自然对数底e的由来
自然对数e的由来
自然对数e的由来e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。
有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数。
它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。
它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e，是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。
但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作。
第一次把e看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。
1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。
虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。
用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。
另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。
不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。
很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。
指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。
e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。
这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。
自然对数的底e
自然对数的底e徐厚骏摘要：本文介绍了自然对数的底e 的定义、性质，介绍了e 近似计算的精确度的计算方法，以及在对数、指数和双曲函数中的应用，并介绍了在复数域中，双曲函数与三角函数的关系。
自然对数的底一般用e (也有用ε)表示，这是一个很特殊也非常有用的数，我们可以用极限概念来定义。
㈠自然对数的底e 的由来我们研究下列整序变量：nn n x 11(+=其中n 为正整数使用二项式定理可展开为11()11(!1)11()11(!12111(!31)11(!2111121)1()1(121)1()1(1321)2)(1(121)1(1132nn n n n k n k nn n n n n n n n n k k n n n nn n n n n n n n x n k n −−…−+…+−−…−++…+−−+−++==∗∗…∗∗+−…−+…+∗∗…∗∗+−…−++…+∗∗∗−−+∗∗−+∗+=如果使n 增大1，则等式左边变为x n+1，等式右边首先应该在最后加上第(n+2)项(正的)，而前面n+1项中的每一项也都增大了一些，因为在任一括号内的n s −1型的因式都已换成较大的因式11+−n s 。
由此必然有x n+1>x n 。
如果我们在x n 中略去一切括号内的因式，也会使x n 增大一些，因此n n y n x =+…+++<!1!31!212更进一步，我们把y n 中每一项的分母中的每一因子都换成2，将使式子又增大了一些，因此122121212−+…+++<n n y 由第二项21起各项的总和<1，因此y n <3。
由此可知，整序变量x n 必有一个有穷极限。
依照大数学家欧拉(L.Euler )的记法，用字母e 表示这个极限。
即n n n e )11(lim +=+∞→。
对于非整数，我们可以建立更普遍的公式：e x x x =++∞→)11(lim 同样e x x x =+−∞→)11(lim 同时，还有另一种形式e a a a =+→10)1(lim 。
e的由来
1 1 1000 2.71692元 1000
这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增
长得越快。财主根本不知道，
但增
1
1 n
n
的值是随n的增大而增大，
加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的
总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把
1
1 n
n
极限记作e，e=2.71828…，即自然对数的底。
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• 第一次提到常数e，是约翰•纳皮尔于1618年出版 的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常 数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表， 通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred) 制作。第一次把e看为常数的是雅各•伯努利 (Jacob Bernoulli).
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• 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学 家，称为数学界的莎士比亚。据统计他那 不倦的一生，共写下了886部书籍和论文， 其中分析、代数、数论占40%，几何占 18%，物理和力学占28%，天文学占11%， 弹道学、航海学、建筑学等占3%。彼得堡 科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47 年！数学史上称18世纪为“欧拉时代”。
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• 财主算了算，结算3次，利率为，1元钱一
年到期的本利和是：
1
1 3
2.37037元
3
• 结算4次，1元钱到一年时还。
1
1 4
2.44140元
4
• 财主还想，一年结算1000次，其利息是：
1
1
1000
湖北宜昌市何老1师0工00作室
• 这么大的数，年终肯定发财了。可是，财 主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的 金额只有：
符号e
符号e
首先以e表示自然对数（natural logarithm）的底是欧拉，他大约于1727年或1728年的手稿内采用这符号，但这手稿至 1862年才付印。
此外，他于其1736年出版之《力学》第一卷及1747年至1751年的文章内亦以e表示自然对数的底。
而丹尼尔．伯努利、孔多塞及兰伯特则分别于1760年、1771年及1764年采用这符号。
其后贝祖（1797年）、克拉姆（1808年）等都这样用e，至今也是。
到了十九世纪，我国曾以特殊符号表示自然对数的底。
李善兰译的《代数学》（1859年）卷首有这样的一句：“又讷字代二、七一八二八一八，为讷白尔对数底率。
”即以“讷”表示自然对数的底。
华蘅芳于1873年译的《代数术》卷十八有这样的一句：“则得其常数为二．七一八二八一八二八四五九四五不尽，此数以戊代之，……可见戊即为讷对之底。
”即以“戊”表示自然对数的底，这显然与当时以甲乙丙丁译ＡＢＣＤＥ有关，因此以“戊”译e。
其后因数学书采用了横排及西文记法，因此亦采用了“e”这符号。
e的由来
e的由来e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。
有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数。
它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。
它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e，是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。
但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作。
第一次把e看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。
1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。
虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。
用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。
另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。
不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。
很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。
指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。
e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。
这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。
自然常数e的由来
自然常数e的由来
e作为数学常数，是自然对数函数的底数。
有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名，也有时叫纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数，e的意义就是自
然增长的极限，是在单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
定义：e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2....，它是当n→∞时，(1+1/n)n的极限。
范围：随着n的减小，底数越来越吻合1，而指数趋向无穷大，那结果趋向于2.。
应用：e在数学中是代表一个数的符号，其实还不限于数学领域。
在大自然中，建构，呈现的形状，利率或者双曲线面积及微积分教科书、伯努利家族等都离不开e的身影。
自然对数的底数
自然对数的底数
自然对数的底数是常数e。
记作lnN（N>0）。
在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义，一般表示方法为lnx。
数学中也常见以logx表示自然对数。
自然对数概念
常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
自然对数的底e是由一个重要极限给出的。
e是一个无限不循环小数，它是一个超越数。
自然对数底e的由来
圆周率π生活中很容易被找到或被发现，一个圆的周长与其直径的比等于圆周率π。
可自然对数的底e一直困扰着我们。
高中数学中，有以10为底的对数，即常用对数。
教材中曾指出，如果底数是以e为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e 是一个无理数。
除此之外，我们知道甚少，e似乎是来自纯数学的一个问题。
事实上，对于自然对数的底e是有其生活原型的。
在历史上，自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。
过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。
利息好多喔！财主好高兴。
财主想，半年的利率为50%，利息是1.5元，一年后还1.5的2次方=2. 25元。
半年结一次帐，利息比原来要多。
财主又想，如果一年结3次，4次，365次，岂不发财了？。
自然对数底数e的由来和意义
自然对数底数e的由来和意义你有没有想过，数学里那些看起来神秘兮兮的数字，背后其实藏着多少奇妙的故事？今天咱们聊的就是其中一个超级酷的数字——自然对数底数e。
这个e啊，说实话，乍一看它好像和我们生活没啥关系，但其实它就像是数学的“无敌钥匙”，无论你做金融，做物理，还是做生物学，甚至你在看股票涨跌，都会偶尔碰到它。
所以，咱们来聊聊它的由来，看看这个e到底是个啥，它又凭啥这么牛？e这个东西，最开始其实就是在16世纪的数学家们头痛的时候蹦出来的。
别看现在数学已经这么发达，那个时候数学家们的困扰可不少。
比如，他们一直在研究关于“增长”的问题——比如钱利息增长啊，人口增长啊，或者物理中物体的衰变速度，这些问题都能和e扯上关系。
最早提到e的人是一个叫做雅各布·伯努利的瑞士数学家，话说那时候他在研究一个关于复利增长的模型，也就是说，假如你把钱存进银行，银行给你付利息，然后你又把利息加进去再生利息，那么这笔钱的增长速度就不是简单地1+1=2这么回事了，而是复利效应，你得考虑到每一分利息都能生出新的利息。
结果，经过一番算计，伯努利得出了一个神奇的数字，差不多等于2.71828，这个数字就被叫做e。
其实一开始，大家对这个数字也没什么特别的想法，直到后来有个叫欧拉的牛人，把这个数字给发扬光大了。
欧拉这哥们可不得了，他把e当成了数学世界的超级明星。
欧拉不仅仅发现了e和许多重要数学公式的关系，还把它应用到了各种数学领域，从微积分到复数，简直是随手拈来。
欧拉的贡献大得让人目瞪口呆，他让e这个数字从一个看起来很普通的东西，变成了数学界的“金牌”，成了我们所有数学问题里都能碰到的“熟脸儿”。
e到底是个啥？你可能会想，哎呀，数字不就是个数字嘛，至于吗？但是别急，e 可不是随便哪个数字能比得上的。
e是个“无理数”，也就是说，它的小数部分没有规律地无限延续下去，像π一样，永远不可能被精确表示。
然后，这个e还有一个超级厉害的特点，那就是它在微积分中扮演了极为重要的角色。
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自然对数底e 的由来
圆周率π生活中很容易被找到或被发现，一个圆的周长与其直径的比等于圆周率π。
可自然对数的底e 一直困扰着我们。
高中数学中，有以10为底的对数，即常用对数。
教材中曾指出，如果底数是以e 为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e=……是一个无理数。
除此之外，我们知道甚少，e 似乎是来自纯数学的一个问题。
事实上，对于自然对数的底e 是有其生活原型的。
在历史上，自然对数的底e 与曾一个商人借钱的利息有关。
过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。
利息好多喔！财主好高兴。
财主想，半年的利率为50%，利息是元，一年后还=2. 25元。
半年结一次帐，利息比原来要多。
财主又想，如果一年结3次，4次，……，365次，……，岂不发财了？
财主算了算，结算3次，利率为3
1
，1元钱一年到期的本利和是：元 37037.23113
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+，
结算4次，1元钱到一年时还元 44140.24114
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+。
财主还想，一年结算1000次，其利息是：
1000100011⎪⎭⎫ ⎝⎛+
这么大的数，年终肯定发财了。
可是，财主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的金额只有：
元 71692.21000111000=⎪⎭⎫ ⎝⎛+。
这令财主大失所望。
他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。
财主根本不知道，n
n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的值是随n 的增大而增大，但增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总和不可能突破一个上限。
数学家欧拉把n
n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11极限记作e ，e=…，即自然对数的底。