高数讲义

u→0 x→0
中正确的个数为 （A）0 个； （B）2 个； （C）3 个； （D）4 个；
【例 3】 已知曲线 y = f ( x) 在点 (0,0) 处的切线过点 (1,2) ，则
3
lim [cos x + ∫ f (t )dt ] x = _____ .
x→0
0
x
1
2
【解】 应填 e
1 2
由题设知 f (0) = 0, f ′(0) = 2. 本题所求极限是“ 1∞ ”型，而
x 2 f ( x) − 2 f ( x 3 ) = x→0 x3
（B） − f ′(0). （D）0.
（A） − 2 f ′(0). （C） f ′(0).
9 数一、 2009 【例 2（ 】200 数二、 数三） 当 x → 0 时， f ( x) = x − sin ax 与 g ( x) = x 2 ln(1 − bx ) 是等价无穷小，则（ 1 （A） a = 1, b = − . 6 1 （C） a = −1, b = − . 6 ） （B） a = 1, b = 1 . 6 1 （D） a = −1, b = . 6
x
【例 4】(2012 年，数一) 【解】应填
∫
2 0
x 2 x − x 2 dx =
.
π 2
【例 5】(2008 年，数三)设 D = ( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1 ， 则 ∫∫ ( x 2 − y )dxdy =
D
{
}
.
【解】应填
π 4
x
x 【例 6】(2011 年，数三)设函数 z = (1 + ) y ，则 dz (1,1) = y
kπ
0
【例 4】 （2012 年，数一、数二）设 I k = ∫ （A） I1 < I 2 < I 3 . （C） I 2 < I 3 < I1.
e x sin xdx(k = 1,2,3) ，则有
2
（B） I 3 < I 2 < I1. （D） I 2 < I1 < I 3.
【例 5 】 （2012 年，数一）如果函数 f ( x, y ) 在 (0,0) 处连续，那么下列命题正确的 是
n →∞ n →∞ n →∞
（B）若 lim xn yn = ∞ ，则必有 lim xn = ∞ 或 lim yn = ∞ ；
n →∞ n →∞ n→ ∞
（C）若 xn yn 有界，则必有 xn 与 yn 都有界； （D）若 xn yn 无界，则必有 xn 无界或 yn 无界； 【例 2】 设 lim ϕ ( x ) = 0, 则下列命题
【解】应填 (1 + 2 ln 2)(dx − dy )
1
.
2．选择题（主要考查基本理论和基本概念）
1）方法与技巧 1.直接法(推演；几何) 2.排除法 2）典型例题 【例 1 】 （2011 年，数一、数二、数三）设函数 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ， 则 lim
4
1 2 x 1 = lim 2 2 = . x →0 3 x 6 【例 6】 已知函数 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内可导，且 lim (
x→0
sin x f ( x) + ) = 2， x2 x
试求 f (0) , f ′(0) 及 lim 【解 1】 由于 则 即 则 lim (
x→0
sin ϕ ( x) （1） lim =1 x → 0 ϕ ( x) （3）若 f ′( x0 ) = A, 则 lim
（2） lim (1 + ϕ ( x))
x→0
1 ϕ ( x)
=e
x→0
f ( x0 + ϕ ( x)) − f ( x0 ) =A ϕ ( x)
（4）若 lim f (u ) = A, 则 lim f [ϕ ( x )] = A
x
x
x
1
1
x2
= e2 1 ] = __________ . ln(1 + x)
【例 4】 极限 lim [
x→0
1 ln( x + 1 + x )
2
−
【解】
1 ln(1 + x ) − ln( x + 1 + x 2 ) lim [ − ] = lim x→0 ln( x + 1 + x 2 ) ln(1 + x) x →0 ln(1 + x ) ln( x + 1 + x 2 ) 1 = lim ln(1 + x) − ln( x + 1 + x 2 ) x →0 x2 (ln( x + 1 + x 2 ) ~ x )
n+
6
n +1 1 1 1 [ + +⋯+ ] 2 n 2 n 1 + ( 1 )2 1 + ( 2 )2 1+ ( ) n n n 1 1 1 1 1 1 π lim [ + +⋯+ ] =∫ dx = 0 1 + x2 n →∞ n 1 2 2 2 n 2 4 1+ ( ) 1+ ( ) 1+ ( ) n n n 1 1 n+ n + n +1 π 则 lim [ 2 + 2 22 + ⋯ + 2 n 2 ] = 2 n →∞ 1 + n 2 +n n +n 4
f ′(0) = 2 x 1 1 1 = lim = = x x x → 0 f ( x) + 1 e − 1 f ′(0) + 1 3 f ( x) + e + x x
x→0
【解 2】 在 x = 0 处， f ( x ) 和 sin x 的泰勒展开式为
f ( x) = f (0) + f ′(0) x + o( x) ，
【例 3 】 （2011，数二，数三）已知当 x → 0 时，函数 f ( x) = 3 sin x − sin 3 x 与 cx k 是 等价无穷小，则 （A） k = 1, c = 4. （C） k = 3, c = 4. （B） k = 1, c = −4. （D） k = 3, c = −4.
1 1 − 2 1+ x 1 + x 2 = lim 1 + x − 1 − x = − 1 = lim x →0 x →0 2x 2x 2 【例 5】 求极限 lim+
x →0
x x − (sin x ) x 。 x 2 ln(1 + x ) x x [(
sin x x ) − 1] x x3 −1 （ lim+ x x = 1)
（C）若 f ( x, y ) 在 (0,0) 处可微，则极限 lim
x→0 y →0
（D）若 f ( x, y ) 在 (0,0) 处可微，则极限 lim
f ( x, y ) 存在. x→0 x 2 + y 2 y →0
第二篇
极限 1. 1.极限
最后冲刺重点题型方法与技巧
函数、极限、连续
第一章
【例 1】 设有数列 xn 与 yn ，以下结论正确的是 （A）若 lim xn yn = 0 ，则必有 lim xn = 0 或 lim yn = 0 ；
=
.
2
⎛ ⎞ x2 ⎟ = _____ . 【例 2】(2010 年，数一) 极限 lim ⎜ ⎜ x → ∞ ( x − a )( x + b ) ⎟ ⎝ ⎠ 【解】应填 e a − b 【例 3】(2007 年，数二) 【解】应填 − 1 6 lim arctan x − sin x = x→0 x3 .
2013 年考研冲刺班讲义（高等数学）
主讲：武忠祥
第一篇
客观题解题方法与技巧
1． 填空题（主要考查基本运算和基本概念）
1）方法与技巧 1）几何意义 2）求极限、求导数、求积分的方法和技巧 2）典型例题 【例 1】(2012 年,数三) 【解】应填 e − lim (tan x )
x→ π 4
1 cos x − sin x
sin x = x + o( x 2 ). 2 = lim (
x→0
sin x f ( x) sin x + xf ( x ) + ) = lim 2 x → 0 x x x2
x + o( x 2 ) + x[ f (0) + f ′(0) x + o( x )] = lim x →0 x2
= lim 则 即
sin x f ( x) sin x + xf ( x ) [sin x − x] + x[ f ( x ) − f (0)] + ) = lim = lim =2 2 2 x→0 x →0 x →0 x x x x2 sin x − x 由于 lim = 0 ，则 x→0 x2 x[ f ( x) − f (0)] f ( x ) − f (0) lim = lim =2 2 x→0 x→0 x x 则 lim
注 解本题时一开始就用洛必达法则： 2 = lim (
x→0
sin x f ( x) sin x + xf ( x) cos x + f ( x ) + xf ′( x) + ) = lim = lim . 2 2 x→0 x →0 x x x 2x
似乎也可得到 f (0) = −1 ，但这样做是错误的 . 其原因是对洛必达法则的条件 理解不透. 即我们并不知道 lim 是否存在. 1 2 n )(1 + 2 ) ⋯ (1 + 2 ), 则 lim xn = _______ . 2 n →∞ n n n 1 2 n 【解】 ln xn = ln(1 + 2 ) + ln(1 + 2 ) + ⋯ ln(1 + 2 ) n n n x 当 x > 0 时， < ln(1 + x ) < x, 则 1+ x k k k n 2 < ln(1 + k ) < k ≤ = n 2 + n n2 + k 1 + k n2 n2 2 n 【例 7】设 xn = (1 + 1 n(n + 1) 1 k 2 lim ∑ 2 = lim = n →∞ n →∞ n2 2 k =1 n