2019高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测(二十四)正弦定理和余弦定理理.doc

合集下载

【2019-2020】高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十三三角恒等变换理

教学资料范本【2019-2020】高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十三三角恒等变换理编辑：__________________时间：__________________课时达标检测（二十三）三角恒等变换[练基础小题——强化运算能力]1．计算sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°的值为( )A．－12B.12C.32D．－32解析：选Bsin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C．－12D．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.3．(20xx·江西新余三校联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－78，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x＋π3的值为( )A.14 B.78 C．±14D．±78解析：选C 因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋2π3＝78，所以有sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x＋π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋2π3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3的值为±14，故选C.4．已知sin π6－α＝13，则cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79 B.13 C．－13D．－79解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos2π6－α＝1－2sin 2π6－α＝79， ∴cos2π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α ＝cos π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos π3－2α＝－79.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，∴sinπ3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435， ∴32sin α＋32cos α＝435，即32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45.答案：－45[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A．－13B.13 C．－23D.23解析：选D 依题意得cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π42＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x－π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x－π3＝( )A．－233B．±233C．－1 D．±1解析：选C ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x－π6＝－33，∴cos x ＋cos x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x－π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1. 3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A．1 B．2 C．3D．4解析：选C cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sinπ5sin αcos αcos π5－sinπ5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( )A.45 B．－45C.35D．－35解析：选C 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ②由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③由①③可得sin α＝35.5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3C.π2 D.3π4解析：选A 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sinB ·cosC ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cosB ·cosC 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan B ·tan C ＝1－2，所以tan(B ＋C )＝tan B＋tan C1－tan Btan C＝－1.由已知，有tan A ＝－tan(B ＋C )，则tan A ＝1，所以A ＝π4.6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tanαtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A．α<π4<β B．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α 解析：选B ∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4， ∴β<π4<α. 二、填空题7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4－22sin 2x 的最小正周期是________．解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0，∴2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos22α＝53，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156.答案：2－1569．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.解析：由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tanβ<0，又α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3. 答案：－2π310．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________.解析：∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－19＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝1－13＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos π4＋α－π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝539.答案：539三、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若si n α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋2212×35－32×45＝10＋32－4620.12．(20xx·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x－π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≠π2＋k π，k∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x－π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x－π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.。

高考数学一轮复习练习第四章三角函数、解三角形第4讲 Word版含答案

基础巩固题组(建议用时：分钟)一、填空题.(·徐州检测)函数()＝的单调递增区间是.解析当π－＜－＜π＋(∈)时，函数＝单调递增，解得－＜＜＋(∈)，所以函数＝的单调递增区间是(∈).答案(∈).已知函数()＝(ω>)和()＝(＋φ)的图象的对称中心完全相同，若∈，则()的取值范围是.解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝，所以()＝，那么当∈时，－≤－≤，所以－≤≤，故()∈.答案.(·云南统一检测)已知函数()＝－，则()的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.解析因为()＝)－＝，所以最小正周期＝＝，相邻两条对称轴之间的距离为＝.答案.如果函数＝(＋φ)的图象关于点中心对称，那么φ的最小值为.解析由题意得＝＝＝，∴＋φ＝π＋，∈，∴φ＝π－，∈，取＝，得φ的最小值为.答案.(·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数()＝(ω＋φ)(ω≠)对任意都有＝，则等于.解析由＝可知函数图象关于直线＝对称，则在＝处取得最值，∴＝±.答案±.(·南通调研)函数＝＋的单调递增区间是.解析∵＝＋＝，由π－≤＋≤π＋(∈)，解得π－≤≤π＋(∈).∴函数的增区间为(∈)，又∈，∴单调增区间为.答案.函数＝( )＋－())的定义域为.解析要使函数有意义必须有＞，－()≥，))即＞，≥()，))解得∴π＜≤＋π(∈)，∴函数的定义域为.答案(∈).函数＝＋－的值域为.解析＝＋－，令＝，∈[－，]，则有＝＋－＝－，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当＝－及＝时，函数取最值，代入＝＋－，可得∈.答案二、解答题.已知函数()＝))＋.()若＝－，求函数()的单调增区间；()若∈[，π]时，函数()的值域是[，]，求，的值.解()＝(＋＋ )＋＝＋＋.()当＝－时，()＝－＋－.由π＋≤＋≤π＋(∈)，得π＋≤≤π＋(∈)，∴()的单调增区间为(∈).()∵≤≤π，∴≤＋≤，。

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结含解析

❶ 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x＝tan x . ❷ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝－2，2⎭内的单调性..A.－ B ．－ 9 9章末总结知识点考纲展示任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数同角三角函数的基本关系式与诱导公式和与差的三角函数公式简单的三角恒等变换三角函数的图象与性质函数 y ＝ A sin(ω x ＋φ) 的图象及三角函数模型的简单应用正弦定理和余弦定理解三角形应用举例❶ 了解任意角的概念．❷ 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．❸ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.cos xπ2导公式.❶ 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．❷ 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．❸ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).❶ 能画出 y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． ❷ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最⎛ π π⎫❶ 了解函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A ，ω，φ 对函数图象变化的影响．❷ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、点在纲上，源在本里考点考题4(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 4，5 分)已知 sin α－cos α＝3，则 sin 2α＝考源三角函数的基本关系( )7 2 9 92 7 C. D.必修 4 P 146A 组T 6(2)(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 3，5 分)函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋3⎭的最小正周期A.4π B ．2π C ．πD. A. B ．1 C. D. sin ⎝2x ＋ 3 ⎭，则下面结论正确的是( 分别为 a ，b ，c 已知△. ABC 的面积为 .1．(必修 4 P 146A 组 T 6(3)改编)已知 sin 2θ＝，则 sin 4θ＋cos 4θ 的值为()3A ． 9C ． 9三角函数的周期三角函数值域三角函数图象正余弦定理与面积公式的应用⎛ π⎫为( )π 21 π π(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 6，5 分)函数 f (x )＝5sin(x ＋3)＋cos(x －6)的最大值为( )6 3 15 5 5(2017·高考全国卷Ⅰ，T 9，5 分)已知曲线 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝⎛ 2π⎫ )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把π得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 π得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 21C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 21D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 2(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 16，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则 B ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 15，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 C ＝60°，b ＝ 6，c ＝3，则 A ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅰ，T 17，12 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边 a 23sin A(1)求 sin B sin C ；必修 4 P 35 例2(2)必修 4 P 143A 组T 5必修 4 P 55 练习T 2(2)必修 5 P 18 练习T 3 必修 5 P 10A 组 T 2(1)必修 5 P 20B 组T 1(2)若 6cos B cos C ＝1，a ＝△3，求 ABC 的周长.二、根置教材，考在变中一、选择题24 92 35 B.7 D.解析：选D.因为sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4P147A组T12改编)已知函数f(x)＝sin⎝x＋6⎭＋sin⎝x－6⎭＋cos x＋a的最大值为解析：选A.f(x)＝sin x cos＋cos x sin＋sin x cos－cos x sin＋cos x＋a＝3sin x＋cos x3．(必修4P69A组T8改编)已知tanα＝3，则sin⎝2α＋4⎭的值为(10B．－2A．2C．D．－sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋32522⎛34⎫π⎫cos2α－sin2α1－tan2α1－324＝－，所以sin⎝2α＋4⎭＝－＝－⎛52⎝55⎭sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋322.选B.4．(必修4P58A组T2(3)改编)如图是y＝A sin(ωx＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象，则A．y＝2sin⎝x＋6⎭B．y＝2sin⎝2x－6⎭C．y＝2sin⎝x＋3⎭D．y＝2sin⎝2x＋6⎭解析：选D.由题图知＝－⎝－12⎭＝.所以T＝π，所以ω＝＝2.当x＝－时，y＝0，⎧⎪A sin⎛－π＋φ⎫＝0，所以φ＝，A＝2.所以y＝2sin⎝2x＋6⎭.故选D.⎝6⎭π⎛π⎫当x＝0时，y＝1.所以⎨⎪⎩A sinφ＝12132 147299⎛π⎫⎛π⎫1，则a的值为()A．－1C．1B．0D．2ππππ6666π＋a＝2sin(x＋6)＋a，所以f(x)max＝2＋a＝1.所以a＝－1.选A.⎛π⎫10)721072102sinαcosα2tanα2×33解析：选B.因为tanα＝3，所以sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝＝(sin2α＋cos2α)＝210⎛ππ⎫其解析式为()⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫Tπ⎛π⎫π2ππ464T1265．(必修5P18练习T1(1)改编△)在锐角ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝22，则c＝() A．2B．3解析：选 B.由已知得 ×2×3×sin C ＝2 2，所以 sin C ＝ .由于 C ＜90°，所以 cos C＝ 1－sin 2C ＝ .由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3× ＝9，所以 c ＝3，A ． 3 C ．即 3a cos A ＝b · ＋c · ＝a ，所以 cos A ＝，又 0＜A ＜π.所以 sin A ＝ .又 b ＝2，所以 a sin B ＝b sin A ＝2× ＝ .故选 C.cos 80° sin 80° cos 80°sin 80°cos 80°cos 80°－ sin 80°⎭ 4sin （60°－80°） 2⎝ 2 1 sin 160° sin 160° ＝－4sin 20°＝－4.( c 4解析：由题意得⎨2 ⎪ C ．4D. 171 2 22 31 13 3故选 B.6．(必修 5 P 18 练习 T 3 改编△)已知 ABC 三内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则 a sin B ＝()434 2 32 B. 2D ．6 2解析：选 C.因为 3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，a 2＋b 2－c 2 a 2＋c 2－b 22ab 2ac1 2 23 32 2 4 23 3二、填空题3 17．(必修 4 P 146A 组 T 5(1)改编)sin 80°－＝______．解析：⎛ 3 1 ⎫ 2＝＝2sin 20°答案：－4 8．必修 5 P 20A 组 T 11(3)改编△) ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， .A ＝120°，a ＝7，△S ABC ＝ 153，则 b ＋c ＝________．⎧⎪1bc sin 120°＝15 34，⎪⎩b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72⎧bc ＝15即⎨ ，所以 b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以 b ＋c ＝8.⎪⎩b 2＋c 2＋bc ＝49答案：82 1 π9．(必修 4 P 56 练习 T 3 改编)关于函数 f (x )＝3sin(2x －4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π；②f (x )的图象关于 x ＝对称；③f (x )的图象关于点⎝2，0⎭对称；－，上单调递增；④f (x )在⎝2 2⎭⑤f (x )的图象可由 g (x )＝ cos x 向右平移个单位得到．解析：f (x )的最小正周期 T ＝＝4π.所以 f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝2⎭＝0，故②错误．③正确．由 2k π－＜ x －＜2k π＋，k ∈Z ，得4k π－＜x ＜4k π＋ π. －，－， .故④正确．令 k ＝0 得，－＜x ＜ π.⎝ 2 2⎭ ⎝ 2 2 ⎭x ＋g (x )＝ cos x ＝ sin ⎝2 2⎭x ＋π) ，(＝sin⎦⎣2 x －＝ sin x －，f (x )＝ sin ⎝2 4⎭ ⎣2⎝ 2⎭⎦所以 g (x )的图象向右平移－(－π)＝ π 即可得到 f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．(2)将函数 f (x )的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y ＝g (x )的图象，若 α 为锐角，g (α)＝－ 2，求 cos α.ωx － ·解：(1)f (x )＝4sin cos ωx －2 2cos 2ωx ＝ 2(sin 2ωx －cos 4⎭ cos ωx ＝2 2sin ωx ·⎝ 2ωx －－ 2，2ωx )－ 2＝2sin4⎭⎝由于 f (x )在 x ＝处取得最值，因此 2ω· －＝k π＋，k ∈Z ，所以 ω＝2k ＋，π2⎛π ⎫⎛ π π⎫2 1 π3 2 8其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．2π1 2⎛π⎫π 1 π π2 2 4 2π 3 2 2π 3 ⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫2 22 1 2 ⎛1 π⎫3 2 3 2 ⎡1 ⎤ 3 2 ⎛1 π⎫ 2 ⎡1⎛ π⎫⎤ 3 3 π 32 2答案：①③④三、解答题π π10．(必修 4 P 147A 组 T 10 改编)已知函数 f (x )＝4sin(ωx －4)·cos ωx 在 x ＝4处取得最值，其中 ω∈(0，2)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；π3643⎛ π⎫⎛ π⎫ π π π π 34 4 4 2 2因为 ω∈(0，2)，所以 ω＝，因此，f (x )＝2sin ⎝3x －4⎭－ 2，所以 T ＝ .个单位，得到h (x ) ＝ 2sin ⎣3⎝x ＋36⎭－4⎦ － 2 ＝ 2sin ⎝3x －6⎭－ 2的图象，再将 h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到 g (x )＝2sin ⎝x －6⎭－⎛ 故 g (α)＝2sin ⎝α－6⎭－ 2＝－ 2，可得 sin ⎝α－6⎭＝，因为 α 为锐角，所以－＜α－＜，因此 cos ⎝α－6⎭＝⎛2⎫2＝ 5， π π⎫ π⎫ π⎫ π π 5 3 2 1 15－2 故 cos α＝cos ⎝α－6＋6⎭＝cos ⎝α－6⎭cos －sin ⎝α－6⎭sin ＝ ⎛ ⎛ ⎛ 6 6 3 2 3 2 6①＋②得 m 2＝，所以 m ＝ 6，即 BC ＝ 6.sin ∠ACE sin ∠EAC sin ∠BCE sin ∠CBE 且 BC ＝，所以＝＝ .所以 BE ＝ 6AE ，所以 AE ＝ ( 6－1)．32⎛ π⎫ 2π 3(2) 将函数 f (x ) 的图象向左平移 π 36 ⎡ ⎛ π ⎫ π⎤⎛ π⎫⎛ π⎫2的图象，π⎫ 4 3⎛ π⎫ 2 3π π π6 6 3⎛ π⎫ 1－⎝3⎭ 3× － × ＝ .11．(必修 5 P 20A 组 T 13 改编)D 为△ABC 的边 BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求 BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交 AB 于 E ，求 △S ACE . 解：(1)由题意知 AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设 BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD · B D cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD · D C cos ∠ADC . 即 1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②3 22(2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AE EC BE EC＝，＝，由于∠ACE ＝∠BCE ，AC AE AC 6sin ∠BAC sin ∠CBABE BC 6252AB ·AC 2×2×1＝－，所以 sin ∠BAC ＝，＝ ×1× ( 6－1)× ＝ .AB 2＋AC 2－BC 2 22＋12－（ 6）2又 cos ∠BAC ＝＝1 154 41所以 △S ACE ＝2AC · AE ·sin ∠BAC1 2 15 3 10－ 15 2 5 4 20。

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第4讲含解析.docx

2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题1．下列函数中，最小正周期为 π且图象关于原点对称的函数是 ()A ． y ＝ cos 2x ＋ πB ．y ＝ sin 2x ＋ π22C ．y ＝ sin 2x ＋ cos 2xD ． y ＝ sin x ＋ cos xπ2π解析：选 A. y ＝cos 2x ＋ 2 ＝－ sin 2x ，最小正周期 T ＝ 2 ＝ π，且为奇函数，其图象关于π原点对称，故 A 正确； y ＝sin 2x ＋2 ＝ cos 2 x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故 B 不正确； C 、 D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故 C 、 D 不正确．2．函数 f(x)＝ 3sin 2x － π在区间 0， π上的值域为 ( )6 2A ．－3，3B. － 3， 3222 C ．－3 3，3 3D. －3 3， 3222解析：选 B. 当 x ∈ 0， π ππ 5π ，sin 2x － π 1，故 3sin 2x －π2 时，2x － ∈ －， 6 ∈ －，166 6 62 ∈ － 3， 3 ，即此时函数 f(x) 的值域是－3， 3 .22ππ3．若函数 y ＝cos ωx＋ 6 (ω∈ N * ) 图象的一个对称中心是 6， 0 ，则 ω的最小值为 () A ． 1 B ．2 C ．4D ． 8πωπ π ω＝ 6k ＋ 2(k ∈ Z )，又 ω∈ N * ，所以 ωmin ＝ 2，解析：选 B. 由题意知＋＝ k π＋ (k ∈ Z )?662故选 B.π4．函数 y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|在区间，3π内的图象是 ()2 2解析：选 D. y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|π2tan x ， x ∈， π，2＝结合选项图形知， D 正确．3π2sin x ， x ∈ π， 2 .5． (2018 ·州第三次调研惠 )函数 y ＝cos 2x ＋ 2sin x 的最大值为 ( )12019 高考数学文一轮复习含答案3A ． 4B ．13C ．2D ． 2解析：选 C. y ＝ cos 2x ＋ 2sin x ＝－ 2sin 2x ＋ 2sin x ＋ 1.2213法一：设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为 y ＝－ 2t ＋ 2t ＋ 1＝－ 2 t －＋，所以当 t ＝1时，函数取得最大值322.法二：设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为y ＝－ 2t 2＋ 2t ＋ 1，y ′＝－ 4t ＋ 2.当 1≤ t ≤ 12 时， y ′≤ 0；当－ 1≤ t ≤1时， y ′≥ 0.2当 t ＝ 1时 y 取得最小值， y min ＝－ 2×1 2 ＋ 2×1＋ 1＝ 3，选 C.2 2 2 26． (2018 ·州综合测试广 (一 )) 已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋ φ)(ω＞ 0， 0＜φ＜ π)是π奇函数，直线 y ＝ 2与函数 f( x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2，则 ()πA ． f(x)在 0， 4 上单调递减π 3πB ．f(x)在 8， 8上单调递减πC ．f(x)在 0， 4 上单调递增π 3πD ． f(x)在，上单调递增88解析：选 D.f(x)＝ sin( ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋φ)＝ 2sin(ωx＋ φ＋ π 0＜ φ＜ π且 f(x)为奇4 )，因为函数，所以 φ＝ 3πωx ，又直线 y ＝2与函数 f(x)的图象的两个相邻交点4 ，即 f(x)＝－ 2sinππ2π π的横坐标之差的绝对值为 2，所以函数 f(x)的最小正周期为 2，由ω＝2，可得 ω＝ 4，故 f( x) ＝－ 2sin 4 x ，由 π 3π k π π k π 3π π2k π＋ ≤ 4x ≤ 2k π＋，k ∈ Z ，即＋ ≤ x ≤ ＋，k ∈ Z ，令 k ＝0，得8 2 2 2 8 28 ≤x ≤ 3π π 3π8，，此时 f(x)在 8 8 上单调递增，故选 D.二、填空题π7．已知函数f(x)＝－ 2sin(2x ＋ φ)(|φ|＜ π)，若 f 8 ＝－ 2 ，则 f(x)的单调递减区间是________．π解析：当 x ＝ 8时， f(x)有最小值－ 2，π π所以 2× ＋ φ＝－＋ 2k π，8222019 高考数学文一轮复习含答案即 φ＝－ 34π＋ 2k π，k ∈ Z ，又因为 |φ|＜ π，所以 φ＝－ 34π.所以 f(x)＝－ 2sin(2x －34π)．ππ由－＋ 2k π≤ 2x －3π≤ ＋ 2k π，242π5 π＋ k π，k ∈ Z ，得＋ k π≤x ≤8 8π5所以函数 f(x)的单调递减区间为＋ k π，8π＋ k π，k ∈ Z .8答案： π 5＋ k π， π＋ k π， k ∈ Z8 8π8．若函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)(ω＞ 0 且 |φ|＜ 2)在区间π等于 ________．1 减少到－ 1，则 f 4π πω＋φ＝＋ 2k π解析：由题意知6 2， k ∈ Z ，2π3πω＋ φ＝＋ 2k π32π解之得 ω＝ 2， φ＝6＋ 2k π，ππ又因为 |φ|＜，所以 φ＝ .2 6所以 f(x)＝ sin 2x ＋ π6 .所以 f π π π π3＝sin ＋＝ cos ＝42×4 662.π 2π6， 3 上是单调减函数，且函数值从答案：32π9．已知函数 f(x) ＝3sin ωx－6 (ω>0)和 g(x)＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若 x ∈ 0， π，则 f(x)的取值范围是 ________． 2解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故 ω＝ 2，所π以 f(x)＝ 3sin 2x － 6 ，π ππ 5π当 x ∈ 0， 2 时，－ 6≤ 2x －6≤ 6 ，所以－ 1≤ sin π≤ 1，故 f(x)∈ － 3， 3 .22x － 6232019 高考数学文一轮复习含答案答案：－ 3， 3210． (2018 ·家庄质量检测石 (一 ))若函数 f(x)＝ 3sin(2 x ＋θ)＋ cos(2x ＋ θ)(0＜ θ＜ π)的图象π π π关于2， 0 对称，则函数 f( x)在－4， 6 上的最小值是 ________．解析： f(x)＝ 3sin(2x ＋ θ)＋ cos(2x ＋θ)＝ 2sin 2x ＋ θ＋π，则由题意，知 fπ＝ 2sin( π＋ θ 62 π 5π π π上是减函数，所以＋ )＝ 0，又 0＜ θ＜ π，所以 θ＝，所以 f( x)＝－ 2sin 2x ， f(x)在－，4 6 6 4π π π π函数 f( x)在－4， 6 上的最小值为 f 6 ＝－ 2sin 3＝－ 3.答案：－ 3三、解答题π11． (2017 ·考北京卷高 )已知函数 f( x)＝3cos(2x － 3)－ 2sin xcos x.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求证：当 x ∈ π π1 .－，时， f(x)≥－4 4 2 解： (1)f(x)＝332 cos 2x ＋ 2sin 2x － sin 2x1 3cos 2x＝ sin 2x ＋22π＝ sin(2x ＋ 3)．2π 所以 f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2ππ(2)证明：因为－ 4≤ x ≤4，π π 5π所以－ ≤ 2x ＋ ≤6.63ππ 1 .所以 sin(2x ＋ )≥ sin(－)＝－236所以当 x ∈ π π1 .[－， ]时， f(x)≥ －4 4 212．(2016 ·高考北京卷 )已知函数 f(x)＝ 2sin ωxcos ω x ＋ cos 2ωx( ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求 ω的值；(2)求 f(x)的单调递增区间．解： (1)因为 f(x)＝ 2sin ωxcos ωx ＋ cos 2ωxπ＝ sin 2ωx ＋ cos 2ωx ＝ 2sin(2 ωx＋ 4)，2ππ所以 f(x)的最小正周期T ＝2ω＝ ω.42019 高考数学文一轮复习含答案π依题意，ω＝π，解得ω＝1.π(2)由 (1) 知 f(x)＝ 2sin(2 x＋4)．函数 y＝sin x 的单调递增区间为ππ[2kπ－， 2kπ＋ ](k∈Z )．22πππ由 2kπ－≤ 2x＋≤ 2kπ＋ (k∈Z )，242得 kπ－3ππ≤ x≤ kπ＋(k∈Z )．88所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－3ππ， kπ＋](k∈Z )．885。

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第2讲含解析.docx

2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题πα＝()1，且 ≤ α≤ π，则 cos1． (2018 石·家庄质量检测 (二 ))若 sin( π－ α)＝ 322 22 2A ． 3B ．－ 3C ．－ 4 9 2D ． 49 2解析：选 B. 因为 sin( π－ α)＝ sin α＝1π22 3，且 ≤ α≤ π，所以 cos α＝－，故选 B.232．已知 tan(α－ π)＝ 3，且 α∈ π 3π，则 sin α＋ π)，＝ (4 2 2244 A. 5B ．－ 533 C.5D ．－ 533解析：选 B. 由 tan(α－ π)＝ ? tan α＝ .44π 3π，又因为 α∈ 2 2 ，所以 α为第三象限的角， sin α＋ π42 ＝ cos α＝－ .54，θ∈ π，则 sin θ－cos θ的值为 ( )3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 30，422A. 3B ．－ 311 C.3D ．－ 3解析：选 B.因为 (sin θ＋ cos θ)2＝ sin 2θ＋ cos 2θ＋ 2sin θ·cos θ＝ 1＋2sin θcos θ＝169，所以722 222sin θcos θ＝ 9，则 (sin θ－ cos θ) ＝ sin θ＋ cos θ－ 2sin θcos θ＝ 1－ 2sin θcos θ＝ 9.又因为π 2 θ∈ 0， 4 ，所以 sin θ＜ cos θ，即 sin θ－cos θ＜ 0，所以 sin θ－ cos θ＝－ 3.4．已知 f(x)＝ asin( πx ＋ α)＋bcos( πx ＋ β)＋ 4，若 f(2 018)＝5，则 f(2 019)的值是 ()A ． 2B ．3C ．4D ． 5解析：选 B. 因为 f(2 018) ＝ 5，所以 asin(2 018 π＋ α)＋ bcos(2 018 π＋ β)＋ 4＝ 5，即 asin α＋ bcos β＝1.所以 f(2 019) ＝ asin(2 019 π＋ α)＋ bcos(2 019 π＋β)＋ 4＝－ asin α－ bcos β＋ 4＝－ 1＋ 4＝13.θ π11－ sin θ)5．当 θ为第二象限角，且 sin＋＝时，θ的值是 ( 2 2 3θcos － sin2 2 A ． 1 B ．－ 1C ．± 1D ． 0θ πθ 1，解析：选 B. 因为 sin＋＝1，所以 cos ＝22 32 3θ θ θ所以在第一象限，且 cos＜sin，222θ θ所以1－ sin θ －（ cos 2－sin 2）θ ＝ θθ ＝－ 1.θcos －sin2cos － sin2226．若 sin θcos θ＝ 1 ，则 tan θ＋ cos θ)2 的值是 (sin θA ．－ 2B ．21C ．± 2D ． 2解析：选 B.tan θ＋ cos θ sin θ cos θ1＝ 2.sin ＝＋＝θ cos θ sin θ cos θsin θ二、填空题π7．已知函数 f(x) ＝2cos 3x ， x ≤ 2 000，则 f(f(2 018)) ＝________．x － 18，x ＞ 2 000，解析： f(2 018) ＝2 018－ 18＝ 2 000， f(f(2 018))＝ f(2 000)＝ 2cos2 00023 π＝ 2cos 3π＝－ 1.答案：－ 18．已知 sin(3 π－ α)＝－ 2sin( π＋ α)，则 sin αcos α＝ ________．2π 解析：因为 sin(3 π－ α)＝sin( π－ α)＝－ 2sin(2＋ α)，所以 sin α＝－ 2cos α，所以 tan α＝－ 2，sin αcos α ＝ tan α ＝－ 22则 sin αcos α＝ 2 2 2 （－2）2 ＋＝－ .sin α＋ cos α tan α＋ 1 15答案：－25sin[ （ k ＋ 1） π＋ α] ·cos[（ k ＋ 1） π－ α]9．若 f(α)＝(k ∈ Z )，则 f(2 018) ＝ ________．sin （ k π－ α） ·cos （ k π＋ α）解析： ① 当 k 为偶数时，设 k ＝ 2n(n ∈ Z )，原式＝ sin （ 2n π＋ π＋ α） ·cos （ 2n π＋ π－ α）sin （－ α）· cos α＝sin （ π＋ α） ·cos （ π－ α）＝－ 1；－ sin α· cos α2②当 k 为奇数时，设 k ＝ 2n ＋ 1(n ∈ Z )，原式＝ sin[ （ 2n ＋ 2） π＋ α] ·cos[（2n ＋ 2） π－α]sin[ （ 2n ＋ 1） π－ α] ·cos[（2n ＋ 1） π＋α]sin α· cos （－ α）＝sin （ π－ α） ·cos （ π＋ α）＝－ 1.综上所述，当 k ∈ Z 时， f(α)＝－ 1，故 f(2 018) ＝－ 1. 答案：－ 110．已知 sin α＋ 2cos α＝ 3，则 tan α＝ ________．解析：因为 sin α＋ 2cos α＝ 3，所以 (sin α＋ 2cos α)2＝ 3，所以 sin 2α＋ 22sin αcos α＋ 2cos 2α＝ 3，2α＋ 2 2sin αcos α＋ 2cos 2α所以 sin22＝ 3，sin α＋ cos α所以 tan 2α＋ 2 2 2tan α＋ 2＝ 3，tan α＋ 1所以 2tan 2α－ 2 2tan α＋1＝ 0，所以 tan α＝ 22.2答案： 2三、解答题5πsin＋ α211．已知 sin α＝ 2 5 5，求 tan(α＋ π)＋ 5π的值．cos － α2解：因为 sin α＝2 55＞ 0，所以 α为第一或第二象限角．5πsin ＋ αcos α2tan(α＋ π)＋ 5π＝ tan α＋ sin αcos － α2＝ sin α cos α 1.＋＝cos α sin α sin αcos α(1)当 α是第一象限角时，cos α＝ 25，1－ sin α＝ 5原式＝ 1 5＝ .sin αcos α 2(2)当 α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－ 5，5 原式＝1 ＝－ 5 .sin αcos α 2112．已知 x ∈ (－ π， 0)， sin x ＋ cos x ＝ 5.(1)求 sin x －cos x 的值；(2)求 sin 2x ＋ 2sin 2x 的值． 1－ tan x3解： (1)由 sin x ＋ cos x ＝15，平方得 sin 2x ＋ 2sin xcos x ＋cos2x ＝ 251，24整理得 2sin xcos x ＝－.所以 (sin x － cos x)2＝ 1－ 2sin xcos x ＝4925.由 x ∈ (－ π， 0)，知 sin x<0，又 sin x ＋ cos x>0，所以 cos x>0， sin x － cos x<0 ，7故 sin x － cos x ＝－ 5.(2)sin 2x ＋2sin 2x ＝ 2sin x （ cos x ＋ sin x ） 1－ tan xsin x1－cos x＝2sin xcos x （ cos x ＋ sin x ）cos x － sin x－24× 125 5 24＝7 ＝－ 175.54。

高考数学一轮总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第二课时解三角形的综合问题

外,再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理,把该量转化为关于某
个角的三角函数,利用函数思想求解,此时要特别注意题目隐含条件
的应用,如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
[针对训练] (2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边
分别为a,b,c,已知acos B+b·cos A=2ccos C.

-
-
=
=

=

+
+ ( -) +- - +
=

2

=4cos B+ -5≥2
=

·

-5

的最小值.
解:(2)由(1)得 cos(A+B)=sin B,

所以 sin[ -(A+B)]=sin B,

且 0<A+B<,

所以 0<B<,0<-(A+B)<,

所以-(A+B)=B,解得 A=-2B,
由正弦定理得
+

=
+
( -)+
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
以多个三角形为载体的解三角形问题
[例1] (2024·江苏南通质量监测)在△ABC中,点D在边BC上,AB=3,
AC=2.
(1)若AD是∠BAC的平分线,求BD∶DC;
解:(1)法一因为点D在边BC上,AB=3,AC=2,
所以在△ABD和△ACD中,由正弦定理,得

2019届高三数学课标一轮复习单元质检四三角函数、解

单元质检四三角函数、解三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2017浙江湖州模拟)已知角θ的终边经过点P(4,m),且sin θ=,则m等于()A.-3B.3C.D.±32.(2017浙江杭州模拟)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α=()A.-B.C.-D.3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定的值为()4.(2017浙江杭州四校联考)已知-<α<0,sin α+cos α=,则-A. B. C. D.5.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+tan A·tan B,则△ABC的面积为()A. B.3 C. D.6.(2017浙江名校联考)下列四个函数:y=sin|x|,y=cos|x|,y=|tan x|,y=-ln|sin x|,以π为周期,在上单调递减且为偶函数的是()A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=|tan x|D.y=-ln|sin x|7.(2017昆明模拟)将函数f(x)=sin x-cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y 轴对称,则a的最小值是()A. B. C. D.8.(2017浙江绍兴期中)f(x)=A cos(ωx+φ)(A,ω>0)的图象如图所示,为得到g(x)=-A sin的图象,可以将f(x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈-恒成立,则φ的取值范围是()A. B. C. D.10.(2017云南师大附中模拟)已知函数f(x)=|sin x|·cos x,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=对称B.f(x)的周期为πC.若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+2kπ(k∈Z)D.f(x)在区间上单调递减二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江绍兴调研)设函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,x∈R),最小正周期T=π,则实数ω=,函数f(x)的图象的对称中心为,单调递增区间是.12.已知0<α<,sin α=,tan(α-β)=-,则tan β-=.13.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象如图所示,则ω=,φ=.14.在△ABC中,D是AC边的中点,A=,cos ∠BDC=,△ABC的面积为3则sin ∠ABD=,BC=.15.下列命题:①函数y=sin的单调减区间为,kπ+,k∈Z;②函数y=x-sin 2x图象的一个对称中心为;③函数y=sin-在区间-上的值域为-;④函数y=cos x的图象可由函数y=sin的图象向右平移个单位得到;⑤若方程sin-a=0在区间上有两个不同的实数解x1,x2,则x1+x2=.其中正确命题的序号为.16.(2017福建三明质检改编)已知函数f(x)=sin(x+φ)-2cos(x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=π对称,则cos 2φ=.17.(2017浙江衢州高三考试)已知△ABC的面积为1,∠A的平分线交对边BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k=时,边BC的长度最短.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2017浙江金华十校联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.19.(15分)(2017浙江金华期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2cos 2B=4cos B-3.(1)求角B的大小;(2)若S△ABC=,a sin A+c sin C=5sin B,求边b.20.(15分)(2017浙江温州模拟)已知函数f(x)=x-2cos2+1.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在区间上的最值.21.(15分)如图,在△ABC中,AB=2,cos B=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=π,求AD的长;(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.22.(15分)(2017浙江宁波高三)已知函数f(x)=cos x·(sin x-cos x)+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x+a)为偶函数,求|a|的最小值.答案：1.B sin θ=,解得m=3.2.C因为α是第四象限角,sin α=-,所以cos α=-,故tan α==-3.B由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A.∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即A=4.B∵sin α+cos α=,∴1+2sin αcos α=2sin αcos α=-,∴(cos α-sin α)2=1+,又∵-<α<0,∴cos α>0>sin α,∴cos α-sin α=,,故选B.--化简得5.C∵tan C=-tan(A+B)=--tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C,∴tan C=C=60°.cos C=(a2+b2-c2),把a=4,b+c=5,C=60°代入解得b=,所以S=ab sin C=故选C.6.D A:y=sin|x|在上单调递增,故A错误;B:y=cos|x|=cos x周期为T=2π ,故B 错误;C:y=|tan x|在上单调递增,故C错误;D:f(x+π )=-ln |sin(x+π )|=-ln|sin x|,周期为π ,当x时,y=-ln(sin x),在上单调递减,故D正确,故选D.7.B依题意得f(x)=2sin-,因为函数f(x-a)=2sin--的图象关于y轴对称,所以sin--=±1,a+=kπ+,k∈Z,即a=kπ+,k∈Z,因此正数a的最小值是,选B.8.D由题意可得A=1,T=,解得ω=2,∴f(x)=A cos(ωx+φ)=cos(2x+φ).再由五点法作图可得2+φ=,∴φ=-,∴f(x)=cos-=cos 2-,g(x)=-sin=cos=cos 2,而-,故将f(x)的图象向左平移个单位长度,即可得到函数g(x)的图象,故选D.9.A由条件可知函数f(x)的周期为π,则ω=2,f(x)=2sin(2x+φ)+1.由f(x)=2sin(2x+φ)+1>1,得sin(2x+φ)>0,从而可知2kπ<2x+φ<2kπ+π,k∈Z.故有---,即---解得10.D由函数f(x)在区间[0,2π]上的解析式可知f(x)=-(k∈Z)且f(x)是偶函数,故函数的图象关于直线x=kπ ,k∈Z对称,故A错误;f(x)的周期为2π ,故B错误;若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+(k∈Z),故C错误;f(x)在区间上单调递减,故D正确.故选D.11.2-(k∈Z)-(k∈Z)由T==π ,∴ω=2,f(x)=2sin,令2sin=0,得2x+=kπ (k∈Z),∴x=,对称中心为-(k∈Z).由2kπ-2x+2kπ+(k∈Z),得kπ-x≤kπ+(k∈Z),∴单调递增区间为-(k∈Z).12.3∵0<α<,sin α=,∴cos α=-,tan α=∵tan(α-β)=---,解得tan β=3.=------13.2由题中图象可知T=π,ω=,则ω=2.∵函数经过点(π,1),∴1=2sin(2×π+φ),sin φ=,∵|φ|<,故φ=146过B作BH⊥AC于H,则cos∠BDH=,设DH=2k(k>0),则BD=k,∴BH=-k,在Rt△ABH中,∠A=,∴AH==k,∴AD=3k,AC=6k,又S△ABC=AC×BH=6k k=3k2=3,解得k=1,∴BC=6,在△ABD中,,,解得sin ∠ABD=故答案为:,6.15.①②⑤①令+2kπ≤2x++2kπ,解得+2kπ≤x+kπ,k∈Z,故①正确;②y=cos 2x-sin 2x=2cos,令2x+=kπ+,解得x=+kπ,k=0时函数的一个对称中心为,②正确;③y=sin-,当-x,-x-,结合正弦函数的图象可得-y≤1,③错误;④由函数y=sin的图象向右平移个单位得到y=sin x的图象,故④错误;⑤令y=sin,当x时,2x+,若使方程有两解,则两解关于x=对称,则x1+x2=,故⑤正确.16由题意可得f(x)=x+φ-γ),其中sin γ=,cos γ=, 当x=π时,x+φ-γ=π+φ-γ=kπ+2φ=2kπ-π+2γ,据此可知cos 2φ=cos(2kπ-π+2γ)=-cos 2γ=sin 2γ-cos 2γ=17设AC=a.由题意,2a·a·sin ∠BAC=1,∴sin ∠BAC=,求BC最短时k的值,考虑A为锐角或直角时即可,∴cos ∠BAC=-,∴由余弦定理可得BC2=5a2-4-,设a2=t>0,则f(t)=5t-4-,f'(t)=5--,t>,f'(t)>0,函数单调递增,0<t<,f'(t)<0,函数单调递减,∴t=时,函数f(t)取得最小值,即BC=,∴cos ∠BAC==2cos2∠CAD-1,∴cos ∠CAD=,∴k=cos ∠CAD=故答案为18.解(1)由题意,OA=OM=1,∵S△OAM=和α为锐角,∴sin α=,cos α=,又点B的纵坐标是,∴sin β=,cos β=-,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-=-(2)∵cos 2α=2cos2α-1=2-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2,∴2,∴2α--,∵sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,故2α-β=-19.解(1)△ABC中,2cos 2B=4cos B-3,∴2(2cos2B-1)=4cos B-3,即4cos2B-4cos B+1=0,解得cos B=,又B∈(0,π),∴B=;(2)由面积公式得S△ABC=ac sin B=ac sin ,解得ac=4,又a sin A+c sin C=5sin B,∴a2+c2=5b,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B=5b-2×4=5b-4,∴b2-5b+4=0,解得b=1或b=4,又a2+c2=5b≥2ac=8, ∴b,故b=4.20.解(1)函数f(x)=cos 2x-2cos2+1=cos 2x-cos=cos 2x+sin 2x=2sin;令2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,解得kπ-x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为-(k∈Z); (2)当x时,2x+,∴sin-,∴f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-;且x=时f(x)取得最大值2,x=时f(x)取得最小值-21.解法一`(1)在三角形中,∵cos B=,∴sin B=在△ABD中,由正弦定理得,又AB=2,∠ADB=,sin B=AD=(2)∵BD=2DC,∴S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,∴S△ABC=4∵S△ABC=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC.∴AC=4∵S△ABD=AB·AD sin∠BAD,S△ADC=AC·AD·sin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,=2,=2=4解法二(1)同解法一.(2)∵BD=2DC,∴S△ABC=3S△ADC=4,又∵S△ABD=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6,∴BD=4,CD=2.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,∴AC=4在△ABD中,由正弦定理得,即sin∠BAD==2sin∠ADB,同理在△ACD中,由正弦定理得sin∠CAD=又∵sin∠ADB=sin∠ADC,=422.解(1)f(x)=cos x(sin x-cos x)+=sin x cos x-(2cos 2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin-,所以函数f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,得kπ-x≤kπ+,所以函数f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.(2)由题意,得g(x)=f(x+α)=sin-,因为函数g(x)为偶函数,所以2α-=kπ+=,k∈Z,当k=-1时,|α|的最小值为。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形单元质检A文新人教B版

单元质检四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若点在角α的终边上,则sin α的值为()A.-B.-C. D.2.(2017河北保定二模)若角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan 2θ=()A.2B.-4C.-D.-3.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-D.2π,2-4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.B.C.D.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若a cos B+b cos A=c sinC,S=(b2+c2-a2),则B=()A.90°B.60°C.45°D.30°6.(2017河北保定二模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则△ABC面积的最大值为()A.8B.9C.16D.21二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知sin,且x∈,则cos 2x的值为.8.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则的最大值是.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx sin(ω>0)的最小正周期为.(1)求出函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.10.(15分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.11.(15分)(2017山东烟台一模)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x-.(1)求f(x)单调递减区间;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,a=2,c=4,若f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值,求△ABC的面积.参考答案单元质检四三角函数、解三角形(A)1.A解析因为角α的终边上一点的坐标为,即,所以由任意角的三角函数的定义,可得sinα==-,故选A.2.D解析∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,∴tanθ=2;∴tan2θ==-,故选D.3.C解析因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin,所以最小正周期为π,当sin=-1时,取得最小值为2-.4.B解析由题意,得=2sin(2×0+φ),即sinφ=.又|φ|<,所以φ=.由2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-,故选B.5.C解析由正弦定理得2R(sin A cos B+sin B cos A)=2R sin C sin C,于是sin(A+B)=sin2C,所以sin C=1,即C=,从而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2),解得a=b,所以B=45°.故选C.6.B解析∵ab≤=36,当且仅当a=b=6时,等号成立,∴S△ABC=ab sin C≤×36×=9,故选B.7.-解析sin2x=cos=1-2sin2=1-2×=-,∵x∈,∴2x∈.∴cos2x=-=-.8.解析∵AD为BC边上的高,且AD=a,∴△ABC的面积S=a·a=bc sin A.∴sin A=.由余弦定理,得cos A=, 故=2=sin A+2cos A=sin(A+α),其中sinα=,cosα=.当sin(A+α)=1时,取到最大值是.9.解(1)f(x)=sin2ωx=sin2ωx-cos2ωx+=sin.因为T=,所以(ω>0),所以ω=2,即f(x)=sin.于是由2kπ-≤4x-≤2kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为x∈,所以4x-,所以sin,所以f(x)∈.故f(x)在区间上的取值范围是.10.解(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B=.由正弦定理知,所以AB==5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-=-.因为0<A<π,所以sin A=.因此,cos=cos A cos+sin A sin=-.11.解(1)f(x)=sin2x+sin x cos x-(1-cos2x)+sin2x-sin2x-cos2x=sin,由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调减区间为(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=sin,当x∈(0,π)时,-<2x-,结合正弦函数的图象,当2x-,即x=时,f(x)取得最大值.∵f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值,∴A=.在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A,即12=b2+16-2×4b×,解得b=2,∴△ABC的面积S=bc sin A=×2×4sin=2.。

2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形习题理新人

2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形习题理新人教A 版(I)一、填空题1.(xx·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝________.解析法一 ∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C 3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°. 答案 60°2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则角A 的大小为________.解析由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.答案π23.(xx·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________.解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A＝ 3. 答案 34.(xx·泰州调研)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是________km.解析画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6(km).在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6(km)，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB sin 30°sin 45°＝32(km).答案 3 25.(xx·河南六市联考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为________.解析由S △ABC ＝12bc sin A ＝2，得bc ＝3，①又由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6.② 由①②解得b ＝ 3. 答案36.(xx·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.解析由正弦定理知sin B ＝b sin A a ＝6×sin 23π3＝22，又因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B ＝π4.答案π47.(xx·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sinA ＝2sinB ，则c ＝________.解析由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，又a ＝2，所以b ＝3，故c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4. 答案 48.(xx·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－（a ＋2b ）242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab22ab ＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24. 答案6－24二、解答题9.(xx·四川卷)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值.解 (1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式 Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2，或p ≥23，由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ，于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22，解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°，则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3，所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3.10.(xx·苏北四市一检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积.解 (1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴A ＝π6，由2b sin A ＝a ，得b ＝a ，∴B ＝A ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.(建议用时：20分钟)11.已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于________.解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5. 答案512.(xx·南京师大附中模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S△ABC＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c ＝________.解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝2 3.答案 2 313.(xx·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________.解析如图，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰△CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，所以BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰△ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2. 答案 (6－2，6＋2)14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值.解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ，又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )，可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ，即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.。

精选2019高考数学一轮复习第四章三角函数4-4解三角形练习文(1)

§4.4解三角形考纲解读分析解读解三角形是高考中的热点,以正、余弦定理为载体考查解三角形问题,命题呈现出如下几点:1.能利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题,解题时要在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式间的联系,会用方程与函数的思想解决三角形的最值问题.解三角形知识常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值大约为5分或12分.解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b·=a·+c·,即b·=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0°<B<180°,所以B=60°.五年高考考点一用正、余弦定理解三角形1.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cosC)=0,a=2,c=,则C=( )A. B. C. D.答案 B2.(2016山东,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=( )A. B. C. D.答案 C3.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=( )A.3B.2C.2D.答案 C4.(2014江西,5,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对边的分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为( )A.-B.C.1D.答案 D5.(2013安徽,9,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=( )A. B. C. D.答案 B6.(2017课标全国Ⅲ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.答案75°7.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=,a=c,则=.答案 18.(2015重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=. 答案 49.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=,求cos C的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cos B=得sin B=,cos 2B=2cos2B-1=-,。

2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

解析：∵cosπ6－x＝cos
π 6cos
x12sin x＝12(sin x＋ 3cos x)＝12×65＝35.
答案：35
课堂考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一三角函数公式的基本应用
[题组练透]
1．已知 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，则 cosπ6－α＝(
2
·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×322×＋31＋ 2×312－＋312＋ 22＝0.
答案：0
考点三角的变换
[典例引领]
已知 0＜β＜π2＜α＜π，且 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)．
解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，
)
A．－2 3 2
B．2
2 3
C．－13
D．13
解析：由 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，
展开化简可得 sinα＋π3＝－13，
所以 cosπ6－α＝cos π2－α＋π3 ＝sinα＋π3＝－13.
答案：C
2．已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝12 f(x)，则 tan 2x 的
3
C. 3
D．2 2－1
解析：
4cos
50°－tan
40°＝4sin
40°－csions
40° 40°
＝4sin
40°cos 40°－sin cos 40°
40°＝2sin
80°－sin cos 40°
40°
＝2sin120°－40°－sin 40°＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40°

2019版高考文科数学大一轮复习人教B版讲义：第四章三

§4.3 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识拓展 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则：(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限上是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二教材改编2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是．答案 π3．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．y ＝tan 2x 的定义域是．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 题组三易错自纠5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.6．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为．答案 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ) 解析因为y ＝tan x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )，所以由－π2＋k π<2x －3π4<π2＋k π，k ∈Z ，得π8＋k π2<x <5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )．7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是．(用“>”连接) 答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一三角函数的定义域和值域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析方法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫7π6，13π6的值域是．答案 (－2,1]解析当x ∈⎣⎡⎭⎫7π6，13π6时，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫7π6，13π6的值域是(－2,1]．4．(2018届山东邹平双语学校月考)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是．答案 1解析 f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0,1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋1，当t ＝32时，y max ＝1，即f (x )的最大值是1.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．题型二三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调性典例 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 答案 B解析由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. (2)(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 命题点2 根据单调性求参数典例已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是．答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k πk ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是．答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k πk ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练 (2017·济南模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析由已知得T 4＝π3，∴T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝32.题型三三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1 三角函数的周期性典例 (1)(2017·湘西自治州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝sin ()2x －2π＝sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π6＝12. (2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为．答案 2或3解析由题意得，1<πk <2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3. 命题点2 三角函数的奇偶性典例 (2017·银川模拟)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为．答案5π6解析由题意知f (x )为偶函数，关于y 轴对称， ∴f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝±3，∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，∴φ＝5π6.命题点3 三角函数图象的对称性典例 (1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 答案 B解析由y ＝f (x )的最小正周期为π，可排除C ；其图象关于直线x ＝π3对称，根据选项，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝2或－2，可排除A ，D.故选B.(2)(2016·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为．答案 9解析因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，所以ω＝2k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T2＝2π2ω，即ω≤12，若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调的条件．由此得ω的最大值为9.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练 (1)(2017·大连模拟)函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0答案 B解析由题意，知x ＝π4为函数f (x )的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2. (2)若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是．答案 3解析若将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则平移的大小最小为T 2，所以T 2≤π3，即T max ＝2π3，所以当T ＝2π3时，ωmin ＝2πT max ＝2π2π3＝3.三角函数的图象与性质考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减(2)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为．(3)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为．解析 (1)A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确； C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误．故选D. (2)由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (3)记f (x )的最小正周期为T .由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6，可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案 (1)D (2)⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (3)π1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( )A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x答案 A解析 y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，周期为π，且是奇函数．2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．0 答案 B解析由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.故选B. 3．函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析函数y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝π2时函数取得最大值，排除B ，故选D. 4．(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－2答案 D解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是() A.⎝⎛⎭⎫－π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎫π12，0答案 B解析函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心．6．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是() A.⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B.⎣⎡⎦⎤π8，9π8C.⎣⎡⎦⎤－3π8，π8 D.⎣⎡⎦⎤π8，5π8答案 C解析由f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，得f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C. 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 解析因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以令2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 8．(2018·福州质检)函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最小值为．答案 1－22解析令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为．答案 6π5解析由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5. 10．(2018·珠海模拟)设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为．答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期，又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.12. (2017·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1.依题意知a ≠0， ①当a >0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5； ②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.13．(2018·广州质检)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．3 答案 B解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2或ωπ4≥3π2， ∴ω≥32.∴ω的最小值为32. 14．已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是．答案 [2,3)解析 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎡⎦⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， ∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12<1，∴2≤a <3.15．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3答案 C 解析由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.16．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在m ，使x ＝m 是函数f (x )的对称轴？如果存在，求出m ；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得2πω＝2，∴ω＝π， ∵f (x )的最大值为2，∴A ＝2.又A ＝2，且f ⎝⎛⎭⎫13＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2， ∴π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π6. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. (2)由πx ＋π6＝k π＋π2，得x ＝k ＋13(k ∈Z ), 即函数f (x )的对称轴为x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234，得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ， ∴k ＝5，此时的对称轴为x ＝163，故在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上存在实数m ＝163，使x ＝m 是函数f (x )的对称轴．。

2019高三数学(人教B版理)一轮训练题：单元质检卷四三角函数、解三角形(B)

单元质检卷四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后的图象()A.关于点-对称B.关于直线x=-对称C.关于点对称D.关于直线x=对称2.设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a=3,b=,A=,则B=()A. B.C.或D.3.(2017东北三校联考)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于 a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.a kmB. a kmC.2a kmD. a km4.(2017山东烟台一模,理8)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数的图象f'(x)如图所示,则f的值为()A.2B.2C.2D.4 ?导学号21500620?5.(2017江西新余一中模拟七,理10)已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中N,P的坐标分别为-,则函数f(x)的单调递减区间不可能为()A. B.--C. D.?导学号21500621?6.(2017福建厦门二模,理7)已知函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)为偶函数,且在上是增函数,则φ的一个可能值为()A. B. C. D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017河北邯郸二模,理15)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为S,(a2+b2)tan C=8S,则=.8.化简-=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2017福建厦门二模,理17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C=(2a-c)cos B.(1)求角B的大小;(2)已知b=,BD为AC边上的高,求BD的取值范围.10.(15分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b≠c,且sin2C-sin2B=sin Bcos B-sin Ccos C.(1)求角A的大小;(2)若a=,sin C=,求△ABC的面积.?导学号21500622?11.(15分)(2017黑龙江大庆三模,理17)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求b的值;(2)若cos B+sin B=2,求a+c的取值范围.?导学号21500623?参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(B)1.D平移后得y=sin的图象,令2x+=kπ,k∈Z,可得x=,k∈Z,图象的对称中心为,k∈Z,故排除A,C;令2x+=kπ+,k∈Z,可得对称轴方程为x=,k∈Z,故排除B,故选D.2.A∵a=3,b=,A=,∴由正弦定理,得sin B=.∵a>b,A为锐角,∴B=.故选 A.3.D依题意知∠ACB=180°-20°-40°=120°,在△ABC中,由余弦定理知AB=--a(km),即灯塔A与灯塔B的距离为 a km.4.D函数的导函数f'(x)=ωAcos(ωx+φ),由图象可知f'(x)的周期为4π.所以ω=.又因为Aω=2,所以A=4.函数f'(x)经过-,所以-2=2cos,所以+φ=2kπ+π,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=.所以f(x)=4sin.所以f=4sin=4.5.D根据题意,设函数f(x)=A cos(ωx+φ)的周期为T,则T=,解得T=π.又选项D中,区间长度为=3π,∴f(x)在区间上不是单调减函数.故选D.6.C根据题意,f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2=2sin,若f(x)为偶函数,则有φ+=kπ+,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,分析选项,可以排除B,D,对于A,当φ=时,f(x)=2sin=2cos 2x,在上是减函数,不符合题意,对于C,当φ=时,f(x)=2sin=-2cos 2x,在上是增函数,符合题意,故选C.7.2∵(a2+b2)tan C=8S,∴(a2+b2)sin C=8×absin C×cos C,即a2+b2=4abcos C=4ab·-,可得a2+b2=2c2,由正弦定理得=2.-8.2sin α由===2sin α.9.解 (1)由bcos C=(2a-c)cos B得b·-=(2a-c)-,化简得a2+c2-b2=ac,∴cos B=-.∵B∈(0,π),∴B=.(2)设BD为AC边上的高,为h,∵S=acsin B=bh,∴h=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B?a2+c2-ac=3?3≥２ac-ac,当且仅当a=c时,等号成立.∴ac≤3 ∴h=ac≤.故BD的取值范围为.10.解 (1)由题意,得--sin 2B-sin 2C,整理,得sin 2B-cos 2B=sin 2C-cos 2C,即sin-=sin-.由b≠c,得B≠C.因为B+C∈(0,π),所以2B-+2C-=π,所以B+C=,所以A=.(2)因为在△ABC中,a=,A=,sin C=,由正弦定理,得,解得c=.由c<a,得C<A.所以cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以S△ABC=acsin B=).11.解 (1)在△ABC中,,∴--,∴,解得b=.(2)∵cos B+sin B=2,∴cos B=2-sin B,∴sin2B+cos2B=sin2B+(2-sin B)2=4sin2B-4sin B+4=1,∴4sin2B-4sin B+3=0,解得sin B=;从而求得cos B=,∴B=.由正弦定理得=1,∴a=sin A,c=sin C.由A+B+C=π得A+C=,∴C=-A,且0<A<,∴a+c=sin A+sin C=sin A+sin-=sin A+sin cos A-cos sin A=sin A+cos A=sin .∵0<A<,∴<A+,∴<sin≤1 ∴sin,∴a+c的取值范围是.。

2019届高三数学(理)一轮复习考点规范练：第四章三角函数、解三角形24 Word版含解析

考点规范练24解三角形基础巩固1.(2019东北三省四市二模)在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为()A. B.π C.2π D.4π2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B=()A. B.C. D.3.(2019全国丙卷,理8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B.C.-D.-4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°5.(2019山西朔州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为()A.4B.2C.2D.6.在△ABC中,若三边长a,b,c满足a3+b3=c3,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能7.(2019山东临沂一模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则角C=.8.(2019山东师大附中模拟)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.9.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船?能力提升11.(2019山西阳泉高三模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c212.(2019内蒙古包头一模)如图,已知AB是圆O的直径,AB=2,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是圆O上半圆上的动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧,记∠POB=x,将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f(x),则y=f(x)取最大值时x的值为()A. B. C. D.π〚导学号37270444〛13.(2019河北衡水武邑中学冲刺)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么=.〚导学号37270445〛14.(2019河南商丘三模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc,(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=sin x+2cos2,a=2,f(B)=+1时,求边长b.〚导学号37270447〛高考预测15.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a sin A sin B+b cos2A=a.(1)求;(2)若c2=a2+b2,求角C.〚导学号37270448〛参考答案考点规范练24解三角形1.B解析在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,故C=180°-A-B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=,解得R=1,故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.2.B解析在△ABC中,a,b,c成等比数列,且c=2a,则b=a,cos B=故选B.3.解(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos A===-,故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=设∠DAC=α,则∠BAC=α+∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.∴sin α=,cos α=∴cos∠BAC=cos=cos αcos-sin αsin=(cos α-sin α)==-,故选C.4.B解析依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5.A解析∵在△ABC中,,∴(2a-c)cos B=b cos C.∴(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C.∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C)=sin A.∴cos B=,即B=由余弦定理可得16=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=ac sin B=ac≤4,故选A.6.A解析由题意可知c>a,c>b,即角C最大,所以a3+b3=a·a2+b·b2<ca2+cb2,即c3<ca2+cb2,所以c2<a2+b2.根据余弦定理,得cos C=>0,则0<C<,即三角形为锐角三角形.7解析在△ABC中,=sin A-sin B,=a-b.∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=∴C=8解析由题意及正弦定理,可知,即,故∠ADB=45°.所以A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=2sin 60°=9解析在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,则sin α=,所以tan α=10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.11.B解析∵b2+c2-a2=bc,∴cos A=,∴A=30°.∵b=a,∴sin B=sin A=,∴B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,得到a=c;故选B.12.A解析∵S△OPC=OP·OC·sin x=sin x,PC2=12+22-2·1·2·cos x=5-4cos x,S△PCD=PC2·sin(5-4cos x),∴f(x)=sin x+(5-4cos x)=2sin故当x-,即x=时,f(x)有最大值,故选A.13解析在△ABC中,∵tan B=-,∴sin B=,cos B=-又S△ABC=ac sin B=2c=8,∴c=4,∴b=14.解(1)在△ABC中,∵b2+c2-a2=bc,∴cos A=∵0<A<π,∴A=(2)∵f(x)=sin x+2cos2=sin x+cos x+1=sin+1,∴f(B)=sin+1=+1,∴B=,即,∴b=15.解(1)∵a sin A sin B+b cos2A=a,∴sin2A sin B+sin B cos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A,∴sin B=sin A,(2)设b=5t(t>0),则a=3t,于是c2=a2+b2=9t2+25t2=49t2,即c=7t.由余弦定理得cos C==-故C=。

近年高考数学大复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测(二十四)正弦定理和余弦定理理(20

2018高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测（二十四）正弦定理和余弦定理理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测（二十四）正弦定理和余弦定理理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测（二十四）正弦定理和余弦定理理的全部内容。

课时达标检测（二十四）正弦定理和余弦定理[练基础小题-—强化运算能力］1．在△ABC中，若错误!＝错误!，则B的值为( )A．30° B．45° C．60° D．90°解析:选B 由正弦定理知，错误!＝错误!，∴sin B＝cos B，∴B＝45°。

2．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC＝（）A．3 B．5 C．7 D．15解析:选C 由S△ABC＝错误!得错误!×3×AC sin 120°＝错误!，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×错误!＝49,解得BC＝7.3．在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c,若a sin A＋b sin B〈c sin C,则△ABC 的形状是（)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a2＋b2〈c2.由余弦定理得cos C＝错误!〈0，故C是钝角．即△ABC是钝角三角形．4．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7,那么这个三角形的最大内角的大小为________．解析:由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角为C。

高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测：第四章三角函数、解三角形 4-4 Word版含答案

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是()【解析】∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0，即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.【答案】 D2．(2016·课标全国Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则()A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【解析】由图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2πT＝2.由x ＝π3时，y ＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.【答案】 A3．(2016·天津)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 【解析】f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12·(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，∵x ∈(π，2π)，ω＞0，∴ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，∵f (x )在区间(π，2π)内没有零点，∴有以下两种情况： ①⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π，2k π＋π)，k ∈Z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥2k π，2ωπ－π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋14，k ＋58，k ∈Z ，当k ＝0时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58；②⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π＋π，2k π＋2π)，k ∈Z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥2k π＋π，2ωπ－π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，得ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋54，k ＋98，k ∈Z ，当k ＝－1时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，18，又ω＞0，∴ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18. 综上，ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58，故选D. 【答案】 D4．(2016·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0，0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0等于()A.π12B.π6C.π3D.5π12【解析】f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0，0)中心对称； ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝π3.【答案】 C5．(2016·开封模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点()A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解析】由图象可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由y ＝sin x 的图象先左移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变．【答案】 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．【解析】由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．【答案】－57．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．【解析】函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．【答案】π38．(2015·忻州市高三联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．【解析】由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.【答案】π3或43π9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．【解析】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.10．(2016·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在上的单调递减区间．【解析】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2016·课标全国Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 【解析】该函数的周期为π，将其图象向右平移π4个单位后，得到的图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 【答案】 D12．(2016·宁夏大学附中第三次月考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是()A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是．【解析】∵f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，则T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 其图象如图．由图可知，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，A 错误；其图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，B 错误；函数为偶函数，C 错误；2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝1，2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＝－1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π时，函数g (x )的值域是，D 正确．故选D.【答案】 D13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．【解析】画出函数的图象．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18. 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π1814．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4＜πω，即ω＜12，令k ＝0，得ω＝143. 【答案】14315．(2017·江西吉安市一中第二次质检)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin 2x ＋a 的最大值为1.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，若方程g (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a＝3cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ， ∴2＋a ＝1，∴a ＝－1.由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)∵将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，即g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3， ∴当2x ＋2π3＝2π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取最大值3－1；当2x ＋2π3＝3π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取最小值－3. ∴－3≤m ≤3－1.。

2019高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 课时达标检测(二十四)正弦定理和余弦定理 理.doc

【2019-2020】高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十三三角恒等变换理

高考数学一轮复习练习第四章 三角函数、解三角形 第4讲 Word版含答案

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结含解析

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第4讲含解析.docx

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第2讲含解析.docx

高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第二课时 解三角形的综合问题

2019届高三数学课标一轮复习单元质检 四三角函数、解

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形单元质检A文新人教B版

2019-2020年高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形习题 理 新人