中值定理与导数的应用2(终)

★★4.求下列函数的最大值、最小值：（1）312824≤≤-+-=x , x x y ； （2） ]20[cos sin π,x,x y +=；（3）151≤≤--+=x ,x x y ； （4）]21[)1ln(2,,x y -+=。

知识点：导数的应用。

思路：求函数)(x f 在闭区间上最值的基本方法是先求0y '=的点或者y '不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是)(x f 在该闭区间上的最大值，最小的即是)(x f 在该闭区间上的最小值。

解：（1）在]31[,-上令34160y x x '=-=，得01=x ，22=x ；∵5)1(-=-y ，2)0(=y ，14)2(-=y ，11)3(=y ，∴比较可得312824≤≤-+-=x , x x y 的最小值为14)2(-=y ，最大值为11)3(=y 。

（2） 在]20[π,上，令cos sin 0y x x '=-=，得41πx =，452πx =；∵1)0(=y ，2)4(=πy ，2)45(-=πy ，1)2(=πy ， ∴比较可得]20[cos sin π,x,x y +=的最小值为2)45(-=πy ，最大值为2)4(=πy 。

（3）在]15[,-上，0y '==，得43=x ；∵65)5(+-=-y ，45)43(=y ，1)1(=y ，∴比较可得151≤≤--+=x ,x x y 的最小值为65)5(+-=-y ，最大值为45)43(=y 。

（4）在]21[,-上令2201xy x '==+，得0=x ； ∵2ln )1(=-y ，0)0(=y ，5ln )2(=y ，∴比较可得]21[)1ln(2,,x y -+=的最小值为0)0(=y ，最大值为5ln )2(=y 。

★★★5.求下列数列的最大项：（1） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 210； （2）{}nn 。

知识点：导数的应用。

思路：求数列)(n f 的最大项最小项问题可转化为求函数)(x f 在区间)1[∞+,内的最值问题；若0x x =为)(x f 在区间)1[∞+,内的最小值点，则])[()(0x f n f =与)1][()(0+=x f n f 中最小的一个为数列中的最小项；若x x =为)(x f 在区间)1[∞+,内的最大值点，则])[()(0x f n f =与)1][()(0+=x f n f 中最大的一个为数列中的最大项。

解：设xx x f 2)(10=，则在区间)1[∞+,内，令9(10ln 2)()02xx x f x -'==，得唯一驻点2ln 10=x ； 由822(9020ln 2ln 2)()2xx x x f x -+''=，得810ln 21010()10ln 2()0ln 22f -''=<， （或者说：当10ln 2x<时，()0f x '>；当10ln 2x >时，()0f x '<） ∴2ln 10=x 为xx x f 2)(10=在区间)1[∞+,内唯一的极大值点，也是最大值点；∵14]2ln 10[=，14]2ln 10[=，且100323121521415101410>≈.，∴当14=n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 210取得最大项。

（2）设xxx f 1)(=，则在区间)1[∞+,内，令121ln ()()0xxf x x x-'==，得唯一驻点e x =；当e x <<0时，有0y '>，当e x >时，有0y '<，∴ e x =为xxx f 1)(=在区间)1[∞+,内唯一的极大值点，也是最大值点；∵2][=e ，31][=+e1=<，∴当3=n 时，{}nn 取得最大项。

★★6.从一个边长为a 的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图），问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？知识点：求最值问题。

思路：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。

特别地，)(x f 在某个区间内可导且只有一个驻点0x ，且0x 是函数)(x f 的极值点，则当)(0x f 是极大值时，)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最大值；当)(0x f 是极小值时，)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最小值；)(x f 在某个区间内可导且只有一个驻点0x ，且)(x f 在该区间上确实存在最值，则)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最值。

解：设截去的小正方形的边长为x ，则根据题意，得2)2()(x a x x V -=，)20(a ,x ∈；令0)6)(2(=--=x a x a dx dV ，得2a x =（舍去），6ax =；∵3272)6(0)2(0)0(a a ,V a ,V V ===，∴可得，当一个边长为a 的正方形的四角上截去一块边长为 6a的小方块，才能使盒子的容量最大。

★★7.欲制造一个容积为V 的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？解：设圆柱形容器的底为r ，高为h ，则表面积222πr πrh S +=，又h πr V 2=，∴得+∞<<+=r ,πr rVr S 022)(2， 令22()40VS r πr r'=-+=，得唯一的驻点r =又由34()4VS r πr''=+，知()120r S r π''=>，∴r =)(r S 的极小值点，也是最小值点；∴当r =r h 2=时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。

★★★8.从一块半径为R 的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图853--）容积为最大？解：设漏斗的半径为r ，高为h ，容积为V ，根据题意，得πRr 2ϕ=，ππR h 2422ϕ-=，从而有πϕϕϕϕ20,24431)(222232<<-==ππR h πr V ；令()0V φ'==，得0=ϕ（舍去），πϕ38-=（舍去），πϕ38=；∵漏斗的最大容积确实存在，即)(ϕV )2(0πϕ<<最大值确实存在，又)(ϕV )2(0πϕ<<的驻点唯一，∴πϕ38=时，)(ϕV )2(0πϕ<<取得最大值，即当切去圆心角为ππ382-的扇形时，余下的部分卷成的漏斗容积最大。

★★★9.设有重量为kg 5的物体，置于水平面上，受力F 的作用而开始移动（见图953--），设磨擦系数250.μ=，问力F 与水平线的交角α为多少时，才可使力F 的大小为最小？解：根据题意，得μαF P αF )sin (cos -=，从而有20,sin cos )(πααμαα≤≤+=P μF ， 即20,25sin .0cos 25.1)(παααα≤≤+=F ，令ααα25sin .0cos )(+=f ，则由()sin 0.25cos 0f ααα'=-+=，得)(αf 在)2,0(π内唯一的驻点)250arctan(.α=；∵5225sin.02cos 25.1)2(=+=πππF ，25.125sin0.0cos025.1)0(=+=F ， 且213.1an(0.25))25sin(arct .0(0.25))cos(arctan 25.1))25.0(arctan(≈+=F∴力F 与水平线的交角)250arctan(.α=时，才可使力F的大小为最小。

★★★10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点m .10处挂一重量为kg 49的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（见图1053--），如果杠杆的线密度为kg/m 5，求最省力的杆长。

解：设杠杆长为x ，则根据题意和力的平衡关系，得251049x x .xF ⨯+⨯=，即 )0(2594)(>+=x xx .x F ； 令222495598()022.x .F x x x -'=-+==)0(>x ，得唯一的驻点41589..x ==； ∵最省力的杠杆长确实存在，∴当杠杆长m .x41=时最省力。

★★★★11.光源S的光线射到平面镜Ox 的哪一点再反射到点A，光线所走的路径最短（见图1153--）？解：设入射点为x M,OM =，则S所走的路程)0()(2222τx x τb xa MA SM y <<-+++=+=令0y '==，得y 在区间)0(,τ内的唯一驻点ba a τx +=0， ∵最短的距离确实存在，∴当入射点M 在Ox 上的点为ba a τx +=0时，光源S 的光线所走的路径最短；容易验证，此时入射角（记为α）等于反射角（记为β），即αax b a τb b a a ττbx τβtan tan 00==+=+-=-=， 此为著名的光的反射定律。

★★★★12.甲船以每小时20里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82里处以每小时16里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？解：设两船的距离为S ，且经过t 小时两船距离最近，则根据题意得)0()20()1682()(22>+-=t t t t S令()0S t '==，得)(t S 在区间)0(∞+,内唯一的驻点2=t ；∵两船最短的距离确实存在，∴2=t时，()0)S t t =>取得最小值，即经过2小时后两船距离最近。

习题3-6★1.求下列曲线的渐近线：（1）xey 1-=； （2） xe y x+=1； （3）x e x y -+= 。

知识点：渐近线的概念。

思路：求出函数)(x f 定义域；在间断点处或无穷大时，讨论)(x f 的极限情况，用以求出()f x 的水平渐近线和垂直渐近线；讨论xx f )(、ax x f -)(无穷大时的极限，用以求出斜渐近线。

解：（1）xey 1-=的定义域为)0()0(∞+-∞,, ；∵+∞=-→-xx e10lim ，1lim 1=-∞→xx e，∴0=x为铅直渐近线，1=y 为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。

（2） xe y x+=1的定义域为)1()1(∞+---∞,, ；∵∞=+-→x e x x 1lim1，01lim =+-∞→xe xx ， ∴1-=x为铅直渐近线，0=y 为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。

（3）x e x y -+=的定义域为(),-∞+∞；∵∞=+-∞→)e (x x x lim ，∴函数不存在铅直渐近线及水平渐近线，而a xe x xx ==+-+∞→1lim，b ax e x x x ==-+-+∞→0])[(lim ， ∴x y =为函数x e x y -+=的斜渐近线。