计算自然对数的底数e的近似值(SERIESSUM)
数学e的公式(一)
数学e的公式(一)
数学e的公式
定义
•数学常数e是一个无理数，约等于。
•e是自然对数的底数，是有很多数学和科学应用的重要常数之一。
指数函数
•指数函数的定义为：y = e^x
•它表示以e为底的指数函数，其中x是自变量，y是函数值。
•例如，当x=1时，指数函数为y=e^1=。
微积分中的应用
•在微积分中，指数函数具有很多重要的应用。
•求导：指数函数的导数等于它本身，即d(e^x)/dx = e^x。
•积分：指数函数的积分也等于它本身，即∫e^x dx = e^x + C。
复利计算
•e的公式在复利计算中也有广泛的应用。
•复利计算公式为：A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A是最终的本利和，P是本金，r是年利率，n是每年计息次数，t是年数。
•当n趋近于无穷大时，复利计算公式可以近似为A = Pe^rt。
泰勒展开
•e的公式还可以通过泰勒展开来表示。
•泰勒展开公式为：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + …
•这个公式可以将指数函数用多项式来近似，对于一些复杂的计算提供了便利。
其他数学应用
•e的公式还在概率统计、复数分析、信号处理等领域中得到广泛应用。
•在这些领域中，e的公式往往与三角函数、复数、级数等概念相结合，形成复杂而有强大表达能力的数学工具。
以上列举了一些关于”数学e的公式”的相关公式及其应用。
通
过了解这些公式，我们可以更好地理解和应用数学e这个重要的常数。
用有理方法求e的近似值
用有理方法实现无理数e的近似计算摘要e是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828 无理数e的出现,对于数学学科而言,除了自然指数函数、自然对数函数、双曲函数的相关应用之外,与e有关的研究与结果极为丰富,如欧拉公式的复数形式i e +1=0,被人们称为人类最宝贵财富之一,这一公式巧妙地把纳皮尔常数、虚数单位、圆周率、以及0与1联系在一起.对于e而言,除了在数学学科的发展中的重要意义外,其它自然科学的发展也会处处可见与无理数e有关的痕迹,如物体的冷却、细胞的分裂、细菌的繁殖、放射性元素的衰变等,它也是在今天的银行业中对银行家最有帮助的一个数,此外在考古学的碳-14定年法、古画的铅-210或镭-226鉴定法中也有所涉及.所以精确计算出e的近似值就是一件非常重要和有意义的事情了.关键词：超越数; 无理数; 近似值TO REALIZE THE APPROXIMATE CALCULATION OFIRRATIONAL NUMBER E USING THE RATIONALMETHODABSTRACTE is the base number of natural logarithm,it is infinite and not repeating decimal, Its value is2.71828 ,the emergence of the irrational number e, for the mathematical subject, except the related application of natural exponential function, natural logarithm function, hyperbolic function , the study and results of e is extremely abundant , such as the form of the complex number of Euler Formula i e +1=0. Known as one of the most precious human wealth, this formula take the Napierian logarithm, the imaginary unit, the PI, 0 and 1 are linked subtly. For e, except the important meaning in the development of the mathematical subject ,outside the development of other natural science can everywhere find the trace of irrational number e, such as object cooling, cells dividing,bacterial breeding, the decay of radioactive elements and so on.It is a number that is most helpful for bankers in bank now , in addition it is also involved in Carbon dating-14, Ancient paintings of Pb-210or Ra-226methods produced. So, accurate calculate the approximation of e is very important and meaningful.Key words:transcendental number; irrational number; approximate value目录1.前言 (1)2.e的相关理论 (3)2.1e的定义及证明 (3)2.2以e为底的对数叫做自然对数的原因 (4)2.3e在数学分析方面的应用 (5)3.e是无理数及超越数的证明 (8)3.1证明e是无理数 (8)3.2证明e是超越数 (8)4.e的近似计算 (11)4.1利用数列11nn⎛⎫+⎪⎝⎭极限求e的近似值 (11)4.2利用x e幂级数展开求e的近似值 (13)4.3通过匹配试验计算e的近似值 (15)5.结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1.前 言e ,作为数学常数,是自然对数函数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number ）,以瑞士数学家欧拉命名,也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数.它就像圆周率π和虚数单位i,e 是数学中最重要的常数之一.它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e ,是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表.但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作.第一次把e 看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常数e ,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b 表示.1727年欧拉开始用e 来表示这常数;而e 第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica).虽然以后也有研究者用字母c 表示,但e 较常用,终于成为标准.用e 表示的确实原因不明,但可能因为e 是“指数”(exponential)一字的首字母.另一看法则称a,b,c 和d 有其他经常用途,而e 是第一个可用字母.不过,欧拉选这个字母的原因,不太可能是因为这是他自己名字Euler 的首字母,因为他是个很谦虚的人,总是恰当地肯定他人的工作.林德曼在魏尔斯特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)中提到了e 是无理数和超越数,由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明.e 是第一个获证为超越数,而不是像刘维尔数故意构造的.1lim 1xx e x →±∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭实际上e 就是欧拉通过这个极限而发现的,它是个无限不循环小数,其值等于2.71828…….以e 为底的对数叫做自然对数,用符号“ln ”表示.以e 为底的对数（自然对数）和指数,从数学角度揭示了自然界的许多客观规律,比如指数函数“x e ”对x 的微分和积分都仍然是函数本身.后人把这个规律叫做“自然律”,其中e 是自然律的精髓.因此,上述求极限e 的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一,并且名列第二.e 在数学中和自然指数函数、自然对数函数、双曲函数的相关应用有着密切的联系,此外e 在医学中也有所涉及,很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟.指数函数还有一个比较重要的方面在于它是唯一的函数与其导数相等,而且e 是无理数和超越数,由于e 具有很多特有的性质,所以研究e 的近似值,无论对于数学的学习还是其它学科的研究和应用,意义都是非常大的.通过对e 的一些性质的了解就更能激发我们进一步探索它的渊源、演变过程及对数学和各个学科的影响,更希望对以后更深入的学习数学分析和高等数学有所帮助.2. e 的相关理论2.1 e 的定义及证明e 是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828 ,它是这样定义的：当n →∞时,11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限记做e ,即1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.下面先给出e 做为数列极限的一种证明，后面在求e 的近似值的时候将具体给出1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的证明过程.证明1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明：所求证的极限等价于同时成立以下两个极限：1lim 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭()21-1lim 1xx e x →-∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭()22-先利用数列极限1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明(1)式成立.为此,作定义[)1,+∞上的两个阶梯函数如下：()11,1,1,21nf x n x n n n ⎛⎫=+≤≤+= ⎪+⎝⎭()111,1,1,2n g x n x n n n +⎛⎫=+≤≤+= ⎪⎝⎭易见f 增且有上界,g 减且有下界.()lim x f x →+∞与()lim x g x →+∞皆存在.于是,由归结原则（取{}{}n x n =）得到()1lim 11nx f x e n →+∞⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭()11lim 1n x g x e n +→+∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭另一方面,当1n x n ≤<+时有 1111111n x n+<+≤++ 以及 11111111nxn n x n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即有 ()()11xfx g x x ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭,[)1,x ∈+∞.从而根据迫敛性定理(1)式得证. 现证(2)为此作代换x y =-,则1111111yyxx y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且当x →-∞时y →+∞,从而有1111l i m 1l i m 1111y xx y e x y y -→-∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭以后还常用到e 的另一种极限形式：()1l i m 1aa a e →+= 事实上,令1a x=,则0x a →∞⇔→,所以 ()11l i m 1l i m 1xa x a e a x →∞→⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2.2以e 为底的对数叫做自然对数的原因对数函数()log 01a x a a >≠且的导数1log a y e x'=,对于a e =便有1y x '=,即ln y x =有()ln y x ''==1x ,而且只有ln x 的导数才等于1x,其他代数函数如:2y x =等的导数是不可能等于1x 的.这就是说代数函数n y x =不能得到微分为1x dx -的形式,积分是微分的逆运算.所以ln dxx C x=+⎰,就是说一个分式的分子是分母的微分.此分式的积分就是分母以e 为底的对数,只要形状呈()()()()f x dx df x f x f x '=⎰⎰,则()()()ln f x dxf x C f x '=+⎰,这反映了自然界的现象有种种函数关系.而要确立变量之间的函数关系往往需要确立函数的导数或微分的关系式.即微分方程,通过解这种方程,得出所要求的函数关系若方程中存在()()f x dxf x '⎰的项.那么积分后便会出现以e 为底的对数,而且,反映自然界规律的函数关系.总是以指数形式或对数形式出现的,所以必定是以e 为底的对数最能说明以e 为底的指数或对数和自然数界的关系是自然界的复利律(凡函数的导数和函数本身成正比的性质均叫做复利律).我们知道,()x x e e '=即x e 的导数等于其本身.而且一个函数其导数等于其本身的只有x e 所以, 若发现一个函数y , 其导数(变化率)与函数本身成正比.我们便可断定所研究的函数是以e 为底的指数函数或对数函数即dyay dx=±则ax y ce =或ax y ce -=( 其中ac 为常数).若函数的数量是增加的则为正,减少的则为负.由此可知,若写成对数形式,则是以e 为底的对数,除一些经验式外,一般不可能有其它正数为底的指数或对数出现.所以,人们将以e 为底的对数称作自然对数.e 作为数学符号使用最早是欧拉人们为纪念他,才确定用“e ”作为自然对数的底数.2.3 e 在数学分析方面的应用由于数e 不仅是数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭也是函数()11xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当x →∞时的极限,而数学分析的研究对象是函数,确切地说是用极限的方法来研究函数,数学分析中几乎所有的概念都离不开极限,因此数e 这一重要的函数值,在数学分析方面有诸多应用. 1、应用e 求极限利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭这一重要的极限求出一些函数极限.例:求 2225lim 5x x x x →∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭解: 原式=()2105510221010lim 11log 55x a x f x x x x -→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦10e = ()010a x <≠> 2、应用e 求导数对数函数()()log 010a f x x a x =<≠> 关于x 的导数就是数e 的典型运用. ()()()00limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆()0log log lima a x x x xx∆→+∆-=∆0log 1lim a x x x x∆→∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=∆01limlog 1xxa x x x x ∆∆→∆⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 01log lim 1x xa x x x x ∆∆→∆⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln x a=3、应用e 计算积分由于()1ln x x '=于是有积分基本公式1ln dx x c x=+⎰.利用这一公式可计算一些积分. 例：计算24dxx x-⎰解: ()()22242222111dx dx x x dx x x x x x x -+==---⎰⎰⎰ 221dx dxx x =+-⎰⎰ 2112121dx dx dxx x x=++-+⎰⎰⎰11121xin C x x+=-++-4 、应用e 判别级数的敛散性这主要是对于含有!n 的数项级数, 可运用司特林公式(()12!201nn n n n e e θπθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭)将!n 表为含有e 的关系式,然后再用柯西或达朗贝尔判别法来判定级数的敛散性.例：判别正项级数12!n n n n n∞=∑的敛散性解:使用柯西判别法2!lim lim n n n n n n n n a n→∞→∞=2!lim nn n n→∞=2212122lim 22lim 221n n n n n n n n e n en e eeθθππ→∞→∞=⋅=⋅⋅=< ∴正项级数12!n n n n n∞=∑收敛5、应用e 求二阶常系数齐次线性微分方程的通解主要是根据指数函数的导数仍然是指数函数这一特性,将二阶常系数齐次线性微分方程转化为特征方程,进而求出此微分方程的通解. 例：求微分方程：250y y y '''++=的通解 解：它的特征方程为:2250r r ++=有一对共轭复根：112r i =-+ ,212r i =--.方程250y y y '''++=的通解 是：()12cos 2sin 2xy eC x C x -=+3. e 是无理数及超越数的证明3.1证明e 是无理数证明：假设e 是有理数,设为q p ,(,p q 为互素自然数) , 任取n p >,则由01!k e k ∞==∑两边同乘以!n 可得()()()11!!!1431,112n e n n n n n n n =++-⋅++++++++ ()*上式左端为正整数,故右端也应为正整数,但右端前1n + 项之和为正整数,而余项之和1n R + 却满足()()()()()11110112123n R n n n n n n +<=+++++++++ ()()()()222211111122111121121112n n n n n n n n n n ⎡⎤++<+++=⋅=<=≤⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦-+ 即1n R +不是整数,从而()* 式右端不是整数,产生矛盾,所以e 是无理数.3.2证明e 是超越数微积分的出现,使人们对使用以e 为底的指数函数x e 及其反函数ln x 的好处有了更为清醒的认识.如下列运算中不可避免地要出现以e 为底的自然对数:()()1ln ,log ln xxa a aa x x a''==而以e 为底的指数、对数函数在形式上却简单得多: ()ln x '= 1x , 从而ln dx x c x=+⎰, xe 更为特殊,它有任意阶导数且形式不变, 即()()n x x e e = 它是唯一具有这一特性的函数,并有()()n kx n x e k e =, 这一性质在求解微分方程中得到充分的应用.此外,利用以e 为底的指数函数还可定义出一类新的函数--双曲函数: ,22x x x xe e e e shx chx ---+==等.它们与三角函数有许多类似之处,所以猜测e 可能是一个超越数(超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数).1873 年, 厄尔米特证明了e 的超越性,具体证明过程如下: 证明：假使e 是代数数, 即存在不全为零的整数01,,,m a a a 使20120m m a a e a e a e +++=()31-第一步,设()f x 是任意n 次多项式,因()()10n f x +=由分部积分公式, 得()()()()()00b bxxnf x e dx ef x f x f x --⎡⎤'=-+++⎣⎦⎰记 ()()()()n F x f x f x f x '=+++ 则 ()()()00bbbx e F F b ef x e dx -=+⎰()32-在()32- 式中依次令0,1,2,,,b m =得 ()()000,e F F =()()()11101xe F F ef x edx -=+⎰()()()222002x e F F e f x e dx -=+⎰()()()00mm m x e F F m e f x e dx -=+⎰ 将以上各式依次乘以01,,,m a a a 并相加.得()()()()()201201001mm m F a a e a e a ea F a F a F m +++=++++()01mii x i i a e f x e dx -=∑⎰0=()33-第二步,由()1 式可知,对任意一个多项式()f x ,()3式均成立.因此只要能找到一个多项式()f x ,使()3 式不成立即可. 令()()()()()11121p p pp f x x x x x m p -=---- 其中p 是大于m 和0a 的素数, 这个多项式的p 阶或更高阶导数具有整系数.且由于()()11!p n n n n p c p --+=⋅所以()f x 的p 阶或更高阶导数必能被p 整除,因()f x 及其前1p -阶导数在1,2x m = 处均为零,则()()()1,2,F F F m 都是p 的整数倍,但当0x =时, ()f x 只有()()()()20000p f f f-'==== 且()()()101!pmp fm -⎡⎤=-⎣⎦, 此时 ()()()()()()()110000p p mp p F f f f -+-=+++ 于是()0F 不能被p 整除.又因p 是大于m 与0a的素数,所以0a 不能被p 整除, 从而()()()0101m a F a F a F m +++ 不能被p 整除,故不等于零.再考察()3中另一部分()01mii x i i a e f x e dx -=∑⎰在区间[]0,m 上,有()()()()11001!1!mp p mp p ii x xm m f x e dx f x e dx p p +-+---<<--⎰⎰而且, 若令01m a a a a =+++ 则 ()()()()()11111!1!p m mp p mii x m m mi i m ma e f x e dx ae ae mp p -++--=<⋅=--∑⎰,因()1lim 01!mp p p m p +-→∞=- 所以当p 充分大时,()01m i ix i i a e f x e dx -=∑⎰可任意小, 可见()3 式右端之和不能等于零,这就产生了矛盾.所以e 不是代数数,故e 是超越数.4. e 的近似计算4.1利用数列11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭极限求e 的近似值利用熟知的几何平均与算术平均关系不等式, 即对()01,2,i x i n ∀>= 有1212n nn x x x x x x n++≥ ()1成立, 其中等号当且仅当: 12n x x x === 时成立. 1)单调性因()1对任意自然数n 成立,对1n +也成立. 令()111,1,2,,1i n x i n x n+=+== 则由()1有 11111111111n n n n n n n +⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅<=+⎪++⎝⎭()2 111111n n n n +⎛⎫⎛⎫∴+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增.2)有界性令()11111,2,,1ni n n n x i n x k k -+⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭,其中k 为大于1的正整数.代入()1有1111111111nnnn n n n n n k k k k n --+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++< ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭整理得()111111nn n k n n k k k -⎛⎫⎛⎫-+>+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即 111nk kn k k k ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3由()2,()3有 1111nk nn n k ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4故数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有上界.根据数列极限的单调有界准则知11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭必定收敛.我们用常用对数的工具,能求出e 的近似值,并由误差估计可知,这种近似值可以达到相当高的精确度.为此,我们先证()4式右端随k 的增大而单调减少.对正整数(),1n k k >,改写 ()4为1111nk kkn k k k k k ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫<+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()4'由()2知,()4'左端随k 增大而单调增加.现证右端单调减少.事实上,令 ()11,1,2,,i x i n k =-= 11k x += ,由()1有 111111111k k k k k k k k +⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅<=⎪++⎝⎭11111111k kk k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴-<-++即 111kkk k k -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为单调增加序列,从而1kk k ⎛⎫⎪-⎝⎭为单调减少序列.将()4'两端相减得121111101111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ---⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()12111111k kk k k k k k k k k k k --+-⎛⎫⎛⎫<⋅= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭1kk k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 为单调减少序列,故当2k ≥时,都有224121nk k ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又1lim 0k k →+∞= , 1lim 01k k k k k k k →+∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴-=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此()4'两端当k →∞时都趋于e ,如果将()4'左端作为e 的不足近似值,右端作为过剩近似值,随着k 的增大,其相对误差将越来越小.从而这些近似值的精确度将越来越高.令1,1kkk k k k A B k k +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,利用常用对数的工具,取不同的k 值,就得到e 的具有不同精确度的近似值,如果取此两者的算术平均值()12k k k C A B =+作为e 的近似值,则其精确度将会更高我们选取某些特定k 值,制成下表ke 的不足近似值e 的过剩近似值两者的算数平均值1kk k A k +⎛⎫= ⎪⎝⎭ 相对误差 1kk k B k ⎛⎫= ⎪-⎝⎭相对误差 ()12k k k C A B =+ 相对误差2 2.25 21710-⨯ 4 24710-⨯ 3.125 21510-⨯3 2.370370 21310-⨯ 3.375 22410-⨯ 2.872685 2610-⨯ 10 2.593742 2510-⨯ 2.867972 2910-⨯ 2.730857 3510-⨯ 1002.7048143510-⨯ 2.731999 3510-⨯ 2.718407 5510-⨯ 1000 2.716924 4510-⨯ 2.719642 4510-⨯ 2.718283 7410-⨯ 10000 2.7181465510-⨯2.7184185510-⨯2.7182829810-⨯由此可见, 在证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限存在之后, 利用常用对数作为工具,就能顺利求出e 的近似值.因此本文介绍的方法是行之有效的, 也是比较容易掌握的,4.2利用x e 幂级数展开求e 的近似值上面我们提到利用数列11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限求e 的近似值,由于在n 取值较小时收敛速度较慢，通过改进，从等式1lim 1nx e n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出发, 11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭展开1111211111112!!n k x n k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++---++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111!n n n n -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,在此等式中固定自然数k ()k n ≤,弃去1k +项以后各项, 可得 111121211112!!k e n k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+-++--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,当n →∞时,有11122!3!!n e y k ≥+++++=对任何自然数k 成立, 即n y e ≤,又根据n x 的表达式,得11122!3!!n n x y n <+++++=由夹逼准则, 有 01lim !n n n y e n ∞→∞===∑事实上, 这正是xe 的幂级数展开式 0!nxn x e n ∞==∑中令1x =时所得结果. 当0x =时有)()()()()()200002!!n nn f f f x f f x x x R x n '''=+++++()麦克劳林公式（其中()n R x 是拉格朗日余项,泰勒公式还有佩亚诺型余项()(())n n o x R a x =-,柯西余项()(1)(1)(())()/!n n f n a x x x R a a n θ+=++--等）当1x =时有 ()()11111,012!3!!1!e e n n θθ=++++++<<+ 故 ()()()311!1!n e R n n θ=<++, 故 ()()111311,012!3!!1!e n n θ≈++++++<<+ 当2n =时,便有 2 2.5e = ,()2310.53!R <=, 3e ≈ 同理 当5n =时 5 2.758333333e =,()25311106!720R -<=<, 2.762433333e ≈ 当7n =时 7e =2.75992063,()47311108!40320R -<=<, 2.759994634e ≈ 从而略去()1n R 而求得e 的近似值 2.71828183e ≈这种计算e 的近似值的方法在知道了111112!3!!e n =+++++ 和误差估计公式的情况下收敛速度较快，误差较小.4.3通过匹配试验计算e 的近似值通过一个著名试验——匹配试验, 来构造无理数e 的估计公式. 在高等数学中, e 常通过下列两式近似得到：1、由1lim 1n n e n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,得到 11nn e e n ⎛⎫=+≈ ⎪⎝⎭ ()n 充分大 ()12、由01!n e n ∞==∑,得到 01!nn i e e i ==≈∑()2 ()2式的近似误差为()31!n e e n -≤+因而近似效果很好.下面通过“匹配试验”构造e 的估计公式的基本思想是: 在“匹配试验”中寻找概念与e 或e 的近似值相关的随机事件, 利用“频率稳定于概率”的结论, 得到e 的频率估计公式.e 的估计公式概率论中著名的“匹配试验”是: 某人写了n 封不同的信, 又写了n 个不同地址的信封, 然后将n 封信随机地放入n 个信封内. 在此试验中我们关心 {}n A =没有一封信装对地址 显然 ()()()001=!knn n P A p n k =-∑,故 ()10p n e -≈ ()3 不妨令 ()10n r e p n -=- ,即()10n e p n r -=+ 其中()31!n r n ≤+ ,因而()3式近似程度很高.若将匹配试验独立地重复N 次, 若n A 发生()k N 次, 由贝努里大数定律()()0k N pNp n −−−→ ()N →∞ , 即 ()()0k N p n N ≈ ,所以 ()1k N e N-≈.从而得到e 的估计公式()()ˆNeN k N = ()4 匹配试验的模拟与e 的估计在实际试验时, 考虑n A 不如考虑n A 方便. {} n A =至少有一封信与地址一致, 显然 ()11n p A e -≈-利用扑克进行匹配试验并对e 进行了估计.方法是：取扑克中两种花色共26张牌, 每次随机取两张,若成对则认为是一个匹配.试验时,先将牌充分洗匀,若出现对子时停止试验.洗匀后再进行下一轮试验,否则摸完26张牌.共进行了2500次试验,有对子出现的有1578次.则()922k N =由()4 ,()()ˆ 2.711496746eN N k N == 而 2.718281828e ≈ ,故 ()3ˆ 6.810eN e --<⨯ 在给定置信概率1α-时, e 的近似区间估计为e 的()()()()()()111\1\221,1N N k N k N k N k N U k N U k N N N N N αα----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪+--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 证：由于()()()()()0110,1k N p n Nk N k N N N N N -⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭−−−−−−→ ()N →∞对置信概率1α-,()0p n 的置信上、下限分别为 上限：()()01\2N k N p n U N α-=+ ()()1k N k N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ;下限：()()01\2N k N p n U N α-=- ()()1k N k N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由于()10p n e -≈,故e 的近似置信上、下限分别为:()01\u e p n ≈ ,()01\L e p n ≈ 利用上述性质可以得到e 的 95%的区间估计为 []2.579226,2.858067若要使()ˆeN 估计e 的精度达到410- (()195%α-=,N 需94.87710⨯次, 显然手工试验是十分困难的. 随着计算机的出现和发展, 可以把真正的匹配试验利用统计模拟试验方法来代替, 即把匹配试验在计算机上实现.5.结论通过对e的近似值的研究,我们知道了e在生产生活中的重要性,它和数学研究以及其他自然科学都有着密切的联系.通过几种求e的近似值的方法的比较,可以看出利用x e幂级数展开求e的近似值是传统的方法,按部就班,便于理解;利用数列11nn⎛⎫+⎪⎝⎭极限求e的近似值在n取到10k,k的值较大时精确度较高,操作简便;匹配试验的模拟与e的估计是试验的方法虽然理论性强,但是操作复杂,有了计算机的辅助作用也不失为一种求e的近似值的好的方法.以上几种方法都能达到 2.71828183e≈ 的效果.通过本文更是证明了数学是一门基础科学,它是描述大自然与社会规律的语言,是科学与技术的基础,也是推动科学技术发展的重要力量,它是人类生产生活必不可少的工具,它使我们的生活变得更快捷,更准确.[1] 华东师范大学数学系,《数学分析》,上册,高等教育出版社,1997年:134页-139页[2]M·克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社,1979.[3]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1981.[4]闵鹤嗣，严士健.初等数论[M].北京：人民教育出版社,1982.[5]张楚廷. 数学文化[M]. 北京:高等教育出版社,2000.[6]刘玉琏．教学分析．北京：高等教育出版社，1994[7]吕世虎等.从高等数学看中学数学[M].北京: 科学出版社, 1995年:47页-57页.[8]宋秉信.湘潭教育学院.怀化师专学报,1998年;第17 卷:第2 期.[9]孙本旺译. 数学分析[M]. 湖南: 湖南人民出版社, 1981年:318页- 322页.[10]格.马.菲赫金哥尔茨.吴亲仁.陆秀丽译.数学分析原理( 第一卷, 第一分册) [ M] . 北京: 人民教育出版社, 1979年:96页- 102页.[11]张新仁,徐化忠山.东电大学报,2002 年第3 期.致 谢本文是在刘文莉老师精心指导下完成的.刘老师以其严谨求实的治学态度、认真踏实的工作作风对我产生了深刻的影响.通过此次毕业论文写作,我也学到了许多数学教学理论方面的知识,对于现在数学在生活中的应用也有了较深入的了解.其次,我要感谢父母对我的供养与支持,使我得以完成学业.诚挚的感谢鞍山师范学院教过我的所有老师,四年来精心的教导与栽培.感谢四年来与我朝夕相伴、同甘共苦的同学们.在老师和同学的细心帮助下,使得我的论文得以顺利完成.谢谢！。
对数算法公式
对数算法公式对数算法公式1. 什么是对数算法对数算法是数学中的一种重要算法，用于计算对数。
对数是一种特殊的指数运算，可以求解一个数以某个底数为底的幂次，即求解指数。
2. 对数的定义对于正实数x和正实数a，若满足a^x = b，则称x为以底数a的对数，记作x = log(a, b)。
3. 常用的对数公式自然对数公式自然对数是以常数e为底的对数，其中e约等于。
自然对数公式如下：ln(x) = log(e, x)以10为底的对数公式以10为底的对数公式如下：log10(x) = log(10, x)4. 对数公式的应用举例求自然对数假设要计算ln(2)，则根据自然对数公式：ln(2) = log(e, 2)≈求以10为底的对数假设要计算log，则根据以10为底的对数公式：log = log(10, 100)= 2总结对数算法是一种常用的数学运算方法，用于解决指数问题。
自然对数公式和以10为底的对数公式是常见的对数公式。
在实际应用中，我们可以使用对数公式来求解各种数值问题。
5. 其他常用对数公式换底公式换底公式是一种常用的对数转化公式，可以将一个底数为a的对数转化为另一个底数为b的对数。
换底公式如下：log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)其中，x为正实数，a和b为正实数且不等于1。
对数的性质对数具有一些重要的性质，包括乘法性质、除法性质和幂次性质。
下面是对数的常见性质：•乘法性质：log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)，其中x和y为正实数。
•除法性质：log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)，其中x和y为正实数。
•幂次性质：log_a(x^y) = y * log_a(x)，其中x为正实数，y为任意实数。
6. 对数公式的应用举例换底公式的应用假设要计算log_2(8)，根据换底公式，可以将底数为2的对数转化为底数为10的对数：log_2(8) = log_10(8) / log_10(2)= 3 /≈对数性质的应用假设要计算log_2(4) + log_2(8)，可以利用对数的乘法性质将其转化为一个对数的和：log_2(4) + log_2(8) = log_2(4 * 8)= log_2(32)= log_10(32) / log_10(2)= 5 /≈总结除了自然对数和以10为底的对数公式外，换底公式以及对数的乘法性质、除法性质和幂次性质也是常见的对数公式。
e的对数公式证明
e的对数公式证明我们先来回顾一下自然对数e的定义。
自然对数e是一个数学常数，它的数值约为2.71828。
e可以通过以下方式定义：e是一个无理数，它的值等于自然对数函数ln(x)中x为1时的函数值。
换句话说，e 是满足ln(e) = 1的唯一实数。
接下来，我们来证明e的对数公式。
e的对数公式可以写作：ln(xy) = ln(x) + ln(y)其中，ln(x)表示以e为底的对数函数。
这个公式的证明可以通过利用指数和对数的关系来完成。
我们首先考虑一个简单的情况，即当x和y都是e的正整数次幂时。
假设x = e^a，y = e^b，其中a和b为任意实数。
那么根据指数的定义，xy = e^a * e^b = e^(a+b)。
我们再来看看对数的定义，ln(xy) = ln(e^(a+b)) = a+b。
同时，根据ln(x)的定义，ln(x) = ln(e^a) = a。
因此，我们有ln(xy) = ln(x) + ln(y)，这个公式在x 和y都是e的正整数次幂时成立。
接下来，我们考虑一般情况，即x和y为任意正实数。
我们可以使用连续函数的性质来推导出一般情况下的e的对数公式。
我们可以使用指数函数的连续性来证明，对于任意实数x，存在一个数r，满足e^r = x。
这个数r被称为x的自然对数。
根据这个定义，我们可以得到ln(x) = r。
接下来，我们来证明一般情况下的e的对数公式。
假设x和y为任意正实数。
根据前面的推导，我们可以将x和y表示为e的自然对数，即x = e^a，y = e^b。
那么根据指数的定义，xy = e^a * e^b = e^(a+b)。
我们再来看看对数的定义，ln(xy) = ln(e^(a+b)) = a+b。
同时，根据ln(x)的定义，ln(x) = ln(e^a) = a，ln(y) = ln(e^b) = b。
因此，我们有ln(xy) = ln(x) + ln(y)，这个公式在一般情况下也成立。
神秘而神通的自然常数e
lim (1 + xn ) n = lim (1 + xn ) xn = [ lim (1 + xn ) xn ]x = e x
n→0
当n → ∞时，前k + 1项括号中的极限为1，后l + 1项的极限为0，于是有 1 1 1 ∞ 1 1 lim 1 + = lim 1 + 1 + + + ⋅⋅⋅ + = ∑ n →∞ 2! 3! k ! k =0 k ! n k →∞< n
1 x x ⋅ ∆ x x ∆ x x ∆ 1 ∆ x = log a lim 1 + = log lim 1 + a ∆x →0 ∆x →0 x x x
根据 e 的极限定义有 log ( x)′ = 1 log e ，如果取自然常数 e 作为对数的底 a = e ，我们称 x 为自然对数（natural logarithm） ，记作 log x = ln x ，这样对数的导函数便可表达为最简形式 1 (ln x)′ = 。 x
n
在求对数函数的导数时，我们发现存在有 e 的极限形式
log a ( x)′ = lim
∆x → 0
二、数学王国 数学王国里因为有个 王国里因为有个 e
log a ( x + ∆x) − log a x 1 x + ∆x log a = lim ∆ x → 0 ∆x ∆x x
n
1 lim 1 + = e n →∞ n
Байду номын сангаас
n
，或者
n →0
lim (1 + n ) n = e
自然对数的底e
自然对数的底e徐厚骏摘要：本文介绍了自然对数的底e 的定义、性质，介绍了e 近似计算的精确度的计算方法，以及在对数、指数和双曲函数中的应用，并介绍了在复数域中，双曲函数与三角函数的关系。
自然对数的底一般用e (也有用ε)表示，这是一个很特殊也非常有用的数，我们可以用极限概念来定义。
㈠自然对数的底e 的由来我们研究下列整序变量：nn n x 11(+=其中n 为正整数使用二项式定理可展开为11()11(!1)11()11(!12111(!31)11(!2111121)1()1(121)1()1(1321)2)(1(121)1(1132nn n n n k n k nn n n n n n n n n k k n n n nn n n n n n n n x n k n −−…−+…+−−…−++…+−−+−++==∗∗…∗∗+−…−+…+∗∗…∗∗+−…−++…+∗∗∗−−+∗∗−+∗+=如果使n 增大1，则等式左边变为x n+1，等式右边首先应该在最后加上第(n+2)项(正的)，而前面n+1项中的每一项也都增大了一些，因为在任一括号内的n s −1型的因式都已换成较大的因式11+−n s 。
由此必然有x n+1>x n 。
如果我们在x n 中略去一切括号内的因式，也会使x n 增大一些，因此n n y n x =+…+++<!1!31!212更进一步，我们把y n 中每一项的分母中的每一因子都换成2，将使式子又增大了一些，因此122121212−+…+++<n n y 由第二项21起各项的总和<1，因此y n <3。
由此可知，整序变量x n 必有一个有穷极限。
依照大数学家欧拉(L.Euler )的记法，用字母e 表示这个极限。
即n n n e )11(lim +=+∞→。
对于非整数，我们可以建立更普遍的公式：e x x x =++∞→)11(lim 同样e x x x =+−∞→)11(lim 同时，还有另一种形式e a a a =+→10)1(lim 。
欧拉公式推导和差化积
欧拉公式推导和差化积全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉公式是数学中非常著名的公式之一，它将自然对数的底e与虚数单位i联系在一起，形成了一个非常优雅的数学表达式。
欧拉公式的推导过程虽然较为复杂，但其中的一些技巧和方法却是非常值得我们学习和掌握的。
在这篇文章中，我们将介绍欧拉公式的推导过程，并结合差化积的技巧来更好地理解这个公式的美妙之处。
让我们来回顾一下欧拉公式的表达式：e^(iθ) = cosθ + i·sinθ这个公式将自然对数的底e的指数函数与三角函数cos和sin联系在了一起，展现了数学中的一种美丽的关系。
那么，这个公式是如何推导出来的呢？接下来，我们将通过一系列的推导过程来揭示这个谜底。
我们从泰勒级数展开开始。
泰勒级数是用一个无限多个项的无穷级数来表示一个函数的方法，我们可以将任意一个函数表示成一个无穷级数的形式。
对于指数函数e^x来说，它的泰勒级数展开形式如下：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...接着，我们将x替换为iθ，即e^(iθ)，得到：接下来，我们来考虑sinθ和cosθ的泰勒级数展开形式。
根据三角函数的性质，我们可以知道：将sinθ和cosθ的泰勒级数展开形式代入到e^(iθ)的泰勒级数展开中，我们可以得到：接下来，让我们结合差化积的技巧来更好地理解欧拉公式的美妙之处。
差化积是一种用于化简三角函数乘积的技巧，其中利用了三角函数的加法公式和乘法公式。
在欧拉公式中，我们可以利用差化积的技巧将cosθ和sinθ的乘积进行化简，进一步证明欧拉公式的正确性。
在欧拉公式中，我们知道e^(iθ) = cosθ + i·sinθ，我们可以将cosθ和sinθ用e^(iθ)的形式来表示：cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)接着，我们将cosθ和sinθ的乘积进行差化积的化简：= i(e^(2iθ) - e^(-2iθ))/4= i(sin2θ)/2通过差化积的技巧，我们成功地将cosθ和sinθ的乘积进行了化简，最终得到了i(sin2θ)/2的形式。
C++程序设计及题集（含答案）
C++程序设计及题集（含答案）本学期《程序设计基础》课程实行上机考核，现将考核有关事项通知如下：（1）考核时间：本学期最后一次上机时间为机试。
（2）考核内容：C++面向过程部分，主要是算法设计与实现。
考题来自本学期布置的作业、部分例题及一些补充的题目。
（3）考试形式：机试前进入机房时，每人随机抽取一道题（同一个班的同学保证不抽到同一题），然后上机编程，调试通过后报告监考人员审核，审核通过后将源程序拷贝到监考人员U盘上，然后可以离开机房。
源程序文件明必须是“学号姓名.cpp”，如“2012211532刘天.cpp”。
（4）考试要求：机试时考试规则同课堂考试一致，不允许带书、纸张等。
不能携带任何可用计算机处理的软件或数据(不允许任何私人携带的U 盘、磁盘或计算器)，不能携带任何类型的通讯工具，包括无线电接收器、移动电话。
（5）考试成绩：本次机试成绩将在《程序设计基础》课程成绩中占25%的比重。
（6）其它有关事项由主考教师和监考人员负责处理。
附：考试题集1.利用异或运算对输入的文本进行加密解密输出，用户输入一个文本（字符串,设不超过20个字符），然后输入作为密钥的字符，程序输入加密及解密的字符串。
2.编写一个程序，用户输入年份及月份两个数据，程序输出该月份的天数。
（提示：对2月要考虑是否闰年，闰年年份要么能被4整除且不能被100整除，要么能被400整除，除次之外都不是闰年）。
3.某大桥按不同型号征收车辆过桥费：自行车免费，摩托车2元，小汽车5元，大客车与货车8元，货柜车12元。
编写一个程序，按车辆的不同型号计算通过该大桥应征的过桥费。
（提示：可以用整数对不同型号的车辆进行编码）4.输入一位同学的考试成绩，若是90~100分，输出“Excellent”，80~89输出“Very good”，70~79输出“Good”，60~69输出“Pass”，60分以下输出“No Pass”。
5.旅行社的订票量小于10张时，航空公司给予10%的折扣；订票量大于或等于10张且小于20张时，航空公司给予15%的折扣；订票量大于或等于20张且小于30张时，航空公司给予30%的折扣；订票量大于或等于30张时，航空公司给予最高的45%的折扣。