第8章 测量误差与平差

1. •
中误差（在概率统计学中叫标准差σ） 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
• •
式中： 开平方后得：
n 21 22 2n
n
m lim
2

m lim
n

n
•
上式是中误差的极限表达式。在实际工作中，观测次数不可能 为无穷大，所以中误差通常用其估值表达式计算：
• 粗差实际上是一种不太容易发现的错误，严格的讲，不 应属于测量误差的范畴。 三.偶然误差的特性 • 系统误差具有倾向的一致性，即单向性、同一性，其影 响具有积累性，对测量成果精度的影响很大，必须设法 消除或减小，比如施加尺长改正、加常数改正、剩余常 数改正、气象改正等。而偶然误差是一种随机性误差， 不能直接通过加改正数的方法来消除，在观测结果中总 是不可避免地包含偶然误差，因此，偶然误差是测量误 差理论的主要研究对象。 • 偶然误差虽然从表面上看没有规律，但实际上具有统计 性规律，即特性。 • 下面先给出真误差的定义，然后介绍偶然误差的四个特 性。
•
任何一个被观测量，客观上总存在一个能代表其真正 大小的数值，称作“真值”。设某量的真值为X，已 剔除了系统误差的观测值为l，则它们的差值叫做该观 测值的真误差，简称误差，用△表示，即： △ ＝ l－ X • 真误差△仅指偶然误差。 • 如果对某量作一系列的观测，得到n个观测值li (i=1,2,·· ·,n)；则有n个真误差△i (i=1,2,·· ·,n)与之相对应。 这些仅包含偶然误差的真误差具有以下四个特性： 1. 有界性 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
二.误差的类型 • 测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。 1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某 类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结 果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如 按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号， 则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电 测距中的加常数、剩余常数等。 2. 偶然误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对同 类数据进行同种处理），如果观测结果包含的误差在 大小及符号上均没有表现出一致的倾向，即从表面看 没有任何规律性，则这种误差叫偶然误差。比如：水 准读数估读、照准偏左或偏右等。 3. 粗差：数值超出了某种规定范围的误差。如读错、记 错等。
• 测量平差是测绘工程专业的主干课程，一般需要讲授80 学时。 • 平差分为简易平差和严密平差。 • 严密平差又分为条件平差和间接平差。 • 在高程测量一章中水准路线闭合差的计算与分配实际上 就是一种简易平差工作（消除高差不符值）。 • 简易平差的相关内容将结合具体的控制测量计算（如导 线计算）加以介绍；对于严密平差方法，有兴趣的同学 可自学。 • 本章主要介绍测量误差的基本知识。目的是了解测量误 差产生的原因和评定精度的标准；掌握偶然误差的特性、 误差传播定律及其在测量数据处理中的应用方法。
2 Z
i
式中， f 是函数Z对各观测值（变量）的偏导数，它们 都是观测值的函数，将观测值代入后便都是常数。 x 例如，h=S×sinα，则
f f sin , S cos S
•上述一般函数形式的误差传播定律可以用于各种函数。 •几种常用函数形式的误差传播律 2、倍乘函数： 1、和差函数:
2. • • •
趋向性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。 误差分布的趋向性在统计表中十分明显。 误差分布的趋向性在频率直方图中更易看出。 偶然测量误差是随机变量，服从于标准正态分布。
3. 对称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 • 同样，误差分布的对称性可从统计表和直方图中得到 验证。
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 • 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 • 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组 观测质量好、精度高；反之，精度就低。 • 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
误差分布曲线一 误差分布曲线二
•
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精度是一组观测成果质量高低的标志，它与观测条 件的好坏密切相关。在相同的观测条件（观测者、 仪器和外界环境）下进行的一组观测，叫做“同精 度观测”，由于所有的观测值对应着同一种误差分 布，因此，对于组中的每一个观测值（即使是误差 为零或误差很大的观测值），都称为“同（等）精 度观测值”；反之，则称为“非等精度观测”。 例如，同一个观测者同一天用同一台仪器对同一个 三角形的内角和观测了10次，闭合差w有+8″的，有 -2″秒的，也有为0的。W=0 并不意味着高精度， w=8″也不表示低精度，所有的观测结果应认为是相 同精度的。只有在不同的观测条件下所作的观测， 才可以看作精度不同。
（二）. 衡量精度的指标 • 除了用误差分布图表示观测精度之外，还可用简明 的数字来作为衡量精度的指标。 • 精度的高低虽然不能用各别误差的大小来判别，但 与一组误差绝对值的平均大小有直接联系，所以常 用一组误差绝对值的平均大小来作为衡量精度高低 的指标。此处的平均值大小并非简单的算术平均大 小，而是指均方差。 • 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
§8－2 误差传播定律简介 • 在实际工作中经常会遇到这样的情况：某一个量的大 小并不是直接测定，而是由一个或一系列的观测量通 过一定的函数关系间接计算出来的（比如EDM测高）。 很显然，观测值误差必然会“传递”给函数，使其函 数也包含误差。阐述观测量函数的中误差与观测量本 身的中误差之间关系的定律，叫误差传播定律。 • 独立观测值的概念—— 设x、y为两个观测值，如果它们之间没有任何联系， 并且都是直接观测量，则称它们是“独立观测值”， 它们之间是“互相独立”的。比如，三角高程测量中 的斜距和垂直角，三角形中的两个内角等。 • 与此对应，若两个观测值之间存在一定的联系，或包 含同一因素，则它们就不是“互相独立”的。如方向 观测法中各方向的归零方向值（零方向相同）。
4. 抵偿性 偶然误差的算术平均值将随着观测次数的无限增加而趋 于零，即：
1 2 n 0 lim lim n n n n
•在测量平差中，方括号[ ]用来表示求和。 •第四个特性是由第三个特性即对称性导出的。 • 必须指出，偶然误差的以上特性，尤其是后面的三个特 性，只有当观测数目较多（一般n为20以上）时才会比较 明显。
• •
一般函数形式的误差传播定律： Z f ( x1, x 2,, xn) 设有一般函数: 式中，x1、x2、„„xn为互相独立的观测值，相应的 中误差分别为mx1、mx2、 „„ mxn；Z是各观测值的 函数。经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
f 2 2 f 2 2 f 2 2 m ( ) m1 ( ) m2 ( ) mn x1 x2 xn
解：由公式
得：
m

n
2 2 2 （ 4） 2） 0 1 2 3） （ （ ）（ m1 2 4 5 2 2 （ 6） 5） 0 1 2 1 2 （ （ ）（ ） m2 3 5 5
∵ | m1 |<|m2|，∴第一组比第二组观测精度高。
§8－1 误差与精度
一、测量误差的概念 • 误差是指由各种原因引起的观测值与真实值，或真实 值与其应有值之间存在的差异。 （比如：三角形的内 角和为180o，观测值为180o 00' 30″；标尺刻划间距 的真实值0.97cm，其应有值即理论设计值为1cm） • 要点： 1. “要测量就会有误差”，即误差与测量同在。 2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环 境的影响。 3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的 测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
3. 相对误差 • 真误差和中误差都是绝对误差。有时，仅用绝对误差 还不能完全表达观测精度的高低。 • 例如，分别丈量了1000米和10米的两段距离，观测值 的中误差均为±0.01米，虽然从表面上看，两者的观 测精度相同，但就“单位长度”而言，两者的精度并 不相同（且实现的难度也不相同），显然前者的相对 精度比后者要高。
第八章
测量误差与平差
§8－1 误差与精度 §8－2 误差传播定律简介 §8－3 算术平均值与加权平均值
• 平差——削平差异，消除不符。 • 由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影 响，测量误差总是不可避免的。为了提高成果的质量， 处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往 要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多 余观测。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾， 测量平差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最 可靠结果并评定测量成果的精度。测量平差采用的原理 就是“最小二乘法”。 • 测量平差是德国数学家高斯于1821～1823年在汉诺威 弧度测量的三角网平差中首次提出并应用的。以后经过 许多科学家的不断完善，得到发展，测量平差已成为测 绘学中很重要的、内容丰富的基础理论与数据处理技术 之一。
• 例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形 的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角 之和与180之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列， 然后以d △＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其 相对个数（k / n，也称作频率，n＝358。 ）。结果列于下表：
根据误差传播律有：
m k m k m k m
2 Z 2 1 2 x1 2 2 2 x2 2 n
2 xn
求观测值函数中误差的步骤
(1).列出函数式； (2).对函数式求全微分； (3).套用误差传播定律，写出函数中误差公式； (4).计算各偏导数之值； (5).将偏导数值和观测值中误差之值代入公式计 算函数的中误差。
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为此，通常又采用另一种衡量精度的指标，即“相对 中误差”，它是中误差（绝对值）与相应的观测值之 比，为一“不名数”，无量纲，常用分子为1的分式 表示： mD 1 k D D mD 相对误差仅可用作线量（即长度）观测精度的衡量指 标，在角度测量中没有意义。