的解法.本小题着重考查考生的数学结合思想的应用.【试题解析】由题意可知，解得或，所以函数的定义域为.14.【命题意图】本小题主要考查等比数列的前项和公式的推导与应用，同时考查了学生的分类讨论思想.【试题解析】根据等比数列前项和公式：.15.【命题意图】本小题主要考查双曲线中各基本量间的关系，特别是考查通径长度的应用以及相关的计算，同时也对等差中项问题作出了一定要求.同时对考生的推理论证能力与运算求解能力都有较高要求.【试题解析】由题可知，则，化简得，故.16.【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题，对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要求.【试题解析】由题可知，集合表示圆上点的集合，集合表示曲线上点的集合，此二集合所表示的曲线的中心都在处，集合表示圆，集合则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得的取值范围是.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17.(本小题满分12分)【命题意图】本题针对三角变换公式以及解三角形进行考查，主要涉及三角恒等变换，正、余弦定理等内容，对学生的逻辑思维能力提出较高要求.【试题解析】(1)由，化简得，即，即，(3分)则，故或(舍)，则.(6分)(2)因为，所以或.(7分)当时，,则,;(8分)当时，由正弦定理得.所以由，可知.(10分)所以.(11分)综上可知(12分)18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括中位数与平均数的求法、对于随机事件出现情况的分析与统计等知识的初步应用.本题主要考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1)因为在频率分布直方图上，中位数的两边面积相等，可得中位数为155.(2分)平均数为.(4分)(2)(元).(7分)(3)由题可知，利用分层抽样取出的5户居民中属于第一类的有4户，编为，第二类的有1户，编为.现从5户中选出2户，所有的选法有，，，，，，，，，共计10种，其中属不同类型的有，，，共计4种.(10分)因此，两户居民用电资费属不同类型的概率.(12分) 19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面、面面的垂直关系、空间几何体体积的求取.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1)证明：由题可知，(3分)(6分)(2)，则.20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中极值的求取.本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1)联立曲线消去可得，，根据条件可得，解得.(4分)(2)设，，，，则(6分)令，则，，(7分)设，则令，可得当时，的最大值为，从而的最大值为16.此时，即，则.(9分)联立曲线的方程消去并整理得，解得，，所以点坐标为，点坐标为，，则直线的方程为，(11分)当时，，由对称性可知与的交点在轴上，即对角线与交点坐标为.(12分)21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况.本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)由于，所以.(2分)当，即时，；当，即时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.(4分)(2)令，要使总成立，只需时.对求导得，令，则，()所以在上为增函数，所以.(6分)对分类讨论：①当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；②当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；③当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意. 综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.(9分)(3)存在正实数使得当时，不等式恒成立.理由如下：令，要使在上恒成立，只需.(10分)因为，且，，所以存在正实数，使得，当时，，在上单调递减，即当时，，所以只需均满足：当时，恒成立.(12分)注：因为，，所以22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解(1)连结，则，又，则，即，则、、、四点共圆.(5分)(2)由直角三角形的射影原理可知，由与相似可知：，，，则，即.(10分)23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1)对于曲线消去参数得：当时，；当时，.(3分)对于曲线：，，则.(5分)(2)当时，曲线的方程为，联立的方程消去得，即，，圆心为，即，从而所求圆方程为.24.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解：(1)(2分)当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则.综上可得，不等式的解集为.(5分)(2)设，由函数的图像与的图像可知：在时取最小值为6，在时取最大值为，若恒成立，则.(10分)。
长春市普通高中2019届高三质量监测三文科试题及详细解析
长春市普通高中2019届高三质量监测（三）数学试题卷及答案详析（文科）长春市2019年高三质量监测（三） 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. D3. A4. B5.C6. A7. B8. B9. D 10. A 11. A12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查诱导公式.【试题解析】A 1sin 2102︒=-.故选A. 2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D {|12},{0,B x x AB =-<<=.故选D. 3. 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】A 12iz +=.故选A. 4. 【命题意图】本题考查程序框图.【试题解析】B 可知. 故选B.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 151,5,15d a S =-==.故选C.6. 【命题意图】本题主要考查平面向量. 【试题解析】A 可知. 故选A.7. 【命题意图】本题考查函数性质的相关知识.【试题解析】B 可知. 故选B.8. 【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系.【试题解析】B 可知.故选B9. 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】D 可知ABC 正确.故选D.10. 【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识.【试题解析】A 确定函数为奇函数，可排除C ，D ，代入特殊值，排除B. 故选A. 11. 【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识.【试题解析】A 做O 点关于准线的对称点M ，则所求距离和的最小值为|AM|.故选A. 12. 【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识.【试题解析】C 先确定121x x <<，借助条件等式，用2x 表示1x ，1211ln 3x x =-，得到关于2x 的函数关系式122211ln 3x x x x +=-+，通过构造函数并求导确定该函数的单调性求出答案.故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13. 242,25-14. 2 15.①②④16. 222n n -三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.【试题解析】解：6sinC=，所以sin 1C =，2C π∠=，所以2BC ==，所以122S =⨯⨯=（6分） （Ⅱ）设DC x =，则2BD x =，则2AD x =，所以222(2)(2)6222x x x x +-=⋅⋅解得：x =所以3BC DC ==（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意得，第一车间样本工人20人，其中在75min 内（不含75min ） 生产完成一件产品的有6人，第二车间样本工人40人，其中在75min 内（不含75min ） 生产完成一件产品的有40(0.0250.05)1030⨯+⨯=人，故第一车间工人中有60人， 第二车间工人中有300名工人中在75min 内生产完成一件产品；（4分） （II ）第一车间样本平均时间为60270480109047820x ⨯+⨯+⨯+⨯==甲（min ）， 第二车间样本平均时间为600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=乙（min ）， ∵x x >甲乙，∴乙车间工人生产效率更高；（8分）（III ）由题意得，第一车间样本生产时间小于75min 的工人有6人， 其中生产时间小于65min 的有2人， 分别用A 1、A 2代表生产时间小于65min 的工人， 其余用B 1、B 2、B 3、B 4代表， 抽取2人基本事件空间为Ω={（A 1,A 2），（A 1,B 1），（A 1,B 2），（A 1,B 3），（A 1,B 4）， （A 2,B 1），（A 2,B 2），（A 2,B 3），（A 2,B 4），（B 1,B 2），（B 1,B 3），（B 1,B 4），（B 2,B 3），（B 2,B 4）， （B 3,B 4）}共15个基本事件，设事件A =“2人中至少1人生产时间小于65min”，则事件A ={（B 1,B 2），（B 1,B 3），（B 1,B 4），（B 2,B 3），（B 2,B 4），（B 3,B 4）}共6个基本事件，∴63()1()1155P A P A =-=-=. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】（Ⅰ）证明：在PAE △中，OP AE ⊥，在BAE △中，OB AE ⊥，AE POB ∴⊥平面，PB POE ⊂平面，所以AE PB ⊥；（6分）（Ⅱ）设点C 到平面PAB 的距离为d ，由题意得，OP ABCE ⊥平面时，四棱锥P -ABCE 体积最大，OP OB ==PB ∴=1AP AB ==，PABS∴=，又111338P ABCABC V OPS -===，33C PAB PABV d S -∴===. （12分）AB CEOP20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：22()(0)af x x x x'=-+> （1）∵0a >，∴当14ax =时，()f x '取最大值28a ，∴2=28a ，∵0a >，∴4a =∴此时222442()x f x x x x -'=-+=，在1(0,)2上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1(,+)2∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴()f x 极小值点为12x =. （4分）（Ⅱ）∵22()(0)ax f x x x -'=>且0a >.∴在2(0,)a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，在2(,+)a∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴22()()ln f x f a a a a≥=+∵关于x 的不等式()2f x <有解，∴2ln 2a a a+<，∵0a >，∴22ln 10a a +-<令()ln 1g x x x =+-，∴11()1xg x x x-'=-=，在(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(1,+)∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()(1)0g x g ≤=，∴22ln 10a a +-<可解得20a >且21a≠∴a 的取值范围是0a >且2a ≠. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）2e =，a ∴=，又a =222a b c =+， 218a ∴=，29b =，因此椭圆C 的方程为221189x y +=. （4分） （Ⅱ）法一：设000(,)(0)M x y x ≠，11(,)N x y ，11MB NB ⊥，22MB NB ⊥，∴直线1NB ：0033x y x y +=-+……① 直线2NB ：0033xy x y -=--……②由①，②解得：20109y x x -=，又22001189x y +=，012x x ∴=-， 四边形21MB NB 的面积1212013||(||||)3||22S B B x x x =+=⨯，20018x <≤，∴当218x =时，S 的最大值为2. （12分） 法二：设直线1MB ：3(0)y kx k =-≠，则直线1NB ：13y x k=--……①直线1MB 与椭圆C ：221189x y +=的交点M 的坐标为2221263(,)2121k k k k -++，则直线2MB 的斜率为222263312112221MBk k k k k k --+==-+， ∴直线2NB ：23y kx =+……②由①，②解得N 点的横坐标为2621N kx k =-+，因此四边形21MB NB 的面积12222112||6||54||54||(||||)3()122121212||||M N k k k S B B x x k k k k k =+=⨯+==≤++++，当且仅当||2k =S取得最大值2. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 设()()11,,,N M ρθρθ,()10,0ρρ>>1112ρρθθ=⎧⎨=⎩,即312cos ρθ=，即4cos ρθ=，所以()22400x x y x -+=≠. （5分）（Ⅱ）将1l 的参数方程代入C 的直角坐标方程中，221(2)4(2)(1)02t -+++= 即230t t +-=,12,t t 为方程的两个根，所以123t t =-，所以1233AP AQ t t ⋅==-=. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】解：（1）①当12x <时，21()324,32f x x x =-+≤∴-≤< ②当112x ≤<时，1()4,12f x x x =≤∴≤<③当1x ≥时，()324,f x x =-≤∴12x ≤≤综上：()4f x ≤的解集为2{|2}3x x -≤≤.（5分）（II ）法一：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2f x ∴=即12m =又,,,a b c R +∈且12a b c ++=，则2221a b c ++=，设x =，yz =，222x y xy +≥，2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++， 同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++，2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=，2222()22221212x yz x y z xyyz zxa b c∴++=+++++≤+++++，x y z ∴++≤≤当且仅当16a b c ===时，取得最大值（10分）法二：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2fx ∴=即12m =，∴,,,a bc R +∈且12a b c ++=，444212121333()222a a a =++++++≤++= 当且仅当16a b c ===时，取得最大值（10分）法三：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2f x ∴=即12m =12a b c ∴++=，(21)(21)(21)4a b c ∴+++++=由柯西不等式可知()())2222222111111++⋅++≥≤当且仅当212121a b c +=+=+，即16a b c ===时，取得最大值（10分）。
2021长春普通高中高三质量监测(三模)文数答案
36 6a2 + 4b2长春市普通高中2021 届高三质量监测（三）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）1. D2. A3. B4. C5. C6. C7. B 8. B 9. D 10. D 11. B 12. B 简答与提示：1.【试题解析】DB = {x | x = 2n , n ∈A}={1, 2, 4,16}∴A B ={1, 2, 4}.2.【试题解析】Az = (1- 2i)i = 2 +i ∴虚部是1.3.【试题解析】Ba4=S4-S3= 134.【试题解析】Cπ由周期是π，排除B ，有由于在区间( ,π) 单调递增，结合图像排除A、D.25.【试题解析】C2a -b 2 = 4a2 +b2 - 4a ⋅b = 12∴ 2a -b =6.【试题解析】C12 =2 .对于 A ， a 可以与b 异面；对于 B ，可以b ⊂α；对于 D ，可以b ⊂α.7.【试题解析】Bf '(x) = ln x +1∴k =f '(e) = 2 f (e) =e ∴切线方程是 y = 2x -e .8.【试题解析】B如图，由三视图可知该三棱锥四个面都是直角三角形，四个面的面积分别为1，1，29.【试题解析】D，，故最大面积为.2 2要点数出现6，根据方差公式知，方差大于 2.4.10.【试题解析】D圆心到直线的距离d =当且仅当a = 2 时取等号.11.【试题解析】B4= 2∴a2 + 4b2 = 4 ≥2(2ab)∴ab ≤1 由初等变换画出函数图像，如图可知 k ∈[1, 3) .210 3 3 3 1 1 1) 12. 【试题解析】Bx2设内层椭圆方程为 a2y 2 + = 1，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成，b 2 x 2 y 2(ma )2 + (mb )2= 1（ m > 1），设切线方程为 y = k 1 (x - ma ) ， x 2 y 2与 + = 1联立得， a 2 b 2 （b 2 + a 2 k 2 )x 2 - 2ma 3k 2 x + m 2 a 4 k 2 - a 2b 2 = 0 ， ∆ 2b 2 1 2 b 2 2 由 =0 则 k 1= a 2 (m 2 -1) ，同理 k 2= (m a 2 -1) ， 2 2 b 4 9 2 7因此 k 1 k 2 = = (- ) a 4 16 可得e =. 4二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 3 13.5 15.3 13.【试题解析】514.16.∀n ∈ N * ,1+ 3 + 5 + + (2n -1) = n 2 π， 2 3根据三角函数定义， cos α=222 + (-1)2∴cos 2 a = 2 cos 2a -1 = 3 . 5 14.【试题解析】∀n ∈ N *,1+ 3 + 5 + + (2n -1) = n 2.答案不唯一，合情合理即可.15. 【试题解析】焦点到渐近线的距离为b ，所以tan ∠PF O = a = 1.所以e = c= .a2b 316. 【试题解析】 π，2 3sin A sin C sin( A + C ) = 3 sin C sin A (1- cos B ) ，则sin B = 3(1 - cos B )sin(B + π = ⇒ B = π . 3 2 3 1S ∆ = 2ac sin B = 2 ⇒ ac = 8 .b 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos B = (a + c )2 - 2ac - 2ac cos B = 12 ⇒ b = 2 .数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 2页（共 5页）1031032= ≈ >⎬ ⎭三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（Ⅰ）由题意， a + a + a= 7a ，化简得6q 2 - q -1 = 0 ，123 3又因为各项均为正数，则q > 0 ，可得 q = 1，因此数列{a } 的通项公式为 a = ( 1)n.2n n2（Ⅱ）由（Ⅰ）知， b = a -1 n+ n ，（6 分）n n log 2 a n =( 2 ) 1 (1- 1 n( ) ) 2 2n (n +1)1 n n (n +1) 所以数列{b n }的前 n 项和T n = 1- 1 2+ =1- ( ) + 2 2 .（12 分） 218. (本小题满分 12 分)K 11.111 10.828 ， 150 ⨯ 50 ⨯120 ⨯80可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (6 分) （Ⅱ）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易， 则好评的交易次数为 3 次，不满意的次数为 2 次，令好评的交易为 A , B ,C ，不满意的交易为a ,b ，从 5 次交易中，取出 2 次的所有取法为( A , B ) 、( A ,C ) 、( A , a ) 、( A ,b ) 、(B ,C ) 、(B , a ) 、(B ,b ) 、(C , a ) 、(C ,b ) 、(a ,b ) ，共计 10 种情况，其 中只有一次好评的情况是( A , a ) 、( A ,b ) 、(B , a ) 、(B ,b ) 、(C , a ) 、(C ,b ) ，共63计 6 种，因此，只有一次好评的概率为 19. (本小题满分 12 分)=(12 分)10 5PO // 平面CEF【试题解析】解：（Ⅰ） PO ⊂ 平面APB⎫⎪⇒ PO // EF 平面CEF 平面APB = EF ⎪ O 为 AB 中点，E 为 AB 的四等分点，所以 F 为 AB 的四等分点，即 AF = 1.（6 分）（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，V E - ACF V C -BPEF=V C - AEFV C -BPEFS AEF ⋅ h C - ABP = 3 1 S ⋅ h=S AEF S BPEF = 1 . 7 3BPEF C - A BP 1即三棱锥 E - ACF 与四棱锥C - BPEF 的体积之比为 7. （12 分）数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 3页（共 5页）12 (2 2 + 2) y 1 (2 2 + 2) y 2 2 2 2 2 > < 2 20. (本小题满分 12 分)【试题解析】解：（Ⅰ） f (x ) 的定义域为(-∞, 0) (0, +∞) ,e x (x -1)f '(x ) =，解 f '(x ) 0 得 x > 1 ，解 f '(x ) 0 得 x < 1且 x ≠ 0 ,x2故 f (x ) 的单调增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(-∞, 0),(0,1) .（4 分） e x（Ⅱ） F (x ) = - a (ln x + 1) ,定义域为(0, +∞)， F '(x ) = (e x- a )(x -1)x xx2若 F (x ) 为增函数，则 F '(x ) ≥ 0 对任意 x > 0 恒成立若 a ≤1 ，则e x- a > 0 故 F (x ) 在(0,1) 单调递减，在(1, +∞) 单调递增，不符合题意； 若1 < a < e ，则 F (x ) 在(0, ln a ) 单调递增， 在(ln a ,1) 单调递减，在(1, +∞) 单调递增，不符题意； 若 a > e ，则 F (x ) 在(0,1) 单调递增，在(1，ln a ) 单调递减，在(ln a , +∞) 单调递增，不符题意； 当 a = e 时， ln a = 1 ，此时 F '(x ) ≥ 0 恒成立；故符合题意. 综上所述， a = e 为所求.（12 分）.21. (本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（Ⅰ）△ABF 的面积 S = 1 (a + c ) ⋅ b = 1(a + 2 2a 2 - 2) ⋅ =2 +1 ，解得 a = 2 ，2 即椭圆C 的标准方程为 x + y= 1. （4 分）4 2 （Ⅱ）已知点 A (-2, 0) ，设直线 PQ 的方程为 x = ty +2 ，点 P (x 1, y 1 ) ，Q (x 2 , y 2 ) .直线 AP 的方程为 y = y 1 x 1 + 2 (x + 2) ，直线 AQ 的方程为 y = y 2x 2 + 2(x + 2) ，将 x = 2 代入直线 AP 、 AQ 方程， 可得 M (2 2,(2 2 + 2) y 1) ， N (2 2, (2 2 + 2) y 2) .x 1 + 2 已知右焦点 F 的坐标为( 2, 0) ，则x 2 + 2FM ⋅ FN = (2 2 - 2)2 + ( )( (2 2 + 2) y 2 )x 1 + 2 x 2 + 2= 2 +(2 2 + 2) y 1 ⋅ = 2 + (2 2 + 2) y 1 ⋅(2 2 + 2) y 2x 1 + 2 x 2 + 2ty 1 + 2 + 2 ty 2 + 2 + 2 (2 2 + 2)2 y y (2 2 + 2)2 y y = 2 + 1 2 = 2 + 1 2(ty + + 2)(ty + + 2)t 2 y y + ( + 2)t ( y + y ) + ( 2 + 2)2 1 2 1 2 1 2联立椭圆 x 2 + y2 = 1和直线 PQ 的方程为 x = ty + ，4 2数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 4页（共 5页）272 - 4(-6) ⎪ 可得(ty + 2)2 + 2 y 2- 4 = 0 ，化简得(t 2 + 2) y 2+ 2 2ty - 2 = 0 ，即 y + y = ， y y =-2.代入上式化简得2 + 因此 FM ⊥ FN . （12 分）1 2 t 2 + 2 1 2t 2+ 2=0 .22. (本小题满分 10 分)【试题解析】（Ⅰ）曲线C 的普通方程 y 2= 4x ，曲线C 的直角坐标方程 x - y = 2 ；12⎧ x = 1+ 2 t ⎪ 2（5 分）（Ⅱ）曲线C 2 的参数方程为⎨⎪ y = -1+ ⎪⎩(t 为参数) ， 2 t2 将其代入到曲线C 的普通方程 y 2= 4x 中，有 1 t 2 - 3 2t - 3 = 0 ，12设t 1, t 2 分别为 A , B 两点对应的参数，有t 1 + t 2 = 6 2, t 1t 2 = -6 ， 由直线参数的几何意义， M (1, -1) 到 A , B 两点的距离之和为 |t - t | = = = 4 .（10 分）1 223. (本小题满分 10 分)【试题解析】（Ⅰ）原不等式等价于⎧x ≤ 1 1⎧ 1< x < 3 1 3⎪ 2 ，解得0 < x ≤ ，或⎪ 2 2，解得 < x < ，⎨⎪⎩1- 2x + 3 - 2x < 4 ⎧x ≥ 3 ⎨ 2 ⎪⎩2x -1+ 3 - 2x < 42 23 或⎨ 2 ，解得 ≤ x < 2 ，综上，原不等式解集为 M = {x | 0 < x < 2} . 2 ⎪⎩2x -1+ 2x - 3 < 4（5 分） （Ⅱ）由（I ）知0 < a , b , c < 2 ，由基本不等式，0 < (2 - a )a ≤ 1 ，0 < (2 - b )b ≤1， 0 < (2 - c )c ≤1 ，所以0 < (2 - a )a (2 - b )b (2 - c )c ≤1，假设(2 - a )b , (2 - b )c , (2 - c )a 都大于1，有(2 - a )b (2 - b )c (2 - c )a > 1 ， 这与0 < (2 - a )a (2 - b )b (2 - c )c ≤1矛盾，所以(2 - a )b , (2 - b )c , (2 - c )a 不能都大于1.（10 分）数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 5页（共 5页）-2 2t (2 2 + 2)2 (-2)t 2(-2) + ( 2 + 2)t (-2 2t ) + ( 2 + 2)2 (t 2 + 2)(t + t ) 2 - 4t t 1 2 1 26。
吉林省长春市一0第三中学高三数学文模拟试题含解析
吉林省长春市一0第三中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知角的终边经过点，且，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：A略2. 若函数满足，则称为区间上的一组正交函数，给出三组函数①；②；③，其中为区间上的正交函数的组数是（）A． B． C． D．参考答案：B3. 已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（2）=0，则不等式≥0的解集为（）A．[﹣2，0）∪（0，2] B．[﹣2，0）∪[2，+∞）C．（﹣∞，2]∪（0，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：A【考点】3N：奇偶性与单调性的综合；3F：函数单调性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化即可．【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又f（2）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴函数f（x）的图象如图，则不等式不等式≥0等价为，等价为x＞0时，f（x）≤0，此时0＜x≤2．当x＜0时，f（x）≥0，此时﹣2≤x＜0，即不等式的解集是：[﹣2，0）∪（0，2]．故选：A．4. 已知集合A={x||x -|≤}，B={x|y=lg(4x-x2)}，则A∩B等于A．(0，2] B．∪C．(-∞，3] D．参考答案：A∵A=，B=(0，4)，则A∩B=(0，2]．故选A．5. 在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（▲ ）。
A．48 B．24 C．12 D．6参考答案：B略6. 下列命题中的假命题是(A) (B)(C) (D)参考答案：B略7. 设事件A，B，已知=，=,=，则A，B之间的关系一定为（）．（A）互斥事件；（B）两个任意事件；（C）非互斥事件；（D）对立事件；参考答案：A8. 对于函数在定义域内的任意实数及，都有及成立，则称函数为“函数”.现给出下列四个函数：；.其中是“函数”的是A．B．C．D．参考答案：A略9. 已知双曲线的左、右焦点分别为为的右支上一点，且，则等于（）A. 24B. 48C. 50D. 56参考答案：C略10. 已知向量与向量夹角为，且，，则=( ) A．B．C．1 D．2参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；平面向量及应用．【分析】，可得==0，代入解出即可．【解答】解：∵，∴==3﹣2×=0，解得=1．故选：C．【点评】本题查克拉向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正实数x、y、z满足2x＝yz，则的最小值为________．参考答案：.12. 若不等式恒成立，则实数取值范围是参考答案：13. 已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是参考答案：514. 已知数列满足a 1=a n =0，且当2≤k ≤n(k ∈)时，（=1，令．则（1）S(A n )的所有可能的值构成的集合为 ；（2）当A n 存在时，S(A n )的最大值是 。
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16
填空题
5
球内接四棱锥
空间想象能力、运算求解能力、创新意识
0.2-0.35
5
17（1）
解答题
6
数列通项
运算求解能力
0.5-0.75
2
17（2）
解答题
6
数列求和
推理论证能力
0.35-0.55
4.5
18（1）
解答题
6
统计
数据处理能力、应用意识
0.5-0.65
4
18（2）
解答题
6
概率
运算求解能力
0.45-0.6
长春三模命题双向细目表（数学文科）
题号
题型
分值
测试内容
测试能力
难度区间
作答时间
1
选择题
5
集合
运算求解能力
0.6-0.85
1
2
选择题
5
复数
运算求解能力
0.55-0.75
1
3
选择题
5
平面向量
推理论证能力
0.45-0.65
1.5
4
选择题
5
解三角形
推理论证能力
0.4-0.55
2.5
5
选择题
5
充分必要条件
推理论证能力
选做题
5
坐标方程
运算求解能力
0.55-0.75
3
23（2）
选做题
5
参数方程应用
运算求解能力
0.4-0.6
4
24（1）
选做题
5
不等式证明
推理论证能力
0.6-0.8
2
24（2）
选做题
5
不等式证明
推理论证能力
0.35-0.55
4
0.05-0.25
8
21（1）
解答题
4
导数的几何意义
运算求解能力
0.25-0.45
3
21（2）
解答题
8
导数应用
抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、应用意识
0.05-0.25
12
22（1）
选做题
5
平面线线平行
推理论证能力
0.5-0.7
2
22（2）
选做题
5
三角形相似
推理论证能力
0.35-0.5
4
23（1）
5
抛物线
推理论证能力、运算求解能力、创新意识
0.25-0.
抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识
0.1-0.15
6
13
填空题
5
三角函数
推理论证能力
0.55-0.75
2
14
填空题
5
系统抽样
数据处理能力
0.6-0.85
1.5
15
填空题
5
函数奇偶性
抽象概括能力
0.4-0.55
0.5-0.65
2
6
选择题
5
双曲线
运算求解能力
0.6-0.75
2
7
选择题
5
算法
推理论证能力
0.45-0.6
2.5
8
选择题
5
三视图
空间想象能力、运算求解能力、应用意识
0.4-0.65
2.5
9
选择题
5
三角函数
抽象概括能力、应用意识
0.3-0.45
3
10
选择题
5
线性规划
运算求解能力
0.4-0.55
4
11
选择题
9
19（1）
解答题
6
空间线面平行
空间想象能力
0.5-0.65
4
19（2）
解答题
6
几何体表面积
推理论证能力
0.25-0.45
10
20（1）
解答题
4
椭圆标准方程
运算求解能力
0.4-0.65
3
20（2）
解答题
4
圆的切线
推理论证能力
0.2-0.35
5
20（3）
解答题
4
两点间距离最值
推理论证能力、运算求解能力、应用意识