第九章 4三重积分及其计算
三重积分的计算及重积分的应用
引力元素在三坐标轴上分量为
其中
若求 xOy 面上的平面薄片D,
对点P0处的单位质量质点
的引力分量,
因此引力分量为
则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为
即可. 例如,
其中:
例9.
设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片
求它对位于点
解: 由对称性知引力
处的单位质量质点的引力.
。
例10. 求半径为R的均匀球
2. 被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.
只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化.
利用对称性简化三重积分的计算：
其它情形依此类推.
三重积分计算的简化
P182 题1(1)
设有空间闭区域
则有（ ）
例1
解
典型例题
例2
解
利用球面坐标
例3
解 在球坐标系下
二、三重积分计算的基本方法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
图示法
列不等式法
3. 掌握确定积分限的方法
—— 累次积分法
把积分
化为三次积分,
其中由曲面
提示: 积分域为
原式
及平面
所围成的闭区域 .
例1. 求曲面
分析:
第一步: 求切平面 方程;
第二步: 求 与S2的交线 在xOy面上的投影,
写出所围区域 D ;
第三步: 求体积V .
(示意图)
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V .
三重积分计算
三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。
在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。
一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。
设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。
则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。
可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。
三重积分对应的结果是一个数值。
二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。
三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。
1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。
先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。
然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
三重积分计算方法
三重积分计算方法三重积分是多重积分中的一种，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
本文将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们需要了解三重积分的定义。
给定一个定义在三维空间上的函数f(x,y,z)，我们要计算其在一些区域V内的积分。
这个区域V可以用一组不等式给出，比如x的取值范围是a到b，y的取值范围是c到d，z的取值范围是e到f。
则三重积分的定义如下：∭f(x, y, z) dV = ∬∫f(x, y, z) dx dy dz其中，dV 表示体积元素，dx dy dz 分别表示 x、y、z 方向上的微小长度。
积分号的上方是积分的区域 V，下方是被积函数 f(x, y, z)。
下面我们将介绍三重积分的计算方法。
1.直角坐标系下的三重积分计算方法:在直角坐标系中，我们可以利用变量分离的方法计算三重积分。
假设要计算的函数f(x,y,z)可以分离为三个只与一个变量有关的函数，即f(x,y,z)=g(x)h(y)i(z)。
则三重积分可以分解为三个单重积分的乘积：∭f(x, y, z) dV = ∫g(x)dx * ∫h(y)dy * ∫i(z)dz这种方法适用于函数可以分离的情况，但是实际上很少遇到这种情况。
2.柱面坐标系下的三重积分计算方法:在柱面坐标系中，我们用(ρ,φ,z)表示点的坐标，其中ρ表示点到z轴的距离，φ表示点到x轴的夹角，z表示点在z轴上的高度。
在柱面坐标系中，体积元素dV可以表示为：dV = ρ dρ dφ dz因此，柱面坐标系下的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(ρ cos φ, ρ sin φ, z) ρ dρdφ dz这种方法适用于具有柱面对称性的函数，即函数在ρ和φ方向上具有分离变量的特点。
3.球面坐标系下的三重积分计算方法:在球面坐标系中，我们用(r,θ,φ)表示点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点到z轴的夹角，φ表示点到x轴的夹角。
三重积分的计算公式
三重积分的计算公式三重积分是数学分析中的一个重要概念，在许多领域都有着广泛的应用。
要理解三重积分的计算公式，咱们得先从它的定义和基本思想说起。
想象一下，咱们有一个三维空间中的立体区域，就像一个形状不规则的大果冻。
现在咱们要计算这个“果冻”的某种属性，比如说质量。
如果这个“果冻”的密度在每一点都不一样，那该怎么算它的总质量呢？这时候三重积分就派上用场啦。
三重积分的计算公式可以表示为：∭Ω f(x,y,z)dV ，其中Ω表示积分区域，f(x,y,z) 是被积函数，dV 表示体积元素。
那这个体积元素 dV 是啥呢？其实就是 dx dy dz 。
简单来说，就是把这个立体区域划分成无数个非常小的小立方体，每个小立方体的体积就是 dV 。
比如说，有一个简单的例子。
假设我们有一个长方体形状的区域，它的长、宽、高分别是 a、b、c 。
被积函数 f(x,y,z) = 1 ，也就是这个区域的密度处处都是 1 。
那计算这个区域的体积，其实就是对 1 进行三重积分。
先对 z 积分，积分限是从 0 到 c ；再对 y 积分，积分限是从 0 到 b ；最后对 x 积分，积分限是从 0 到 a 。
计算过程就是：∫（从 0 到 a）dx ∫（从 0 到 b）dy ∫（从 0 到 c）dz 。
一步步算下来，最终的结果就是 abc ，这正好就是长方体的体积。
但实际问题中，积分区域可没这么简单，可能是个球体、锥体，或者是更复杂的形状。
这时候就需要根据具体的情况来确定积分限。
我记得之前给学生讲这部分内容的时候，有个学生怎么都理解不了积分限的确定。
我就拿了一个魔方当作例子，把魔方的每一小块看作一个小立方体，然后根据魔方的形状和位置，给他解释怎么确定积分的范围。
最后他终于恍然大悟，那种成就感真是让人开心。
再来说说三重积分的计算方法，常见的有直角坐标法、柱坐标法和球坐标法。
直角坐标法就是咱们上面说的那种，直接按照 x、y、z 的顺序来积分。
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分及其计算和多重积分
三重积分及其计算和多重积分三重积分是多元函数积分的一种形式，用于求解三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在数学上，三重积分可以看作是一个连续变量在三维区域上的求和，它可以通过分割区域、选择适当的样本点，以及取极限的方式来进行计算。
三重积分的计算可以通过两种方法来完成：直接计算和换序求积分。
直接计算是指通过将三重积分的积分区域分割成小的立体单元，然后计算每个立体单元的积分值，再将这些积分值相加得到最终的结果。
这种方法适用于简单的积分区域，但对于复杂的区域，计算难度较大。
而换序求积分是指通过改变积分的顺序，将三重积分转化为便于计算的累次积分。
这种方法的优势在于可以简化计算过程，降低计算难度。
对于直接计算，首先需要确定积分区域，然后将区域分割成小的立体单元，每个单元的大小趋近于零。
可以使用直角坐标系、柱坐标系或球坐标系来表示积分区域，并确定相应的积分限。
接下来，选择样本点，可以选择样本点在单元中的中心，或者在每个单元中选择若干个样本点。
然后计算每个单元的积分值，再将这些积分值相加，就得到了最终的积分结果。
对于换序求积分，首先需要确定积分顺序，一般是从内积分到外积分。
然后，根据积分顺序，确定每个积分部分的积分限。
接下来，可以根据条件判断是否需要修改积分区域，如是否需要进行坐标转换或对区域进行分割。
最后，通过依次进行累次积分，得到最终的结果。
三重积分在物理中的应用非常广泛。
例如，利用三重积分可以求解一个带电体的电荷分布密度、一个流体的质量分布密度，以及一个物体的质心。
通过计算三重积分，可以得到这些物理量的精确值，为进一步研究提供了基础。
在实际计算过程中，三重积分的计算通常比较复杂，需要运用一些基本的数学知识和技巧。
例如，可以通过选择适当的坐标系来简化计算，使用奇偶性来简化被积函数的表达式，利用对称性来简化积分区域的确定等。
此外，还可以利用数值计算方法，如数值积分、Monte Carlo方法等，来近似计算三重积分的值。
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是在三维空间中计算一些函数在一个有界区域内的体积的方法。
它是对二重积分的一种扩展，可以应用于多种问题中，包括物理、工程和数学等领域。
本文将从三重积分的计算方法开始，然后介绍一些三重积分的应用，以及如何解决这些应用问题。
一、三重积分的计算方法要计算三重积分，首先需要定义积分的坐标系和被积函数。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
选择合适的坐标系可以简化计算过程。
被积函数通常是一个连续函数或分段连续函数，也可以是具有一些特殊性质的函数，如奇函数或偶函数。
在直角坐标系中，三重积分的一般形式为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，dV表示元体积元素。
元体积元素可以表示为dx dy dz，也可以写成其他坐标系对应的形式。
根据积分的定义，三重积分可以分解为对三个变量的依次积分。
具体方法为，先对z进行积分，然后再对y进行积分，最后对x进行积分。
以直角坐标系为例，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，积分范围为对每个变量的积分范围进行限定。
对被积函数的积分范围的限定可以通过对空间区域的几何性质进行分析得到。
常见的限定方式有矩形区域和曲线边界。
根据具体问题，可以采用不同的方法来确定积分限定条件。
计算三重积分时，可以选择适当的计算工具，如数值积分、符号计算软件或计算机程序，并利用计算机进行数值计算。
三重积分在许多领域都有广泛的应用。
以下将介绍几个常见的应用以及解决这些应用问题的方法。
1.计算物体体积三重积分可以用于计算复杂形状的物体的体积。
通过将物体分解为无穷小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的积分结果相加，就可以得到整个物体的体积。
例如，计算一个以球面为上下界的圆锥体的体积。
首先可以选择球坐标系，然后确定积分限定条件，如半径和角度范围。
然后将球坐标系下的体积元素转换为直角坐标系下的体积元素进行积分。
最后将所有体积元素的积分结果相加，即可得到圆锥体的体积。
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是多元函数积分中的一种，用于计算三维空间内的体积、质量、重心、转动惯量等物理量。
在实际应用中，三重积分可以用于求解物体的质心、转动惯量、力矩等问题，对于解决工程问题具有重要的应用价值。
一、三重积分的计算方法1.直接计算法直接计算法是指直接根据题目给出的积分区域及被积函数的表达式，逐步求解三个方向上的单重积分，然后相乘求和得到最终结果。
以计算空间区域内的体积为例，设被积函数为f(x,y,z)，积分区域为D。
则三重积分的计算公式为：V=∬∬∬_Df(x,y,z)dV其中dV表示体积元素，其表达式为：dV = dx dy dz通过逐步计算对应方向上的单重积分，并依次相乘求和，即可得到最终结果。
2.换元积分法换元积分法是指通过变换坐标系，使得原三重积分的积分区域变得简单，从而通过较简单的计算求解三重积分。
例如，对于柱坐标系下的三重积分计算，可以通过将空间直角坐标系(x,y,z)转换为柱坐标系(ρ,θ,z)，从而简化积分区域的描述。
然后，利用变量替换求解对应的柱坐标系下的三重积分。
1.质心的求解质心是物体在三维空间中的一个特殊点，对于均匀物体而言，质心位于其几何中心。
通过三重积分，可以求解复杂物体的质心位置。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则质心的坐标(x₀,y₀,z₀)可以通过以下公式计算得到：x₀=∬∬∬_Dxρ(x,y,z)dV/my₀=∬∬∬_Dyρ(x,y,z)dV/mz₀=∬∬∬_Dzρ(x,y,z)dV/m其中m表示物体的总质量，D表示物体的几何形状。
2.转动惯量的求解转动惯量是刻画物体对转动运动的惯性特征，通过三重积分可以求解物体的转动惯量。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则绕一些轴旋转的转动惯量I 可以通过以下公式计算得到：I=∬∬∬_D(y²+z²)ρ(x,y,z)dV3.力矩的求解力矩是物体受力后产生的力矩矩阵，通过三重积分可以计算物体受力后的力矩。
三重积分计算法
柱面坐标法
柱坐标系
将直角坐标系中的点表示为柱坐标形式，适用于具有圆柱对称性的三重积分。
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对角度进行积分，最后对高度进行积分的顺序 进行计算。
球面坐标法
球坐标系
将直角坐标系中的点表示为球坐标形式 ，适用于具有球对称性的三重积分。
VS
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对天顶角 进行积分，最后对方位角进行积分的顺序 进行计算。
计算质心坐标
质心坐标的定义
质心是物体质量的中心，其坐标可通过三重积分计算 得到。
质心坐标的计算公式
在直角坐标系下，质心坐标的计算公式为质量密度函 数对坐标的三重积分除以物体总质量。
质心坐标的应用
质心坐标在物理学、工程学等领域有广泛应用，如计 算物体的转动惯量、稳定性分析等。
计算转动惯量
转动惯量的定义
计算曲面面积
参数曲面面积的计算
对于由参数方程表示的曲面，可利用参数方 程求导得到曲面的法向量，进而计算曲面面 积。
显式曲面面积的计算
对于由显式方程表示的曲面，可利用偏导数求得曲 面的法向量，进而计算曲面面积。
隐式曲面面积的计算
对于由隐式方程表示的曲面，可利用隐函数 的求导法则求得曲面的法向量，进而计算曲 面面积。
02
三重积分的计算方法
先一后二法
投影法
将三重积分转化为二重积分，通过投 影确定积分区域。
截面法
通过截面确定被积函数在不同区间的 表达式，进而计算三重积分。
先二后一法
逆序法
将三重积分转化为累次积分，先对两 个变量进行积分，再对第三个变量进 行积分。
变量替换法
通过变量替换简化被积函数和积分区 域，进而计算三重积分。
高等数学 9-4三重积分的概念和计算方法.
解,0:22+≤≤Ωy x zxyz1D :⎨⎧≤≤02x z221D 2Dz 例4 计算三重积分∫∫∫ zdxdydz ，其中Ω 为三个坐标面及平面 x + y + z = 1 所Ω 围成的闭区域. 解（一）∫∫∫ zdxdydz Ω = ∫ zdz ∫∫ dxdy, 0 Dz 1 Dz = {( x, y | x + y ≤ 1 − z} ∫∫ dxdy = 2 (1 − z (1 − z Dz 1 原式= ∫ z ⋅ 2 (1 − z dz = 24 . 2 0 1 1 1 z 1 o 1 x y 1 解（二）∫∫∫ zdxdydz = ∫ zdz ∫ Ω 1 1− z 0 0 dy ∫ 1− y − z 0 dx = ∫ zdz ∫ 0 1 1− z 0 1 1 1 (1 − y − z dy = ∫ z ⋅ (1 − z 2 dz = . 0 2 24 例 5 计算三重积分2 ∫∫∫ z dxdydz ，其中Ω 是由椭球面Ω x2 y2 z 2 + + = 1 所成的 a 2 b2 c 2 6空间闭区域. 解z Dz o y x Ω: 原式= {( x, y, z | −c ≤ z ≤ c, x2 y2 z2 + ≤ 1− 2 } a 2 b2 c ∫ c −c z 2 dz ∫∫ dxdy, Dz ∵ Dz = {( x, y | x2 y2 z2 + 2 ≤ 1− 2 } a2 b c ∴ ∫∫ dxdy = π a 2 (1 − Dz z2 z2 z2 ⋅ b 2 (1 − 2 = πab(1 − 2 , c c2 c 原式 = 例6 ∫ c −c πab(1 − z2 2 4 zdz = πabc 3 . 2 c 15 计算三重积分∫∫∫ y Ω 1 − x 2 dxdydz ，其中Ω 由曲面y = − 1 − x 2 − z 2 ， x 2 + z 2 = 1 ， y = 1 所围成. 解如图, 将Ω 投影到 zox 平面得 Dxz : x 2 + z 2 ≤ 1 , 7先对 y 积分，再求 Dxz 上二重积分, 原式= ∫∫ y 1 − x 2 dxdz ∫ D xz 1 − 1− x 2 − z dy = ∫ dx ∫ 2 −1 1 1− x 2 − 1− x 2 1− x2 x2 + z 2 dz 2 = ∫ 1− x2 (x2 z + −1 1 1 1 z 3 1− x 2 28 | dx = ∫ (1 + x 2 − 2 x 4 dx = . 2 −1 3 3 − 1− x 45 三、小结三重积分的定义和计算（计算时将三重积分化为三次积分）在直角坐标系下的体积元素 dv = dxdydz 思考题选择题: Ω 为六个平面 x = 0 ， x = 2 ， y = 1 ， x + 2 y = 4 ， z = x ， z = 2 围成的区域， f ( x, y, z 在Ω 上连续，则累次积分____ = ∫∫∫ f ( x, y, z dv . Ω ( A ( B (C ( D ∫ dx ∫ 0 2 0 2 1 ∫ ∫ dx ∫ 2 0 2 0 dx ∫ x 2 x 2− 2 1 2− 1 dy ∫ f ( x, y, z dz; 2 x dy ∫ f ( x, y, z dz; 2 x ∫ dx ∫ x 2− 2 x 2− 2 1 dy ∫ f ( x, y, z dz; x 2 dy ∫ f ( x, y, z dz. x 2 思考题解答选（D） 8。
三重积分的积分性质和计算规则
三重积分的积分性质和计算规则三重积分是数学中的一个重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域被广泛应用。
三重积分的计算需要掌握一些性质和规则，本文将详细介绍三重积分的积分性质和计算规则，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、三重积分的定义三重积分是指对三维空间内的一个体积区域进行积分运算，其数学表达式为：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$其中，$V$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示被积函数，$\mathrm{d}V$ 表示体积元素。
二、三重积分的积分性质1. 可积性若$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上连续，则其在 $V$ 上可积。
2. 线性性设$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，$k$为常数，则有：$$\iiint\limits_{V}(kf(x,y,z)+g(x,y,z))\mathrm{d}V=k\iiint\limits_ {V}f(x,y,z)\mathrm{d}V+\iiint\limits_{V}g(x,y,z)\mathrm{d}V$$3. 保号性设$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V\geq0$$当且仅当 $f(x,y,z)$在 $V$ 上恒为 $0$ 时，等号成立。
4. 区域可加性设积分区域 $V$ 可以分成若干个不相交的子区域$V_1,V_2,\cdots,V_n$，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\sum_{i=1}^{n}\iiint\limi ts_{V_i}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$三、三重积分的计算规则1. 直角坐标系下的计算在直角坐标系下，我们可以将积分区域先按照 $x,y,z$ 的顺序分解，将三重积分化为三重定积分，然后按照积分顺序先计算$z$ 再计算 $y$ 最后计算 $x$。
三重积分概念及其计算
三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。
它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。
三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。
二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。
具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。
设积分区域为V，边界为S。
根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。
假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。
2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。
具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。
设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。
根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。
积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。
三重积分的概念及其计算
三重积分的概念及其计算三重积分是对于具有三个独立变量的函数在三维空间内的积分。
它对于解决和分析各种物理、几何和工程问题起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论三重积分的概念、计算方法以及一些应用。
首先，让我们来讨论三重积分的定义和概念。
三重积分是对于一个三维实值函数，在一个三维有界区域内的体积进行积分。
三重积分的符号表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，表示在(x,y,z)处函数的值；dV表示积分元素，用于表示积分的区域体积。
为了计算三重积分，我们需要确定被积函数的积分区域。
这个区域可以是一个有界的立体，也可以是由不同的条件限定的多个区域的并集。
一旦确定了积分区域，我们可以通过将该区域划分成较小的体积元素，并对每个体积元素进行积分来逼近整个区域的积分值。
接下来，我们将讨论三种常用的计算三重积分的方法。
第一种方法是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，我们可以将积分区域划分为一系列的长方体或平行六面体，每个体积元素的体积可以表示为ΔV=ΔxΔyΔz，其中Δx、Δy和Δz分别是划分的长方体或平行六面体边长的增量。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
第二种方法是柱面坐标系下的三重积分计算。
在柱面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ和距离原点的距离ρ来简化积分计算。
积分区域可以通过极坐标变换转换为适合柱面坐标的形式。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
第三种方法是球面坐标系下的三重积分计算。
在球面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ、方位角φ和距离原点的距离r来简化积分计算。
积分区域可以通过球坐标变换转换为适合球面坐标的形式。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
除了上述的计算方法，我们也可以使用数值方法来计算三重积分。
9-4 三重积分及其计算
[
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
D : y 1 ( x ) y y 2 ( x ),
f ( x, y, z)dv
a dx y ( x ) dy z ( x , y )
1
b
y2 ( x )
f ( x , y , z ) dz .
——也称为“投影穿线法”（ 先z次y后x ）
f ( x, y, z)dv a dx y ( x )
1
b
y2 ( x )
dy
z2 ( x , y )
f ( x, y, z )dz.
z1 ( x , y )
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。 z (2) D y 轴投影，得到 向
x1 ( y ) x x1 ( y ), D: c y d.
1 48
例
计算 zdxdydz ，其中 为三个坐标面及
平面 x y z 1 所围成的闭区域.
解
1
zdxdydz
1 z
z
1
x y z 1
0 zdz 0
dy
1 z
0
1 y z
dx
D
yOz
y z 1
o
0
1
zdz
0
( 1 y z ) dy
z ) dz
2
y
1
x
1
0 z 2 ( 1
1
1
1
.
24
例：求
( x y z ) dxdydz , 其中 是由平面 x 0 ,
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2
2
2
解
x y z 易见介于z c, z c之间 D( z ) : 2 2 1 2 a b c
z 2dv z 2dz
c c
2
2
2
故
)dxdy D( Z
z2 ab z 2 (1 2 )dz c c
z 4 2ab z (1 2 )dz abc3 15 c 0
x2 z x2 1 D2 ： 2 z x y1
D2
原式 0 dx 0 dz 0 f ( x , y , z )dy
1
x2
1
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1 x 2 1 1 dx x 2 dz z x 2 0
f ( x , y, z )dy .
过点 ( x , y ) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
函数，则
b
a
o
( xD ) ,y
y
y y2 ( x )
x
y y1 ( x )
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z )只看作 z 的
F ( x, y)
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
12
②先重后单
除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后 单法或切片法也可将三重积分化成三次积分 先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分 再求关于另一个变量的定积分 若 f(x,y,z) 在 上连续
介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 < c2 ) 之间
用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域
三重积分及其计算
一、三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域 推广到空间区域，被积函数推广到 三元函数，就得到三重积分的定义
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1
设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 上的有界 n 函数，将闭区域 任意分成 个小闭区域v1 ， i v2 ,, v n ，其中v i 表示第 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个vi 上任取一点( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) vi ，( i 1,2,, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上的三重积分，记为 f ( x , y , z )dv ,
D( z ), (c1 z c2 )
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则
13
f ( x, y, z )dv c dz Dz ) f ( x, y, z )dxdy (
1
c2
易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积 分容易计算时，用截面法较为方便，
尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时
f ( x , y, z )dV f ( x , y, z )dxdydz
具体可分为先单后重和先重后单
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4
①先单后重
闭区域 在 xoy 面上的投影为闭区域D,
z
z z2 ( x , y )
z z1 ( x , y )
S1 : z z1 ( x , y ), S2 : z z2 ( x , y ),
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z )dxdy
Dz
z
z 其结果为 的函数 F (z ) ；
(4)最后计算单积分 F ( z )dz 即得三重积分值.
c2 c1
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x y z 例5 计算 z dv, : a 2 b2 c 2 1
1
1
解二 先单后重
将 投影到 xoy 面得D
x y 1
2 2
dxdydz [ dz]dxdy D
x 2 y 2 1
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1
(1 x y )dxdy 4 d (1 r )rdr 2 D 0 0
2
0
dx
1
2
(C )
( D)
0 2
dx
x 2 2 x 2 2
dy f ( x , y , z )dz;
x 2
0
2
dx
1 1
dy f ( x , y , z )dz;
x 2 2
0
dx
x 2 2x 2 2
1
dy f ( x , y , z )dz;
x
dy f ( x , y , z )dz.
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下 2013年9月10日10时 的三次积分。 12分
6
化三次积分的步骤
⑴投影，得平面区域
⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限
对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法 例1 将
其中 为长方体，各边界面平行于坐标面
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二、在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方 体 其体积为
V xyz
故在直角坐标系下的面积元为 dV dxdydz
三重积分可写成
和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算
f ( x, y, z )dV
化成三次积分
解
将 投影到xoy面得D，它是一个矩形
在D内任意固定一点（x ,y)作平行于 z 轴的直线 交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m （l < m)
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f ( x , y, z )dV
[ f ( x , y , z )dz]d
E ( 2,2,0), F ( 2,2,4) 组成的三棱锥台.
b y2 ( x ) a y1 ( x )
a x b,
f ( x , y, z )dv dx
于两点情形．
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz.
——也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ）
直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多
2 1 2 2 2
（用极坐标，用对称性）
此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这 种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介 绍的柱坐标系下的计算法
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18
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
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c 2 2
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c
例6
dxdydz, : z x 2 y 2 , z 1
解一 先重后单 介于z 0, z 1之间
D( z ) : x y z
2 2
dxdydz dz Dz )dxdy zdz 2 0 ( 0
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三、计算 xzdxdydz ,其中 是曲面z 0, z y , y 1 ,
以及抛物柱面 y x 2 所围成的闭区域. 1 dv ,其中 是由六个顶点 四、计算 2 2 x y A(1,0,0), B(1,1,0), C (1.1.2), D( 2,0,0),
D l m
z
m l o
dx dy f ( x , y , z )dz
a c l
b
d
m
a x
b
例2 计算
其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域
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xdxdydz
。 D
(x,y)
c
d
y
画出区域D 0 y 1 x 解
2 x
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练习题
一、填空题: 1、 若 由曲面 z x 2 y 2 及平面z 1 所围成, 则三重积分 f ( x , y , z )dxdydz 化为三次积分是
_______________________.
x2 y2 z 2、 若 是由曲面 cz xy ( c 0 ), 2 2 1 , 0 所 a b 围成的 在第 一卦限内的 闭区 域, 则三 重积 分 f ( x , y , z )dxdydz 可化为三次积分为_________.
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其中 dv
称为体积元，其它术语与二重积分相同
若极限存在，则称函数可积 若函数在闭区域上连续， 则一定可积 由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景 以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论 其计算方法。
2 2 2
f ( x , y , z )dxdydz 为三
次积分，其中 积分区域 为由曲面
z x y , y x ,y 1, z 0
所围成的空间闭区域.
解
: 0 z x2 y2 ,
x 2 y 1, 1 x 1.