误差理论与测量平差基础ppt
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测量误差与平差(1)
1. 有界性
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
1.误差理论与测量平差基础第一章-绪论
➢ 高斯的成就遍及数学的各个领域,在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数 论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用,并且在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
➢ 在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二 乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。
➢ 高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晩计算。五六年间,经他亲自计算过的大地测 量数据,超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后,高斯就把主要精力 转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。
1.3 测量平差的简史和发展
1.3 测量平差的简史和发展
•采用适当的观测方法校正 仪器 •计算加改正
尺长误差 i角误差
粗差 Gross error 即大的偏差或错误
•重复观测 •严格检核 •发现舍弃或重测
大数读错 输入错误 照错目标
1.1 观测误差 1.2 测量平差学科的研究对象 1.3 测量平差的简史和发展 1.4 本课程的任务和内容
1.2 测量平差学科的研究对象
系统误差处理 1.利用系统误差的规律性建立函数模 型，对观测中的误差进行改正。 2.采用相应的观测手段。 3.现代系统误差处理理论
1.1 观测误差
偶然误差—在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、 符号上 都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的 统计规律，这种误差称为偶然误差。
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差, 或两种兼有。
➢ 在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二 乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。
➢ 高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晩计算。五六年间,经他亲自计算过的大地测 量数据,超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后,高斯就把主要精力 转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。
1.3 测量平差的简史和发展
1.3 测量平差的简史和发展
•采用适当的观测方法校正 仪器 •计算加改正
尺长误差 i角误差
粗差 Gross error 即大的偏差或错误
•重复观测 •严格检核 •发现舍弃或重测
大数读错 输入错误 照错目标
1.1 观测误差 1.2 测量平差学科的研究对象 1.3 测量平差的简史和发展 1.4 本课程的任务和内容
1.2 测量平差学科的研究对象
系统误差处理 1.利用系统误差的规律性建立函数模 型，对观测中的误差进行改正。 2.采用相应的观测手段。 3.现代系统误差处理理论
1.1 观测误差
偶然误差—在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、 符号上 都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的 统计规律，这种误差称为偶然误差。
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差, 或两种兼有。
误差理论与测量平差基础CH01
平差分划
1
观测数据中只带有偶然误差的情况——经典测量平差；
平差学科研究的基础内容，应用最广和理论研究中最重要的 基础，也是本课程学习的主要内容。
2
还包含有系统误差和/或粗差的情况——近代测量平差。
测量平差理论与方法，是测绘学科中测量数据处理和质量控 制方面的重要组成部分; 在现代3S及其集成的高新测量技术以及高精度自动化数字 化数据采集和处理中得到广泛应用。
误差理论与测量平差基础 第一章 绪论 1-2 测量平差学科研究的对象
多余观测
思考问题： ˜ = 10.000m， 测量一段距离，真实值为L
A
1 2
L
B
ˆ如何取值？ 若观测一次，数据为L1 = 10.003，最终结果L 若观测三次，数据为L1 = 10.003, L2 = 9.998, L3 = 10.001， 如何处理？
误差理论与测量平差基础
可以解决什么问题？
思考题： C点为线段AB上一点，为确定各段距离长度，经过测量测得，
A
L1
B L
L2
C
AB的距离L，AC的距离L1 ，CB的距离L2 ，且L1 + L2 = L， 最终的结果应该如何取值？
误差理论与测量平差基础
可以解决什么问题？
误差理论与测量平差基础
可以解决什么问题？
2
还包含有系统误差和/或粗差的情况——近代测量平差。
误差理论与测量平差基础 第一章 绪论 1-2 测量平差学科研究的对象
平差分划
1
观测数据中只带有偶然误差的情况——经典测量平差；
平差学科研究的基础内容，应用最广和理论研究中最重要的 基础，也是本课程学习的主要内容。
2
还包含有系统误差和/或粗差的情况——近代测量平差。
误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
误差理论与测量平差基础
误差理论与测量平差基础
错误理论是测量平差中的重要理论，主要作用是分析测量数据的误差特性，确定数据
的可信性以及求解测量平差参数。
测量平差把原始测量数据通过数学模型进行优化，以消
除测量数据中的误差，得到更靠近实际状况的测量结果，了解测量数据中误差特性，对测
量平差有利也是非常有必要的。
误差理论的研究可以分为两个主要方面：一是潜在误差分析，即测量误差的性质及其
影响；二是测量误差的匹配，即推算出影响测量结果的误差幅度，同时考虑测量误差和设
计误差的叠加效应。
若测量误差在某种程度上已知，为了有效地求解平差过程，相应的应
该选择平差方法，也就是要精确解算测量误差。
因此，利用错误理论，可以分解原始的测量数据，以及测量误差的不同影响因素。
为
复杂的测量问题提出更适当的解法，从而减少测量平差中可能引起的误差，提高测量精度。
此外，错误理论还研究多参数的优化方案，及其偏差的估计，以便于设计更具拟合力的测
量数据优化方案。
误差理论是测量平差基础技术中不可缺少的一环，测量前对误差作出足够重视，测量
过程也应精确，意义重大。
正确掌握误差理论及其应用，对测量精度有非常重要的意义。
测量平差误差理论的基本知识
5
0.014
2
0.006
0
0
177
0.495
误差绝对值
个数 （k）
相对个数（k/n）
91
0.254
81
0.226
66
0.184
44
0.123
33
0.092
26
0.073
11
0.031
6
0.017
0
0
358
1.000
①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）
②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性）
极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。
第四节 误差传播定律及应用
在实际工作中，有许多未知量 不是直接观测的，而是通过观测值 计算出来的，观测值中误差与观测 函数中误差之间的关系定律，称为 误差传播定律。
倍数函数
函数形式：
Z=kx
式中Z为观测值的函数，k为常数（无误差），x为观测值
中误差关系式：
3.2
m1 ，m2说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值m与相应 观测值D之比，通常以分子为1的分式 来表
示，称其为相对（中）误差。即:
m
K
1
D
D
m
一般情况 :角度测量没有相对误差，只有距 离测量才用相对误差来评定。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
因为A、B两点间的高差等于各测站的观测 高差之和，即：hAB=h1+h2+…+hn
误差理论与测量平差基础
2.3精度及其衡量精度指标
精度、准确度和精确度的形象描述
准确度
31
精度
精确度
编辑ppt
2.3精度及其衡量精度指标
4、衡量精度的指标
精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描
述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡
量其高低。为此，人们希望通过一个数字来偶然误差
的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为
二乘法
L AX
❖ 1806年，A.M. 二乘法
Legendre从代E(数) 角lim度提出了0, E最(L小)
n n
AX
❖1809年，Gauss在《天体运动的 02理Q 论 02》P一1 文中发
表，称为Gauss- Legendre方 法
❖1912年，A.A. Markov，对最X小二( A乘T P原A理)1进AT行P了L
武汉大学出版社
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3
❖ 怎样学好测量平差
Ch1 绪论
预习、复习加习题练习 独立思考并推导公式 平差思想和解题思路 高数 线代 概率
习题练习
习题练习
公式推导
公式推导
平差思想
平差思想
数学基础
数学基础
编辑ppt
4
Ch1 绪论
❖ 为什么要学测量平差？ 1. 测量过程中可能会出现
照错目标 读错数
如何避免错误或及时发现错误？ 解决方法：增加多余观测。
系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差
来描述M ，即( ：L ) E ( S L L ~ ) 2 E L 2 ( E ( L ) L ~ ) 2
E(L)L~
当
，即观测值中不存在系统误差和粗差时，
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
《误差理论与测量平差基础》第八章
ˆ) ˆ Φ( X
dΦ ˆ ˆ ˆ d F T dX ˆ dX dX 0
—— 权函数式！
Φ FT ˆ X 1 Φ Φ ˆ ˆ X X 2 u 0
其中：
1 1 T 1 1 QX ˆX ˆ N BB N BBC NCC CN BB
u ,u u ,1 u ,s s ,1 u ,1
代入 ④ 得：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
④ ⑤
ˆ l B x 代入 ① 得：V n ,u u ,1 n ,1 n ,1
二、示例
n = 18 t = 2 × 5 – 2 = 8 u = 2×5 = 10 限制条件方程个数： s = u – t = 2
方程总数 C = r + u = n + s = 20
误差方程数：n = 18 = c – s 详见课本 P165-169
1
1 1
§8.3 公式汇编和示例
一、公式汇编 1.函数模型：
ˆl VB x
n ,1 n ,u u ,1 n ,1
3.参数的解：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
1 T 1 QX ˆLeabharlann ˆ Wl N BBC NCCWx
§8.3 公式汇编和示例
ˆ) ˆ Φ( X
ˆ ˆ F T dX d
Φ Φ Φ FT ˆ X ˆ ˆ 1,u X X 2 u 0 1
T Q ˆ ˆ F QX ˆX ˆF
dΦ ˆ ˆ ˆ d F T dX ˆ dX dX 0
—— 权函数式！
Φ FT ˆ X 1 Φ Φ ˆ ˆ X X 2 u 0
其中：
1 1 T 1 1 QX ˆX ˆ N BB N BBC NCC CN BB
u ,u u ,1 u ,s s ,1 u ,1
代入 ④ 得：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
④ ⑤
ˆ l B x 代入 ① 得：V n ,u u ,1 n ,1 n ,1
二、示例
n = 18 t = 2 × 5 – 2 = 8 u = 2×5 = 10 限制条件方程个数： s = u – t = 2
方程总数 C = r + u = n + s = 20
误差方程数：n = 18 = c – s 详见课本 P165-169
1
1 1
§8.3 公式汇编和示例
一、公式汇编 1.函数模型：
ˆl VB x
n ,1 n ,u u ,1 n ,1
3.参数的解：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
1 T 1 QX ˆLeabharlann ˆ Wl N BBC NCCWx
§8.3 公式汇编和示例
ˆ) ˆ Φ( X
ˆ ˆ F T dX d
Φ Φ Φ FT ˆ X ˆ ˆ 1,u X X 2 u 0 1
T Q ˆ ˆ F QX ˆX ˆF
误差理论与测量平差基础
误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础引言在现代工程领域中，测量技术扮演了重要的角色。
从航空航天、机电制造、地质探矿、土建工程到工业品质检验，无不需要借助科学的测量方法和仪器设备实现质量控制。
然而，由于各种各样的误差影响测量结果，以及不同种类的测量值必须得到平差处理，所以测量技术的水平不但与测量精度直接相关，而且涉及数据处理的准确性和可靠性，这就必须依赖误差理论、测量平差等基础理论与技术。
一、误差的分类一般地，误差指测量结果与真值之间的差值。
在实际测量中会受到多种误差的影响，可以从不同的角度对误差进行分类。
1. 按照产生原因分类ⅰ.人为误差如主观猜度、读数信号模糊、操作错误等。
ⅱ.仪器误差如仪器精度规定、系统灵敏度、温度、湿度、机械磨损、杂散噪声等。
ⅲ.环境影响如电磁辐射、磁场干扰、大气折射率、风吹雨打、光照变化等。
2.从系统设备模型分类ⅰ.常规误差该类误差是由于测量设备的设计或框架固定导致的。
如仪器设备误差、辅助公差、环量仪误差、补偿和漂移误差等。
常规误差可以在测量前后校正和补偿，通过校准手段，消除了常规误差的影响。
ⅱ.偶然误差偶然误差，是由于测量操作或非控制因素引起的。
如个人读数误差、抖动、瞬时环境修正等。
因为这种误差的出现不能事先预测，也无法校准和补偿，主要采取多次测量和配对测量方法，来降低其影响。
二、测量值的平差原理平差（Adjustment）即按照特定条件对各个测量结果进行修正，使其满足特定准则的过程。
该过程可以消除任何类别的误差，不同平差方法所制定的平差原则在基本假设和方法运作上存在不同。
平差的目的是在满足精度要求的情况下，将各个测量值之间保持合适关系，或将测量值与真值接近（最小二乘法）。
测量平差分为绝对平差和相对平差，其中绝对平差侧重于改正单个点的误差，而相对平差则侧重于改正一组数据测量中产生的各种误差。
1.多项式平差多项式平差是一种对多项式函数进行拟合的方法，常用于测量数据处理的多项式平滑，通常被用于地理信息系统中的地图校正。
《测量平差基础》课件
平差模型
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
误差理论与平差基础
误差理论与平差基础名词解释1、测量平差：依据某种最优准则（最小二乘法），对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知数的最估计值与精度的理论方法。
2、偶然误差：即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
3、系统误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。
4、粗差：明显歪曲测量结果的误差，是指比在正常观测条件所可能出现的最大误差还要大的误差。
5、平均误差：在一定观测条件下一组独立的偶然误差的绝对值的数学期望称为平均误差。
6、或然误差：当观测误差出现在（—，+）之间的概率等于1/2时，称为或然误差。
7、条件平差：一个几何模型中有r个多余观测，就产生r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差。
8、附有参数的条件平差：在平差问题中多选择了u个独立量为参数（而0<u<t）参加平差计算，就可建立含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称之为附有参数的条件平差。
9、间接平差：在平差问题中，当所选的独立参数个数等于必要观测数t时，可将每个观测值表达成这t个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法称为间接平差。
10、附有限制条件的间接平差：在平差问题中，多余观测数r=n-t，所选参数u>t个，其中包含t个独立参数，则参数间存在s=u-t个限制条件。
平差时列出n个观测方程和s个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型的平差方法称为附有限制条件的间接平差。
11、秩亏自由网平差：如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。
12、精度：误差分布的密集或离散程度。
13、准度：随机变量的真值与数学期望之差。
误差理论与测量平差基础第三章协方差传播律及权
参数估计
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
误差理论与测量平差基础第二章 误差分布与精度指标
或然误差的计算： 1 通过中误差计算 2 误差按绝对值大小排列，取中数 教材：例 2－1
第二章 误差分布与精度指标
中误差、平均误差和或然误差都可以作 为衡量精度的指标，但由于 中误差具有明确的几何意义（误差分布 曲线的拐点坐标） 平均误差和或然误差都与中误差存在理 论关系 所以，世界上各国都采用中误差作为衡 量精度的指标，我国也统一采用中误差 作为衡量精度的指标。
x1xn x2 xn 2 xn
第二章 误差分布与精度指标
互协方差阵
X Z Y
DZZ
D XX DYX
D XY DYY
T
DXY
x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 x y x y n 2 n1
x1 yn x2 y n xn y n
T
DXY E X E( X )Y E(Y ) DYX
互协方差阵是表达两组观测值间两两观测值相关程度的指标
习题：2.6.18，2.6.19
第二章 误差分布与精度指标
小结：
1、几个名词
1 f () exp ( ) 2 , 2 2 2 1
式中： 和 为参数。
第二章 误差分布与精度指标
由密度函数 1 1 2 f () exp ( ) , 2 2 2 知，偶然误差 为一维正态随机变量。所以又称偶然 误差为随机误差。 下面来看参数 和 是什么。 对正态随机变量 求数学期望：
第二章 误差分布与精度指标
§2-2 正态分布
当偶然误差的个数 n 时，偶然误差出现的频 率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限 缩小，则直方图（图1、图2）将分别变为图3所示的两 条光滑的曲线。
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采用测量平差的方法
系统误差 Systematic
error
误差在大小和符号上表 现出系统性，或按一定 规律变化，或为常数
采用适当的观测方法 校正仪器 计算加改正
粗差 Gross error
即大的偏差或错误
重复观测 严格检核 发现舍弃或重测
举例
照准误差 对中误差 估读误差
尺长误差 i角误差
大数读错 输入错误 照错目标
3、误差分布
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例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角 和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真 误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
统计表
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20 1.20~1.40 1.40~1.60
证明，形成数学模型（函数模型+随机模型）
❖ 近代发展
❖ 现在的国内相关专家
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14
1.4 本课程的任务和内容
❖ 本书主要为经典测量平差内容，即只讨论带有偶 然误差的观测值。
（1）偶然误差理论。偶然误差特性，传播；精度指标及估 计；权。
（2）测量平差的函数模型和随机模型，最小二乘原理。 （3）测量平差的基础方法。条件平差，附有未知参数的条
测量平差的任务和意义 任务
1）消除不符值，寻求未知参数的最佳估值； 2）评定结果的精度。
意义
所有观测数据只有通过平差才能使用，即测量平差是测 绘科学和技术的基础和灵魂。
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6
Ch1 绪论
❖ 测量平差的作用和地位
1）解决测量工作中的实际问题，对测量数据进行处理，求 出最佳估值。
>1.60
和
19
个数K 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
件平差，间接平差，附有限制条件的间接平差。平差计算 模型及精度评定公式，各种平差方法的概括及联系。 （4）测量平差中的统计假设检验方法。
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15பைடு நூலகம்
本章结束！
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16
Ch2 误差分布与精度指标
1
偶然误差的规律性
2
正态分布
3
精度及其衡量精度指标
4
本章总结及习题
Ch1 绪论
主要内容 绪论
平差基础知识 平差基本原则 四种经典平差方法 平差方法总结 点位精度讨论 统计假设检验 近代平差简介
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8
Ch1 绪论
❖ 基本概念 • 误差
对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果 称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为 测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。
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1.1 观测误差
二、误差分类 • 偶然误差
在相同误差在大小和符号上表现出偶然性
• 系统误差
误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化
• 粗差
即错误
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1.1 观测误差
误差名称
偶然误差 Random
error
误差特点
消除或削弱的办法
单个误差没有规律性， 整体具有统计规律，服 从或近似服从正态分布
测绘工程专业核心课程
误差理论与测量平差基础
Errors Theory and Foundation of Surveying Adjustment
主讲教师：隋铭明
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Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 Ch5 Ch6 Ch7 Ch8 Ch9 Ch10
课程结构
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2
Ch1 绪论
❖ 课程基本情况
总学时 72
讲课 50
上机 12
习题 10
❖ 教材
《误差理论与测量平差基础》 《误差理论与测量平差基础习题集》
武汉大学出版社
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3
❖ 怎样学好测量平差
Ch1 绪论
预习、复习加习题练习 独立思考并推导公式 平差思想和解题思路 高数 线代 概率
习题练习
2）是测绘学科的基础理论，是对仪器操作和基本测量方法 的主要补充。
3）其核心知识是后续专业课程的重要基础，如大地测量、 GPS测量原理、变形监测等。
4）是测绘工程专业研究生入学考试课程，是硕士和博士阶 段的重要课程。
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7
❖ 课程结构
参见目录
章节 Ch1 Ch2- Ch3 Ch4 Ch5- Ch8 Ch9 Ch10 Ch11 Ch12
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1.2 测量平差的研究对象
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误
差或粗差，或两种兼有。
平差问题的解决思路：
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1.3 测量平差简史及发展
❖1794年，C.F. Gauss从概率统计角度提出了最小
• 测量平差
测量平差是测量数据调整的意思。其定义是，依据某 种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定 未知量的最佳估值及精度的理论和方法。
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一、误差来源
1.1 观测误差
测量仪器：仪器精密度；仪器轴线关系引起。 观测者：操作水平，工作态度，使用习惯。 外界环境：温度，湿度，风力，大气折光等。
习题练习
公式推导
公式推导
平差思想
平差思想
数学基础
数学基础
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Ch1 绪论
❖ 为什么要学测量平差？ 1. 测量过程中可能会出现
照错目标 读错数
如何避免错误或及时发现错误？ 解决方法：增加多余观测。
2. 有多余观测，如何消除不符，求出最优值？
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5
Ch1 绪论
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2.1偶然误差的规律性
基本假设：系统误差已消除，粗差不存在，即观测 误差仅为随机误差。 i L ~i Li
偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显 的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大 量误差进行统计具有明显的规律。
寻找偶然误差之规律性的方法(统计分析)： 1、统计表 2、直方图
二乘法
L AX
❖ 1806年，A.M. 二乘法
Legendre从代E(数) 角lim度提出了0, E最(L小)
n n
AX
❖1809年，Gauss在《天体运动的 02理Q 论 02》P一1 文中发
表，称为Gauss- Legendre方 法
❖1912年，A.A. Markov，对最X小二( A乘T P原A理)1进AT行P了L