范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-需求(圣才出品)

第9章需求
1．假设偏好是相似的，证明：
Suppose preferences are homothetic.Show that
证明：相似偏好的效用函数有如下形式：
这里()g 是单增函数，()f 是一次齐次函数。

特别的，由于效用函数的单调变换不改变它表示的偏好，所以一般情况下，可以直接假设()u x 是一次齐次函数。

相似偏好的间接效用函数可以写成()()v p m A p m =，，根据罗伊恒等式就有：
从而：
比较上面两个式子可知：
2．某个特殊物品的需求函数是x a bp =+，求相关的直接和间接效用函数。

The demand function for a particular good is
x a bp =+.What are the associated direct and indirect utility functions?
解：这是一个可积性问题。

将除x 物品外的其他所有物品统称为z 物品，p 是物品x 与物品z 的相对价格，即将物品z 的价格正规化为1。

令m 为收入，因此消费者预算约束可以写成：px z m +＝。

可积性方程为：
边界条件为：
求解微分方程可以得到：
C 是一个常整数，其中()p q m m μ =；，是以货币度量的间接效用函数。

由可得：，代入上式得：
货币度量的效用函数形式上是一个当p 固定不变时关于q 和m 的间接效用函数。

因此，与已知的需求函数相一致的间接效用函数是：
由于p 不变，所以可以去掉p 。

下面使用罗伊恒等式来检验这一间接效用函数与需求函数是一致的。

因此根据罗伊恒等式，有：
所以这一间接效用函数是与需求函数相对应的。

根据消费者理论的对称性，可以求相应的直接需求函数：
将预算约束线带入目标函数得到关于q的最优值：
因此直接效用函数为：
这是一个拟线性效用函数。

3．某个特殊物品的需求函数是x a bp cm
=++，求相关的直接和间接效用函数。

（提示：要完美地解答本题，你需要知道如何解答一个线性、非齐次微分方程。

如果不记得如何做，你可以仅仅列出方程。

）
The demand function for a particular good is x a bp cm
=++.What are the associated direct and indirect utility functions?（Hint:You have to know how to solve a linear,nonhomogeneous differential equation to solve this problem completely.If you can’t remember how to do this,just write down the equation.）解：由货币度量的间接效用函数的定义得：
求解齐次部分的解：
求解微分方程得到：
齐次部分的解具有cp Ae 的形式，非齐次方程的特解由下式给出：
所以微分方程的通解为：
由于()p q m m μ =；，得到：
因此，间接效用函数为：
可以用罗伊恒等式验证此处得到原需求函数。

因此这一间接效用函数是与需求函数相对应的。

根据消费者理论的对称性，可以求相应的直接需求函数：
解出直接效用函数，最优值由下式给出：
将预算约束线带入目标函数得到关于q 的最优值：
4．两物品的需求函数是：
理论中隐含的对参数的限制是什么？求相关的货币测度效用函数。

The demand functions for two goods are
What restrictions on the parameters does the theory imply?What is associated money metric utility function?
答：由于这个需求函数是从效用最大化中得到的，因此相应的替代矩阵必然满足对称性和半负定性，由于：
所以可以得到10b <，21212
0b b b ->以及1221b b =，下面求解货币测度的效用函数，它满足如下的偏微分方程组：
利用矩阵形式改写上述方程组得到：
其中，，从而解得：
5．求习题4中的直接效用函数。

What is the direct utility function for the previous problem?解：这一间接效用函数是与需求函数相对应的。

根据消费者理论的对称性，可以求相应的直接需求函数：
将预算约束方程代入目标函数，根据4的结果以及极值运算后解得：
将以上两式代入目标函数()v ⋅，得直接效用函数为：
6．用()q m ，表示价格和收入，令/p q m =。

用罗伊恒等式导出表达式。