三角形边角关系专项测试

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北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)测试卷含答案)

第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分）1．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．tan45°的值等于（）A ．2BC ．-1D ．13．如图，∠α的顶点为O ，一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P （3，4），则sin α＝（）A ．B ．C ．D ．4．已知中，，CD 是AB 上的高，则=（）A ．B ．C ．D ．5．Rt ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系式错误的是（）A ．b=c·cosB B ．b=a·tan BC ．a=c·sin AD ．a=c·cos B6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据淄博市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时淄博市的正午日光入射角约为°，则立柱高约为（）O AB 43344535ABC ∆90C ∠=︒CD BD sin A cos A tan A cot AAC BC a ABC ∠26.5ACA ．B ．C ．D．7．已知在中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则∠B 的余弦值为（）A ．B ．C ．D．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠，则∠2的度数为（）A ．120°B．135°C ．145°D ．150°9．如图，在中，，于，下列结论错误的有（）个①图中有两对相似三角形；②；③；④若，，则.A ．0B ．lC ．2D ．310．如图，在菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折，sin 26.5a ︒cos 26.5a ︒tan 26.5a ︒tan 26.5a︒Rt ABC 1213513512125Rt ABC ∆90BCA ∠=︒CD AB ⊥D sin AD B AC =BC AC AB CD ⋅=⋅BC =8AD =4CD =ABCD 45B ∠= AE BC ABE ∆AE得到，若，则菱形的边长为（）AB ．C ．D11．如图，在□ABC D 中，AB=6，∠B=75°，将△ABC 沿AC 边折叠得到△AB ′C ，B ′C 交AD 于E ，∠B′AE=45°，则点A 到B ′C 的距离为（）A ．B ．CD 12．如图，平面直角坐标系中，，，将绕顶点顺时针旋转一定角度到处，此时线段与的交点为的中点，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．13．如图，把三角形纸片折叠，使的对应点在上，点的对应点在上，折痕分别为，，若，，，则的长为（）AB E '∆1C B '=-21()0,2A ()B AOB O COD △CD BO E BO D )3-2⎫-⎪⎭ABC C E AB B D BC AD FG 30CAB ∠=︒135C ∠=︒DF =EFABC．3D．14．如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员由处沿主输气管道步行1000米到达点处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使点到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（）．）A．366米B．650米C．634米D．700米二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．在方格纸中的位置如图所示，则的值是________．16．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．17．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝_____．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF ＝3，则tan＝_____．3+A60︒AM A30°AC M C75︒NN1.414≈ 1.732≈α∠tanα43B'C'AC'B AC''∠三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．计算：.20．如图，在△ABC 中（1）作图，作BC 边的垂直平分线分别交于AC ，BC 于点D ，E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD ，若BD ＝9，BC ＝12，求∠C的余弦值．22sin 454cos 30︒-︒)0tan 603tan 45--︒+︒21．如图，中，，的平分线交于D ，交的延长线于点E ，交于点F ．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°ABCAB AC =B ÐAC //AE BC BD AF AB ⊥BE 40BAC ∠=︒AFE ∠2AD DC ==AF探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）23．某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC 会绕点B 转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数．(2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?（考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）1.7324．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，∠=30°，BC ═a=1，，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=C ，请判断此时“==”的关系是否成立？答：（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，请判断此时“ ==”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C 作CD ⊥AB 于D ，过点A 作AH ⊥BC ，再结合定义或其它方法证明）．sin a A sin b Bsin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C25．如图1，草原上有A，B，C三个互通公路的奶牛养殖基地，B与C之间距离为100千米，C 在B的正北方，A在C的南偏东60°方向且在B的北偏东30°方向．A地每年产奶3万吨；B 地有奶牛9000头，平均每头牛的年产奶量为3吨；C地养了三种奶牛，其中黑白花牛的头数占20%，三河牛的头数占35%，其他情况反映在图(2)，图(3)中．（1）通过计算补全图(3)；（2）比较B地与C地中，哪一地平均每头牛的年产奶量更高？（3）如果从B，C两地中选择一处建设一座工厂解决三个基地的牛奶加工问题，当运送一吨牛奶每千米的费用都为1元，那么从节省运费的角度考虑，应在何处建设工厂？26．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E 为线段BC 的中点，延长AB '交CD 于点M ，求证：AM ＝FM ；（2）如图2，若点B '恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB '的正弦值．BE CE BE CE 32答案一、选择题1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．A ．6．C.7．B.8．B9．B ．10．C ．11．C ．12．B ．13．A ．14．A二、填空题15．16．17．.18．三、解答题19．原式.20．解：（1）如图所示，直线DE 即为所求；（2）∵DE 是BC 的垂直平分线，∴EC＝BC ＝6，BD ＝CD ＝9，∴cos ∠C ＝＝＝．21．（1）；（2）25127514224=⨯131-+⨯3131=--+=12EC DC 6923125AFE ∠=︒AF =【解析】（1）∵，，∴．∵平分，∴， ∵，∴，∴．（2）∵，∴，又，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，在中，22．根据题意可知：OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，∴AC=AB+BC=4+BC ，AB AC =40BAC ∠=︒18040702ABC ︒︒︒-∠==BD ABC ∠170352ABD DBC ︒︒∠=∠=⨯=AF AB ⊥90BAF ∠=︒9035125AFE BAF ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒//AE BC E DBC ∠=∠ADE CDB ∠=∠AD CD=ADE CDB ≌AE CB =,E DBC ABD DBC∠=∠∠=∠E ABD ∠=∠AB AE =AB CB AC ==ABC 60ABC ∠=︒30ABD ∠=︒2AD DC ==4AB =Rt ABF tan 304AF AB ︒=⋅==∴在Rt △OBC 中，BC=，在Rt △OAC 中，OC=AC •tan ∠OAC ≈(4+BC)×0.6，∴OC=0.6(4+)，解得OC ≈2.9（m ）．答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．23．（1）如图2-1，过点C 作于点G.，，，，，，所以动臂BC 与AB 的夹角为为.（2）如图2-2，过点C 作于点P ，过点B 作于点Q 交CG 于点N.在中，（米）.在中，（米）.（米）.tan OBC 3.3OC OC ∠≈⨯ 3.3OC CG AM ⊥AB AM ⊥ DE AM ⊥////AB DECG ∴180110DCG CDE ︒︒∴∠=-∠=30BCG BCD DCG ︒∴∠=∠-∠=180150ABC BCG ︒︒∴∠=-∠=ABC ∠150︒CP DF ⊥BQ DF ⊥Rt CPD cos 700.51DP CD ︒=⨯=Rt BCN sin 60 1.04CN BC ︒=⨯≈ 2.35DE DP PQ QE DP CN AB ∴=++=++≈如图4，过点D 作于点H ，过点C 作点K.在中，（米）.（米）（米）.所以斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了约0.8米.24．（1）∵=c ， =c ， =c ，∴“==”成立，故答案为成立．（2）作CD ⊥AB 于D ．∵在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=，∴=，=，∴=，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证=，DH AM ⊥CK DH ⊥Rt KD C sin 50 1.16DK CD ︒=⨯≈3.16DH DK KH ∴=+≈0.8DH DE ∴-≈sin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Cb CD aCD sin a A ab CD sin b B ab CD sin a A sin b Bsin b B sin c C∴==．25．解：（1）由图3可知黑白花牛2000头，占20%，则C 地养牛的总头数是：2000÷20%=10000所以三河牛的头数为：10000-2000-4500=3500条形高度在3500左右（2）C 地每种牛所占比例为：三河牛3500÷10000=35%，草原红牛4500÷10000=45%C 地每头牛的年平均产奶量为：6×20%+4×35%+3×45%=3.95（吨）而B 地每头牛的年平均产奶量为3吨；所以C 地每头牛的年平均产奶量比B 地的高；（3）由题意：C 地每年产奶量为10000×3.95＝3.95万吨，B 地每年产奶量为9000×3＝2.7万吨，A 地每年产奶量为3万吨．由题意，∠CBA ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，∵BC ＝100（千米），∴AB ＝100×sin60°≈86.6（千米），∴AC ＝100×sin30°＝50（千米），如果在B 地建厂，则每年需运费W 1＝86.6×3×1＋100×3.95×1＝654.8（万元）如果在C 地建厂，则每年需运费W 2＝50×3×1＋100×2.7×1＝420（万元）而654.8＞420．答：从节省运费的角度考虑，应在C 地建设工厂．sin a A sin b B sin c C26．（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠BAF ，由折叠可知：∠BAF ＝∠MAF ，∴∠F ＝∠MAF ，∴AM ＝FM ．（2）解：由（1）可知△ACF 是等腰三角形，AC ＝CF ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC＝10，∴CF ＝AC ＝10，∵AB ∥CF ，∴△ABE ∽△FCE ，∴；（3）①当点E 在线段BC 上时，如图3，AB '的延长线交CD 于点M ，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即∴CF ＝4，由（1）可知AM ＝FM ．设DM ＝x ，则MC ＝6﹣x ，则AM ＝FM ＝10﹣x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（10﹣x ）2＝82+x 2，解得：x ＝，=63105BE AB CE CF ===32AB BE CF CE ==632CF =95则AM ＝10﹣x ＝10﹣＝，∴sin ∠DAB '＝＝．②当点E 在BC 的延长线上时，如图4，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即，∴CF ＝4，则DF ＝6﹣4＝2，设DM ＝x ，则AM ＝FM ＝2+x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（2+x ）2＝82+x 2，解得：x ＝15，则AM ＝2+x ＝17，∴sin ∠DAB '＝．综上所述：当时，∠DAB '的正弦值为或。

三角形三边关系练习题初二

三角形三边关系练习题初二一、单选题：1. 若一个三角形的三边长分别为3cm，4cm，5cm，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形2. 三角形的三边关系中，若两边之和小于第三边，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不是三角形3. 若一个三角形的三边长分别为5cm，5cm，8cm，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 三角形的三边关系中，若两边之和等于第三边，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若一个三角形的三边长分别为6cm，6cm，6cm，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形二、填空题：1. 若一个三角形的三边长分别为8cm，15cm，17cm，则该三角形是__________三角形。

2. 三角形的三边关系中，若两边之和大于第三边，则该三角形是__________三角形。

3. 若一个三角形的三边长分别为7cm，7cm，10cm，则该三角形是__________三角形。

4. 三角形的三边关系中，若两边之和小于第三边，则该三角形是__________三角形。

5. 若一个三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm，则该三角形是__________三角形。

三、解答题：1. 三角形的三边关系中，若两边之和等于第三边，该三角形的类型是什么？请举例说明。

2. 若一个三角形的两边长分别为5cm，12cm，且夹角为60度，求第三边的长度。

3. 判断以下三组数据能否构成一个三角形，并说明各组数据所构成的三角形的类型：a) 边长为3cm，4cm，7cm；b) 边长为5cm，10cm，15cm；c) 边长为6cm，6cm，6cm。

4. 若一个三角形的两边长分别为6cm，8cm，夹角为45度，求第三边的长度。

5. 已知一个三角形的三边长分别为5cm，7cm，9cm，求该三角形的类型及角度。

人教版八年级数学上册《三角形边或角关系》专项练习题-附含答案

人教版八年级数学上册《三角形边或角关系》专项练习题-附含答案几何探究类问题一直属于考试压轴题范围在三角形这一章压轴题主要考查是证明角的数量关系或者三角形的三边和差关系等接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。

类型一、燕尾角模型例1．在社会实践手工课上小茗同学设计了一个形状如图所示的零件如果52,25A B ︒︒∠=∠= 30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠= 那么F ∠的度数是（）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】A 【详解】延长BE 交CF 的延长线于O 连接AO 如图∵180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒ ∵180,AOB B OAB ∠=︒-∠-∠同理得180,AOC OAC C ∠=︒-∠-∠∵360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒∵360BOC AOB AOC ∠=︒-∠-∠ 360(180)(180)B OAB OAC C =︒-︒-∠-∠-︒-∠-∠107,B C BAC =∠+∠+∠=︒∵72,BED ∠=︒∵180108,DEO BED ∠=︒-∠=︒∵360DFO D DEO EOF ∠=︒-∠-∠-∠ 36035108107110,=︒-︒-︒-︒=︒∵180********DFC DFO ∠=︒-∠=︒-︒=︒ 故选：A ．【变式训练1】如图若115EOC ∠=︒ 则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____________．【答案】230°【详解】解：如图∵∵EOC =∵E +∵2=115° ∵2=∵D +∵C ∵∵E +∵D +∵C =115°∵∵EOC =∵1+∵F =115° ∵1=∵A +∵B ∵∵A +∵B +∵F =115°∵∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F =230° 故答案为：230°．【变式训练2】如右图 ∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F +∵G +∵H ＝__．【答案】360°【详解】解：由图形可知：∵BNP ＝∵A ＋∵B ∵DPQ ＝∵C ＋∵D ∵FQM ＝∵E ＋∵F ∵HMN ＝∵G ＋∵H ∵∵BNP ＋∵DPQ ＋∵FQM ＋∵HMN ＝360°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＋∵G ＋∵H ＝∵BNP ＋∵DPQ ＋∵FQM ＋∵HMN ＝360°．故答案为：360°．【变式训练3】如图求∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F +∵G +∵H +∵I ＝__．【答案】900°【详解】解：连EF GI 如图∵6边形ABCDEFK 的内角和＝（6－2）×180°＝720°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＝720°－（∵1＋∵2）即∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＋（∵1＋∵2）＝720°∵∵1＋∵2＝∵3＋∵4 ∵5＋∵6＋∵H ＝180°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ∵H ＋（∵3＋∵4）＝900°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F （∵3＋∵4）＋∵5＋∵6＋∵H ＝720°＋180°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＋∵G ＋∵H ＋∵I ＝900°故答案为：900°．【变式训练4】模型规律：如图1 延长CO 交AB 于点D 则1BOC B A C B ∠=∠+∠=∠+∠+∠．因为凹四边形ABOC 形似箭头其四角具有“BOC A B C ∠=∠+∠+∠”这个规律所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2 60,20,30A B C ∠=︒∠=︒∠=︒ 则BOC ∠=__________︒；②如图3 A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）拓展应用：①如图4 ABO ∠、ACO ∠的2等分线（即角平分线）1BO 、1CO 交于点1O 已知120BOC ∠=︒ 50BAC ∠=︒ 则1BO C ∠=__________︒；②如图5 BO 、CO 分别为ABO ∠、ACO ∠的10等分线1,2,3,,(,)89i =⋯．它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、9O ．已知120BOC ∠=︒ 50BAC ∠=︒ 则7BO C ∠=__________︒；③如图6 ABO ∠、BAC ∠的角平分线BD 、AD 交于点D 已知120,44BOC C ∠=︒∠=︒ 则ADB =∠__________︒；④如图7 BAC ∠、BOC ∠的角平分线AD 、OD 交于点D 则B 、C ∠、D ∠之同的数量关系为__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∵B -∵C +2∵D =0【详解】解：（1）①∵BOC =∵A +∵B +∵C =60°+20°+30°=110°；②∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F =∵BOC +∵DOE =2×130°=260°；（2）①∵BO 1C =∵BOC -∵OBO 1-∵OCO 1=∵BOC -12（∵ABO +∵ACO ）=∵BOC -12（∵BOC -∵A ）=∵BOC -12（120°-50°）=120°-35°=85°；②∵BO 7C =∵BOC -17（∵BOC -∵A ）=120°-17（120°-50°）=120°-10°=110°； ③∵ADB =180°-（∵ABD +∵BAD ）=180°-12（∵BOC -∵C ）=180°-12（120°-44°）=142°；④∵BOD =12∵BOC =∵B +∵D +12∵BAC∵BOC =∵B +∵C +∵BAC联立得：∵B -∵C +2∵D =0．类型二、折叠模型例1.如图在ABC 中 46C ∠=︒ 将ABC 沿直线l 折叠点C 落在点D 的位置则12∠-∠的度数是（）．A ．23︒B ．92︒C ．46︒D ．无法确定【答案】B【详解】解：由折叠的性质得：46D C ∠=∠=︒根据外角性质得：13C ∠=∠+∠ 32D ∠=∠+∠则1222292C D C ∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠+︒ 则1292∠-∠=︒．故选：B ．【变式训练1】如图将∵ABC 纸片沿DE 折叠使点A 落在点A '处且A 'B 平分∵ABC A 'C 平分∵ACB若∵BA 'C ＝120° 则∵1+∵2的度数为（）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】D【详解】解：如图连接AA ' ∵A 'B 平分∵ABC A 'C 平分∵ACB∵∵A'BC=12∵ABC∵A'CB=12∵ACB∵∵BA'C=120° ∵∵A'BC+∵A'CB=180°-120°=60°∵∵ABC+∵ACB=120° ∵∵BAC=180°-120°=60°∵沿DE折叠∵∵DAA'=∵DA'A∵EAA'=∵EA'A∵∵1=∵DAA'+∵DA'A=2∵DAA' ∵2=∵EAA'+∵EA'A=2∵EAA'∵∵1+∵2=2∵DAA'+2∵EAA'=2∵BAC=2×60°=120°故选：D．【变式训练2】如图把∵ABC沿EF对折叠合后的图形如图所示．若∵A＝55° ∵1＝95° 则∵2的度数为（）．A．14︒B．15︒C．28︒D．30【答案】B【详解】解：∵∵A＝55°∵∵AEF＋∵AFE＝180°－55°＝125°∵∵FEB＋∵EFC＝360°－125°＝235°由折叠可得：∵B′EF＋∵EFC′＝∵FEB＋∵EFC＝235° ∵∵1＋∵2＝235°－125°＝110°∵∵1＝95°∵∵2＝110°－95°＝15°故选：B ．【变式训练3】如图将∵ABC 沿着DE 翻折使B 点与B'点重合若∵1+∵2=80° 则∵B 的度数为（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠∵1'180,2'180BED B ED BDE B DE ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ ∵11(36012)(36080)14022BED BDE ∠+∠=︒-∠-∠=⨯︒-︒=︒∵180()18014040B BED BDE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选C【变式训练4】如图将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠点C 落在边AB 上的点H 处点D 落在点G 处若111GEF ∠=︒ 则AHG ∠的度数为（）．A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°【答案】A【详解】由图形翻折的性质可知 111GEF DEF ∠=∠=︒180111AEF ∴∠=︒-︒=69︒1116942AEG GEF AEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒90A G ∠=∠=︒ 利用“8”字模型42AHG AEG ∴∠=∠=︒故选：A ．类型三、“8”字模型例1.如图 BP 平分ABC ∠ 交CD 于点F DP 平分ADC ∠交AB 于点E AB 与CD 相交于点G 42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒ 求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒ 求P ∠的度数．【答案】（1）72︒；（2）40︒．【详解】解：（1）∵DP 平分∵ADC ∵∵ADP=∵PDF=12ADC ∠∵60ADC ∠=︒∵30ADP ∠=︒∵304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∵BP 平分∵ABC DP 平分∵ADC∵∵ADP=∵PDF ∵CBP=∵PBA∵∵A+∵ADP=∵P+∵ABP∵C+∵CBP=∵P+∵PDF∵∵A+∵C=2∵P∵∵A=42° ∵C=38° ∵∵P=12（38°+42°）=40°．【变式训练1】如图求∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F +∵G +∵H +∵K 的度数．【答案】540°【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∵A ＋∵B ＝∵IJL ∵C ＋∵D ＝∵MLJ ∵H ＋∵K ＝∵GIJ ∵E ＋∵F ＝∵GML ∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＋∵G ＋∵H ＋∵K ＝∵IJL ＋∵MLJ ＋∵GML ＋∵G ＋∵GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形” 试说明：A B C D ∠+∠=∠+∠．（2）如图② AP CP 分别平分BAD ∠ BCD ∠ 若36ABC ∠=︒ 16ADC ∠=︒ 求P ∠的度数．（3）如图（3）直线AP 平分BAD ∠ CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠ 猜想P ∠与B 、D ∠的数量关系是__；（4）如图（4）直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠ CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠ 猜想P ∠与B 、D ∠的数量关系是________．【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）()1902P B D ∠=︒+∠+∠；（4）()11802P B D ∠=︒-∠+∠ 【详解】解：（1）A B AOB ∠+∠+∠=180° C D COD ∠+∠+∠=180° A B AOB C D COD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠．AOB COD ∠=∠ A B C D ∴∠+∠=∠+∠；（2）AP CP 分别平分BAD ∠ BCD ∠ 设BAP PAD x ∠=∠= BCP PCD y ∠=∠=则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩ABC P P ADC ∴∠-∠=∠-∠ ()1122P ABC ADC ∴∠=∠+∠=（36°+16°）=26°（3）直线AP 平分BAD ∠ CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠1=2PAB PAD BAD ∴∠=∠∠ 1=2PCB PCE BCE ∠=∠∠ ∵2PAB B ∠+∠=180°-2PCB D ∠+∠ ∵180°()2PAB PCB D B -∠+∠+∠=∠∵∵P +∵P AD =∵PCD +∵D ∵BAD +∵B =∵BCD +∵D ∵=P PAD BAD B PCD BCD ∠+---∠∠∠∠∠ ,P PAB B PCB ∴∠-∠-∠=∠∵P B PAB PCB ∠-=∠+∠∠∵180°()2P B D B -∠-∠+∠=∠即P ∠=90°()12B D +∠+∠．（4）连接PB PD直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠ CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠FAP PAO ∴∠=∠ PCE PCB ∠=∠∵APB PBA PAB +∠+∠=∠180° PCB PBC BPC +∠+∠=∠180°∵APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°∵2APC ABC ADC PCB PAB PCD PAD ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∵2APC ABC ADC PCE PAB PCD PAF ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∵=PCE PCD ∠+∠180° =PAB PAF +∠∠180°∵2APC ABC ADC ∠+∠+∠=360° APC ∴∠=180°-()12ABC ADC ∠+∠。

边角关系测试题及答案

边角关系测试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，如果∠A = 50°，∠B = 70°，那么∠C的度数是多少？A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°2. 如果一个三角形的内角和为180°，那么在三角形ABC中，如果∠A = 90°，∠B = 45°，∠C的度数是多少？A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°3. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么另一个锐角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题4. 如果三角形的一个角是直角，那么这个三角形的另外两个角的和是______。

5. 在一个三角形中，如果两个内角的度数之和为90°，那么这个三角形被称为______三角形。

三、简答题6. 解释什么是补角，并给出一个补角的例子。

7. 解释什么是邻补角，并给出一个邻补角的例子。

四、计算题8. 在一个三角形中，已知∠A = 120°，求∠B和∠C的度数。

9. 如果一个三角形的三个内角的度数之和为180°，且已知∠A = 60°，∠B = 50°，求∠C的度数。

五、解答题10. 证明在一个三角形中，任意两个内角的和小于180°。

答案：一、选择题1. C2. A3. C二、填空题4. 90°5. 直角三、简答题6. 补角是指两个角的度数之和等于90°，例如，如果一个角是60°，那么它的补角是30°。

7. 邻补角是指两个角共享一条边，且它们的另一条边互为反向延长线，例如，在一个直角三角形中，两个锐角互为邻补角。

四、计算题8. ∠B = ∠C = (180° - 120°) / 2 =30°9. ∠C = 180° - 60° - 50° = 70°五、解答题10. 证明：设三角形ABC中，∠A和∠B为任意两个内角。

(完整版)三角形中的边角关系复习试题

三角形中的边角关系复习试题（满分：100分时间：60分钟）姓名得分一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．1，1，2 B．3，7，11 C．6，8，9 D．3，3，62、下列语句中，不是命题的是（）A．两点之间线段最短 B．对顶角相等C．不是对顶角不相等 D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线3、下列命题中，假命题是（）A．如果|a|=a，则a≥0 B．如果，那么a=b或a=-bC．如果ab>0，则a>0，b>0 D．若，则a 是一个负数4、若△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C=3∠A，则这个三角形（）A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定6、下列命题中正确的是（）A．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C．三角形外角一定是钝角D．△ABC中，如果∠A>∠B>∠C，那么∠A>60°，∠C<60°7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（）A．3：2：1 B．5：4：3 C．3：4：5 D．1：2：38、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（）A．－6<a<－3 B．－5<a<－2 C．－2<a<5 D．a<－5或a>29、如图9,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC=4cm2,则S阴影等于（） A.2cm2 B.1cm2 C.12cm2 D.14cm2图9 图1010、已知：如图10，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边的高，则∠DBC=（）A．10° B．18° C．20° D．30°二、填空题（每小题4分，共20分）11、已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是．12、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．13、如图13，∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，则∠BOC= ．图13 图14 图1514、如图14，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF= ．15、如图15，D是△ABC的BC边上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC= ．三、解答题（第16题6分，第17题8分，第18-21题每题9分，共50分）16、写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．（1）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．（2）等角的余角相等．（3）如果一个数的平方是9，那么这个数是3．17、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所示，∠1=∠2，∠A=∠3.求证：AC∥DE.证明：因为∠1=∠2（），所以AB∥___（）.所以∠A=∠4（）.又因为∠A=∠3（），所以∠3=_ _（）.所以AC∥DE（）.18、如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形各边的长．19、如图，已知∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，求证AB∥OE∥CD.20、如图，已知DE∥BC，FG∥CD，求证：∠CDE＝∠BGF．21、已知△ABC，如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，求证∠P=90°＋∠A；答案一、选择题1.C2.D3.C4.A5.D6.D7. B8.B9.B 10.B二、填空题11．3cm； 12．20°或120°； 13. 120°； 14. 20°； 15．24°；三、解答题16、（1）逆命题：如果a=0，b=0，那么a＋b=0；真命题（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是等角的余角；假命题（3）如果一个数是3，那么这个数的平方是9.真命题17、已知；EC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠4；等量代换；内错角相等，两直线平行18、因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x，（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2x＋x=30，∴x=10，2x=20，BC=24－10=14，三边分别为：20cm，20cm，14cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30，有2x＋x=24∴x=8，BC=30－8=22，三边分别为：16cm，16cm，22cm．19、证明一：∵∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠2（等式性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．又∵∠1＋∠3＝180°（已知），∴OE∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴AB∥OE（平行于同一直线的两直线平行），∴AB∥OE∥CD．证明二：∵∠1＋∠3＝180°（已知），∴CD∥OE（同旁内角互补，两直线平行）．又∵∠2＋∠3＝180°（已知），而∠BOE＋∠3＝180°（邻补角定义），∴∠2＝∠BOE（等式性质）．∴AB∥OE（内错角相等，两直线平行）．∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行）．∴AB∥OE∥CD．20、证明：∵DE∥BC（已知），∴∠EDC＝∠DCG（两直线平行，内错角相等）．又∵FG∥CD（已知），∴∠DCG＝∠FGB（两直线平行，同位角相等）．∴∠CDE＝∠BGF（等量代换）．。

三角形边角关系专题

D AB CEA BDFC 图13DIE ACB三角形的边角关系专题例1.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的道理是．例2.下列说法中错误的是( )A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.有一个内角是直角的三角形是直角三角形C.任意三角形的外角和都是360oD.三角形的中线、角平分线，高线都是线段例3.如图,∠A=65o,∠B=75o,将纸片的一角折叠,使点C•落在△ABC 内,若∠1=20o,则∠2的度数为______.例4.如图,在△ABC 中,∠ACB=90o,CD 是AB 边上的高,且AB=13cm ,BC=12cm ,AC=5cm ,求:(1)△ABC 的面积;(2)CD 的长.例5.如图,在ΔABC 中,AD 是角平分线,∠B=70o,∠C=40o,求∠BAD 和∠ADC 的度数. 例6.如图,DF ⊥AB,∠A=43o,∠D=42o,求∠ACB 的度数.例7.一个等腰三角形的两边长分别是4 cm 和6 cm,则它的周长是________cm. 例8.如果∠α的补角加上30o后,等于它的余角的4倍,则这个角是_________.例9.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,点E 在线段BD 上,且AE 平分∠BAC,若∠B=40o,∠C=78o,则∠EAD=______o.例10.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=3:2:1,求它们的度数. 例11.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,求△ABC 各内角的度数.例12.在具备下列条件的△ABC 中,不是直角三角形的是( )A.∠A-∠B=∠C; B.∠A=3∠C,∠B=2∠C; C.∠A=∠B=2∠C; D.∠A=∠B=12∠C例13.已知三角形的两边分别为5cm 和7cm,第三边的长为整厘米数,那么这样的三角形共有几个?例14.如图,在ΔABC,角平分线BD 、CE 相交与I,则∠BIC 与∠A 有什么关系?如果设∠A 为求∠BIC(用α表示).利用上述关系,计算:(1)当∠A=50o时,求∠BIC;(2)当∠BIC=130o时,求∠A.例15.在下列图中,分别画出三角形的三条高:EB DACEB ACCABCABCABEEE BA CDE 练习1.如图,AD 是∠CAE 的平分线,∠B=30o,∠DAE=55o,则∠ACD 等于( )A.80oB.85oC.100oD.110o2.一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上,BC 与DE 交于点M. 如果∠ADF=100o,那么∠BMD 为( )A.95oB.85oC.90oD.100o3.若等腰三角形的周长为26cm,一边长为11 cm,则腰长为 .4.一个角的余角与补角的和等于这个角的4倍,则这个角是多少度?5.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=80o,AD ⊥BC 于D,AE 平分∠DAC,∠B=60o;求∠AEC 的度数.6.若△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:4,则△ABC 一定是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.任意三角形7.在下列条件中:①∠A +∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=90o-∠B;④∠A=∠B=12∠C 中,能确定△ABC 是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(1)已知∠A=2∠B=3∠C,则∠A= ° (2)若△ABC 中,∠B=∠C=2∠A,则∠A= .9.两根木棒的长分别是7cm 和10cm,要选择第三根木棒,将它们钉成三角形,第三根木棒长的范围应是_________. 10.在△ABC 中,∠A=80o,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O,则∠BOC=________度. 11.在下图中, 正确画出AC 边上高的是 ( ).A B C D12.已知a,b,c 是△ABC 的三边长,化简|a-b+c|+|c-a-b|= .13.如图,将一副三角尺的直角顶点重合在一起,(1)若∠DOB 与∠DOA 的度数比是2:11,求∠BOC 的度数;(2)若叠合所成的∠BOC=n o(0<n<90),则∠AOD 的补角的度数与∠BOC 的度数之比是多少?14.三角形有一个角的度数是46o角的余角，另一个角是144o角的补角，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形15.如果三角形三个内角之比为3:4:5,那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.上述三角形都可能 16.三角形的三边长为3,a,7,则a 的取值范围是 ;如果这个三角形中有两条边相等,那么它的周长是 ; 17.如图,在△ABC 中,∠A=96o,延长BC 到点D ，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线相交于点A 1,∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2,依此类推,∠A 4BC 的平分线与∠A 4CD 的平分线相交于点A 5,则∠A 5的度数为( )A.3oB.6oC.8oD.12o18.已知:△ABC 中,AB=AC,BD 为∠ABC 的平分线,∠BDC=75o,则∠A 的度数为( ) A.25oB.30oC.40oD.20o19.如图,△ABC 中,∠C=90o,AC=BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=6cm,则△DEB 的周长为( )A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 20.下列图形中有稳定性的是( ) A.正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形。

直角三角形的边角关系单元测试题(含答案)

第一章直角三角形的边角关系检测题一、选择题（每小题3分，共30分） 1．计算：cos 245°+sin 245°=（）A. 错误!未找到引用源。

B.22C.1D.322．在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值（）A ．都扩大两倍,B ．都缩小两倍,C ．不变,D ．都扩大四倍 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列结论正确的是（）A ．a A c =sinB ．c B b =cosC ．b A a =tanD ．abB =tan第3题图第4题图第5题图4.如图，在△ABC 中，∠BAC =90゜,AB =AC ,点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ,则tan ∠DBC 的值为（） A.31错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

-1 C.2-错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

5.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ,B ,C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ) A.2 B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

6.已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（） A.43 B.45 C.54 D.34 7.如图，一个小球由地面沿着坡度错误!未找到引用源。

的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310 m第7题图8.如图，在菱形错误!未找到引用源。

中，错误!未找到引用源。

，3cos5A=，错误!未找到引用源。

，则tan∠错误!未找到引用源。

的值是（）A．12B．2 C．52D．559.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）A. 5B. 错误!未找到引用源。

C. 7D. 错误!未找到引用源。

完整版三角形中的边角关系复习试题

、选择题（每小题3分，共30 分）A.如果|a|=a ，则a >0 B .如果那么a=b 或a=-b三角形中的边角关系复习试题60分钟）（满分：100分时间:姓名得分1、 F 列长度的各组线段中，能组成三角形的是（A. 1，1，2B. 3, 7, 11 C . 6， 8, D. 3, 3, 62、 F 列语句中，不是命题的是A.两点之间线段最短.对顶角相等3、 C.不是对顶角不相等 .过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线F 列命题中，假命题是（C.如果ab>0,则a>0, b>0 D .若是一个负数4、若厶ABC的三个内角满足关系式/ B+Z C=3/ A,则这个三角形（A. —定有一个内角为45° B .一定有一个内角为60°C. 一定是直角三角形 D •一定是钝角三角形5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，贝尼是（）A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D.不能确定6、下列命题中正确的是（）A.三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B•等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C. 三角形外角一定是钝角D. △ ABC中，如果Z A>Z B>Z C,那么Z A>60°，/C<607、若一个三角形的三个内角的度数之比为1: 2: 3,那么相对应的三个外角的度数之比为（）A. 3：2：1 B . 5: 4: 3 C . 3: 4: 5 D . 1: 2: 38设三角形三边之长分别为3, 8, 1-2a,则a的取值范围为（）A. —6<a<—3 B . —5<a<—2 C . —2<a<5 D . a<—5 或a>29、如图9,在厶ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，且S △AB=4cm i,则S阴影2 21 21 2 等于（）A.2cm B.1cm C. cm D.cm2 4图1010、已知：如图10,在厶ABC中，/ C=Z ABC=N A, BD是AC边的高，则/ DBC=（）A. 10° B . 18° C . 20° D . 30°二、填空题（每小题4分，共20分）11、已知三角形的周长为15cm其中的两边长都等于第三边长的2倍,则这个三角形的最短边长是12、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1 : 4,则这个等腰三角形顶角的度数为 _13、如图13,/ A= 70°,/B= 30°,/C= 20°,贝U/BOC _________ .图13 图14 图1514、如图14, AF、AD分别是△ ABC的高和角平分线，且/ B=36 ,ZC=76，贝U/DAF三15、如图15, D是厶ABC的BC边上的一点，且/ 仁/ 2, / 3=7 4, / BAC=63，则/DAC _ ,三、解答题(第16题6分，第17题8分，第18-21题每题9分，共50分)16、写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题.(1)如果a+ b=0,那么a=0，b=0.( 2)等角的余角相等.(3)如果一个数的平方是9,那么这个数是3.17、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所示，7 1=7 2, 7 A=7 3.所以 AC// DE (18、如图，在△ ABC 中, AB=AC AC 上的中线把三角形的周长分为 24cm 和30cm 的两个部分, 求三角形各边的长.求证：AC// DE.证明：因为7 1 = 7 2 (所以7 A=7 4 (又因为7 A=7 3 ( )，所以 AB// ___ ().)，所以7 3=_=(19、如图，已知/ 1 + Z 3= 180°,Z2+Z 3= 180°,求证AB// OE// CD.20、如图，已知DE// BC FG// CD 求证：/ CDE=Z BGF21、已知△ ABC如图①，若P点是/ ABC和/ACB的角平分线的交点,求证/ P=90°+/ A；Array答案一、选择题I. C 2.D 3.C 4.A 5.D 6.D 7. B 8.B 9.B 10.B二、填空题II. 3cm 12 . 20° 或120°; 13. 120 ° ; 14. 20 °; 15 . 24°;三、解答题16、（1）逆命题：如果a=0, b=0,那么a + b=0；真命题（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是等角的余角；假命题（3）如果一个数是3,那么这个数的平方是9. 真命题17、已知；EC;内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；/角相等，两直线平行18、因为BD是中线，所以AD=DC造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等,解：设AB=AC=2x 贝V AD=CD=x（1）当AB+ AD=30 BC+ CD=24时，有2x + x=30,••• x=10, 2x=20, BC=24- 10=14,三边分别为：20cm 20cm, 14cm（2）当AB+ AD=24, BC+ CD=3Q 有2x+ x=24•x=8 , BC=30- 8=22 ,三边分别为：16cm, 16cm 22cm19、证明一：I/ 1 + Z 3= 180° Z2+Z 3= 180°（已知）,•••/ 1 = / 2 （等式性质）.•AB//CD（内错角相等,两直线平行）.又•••/ 1 + / 3= 180°（已知）,•OE/CD（同旁内角互补，两直线平行），•AB// OE （平行于同一直线的两直线平行）,•AB// OE/ CD证明二：T/ 1 + / 3= 180°（已知），•CD//OE（同旁内角互补，两直线平行）. 4；等量代换；内错故应分情况讨论.又•••/ 2+Z 3= 180°（已知），而/ BO&Z 3= 180°（邻补角定义），•••/ 2=Z BOE（等式性质）.••• AB//OE（内错角相等，两直线平行）.••• AB// CD（平行于同一直线的两直线平行）••• AB// OE/ CD20、证明：T DE// BC（已知），••上EDC=Z DCG（两直线平行，内错角相等）.又••• FG// CD（已知），••上DC（=Z FGB（两直线平行，同位角相等）.•••/ CDE=Z BGF（等量代换）.。

三角形中的边角关系

直角三角形的边角关系测试题（二）班级姓名编号得分一．填空题（每题4分，共28分）1．计算：sin 60︒= ；tan 60︒= 。

2．0tan 30(tan 1525'19")︒+︒= 。

3．等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于。

4．比较下列三角函数值的大小：（用“<”小于号连接） s i n 5,s i n 85,s i ︒︒︒，它们的大小为：。

5．若A ∠是锐角，1cos 3A =，则sin(90)A ︒-= 。

6．若A ∠是锐角，cos 2A =，则A ∠= 。

7．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸边上的一点，测得30A B C ∠=︒，60A C B ∠=︒，B C 50=米，则A 到岸边B C 的距离是米。

二．选择题（每题4分，共32分）1．在一个钝角三角形中，如果一个三角形各边的长度都扩大3倍，那么这个三角形的两个锐角的余弦值（）A ．都没有变化B ．都扩大3倍C ．都缩小为原来的13D ．不能确定是否发生变化2．在A B C ∆中，::1:2:1A B C ∠∠∠=，,,A B C∠∠∠对边分别为,,a b c ，则::a b c 等于（）A ．1:2:1 B．1: C．12 D．1:2:3．解R t A B C ∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，结果错误的是（） A ．cos b c A = B ．tan a b A = C ．sin a c A = D ． tan a b B = 4．计算22sin 60tan 45(-︒︒--结果是（）A ．94B ．114C ． 94- D ．114-5．若sin cos A A +=A 等于（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．等腰三角形的顶角是120︒，底边上的高为30，则三角形的周长是（）A．120+ B．120+ C．150+ D．150+7．在A B C ∆中，90C ∠=︒，且两条直角边,a b 满足22430a ab b -+=，则tan A 等于（）A ．2或4B ．3C ．1或3D ．2或38．在A B C ∆中，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，5,12,13a b c ===，下列结论成立的是（） A ．12sin 5A =B ．5cos 13A = C ．5tan 12A = D ．12cos 13B =三．不用计算器计算：（每题6分，共18分）（1）sin 30cos 45cos 60sin 45︒-︒︒-︒（2）2(tan 45)︒-（3）sin 353tan 3012sin 60cos 55︒︒--+︒︒四．解答题（第1题12分，第2题10分，共22分）1．如图，在R t A B C ∆中，90B C A ∠=︒，C D 是中线，6,5B C C D ==，求s i n ,c o s A C D A C D ∠∠和tan A C D ∠。

(完整)八年级三角形边角关系练习题(含解析答案)

三角形的边角关系练习题回首：1、三角形的观点定义：由 _______直线上的三条线段首尾按序相接所构成的图形叫做三角形。

2、三角形的分类按角分：锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形按边分：不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形3、三角形的重要线段在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角均分线、三角形的高。

说明：（1）三角形的三条中线的交点在三角形的____部。

（2）三角形的三条角均分线的交点在三角形的______部。

（3）_______三角形的三条高的交点在三角形的内部；______三角形的三条高的交点是直角顶点； _____三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外面。

4、三角形三边的关系定理：三角形随意两边的和____第三边；推论：三角形随意两边的差____第三边；说明：运用“三角形中随意两边的和大于第三边”能够判断三条线段可否构成三角形，也能够查验较小的两边的和能否大于第三边。

5、三角形各角的关系定理：三角形的内角和是______度；推论：（1）当有一个角是90°时，其他的两个角的和为90°；（2）三角形的随意一个外角 ______和它不相邻的两个内角的和。

（3）三角形的随意一个外角______随意一个和它不相邻的内角。

说明：任一三角形中，最多有三个锐角，最罕有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。

三角形的计数例1 如图，平面上有 A、B、C、D、E 五个点，此中 B、C、D 及 A、E、 C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为极点的三角形有（）A、4 个B、6个C、8 个D、10个分析：连结 AB、 AD、BE、DE。

课件出示答案： C 。

小结：分类议论是三角形的计数中常有的思路方法。

贯通融会：1、已知△ ABC是直角三角形，且∠ BAC=30°，直线 EF与△ ABC的两边 AC， AB分别交于点 M，N，那么∠ CME+∠ BNF=（）A、150°B、180°C、135°D、不可以确立分析：由于∠ A=30°，所以∠ NMA+∠ MNA=180° -30 ° =150°，所以∠ CME+∠BNF=∠ NMA+∠ MNA=150° . 应选 A.三角形的三边关系例 2边长为整数，周长为20 的等腰三角形的个数是。

三角形中的边角关系复习试题

三角形中的边角关系复习试题（满分：100分时间：60分钟）姓名得分一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．1，1，2 B．3，7，11 C．6，8，9 D．3，3，62、下列语句中，不是命题的是（）A．两点之间线段最短 B．对顶角相等C．不是对顶角不相等 D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线3、下列命题中，假命题是（）A．如果|a|=a，则a≥0 B．如果，那么a=b或a=-bC．如果ab>0，则a>0，b>0 D．若，则a 是一个负数4、若△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C=3∠A，则这个三角形（）A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定6、下列命题中正确的是（）A．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C．三角形外角一定是钝角D．△ABC中，如果∠A>∠B>∠C，那么∠A>60°，∠C<60°7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（）A．3：2：1 B．5：4：3 C．3：4：5 D．1：2：38、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（）A．－6<a<－3 B．－5<a<－2 C．－2<a<5 D．a<－5或a>2=4cm2,则S阴影9、如图9,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S△ABC等于（） B.1cm21214FEA图9 图1010、已知：如图10，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边的高，则∠DBC=（）A．10° B．18° C．20° D．30°二、填空题（每小题4分，共20分）11、已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是．12、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．13、如图13，∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，则∠BOC= ．图13 图14 图1514、如图14，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF= ．15、如图15，D是△ABC的BC边上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC= ．三、解答题（第16题6分，第17题8分，第18-21题每题9分，共50分）16、写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．（1）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．（2）等角的余角相等．（3）如果一个数的平方是9，那么这个数是3．17、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所示，∠1=∠2，∠A=∠3.求证：AC∥DE.证明：因为∠1=∠2（），所以AB∥___（）.所以∠A=∠4（）.又因为∠A=∠3（），所以∠3=_ _（）.所以AC∥DE（）.18、如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形各边的长．19、如图，已知∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，求证AB∥OE∥CD.20、如图，已知DE∥BC，FG∥CD，求证：∠CDE＝∠BGF．21、已知△ABC，如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，求证∠P=90°＋∠A；答案一、选择题7. B二、填空题11．3cm； 12．20°或120°； 13. 120°； 14. 20°； 15．24°；三、解答题16、（1）逆命题：如果a=0，b=0，那么a＋b=0；真命题（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是等角的余角；假命题（3）如果一个数是3，那么这个数的平方是9.真命题17、已知；EC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠4；等量代换；内错角相等，两直线平行18、因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x，（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2x＋x=30，∴x=10，2x=20，BC=24－10=14，三边分别为：20cm，20cm，14cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30，有2x＋x=24∴x=8，BC=30－8=22，三边分别为：16cm，16cm，22cm．19、证明一：∵∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠2（等式性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．又∵∠1＋∠3＝180°（已知），∴OE∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴AB∥OE（平行于同一直线的两直线平行），∴AB∥OE∥CD．证明二：∵∠1＋∠3＝180°（已知），∴CD∥OE（同旁内角互补，两直线平行）．又∵∠2＋∠3＝180°（已知），而∠BOE＋∠3＝180°（邻补角定义），∴∠2＝∠BOE（等式性质）．∴AB∥OE（内错角相等，两直线平行）．∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行）．∴AB∥OE∥CD．20、证明：∵DE∥BC（已知），∴∠EDC＝∠DCG（两直线平行，内错角相等）．又∵FG∥CD（已知），∴∠DCG＝∠FGB（两直线平行，同位角相等）．∴∠CDE＝∠BGF（等量代换）．。

第一章直角三角形的边角关系(单元测试)(解析版)

第一章直角三角形的边角关系单元测试参考答案与试题解析一、单选题1．（2020·哈尔滨德强学校）在△ABC 中，若，）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】A【解析】试题解析：∵cos A tan B ，∴∠A =45°，∠B =60°．∴∠C =180°-45°-60°=75°．∴△ABC 为锐角三角形．故选A ．2．（2019·福建三明市·九年级月考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sinB ＝23B ．cos B ＝23C ．tan B ＝23D ．tan B ＝32【答案】C【解析】∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=AC AB ==，cosB=BC AB ==，tanB=AC 2BC 3=，故选C.3．（2020·济南历下区明德中学九年级期中）如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE AB ^，垂足为E ，35DE AD =，则下列结论正确的有（）①3DE cm =；②1BE cm =；③菱形的面积为215cm ；④BD =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：Q 菱形ABCD 的周长为20cm ，5cm AD \=，35DE AD =Q ，3cm(DE \=①正确），4cm AE \==，5cm AB =Q ，541cm(BE \=-=②正确），\菱形的面积25315cm (AB DE =´=´=③正确），3cm DE =Q ，1cm BE =，BD \==④不正确），故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等内容，掌握菱形的性质是解题的关键．4．（2019·辽宁抚顺市·九年级月考）在△ABC 中（2cosA-）2+|1-tanB|=0，则△ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A 、∠B 的度数，根据直角三角形的判定，可得答案．【详解】解：由（）2+|1-tanB|=0，得，1-tanB=0．解得∠A=45°，∠B=45°，则△ABC 一定是等腰直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．5．（2020·山东枣庄市·九年级期末）若α为锐角，且()sin10a °-=，则α等于（）A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°【答案】B【解析】【分析】根据sin 60°=得出α的值．【详解】解：∵sin 60°=∴α-10°=60°，即α=70°．故选：B ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．6．（2019·全国九年级单元测试）已知∠A 为锐角，且tan A ，则∠A 的取值范围是（）A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°【答案】C【解析】【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围.【详解】解：tan30°，tan45°＝1，tan60°，则可知正切值随角增大而增大，由145°＜∠A ＜60°．故选择C ．【点睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判断正切函数随角度变化的变化规律是解题关键.7的值是( )A ．1－B －1C －1D ．1【答案】A【解析】11=-=故本题应选A.点睛：00a a a a a ³ì=í-<î，， .8．（2019·全国九年级单元测试）=（）A ．B ．C ．D ．1【答案】D【解析】【分析】由于tan30°=，故1-tan30°＞0，再对根号里的各项利用完全平方公式变形，从而可以计算出答案．【详解】解：∵tan30°=，∴ 1-tan30°＞0，原式=+tan30°=|1-tan30°|+tan30°=1-tan30°+tan30°=1．故选：D ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、完全平方公式．以及二次根式的性质与化简，本题的关键有两步：第一步判断tan30°-1的正负；第二步熟练运用=|a|进行化简，同时也要掌握绝对值的代数意义．9．（2019·福建三明市·九年级月考）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）A B C D．2 3【答案】C【解析】试题解析：设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，则AB===，sin ABCÐ== .故本题应选C.10．（2020·福建莆田市·九年级一模）小明沿着坡角为30°的山坡向上走，他走了1000m，则他升高了（）A．B．500m C．D．1000m【答案】B【解析】【分析】根据坡角的概念，直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半的性质计算即可．【详解】解：设他升高了xm，∵山坡的坡角为30°，∴x=12×1000=500（m），故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用：坡度坡角问题，属于简单题,掌握坡角的概念是解题的关键．二、填空题11．（2020·四川攀枝花市·九年级期末）△ABC中，∠C＝90°，tan A＝43，则sin A+cos A＝_____．【答案】7 5【解析】∵在△ABC 中，∠C=90°，4tan 3A =，∴可设BC=4k ，AC=3k ，∴由勾股定理可得AB=5k ，∴sinA=4455BC k AB k ==，cosA=3355AC k AB k ==，∴sinA+cosA=437555+=.故答案为75.12．（2020·全国九年级单元测试）如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B ，C 在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B 地出发，垂直上升100m 到达A 处，在A 处观测C 地的俯角为30°，则B 、C 两地之间的距离为__________m.【答案】【分析】利用题意得到∠C=30°，AB=100，然后根据30°的正切可计算出BC ．【详解】根据题意得∠C=30°，AB=100，∵tanC=A B B C，∴BC=0100tan 30=0100tan 30（m ）．故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．13．（2020·阜康市第三中学九年级其他模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为_____．【答案】3 4【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∴tan∠ACD＝tan∠A＝BCAC＝68＝34．故答案为：34．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质并求出∠A=∠ACD是解题的关键．14．（2020·江苏淮安市·淮安六中八年级期中）有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一个树的树梢，则小鸟至少飞行_________________米【答案】10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，设大树高为12AB m =，小树高为6CD m =，过C 点作CE AB ^于E ，则四边形EBDC 是矩形，连接AC ，6EB m \=，8EC m =，1266()AE AB EB m =-=-=，在Rt AEC D 中，10()AC m ==．故小鸟至少飞行10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．15．如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5 m ，则大树的高度为_______m(结果保留根号)．【答案】5＋【分析】作CE ⊥AB 于点E ，则△BCE 和△BCD 都是直角三角形，即可求得CE ，BE 的长，然后在Rt △ACE 中利用三角函数求得AE 的长，进而求得AB 的长，即为大树的高度．【详解】如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BCE 中，BE ＝CD ＝5m ，CE ＝tan 30BE o＝（m ），在Rt △ACE 中，AE ＝CE·tan 45°＝（m ），AB ＝BE ＋AE ＝5＋m ）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．16．（2019·全国九年级单元测试）小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________ 米．【答案】50【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC ：AC=1：2.4，设BC=x ，AC=2.4x ，根据勾股定理求出AB ，然后根据题意可知AB=130米，求出x 的值，继而可求得BC 的值．【详解】解：如图所示：∵坡比为1：2.4，∴BC ：AC=1：2.4，设BC=x ，AC=2.4x ，则，∵AB=130米，∴x=50，则BC=x=50（米）．故答案为50．【点睛】此题主要考查了坡度的定义和勾股定理，根据勾股定理把AB 用x 表示出来并求出是解题的关键.三、解答题17．计算：(1)(－1)2－2cos 30°＋(－2017)0；(2)3tan 302tan 60cos 60°-°°＋4sin 60°.【答案】(1) 2；(2) 0.【解析】试题分析：(1)先求出式子每一项的值，然后相加即可.(2)先计算每一个特殊角的三角函数值，然后代入式子求值即可.试题解析：(1) 原式＝1－1＝11＝2；(2)＋＝－＝0.18．（2019·福建三明市·九年级月考）如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝6，AC ＝，∠A ＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．【答案】(1) BD ＝3，AD ＝；(2) tan C.【解析】（1）∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°．在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝AB·sin30°＝3，∴·cos30AD AB =°=．（2）CD AC AD =-=-=，在Rt △BDC 中，tan BD C CD Ð===19．（2020·辽宁盘锦市·）如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500米的A 点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B 点，在B 处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点距离海面的深度（结果保留根号）．【答案】米【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E ，设BD=x ，利用锐角三角函数的定义用x 表示出BD 及CD 的长，由CE=CD+DE 即可得出结论．【详解】解：过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E ，设BD=x ， ∵∠CBD=60°，∴tan ∠CBD=CD BD∴． ∵AB=2000， ∴AD=x+2000，∵∠CAD=45° ∴tan ∠CAD=CD AD=1，x=x+2000，解得， ∴+1000）∴．答：黑匣子C 点距离海面的深度为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．20．如图，AB 是长为5m ，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD 与大楼CE 垂直，且与扶梯AB 的长度相等，在B 处测得大楼顶部C 的仰角为65°，求大楼CE 的高度（结果保留整数）．（参考数据：3sin 375°»，3tan 374°»，9sin 6510°»，15tan 657°»）【答案】大楼CE 的高度约为14m ．【分析】如图（见解析），先在Rt ABF V 中，利用正弦三角函数可求出BF 的长，再在Rt CDB V 中，利用正切三角函数可求出CD 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，作BF AE ^于点F ，则BF DE=由题意得：5,BD AB m BD CE ==^，37,65BAF CBD Ð=°Ð=°在Rt ABF V 中，sin BF BAF AB Ð=则3sin 3753()5BF AB m =×°»´=在Rt CDB V 中，tan CD CBD BDÐ=则15tan 65511()7C mD BD °»»=×´则31114()CE DE CD BF CD m =+=+»+=答：大楼CE 的高度约为14m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米．（i=1坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比）（1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1»1.414，1.732）【答案】（1）点B 距水平面AE 的高度BH 为5米.（2）宣传牌CD 高约2.7米.【分析】（1）过B 作DE 的垂线，设垂足为G ．分别在Rt △ABH 中，通过解直角三角形求出BH 、AH.（2）在△ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt △CBG 中，∠CBG=45°，则CG=BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD=CG+GE ﹣DE 即可求出宣传牌的高度.。

三角形边角关系专项练习

三角形边角关系及三线【2 】演习题典范例题【例1】已知三角形的三边长分离为 4.5.x,则x不可能是（）A. 3B. 5C. 7D. 91.【例2】一个三角形的三条边中有两条边相等,且一边长为4,还有一边长为9,则它的周长为（）A. 17B. 22C. 17或22D. 13相干变形：一等腰三角形双方长分离为3,5,试求该三角形的周长.等腰三角形中,一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A.150°B.80°C.50°或80°D.70°【例3】如图SX—02,AD⊥BC,则图中以AD为高的三角形有___________个.SX—02 SX—03 SX—04【例4】如图SX—03,已知线段AD.AE分离是△ABC的中线和高线,且AB=5cm,AC=3cm,(1) △ABD与△ACD的周长之差为_________;(2) △ABD与△ACD的面积关系为__________.【例5】已知△ABC中,给出下列四个前提：(1) ∠A+∠B=∠C; (2) ∠A=90°－∠B; (3) ∠A：∠B：∠C=1：1：2; (4) ∠A：∠B：∠C=1：2：3. 个中可以或许剖断△ABC是直角三角形的有（）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例6】如图SX —04,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD 是AB 边上的高,AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm,求：(1) △ABC 的面积; (2) CD 的长.【例7】如图SX —05,△ABC 中,∠B.∠C 的等分线交于点P,且∠BPC=130°,求∠BAC 的度数.相干变形：一个零件的外形如图SX —05-1所示,按划定∠BAC=90°,∠B=21°,∠C=20°,磨练工人量得∠BDC=130°,于是判断这个零件不及格.应用所学常识解释零件不及格的来由.【例8】如图SX —06,AD 是△ABC 的边BC 上的高,AE 是△BAC 的等分线,若∠B=53°,∠C=77°,求∠DAE 的度数.进修自评一.选择题图SX －SX —06图SX －05-11.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是（)A. 1cm .2cm .3cmB. 1cm .4cm .2cmC. 2cm .3cm .4cmD. 6cm .2cm .3cm2.一个三角形的双方长为3和7,且第三边为整数,如许的三角形的周长的最小值是（）A. 14B. 15C. 16D. 17SX—073.如图SX—07,△ABC的边BA延伸得∠1 ,若∠2 ＞∠l,则△ABC的外形为（)A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法肯定4.一个三角形的三个内角互不相等,则它的最大角不小于（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5.△ABC中,假如∠A－∠B =90°,那么△ABC是（)A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形或钝角三角形二.填空题6.在△ABC中,AB=4,BC=9,则AC的取值规模是________________.7.如图SX—08,求下列各图中的∠α.(1) ∠α=________;(2) ∠α=________;(3) ∠α=________.SX—08 SX—108.已知∠A.∠B .∠C是△ABC 的三个内角.(1)假如∠A=90°,∠C = 55°,那么∠B＝______;(2)假如∠C=4∠A ,∠A ＋∠B =100°,那么∠A =______ ,∠B=______.9.如图SX—10,将等边三角形剪去一个角后,∠1+∠2=________.10.如图SX—11,在Rt△ABC中,CD是斜边AB 上的高,∠BCD = 35°,则∠A=_______.三.解答题11.如图SX—12,在△ABC中,双方长AB=12, AC=2,且周长为奇数,求第三边BC 的长.12.如图SX—13,AC∥DE ,若∠ABC = 70°,∠E = 50°,∠D = 75°,求∠A ,∠A BD的度数.13.如图SX—14,在△ABC中,∠A = 60°,∠B = 70°,∠ACB的等分线交AB于D,DE∥BC ,交AC于E,求∠BDC和∠EDC的度数.14.在等腰三角形中,一腰上的中线把它的周长分成15cm和18cm的两部分,求三角形的各边长.15.如图SX—SX—14SX—12 SX—13SX—11图SJ－15 图SJ－16乙SX—16甲15,∠B+∠C=100°,∠D=70°,求∠A的度数.16.(1) 如图SX—16甲,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =___________.(2) 如图SX—16乙,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________．17.求一个多边形的内角和,一般可将其转化为三角形,如图SX—17所示.请你试用含n的代数式表示出n边形的内角和.SX—17。

第二章直角三角形的边角关系测试题（含答案）

第二章直角三角形的边角关系测试题(九年级数学上) (时间:60分钟满分:100分)一、选择题（每小题3分，共36分）1.如果把Rt △ABC 各边的长度都扩大到原来的3倍得到Rt △A ’B ’C ’,那么锐角∠A 和∠A ’的余弦值的关系为（）A.cos A= cos A'B.cos A= 3cos A'C.3cos A= cos AD.不能确定 2.已知某锐角的度数为a,tan(a-10°)=1,则a 的值为( ) A.30º B.35º C.45º D.55º3.如图所示，△ABC 与△A ’B ’C ’都是等腰三角形,且AB=AC=5,A ’B ’=A ’C ’=3,若∠B+∠B ′=90°,则△ABC 与△A'B'C ′的面积比为( )A.25:9B.5:3C.5:3D.5:334.如图所示,锐角a 的顶点在原点,一条边在x 轴上,另外一边经过点P(3,-4),则sina 的值为( )A.-54 B.54 C.53 D.-435.如图所示,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D,已知AC=5,BC=2,则sin ∠ACD 的值为（）A.35 B.32C.552D.25 6.在△ABC 中，sinB=cos(90º-∠C)=21,那么△ABC 是（） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.如图所示,电线杆AB 的高为10m,当太阳光线与地面的夹角为60°时,其影长AC 为（）(参考数据:3≈1.732,结果精确到0.01m ）A.5.00mB.8.66mC.17.3mD.5.77mA.2B.3C.32D.239.如图所示,钓鱼竿AC 为6m,露出水面上的鱼线BC 长为32m,某垂钓者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC 转动到AC ’的位置,此时露在水面上的鱼线B ’C ’为33m,则鱼竿转过的角度是( )A.60ºB.45ºC.15ºD.90º10.如图所示,已知点A 的坐标为(5,0),直线y=x+b(b ＞0)与y 轴交于点B,连接AB,∠a=75°,则b 的值为( )A.3B.335 C.4 D.435 11.如图所示,渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向上,这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行,半小时后到达B 处,在B 处看见灯塔M 在北偏东15º方向上,此时,灯塔M 与渔船的距离是（） A.27海里 B.214海里 C.7海里 D.14海里12.如图所示,水库大坝的横截面为梯形,坝顶宽6米,坝高12米,斜坡AB 的坡角为60°,斜坡CD 的坡度为3:2,则坝底AD 的长为( )A.24米B.(14+43)米C.(12+83)米D.20米二、填空题(每小题3分,共15分)13.如图所示，某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高BC 的长米。

直角三角形的边角关系测试卷(有答案)

直角三角形边角关系测试卷（含答案）一、选择题1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（）A．B．C．D．2．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为（）A．B．C．D．3．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．4．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（）A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C 的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．120°6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，则小车上升的高度是（）A．5米 B．6米 C．6.5米D．12米8．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（）A．34.14米 B．34.1米C．35.7米D．35.74米9．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米二、填空题10．若是二次函数，则m的值是．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=．12．如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，AB⊥BC于B，站在河岸C的C处测得∠BCA=50°，BC=10m，则桥长AB=m（用计算器计算，结果精确到0.1米）13．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值．14．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是km．三、解答题15．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．16．16（2017•宝应县一模）计算：+（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．17．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅的距离AC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）18．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）19．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）20．耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32）21．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．答案与解析1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【专题】选择题【分析】根据余弦的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，∴cosB==，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．2．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为（）A．B．C．D．【考点】T3：同角三角函数的关系．【专题】选择题【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．【解答】解：∵α为锐角，，∴cos（90°﹣α）=sinα=．故选B．【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．3．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【专题】选择题【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，得∠A+∠B=90°，cosB=sinA=，故选：D．【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．4．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（）A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】选择题【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断．【解答】解：∵tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°．又∵三角形内角和为180°，∴∠C=90°．∴△ABC是等腰直角三角形．故选B．【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定．5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C 的度数是（）A．75°B．90°C．105° D．120°【考点】T5：特殊角的三角函数值；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方．【专题】选择题【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．”分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．【解答】解：∵|sinA﹣|=0，（﹣cosB）2=0，∴sinA﹣=0，﹣cosB=0，∴sinA=，=cosB，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选C．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【考点】T8：解直角三角形的应用．【专题】选择题【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=知BC==．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴BC==，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，则小车上升的高度是（）A．5米 B．6米 C．6.5米D．12米【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】选择题【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，∵cosα==，∴AB=12，∴BC==132﹣122=5，∴小车上升的高度是5m．故选A．【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（）A．34.14米 B．34.1米C．35.7米D．35.74米【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】选择题【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=1.6米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=1.6米，在Rt△DFB′中，B′F=，在Rt△DFB中，BF=DF，∵BB′=AA′=20，∴BF﹣B′F=DF﹣=20，∴DF≈34.1米，∴CD=DF+CF=35.7米，答：楼房CD的高度约为35.7米，故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．9．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】选择题【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE=PQ=2、CQ=PE，由i===可设CQ=4x、BQ=3x，根据BQ2+CQ2=BC2求得x的值，即可知DP=11，由AP==结合AB=AP﹣BQ﹣PQ可得答案．【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i===，∴设CQ=4x、BQ=3x，由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2或x=﹣2（舍），则CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中，∵AP==≈13.1，∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，故选：A．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．10．若是二次函数，则m的值是﹣3．【考点】H1：二次函数的定义．【专题】填空题【分析】根据二次函数的定义列出有关m的方程，然后求解即可．【解答】解：由二次函数的定义可知：m2+2m﹣1=2，解得：m=﹣3或1，又m﹣1≠0，m≠1，∴m=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了二次函数的定义，属于基础题，难度不大，注意掌握二次函数的定义．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】填空题【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．【解答】解：∵sinA==，∴∠A=60°，∴sin=sin30°=．故答案为：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．12．如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，AB⊥BC于B，站在河岸C的C处测得∠BCA=50°，BC=10m，则桥长AB=11.9m（用计算器计算，结果精确到0.1米）【考点】T8：解直角三角形的应用．【专题】填空题【分析】在Rt△ABC中，tan∠BCA=，由此可以求出AB之长．【解答】解：在△ABC中，∵BC⊥BA，∴tan∠BCA=．又∵BC=10m，∠BCA=50°，∴AB=BC•tan50°=10×tan50°≈11.9m．故答案为11.9．【点评】此题考查了正切的概念和运用，关键是把实际问题转化成数学问题，把它抽象到直角三角形中来．13．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值．【考点】T7：解直角三角形．【专题】填空题【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：===，进而可得CE=x，DE=x，从而可求tan∠CAD==．【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴===，∴CE=x，DE=x，∴AE=，∴tan∠CAD==，故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．14．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是（20﹣20）km．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】填空题【分析】分别在Rt△ALR，Rt△BLR中，求出AL、BL即可解决问题．【解答】解：在Rt△ARL中，∵LR=AR•cos30°=40×=20（km），AL=AR•sin30°=20（km），在Rt△BLR中，∵∠BRL=45°，∴RL=LB=20，∴AB=LB﹣AL=（20﹣20）km，故答案为（20﹣20）km．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题．15．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】解答题【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．16．计算：+（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．【考点】T5：特殊角的三角函数值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【专题】解答题【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2+2﹣4×﹣1，=2+2﹣2﹣1，=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．17．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅的距离AC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解答题【分析】利用余弦函数的定义即可求出AC的长．【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AC=AB•cos∠BAC=12×0.857≈10.3（米）．即大厅的距离AC的长约为10.3米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．18．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；U5：平行投影．【专题】解答题【分析】如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．分别在Rt△EQN、Rt△PFM中解直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN=x，则EQ=2x，∵QN2=EN2+QE2，∴20=5x2，∵x＞0，∴x=2，∴EN=2，EQ=MF=4，∵MN=3，∴FQ=EM=1，在Rt△PFM中，PF=FM•tan60°=4，∴PQ=PF+FQ=4+1．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解答题【分析】先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=xm，则BE=2xm，DE=2xm，DC=3xm，BC=xm，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．【解答】解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，∴∠DBE=∠DBC﹣∠EBC=60°﹣30°=30°．又∵∠BCD=90°，∴∠BDC=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°．∴∠DBE=∠BDE．∴BE=DE．设EC=xm，则DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm，BC===x，由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC．∴x+60=3x，解得：x=30+10，2x=60+20．答：塔高约为（60+20）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．20．耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解答题【分析】在Rt△PBC中，求出BC，在Rt△PAC中，求出AC，根据AB=AC﹣BC计算即可．【解答】解：根据题意，BC=142米，∠PBC=22°，∠PAC=17.9°，在Rt△PBC中，tan∠PBC=，∴PC=BCtan∠PBC=142•tan22°，在Rt△PAC中，tan∠PAC=，∴AC==≈≈177.5，∴AB=AC﹣BC=177.5﹣142≈36米．答：运河两岸上的A、B两点的距离为36米．【点评】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数解决问题，属于中考常考题型．21．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解答题【分析】设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=10m，列出方程即可解决问题．【解答】解：设AG=x．在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，∴CG=AG=x，∵DE=10，∴x﹣=10，解得：x=15+5∴AB=15+5+1=16+5（米）．答：这棵树的高度AB为（16+5）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．。

直角三角形的边角关系测试题

直角三角形的边角关系测试题姓名______〔时间：90分钟；总分值：120分〕一、选择题〔每题3分,共36分〕. 1、在△ABC 中,∠C =90°,a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边,c 是斜边,那么有〔〕.A.sin A =a cB.cos B =c bC.tan A =baD.cos B =ab2、在Rt △ABC 中,∠C =90°.假设sin A =22,那么sin B 等于〔〕. A.21B.22C.23D.13、在△ABC 中,假设tan A =1,sin B =22,你认为最确切的判断是〔〕. A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 4、在△ABC 中,假设|sin A －23|+(1－tan B )2=0,那么∠C 的度数是〔〕. A.45°B.60°C.75°D.105°5、某人沿着坡度为1∶3的山坡前进了1000 m,那么这个人所在的位置升高了〔〕. A.1000 m B.500 m C.5003 m D.331000 m 6、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝,他们放出的线长分别为300 m,250 m,200 m ；线与地面所成的角度分别为30°,45°,60°(假设风筝线是拉直的),那么三人所放的风筝〔〕.A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高7、如图1,两条宽度均为40 m 的公路相交成α角,那么这两条公路在相交处的公共局部(图中阴影局部)的路面面积是〔〕.A.αsin 1600(m 2) B.αcos 1600(m 2) C.1600sin α(m 2) D.1600cos α(m 2)AC A BD C5m图2 图3 8、如图2,为了测量一河岸相对两电线杆A 、B 间的距离,在距A 点15米的C 处 (AC ⊥AB )测得∠ACB =50°,那么A 、B 间的距离应为〔〕.A.15sin50°米B.15tan50°米C.15tan40°米D.15cos50°米9、如图3,在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,那么拉线AC 的长是〔〕.A.10 mB.3310 m C.225 m D.53 m10、如图4,某地夏季中午,当太阳移至房顶上方偏南时,光线与地面成80°角,房屋朝南的窗子高AB =1.8 m,要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ,使午间光线不能直接射入室内,那么挡光板的宽度AC 为〔〕.A.1.8tan80°mB.1.8cos80°mC.︒80sin 8.1 mD.︒80tan 8.1 mADE BC图4图5 图611、如图5,小红把梯子AB 斜靠在墙壁上,梯脚B 距墙1.6米,小红上了两节梯子到D 点,此D 点距墙1.4米,BD 长0.55米,那么梯子的长为〔〕.A.4.50米B.4.40米C.4.00米D.3.85米 12、如图6,小明在打网球时,要使球恰好能打过网,而且落在离网5 m 的位置上,那么球拍击球的高度h 应为〔〕.A.2.7 mB.1.8 mC.0.9 mD.6 m 二、填空题〔每题3分,共36分〕.13、在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,那么sin A =_____,cos A=______,tan A =_____.14、Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =8,sin A =43,那么AC =______. 15、在△ABC 中,∠C =90°.假设3AC =3BC ,那么∠A 的度数是______.16、如图7,在平面直角坐标系中,P 是∠α的边OA 上一点,且P 点坐标为(4,3)那么 sin α=______.A BC30ABCo图7图8图917、如图8.B 、C 是河岸边两点,A 是对岸岸边一点,测得∠ABC =45°,∠ACB =45°,BC =60 m,那么点A 到对岸BC 的距离是_____m..18、如图9,某建筑物BC 直立于水平地面,AC =9米,要建造阶梯AB ,使每阶高不超过20 cm,那么此阶梯最少要建_____阶 (最后一阶的高度缺乏20 cm 时,按一阶算,3取1.732).ABCD αβm AB CDE图10 图11 图1219、(如图10),小刚在一山坡上依次插了三根木杆,第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°,且坡面距离是6米的坡面上,而第二根与第三根又在倾斜角为45°,且坡面距离是8米的坡面上,那么第一根与第三根木杆的水平距离是______ (精确到0.01米).20、如图11,从楼顶A 点测得电视塔CD 的仰角为α,俯角为β,假设楼房与电视塔之间的水平距离为m ,那么电视塔的高度=_________.21、如图12,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽5 m,坝高20 m,斜坡AB 的坡度为1∶2.5,斜坡CD 的坡度为1∶2,那么坝底宽AD 等于______.22、升国旗时,某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升至旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°,假设双眼离地面1.5米,那么旗杆的高度为______米(用含根号的式子表示).23、某展厅为迎接科技展览,准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯,这种地毯每平方米售价30元,主楼梯道宽2 m,其侧面如图13所示,那么购置地毯至少需要______元.图1324、城关中学要修建一座餐厅楼,为改善平安性能,把楼梯的倾斜角由原来设计的42改为36〔图14〕．原来设计的楼梯长为4.5m ,在楼梯高度不变的情况下,调整后的楼梯多占地面_____________m 〔精确到0.01m 〕.图14三、解做题：(25题10分；26题12分；27题、28题各13分.共48分 ) 25、 (1)、︒︒︒sin60cos60tan45－·tan 30°；(2)、(23tan30°)2022·(22sin45°)2022 .26、如图15,某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A 处运往正西方向的B 处,经16小时的航行到达,到达后便接到气象部门通知,一台风中央正由A 向北偏西60°方向移动,距台风中央200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B 处的货船是否会受到台风的侵袭？说明理由.B北60 A C图15 27、如图,在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60°,铁塔底部B 的仰角为45°.塔高AB ＝20m,观察点E 到地面的距离EF ＝35cm,求小山BD 的高〔精确到0.1海里,3≈1.732〕.28、(1)、如图17中①、②,锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角确实定而确定,变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值及余弦值的变化规律.123(注:AB 1 =AB 2 =AB 3)①B 1B 2B 3C②图17(2)根据你探索到的规律,试分别比拟18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.。

第一章直角三角形的边角关系测试

1第一章直角三角形的边角关系测试姓名: 号数 : 得分一、选择题(每小题4分，共40分)1.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( )是正确的。

A 、sinA=a cB 、cosB=c bC 、sinB=a bD 、tanA=ba2．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5, 则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．453.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=23，则BC ∶AC ∶AB 等于( ) A 、1∶2∶5 B 、1∶3∶5 C 、1∶3∶2 D 、1∶2∶34．在Rt ABC ∆中，90C ∠=，13AC AB =，则cos A 等于（）A ．223B ．13C ．22D ．245．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的点D '处，那么tan BAD '∠等于（）A.1B.2C.22D.22 6.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 7．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少需要（）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元8.如图，在某海岛的观察所A 测得船只B 的俯角是30°.若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m ，当时的水位是＋3m ，则观察所A 和船只B 的水平距离BC 是（）A ．50 mB ．350 mC ．53 mD ．353m9.等腰三角形的一腰长为6cm ，底边长为63cm ，则其底角为（）。

三角形中的边角关系、命题与证明检测题

第 23 题图
第 24 题图
24. （8 分）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
25. （8 分）规定，满足（1）各边互不相等且均为整数，（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数 k，这样的三角形称为比高三角形，其中 k 叫做比高系数．根据规定解答下列问题：（1）求周长为 13 的比高系数 k 的值. （2）写出一个只有 4 个比高系数的比高三角形的周长.
6. 对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）
A．∠1=50°，∠2=40°
B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45°
D．∠1=40°，∠2=40°
7. 不一定在三角形内部的线段是（）
A.三角形的角平分线
B .三角形的中线
C.三角形的高
D.以上皆不对
2. 等腰三角形的两边长分别为 5 cm 和 10 cm，则此三角形的周长是（）
A．15 cm
B．20 cm
C．25 cm
D．20 cm 或 25 cm
3. 命题：① 邻补角互补；② 对顶角相等；③ 同旁内角互补；④ 两点之间线段最短；
⑤直线都相等.其中真命题有（）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
18.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是
，它是一个
命题.
三、解答题（共 46 分）
19.（6 分）下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题，同时
判断原命题和逆命题的真假．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？

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三角形边角关系及三线练习题
典型例题
【例1】已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是（）
A.3
B.5
C.7
D.9
1. 【例2】一个三角形的三条边中有两条边相等，且一边长为4，还有一边长为9，则它的周长为（）
2. A.17B.22 C.17或22D.13
3. 相关变形：一等腰三角形两边长分别为3，5，试求该三角形的周长。

4.
5. 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）
A.150°
B.80°
C.50°或80°
D.70°
【例3】如图SX —02，AD⊥BC，则图中以AD 为高的三角形有___________个。

【例4】如图SX —03，已知线段AD 、AE 分别是△ABC 的中线和高线，且AB=5cm ，AC=3cm ，(1)△ABD 与△ACD 的周长之差为_________；(2)△ABD 与△ACD 的面积关系为__________。

【例5】已知△ABC 中，给出下列四个条件：(1)∠A+∠B=∠C;(2)∠A=90°－∠B;(3)∠A：∠B：∠C=1：1：2;(4)∠A：∠B：∠C=1：2：3.其中能够判定△ABC 是直角三角形的有（）个。

A.1
B.2
C.3
D.4
【例6】如图SX —04，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=13cm ，BC=12cm ，AC=5cm ，求：(1)△ABC 的面积；(2)CD 的长。

【例7】如图SX —05，△ABC 中，∠B、∠C 的平分线交于点P ，且∠BPC=130°，求∠BAC 的度数。

相关变形：一个零件的形状如图SX —05-1
所示，按规定∠BAC=90°，∠B=21°，∠C=20°，检验
SX —
02 SX —
03 SX —
04
图SX
－SX —
06
图SX －05-1
工人量得∠BDC=130°，于是断定这个零件不合格。

运用所学知识说明零件不合格的理由。

【例8】如图SX —06，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是△BAC 的平分线，若∠B=53°，∠C=77°，求∠DAE 的度数。

学习自评
一、选择题
1. 有下列长度的三条线段，能构成三角形的是（)
2. A.1cm 、2cm 、3cmB.1cm 、4cm 、2cm
3. C.2cm 、3cm 、4cmD.6cm 、2cm 、3cm
4. 一个三角形的两边长为3和7，且第三边为整数，这样的三角形的周长的最小值是（）
5. A.14B.15 C.16D.17
6. 如图SX —07，△ABC 的边BA 延长得∠1，若∠2＞∠l，则△ABC 的形状
为（)
7. A.钝角三角形B.直角三角形
8. C.锐角三角形D.无法确定
9. 一个三角形的三个内角互不相等，则它的最大角不小于（） 10. A.45°B.60° C.90°D.120°
11. △ABC 中，如果∠A－∠B=90°，那么△ABC 是（)
12. A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形
二、填空题
13. 在△ABC 中，AB=4，BC=9，则AC 的取值范围是________________。

14. 如图SX —08，求下列各图中的∠α。

15. (1)∠α=________；(2)∠α=________；(3)∠α=________。

16. 已知∠A、∠B、∠C 是△ABC 的三个内角。

(1)如果∠A=90°，∠C=55°，那么∠B＝______；
(2)如果∠C=4∠A，∠A＋∠B=100°，那么∠A=______，∠B=______。

17. 如图SX —10，将等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=________。

18. 如图SX —11，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BCD=35°，则∠A=_______。

三、解答题
19. 如图SX —12，在△ABC 中，两边长AB=12,AC=2，且周长为奇数，求第三边BC 的长。

SX —
07
SX —
12 SX —
13
SX —
11 SX —
08 SX —10
20. 如图SX —13，AC∥DE，若∠ABC=70°，∠E=50°，∠D=75°，求∠A，∠ABD 的度数。

21.
22.
23. 如图SX —14，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=70°，∠ACB 的
平分
线交AB 于D ，DE∥BC，交AC 于E ，求∠BDC 和∠EDC 的度数。

24. 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分成15cm 和18cm 的两
部分，求三角形的
各边
长。

25. 如图SX —15，
∠B+∠C=100°，
∠D=70°，求∠A
的度数。

26. (1)如图SX —16甲，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________。

27. (2)如图SX —16乙，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________．
28. 求一个多边形的内角和，一般可将其转
化为三角形，如图SX —17所示。

SX —14
图SJ －图SJ －
SX —16甲
SX —17
29.请你试用含n的代数式表示出n边形的内角和。