4-5非齐次线性方程

0 i 不是根, k 1 i 是根.
记住此公式
e cos i sin , e
i
i
cos i sin .
cos x
e
i x
e 2
i x
,sin x
e
i x
e 2i
i x
例5 写出下列微分方程的特解形式 (1) y 3 y 2 x cos 3 x 解 f ( x ) e x [ Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ] 型.
2 p 0,
y* xQm ( x )e x ;
(3) 若是特征方程的重根， 2 p 0, 2 p q 0,
可令 Q( x ) x 2Qm ( x ),
y* x 2Qm ( x )e x .
综上讨论
x y py qy e Pm ( x )

Q( x ) ( 2 p)Q( x ) (2 p q )Q( x ) Pm ( x ) （1）
y py qy e x Pm ( x ) Q( x ) ( 2 p)Q( x ) (2 p q )Q( x ) Pm ( x ) （1）
r 2 2r 1 0
y ax b
* 1
* * 1 * 2
特征根 r1,2 1
y x (cx d )e
* 2 2
x
y y y ax b x (cx d )e
2
x
同一类型不同函数需用叠加原理
例4 已知 y e2 x ( x 1)e x是二阶常系数非齐次线性 x 微分方程y ay by Ce 的一个特解，试确定 常数a, b, C及该方程的通解. 解 将y e2 x ( x 1)e x代入微分方程得， 2x x x x （4+2a b)e (3 2a b)e (1 a b) xe Ce 4+2a b 0 （*） 3 2a b C 1 a b 0
1
解
y y 2 y x;
y x ( Ax B )
* k
f ( x )是e 源自文库 Pm ( x )型 ，pm ( x ) x , 0
对应齐次方程为 y y 2 y 0
其特征方程为 r 2 r 2 0, r1 1, r2 2.
特解中应含有e x
[Qn ( x )e x ]' Qn ( x)e x Qn ( x )e x
解 设非齐次方程特解为 y Q( x )e ,代入原方程得
*
x

Q( x ) (2 p)Q( x ) ( 2 p q)Q( x ) e x Pm ( x )e x
x y 2 y y x (1 2 e ) 例4 写出微分方程
的待定特解的形式.
xe 0 x , 2 xe x
* 解 设 y 2 y y x 的特解为 y1 * x y 设 y 2 y y 2 xe 的特解为 2
* * 则所求特解为 y* y1 y2
对应齐次方程的特征方程为
x
r 9 0,
2
r = 3i .
i不是特征方程的根.
y* a cos x b sin x
(3 )
y y sin x cos 2 x
解 对应齐次方程为 y y 0 r 2 1 0 r 1,
因为sin x cos 2 x的 不相等,故非齐次方程的
xe x是非齐次方程的解.
将y xe x 代入上式,得f ( x) e x 2 xe x
所以方程为
y y 2 y e x 2 xe x
二.二阶常系数线性非齐次方程的解法:
x 1. y py qy e f( x ) ( x) Pm
Pm ( x ) a0 x m a1 x m 1 am 1 x am
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理2 y是非齐次方程L( y ) f x 的特解,
Y 是其对应的齐次方程L(y)=0的通解，则 y Y y
是非齐次微分方程L( y ) f ( x )的通解.
非齐次通解 齐次通解 非齐次特解
L(Y y*) L(Y ) L( y*) f ( x )
0不是特征方程的根,故k 0,
故 y* Ax B
1 1 将y 代入原方程可得A=- , B 2 4
*
2
y y 2 y e x ;
y x Ae
* k
x
解 f ( x )是e x Pm ( x )型 ，pm ( x ) 1, 1
对应齐次方程为 其特征方程为
其对应的线性齐次微分方程的形式为 L( y ) 0
一.二阶非齐次线性方程的解的性质与结构: 定理1 设 y1与y2是二阶非齐次方程 L( y ) f x 的两个解，则 y1 - y2是对应齐次方程 L( y ) 0的解.
L( y1 y2 ) L( y1 ) L( y2 ) f ( x ) f ( x ) 0 y1 y2是L( y ) 0的解.
0 不是根 设 y* x k e xQm ( x ) , k 1 是单根, 2 是重根 记住此公式
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
齐次线性方程的特征根求解法只适用于常系数的线性方程
例2. 写出下列微分方程的特解的形式
解得a 3, b 2, C 1.
于是方程为y-3y 2y -e x （ 或（4+2a b)e2 x (3 2a b C )e x (1 a b) xe x 0 因e2 x , e x , xe x 线性无关，故得（*）式。）
x 2. y py qy e [P f( x )l ( x )cos x Pn ( x )sin x ]
0, 3,
Pl ( x ) 2 x , Pn ( x ) 0

对应齐次方程为 特征方程为
y 3 y 0.
r 2 3r 0. r1 0, r2 3
由于 i 3i不是特征方程的根, k 0. 故原方程的特解形式为:
y ( Ax B )cos 3 x (Cx D )sin 3 x .
*
Y 对应齐次方程的通解; y* 非齐次方程的特解.
对应齐次方程
y py qy 0,
例3 求方程 y 3 y 2 y 2 xe x 的通解 . （2010年）
解 对应齐次方程为 特征根为
y 3 y 2 y 0 特征方程为 r 2 3r 2 0,
*
y* x k ( Ax B )cos 3 x (Cx D )sin 3 x .
(2) y 9 y cos x ,
解
f ( x )属e [ Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ] 型 0, 1, pl ( x ) 1, pn ( x ) 0
是二阶线形非齐次微分方程的解,求此微分方程
解
y1 y3 e ,
x
y1 y2 e
2x
e
x
是对应齐次方程的解,
(r 1)(r 2) 0
e x (e 2 x e x ) e 2 x 也是对应齐次方程的解,
故可设此方程为 y y 2 y f ( x )
r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C 2e 2 x ,
* x 设 y x ( Ax B ) e , 1是单根，
A 1 , 代入方程, 得 2 Ax 2 A B 2 x 2 A B 0 A 1, B 2. 于是 y* x( x 2)e x 原方程通解为 y C1e x C2e 2 x x(1 2 x )e x .
(Y y*)是L( y ) f ( x )的解.
上述结论对n阶也成立
定理3 设二阶线性方程L( y ) f1 x f 2 x ,
y1 与 y2 分别是方程 L( y ) f1 x 与L( y ) f 2 x
的特解,则 y y 是L( y ) f1 x +f 2 x 的特解.
1 2
证明:
L( y1 +y2 ) L( y1 )+L( y2 )
f1 ( x )+f 2 ( x )
1 2
解的叠加原理
故 y y 是L( y ) f1 x +f 2 x 的特解.
上述结论对n阶也成立
x 2x x x x 2x x 已知 y xe e , y xe e , y xe e e 例1 1 2 3
§4.5
二阶线性非齐次方程
二阶线性非齐次微分方程的一般形式
y P x y Q x y f x D y P x Dy Q x y f x
2
[ D 2 P x D Q x ] y f x
L( y ) f ( x )
(1) 若 不是特征方程的根， p q 0, 可令 Q( x ) Qm ( x ), y* Qm ( x )e x ; 通过（1）用待定系数法可求出 Qm ( x ), (2) 若是特征方程的单根，
2
2 p q 0,
可令 Q( x ) xQm ( x ),
利用欧拉公式可将右边转化为指数函数与多项式乘 积类型，从而利用类型1求解。可得 非齐次微分方程的特解形式为
(1) (2) y* x k e x [ Rm ( x )cos x Rm ( x )sin x] (1) (2) m maxl , n 其中 Rm ( x ), Rm ( x )是m次多项式，
* y2 C cos 2 x D sin 2 x;
故原方程的特解形式为:
* * y* y1 y2 A cos x B sin x C cos 2 x D sin 2 x .
特解必须分成两个方程来求解. (1) y y sin x , 0, 1, i i不是特征方程的根 k 0. * y1 A cos x B sin x; (2) y y cos 2 x , 0, 2,
i 2i不是特征方程的根 k 0.
对应齐次方程为
y 2 y y 0.
其特征方程为 r 2 2r 1 0, r1,2 1.
1是特征方程的二重根,故k 2,
故 y x Ae .
* 2
x
`
二阶常系数非齐次线性方程
( x) y py qy f 0
通解结构
y Y y ,
2
y y 2 y 0;
r r 2 0, r1 1, r2 2.
*
1是特征方程的单根,故k 1,
故 y x Ae .
x
1 y 代入原方程可得A 3
*
3
y 2 y y e .
x
y* x k Ae x .
解 pm ( x ) 1, 1