用Mathematica研究自然对数底数e

用Mathematica 研究自然对数的底数e

作 者：陈 龙

摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。e 与π

被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、

π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i

e

π的关系。本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的

一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。

关键词：Mathematica ，e ，自然对数 一、引言

远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，π的近似值一直取为 3.14或

7

22()

742851.3 =。通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。

另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。确切地

讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。

e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=x

f 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。e 、π及i （i 为虚数单位）三者间存在

1-=i

e π的关系。本文主要介绍e 的一些知识以及用Mathematica

软件来计算e 。

二、欧拉数e

考虑数列{}n a ，n a =

∑=n

i i 0

!1=!1!21!111n ++++ ，1≥n ，其中!n =()1231⋅⋅⋅⋅- n n ，1≥n ，1!0=，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。

定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。 首先，对n a =

∑=n

i i 0

!1，显然{}n a 为单调递增数列。其次，1a =2，2

a =25，而3≥n 时， n a =1+1+

n ⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅+ 321

432132121 <1+1+1322

1

212121-++++n

= 1+

2

11211-⎪

⎭⎫ ⎝⎛-n

<3，

即数列{}n a 以3为一上界。故有定理1知，数列{}n a 收敛至一实数，由于此极限值与圆周率π一样在许多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性

的数学家，他并以e 来表示此数。后来符号e 就被广为采用，后人并称e 为欧拉数（Euler ’s number ）以纪念他。由于e 为∞→n 时n a 之极限，故e 可表示为 （1） e =

∑∞

=0!

1

i i 。 以下说明如何以n a 来求e 之近似值，事实上n a 收敛至e 的速度极快。这里借助一几何级数，对任意

m n >，

n a = m a +

()()!

1

!21!11n m m +++++

< m a +()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++--121111111!11m n m m m m < m a +

()1

111!

11+-

+m m

= m a +!

1

m m ⋅ 故对∀m n >，

（2） m a

1

m m ⋅ 。 若令∞→n ，则上式为

（3） m a < e

1

m m ⋅ ∀1≥m 。 即对∀1≥m ，m a 与e 之差最多为

!

1

m m ⋅。由于!m 随着m 增长速度极快，故m a 为e 的一个很好的估计值。例如，若m =10，则10a 与e 之差小于7

10-，因此经由计算10a ，得到e =2.718281…。

N[a[10],50] 2.71828 N[E,50] 2.0

N[a[10]-E,50] True

当然若m 取大一些便可再更精确些，如e =2.3536028…。这是欧拉用笔算得到的e 之小数前23位。欧拉22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以e 命名之，它的值为 2.71828…，它的常用对数为0.4342944…”。

e 是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出），可利用前述（3）对e 的估计式。设e =q p /为一有

理数，其中p ，q 为二互质正整数。易见2≥q ，此因e 介于2与3之间，故e 不可能为整数。现由（3）式知

q a < q

p

将上式每项各乘以!q 得

!q q a < ()1-q p ! < !q q a +

q

1

下面我们来看另一种常见的引进e 的方法。考虑数列

n b =n

n ⎪⎭

⎫

⎝⎛+11 ，1≥n 。

则由二项式定理（Binomial Theorem ）可得

n b = k

n

k n k n ⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=10

=

()()∑=+--n

k k n k n n n k 0

11!1 = 1+1+

⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n 112111!111!21 = n a < 3 。

又由上面第三个等号的右侧可看出，n b 的每一项对n 递增，且1+n b 比n b 多一正的项，故{}n b 为一单调递增且有界数列必有极限。故得证b b n n =∞

→lim 存在。

接着证明e b =。对n l >，仍由前述第三个等号之右侧可得 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+

+>l l n l n l b l 111!111!2111 。 若先固定n ，而令∞→l ，则上式左侧趋近于b ，而右侧趋近于n a 。即此时有n a b ≥，而又有n n a b ≤，因此

b a b n n ≤≤， ∀1≥n 。

令∞→n ，由夹逼定理，便得e b b n n ==∞

→lim 。也就是我们得到下述重要的极限结果：

（4） 1lim 1n

n e n →∞

⎛⎫

+

= ⎪⎝

⎭

。