2013年高考数学总复习 3-2 利用导数研究函数的性质课件 新人教B版

2．函数的极值 (1)函数极值的定义 已知函数 y＝f(x)，设 x0 是定义域(a，b)内任一点， 如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0))，则 称 f(x)在点 x0 取得极大(小)值， x0 是 f(x)的一个极大(小) 称 值点．
3．函数的最大值与最小值 函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]内可导的函 数 f(x)必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的 函数 f(x)不一定有最大值与最小值．
大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注：据新课标的要求，有关函数最大值、最小值的 实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题 中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与 端点值比较，就可以知道这一点就是最大(小)值点．
4．求函数的极值、最值时，要严格按解题步骤规范 条理的写出解答过程，养成列表的习惯，含参数时注意 分类讨论，已知单调性求参数的值域或取值范围时，要 注意其中隐含 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒成立． 还要注意 f(x)在区间 A 上单调增(或减)与 f(x)的单调增(或减)区间是 A 的区别．
(理)已知 f(x)＝2x3－6x2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有 最大值为 3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( A．－37 C．－5 B．－29 D．以上都不对 )
解析：f ′(x)＝6x2－12x，由 f ′(x)＝0 得 x＝0 或 x ＝2， x<0 或 x>2 时， ′(x)>0， 0<x<2 时， ′(x)<0， 当 f 当 f ∴f(x)在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减， 由条件知 f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37， 故选 A. 答案：A
点评：此类问题的易错点是 a＝－3 时，该函数也是 R 上的减函数，符合题目要求，好多学生在解此类问题时，往 往丢掉等号．
(文)函数 y＝x3＋ax＋b 在(－1,1)上为减函数，在(1， ＋∞)上为增函数，则( A．a＝1，b＝1 C．a＝－3，b＝3 ) B．a＝1，b∈R D．a＝－3，b∈R
由(1)知 f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单 调递增， 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k－1)＝－ek
－1
； 当 k－1≥1， k≥2 时， 即 函数 f(x)在[0,1]上单调递减， 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)＝(1－k)e. 答案：(1)f(x)在[0,1]上的最小值，当 k≤1 时为－k，
当 1<k<2 时为－ek 1，当 k≥2 时为(1－k)e.
－
利用导数求函数的极(最)值
[例 2] 已知函数 f(x)＝－x3＋6x2－9x＋m.
(1)求 f(x)的单调递增区间． (2)若 f(x)在区间[0,4]上的最小值为 2， 求它在该区间上的 最大值．
解析：(1)f ′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x－1)(x－3)，由 f ′(x)>0 得，1<x<3. ∴f(x)在区间(1,3)上单调递增． (2)由 f ′(x)<0 得 x<1 或 x>3， ∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，在[3,4]上 单调递减，f(0)＝m，f(1)＝m－4，f(3)＝m，f(4)＝m－4，且 m－4<m，∴m－4＝2，∴m＝6， ∴f(x)在[3,4]上的最大值为 m＝6.
解析：f ′(x)＝3x2＋a，由条件 f ′(1)＝0， ∴a＝－3，b∈R. 答案：D
(理)(2011· 陕西咸阳彩虹中学模拟)已知 a 为实数， f(x) ＝(x2－4)(x－a)． (1)求导数 f ′(x)； (2)若 f ′(－1)＝0，求 f(x)在[－2,2]上的最大值和最 小值； (3)若 f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是单调增函 数，求 a 的取值范围．
(2)①如果在某个区间内恒有 f ′(x)＝0，则 f(x)等于 常数． ②对于可导函数 f(x)来说，f ′(x)＞0 是 f(x)在(a，b) 上为单调增函数的充分不必要条件，f ′(x)＜0 是 f(x)在 (a，b)上为单调减函数的充分不必要条件，如 f(x)＝x3 在 R 上为增函数， f ′(0)＝0， 但 所以在 x＝0 处不满足 f ′(x) ＞0.
误区警示 1．利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题 (1)利用导数值的符号来求函数的单调区间，必须在 函数的定义域内解不等式 f ′(x)>0(或 f ′(x)<0)． ．．．． (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数 等于 0 的点外，还要注意函数的不连续点或不可导点. (3)注意在某一区间内 f ′(x)>0(或 f ′(x)<0)是函数 f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．
已知函数的单调性，求参数值或参数的取值范围
[例 3] 已知函数 f(x)＝ax3＋3x2－x＋1 在 R 上是减函数， 求 a 的取值范围． 解析：f ′(x)＝3ax2＋6x－1. ∵f(x)是 R 上的减函数．∴f ′(x)≤0 恒成立． 即 3ax2＋6x－1≤0 在 x∈R 上恒成立， ∴a<0 且 Δ＝36＋12a≤0，∴a≤－3.
π 当 x∈( ，π)时，y′＝xcosx<0，∴y 为减函数； 2 π π ∴y＝xsinx＋cosx 在(－π，－ )和(0， )上为增函数， 2 2 故应选 A. 答案：A
(文)函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( A．(－∞，2) C．(1,4) B．(0,3) D．(2，＋∞)
D．(－∞，3)
分析：由 f(x)在(0,1)内有极小值知，f ′(x)＝3x2－2a＝0 在(0,1)内有解 x＝x0， x<x0 时， ′(x)≤0， 0 时， ′(x)≥0. 且 f x>x f
3 2 解析： ′(x)＝3x －2a， f ′(x)＝0 得， f 令 a＝ x ， ∵f(x) 2
4a＋8≥0， 即 8－4a≥0，
所以－2≤a≤2.
所以 a 的取值范围为[－2,2].
已知函数极值求参数值或参数的取值范围
[例 4] (2011· 聊城模拟)函数 f(x)＝x3－2ax＋a 在(0,1)内 )
有极小值，则实数 a 的取值范围是( A．(0,3) C．(0，＋∞) 3 B．(0， ) 2
)
解析：f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)， 由 f ′(x)>0 得，x>2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数． 答案：D
பைடு நூலகம்
(理)(2011· 北京文，18)已知函数 f(x)＝(x－k)ex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解析：(1)f ′(x)＝(x－k＋1)ex 令 f ′(x)＝0，得 x＝k－1. f(x)与 f ′(x)值的情况如下：
(文)(2011· 泉州二模)函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－ 1,1]上的最大值是( A．－2 C．2 B．0 D．4 )
解析：对函数求导后可知 f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－ 2)，则 f(x)在区间[－1,0]上递增，在[0,1]上递减，因此最 大值是 f(0)＝2，故选 C. 答案：C
3．求最值的步骤： 第1步 第2步 第3步 求导数 f ′(x)； 求方程 f ′(x)＝0 的所有实数根； 考察在每个根 x0 附近，从左到右，导函数
f ′(x)的符号如何变化．如果 f ′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果由负变正，则 f(x0)是极小值．
第4步
将 f(x)的各极值及 f(a)、f(b)比较，其中最
利用导数研究函数的单调性
[例 1] 函数 y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增 区间是( )
π π A．(－π，－ )和(0， ) 2 2 π π B．(－ ，0)和(0， ) 2 2 π π C．(－π，－ )和( ，π) 2 2 π π D．(－ ，0)和( ，π) 2 2
解析：y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx， π 当 x∈(－π，－ )时，y′＝xcosx>0，∴y 为增函数； 2 π 当 x∈(－ ，0)时，y′＝xcosx<0，∴y 为减函数； 2 π 当 x∈(0， )时，y′＝xcosx>0，∴y 为增函数； 2
第 二 节
利用导数研究函数的性质
重点难点 重点：1.用导数判定函数单调性的方法 2．函数极值的概念及求法、函数的最值 难点：导函数的图象与函数单调性的关系
知识归纳 1．函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在区间(a， b)内可导， 如果 f ′(x)__ > 0，则 f(x)在区间(a，b)内为增函数；如果 f ′(x)__ 0，则 < f(x)在区间(a，b)内为减函数．
5．构造法 在利用导数研究函数的性质，证明不等式等解题过 程中，常常要构造函数，构造方程等来促成问题的解决．
[例]
2x－1 证明不等式 lnx> ，其中 x>1. x＋1
(x>1)．
2x－1 解析：设 f(x)＝lnx－ x＋1
x－12 1 4 则 f ′(x)＝x－ ＝ ， x＋12 xx＋12 ∵x>1，∴f ′(x)>0. ∴f(x)在(1，＋∞)内为单调增函数． 又∵f(1)＝0，当 x>1 时，f(x)>f(1)＝0， 2x－1 2x－1 即 lnx－ >0.∴lnx> . x＋1 x＋1
解题技巧 1．利用导数判断函数单调性的一般步骤 ①求导数 f ′(x)； ②在函数 f(x)的定义域内解不等式 f ′(x)＞0 和 f ′(x) ＜0； ③根据②的结果确定函数 f(x)的单调区间．
2． 判断极值的方法： 当函数 f(x)在点 x0 处可导且 f ′(x0) ＝0. ①如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0，右侧 f ′(x)<0，那 么 f(x0)为极大值； ②如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)<0，右侧 f ′(x)>0，那 么 f(x0)是极小值．
解析：(1)由原式得 f(x)＝x3－ax2－4x＋4a， 所以 f ′(x)＝3x2－2ax－4. 1 (2)由 f ′(－1)＝0，得 a＝ ， 2 1 此时有 f(x)＝(x －4)(x－ )，f ′(x)＝3x2－x－4. 2
2
4 由 f ′(x)＝0，得 x＝ ，或 x＝－1， 3
4 50 9 又 f( )＝－ ，f(－1)＝ ，f(－2)＝0，f(2)＝0， 3 27 2 9 50 所以 f(x)在[－2,2]上的最大值为 ，最小值为－ . 2 27 (3)f ′(x)＝3x2－2ax－4 的图象为开口向上且过点 (0，－4)的抛物线， 由条件得 f ′(－2)≥0，f ′(2)≥0，
x f ′(x) f(x)
(－∞，k－1) －
k－1 0
(k－1，＋∞) ＋ ↗
↘
－ex－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递 增区间是(k－1，＋∞)， (2)当 k－1≤0，即 k≤1 时，函数 f(x)在[0,1]上单调 递增，所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)＝－k； 当 0<k－1<1，即 1<k<2 时，
2． y＝f(x)在(a， 若 b)内可导， ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0， f 且 y＝f(x)在(a，b)内导数 f ′(x)＝0 的点仅有有限个，则 y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数． 3．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨 论．
4．极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点 的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性. (2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么 极大值就是最大值，极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点 ．．．．．． 不一定是极值点． ．．．．．．．． (4)极值是一个局部概念， 极大值不一定比极小值大． ．． ．．．