弹性力学论文

弹性力学简述及平面问题的基本理论1、弹性力学简述1.1弹性力学弹性力学是固体力学学科的一个分支。

也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。

它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。

材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。

1.2弹性体弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。

绝对弹性体是不存在的。

物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

1.3弹性力学的研究对象弹性力学的研究对象是完全弹性体。

弹性是变形固体的基本属性。

“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。

完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。

完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间一一对应的关系。

这种关系与时间无关，也与变形历史无关。

材料的应力和应变关系通常称为本构关系。

1.4弹性力学的基本内容弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。

弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。

连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。

求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15 个函数。

从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。

但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。

所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。

1.5弹性力学基本假设工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。

如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。

根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。

使问题的研究限定在一个可行的范围。

基本假设是学科的研究基础。

超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。

弹性力学有6个基本假设。

1.5.1 连续性假设假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。

变形后仍然保持连续性。

根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。

1.5.2 均匀性假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。

因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。

物体的弹性性质处处都是相同的。

工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。

对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。

1.5.3 各向同性假设假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。

宏观假设，材料性能是显示各向同性。

当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。

这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。

1.5.4 完全弹性假设对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。

完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。

研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。

1.5.5小变形假设假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。

在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。

忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。

1.5.6无初始应力假设假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。

弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。

弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。

这些假设都是关于材料变形的宏观假设。

弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。

这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。

1.6弹性力学任一点的形变状态和任一点的位移1.6.1弹性力学任一点的形变状态弹性力学任一点的形变状态与六个独立的应力分量相对应，空间变形状态共有六个应变分量εx、εy、εz，、γyz、γzx。

εx、εy、εz是沿x,y,z三个方向的线应变，即各线段的单位伸缩γxy、γyz、γzx是三个角应变(剪应变)，例如γxy表示沿x,y方向相互垂直的两线段之间的直角的改变，用弧度表示。

应变符号规定，正应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应剪应变以直角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相适应。

正应变和剪应变都是无因次量1..6.2任一点位移物体内任意一点的位移，用它在x、y、z三轴上的投影u、v、w 来表示，以沿坐标轴正方向时为正，沿坐标轴负方向时为负。

一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、形变分量和位移分量，都是随着该点的位置而变的，因而都是位置坐标的函数。

在弹性力学的问题里，通常是已知物体的形状和大小（即己知物体的边界），已知物体的弹性常数，物体所受的体力，物体边界上的约束情况或面力，求物体内部各点的应力、形变分量和位移分量。

2、平面问题的基本理论2.1平面应力与平面应变问题2.1.1平面应力问题2.1.1.1弹性体的形状平面应力弹性体的形状为等厚度均匀薄板，厚度方向的尺寸小于其他两个方向的尺寸。

2.1.1.2弹性体的受力：面力：平行于板面且不随厚度变化 。

体积力：平行于板面且不随厚度变化 。

2.1.1.3平面应力问题的特点平面应力问题在垂直于厚度方向的截面内，与Z 坐标相关的三个应力都等于0，即：σZ 、τzx 、τzy =0 ；与Z 坐标无关的三个应力都不等于0，即：σx 、 σy 、 τxy ≠0 。

任一点的应力分量只剩下平行于xy 面的三个应力分量 。

许多机器零件均可以近似地作为平面应力问题进行计算，如发动机连杆，直齿圆柱齿轮等 。

2.1.2平面应变问题2.1.2.1弹性体的形状平面应变问题弹性体的形状为无限长的长条形物体，任一横截面{}x y xy σσστ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭形状相同 。

2.1.2.2弹性体的受力面力：平行于横截面而且不沿长度变化 。

体积力：平行于横截面而且不沿长度变化 。

2.1.2.3平面应变问题的特点平面应变问题在垂直于轴线的任意横截面内，与Z 坐标相关的三个应变都等于0，即：εz 、γzx 、γzy =0 ；与Z 坐标无关的三个应变都不等于0，即：ε x 、 ε y 、 γ xy ≠0 。

任一点的应变分量只剩下平行于xy 面的三个应变分量许多机器零件均可以近似地作为平面应变问题进行计算，如花键，滚针轴承中的滚子等 。

2.3弹性力学平面问题的基本方程2.3.1平衡方程 平衡方程——应力与外力间的关系2.3.2几何方程 几何方程——表示位移与应变的关系。

0=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂y yxy x yx x f y xf y x σττσu v yv x u y x ∂∂∂∂=∂∂=εε{}x y xy εεεγ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭说明：1）几何方程反映反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。

2）当 u 、v 已知，则εx 、εy 、γxy 可完全确定；反之，εx 、εy 、γxy 已知，不能确定u 、v 。

3）γxy 以两线段夹角减小为正，增大为负。

2.3.3物理方程 物理方程——应变与应力之间的关系2.3.3.1 平面应力问题的物理方程由于平面问题中 0===zx yz z ττσ ，所以平面应力问题的物理方程为:物理方程的另一形式为：2.3.3.2 平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中0===zx yz z γγε，xy xy x y y y x x E EEτμγμσσεμσσε)1(2)(1)(1+=-=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=→≠+=+-=+-=)(02)1(2)(1)(1122y x z z xy xy x y y y x x E E E E σσμεεγμτμεεμσμεεμσ）（）（注：平面应变问题中，0=z ε，0≠z σ，)(y x z σσμσ+-=。

2.4边界条件边界条件是建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。

是力学计算模型建立的重要环节。

如果弹性体处于平衡状态，则在内部应满足平衡微分方程式，同时在边界上满足静力边界条件。

2.4.1位移边界条件位移分量已知的边界 —— 位移边界用u s 、v s 表示边界上的位移分量，v u ,表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：说明：,0时当==v u 成为固定位移边界。

2.4.2应力边界条件 给定面力分量y x f f ,边界 ，得：式中：l 、m 为边界外法线关于 x 、y 轴的方向余弦。

xy xy x y y y x x EE E τμγσμμσμεσμμσμε)1(2)1(1)1(122+=---=---=⎩⎨⎧==vv u u s s ys xy s y xs xy s x f l m f m l =+=+)()()()(τστσ例：如图示楔形体，其边界条件为：()()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==→⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅++⋅=+⋅+⋅→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+==⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+⋅=⋅+⋅→=+=+⎪⎩⎪⎨⎧==-=-︒=-=+︒=q 0q 01010q 0100sin cos 0cos sin )()()()(0os 180cossin 90cos :上侧s y s xy s xy s y s xy s x s xy s y s xy s x s xy s y s xy s x Y X m l Yl m Xm l Y X c m l σττστσβτβσβτβστστσββββ）（）（下侧：）（）（2.5弹性力学平面问题的基本求解2.5.1求解方法2.5.1.1按位移求解（位移法、刚度法）以u 、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u 、v 表示，并求出u 、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。

2.5. 1.2按应力求解（力法，柔度法）以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。

2.5.1.2混合求解以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。