2016高中人教B版数学必修四1.3.1《正弦函数的图象与性质》教学设计4
1.3.1 正弦函数的图象与性质 第一课时 课件(人教B版必修4)
正弦函数的定义域、值域及单调 性问题 正弦函数的定义域、值域及单调性问题在高 考中多以选择题、填空题的形式出现，有时 也出现在解答题的容易题中，考查较基础，
难度要求不高．
例3 求下列函数的定义域、值域及单调递增
区间． π log 1 (1)y＝2sin( －x)；(2)y＝ sinx. 2 4
【思路点拨】 解答本题中(1)可先求出函数的定义 π 域和值域， 然后再把原式化为 y＝－2sin(x－ )， 借 4 助于 y＝sinu 的单调性加以处理． 解答本题中(2)可先分析 sinx>0，得出函数的定义 域，然后借助于 y＝ log 1u 的单调性分析，求得单 2 调区间和值域．
(2)最小正周期的定义 周期 所有周期中 对 于 一 个 ______ 函 数 f(x) ， 如 果 在 它 的 最小的正数 最小正数 __________存在一个____________，那么这个
_____________就叫做它的最小正周期．
思考感悟 2．是否所有周期函数都有最小正周期？并举例说 明？ 提示：并不是所有周期函数都存在最小正周 期．例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R， 当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对 于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T) ＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不 为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x) 没有最小正周期．
【点评】 (1)在利用关键的五个点描点作图时 要注意， 被这五个点分隔的区间上函数的变化情 况，在 x＝0，π，2π 附近，函数图象上升或下降 π 3π 得快一些，曲线“陡”一些；在 x＝ ， 附近， 2 2 函数变化得慢一些，曲线变得“平缓”． (2)在解题过程中，常用“五点法”作出简图， 使计算更加快捷．
数学人教B版必修4教案：1.3.1正弦函数的图象与性质
正弦型函数的图象课堂教学设计教学目标1、初步认识振幅、周期、频率、初相的概念，认识正弦型函数；2、会“五点作图”作正弦型函数的图象。
例：、y=2sin x、y=sin x、、、等；3、能够认识以上这些函数与正弦函数图象的关系，即它们是如何通过正弦函数图象平移、伸缩而得到；4、明确的物理意义，把数学知识用在解决相关的物理等实际问题中的能力。
教学内容分析正弦型函数是正弦函数的扩展应用,它与正弦函数是一般与特殊的关系,两者有相似的性质,都是三角的重要组成部分,正弦型函数在社会生活和物理学中有重要的应用学情分析高一年级5班共50名学生，他们已经自学了振幅、周期、频率、初相的概念，初步认识了正弦型函数，有了一定的学习基础，并且探索学习新知识的欲望很强，有着较强的表现欲。
所以我将面向全体学生，以学生小组合作学习为主，因材施教，分层教学，始终把激发学生的学习兴趣放在首位，引导学生掌握良好的探究学习方法，培养学生良好的学习习惯。
教学策略与方法1、通过“五点作图”法，使得学生掌握作三角函数图象的一种一般方法；2、通过图象变换的学习，培养运用数行结合思想分析、研究问题的能力，以及探究、创新的能力；3、通过图象的对比，学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析、解决问题；多媒体、讲义教学用具项目内容解决措施教学重点1、“五点作图”法；2、图象的平移与伸缩变换。
创设情境，带领指导学生探究合作学习、尽量让每个学生在小组内完成学习任务。
教学难点图象的平移与伸缩变换；函数与的图象的关系。
利用课件演示变换过程，培养学生应用知识的能力。
学生课前准备自学并掌握：函数，表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；称为相位；时的相位称为初相。
教学媒体知识点编号类型内容要点教学作用使用方式所得结论1课件振幅、周期、频率、相位、初相的概念检查学生学习效果。
第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(四)
本 课 时 栏 目 开 关
1.3.1（四）
π π 2x－ 的图象， 要得到 y＝sin 只要将 y＝sin(2x＋ ) 4 4
π A．向左平移 个单位 2 π C．向左平移 个单位 4
π B．向右平移 个单位 2 π D．向右平移 个单位 4
( D )
π π π 解析 y＝sin(2x－4)＝sin2x－4＋4 π 若设 f(x)＝sin2x＋4， π π π x－ ＝sin2x－ ，∴向右平移 个单位． 则f 4 4 4
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1（四）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
φ 对 y＝sin(x＋φ)，x∈R 的图象的影响
①利用五点法作出函数 y＝sin x 的图象，通常选取的五个点依 π 3π (0,0) ， 2，1 ， (π，0) ， 2 ，－1 ， (2π，0) ． 次是 π ②为作出函数 y＝sinx＋3 在一个周期上的图象，请先完成下 表，并回答相应的问题： π x＋ 0 3 π － 3 x π sinx＋ 3 0 π 2 π π 2π 6 3 3π 2
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1（四）
x ④根据 y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 的图象回答下列问题： 2 函数 y＝sin 2x 的图象可以看作把正弦曲线 y＝sin x 图象上所有 1 x 点的横坐标压缩到原来的 2 倍(纵坐标不变)；函数 y＝sin 的 2 本 课 图象可以看作把正弦曲线 y＝sin x 图象上所有点的横坐标拉伸 时
. 本 课 π π 时 ④在同一坐标系中，作出函数 y＝sin x，y＝sinx＋3 ，y＝sinx－4 栏 目 的图象： 开 关
高中数学 1.3.1.1 正弦函数的图像同步课件 新人教B版必修4
思考探究 五点法作图中函数y＝sinx，x∈[0,2π]上的五个点具有怎样 的特征？ 提示 这五个点分别是图象的最高点和最低点以及图象与 x轴的交点.
第九页，共39页。
自测自评
1.正弦函数y＝sinx的图象中，相邻的两个最大值点间的距
离为( )
π A.2
B．π
3π C. 2
D．2π
第三十页，共39页。
(2)当cosx≠0，即x≠kπ＋π2(k∈Z)时， 有y＝tanx·cosx＝sinx， 即y＝sinx(x≠kπ＋2π，k∈Z)． 其图象如图
第三十一页，共39页。
例3 求函数y＝ 2sinx－1的定义域． 剖析 要求y＝ 2sinx－1 的定义域，只需求满足2sinx－ 1≥0，即sinx≥ 12 的x的取值集合，在区间[0,2π]上先求出满足条 件的x的范围，然后在两边加上2kπ(k∈Z)即可．
规律技巧 1.数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的 问题形象化、直观化，平时解题时要注意运用．
2．此题也可由单位圆求解，大家可以试一试．
第三十五页，共39页。
变式训练3 求下列函数的定义域． (1)y＝ 2sinx＋ 3； (2)y＝log2(6 2－12sinx)．
第三十六页，共39页。
解析
(2)在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点， 然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦 函数的简图，这种方法叫做五点法．
第二十三页，共39页。
变式训练1 用“五点法”作出函数y＝2－sinx的简图．
解析 (1)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
u＝sinx 0 1 0 －1 0
y＝2－u 2 1 2 3 2
高中数学人教新课标必修四B版教案高中数学必修4全部教案
人教B版数学必修4 第一章基本初等函数（Ⅱ）教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角本章知识结构如下：2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。
（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。
因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。
（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。
研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。
因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。
（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。
3、本单元教学内容总体教学目标 （1）任意角的概念、弧度制了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． （2）任意角的三角函数理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。
理解同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。
原创1：1.3.1 正弦函数的图象与性质
1
y
O
2
π
2
2π
1
2
x
-1
[0,
3
]
5
[
,2 ]
3
拓展提升：题型二：
1
根据余弦函数图象写出使不等式cosx＞
x∈[0，2π]
2
成立的x的取值集合
1
分析：先观察y cos x ( x 0,2 )的图象与直线y ,
2
再找出交点的坐标,由图象写得不等式的解集.
2 1
(
, )
课堂练习
与y cos x图象相同的是(
D)
A. y cos x，x R B. y sin( x)
3
3
C. y sin( x) D. y sin( x)
2
2
归纳小结
1. 正弦曲线、余弦曲线特点
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，
可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并
画出y=sinx在[0，2π]内的图象？
探究点1
正弦函数 图像
y
y sin x, x[0, 2
1
π
2π
x
O
2
-1
3
2
探究点2
观察函数y=sinx在[0，2π]内的图象，其形状、位置、
sin(
sin(
2
2
y=sinx
2
2
O
-1
π
2π x
x)
x )在[0，2π]内
人教版数学高一-人教B版必修4学案 1. 正弦函数的图象与性质
1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第1课时 正弦函数的图象与性质1.能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点)2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点)[基础·初探]教材整理1 正弦函数的图象阅读教材P 37～P 38“例1”以上部分，完成下列问题.1.利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线.2.“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( )(2)正弦函数y ＝sin x 的图象在x ∈[2k π，2k π＋2π]，(k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同.( )(3)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象关于x 轴对称.( ) (4)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象关于原点成中心对称.( )【解析】由正弦曲线的定义可知只有(3)错误.【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2正弦函数的性质阅读教材P39～P40“例2”以上部分，完成下列问题.1.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：对于一个周期函数f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.2.正弦函数的性质函数y＝sin x定义域(－∞，＋∞)值域[－1,1]奇偶性奇函数周期性最小正周期：2π单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上递减最值x＝2kπ＋π2，(k∈Z)时，y最大值＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y最小值＝－1函数y＝sin x的一条对称轴是()A.x＝π2 B.x＝π4C.x＝0D.x＝π【解析】y＝sin x的对称轴是x＝kπ＋π2(k∈Z)，∴应选A.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]五点法作函数的图象作函数y＝sin x，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系.【导学号：72010021】【精彩点拨】可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图象，然后比较它们的关系.【自主解答】按五个关键点列表：x 0π2π3π22πsin x 010－10－1＋sin x －10－1－2－1由图象可以发现，把y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象.1.五点法作图，要抓住五个关键点，使函数式中的x 依次取0，π2，π，32π，2π，然后解出相应的y 值，再描点，连线得出图象.2.y ＝sin x ±b 的图象可以由y ＝sin x 的图象上、下平移获得. [再练一题]1.作出函数y ＝1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图. 【解】 列表：x 0 π2 π 32π 2π y1211描点连线：求三角函数的周期求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin 12x ； (2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6.【精彩点拨】 求周期的方法可以用诱导公式sin(x ＋2k π)＝sin x 得到. 【自主解答】 (1)如果令u ＝12x ，则sin 12x ＝sin u 是周期函数，且最小正周期为2π.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin 12x ，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋4π)＝sin 12x .∴y ＝sin 12x 的最小正周期是4π. (2)∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x ＋6π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.用定义求周期时应注意，从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调是自变量x 本身加的常数才是周期，如：f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是周期，要写成f (2x ＋T )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，T 2是f (x )的周期.[再练一题]2.求下列函数的周期： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝|sin x |.【解】 (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2π，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期是π.(2)令f (x )＝|sin x |，则f (k π＋x )＝|sin(k π＋x )|＝|±sin x |＝|sin x |＝f (x )(k ∈Z 且k ≠0).∴k π是函数f (x )的周期，则最小正周期为π.正弦函数的单调性及应用已知函数f (x )＝sin x －1.(1)写出f (x )的单调区间；(2)求f (x )的最大值和最小值及取得最值时x 的集合； (3)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12的大小. 【精彩点拨】 结合正弦函数的单调性及单调区间求解即可.【自主解答】 (1)∵函数f (x )＝sin x －1与g (x )＝sin x 的单调区间相同， ∴f (x )＝sin x －1的增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z ). (2)∵函数g (x )＝sin x ，当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，取最大值1， 当x ＝2k π＋32π(k ∈Z )时，取最小值－1. ∴函数f (x )＝sin x －1，当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，取最大值0， 当x ＝2k π＋32π(k ∈Z )时，取最小值－2. (3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－1， ∵－π2＜－π12＜－π18＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12.1.求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性.2.比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.[再练一题] 3.比较大小：(1)sin 250°与sin 260°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.【解】 (1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4. 因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.[探究共研型]正弦函数的值域与最值问题探究1 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?【提示】 不能.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.探究2 函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？【提示】 不是.因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .求下列函数的值域.(1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3；(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .【精彩点拨】 (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围.(2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围.【自主解答】 (1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5，∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5].(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1， y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图象可知－2≤y ≤98， 即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性.2.转化成同一函数，要注意不要一见sin x 就有－1≤sin x ≤1，要根据x 的范围确定.[再练一题]4.设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值. 【解】 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22， ∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22.1.以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A.在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B.关于x 轴对称C.介于直线y ＝1和y ＝－1之间D.与y 轴仅有一个交点【解析】 观察y ＝sin x 图象可知A ，C ，D 正确，且关于原点中心对称，故选B.【答案】 B2.下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )【解析】 由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 【答案】 D3.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A.0B.1C.－1D.2【解析】 由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1. 【答案】 C4.若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是__________.【导学号：72010022】【解析】因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.【答案】[－1,0]5.(2016·西安高一检测)用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图. 【解】列表：x 0π2π3π22πsin x 010－10y＝－2sin x 0－2020我还有这些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y＝sin|x|的图象是()【解析】 ∵函数y ＝sin|x |是偶函数，且x ≥0时，sin|x |＝sin x .故应选B. 【答案】 B2.(2016·济南高一检测)函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.(π，2π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.(0，π)【解析】 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确， 故选C. 【答案】 C3.在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( )【导学号：72010023】A.(0，π)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π 【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.【答案】 C4.(2016·兰州高一检测)设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】 因为0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，1sin x ≥1，所以函数f (x )＝sin x ＋a sin x＝1＋asin x 有最小值而无最大值，故选B.【答案】 B5.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A.0 B.π4 C.π2D.π【解析】 当φ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，而y ＝cos 2x 是偶函数，故选C.【答案】 C 二、填空题6.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的周期是23π，则ω＝________.【解析】 根据题意有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∴2π3ω＝2π， ∴ω＝3. 【答案】 37.函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________.【解析】 据题意知sin x ＞0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z ). 【答案】 (2k π，2k π＋π)(k ∈Z )8.(2016·杭州高一检测)若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________.【解析】 由三角形内角和为π知，若x 为三角形中的最小角， 则0＜x ≤π3，由y ＝sin x 图象知y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32三、解答题9.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值.【解】 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 10.已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.【解】 ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0.当a >0时，最大值为2a ＋b ＝1， 最小值为－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3. 当a <0时，最大值为－3a ＋b ＝1， 最小值为2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.[能力提升]1.函数y ＝sin(－x )，x ∈[0,2π]的简图是( )【解析】 因为y ＝sin(－x )＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象可看作是由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于x 轴对称得到的.故选B.【答案】 B2.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________. 【解析】 ∵sin α∈[－1,1]，∴－sin α∈[－1,1]，∴已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3.已知直线y ＝a ，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]，试探求以下问题. (1)当a 为何值时，直线y ＝a 与函数y ＝sin x 的图象只有一个交点？ (2)当a 为何值时，直线与函数图象有两个交点？ (3)当a 为何值时，直线与函数图象有三个交点？ (4)当a 为何值时，直线与函数图象无交点？【解】 作出直线y ＝a ，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知.(1)当a ＝1或－1时，直线与函数图象只有一个交点. (2)当－1＜a ＜0或0＜a ＜1时，直线与函数图象有两个交点. (3)当a ＝0时，直线与函数图象有三个交点. (4)当a ＜－1或a ＞1时，直线与函数图象无交点.。
高二数学教案1.3.1正弦函数的图像与性质1新必修4
1.3.1正弦函数的图象和性质 (1)
一、教学目标：
1．知识目标：
正弦函数的图象
2．能力目标：
(1)会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象
(2)会用五点法画出正弦函数的简图
3．情感目标：
发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系
二、教学重点、难点：
重点：用五点法画正弦曲线
难点：利用单位圆中的正弦线画正弦曲线
三、教学方法：
借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。
以讲授法为主。
四、教学过程：。
正弦函数的图像和性质教学设计与反思模板
教学设计基本信息名称正弦函数的图象和性质执教者邢老师课时 1课时所属教材目录人教B版必修第四册1.3.1教材分析《正弦函数的图象与性质》是高中新教材人教B版必修第四册1.3.1的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。
因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
本节共分三个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画正弦函数图象简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正弦函数的部分性质（定义域、值域等）。
学情分析本课的学习对象为高二7班的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。
教学目标知识与能力目标学会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。
过程与方法目标1. 会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；2. 掌握正弦函数图象的“五点作图法”；3. 掌握与正弦函数有关的简单图象平移变换和对称变换；5. 培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；6. 培养数形结合和化归转化的数学思想方法。
初步探索、展示内涵进一步探索根据学生的认知水平,正弦曲线的形成分了三个层次：★引导学生画出点问题一：你是如何得到的呢？如何精确描出这个点呢？问题二：请大家回忆一下三角函数线，看看你是否能有所启发？什么是正弦线？如何作出点展示幻灯片提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到的正弦值是来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化学生口答引导学生由单位圆的正弦线知识，只要已知角x的大小，就可以由几何法作出相应的正弦值来。
2016-2017学年高二数学人教B版必修4学案1.3.1《正弦函数的图象与性质》(3)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)明目标、知重点 1.掌握y ＝sin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间.正弦函数的图象和性质[情境导学]周期性、奇偶性是正弦函数所具有的基本性质，此外，正弦函数还具有哪些基本性质？我们将对此作进一步研究.探究点一 正弦函数的值域及最值 问题 正弦曲线：由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R .思考1 观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别为何值时，正弦函数y ＝sin x 取得最大值1和最小值－1? 答 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.例1 求使下列函数取得最大值和最小值的x 的取值范围，并说出最大值和最小值是什么： (1)y ＝sin2x ； (2)y ＝sin x ＋2； (3)y ＝(sin x －1)2＋2.解 (1)当2x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π4(k ∈Z )时，函数y ＝sin2x 取得最大值，最大值是1；当2x ＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，函数y ＝sin2x 取得最小值，最小值是－1.(2)由于函数y ＝sin x 与函数y ＝sin x ＋2同时取得最大值或同时取得最小值.因此： 当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin x ＋2取得最大值，最大值为3；当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin x ＋2取得最小值，最小值为1.(3)设t ＝sin x ，则有y ＝(t －1)2＋2，且t ∈[－1,1]，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了.在闭区间[－1,1]上，当t ＝－1时，|t －1|最大，函数y ＝(t －1)2＋2，取得最大值(－1－1)2＋2＝6.由t ＝sin x ＝－1，得x ＝2k π－π2(k ∈Z )，这就是说，当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，函数y ＝(sin x －1)2＋2取得最大值6.在闭区间[－1,1]上，当t ＝1时，|t －1|最小，函数y ＝(t －1)2＋2取得最小值，最小值为2. 由t ＝sin x ＝1，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，这就是说，当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝(sin x －1)2＋2取得最小值2.反思与感悟 形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g (t )＝at 2＋bt ＋c 在闭区间[－1,1]上的最值问题.要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1对值域的影响.跟踪训练1 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域. 解 设t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，f (t )＝t 2－t ＋1. ∵f (t )＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34.∵－1≤t ≤1， ∴当t ＝－1，即sin x ＝－1时，y max ＝f (t )max ＝3； 当t ＝12，即sin x ＝12时，y min ＝f (t )min ＝34.∴函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域为⎣⎡⎦⎤34，3.探究点二 正弦函数的单调性思考 观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 正弦函数都是周期函数，且周期是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域.函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 探究点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的单调性 思考1 怎样确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的单调性？答 当ω>0时，把ωx ＋φ看成一个整体，视为X .若把ωx ＋φ代入到y ＝sin X 的单调增区间，则得到2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )，从中解出x 的取值区间就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间.若把ωx ＋φ代入到y ＝sin X 的单调减区间，则得到2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )，从中解出x 的取值区间就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的减区间.当ω<0时，先利用诱导公式把x 的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解.思考2 请同学们根据上面介绍的方法，写出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间. 答 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3， 令2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z .∴4k π＋53π≤x ≤4k π＋113π，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z ，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z . 例2 不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零： (1)sin(－π18)－sin(－π10)；(2)sin(－235π)－sin(－17π4).解 (1)因为－π2<－π10<－π18<π2，且函数y ＝sin x 在区间[－π2，π2]上是增函数，所以sin(－π10)<sin(－π18)，即sin(－π18)－sin(－π10)>0.(2)sin(－235π)＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin(π－2π5)＝－sin 2π5，sin(－17π4)＝－sin 17π4＝－sin π4， 因为0<π4<2π5<π2，且y ＝sin x 在[0，π2]上是增函数，所以sin π4<sin 2π5.于是－sin π4>－sin 2π5，sin(－17π4)>sin(－235π)， 即sin(－235π)－sin(－17π4)<0.反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π；(2)cos875°与sin980°. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin ⎝⎛⎭⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π<sin 493π.(2)cos875°＝cos(720°＋155°)＝cos155°＝cos(90°＋65°)＝－sin65°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(180°＋80°)＝－sin80°， ∵sin65°<sin80°， ∴－sin65°>－sin80°， ∴cos875°>sin980°.例3 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间. 解 y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1. 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z ).解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z ).令k ＝0时，－π2≤x ≤32π；令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π；令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π.∵－4π≤x ≤4π，∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为[－4π，－52π]，[－π2，32π]，[72π，4π]. 反思与感悟 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx ＋φ视为一个整体.若x 的系数ω为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.跟踪训练3 求函数y ＝log 12(sin2x )的增区间.解 由题意得sin2x >0且y ＝sin2x 递减. ∴π2＋2k π<2x <π＋2k π，k ∈Z . ∴k π＋π4<x <k π＋π2，k ∈Z .∴y ＝log 12(sin2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z .1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B.[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.2.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴2π3≤x ＋2π3≤7π6.∴sin 7π6≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3≤sin 2π3， ∴－12≤y ≤32.故选B.3.下列不等式中成立的是( ) A.sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B.sin3>sin2 C.sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D.sin2>cos1 答案 D解析 ∵sin2＝sin ()π－2，cos1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－1，且(π－2)－⎝⎛⎭⎫π2－1＝π2－1>0， ∴π2>π－2>π2－1>0， ∴sin ()π－2>sin ⎝⎛⎭⎫π2－1，即sin2>cos1. 4.求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域. 解 设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1) g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间(－1,1)内. g (t )在(－1,1)上是单调递减的，∴g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g (t )∈[2,10]. 所以y ＝f (x )的值域为[2,10]. [呈重点、现规律]1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x 为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、基础过关1.若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A.sin α>sin β B.sin β>sin αC.sin α≥sin βD.sin α与sin β的大小不定答案 D2.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A.[]－1，1 B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 答案 C解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.3.函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 C解析 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间.4.设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，又0<cos35°<1，∴c >b >a . 5.函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是. 答案 ⎣⎡⎦⎤π2，π6.若|x |≤π4，则函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是.答案 12－22解析 由cos 2x ＝1－sin 2x ，故f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，由|x |≤π4，由图象知t ∈[－22，22]，故函数化为y ＝－t 2＋t ＋1 ＝－(t －12)2＋54，当t ＝－22时，y min ＝12－22. 7.求下列函数的单调增区间. (1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ).(2)要求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的增区间，即求使y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间.为此，x 满足：2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z .整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z .∴函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的增区间为 ⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z .二、能力提升8.函数y ＝2sin x 的单调增区间是( ) A.[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B.[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )C.[2k π－π，2k π](k ∈Z )D.[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 答案 A解析 函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间 9.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3 答案 B解析 令ωx ＝－π2，则x ＝－π2ω<0，∵f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取到最小值为－2， 则－π2ω∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴－π2ω≥－π3， ∴ω≥32.∴ωmin ＝32.10.sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为. 答案 sin3<sin1<sin2 解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)， 即sin3<sin1<sin2.11.已知0≤x ≤π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a ).解 设cos x ＝t ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤t ≤1.∵y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2，∴当a <0时，m (a )＝0，M (a )＝1－2a ； 当0≤a <12时，m (a )＝－a 2，M (a )＝1－2a ；当12≤a <1时，m (a )＝－a 2，M (a )＝0； 当a ≥1时，m (a )＝1－2a ，M (a )＝0.12.已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 三、探究与拓展13.已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围.解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω].从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32].。
数学：1.3.1《正弦函数的图像与性质——y=Asin(ωx+φ)的图象》课件(新人教B版必修4)
0
2
0
小结
y＝Asin(ωx＋φ)的各种变化方式
课后作业: 课本
P49 练习A1(2)(4)
2(3)(4)
世上没有什么天才
天才是勤奋的结果
2
x
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有： 最高点： (
2
2
,1)
最低点： ( 3 ,1) 与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0) 在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
新课讲解:
(1) y sin 4 x
1 (2) y sin x 3
(3)
1 1 y sin x 的图象与y sin x的图象的关系： 2 2
图象上各点纵坐标
1 sin x 图象上各点横坐标 1 sin 1 x y y y sin x 2 2 伸长为原来的2倍 2 缩短为原来的一半
1
y 1 sin x 2
正弦型函数 y=Asin(x+)
物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都 是常数）.
函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中(A>0, ω >0)表 示一个振动量时， A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离，通常称为这个振动的振幅； 往复一次所需的时间 T
1 令X x , 则x 3( X ). 3 6 6 3 当X取0, , , ,2时, 可求得相对应的x和y 2 2 . 然 后 将 简 图 再 "描 点 . , 的值, 得到"五点", 再描点作图.
1.3.1正弦函数图像和性质-教学设计-崔鹏-人大附中
《正弦函数图象及其性质》教学设计学校：人大附中姓名：崔鹏学科：数学年级：高一1.3.1 正弦函数图象及其性质中国人民大学附属中学崔鹏●指导思想与理论依据本教学设计力图以《高中数学课程标准》为依据，以“师生互动教学”为指导，以教师主导、学生主体为理念，以信息技术融入学科结合动手操作教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标．《高中数学课程标准》指导下的新教材将突破以知识块为主线，而以基本的数学思想方法为主线来选择和安排教学内容，强调数的意识、空间观念、优化思想、统计思想、方程与函数思想、估计意识、推理意识和应用意识，强调从运算意义出发进行思考和教学，强调密切联系学生的生活．目的是让学生通过基础知识和基本技能的学习，学会从数学的角度提出问题、理解问题，能综合应用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．学生学习，尤其是新授课教与学应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践，自主探索、合作交流都是学习数学的重要方式．因此，本节课采用小组合作是学生喜闻乐见的形式，让学生从小组合作探究开始进入学习，可以让学生在合作的过程体验学习的快乐，旨在为学生提供对新知识的认识角度，结合生活实际解决教学难点，从而启发学生的创新性思维．●教学背景分析内容分析本节内容是高中数学人教B版教材《必修四》第一章第三节第一课时内容．三角函数是高中数学范围内学生接触的最后一类基本初等函数，而正弦函数是其中最具代表性的函数．学生通过必修一的学习，已经初步掌握了研究函数的一种基本方法，即通过图象研究函数的性质，通过简单的函数性质修正函数的图象．学情分析在本节课前，学生已经接触了弧度制、任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系式和诱导公式等知识，并通过三角函数线初次体会了三角函数“形”的概念，那么，建立正弦函数与其自变量之间的映射关系并抽象为函数图象是本节课的难点．教学方法（1）通过正弦线的变化趋势，让学生建立直观的函数变化趋势，初步总结归纳出正弦函数性质；（2）通过描点，帮助学生建立角的弧度值到坐标轴的对应关系，以实物教具的方式，让学生动手将弧长转化为数；（3）通过描点、分析、实物帮助作图到五点法，使学生逐步深入地了解正弦函数的图象形状，养成五点作图的习惯，并通过练习落实；（4）本节课将以多媒体、实物教具辅助教学的手段，通过小组合作、归纳探究、展示评价的方式展开，培养学生的自主思考能力和动手实操能力．●教学目标与重点、难点设计教学目标1．知识目标：理解正弦函数的性质，能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象；2、过程目标：通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会研究函数的基本方法，学会通过函数的性质作出函数草图，通过函数图象推演函数的性质的过程；3、情感目标：通过图象的学习，培养由局部到整体，具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．教学重点：正弦函数的性质与图象；教学难点：理解弧度值与x轴上的点的对应；● 教学过程与教学资源设计 教学过程： 一、复习回顾我们已经学习了任意角的三角函数以及三角函数线的内容，并且定义了正弦函数，y=sinx ，x ∈R ．三角函数是我们高中范围内学习的最后一种函数．我们已经有了一些研究函数的基本方法． 【提问1】根据这些经验，我们应该从哪几个方面研究正弦函数？ →定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，最值，图象等． 本节课我们将研究正弦函数的图象和性质．二、课堂活动【活动1】学生结合已有的经验，小组活动研究正弦函数的图象和性质．【提问2】你是怎样作出这个图象的？为什么可以这样作图？【提问3】你作出的图象是正弦函数图象吗？为什么图象是这样的形状？有没有使图象更精确的做法？→材料：一个圆形纸片（半径为1的圆），两根软绳，一把直尺．【提问4】在什么点拐弯，另外一边是什么样的？图中有哪些关键点？这些关键点对我们作图有什么帮助？【设计意图】五点作图法，五个点分别为：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ-． 【提问5】结合图象，你能得出正弦函数的哪些性质？ 【设计意图】培养学生根据图象获取函数性质的能力．【活动2】分小组展示，每组总结得出一条正弦函数的性质，其他组补充，教师点评． 【提问1】你是怎样得到这些性质呢？这些性质可以帮助我们作出正弦函数图象吗？ 【设计意图】培养学生根据性质作图的习惯．【活动1】学生分小组展示正弦函数的性质并讲明道理，并根据性质作出正弦函数的图象．其他组补充，教师点评．【提问2】要想得到正弦函数的图象，除了性质以外，我们还需要借助哪些条件？你有比较用1号绳量取弧长用2准确的作图方法吗？【活动2】两名学生演示作图方法，并解释该方法的原理．方法归纳：作图时，可以从0度开始量取单位圆上的一段弧长，即为对应的角度，再量取弧的终端到x 轴的线段数量，即为正弦值，利用线的长度分别得到一点的两个坐标即可．【提问3】图中有哪些关键点？这些关键点对我们作出正弦函数的草图有什么帮助？ 【活动3】试作出正弦函数的图象． 【设计意图】明确正弦函数图象的形状后，为了简化作图方式，在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图．只要这五个点描出后，图象在[0,2π]上的形状就基本确定了．三、课堂总结本节课我们作出了正弦函数的图象，并根据图象总结得到了正弦函数的重要性质．（本节课我们通过对正弦函数的定义和正弦线得到了正弦函数的性质，并根据性质作出了正弦函数的图象）．这是研究函数的基本方法．后面的学习，我们将继续深入研究正弦函数的性质和图象．学习效果评价设计1、根据课上的讨论，完成下面的表格． 正弦函数的性质正弦函数还具有周期性，这通过其图象不难发现．你知道如何定义函数的“周期”吗？用1号绳量取弧长用22、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=2sin x 和y = sin x 在[-2π，2π]上的图象；3、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=2sin x 和y = sin x 在[-2π，2π]上的图象；4、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=|sin x|和y =sin|x |在[-2π，2π]上的图象；【设计意图】本节课的重点是正弦函数的图象和性质，但是考虑到学生经过探究得到正弦函数图象之后可以很容易根据图象得到正弦函数的性质，因此在设置课堂练习和课后习题时，一方面落实“五点作图法”，并辅以简单的图象变换，另一方面引导学生总结归纳正弦函数的性质．教学设计特色说明与教学反思本节课围绕正弦函数的图象和性质展开．根据学生的思维过程，可以通过几何法或描点法先作出函数图象再归纳总结性质，也可以根据三角函数线的变化规律先探究函数性质，再作出图象．不管是从哪个角度，都希望向学生渗透函数性质和图象的依存关系，这也是数形结合的重要意义所在．根据“形”，即三角函数图象得到三角函数的性质后，可以进一步指导学生根据性质作出正弦函数图象．如利用周期性，将正弦函数图象的研究范围缩小到[-π，π]，利用奇偶性，将范围进一步缩小到[0，π]，利用对称性，将范围进一步缩小到[0，2]，这样我们可以只研究锐角的三角函数值，这大大降低了研究正弦函数的难度．在教学环节中，教师的个别指导和小组展示评价是本节课是否能够达到教学目标的关键，也是甄别学生是否能从小组合作和自主探究中体会新知识的研究方法，尤其是和生活衔接非常紧密的三角函数的研究方法，而后将本部分内容自然地镶嵌到一般函数的研究方法中，从而启发学生的学习和探究过程．板书设计：。
课件4：1.3.1 正弦函数的图象与性质
∵sin 65°<sin 80°，∴－sin 65°>－sin 80°，
∴cos 875°>sin 980°.
π
例 5 把函数 y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移3个单位
1
长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标
2
不变)，得到的图象所表示的函数是(
1.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作
图有关的问题是高考常考知识点之一．
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，
看它是否关于原点对称．
3.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的
某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
π
2
向左平移 3 个单位，后者需向左平移 3π 个单位．
4.利用“五点法”作出函数 y＝－1＋sin x (x∈[0,2π])的简图．
解：按五个关键点列表：
x
0
π
π
2
3π
2
sin x
0
1 0
－1 0
－1＋sin x
－1 0 －1 －2 －1
2π
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．
课后总结
π
跟踪训练 5 把函数 y＝sin x (x∈R)的图象上所有的点向左平移3
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2
倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(
x π
A．y＝sin2＋6，x∈R
x π
B．y＝sin2＋3，x∈R
1.3.1正弦函数的图象与性质(1)
1.3.1正弦函数的图象与性质（1）------正弦函数的图象
一、教学目标分析
根据课程标准的要求及上述教材内容地位分析，结合学生实际学习水平制定本节课教学目标如下：
1.知识与技能目标
①会用单位圆中正弦线画出x
=的图象
y sin
②会用“五点法”作图画出x
=的图象
y sin
③利用正弦函数的图象了解其部分性质，了解几何作图法
2.过程与方法
通过问题探究，经历知识产生发展的过程，体验数学发展和创造历程。
培养学生观察、分析、表达能力及数形结合思想，提高学生数学素养。
3.情感态度与价值观
通过探究体验知识的发生过程，使学生从中体味成功喜悦。
激发学生积极主动的学习精神和探索勇气。
通过画图及多媒体展示，使学生体验数学之美、体会数学学习的兴趣。
二、教学重点难点
重点：1.用单位圆正弦线做出正弦函数图象
2.会用“五点法”作图画出正弦函数图象
难点：用单位圆正弦线画出x
=的图象
y sin
三、教学设计。
正弦函数的图象与性质 正弦型函数 教学设计
1.3.1正弦函数的图象与性质3.正弦型函数y=Asin(@:+e)(一)学习目标1.了解正弦型函数y=Asin(〃+0)的定义及其参数A包0对函数图象变化的影响；2.会用“图象变换法”作出正弦型函数y=Asin(5+°)的图象；3.会利用正弦函数的性质解决正弦型函数的最值，单调性，及对称轴和对称中心等性质.(二)重点难点重点：正弦型函数的定义，图象变换的规律，正弦型函数的性质；难点：图象变换规律的总结与应用，正弦型函数的单调区间和最值的求法.(三)合作探究学习目标一：了解正弦型函数y=ASin(明+9)的定义及其参数人外。
对函数图象变化的影响.A⑷4的物理意义当y=Asin(tyχ+e),x∈[(),÷oo)(其中A>0,0>0)表示一个振动量时;A表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的,往复振动一次需要的时间称为这个振动的,单位时间内往复振动的次数/=1=乌，称为振动的___________ O69X+9称为_______ >X=O时的T2冗相位0称为O学习目标二：会用“图象变换法”作出正弦型函数y=Asin(s+e)的图象.例1在同一坐标系中作函数¥=25皿工及〉=25111X的简图。
' "2结论： ............ .................................结论：_____________________________________________例3在同一坐标系中作函数y=sin2x及y=singx的简图结论：_____________________________________________例4作函数》=3sin(2x+9的简图，说明它是由y=sinx的图象如何变换得到的？①y=sinX图象上所有点移2个单位，得至Uy=sin(x+§的图象上；②再把图象上所有点的横坐标到原来的(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+?)的图象；③再把图象上所有点的纵坐标到原来的(横坐标不变)，得到y=3sin(2x+y)的图象。
1.3.1正弦函数图像和性质-教学设计-崔鹏-人大附中
《正弦函数图象及其性质》教学设计学校：人大附中姓名：崔鹏学科：数学年级：高一1.3.1 正弦函数图象及其性质中国人民大学附属中学崔鹏●指导思想与理论依据本教学设计力图以《高中数学课程标准》为依据，以“师生互动教学”为指导，以教师主导、学生主体为理念，以信息技术融入学科结合动手操作教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标．《高中数学课程标准》指导下的新教材将突破以知识块为主线，而以基本的数学思想方法为主线来选择和安排教学内容，强调数的意识、空间观念、优化思想、统计思想、方程与函数思想、估计意识、推理意识和应用意识，强调从运算意义出发进行思考和教学，强调密切联系学生的生活．目的是让学生通过基础知识和基本技能的学习，学会从数学的角度提出问题、理解问题，能综合应用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．学生学习，尤其是新授课教与学应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践，自主探索、合作交流都是学习数学的重要方式．因此，本节课采用小组合作是学生喜闻乐见的形式，让学生从小组合作探究开始进入学习，可以让学生在合作的过程体验学习的快乐，旨在为学生提供对新知识的认识角度，结合生活实际解决教学难点，从而启发学生的创新性思维．●教学背景分析内容分析本节内容是高中数学人教B版教材《必修四》第一章第三节第一课时内容．三角函数是高中数学范围内学生接触的最后一类基本初等函数，而正弦函数是其中最具代表性的函数．学生通过必修一的学习，已经初步掌握了研究函数的一种基本方法，即通过图象研究函数的性质，通过简单的函数性质修正函数的图象．学情分析在本节课前，学生已经接触了弧度制、任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系式和诱导公式等知识，并通过三角函数线初次体会了三角函数“形”的概念，那么，建立正弦函数与其自变量之间的映射关系并抽象为函数图象是本节课的难点．教学方法（1）通过正弦线的变化趋势，让学生建立直观的函数变化趋势，初步总结归纳出正弦函数性质；（2）通过描点，帮助学生建立角的弧度值到坐标轴的对应关系，以实物教具的方式，让学生动手将弧长转化为数；（3）通过描点、分析、实物帮助作图到五点法，使学生逐步深入地了解正弦函数的图象形状，养成五点作图的习惯，并通过练习落实；（4）本节课将以多媒体、实物教具辅助教学的手段，通过小组合作、归纳探究、展示评价的方式展开，培养学生的自主思考能力和动手实操能力．●教学目标与重点、难点设计教学目标1．知识目标：理解正弦函数的性质，能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象；2、过程目标：通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会研究函数的基本方法，学会通过函数的性质作出函数草图，通过函数图象推演函数的性质的过程；3、情感目标：通过图象的学习，培养由局部到整体，具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．教学重点：正弦函数的性质与图象；教学难点：理解弧度值与x轴上的点的对应；● 教学过程与教学资源设计 教学过程： 一、复习回顾我们已经学习了任意角的三角函数以及三角函数线的内容，并且定义了正弦函数，y=sinx ，x ∈R ．三角函数是我们高中范围内学习的最后一种函数．我们已经有了一些研究函数的基本方法． 【提问1】根据这些经验，我们应该从哪几个方面研究正弦函数？ →定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，最值，图象等． 本节课我们将研究正弦函数的图象和性质．二、课堂活动【活动1】学生结合已有的经验，小组活动研究正弦函数的图象和性质．【提问2】你是怎样作出这个图象的？为什么可以这样作图？【提问3】你作出的图象是正弦函数图象吗？为什么图象是这样的形状？有没有使图象更精确的做法？→材料：一个圆形纸片（半径为1的圆），两根软绳，一把直尺．【提问4】在什么点拐弯，另外一边是什么样的？图中有哪些关键点？这些关键点对我们作图有什么帮助？【设计意图】五点作图法，五个点分别为：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ-． 用1号绳量取弧长用2【提问5】结合图象，你能得出正弦函数的哪些性质？ 【设计意图】培养学生根据图象获取函数性质的能力．【活动2】分小组展示，每组总结得出一条正弦函数的性质，其他组补充，教师点评．【提问1】你是怎样得到这些性质呢？这些性质可以帮助我们作出正弦函数图象吗？ 【设计意图】培养学生根据性质作图的习惯．【活动1】学生分小组展示正弦函数的性质并讲明道理，并根据性质作出正弦函数的图象．其他组补充，教师点评．【提问2】要想得到正弦函数的图象，除了性质以外，我们还需要借助哪些条件？你有比较准确的作图方法吗？【活动2】两名学生演示作图方法，并解释该方法的原理．方法归纳：作图时，可以从0度开始量取单位圆上的一段弧长，即为对应的角度，再量取弧的终端到x 轴的线段数量，即为正弦值，利用线的长度分别得到一点的两个坐标即可．【提问3】图中有哪些关键点？这些关键点对我们作出正弦函数的草图有什么帮助？ 【活动3】试作出正弦函数的图象．【设计意图】明确正弦函数图象的形状后，为了简化作图方式，在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图．只要这五个点描出后，图象在[0,2π]上的形状就基本确定了．用1号绳量取弧长用2三、课堂总结本节课我们作出了正弦函数的图象，并根据图象总结得到了正弦函数的重要性质．（本节课我们通过对正弦函数的定义和正弦线得到了正弦函数的性质，并根据性质作出了正弦函数的图象）．这是研究函数的基本方法．后面的学习，我们将继续深入研究正弦函数的性质和图象．学习效果评价设计1、根据课上的讨论，完成下面的表格．正弦函数的性质正弦函数还具有周期性，这通过其图象不难发现．你知道如何定义函数的“周期”吗？2、用五点法在同一坐标系内作出函数y= sin x，y=2sin x和y= sin x在[-2π，2π]上的图象；3、用五点法在同一坐标系内作出函数y= sin x，y=2sin x和y= sin x在[-2π，2π]上的图象；4、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=|sin x|和y =sin|x |在[-2π，2π]上的图象；【设计意图】本节课的重点是正弦函数的图象和性质，但是考虑到学生经过探究得到正弦函数图象之后可以很容易根据图象得到正弦函数的性质，因此在设置课堂练习和课后习题时，一方面落实“五点作图法”，并辅以简单的图象变换，另一方面引导学生总结归纳正弦函数的性质．教学设计特色说明与教学反思本节课围绕正弦函数的图象和性质展开．根据学生的思维过程，可以通过几何法或描点法先作出函数图象再归纳总结性质，也可以根据三角函数线的变化规律先探究函数性质，再作出图象．不管是从哪个角度，都希望向学生渗透函数性质和图象的依存关系，这也是数形结合的重要意义所在．根据“形”，即三角函数图象得到三角函数的性质后，可以进一步指导学生根据性质作出正弦函数图象．如利用周期性，将正弦函数图象的研究范围缩小到[-π，π]，利用奇偶性，将范围进一步缩小到[0，π]，利用对称性，将范围进一步缩小到[0，2]，这样我们可以只研究锐角的三角函数值，这大大降低了研究正弦函数的难度．在教学环节中，教师的个别指导和小组展示评价是本节课是否能够达到教学目标的关键，也是甄别学生是否能从小组合作和自主探究中体会新知识的研究方法，尤其是和生活衔接非常紧密的三角函数的研究方法，而后将本部分内容自然地镶嵌到一般函数的研究方法中，从而启发学生的学习和探究过程．板书设计：。
人教B版数学必修41.3.1正弦函数的图象与性质
( 最低点：
3
2
,1)
1
3
-
2
0
-
-
2
2
-1
4
x
正弦函数 y sin x(x R)的图象叫正弦曲线。
二.五点作图法
五点法作函数 y sin x(x 的[简0,图2：])
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
x
0
2
sin x 0
1
0
(2) 描点(定出五个关键点)
3 2
2
-1
0
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
新人教B版必修四1.3.1
知识回顾
正弦线：
设任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P做x轴的
垂线，垂足为M，我们称有向线段MP为α的正弦线，
即sinα=MP。
y
P 1α
Mo
x sinα=MP
思考：如何用几何方法在直角坐标系中作出点
C(π,sinπ) ? 33
PY
.C (π,s i nπ) 33
π
3
y
-
1
0
x
2
3 2
2
3 2
2
2
-1
2.把上一题所作的图象与y sin x(x [2 , 2 ])的图象 进行比较,说明图象与y sin x(x [2 , 2 ])的
图象的位置关系。
y
1
2 3
2
2
0 3 2x
-1 2
2
-2
-
-3
四.小结
1、正弦函数的几何作图法 2、正弦函数的五点作图法 3 、根据正弦函数图象的变化解决简单的问 题
O1
课时作业1：1.3.1 正弦函数的图象与性质(四)
1．3.1 正弦函数的图象与性质(四)一、基础过关1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 B2.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象() A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3.3．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 C4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数答案 D5．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －1 答案 B解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .6．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )答案 A解析 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标之差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6. 二、能力提升8．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度答案 B解析 y ＝sin(2x ＋π6)y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6 D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.10.某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．答案 ①③11.为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．答案 32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z . ∴φ的最小正值是32π. 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0<φ<π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，在将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的解析式．解 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝2.又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，φ∈(0，π)．故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2， 所以f (x )＝cos 2x .将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x . 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧ －π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2(x ＋π6)＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 g (x )＝0⇒sin(2x ＋π3)＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3， 故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学生在小组之间合作探究，完成例题，让学生在获取知识的同时体验了合作的快乐。
2、图象的平移与Biblioteka 缩变换。创设情境，带领指导学生探究合作学习、尽量让每个学生在小组内完成学习任务。
教学难点
图象的平移与伸缩变换；函数 与 的图象的关系。
利用课件演示变换过程，培养学生应用知识的能力。
学生课
前准备
自学并掌握：函数 ， 表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间 ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数 ，称为振动的频率； 称为相位； 时的相位称为初相。
突出、强化教学重点。
提问，展示，讲解，总结
学生能够在较轻松的学习环境里，得出比较正确的结论。
课
堂
教
学
过
程
教师的活动
学生的活动
设计意图
1、播放课件引导学生复习巩固
1、复习回顾
1、通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、频率、初相的概念。
在函数 中，点P旋转一周所需要的时间------------------，叫做点P的转周期。在1秒内，点P转动的周数---------------------，叫做转动的频率。 与 轴正方的夹角---------叫做初相。
教学媒体的选择
知识点编号
类型
内容
要点
教学作用
使用
方式
所得结论
1
课件
振幅、周期、频率、相位、初相的概念
检查学生学习效果。
边播放边问答
在较短的时间回顾所自学的内容
2
讲义
会“五点作图”作正弦型函数的图象。
提供示范，正确操作；创设情境，引发动机。
合作探究，展示学习效果
创设情境，鼓励学生合作学习
3
课件
图像变换
2、它的值域[ ]，最大值是------------,最小值是--------------。
3、--------------称为振幅，这一变换称为振幅变换
合作探究
例2、画出函数y＝sin(x－ )，x∈R，y＝sin(x＋ )，x∈R的简图
解析：列表描点画图：
x
X-
0
2
sin(x- )
X
-
X+
0
2
sin(x+ )
合作探究例3、画出函数y=sin2xxÎR；y=sin xxÎR的图象（简图）
解析：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝ ＝π
我们先画在［0，π］上的简图,列表：作图：
2x
0
p
2p
x
0
y=sin2x
函数y＝sin x，x∈R的周期T＝ ＝4π
我们画［0，4π］上的简图，列表：
0
p
2p
x
sin
结论三
1．函数y=sinωx,xÎR (ω>0且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短( )或伸长( )到原来的--------------------倍（纵坐标不变）
（3）学生总结归纳：
1、一般地，函数 （其中A>0，且A ）的图象，可以看作把函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。
请同学们用“五点法”作出下列函数在一个周期上的简图
小组讨论后完成后，并让学生总结：
一般地，把函数 的图象上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平移 个单位长度，就得到函数。
正弦型函数的图象
课堂教学设计
教学
目标
1、初步认识振幅、周期、频率、初相的概念，认识正弦型函数；
2、会“五点作图”作正弦型函数的图象。例：、y=2sinx、y= sinx、 、 、 等；
3、能够认识以上这些函数与正弦函数 图象的关系，即它们是如何通过正弦函数 图象平移、伸缩而得到；
4、明确 的物理意义，把数学知识用在解决相关的物理等实际问题中的能力。
教学策略与方法
1、通过“五点作图”法，使得学生掌握作三角函数图象的一种一般方法；
2、通过图象变换的学习，培养运用数行结合思想分析、研究问题的能力，以及探究、创新的能力；
3、通过图象的对比，学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析、解决问题；
教学
用具
多媒体、讲义
项目
内容
解决措施
教学重点
1、“五点作图”法；
教学内容分析
正弦型函数是正弦函数的扩展应用,它与正弦函数是一般与特殊的关系,两者有相似的性质,都是三角的重要组成部分,正弦型函数在社会生活和物理学中有重要的应用
学情
分析
高一年级5班共50名学生，他们已经自学了振幅、周期、频率、初相的概念，初步认识了正弦型函数，有了一定的学习基础，并且探索学习新知识的欲望很强，有着较强的表现欲。所以我将面向全体学生，以学生小组合作学习为主，因材施教，分层教学，始终把激发学生的学习兴趣放在首位，引导学生掌握良好的探究学习方法，培养学生良好的学习习惯。
结论二
2、一般地，函数y＝sin(x＋ )，x∈R(其中 ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当---------------时)或向右(当-------------时)平行移动｜ ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：--------------)
2、y＝sin(x＋ )与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
3、ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
先复习回顾正弦函数 的五点作图法
师：提问
生：回答
师：请同学们用“五点法”作出下列函数在一个周期上的简图
后小组讨论完成例题1
在同一坐标系中，对比这些函数分别与 图象的关系，观察图像说出它们
分别是由 的图象如何变换得到？
请同学们用“五点法”作出下列函数在一个周期上的简图
小组讨论后完成后，并让学生总结：
函数y=sinωx,xÎR (ω>0且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1 )或伸长( 0 <ω<1 )到原来的-------倍（纵坐标不变
将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生建模的能力和自主学习的能力
2、五点法作正弦函数 的图象和有关性质
2、学习新课
合作探究例1、画出函数y=2sinxxÎR；y= sinxxÎR的图象（简图）
解析：画简图，我们用“五点法”
∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图 列表：
x
0
p
sinx
2sinx
sinx
作图：
结论一
1、y=Asinx，(A>0且A1))的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长( )或缩短（)到原来的--------倍得到的