高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)(平面向量与复数——宁德市数学组供稿)(附答案)

合集下载

高考数学平面向量及复数专项训练试题、参考答案

高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则（）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是（） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是（） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是（）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是（）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为（） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是（） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。

福建宁德2019高中毕业班单科质量检查-数学(理)

福建宁德2019高中毕业班单科质量检查-数学（理）数学〔理科〕试题本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题)两部分.本卷总分值150分，考试时间120分钟.本卷须知1. 答题前，考生先将自己的姓名、准葡正号填写在答题卡上.2. 考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答親示号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清晰.参考公式：第I卷〔选择题共50分〕—、选择题：本:^共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 假设集合，，那么A. B. C. M = N D.2. 假设a,b是向量，那么"a=b”是“|a|=|b|”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，假设终边通过点，那么等于A. B. C. D.4. 一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如右图所示，那么那个三棱柱的侧视图的面积为A. B. 2 C. D. 45. 以下函数f(x)中，满足"！且"的是A. B. , C. D.6. 曲线y2=x与直线y= x所围成的图形的面积为A. B. C. D.7. m，n为两条不同直线，为两个不同平面，直线平面a,直线平面，给中正确命题为A.①③B.②③C.②④D.①④8. 平面上动点P到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y-1,那么他的建系方式是9. 在中，，且，那么AC+2AB的最小值为A. B. C.4D.10. 假设函数f(x)关于任意，恒有为常数〕成立，那么称函数f(x)在[a,b]上具有”T级线性逼近”给出以下函数：①.；②；③；④那么在区间[1,2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为A.1B.2C.3D.4第II卷〔非选择题共100分〕【二】填空题:本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11. 假设、,其中，i是虚数单位，那么a=_______12.运行右图所示的程序，输入3，4时，那么输出______.13.假设直线x-y+t=0与圆，相交所得的弦长为，那么t的值等于______.14. 变量x，y满足约束条件假设目标函数仅在点(3，0)处取得最大值，那么实数a的取值范围为______.15. 某种平面分形如下图所示，一级分形图是由一点动身的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端动身再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°;......；依此规律得到n级分形图，那么n级分形图中所有线段的长度之和为.______【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.16. (本小题总分值13分〕二次函数为偶函数，且.(I)求函数f(x)的解析式；(II)假设函数在区间[-2,2]上单调递减，求实数k的取值范围.17. (本小题总分值13分〕函数，的最小正周期为.(I)求函数y=f(x)的最值及其单调递增区间；(II)函数f(x)的图象能够由函数的图象通过怎么样的变换得到？18. (本小题总分值13分〕椭圆的左焦点为F,右顶点为A，离心率.(I)假设点F在直线l:x-y+1=0上，求椭圆E的方程；(II)假设0<a<1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得假设存在，求出点P的个数；假设不存在，请说明理由.19. (本小题总分值13分〕如图〔1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD,,CD=2AB=2,,E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形，如图〔2).(I)求证：；(II)线段上是否存在点M，使得E M//平面DB'B,假设存在，确定点M的位置；假设不存在，请说明理由；(III)求平面与平面所成的锐二面角的大小.20. (本小题总分值14分〕一学生参加市场营销调查活动,从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料.资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台(t为常数)，期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台.(I)假设商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量.(II)假设11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数.21. (本小题总分值14分〕函数•(I) 当a>0时，求函数.的极值；(II)假设存在，使得成立，求实数a的取值范围；(III)求证：当x>0时，.(说明：e为自然对数的底数，〕。

2019年宁德市普通高中毕业班质量检查数学(理科)试卷

2019年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考公式：第I 卷（选择题共50分）一、选择题：1．若集合{}0,1,2,3A =，{}0,1B=，{C x x A =∈且}x B ∉，则集合C 等于 A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}1,2,3D ．{}0,12．若各项均不为零的数列{}n a 满足*12()n n a a n N +=∈，则4321a a a a ⋅⋅的值等于 A ．4 B ．8 C ．16 D ．643．设i 为虚数单位，,a b 为实数，则“0ab <”是“复数i(i)z a b =+在复平面上对应的点在第一象限”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 4．已知三次函数()y f x =的图象如右图所示，则该函数的导函数的图象是5．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若01,2,120a b C ===，则sin sin AC的值为 A B C D6．将函数()sin f x x x =-的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 7．若在边长为4的等边三角形OAB 的边OB 上任取一点P ，则使得6OA OP ⋅≥的概率为A ．34B ．23C ．13D ．148．已知函数()2xf x =，若存在x ∈R ，使得不等式12()()f x k f x +≤成立，则实数k 的最小值是A ．3B ．C ．2 D9．设不等式组10,2,0x y x y --≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积为1S ，若2221log S xdx =⎰，则1S 与2S 满足A ．12102S S <-<B ．12112S S <-<C ．12102S S -<-<D ．12112S S -<-<-10．将双曲线222x y -=绕原点逆时针旋转45后可得到双曲线1y x=．据此类推可求得双曲线41x y x -=-的焦距为 A ． B ． C ．4 D ．第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．2019年1月9日，是中国承诺全面履行世界卫生组织《烟草控制框架公约》在公共场所实现全面禁烟的最后期限．右图为某社区100名志愿者在2019年12月参加社区控烟活动的次数统计条形图，则该100名志愿者在2019年12月参加社区控烟活动的人均次数x = ．，，(n x x ++- A B C D俯视图正视图侧视图12 为______________．13．若圆C ：22264390x y x ay a ++-++=（0a ≠的点均在第二象限内，则实数a 14．若6560156(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-++-+-，则5a =____________．15．由方程21x x y -=所确定的,x y 的函数关系记为()y f x =.给出如下结论：① ()f x 是R 上的单调递增函数；②对于任意x ∈R ，()()2f x f x +-=-恒成立；③存在0(1,0)x ∈-，使得过点(1,(1))A f ，00(,())B x f x 的直线与曲线()y f x =恰有两个公共点．其中正确的结论为 (写出所有正确结论的序号) ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)已知函数2()sin 2cos 2cos sin sin (0)f x x x ϕϕϕϕ=+⋅-<<π在2x π=处取得最值．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及ϕ的值；（Ⅱ）若数列{}n x 是首项与公差均为4π的等差数列，求122011()()()f x f x f x +++的值．17．(本小题满分13分)如图，矩形ABCD 所在的平面与平面AEB 垂直，且120BAE ∠=，4AE AB ==，2AD =，,F G H,分别为,,BE AE BC 的中点．（Ⅰ）求证：直线DE 与平面FGH 平行；（Ⅱ）若点P 在直线GF 上，且二面角D BP A -- 的大小为4π，试确定点P 的位置．A BC DEFGH（背面还有试题）18．(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，:220l x y +-=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．（Ⅰ）若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若线段．．AB 上存在点P 满足122PF PF a +=，求a 的取值范围．19．(本小题满分13分)某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x ，y （x ，{1,2,3}y ∈），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．20．(本小题满分14分)已知函数2()4ln f x ax bx c x =+++的极值点为1和2．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）试讨论方程2()3f x x =根的个数；（Ⅲ）设2113()()442h x f x x x =-+，斜率为k 的直线与曲线()y h x =交于11(,),A x y 22(,)B x y 12()x x <两点，试比较1k与122x x +的大小，并给予证明．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵13a M d ⎛⎫= ⎪⎝⎭有特征值1λ=-及对应的一个特征向量113⎛⎫= ⎪-⎝⎭e ．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）设曲线C 在矩阵M 的作用下得到的方程为2221x y +=，求曲线C 的方程．（2）(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为221,21x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （t 为参数），若圆P 在以该直角坐标系的原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为24cos 30ρρθ-+=．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和圆P 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 是曲线C 上的动点，点B 是圆P 上的动点，求AB 的最小值．（3）(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12f x x x =++-，不等式()t f x ≤在R 上恒成立．（Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）记t 的最大值为T ，若正实数,,a b c 满足222a b c T ++=，求2a b c ++的最大值．2019年宁德市高三质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1.B 2.C 3. B 4. A 5.B 6.A 7.D 8.A 9.C 10.D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分. 11.2.3 12.43π 13. (0,3) 14. 6 15. ①②③ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、诱导公式、三角函数的图象和性质、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分13分. 解：（Ⅰ）2()sin 2cos (2cos 1)sin f x x x ϕϕ=+-⋅sin 2cos cos 2sin x x ϕϕ=+sin(2)x ϕ=+. …………………3分由已知得,2k k ϕππ+=π+∈Z ，又0ϕ<<π，∴2ϕπ=. .…………………5分 ∴()f x sin(2)cos 22x x π=+=．T =π. …………………7分（Ⅱ）由已知得(1)444n n x n πππ=+-=， …………………8分 ∴1234()()()()0f x f x f x f x +++=， …………………10分又∵cos2n y π=的周期为4， ∴1220102011()()()()f x f x f x f x ++++200920102011123()()()()()()f x f x f x f x f x f x =++=++cos cos cos 122π3π=+π+=-． …………………13分17. 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分. （Ⅰ）证明：取AD 的中点M ，连结MH ，MG ． ∵,G H 分别是,AE BC 的中点， ∴//,//MH AB GF AB ，∴M ∈平面FGH ，…………………3分又//MG DE ，且DE ⊄平面FGH ，M G ⊂平面FGH ， ∴//DE 平面FGH ．…………………6分（Ⅱ）解：如图，在平面ABE 内，过A 作AB 的垂线，记为AP ，则AP ⊥平面ABCD .以A 为原点，AP 、AB 、AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立建立空间直角坐标系A xyz -.∴(0,0,0),(0,4,0),(0,0,2),2,0),1,0),,0)A B D E G F --. ∴(0,2,0)GF =，(0,4,2)BD =-，(35,0)BG =-． …………………8分设(0,2,0)GP GF λλ==，则(35,0)BP BG GP λ=+=-. 设平面PBD 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,BP BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ∴(25)0,420.y y z λ+-=-+=⎪⎩取3y ，得z =52x λ=-，∴1(52λ=-n ．又平面ABP 的法向量为2(0,0,1)=n ， .…………………11分∴121212cos ,⋅===⋅n n n n n n ，解得1λ=或4.故GP GF=或4GP GF =（P 或P ）. …………………13分18. 本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、探究意识，考查数形结合思想、函数与方程的思想、化归与转化思想．满分13分.解法一：，故a =， …………………1分由(2,0)A ，得2a =，∴b =， …………………4分所以所求的椭圆方程为22142x y +=. …………………5分（Ⅱ）由e =，可设椭圆方程为222212x yb b+=，联立22221,2220x y b b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22322202x x b -+-=， …………………7分已知线段AB 上存在点P 满足122PF PF a +=，即线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程22322202x x b -+-=在[0,2]x ∈上有解.………………9分 ∴22223324222()2233a b x x x ==-+=-+，由[0,2]x ∈，故2443a ≤≤，故所求的a2a ≤≤. …………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）由e =，设椭圆方程为222221x y a a+=，联立222221,220x ya ax y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得226840y y a -+-=， …………………7分已知线段AB 上存在点P 满足122PF PF a +=，即线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程226840y y a -+-=在[0,1]y ∈有解. …………………9分设22()684f y y y a =-+-，∴0,(0)0(1)0,f f ∆≥⎧⎨≥≥⎩或，解得2224,34020,a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≥-≥⎩或 ∴2443a ≤≤，故所求的a2a ≤≤. …………………13分 19. 本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识，考查化归与转化思想、或然与必然思想．满分13分.解:（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9个， …………………2分设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A ，且事件A 所包含的基本事件有(3,1),(3,3)共2个， ∴2()9P A =. …………………4分（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为100,900,9900-. …………………5分 999(100)1000P ξ=-=，177(900)100099000P ξ==⋅=， 122(9900)100099000P ξ==⋅=． ∴ξ的分布列为8分∴99972100900990097100090009000E ξ=-⨯+⨯+⨯=-． …………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为97-. ∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，∴该机构此次收益期望为9710000970000⨯=元=97万元， ∵9796>，∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标. …………13分20. 本题考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想．满分14分.解：（Ⅰ）2424()2ax bx f x ax b x x++'=++=，(0,)x ∈+∞，……………… 1分由()y f x =的极值点为1和2， ∴2240ax bx ++=的根为1和2， ∴240,8240.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩……………………3分2264ln c x x x =+-，设2()264ln g x x x x =+-， (0,)x ∈+∞.242(232)2(21)(2)()46x x x x g x x x x x+--+'=+-==， ………………5分当x 变化时，'()g x 与()g x 的变化情况如下表：由此得，函数()y g x =的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞.…6分∴min 1117()264ln 4ln 24222g x =⨯+⨯-=+，且当x 正向趋近于0时，()g x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞. ………………7分 ∴当74ln 22c =+时，方程只有一解；当74ln 22c >+时，方程有两解；当74ln 22c <+时，方程无解. ………………9分（Ⅲ）1212x xk +<. ……………10分证明：由（Ⅰ）得2()64ln f x x x c x =-++，∴2121ln ln ()ln ,4x x ch x x k x x -=+=-，210x x >>.要证1212x x k +<，即证211221ln ln 2x x x x x x -+<-，只需证221121112ln x x x x x x -+<，（因为22111,ln 0x xx x >>）即证2212112(1)ln1x x x x x x ->+．只需证2212112(1)ln 01x x x x x x -->+．（*）…………………12分设2(1)()ln x x x ϕ-=-(1)x >， 2'2214(1)()0(1)(1)x x x x x x ϕ-=-=>++，∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()(1)0x ϕϕ>=，∴不等式（*）成立. ∴1212x xk +<． ………………… 14分 21.（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：（Ⅰ）13a d ⎛⎫⎪⎝⎭13⎛⎫ ⎪-⎝⎭1=-⨯13⎛⎫ ⎪-⎝⎭=13-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴31,33 3.a d -=-⎧⎨-=⎩ 解得2,0.a d =⎧⎨=⎩∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………………4分（Ⅱ）设点(,)A x y 为曲线C 上的任一点，它在矩阵M 的作用下得到的点为(,)A x y '''，则2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩ 代入2221x y +=得()2222(3)1x y x ++⋅=，所以所求的曲线方程为222241x xy y ++=. .…………………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为210(1)x y x --=≥，圆P 的直角坐标方程为22(2)1x y -+=. …………………4分（Ⅱ）求AB 的最小值可转化为求PA 的最小值.该射线的反向过圆心P 作射线210(1)x y x --=≥的垂线，垂足E 在延长线上，当点A 在射线的端点时，PA=此时EA 的长最小，故此时PA 取最小值.1. …………………7分（3）本题主要考查利用绝对值不等式的基本性质求解和证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分．解：（Ⅰ）()12(1)(2)3f x x x x x =++-≥+--=，()3f x ∴=. …………………2分不等式()t f x ≤在R 上恒成立，min ()3t f x ∴≤=， t 的取值范围为(,3]-∞. …………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得max 3T t ==，由柯西不等式得：2222222(2)(121)()18a b c a b c ++≤++++=，2a b c ∴++≤ …………………5分当且仅当121a b c ==即a b c ==时，2a b c ++的最大值为 …………………7分。

2019年宁德市普通高中毕业班第一次质量检测理科数学答案

1 1 1 SABC bc sin A 4 3 3 ．………………………………6 分 2 2 2
法二：由余弦定理得， 2c 3b 2a
b 2 c 2 a 2 3bc ，
a 2 c 2 b2 ，………………………………1 分 2ac
cos A
an 3n ．……………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， a2n1 32n1 ， bn log3 32n1 2n 1 ，……………………7 分

1 1 1 1 1 ，……………………8 分 bn bn1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
（Ⅱ）由正弦定理得：
a b c 7 2 7 ，………………………………7 分 1 sin A sin B sin C 2
5 3b c 2 7 3 sin B sin B 6
3 1 2 7 B ．………………………………9 分 2 sin B 2 cos B 2 7 sin 6
B 0, ,sin B 0 ，
cos A 3 ， 2
A 0, ，∴ A 6．………………………………3 分
由余弦定理得： 7 b2 3 2 3
3 b ，………………………………4 分 2
b2 3b 4 0 ， b 4 b 1 0 ， b 4 （负值舍去），………………………………5 分
C
y
2
2
B
x
易得平面 PAC 的一个法向量为 n1 (0,1, 0) ，………………… 10 分 ∴设平面 PAB 的一个法向量为 n2 ( x, y, z ) ，又 AB (2, 2 3,0) ， AP (1,0, 3) ，

福建省宁德市普通高中高三下学期毕业班第二次质量检查数学(理)试题

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若向量a(3,)m =，b (2,1)=-，b a //，则实数m 的值为A ．32- B ． 32C ．2D ．6【答案】A 【解析】试题分析： //，m 23=-∴，得23-=m ，故答案为A. 考点：平面向量平行的应用.2.若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：{}{}0|12|>=>=x x x A x ，{}{}1|0lg |>=>=x x x x B ，由A x ∈不能推出B x ∈，由B x ∈能推出A x ∈，“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，故答案为B. 考点：充分条件、必要条件的判断.3.已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅= A ． 6 B ． 18 C ．24D ．36【答案】D 【解析】试题分析：61222412=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x C T ，65=∴a ，365573=⋅=⋅∴a a a a ，故答案为D.考点：1、二项式定理的应用；2、等比数列的性质.4.若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --上的偶函数，则该函数的最大值为 A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 【答案】A考点：1、偶函数的应用；2、二次函数的最值.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B 【解析】试题分析：第一次执行循环体后，1,2==n S ，继续执行循环体，第二次执行循环体后，2,5==n S ，继续执行循环体，第三次执行循环体后，3,10==n S ，继续执行循环体，第四次执行循环体后，4,19==n S，在直线循环体，输出的值大于20，不符合题意，i 的最大值4，故答案为B. 考点：程序框图的应用.6.已知某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从正态分布11(90,86)N ξ和22(93,79)N ξ，则以下结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定【答案】C 【解析】试题分析：第一次测试的平均分90=x ，862=σ；第二次测试的平均分93=x ，792=σ，因此第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故答案为C. 考点：正态分布的应用.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为 A．2 D【解析】试题分析：双曲线的左焦点()0,1c F -，得x ab y ±=，当c x -=，得c ab y ±=由于以AB 为直径的圆恰过点2F ，因此2ABF ∆是等腰直角三角形，因此211F F AF =，即c c ab 2=，a b 2=∴，a b a c 522=+=∴，5==∴ace ，故答案为D. 考点：双曲线的简单几何性质.8.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ． 2日和5日 B ． 5日和6日 C ． 6日和11日 D ． 2日和11日【答案】C 【解析】试题分析：这12天的日期之和，()7812121212=+=S ，甲、乙、丙的各自的日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C. 考点：等差数列的前n 项和.9.若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x 的最小值为A ．2-B ．1-C ．13- D ．0【解析】试题分析：方程023=+--a x x x 有三个实根，函数a y =与函数x x x y ++-=23的图象有三个交点，由图象可知，直线a y =在AB 之间，有3个交点，当直线过点B 时，此时1x 最小，由于01232=++-='x x y得31-=x 或1=x ，因此点()1,1B ，令123=++-x x x 化简得()()0112=+-x x ，1x 的最小值1-.考点：方程的根和函数的零点.10.如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．1233VV ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ 【答案】D侧视图正视图试题分析：几何体如图所示，此时几何体的体积最大，322131=⋅⋅=V ，让另外两个侧面退化为光滑的曲面并且逼近两个三角形侧面时，体积逐渐趋向于0，故320≤<V ，故答案为D.考点：由三视图求体积.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 11.复数iiz +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________．【答案】2. 【解析】试题分析：ii z +=1()()()i i i i i -=--+=11，在复平面上对应的点()1,1-，到原点的距离2.考点：复数的四则运算和概念.12.设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率为．【答案】31. 【解析】试题分析：a 的可能取值6,5,4,3,2,1，共有6种情况，方程02=++a ax x 有两个不等实根，042>-=∆a a ，解得4>a 或0<a ，此时5=a ，或6=a ，有2种情况，所求事件的概率3162==P . 考点：利用古典概型求随机事件的概率. 13.若关于x ，y的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为．【答案】1-或0. 【解析】试题分析：由于不等式组表示的平面区域是直角三角形，当0=k 时，平面区域是直角三角形，当01=+-y kx 与直线x y =垂直时符号题意，此时1-=k.考点：线性规划的应用.14.若在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是．【答案】()()3,11,3 --. 【解析】试题分析：在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，圆()422=-+a y x 与圆122=+y x 相交，两圆的圆心距ad =，则1212+<<-a ，因此a 的取值范围()()3,11,3 --.考点：1、圆的标准方程；2、圆与圆的位置关系.15.ABC ∆中，3π=∠A ．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =，则当AD 取最小时，BD 的长为．【答案】3.考点：1、基本不等式的应用；2、余弦定理的应用.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. (本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos sin )A θθ，．（1）求点A 的坐标；（2）若向量(sin 2,2cos )x θ=m ，(3sin ,2cos2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．【答案】（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53A ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5212,512.【解析】试题分析：(1)熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如x b x a y cos sin +=化为()ϕ++=x b a y sin 22，研究函数的性质；（2）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中Z k k ∈+≠,2ππα；（3）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定；（4）掌握两角差的正切公式及倍角公式.试题解析：（1）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1ta n 7α=，(0,)2απ∈．……………1分∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (6)分∴点A 的坐标为3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分（2）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈-，………………………………………………………12分 ∴函数()f x的值域为12[5-． (13)分考点：1、三角函数的化简；2、同角三角函数的基本关系. 17.(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（1）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？【答案】（1）6.143；（2）支持票投给甲队. 【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求中位数，中位数左边和右边的长方形的面积和是相等的；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（1）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=，解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则3(3,)4B ξ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭， 24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分 ∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分考点：1、利用频率分布直方图求中位数；2、离散型随机变量的数学期望. 18. (本小题满分13分) 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA=，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥．（1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．１【答案】（1）证明略；（2）存在这样的点P ，使二面角P A A D --1为6π. 【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键，空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1AO ==2分∴22211A O AD AA +=∴1AO AD ⊥.…………………………………………3分又1CD AO ⊥，且CD AD D =，∴1A O ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分（2）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则(0,1,0)A -，1A ， (6)分设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(,,)x y z ，∵1AA =，(1,1,0)AP m =+，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧==⎪⎨=++=⎪⎩n n 取1z =，得1n=1),m +．……………………………8分又1A O ⊥平面ABCD ,且1A O ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD .又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD = ∴CD ⊥平面11A ADD .不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos,==n n ，……………………12分解得1m =或3m =-（舍去）．∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分考点：1、直线与平面垂直的判定；2、立体几何的探究性问题. 19. (本小题满分13分)已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分B１线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程;（2）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ， ①求证:直线CD 过定点;②若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点Q ，试探究PQ PQ PAPB+是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．【答案】（1）y x 42=；（2）直线CD 过定点()1,0；PBPQ PAPQ +为定值2【解析】试题分析：（1）抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化，如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线的定义就能解决；（2）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式xyO∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分 ②由（2）①得,直线CD 的方程为1102x y -+=.设:1(1)l y k x +=-，与方程1102x y -+=联立，求得4221Q k x k +=-．……………………………………9分设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+． (10)分∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴11PQ PQPQ PAPB PA PB ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11111QA Bxx x⎛⎫=-+⎪⎪--⎭()11111QA Bxx x⎛⎫=-⋅+⎪--⎝⎭…………………………………………11分()()24212111A BA Bx xkk x x+-+⎛⎫=-⋅⎪---⎝⎭5422215kk-=⋅=-，∴PQ PQPA PB+为定值，定值为2．…………………………………………13分考点：1、抛物线的标准方程；2、圆锥曲线中的定点、定值问题.20.(本小题满分14分)已知函数2()e()xf x x ax-=+在点(0,(0))f处的切线斜率为2．（1）求实数a的值；（2）设3()(eg x x x t t=---∈R）()，若()()g x f x≥对[0,1]x∈恒成立，求t的取值范围；（3）已知数列{}na满足11a=，11(1)n na an+=+，求证：当2,n n≥∈N时11213()()()62enaa af f f nn n n-⎛⎫+++<⋅+⎪⎝⎭（e为自然对数的底数，e 2.71828≈)．【答案】（1）2=a；（2）1≥t；（3）证明略.【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()0,0f处的切线方程，注意这个点的切点，利用导数的几何意义求切线的斜率()20='f；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()xfa≥恒成立()m a xxfa≥⇔，（2）()x fa≤恒成立()m i nxfa≤⇔；（3）利用导数方法证明不等式()()x gxf>在区间D上恒成立的基本方法是构造函数()()()xgxfxh-=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（4）定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”. 试题解析：（1）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--， (1)分由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分（2）2()e (2)x f x x x -=+．（3）∵11(1)n n a a n+=+，∴11n na n a n++=，又11a =，∴2n ≥时，321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-，对1n =也成立， ∴n a n =．……………………………10分∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->， ∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=．又∵1()i f nn⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()i f n，宽为1n的小矩形的面积，∴11()()i n i nif f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a a a n f f f f f f f x dx n nnn n n nn --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰．…… 12分又由（2），取1t =，得23()()(1)ef xg x x x ≤=-++，∴113210011313()()(1)32e62ef x dxg x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62en f f f n nnn -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦， ∴11213()()()62e n a a a f f f n nnn -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分考点：1、导数的几何意义；2、恒成立的问题；3、证明不等式.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（1）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（2）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程．【答案】（1）1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭；012=++y x 【解析】试题分析：矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个n m ⨯的矩阵就是n m ⨯个数排成m 行n 列的一个数阵.由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型.矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x d c b a ，列方程组求得. 试题解析：（1）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''，则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2130M ⎛⎫=⎪⎝⎭．…………………………………………1分又det()3M =-， ∴1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分（2）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''，则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩ (5)分∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分考点：1、求逆矩阵；2、矩阵的应用.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数）, 圆C的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．【答案】（1）222(((0)x y r r +=>；（2）1. 【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：（1）直线l 的直角坐标方程为x y +=，………………………………………2分圆C 的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>．………………………… 4分（2）∵圆心(22C -，半径为r ，………………………………………5分圆心C 到直线x y +=2d ，………………………6分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴321r =-=．………………………………………7分考点：1、极坐标方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|5||3|f x x x =-+-.（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b 满足11a b +=2212m a b+≥. 【答案】（1）2=m ；（2）证明略.【解析】试题分析：（1）不等式的b a b a b a +≤+≤-在求最值方面的应用；（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

高三毕业班总复习立体几何形成性试题(理).docx

一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 设m,n 是两条不同的直线，a,B 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）【答案】D【解析】可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对,故选D.2. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（(D) 8\2【解析】由斜二测画法可知，原图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2,在斜二测图形中OB’ = 2返且ZBOA = 45。

，那么在原图形中，ZBOA = 90。

且OB = 4\2. 因此，原平面图形的面积为2 x 4\2 = 8\/2,故选D.3. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式V =秽l?h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率TI 近似取为3,那么近似公式v =売l?h ，相当于将圆锥体积公式中的TT 近似取为（）、22 A. 7 【答案】B【解析】V = |nr 2h = j^L 2h» 若V « ^L 2h» 则— n =罟.①若n 丄a, a 丄B,则n//B②若n 丄a,a//B,n u B,则n 丄n ③若n u a,n u B,m//n,贝阪〃B ④若n 丄a,n 丄B,m 丄B,则n 丄a ⑷①②（B ）③④ （C ）①③ （D ）②④D. 355 113⑻ 2\ 2 (C) 4\/3 【答案】D故选B.4. 如图4,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD, AB = 2,若该四棱(A) 3 ⑻扌 (° 2\3(D)|【答案】B 【解析】试题分析：连结AC,BC 交于点已収PC 的中点O,连结0已则OE//PA,所以0E 丄底血ABCD,则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，半径为 R =扌PC = I^PA 2 + AC 2= l^'PA 2 + 8'所以球的体积为訊(扌J P A ： + 8「=弓尹’解得 PA =扌，故选B.考点：球的内接多面体；求的体积和表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了四血体的外接球的体积公式、球内接四棱锥的性质等知识的应用，同时考查了共定理的运用，解答值需要认真审题，注意空间思维能力的配用，解答中四棱锥的外接球是以0为球心，半径为R = 8^利用体积公式列岀等式是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5. 如图5,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的儿条棱中，最长的棱的长度为( )(A) 6\2 (B) 4V '2 (0 6 (D)4【答案】C锥的所有顶点都在体积为学同一球面上，贝IJPA =原儿何体为三棱锥D-ABC,其中AB = BC = 4,AC = 4^2,DB = DC = 2\5, DA = J(4迈f + 4 = 6，故最长的棱的长度为DA = 6,选C点睛：对于小方格中的三视图，可以放到长方体，或者正方体里面去找到原图，这样比较好找；6. 二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB = 4, AC = 6, BD = 8, CD = 2\17,则该二面角的大小为（）(A) 150 °(B )45 ° (C) 60 ° ⑴)120 °【答案】C 【解析】由条件知XX •忑=0,忑•丽=0, CD = CA + AB + BD-• ------- 2 ---------- ? ------------- 2 -------------- ? -------------- -------- -- ----------- - -------- ---------- - ------・・|CD| = |CA| + |AB| + |BD| + 2CA ・ AB + 2AB ・ BD + 2CA ・ BD =62 + 42 + 824- 2 x 6 x 8cos(CA,BD) = (2\17)2-.••cos(CA z BD) = -p (CA,BD) = 120 °，•:二面角的大小为60° ；故选C.7. 河堤斜面与水平面所成角为60 °，堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿着这条直道从堤角向上行走到20m 时，则人升高了（）⑷ 15m⑻ 10m (0 10\.3m (D) 5\3m【答案】D作直线AB 所在的水平面的垂线EG,垂足为G,【解析】如图所示则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF丄AB.垂足为F,连接FG ,由三垂线定理的逆定理，知FG丄AB.因此，ZEFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，ZEFG = 60°•由此得:EG = EFsin60 ° = CEsin30 ° sin60 °= 20 x j x y = 5\3 （m）点睛：理解题意，人升高，指的是竖直距离升高了多少，所以要构造地面的垂直线段；8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）白］&倍視图(A) 16 + 8n (B) 8 + 8n(0 16 + 16n (D) 8 + 16n将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解.原几何体为组合体;上面是长方体，下面是圆柱的一半（如图所示）, 其体积为V = 4 x 2 x 2 + |n x 22 x 4 = 16 + 8n.故选A;9. 己知H 是球O 的直径AB 上一点,AH 汨B = 1:3,AB 丄平血a, H 为垂足,a 截球O 所得截面的面积为TT ,则球O 的体积为()【答案】B设球O 的半径为R ,则AH = p OH = | .又・・•截面的面积为TT ,・・・EH = 1 .・・•在RtAOEH 中，R 2 =(》2+ 1，・・・R =萼. •••故体积v = |n(^)3 = 網点睛：运用球当中的垂面定理，构造勾股定理，求出球的半径；10. 已知正四棱锥S —ABCD 屮，SA = 2\,3，当该棱锥的体积最大时，它的高为()(A)l(B) \,3 (C)2 (D)3【答案】C 【解析】设h 二SO,则OA =、匕一"，所以底面边长为Q24-2h 2,所以V = |(24-2h 2)h = |(12-h 2)h ，令V = |(12-3h 2) = 0得,h = 2,故当 h=2 时，该棱锥的体积最大.所以选C11. 如图，四边形ABCD 中，AB = AD = CD = 1, BD = \庁，BD 丄CD.将四边形ABCD 沿(B) 32』3TTH(A )16n 9对角线BD折成四面体A BCD，使平面A BD丄则卜列结论正确的是（）•（A）AC 丄BD ⑻ ZBAC = 90 °（C） CA与平面A BD所成的角为30 °⑴）四面体A BCD的体积为扌【答案】B【解析】考点：异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：计算题.分析：根据题意，依次分析命题：对于A可利用反证法说明真假，若A成立可得BD丄A，D, 产生矛盾；对于C由CA'与平面A' BD所成的角为ZCA' D=45。

福建省宁德市高中毕业班质量检查理科数学试题.docx

2. 3. i 为虚数单位，则复数——在复平面内对应的点位于1 + zA.第一象限B.第二象限在等比数列｛色｝中,若a 1=l,a 4=8, A. 56 B ・ 63C.第三象限D. 则该数列的前6项和为C. 127D. 4. 5. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为 A. — 1 或 1 B. —2 或 0 C. —2 或 1 D. — 1 或 0兀2 v 2若抛物线y 2 = 2px 的焦点与双||||线二_2_ = 1的6 36. 右焦点垂合，则p 的值为 A. 3 B. 6设0为直线2的方向向量，则a-n = 0是///Q 的 A.充分非必要条件 C.充要条件右图是一个多面体的三视图,C. A /3D. 2V3 n 为平面Q 的法向量， A. V3 B. C. A /3 + 6D.B.必要非充分条件D.既非充分也非必耍条件则其全面积为£2 x/3 + 4r 福建省宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：心1.材题前，考牛先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 考生作答时，将答案答在答题卡上。

请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超岀答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

3. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5亳米的黑色中性（签字）笔或碳酸笔书写，字体工整、笔迹清是。

4. 做选考题时，考牛•按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答案题卡上把所选题目对应的题号涂里。

八、、o5. 保持答题卡卡而的清楚，不折證、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一•并交回。

参考公式：锥体的体积公式：V=-Sh,其中S 为底面面积，/?为高；3球的表面积、体积公式：S=4龙厂彳，v=-7rr\其中厂为球的半径。

高考数学压轴专题宁德备战高考《平面向量》经典测试题含答案解析

《平面向量》考试知识点一、选择题1．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（）A ．1162DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r B ．1134DF AB AC =--u u u r u u u r u u u rC ．3142DF AB AC =-+u u u r u u u r u u u rD ．1126DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】设AB AF λ=u u u r u u u r，由平行四边形法则得出144AE AF AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD =-u u u r u u u r u u u r，即可得出答案. 【详解】设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u ur u u u r r u u u r u u u r因为C E F 、、三点共线，则1=144λ+，=3λ所以1111132262DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.2．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为（） A ．45° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】【分析】设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为cos =4BD α-u u u r，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．【详解】312AB AC ==，D 是AC 的中点，则4AC =，2AD DC ==，向量BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-，设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为θ，则cos =4BD α-u u u r，∴()cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA ACBA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB ACα⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u ru ur r u，故夹角为120°，故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.3．下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．4．若向量a b r r，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．12-B．12C ．32D ．3-【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3b a b π=r r r ，所以b a =r r .又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r，即20t a a b ⋅+⋅=r r r . 所以2221122ba b t a b⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.5．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v（）A ．23B ．32C ．33D ．3【答案】D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r，∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．6．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（）A ．4B ．6C ．23D ．43【答案】B 【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．7．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（） A ．0B ．1C 2D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.8．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r在向量BC uuu r 方向上的投影为（）A ．2B ．32C ．1D ．3【答案】A 【解析】【分析】由1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r，然后套用公式向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||AF BCBC ⋅=u u u r u u u ru u u r ，即可得到本题答案. 【详解】因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又因为EF BC ⊥，所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||AF BCBC ⋅=u u u r u u u ru u u r . 故选：A. 【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.9．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C 【解析】【分析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr10．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且222a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r的取值范围（） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞ C ．(0,4) D ．(2,4)【答案】A 【解析】【分析】根据AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u ru u u ru u u r，从而有2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r求解. 【详解】因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，又因为()()()222222EF a b b a a b =-++=+=u u u r ，所以24AB DC EF +==u u u r u u u r u u r，因为AB 不平行于CD ，所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以||||4AB DC +>u u u r u u u r.故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】以,BA BC u u u r u u u r为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.12．如图，已知1OA OB ==u u u v u u uv ，2OC =u u u v ，4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+，则mn等于（）A ．57B ．75C ．37D ．73【答案】A 【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可．【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ=210，sin θ=7210,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ）即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =，故选A ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．13．已知向量(b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（） A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A 【解析】【分析】设(),a x y =r 6=-，()4x λ=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴6a b b⋅==-r rr 即12x +=-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ++=，∴()4x λ+=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.14．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.15．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v（） A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-【答案】D【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =u u u r u u u r ，则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u u r u u u r ）＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u u r u u u r ） 1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．16．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，m n →→-=n →=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可.【详解】设||n x →=，因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒，所以2213m n x x →→-=-+=，即220x x --=，解得2x =，或1x =-（舍去），所以2n →=.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.17．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（）A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D【解析】【分析】计算25AC a b =+u u u r r r ，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案. 【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r ，即()253a b a mb λ+=+r r r r ， ∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D .【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v ，则（） A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v B ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v C ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v D ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v 【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】 Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ， ∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.19．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u u ur u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（）. A ．3B ．23C ．2D ．3 【答案】D【解析】【分析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r ，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.20．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B【解析】【分析】取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r 代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（理科）
平面向量与复数
宁德市数学组
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设i 为虚数单位，则复数2i 1i
-在复平面内所对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限
（2）设i 为虚数单位，则2
(1i)1+i -=（）（A ）1i -- （B ） 1i + （C ）i - （D ）i
（3）平面向量(1,2),(4,2),()m m ===+∈R a b c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（）
（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2
（4）设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1i z =+，则+iz i
z = （）（A ）2- （B ）2i - （C ） 2 （D ）2i
（5）已知,a b 是单位向量，0⋅=a b .若向量c 满足1,--=c a b 则c 的取值范围是（）
（A
）1⎤⎦
（B
）2⎤⎦
（C ）1⎡⎤⎣⎦
（D ）2⎡⎤⎣⎦
（6）如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是弧AB 的三等分点， ,M N 是线段AB 的三等分点，若6OA =，则MD NC ⋅的值是（）
（A ）2 （B ）10 （C ）26 （D ）28 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

（7）已知i 为虚数单位，复数32i 23i +-的模为_______ . （8）已知向量(1,1),(1,1)==-a b ，若k -a b 与a 垂直，则实数k 的值是 .
（9）复数2i 1+2i
a -（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值是．（10）已知梯形ABCD 中，1//,,2A B D C A D
D C C B A B P ===是BC 边上一点，且AP xAB yAD =+.当P 在BC 边上运动时，x y +的最大值是．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（11）（本小题满分10分）
已知复数1i z =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，若22(2)az bz a z +=+成立，求实数,a b 的值.
（12）（本小题满分15分）
已知a ，b 是两个单位向量．
（Ⅰ）若|32|3-=a b ，试求|3|+a b 的值；
（Ⅱ）若a ，b 的夹角为60，试求向量2=+m a b 与2-3=n b a 的夹角.
（13）（本小题满分15分）
已知向量(1)=a ,1
(,2=b ,存在非零实数k 和t ，使得向量2(3)t =+-x a b ，k t =-+y a b ，且⊥x y ．问2
k t t
+是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，说明理由.
2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（理科）
平面向量与复数（参考答案）
宁德市数学组
一选择题。

1. 【答案】B. 解析：由题意22(1)2211(1)(1)2
i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.
2. 【答案】A. 解析：2(1i)i(1-i)11+i
i -=-=--，故选A. 3. 【答案】D. 解析：由c a c b
c a c b ⋅⋅=得=2m =，故选D. 另解：OA 、OB 关于直线y x =对称，故点C 在直线y x =上，2m =，故选D.
4. 【答案】C.
解析：1i +iz (1)112i z i i i i i
+=+-=-++=，故选C. 5. 【答案】A.
解析：设(1,0)=a ， (0,1)=b ，(,)x y =c ，则22
(1)(1)1x y -+-=. 设1cos ,x α=+
1sin y α=+，则==c 11≤≤c ，故选A.
另解：由+=
a b ()1-+=c a b 1≤≤c ，故选A. 6. 【答案】C.
解析：MD MO OD =+，NC NO OC =+,所以()()MD NC MO OD NO OC MO NO MO OC ⋅=++=⋅+⋅
4121826OD NO OD OC +⋅+⋅=-++=.
另解：以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(2,0)N 、(2,0)M -
、(3,C
、(3,D -
，(1,MD =-
，(1,MC =，故26MD MC ⋅=，故选C.
二填空题。

7.
解析：因为32i (32i)(23i)i,23i 23i 23i)
+++==--+（）(所以其模为1.
另解：32i 32i 123i 23i ++==-- 8. 【答案】0.
解析：(1,1)k k k -=+-a b ，()1120,0k k k k k -⋅=++-===a b b
9. 【答案】4. 解析：2i (2i)(1-2i)422i 1+2i (1+2i(1-2i))55a a a a ---+==-212a i i
-+，因复数2i 1+2i a -（i 是虚数单位）是纯虚数，故405220
54=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≠+=-a a a 10. 【答案】32
. 解析：设BP tBC =，则AP AB BP AB tBC =+=+()AB t BA AD DC =+++
1(1)2t AB t AD =-+，故13122
x y t +=+≤．三解答题。

11．解：由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：
(1i)2(1i)a b ++-[]22(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()2
2a =+44(2)i a -++
则()222424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎪⎨-=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩. 12．解：（1）a ，b 是两个单位向量，||||1∴==a b ，又|32|3-=a b ，
229||124||9∴-⋅+=a a b b ，即13
⋅=a b ．
|3|∴+===a b
（2）||m ====
||====n 227(2)(23)2||6||2⋅=+⋅-=+⋅-=-
m n a b b a b a b a ， 7
1cos
||||2θ-⋅===-m n m n ，0180θ≤≤，∴夹角120θ= 13．解：由已知得, 2=a ，1=b ，0⋅=a b ．由⊥x y 得, 2[(3)]()0t k t +-⋅-+=a b a b ，即23(3)(3)0k t k k t t t -⋅+-++⋅+-⋅=a a a b b b ，
所以3
430k t t -+-=，334t t k -=，所以2217(43)44
k t t t t +=+-≥- ，所以当2t =-时, 2k t t
+有最小值74-.。