高考数学一轮复习课后限时集训41综合法、分析法、反证法、数学归纳法理北师大版

高考数学一轮复习课后限时集训41综合法、分析法、反证法、数学归纳法理北师大版综合法、分析法、反证法、数学归纳法建议用时：45分钟一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60° C ．三个内角至多有一个大于60° D ．三个内角至多有两个大于60°B [至少有一个包含“一个、两个和三个”，故其对立面三个内角都大于60°，故选B.]2．分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x2时，索的因是( )A ．x 2>1 B ．x 2>4 C ．x 2>0D ．x 2>1C [因为x >0，所以要证1＋x <1＋x2，只需证(1＋x )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22，即证0<x 24，即证x 2>0，因为x >0，所以x 2>0成立，故原不等式成立．]3．(2019·哈尔滨模拟)用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ＋，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k－1 C ．2kD ．2k＋1C [n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，增加了12k ＋12k＋1＋…＋12k ＋1－1，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k项，故选C.] 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负A [由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2＞0，可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)＜0，故选A.]5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<1成立，则f (10)<100成立B ．若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立D [由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以A 错误；若f (1)≥1成立，则得到f (2)≥4，与f (2)<4矛盾，所以B 错误；当f (3)≥9成立，无法推导出f (1)，f (2)，所以C 错误；若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立，所以D 正确．]二、填空题6.6＋7与22＋5的大小关系为________．6＋7>22＋ 5 [要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小， ∵42>40，∴6＋7>22＋ 5.] 7．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．12k ＋12k ＋2 [不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋12k ＋2.]8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－2p 2＋p ＋1≤0，f1＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足题干要求的p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.] 三、解答题9．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.[证明] 因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1， 所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x ＞2yz x，①1y－1＝1－y y ＝x ＋z y ＞2xz y ，②1z－1＝1－z z＝x ＋y z＞2xy z，③由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z－1>8.10．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？[解] (1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设{S n }是等差数列， 则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2. 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列； 当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列．1．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2C [因为⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.]2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤AA [∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C .]3．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．5 12(n ＋1)(n －2) [由题意知f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，所以f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，猜测得出f (n )－f (n －1)＝n －1(n ≥4)．有f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1)，所以f (n )＝12(n ＋1)(n－2)．]4．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜想{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论． (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. [解] (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，结论成立， 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2. 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)1a 1＋b 1＝16＜512. 当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，原不等式成立．1．(2019·广州模拟)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n ＞2时，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是( )A ．至少存在一组正整数组(x ，y ，z )使方程x 3＋y 3＝z 3有解 B ．关于x ，y 的方程x 3＋y 3＝1有正有理数解 C ．关于x ，y 的方程x 3＋y 3＝1没有正有理数解D ．当整数n ＞3时，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n没有正实数解C [由于B ，C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个．假设关于x ，y 的方程x 3＋y 3＝1有正有理数解，故x ，y 可写成整数比值的形式，不妨设x ＝m n ，y ＝b a，其中m ，n 为互质的正整数，a ，b 为互质的正整数．代入方程得m 3n 3＋b 3a3＝1，两边乘以a 3n 3得，(am )3＋(bn )3＝(an )3，由于am ，bn ，an 都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于x ，y 的方程x 3＋y 3＝1没有正有理数解．故选C.]2．已知x i >0(i ＝1,2,3，…，n )，我们知道(x 1＋x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2≥4成立．(1)求证：(x 1＋x 2＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋1x 3≥9.(2)同理我们也可以证明出(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4≥16.由上述几个不等式，请你猜测一个与x 1＋x 2＋…＋x n 和1x 1＋1x 2＋…＋1x n(n ≥2，n ∈N ＋)有关的不等式，并用数学归纳法证明．[解] (1)证明：法一：(x 1＋x 2＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋1x 3≥33x 1x 2x 3·331x 1·1x 2·1x 3＝9(当且仅当x 1＝x 2＝x 3时，等号成立)．法二：(x 1＋x 2＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋1x 3＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＋x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 1＋x 1x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 2＋x 2x 3≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当x 1＝x 2＝x 3时，等号成立)．(2)猜想：(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．证明如下：①当n ＝2时，由已知得猜想成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，猜想成立， 即(x 1＋x 2＋…＋x k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ≥k 2，则当n ＝k ＋1时，(x 1＋x 2＋…＋x k ＋x k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋1x k ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋(x 1＋x 2＋…＋x k )1x k ＋1＋x k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋1 ≥k 2＋(x 1＋x 2＋…＋x k )1x k ＋1＋x k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋1＝k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x k ＋1＋x k ＋1x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x k ＋1＋x k ＋1x 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x k x k ＋1＋x k ＋1x k ＋1≥k 2＋2＋2＋…＋2k 个＋1＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2， 所以当n ＝k ＋1时不等式成立． 综合①②可知，猜想成立．。