销售量增长趋势分析

关于某地区农村水资源利用的问题

摘要

关键字：

一、问题重述

在我国某些干旱地区，水资源量不足时发展农牧业生产的主要限制因素之一。紧密配合国家西部大开发和新农村建设的方针政策，合理利用水资源，加强农田水利工程建设，加速西部农牧业发展，这是政府的一个重要任务。在某地区现有两种类型耕地，第一类耕地各种水利用设施配套，土地平整，排灌便利；第二类耕地则未具备以上条件。其中第一类耕地有2.5万亩，第二类耕地有8.2万亩，此外尚有宜恳荒地3.5万亩。该地区主要作物是小麦，完全靠地表水进行灌溉。由于地表水的供应量随季节波动，

二、模型假设

1）假设题中所给数据真实可靠；

2）假设没有突发事件发生（经济危机）；

3）假设销量的增长率为常数，且销量函数()t y为连续函数；4）假设一段时间内消费人群的数量不会有很大变化；

5）忽略随机因素的影响；

三、背景知识

四、符号说明

（表一）

五、问题分析

作数据统计图如下：

六、建模与求解

模型一:

为了研究这些数据之间的规律性，我们以年份t为横坐标，以销售量y为纵坐标，将这些数据点（ti,yi）在平面直角坐标系上标出，如图一所示，称这个图为散点图。

1980

1982198419861988199019921994

0500

1000

1500

2000

2500

3000

（图一）

由图一我们猜想t 与y 之间的关系大致可以看做是线性关系，不过这些点又不都在一条直线上，这表明t 和y 之间的关系不是确定性关系。实际上，销售量y 除了与年份t 有一定关系外，还受到许多因素的影响。因此，y 与t 之间可假定有如下结构式：

y=εββ++t 10

其中ββ10,是两个未知参数，ε为其他随机因素对y 的影响。t 是非随机可精确观察的，ε是均值为零的随机变量，是不可观察的。

模型求解 MATLAB 统计工具箱 y=εββ++t 10 由数据t,y 的值拟合与估计来确定ββ10,的值。如图二所示：

1980

1982198419861988199019921994

-5000

500

1000

1500

2000

2500

3000

（图二）

拟合数据，作残差图如下：

2

4

6810

12

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

Residual Case Order Plot

R e s i d u a l s

Case Number

（图三）

残差图分析：由图所知，所得数据在零的附近波动，说明模型整体符合。

（表二）

置信区间作图如下：

1982

1984

1986

1988

1990

1992

-1000

-500050010001500200025003000

3500

（图四）

在MATLAB 中输出结果如图4，在画面中绿色曲线为拟合曲线，它两侧的红线是y 的置信区间。

由置信区间所给数据都在零以上或以下，说明整体符合的比较好。

根据模型一y=εββ++t 10对未来销售量的增长趋势进行解读：将ββ10,的值带入模型一，输入相应t 的值就可以预测未来几年销售量的增长趋势。通过matlab 求解得：得出未来五年销量如下表格所示：

（表三） 模型二：

在模型一的基础上，虽然大部分点都在直线附近，但是为了更精确地反映销量增长趋势我们建立了模型二（一元多项式模型）t 与y 的关系是非线性的，如下所示：

y=++t ββ32εβ+t 2

4

作二次多项式回归图如下：

198219841986198819901992

-500

050010001500200025003000

3500

（图五）

利用matlab 工具求解得：

[11.988656342876784,-4.740638475713960e+04,4.686421707818654e+07]

在MATLAB 中输出结果如图五，在画面中绿色曲线为拟合曲线，它两侧的红线是y 的置信区间。

所以模型二为y=11.99 t 2

47406.38t+4.69*10^7

（表四）

模型分析：由图五中数据可以看出模型二比模型一更精确，但仍需要改进，我们需要进一步建立模型三

模型三 指数增长模型

在模型二的基础上建立指数增长模型，记今年的销量为y 0,t 年后的销量为t y ，年增长率为k ，则

()t

t k y y +=

10

显然这个公式的基本条件是年增长率k 保持不变。

模型建立 记时刻t 时的销量为()t y ，由于()t y 是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将()t y 视为连续可微函数。记时刻

()0=t 的人口为t y 。假设销量增长率为常数k ，即单位时间内()t y 的增

量等于k 乘以()t y 。考虑到t 到t t ∆+时间内的增量，显然有

()()()t t ky t y t t y ∆=-∆+ ()1

令0→∆t ，得到()t y 满足的微分方程：

()00,y y ky dt

dy

== ()2

由这方程很容易解出

()kt e y t y 0=

()3

参数估计 ()3式的参数0y k 和可用表1的数据估计。为了利用线性最小二乘法，将()3取对数，可得

0ln ,ln ,y a y z a kt z ==+= ()4

以19921981至年的数据拟合()4式，用MATLAB 软件通过表2的程序计算可得

4913.4,3435.0==a k

所以

2374.890=y 即

()t e t y 3435.02374.89=

将全部数据（19931981至）拟合()4式，得

1046

.973205.00==y k