反比例函数难题拓展[附答案解析]

反比例函数经典专题

知识点回顾

由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：

一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题

设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|P M|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得

结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：

结论2：在直角三角形ABO中，面积S=

结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|

结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|

例题讲解

【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都

在函数y=4

x（x＞0）

的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标

为 .

1、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、P

2、

P3…P n都在函数y=4

x

（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则点A10

的坐标为

2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y=

1

x

的图像上，如果△PAB的面积为6，

求P点的坐标。

【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y=k

x

（x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴

上，E是对角线BD的中点，函数y=k

x

（k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标

为m，解答下列各题

1.求k的值

2.求点C的横坐标（用m表示）

3.当∠ABD=45°时，求m的值112

1、已知：如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，反比例函数y=2 x

（x＞0）的图象经过A，E两点，点E的纵坐标为m．

（1）求点A坐标（用m表示）

（2）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由

2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、

E在反比例函数y=k

x

的图象上．

（1）求AB的长；

（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=k

x

的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=

1

k

x

的图象（如图2），求k1的值；

（3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一

象限的双曲线y=k

x

于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出

点M的坐标；若不能，请说明理由．

【例3】在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1)，矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF ∽△BOE（顶点依次对应）

（1）求∠FOE；

（2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，点P （a ，b ）是反比例函数y=

1

2x

在第一象限的任意一点，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，PM ，PN 分别交直线AB 于E ，F ，有下列结论：①AF=BE ；②图中的等腰直角三角形有4个；③S △OEF =

1

2

（a+b-1）；④∠EOF=45°．其中结论正确的序号是②③④

【例4】已知：如右图，已知反比例函数y=2k

x

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经过（a ，b ），（a+1，b+k ）. （1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

已知反比例函数y=

2k

x

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点． （1）求反比例函数的解析式；

（2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标： （3）根据函数图象，求不等式

2k

x

＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。