自然对数

自然对数

以常数e为底数的对数叫做自然对数，记作lnN(N>0)。自然对数在物理学、生物学等自然科学中有重要的意义。

1数学表示方法

自然对数的一般表示方法为

数学中也常见以

表示自然对数。若为了避免与基为10的常用对数混淆，可用“全写”

2概念

它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值

有关概念

自然对数的底数e是由一个重要极限给出的。我们定义：当n趋于无限时，

e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。对数函数

当自然对数中真数为连续自变量时，称为对数函数，记作

（x为自变量，y为因变量）.

e的级数展开式

易证明：函数展开为x的幂级数(Maclaurin级数)是

；

特别地，当x=1时就得到了e的展开式

3意义

物理学意义

在热力学第二定律中，系统的宏观状态所对应的微观态的多少表现为宏观态的无序程度，同时也决定了宏观过程的方向性。看起来，一个宏观状态对应的微观状态的多少是个很重要的物理量，它标志着这个宏观态的无序程度，从中还可以推知系统将朝什么方向变化。物理学中用字母Ω表示一个宏观状态所对应的微观状态的数目。

为了研究方便，物理学家们用得更多的是一个与Ω相关的物理量，这就是今天常常听到的——熵（entropy），用字母S表示。玻尔兹曼在1877年提出了熵与微观态的数目Ω的关系，即S∝lnΩ，后来普朗克把它写成了等式S=klnΩ，式中k叫做玻尔兹曼常量。如前所述，既然微观态的数目Ω是分子运动无序性的一种量度，由于Ω越大，熵S也越大，那么熵S自然也是系统内分子运动无序性的量度。在引入熵之后，关于自然过程的方向性就可以表述为：在任何自然过程中，一个孤立系统的总熵不会减小。这就是用熵的概念表示的热力学第二定律。为此，不少人也把热力学第二定律叫做熵增加原理。

由熵的定义可以知道，熵较大的宏观状态就是无序程度较大的宏观状态，也就是出现概率较大的宏观状态。在自发过程中熵总是增加的，其原因并非因为有序是不可能的，而是因为通向无序的渠道要比通向有序的渠道多得多。把事情搞得乱糟糟的方式要比把事情做得整整齐齐的方式多得多。要让操场上的一群学生按班级、按身高，或按任何规则来站队都是比较麻烦的：每个学生都要找到自己的位置。但是要让已经站好队的学生解散，那就非常简单：每个学生随便朝一个方向跑去，队形就乱了。从微观的角度看，热力学第二定律是一个统计规律：一个孤立系统总是从熵小的状态向熵大的状态发展，而熵值较大代表着无序，所以自发的宏观过程总是向无序度更大的方向发展。

生物学意义

在连锁交换定律中，重组率或重组值是指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，即重组率=重组配字数/总配子数（亲组合+重组和）×100%，重组是交换的结果，所以重组率（recombination fraction）通常也称作交换率（crossing over percentage）或交换值。可是仔细推敲起来，这两个数值是不尽相同。

如果我们假定，沿染色体纵长的各点上交换的发生大体上是随机的。那么可以这样认为，如果两个基因座相距很近，由交换而分开较少，重组率就低；如果两基因座离开很远，交换发生的次数较多，重组率就高。所以可以根据重组率的大小计算有关基因间的相对距离，把基因顺序地排列在染色体上，绘制出基因图。生物学家就是这样做的。

如果有关的两个基因座在染色体上分开较远，举例说重组率在12%-15%以上，那么进行杂交试验时，其间可能发生双交换或四交换等更高数目的偶数交换，形成的配子却仍然是非重组型的。这时如简单地把重组率看作数交换率，那么交换率就要被低估了。因为遗传图是以1%交换率作为图距单位的，所以如交换率低

估了，图距自然也随之缩小了，这就需要校正。校正的公式较多，可根据自己得出的连锁与交换试验的结果，提出单是适用于某一生物的校正公式。一般来说，

一个合适的校正公式应该满足下列两个条件：①最大的重组率不超过0.5或50%，因为这数值说明两个基因之间遵循自由组合定律；②较小的重组率应该大致上是加性的。常用的的较简单的公式是Haldane推导的作图函数R=[1-e^(-2x)]/2，式中R代表重组率，x代表交换率。这公式表示重组率与图距的关系，而图距的单位是1%交换率。

说明一下Haldane曲线的几点性质：①曲线的起始一小段基本上是直线，斜率接近于1，重组率可以直接看作是图距，所以重组率是加性的。②在曲线的曲度较大的区域，重组率就不是加性的了。当图距比较大，两端的基因的重组率就要小于相邻两个重组率之和，即Rab+Rbc>Rac，例如abc是三个连锁基因，两两间的重组率R值是非加性的，0.23+0.32>0.40。吧Haldane公式加以改写：

x=-ln(1-2R)/2，把上面R值代入公式，求得x值如下：在0.31+0.51，稍大于0.81，x值大致上成为加性的了。③标记基因间的图距很大时，重组率与图距无关，接近或等于1/2。

所以重组率大致代表交换率，但当重组率逐渐增大时，重组率往往小于交换率，需要加以校正。在实际应用时，要看研究的生物而定。像黑腹果蝇那样，各染色体上定位的基因已经很多，标记的区域已划分得很细，就无需用作图函数来校正了。但对一种新的生物开始进行连锁研究，可供利用的标记基因很少，这是最好用作图函数来加以校正，以得到更接近实际的图距。

4历史

约翰·纳皮尔在1614年以及Jost Bürgi（英语：Jost Bürgi）在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念，1742年William Jones（英语：William Jones (mathematician)）才发表了幂指数概念。按后来人的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而约翰·纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。

形如f(x) = x的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况p = −1对应于双曲线的弓形面积（英语：Quadrature (mathematics)），即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式（英语：Cavalieri's quadrature formula）给出，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积（英语：The Quadrature of the Parabola）），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年Grégoire de Saint-Vincent（英语：Grégoire de Saint-Vincent）将对数联系于双曲线xy=1的弓形面积，他发现x轴上[a,b]两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同[c,d]对应的扇形，在

a/b=c/d时面积相同，这指出了双曲线从x = 1到x = t的积分f(t)满足：1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将1/(1+x)展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为：