高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)(平面向量与复数——宁德市数学组供稿)(附答案)
高考数学平面向量及复数专项训练试题、参考答案
高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 （ ）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是 （ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是 （ ） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为 （ ） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是 （ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。
福建宁德2019高中毕业班单科质量检查-数学(理)
福建宁德2019高中毕业班单科质量检查-数学（理）数学〔理科〕试题本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题)两部分.本卷总分值150分，考试时间120分钟.本卷须知1. 答题前，考生先将自己的姓名、准葡正号填写在答题卡上.2. 考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答親示号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清晰.参考公式：第I卷〔选择题共50分〕—、选择题：本:^共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 假设集合，，那么A. B. C. M = N D.2. 假设a,b是向量，那么"a=b”是“|a|=|b|”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，假设终边通过点，那么等于A. B. C. D.4. 一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如右图所示，那么那个三棱柱的侧视图的面积为A. B. 2 C. D. 45. 以下函数f(x)中，满足"！且"的是A. B. , C. D.6. 曲线y2=x与直线y= x所围成的图形的面积为A. B. C. D.7. m，n为两条不同直线，为两个不同平面，直线平面a,直线平面，给中正确命题为A.①③B.②③C.②④D.①④8. 平面上动点P到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y-1,那么他的建系方式是9. 在中，，且，那么AC+2AB的最小值为A. B. C.4D.10. 假设函数f(x)关于任意，恒有为常数〕成立，那么称函数f(x)在[a,b]上具有”T级线性逼近”给出以下函数：①.；②；③；④那么在区间[1,2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为A.1B.2C.3D.4第II卷〔非选择题共100分〕【二】填空题:本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11. 假设、,其中，i是虚数单位，那么a=_______12.运行右图所示的程序，输入3，4时，那么输出______.13.假设直线x-y+t=0与圆，相交所得的弦长为，那么t的值等于______.14. 变量x，y满足约束条件假设目标函数仅在点(3，0)处取得最大值，那么实数a的取值范围为______.15. 某种平面分形如下图所示，一级分形图是由一点动身的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端动身再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°;......；依此规律得到n级分形图，那么n级分形图中所有线段的长度之和为.______【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.16. (本小题总分值13分〕二次函数为偶函数，且.(I)求函数f(x)的解析式；(II)假设函数在区间[-2,2]上单调递减，求实数k的取值范围.17. (本小题总分值13分〕函数，的最小正周期为.(I)求函数y=f(x)的最值及其单调递增区间；(II)函数f(x)的图象能够由函数的图象通过怎么样的变换得到？18. (本小题总分值13分〕椭圆的左焦点为F,右顶点为A，离心率.(I)假设点F在直线l:x-y+1=0上，求椭圆E的方程；(II)假设0<a<1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得假设存在，求出点P的个数；假设不存在，请说明理由.19. (本小题总分值13分〕如图〔1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD,,CD=2AB=2,,E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形，如图〔2).(I)求证：；(II)线段上是否存在点M，使得E M//平面DB'B,假设存在，确定点M的位置；假设不存在，请说明理由；(III)求平面与平面所成的锐二面角的大小.20. (本小题总分值14分〕一学生参加市场营销调查活动,从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料.资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台(t为常数)，期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台.(I)假设商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量.(II)假设11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数.21. (本小题总分值14分〕函数•(I) 当a>0时，求函数.的极值；(II)假设存在，使得成立，求实数a的取值范围；(III)求证：当x>0时，.(说明：e为自然对数的底数，〕。
2019年宁德市普通高中毕业班质量检查数学(理科)试卷
2019年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考公式：第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：1．若集合{}0,1,2,3A =，{}0,1B=，{C x x A =∈且}x B ∉，则集合C 等于 A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}1,2,3D ．{}0,12．若各项均不为零的数列{}n a 满足*12()n n a a n N +=∈，则4321a a a a ⋅⋅的值等于 A ．4 B ．8 C ．16 D ．643．设i 为虚数单位，,a b 为实数，则“0ab <”是“复数i(i)z a b =+在复平面上对应的点在第一象限”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 4．已知三次函数()y f x =的图象如右图所示，则该函数的导函数的图 象是5．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若01,2,120a b C ===，则sin sin AC的值为 A B C D6．将函数()sin f x x x =-的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 7．若在边长为4的等边三角形OAB 的边OB 上任取一点P ，则使得6OA OP ⋅≥的概率为A ．34B ．23C ．13D ．148．已知函数()2xf x =，若存在x ∈R ，使得不等式12()()f x k f x +≤成立，则实数k 的最小 值是A ．3B ．C ．2 D9．设不等式组10,2,0x y x y --≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积为1S ，若2221log S xdx =⎰，则1S 与2S 满足A ．12102S S <-<B ．12112S S <-<C ．12102S S -<-<D ．12112S S -<-<-10．将双曲线222x y -=绕原点逆时针旋转45后可得到双曲线1y x=．据此类推可求得双曲线41x y x -=-的焦距为 A ． B ． C ．4 D ．第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．2019年1月9日，是中国承诺全面履行世界卫生组织 《烟草控制框架公约》在公共场所实现全面禁烟的最后 期限．右图为某社区100名志愿者在2019年12月参 加社区控烟活动的次数统计条形图，则该100名志愿 者在2019年12月参加社区控烟活动的人均次数x = ．，，(n x x ++- A B C D俯视图正视图侧视图12 为______________．13．若圆C ：22264390x y x ay a ++-++=（0a ≠的点均在第二象限内，则实数a 14．若6560156(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-++-+-，则5a =____________．15．由方程21x x y -=所确定的,x y 的函数关系记为()y f x =.给出如下结论：① ()f x 是R 上的单调递增函数；②对于任意x ∈R ，()()2f x f x +-=-恒成立；③存在0(1,0)x ∈-，使得过点(1,(1))A f ，00(,())B x f x 的直线与曲线()y f x =恰有两个公共点． 其中正确的结论为 (写出所有正确结论的序号) ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)已知函数2()sin 2cos 2cos sin sin (0)f x x x ϕϕϕϕ=+⋅-<<π在2x π=处取得最值． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若数列{}n x 是首项与公差均为4π的等差数列，求122011()()()f x f x f x +++的值．17．(本小题满分13分)如图，矩形ABCD 所在的平面与平面AEB 垂直，且120BAE ∠=，4AE AB ==，2AD =，,F G H,分别为,,BE AE BC 的中点．（Ⅰ） 求证：直线DE 与平面FGH 平行；（Ⅱ）若点P 在直线GF 上，且二面角D BP A -- 的大小为4π，试确定点P 的位置．A BC DEFGH（背面还有试题）18．(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，:220l x y +-=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ． （Ⅰ）若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若线段．．AB 上存在点P 满足122PF PF a +=，求a 的取值范围．19．(本小题满分13分)某慈善机构举办一次募捐演出，有一万 人参加，每人一张门票，每张100元. 在 演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖 从这一万张票根中随机抽取10张，其持 有者获得价值1000元的奖品，并参加第 二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获 奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个 数x ，y （x ，{1,2,3}y ∈），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中， 求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．20．(本小题满分14分)已知函数2()4ln f x ax bx c x =+++的极值点为1和2． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）试讨论方程2()3f x x =根的个数； （Ⅲ）设2113()()442h x f x x x =-+，斜率为k 的直线与曲线()y h x =交于11(,),A x y 22(,)B x y 12()x x <两点，试比较1k与122x x +的大小，并给予证明．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵13a M d ⎛⎫= ⎪⎝⎭有特征值1λ=-及对应的一个特征向量113⎛⎫= ⎪-⎝⎭e ． （Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）设曲线C 在矩阵M 的作用下得到的方程为2221x y +=，求曲线C 的方程． （2）(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为221,21x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （t 为参数），若圆P 在以该直角坐标系的原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为24cos 30ρρθ-+=． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和圆P 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 是曲线C 上的动点，点B 是圆P 上的动点，求AB 的最小值． （3）(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12f x x x =++-，不等式()t f x ≤在R 上恒成立． （Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）记t 的最大值为T ，若正实数,,a b c 满足222a b c T ++=，求2a b c ++的最大值．2019年宁德市高三质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1.B 2.C 3. B 4. A 5.B 6.A 7.D 8.A 9.C 10.D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分. 11.2.3 12.43π 13. (0,3) 14. 6 15. ①②③ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、诱导公式、三角函数的图象和性质、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分13分. 解：（Ⅰ）2()sin 2cos (2cos 1)sin f x x x ϕϕ=+-⋅sin 2cos cos 2sin x x ϕϕ=+sin(2)x ϕ=+. …………………3分由已知得,2k k ϕππ+=π+∈Z ，又0ϕ<<π，∴2ϕπ=. .…………………5分 ∴()f x sin(2)cos 22x x π=+=．T =π. …………………7分（Ⅱ）由已知得(1)444n n x n πππ=+-=， …………………8分 ∴1234()()()()0f x f x f x f x +++=， …………………10分又∵cos2n y π=的周期为4， ∴1220102011()()()()f x f x f x f x ++++200920102011123()()()()()()f x f x f x f x f x f x =++=++cos cos cos 122π3π=+π+=-． …………………13分17. 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分. （Ⅰ）证明：取AD 的中点M ，连结MH ，MG ． ∵,G H 分别是,AE BC 的中点， ∴//,//MH AB GF AB ，∴M ∈平面FGH ，…………………3分又//MG DE ，且DE ⊄平面FGH ，M G ⊂平面FGH ， ∴//DE 平面FGH ．…………………6分（Ⅱ）解：如图，在平面ABE 内，过A 作AB 的垂线，记为AP ，则AP ⊥平面ABCD .以A 为原点，AP 、AB 、AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立建立空间直角坐标系A xyz -.∴(0,0,0),(0,4,0),(0,0,2),2,0),1,0),,0)A B D E G F --. ∴(0,2,0)GF =，(0,4,2)BD =-，(35,0)BG =-． …………………8分 设(0,2,0)GP GF λλ==，则(35,0)BP BG GP λ=+=-. 设平面PBD 的法向量为1(,,)x y z =n ， 则110,0,BP BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ∴(25)0,420.y y z λ+-=-+=⎪⎩取3y ，得z =52x λ=-，∴1(52λ=-n ．又平面ABP 的法向量为2(0,0,1)=n ， .…………………11分∴121212cos ,⋅===⋅n n n n n n ， 解得1λ=或4.故GP GF=或4GP GF =（P 或P ）. …………………13分18. 本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、探究意识，考查数形结合思想、函数与方程的思想、化归与转化思想．满分13分.解法一：，故a =， …………………1分 由(2,0)A ，得2a =，∴b =， …………………4分 所以所求的椭圆方程为22142x y +=. …………………5分（Ⅱ）由e =，可设椭圆方程为222212x yb b+=， 联立22221,2220x y b b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22322202x x b -+-=， …………………7分已知线段AB 上存在点P 满足122PF PF a +=，即线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程22322202x x b -+-=在[0,2]x ∈上有解.………………9分 ∴22223324222()2233a b x x x ==-+=-+，由[0,2]x ∈，故2443a ≤≤， 故所求的a2a ≤≤. …………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）由e =，设椭圆方程为222221x y a a+=，联立222221,220x ya ax y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得226840y y a -+-=， …………………7分 已知线段AB 上存在点P 满足122PF PF a +=，即线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程226840y y a -+-=在[0,1]y ∈有解. …………………9分设22()684f y y y a =-+-，∴0,(0)0(1)0,f f ∆≥⎧⎨≥≥⎩或，解得2224,34020,a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≥-≥⎩或 ∴2443a ≤≤， 故所求的a2a ≤≤. …………………13分 19. 本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识，考查化归与转化思想、或然与必然思想．满分13分.解:（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9个， …………………2分设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A ， 且事件A 所包含的基本事件有(3,1),(3,3)共2个， ∴2()9P A =. …………………4分 （Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为100,900,9900-. …………………5分 999(100)1000P ξ=-=，177(900)100099000P ξ==⋅=， 122(9900)100099000P ξ==⋅=． ∴ξ的分布列为8分∴99972100900990097100090009000E ξ=-⨯+⨯+⨯=-． …………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为97-. ∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，∴该机构此次收益期望为9710000970000⨯=元=97万元， ∵9796>，∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标. …………13分20. 本题考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想．满分14分.解：（Ⅰ）2424()2ax bx f x ax b x x++'=++=，(0,)x ∈+∞，……………… 1分由()y f x =的极值点为1和2， ∴2240ax bx ++=的根为1和2， ∴240,8240.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩……………………3分2264ln c x x x =+-，设2()264ln g x x x x =+-， (0,)x ∈+∞.242(232)2(21)(2)()46x x x x g x x x x x+--+'=+-==， ………………5分 当x 变化时，'()g x 与()g x 的变化情况如下表：由此得，函数()y g x =的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞.…6分∴min 1117()264ln 4ln 24222g x =⨯+⨯-=+，且当x 正向趋近于0时，()g x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞. ………………7分 ∴当74ln 22c =+时，方程只有一解；当74ln 22c >+时，方程有两解；当74ln 22c <+时，方程无解. ………………9分（Ⅲ）1212x xk +<. ……………10分证明：由（Ⅰ）得2()64ln f x x x c x =-++，∴2121ln ln ()ln ,4x x ch x x k x x -=+=-，210x x >>.要证1212x x k +<，即证211221ln ln 2x x x x x x -+<-， 只需证221121112ln x x x x x x -+<，（因为22111,ln 0x xx x >>） 即证2212112(1)ln1x x x x x x ->+．只需证2212112(1)ln 01x x x x x x -->+．（*）…………………12分设2(1)()ln x x x ϕ-=-(1)x >， 2'2214(1)()0(1)(1)x x x x x x ϕ-=-=>++，∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()(1)0x ϕϕ>=，∴不等式（*）成立. ∴1212x xk +<． ………………… 14分 21.（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：（Ⅰ）13a d ⎛⎫⎪⎝⎭13⎛⎫ ⎪-⎝⎭1=-⨯13⎛⎫ ⎪-⎝⎭=13-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴31,33 3.a d -=-⎧⎨-=⎩ 解得2,0.a d =⎧⎨=⎩∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………………4分 （Ⅱ）设点(,)A x y 为曲线C 上的任一点，它在矩阵M 的作用下得到的点为(,)A x y '''， 则2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩ 代入2221x y +=得()2222(3)1x y x ++⋅=，所以所求的曲线方程为222241x xy y ++=. .…………………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为210(1)x y x --=≥， 圆P 的直角坐标方程为22(2)1x y -+=. …………………4分（Ⅱ）求AB 的最小值可转化为求PA 的最小值.该射线的反向过圆心P 作射线210(1)x y x --=≥的垂线，垂足E 在延长线上，当点A 在射线的端点时，PA=此时EA 的长最小，故此时PA 取最小值.1. …………………7分（3）本题主要考查利用绝对值不等式的基本性质求解和证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分． 解：（Ⅰ）()12(1)(2)3f x x x x x =++-≥+--=，()3f x ∴=. …………………2分不等式()t f x ≤在R 上恒成立，min ()3t f x ∴≤=， t 的取值范围为(,3]-∞. …………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得max 3T t ==，由柯西不等式得：2222222(2)(121)()18a b c a b c ++≤++++=，2a b c ∴++≤ …………………5分当且仅当121a b c ==即a b c ==时，2a b c ++的最大值为 …………………7分。
2019年宁德市普通高中毕业班第一次质量检测理科数学答案
法二：由余弦定理得， 2c 3b 2a
b 2 c 2 a 2 3bc ，
a 2 c 2 b2 ，………………………………1 分 2ac
cos A
an 3n ．……………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， a2n1 32n1 ， bn log3 32n1 2n 1 ，……………………7 分
1 1 1 1 1 ，……………………8 分 bn bn1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
（Ⅱ）由正弦定理得：
a b c 7 2 7 ，………………………………7 分 1 sin A sin B sin C 2
5 3b c 2 7 3 sin B sin B 6
3 1 2 7 B ．………………………………9 分 2 sin B 2 cos B 2 7 sin 6
B 0, ,sin B 0 ，
cos A 3 ， 2
A 0, ，∴ A 6．………………………………3 分
由余弦定理得： 7 b2 3 2 3
3 b ，………………………………4 分 2
b2 3b 4 0 ， b 4 b 1 0 ， b 4 （负值舍去），………………………………5 分
C
y
2
2
B
x
易得平面 PAC 的一个法向量为 n1 (0,1, 0) ，………………… 10 分 ∴设平面 PAB 的一个法向量为 n2 ( x, y, z ) ， 又 AB (2, 2 3,0) ， AP (1,0, 3) ，
福建省宁德市普通高中高三下学期毕业班第二次质量检查数学(理)试题
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若向量a(3,)m =，b (2,1)=-，b a //，则实数m 的值为A ．32- B ． 32C ．2D ．6【答案】A 【解析】试题分析： //，m 23=-∴，得23-=m ，故答案为A. 考点：平面向量平行的应用.2.若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：{}{}0|12|>=>=x x x A x ，{}{}1|0lg |>=>=x x x x B ，由A x ∈不能推出B x ∈，由B x ∈能推出A x ∈，“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，故答案为B. 考点：充分条件、必要条件的判断.3.已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅= A ． 6 B ． 18 C ．24D ．36【答案】D 【解析】试题分析：61222412=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x C T ，65=∴a ，365573=⋅=⋅∴a a a a ，故答案为D.考点：1、二项式定理的应用；2、等比数列的性质.4.若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --上的偶函数，则该函数的最大值为 A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 【答案】A考点：1、偶函数的应用；2、二次函数的最值.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入 的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B 【解析】试题分析：第一次执行循环体后，1,2==n S ，继续执行循环体，第二次执行循环体后，2,5==n S ，继续执行循环体，第三次执行循环体后，3,10==n S ，继续执行循环体，第四次执行循环体后，4,19==n S，在直线循环体，输出的值大于20，不符合题意，i 的最大值4，故答案为B. 考点：程序框图的应用.6.已知某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从正态分布11(90,86)N ξ和22(93,79)N ξ，则以下结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定 【答案】C 【解析】试题分析：第一次测试的平均分90=x ，862=σ；第二次测试的平均分93=x ，792=σ，因此第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故答案为C. 考点：正态分布的应用.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为 A．2 D【解析】试题分析：双曲线的左焦点()0,1c F -，得x ab y ±=，当c x -=，得c ab y ±=由于以AB 为直径的圆恰过点2F ，因此2ABF ∆是等腰直角三角形，因此211F F AF =，即c c ab 2=，a b 2=∴，a b a c 522=+=∴，5==∴ace ，故答案为D. 考点：双曲线的简单几何性质.8.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ． 2日和5日 B ． 5日和6日 C ． 6日和11日 D ． 2日和11日 【答案】C 【解析】试题分析：这12天的日期之和，()7812121212=+=S ，甲、乙、丙的各自的日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C. 考点：等差数列的前n 项和.9.若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x 的最小值为A ．2-B ．1-C ．13- D ．0【解析】试题分析：方程023=+--a x x x 有三个实根，函数a y =与函数x x x y ++-=23的图象有三个交点，由图象可知，直线a y =在AB 之间，有3个交点，当直线过点B 时，此时1x 最小，由于01232=++-='x x y得31-=x 或1=x ，因此点()1,1B ，令123=++-x x x 化简得()()0112=+-x x ，1x 的最小值1-.考点：方程的根和函数的零点.10.如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．1233VV ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ 【答案】D侧视图正视图试题分析：几何体如图所示，此时几何体的体积最大，322131=⋅⋅=V ，让另外两个侧面退化为光滑的曲面并且逼近两个三角形侧面时，体积逐渐趋向于0，故320≤<V ，故答案为D.考点：由三视图求体积.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 11.复数iiz +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________． 【答案】2. 【解析】 试题分析：ii z +=1()()()i i i i i -=--+=11，在复平面上对应的点()1,1-，到原点的距离2.考点：复数的四则运算和概念.12.设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率为 ． 【答案】31. 【解析】试题分析：a 的可能取值6,5,4,3,2,1，共有6种情况，方程02=++a ax x 有两个不等实根，042>-=∆a a ，解得4>a 或0<a ，此时5=a ，或6=a ，有2种情况，所求事件的概率3162==P . 考点：利用古典概型求随机事件的概率. 13.若关于x ，y的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为 ．【答案】1-或0. 【解析】试题分析：由于不等式组表示的平面区域是直角三角形，当0=k 时，平面区域是直角三角形，当01=+-y kx 与直线x y =垂直时符号题意，此时1-=k.考点：线性规划的应用.14.若在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()()3,11,3 --. 【解析】试题分析：在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，圆()422=-+a y x 与圆122=+y x 相交，两圆的圆心距ad =，则1212+<<-a ，因此a 的取值范围()()3,11,3 --.考点：1、圆的标准方程；2、圆与圆的位置关系.15.ABC ∆中，3π=∠A ．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =，则当AD 取最小时，BD 的长为 ． 【答案】3.考点：1、基本不等式的应用；2、余弦定理的应用.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. (本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos sin )A θθ，．（1）求点A 的坐标；（2）若向量(sin 2,2cos )x θ=m ，(3sin ,2cos2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．【答案】（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53A ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5212,512.【解析】试题分析：(1)熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如x b x a y cos sin +=化为()ϕ++=x b a y sin 22，研究函数的性质；（2）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中Z k k ∈+≠,2ππα；（3）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定；（4）掌握两角差的正切公式及倍角公式.试题解析：（1）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1ta n 7α=，(0,)2απ∈．……………1分∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (6)分∴点A 的坐标为3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分（2）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈-，………………………………………………………12分 ∴函数()f x的值域为12[5-． (13)分考点：1、三角函数的化简；2、同角三角函数的基本关系. 17.(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图． （1）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？【答案】（1）6.143；（2）支持票投给甲队. 【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求中位数，中位数左边和右边的长方形的面积和是相等的；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（1）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=，解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η， 则3(3,)4B ξ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭， 24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分 ∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分考点：1、利用频率分布直方图求中位数；2、离散型随机变量的数学期望. 18. (本小题满分13分) 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA=，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥． （1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．１【答案】（1）证明略；（2）存在这样的点P ，使二面角P A A D --1为6π. 【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键，空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1AO ==2分∴22211A O AD AA +=∴1AO AD ⊥.…………………………………………3分 又1CD AO ⊥，且CD AD D =，∴1A O ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分（2）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则(0,1,0)A -，1A ， (6)分设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(,,)x y z ，∵1AA =，(1,1,0)AP m =+，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧==⎪⎨=++=⎪⎩n n 取1z =，得1n=1),m +．……………………………8分又1A O ⊥平面ABCD ,且1A O ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD .又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD = ∴CD ⊥平面11A ADD .不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos,==n n ，……………………12分解得1m =或3m =-（舍去）．∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分考点：1、直线与平面垂直的判定；2、立体几何的探究性问题. 19. (本小题满分13分)已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分B１线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程;（2）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ， ①求证:直线CD 过定点;②若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点Q ，试探究PQ PQ PAPB+是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．【答案】（1）y x 42=；（2）直线CD 过定点()1,0；PBPQ PAPQ +为定值2【解析】试题分析：（1）抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化，如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线的定义就能解决；（2）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式xyO∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分 ②由（2）①得,直线CD 的方程为1102x y -+=.设:1(1)l y k x +=-，与方程1102x y -+=联立，求得4221Q k x k +=-．……………………………………9分设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+． (10)分∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴11PQ PQPQ PAPB PA PB ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11111QA Bxx x⎛⎫=-+⎪⎪--⎭()11111QA Bxx x⎛⎫=-⋅+⎪--⎝⎭…………………………………………11分()()24212111A BA Bx xkk x x+-+⎛⎫=-⋅⎪---⎝⎭5422215kk-=⋅=-，∴PQ PQPA PB+为定值，定值为2．…………………………………………13分考点：1、抛物线的标准方程；2、圆锥曲线中的定点、定值问题.20.(本小题满分14分)已知函数2()e()xf x x ax-=+在点(0,(0))f处的切线斜率为2．（1）求实数a的值；（2）设3()(eg x x x t t=---∈R）()，若()()g x f x≥对[0,1]x∈恒成立，求t的取值范围；（3）已知数列{}na满足11a=，11(1)n na an+=+，求证：当2,n n≥∈N时11213()()()62enaa af f f nn n n-⎛⎫+++<⋅+⎪⎝⎭（e为自然对数的底数，e 2.71828≈)．【答案】（1）2=a；（2）1≥t；（3）证明略.【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()0,0f处的切线方程，注意这个点的切点，利用导数的几何意义求切线的斜率()20='f；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()xfa≥恒成立()m a xxfa≥⇔，（2）()x fa≤恒成立()m i nxfa≤⇔；（3）利用导数方法证明不等式()()x gxf>在区间D上恒成立的基本方法是构造函数()()()xgxfxh-=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（4）定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”. 试题解析：（1）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--， (1)分由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分 （2）2()e (2)x f x x x -=+．（3）∵11(1)n n a a n+=+，∴11n na n a n++=，又11a =，∴2n ≥时，321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-，对1n =也成立， ∴n a n =．……………………………10分∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->， ∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=．又∵1()i f nn⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()i f n，宽为1n的小矩形的面积，∴11()()i n i nif f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a a a n f f f f f f f x dx n nnn n n nn --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰．…… 12分又由（2），取1t =，得23()()(1)ef xg x x x ≤=-++，∴113210011313()()(1)32e62ef x dxg x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62en f f f n nnn -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦， ∴11213()()()62e n a a a f f f n nnn -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分考点：1、导数的几何意义；2、恒成立的问题；3、证明不等式.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（1）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（2）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程． 【答案】（1）1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭；012=++y x 【解析】试题分析：矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个n m ⨯的矩阵就是n m ⨯个数排成m 行n 列的一个数阵.由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型.矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x d c b a ，列方程组求得. 试题解析：（1）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''， 则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2130M ⎛⎫=⎪⎝⎭．…………………………………………1分又det()3M =-， ∴1103213M -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分（2）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''，则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩ (5)分∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭， 即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分 考点：1、求逆矩阵；2、矩阵的应用.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数）, 圆C的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>． （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．【答案】（1）222(((0)x y r r +=>；（2）1. 【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：（1）直线l 的直角坐标方程为x y +=，………………………………………2分圆C 的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>．………………………… 4分（2）∵圆心(22C -，半径为r ，………………………………………5分圆心C 到直线x y +=2d ，………………………6分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴321r =-=．………………………………………7分考点：1、极坐标方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|5||3|f x x x =-+-.（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b 满足11a b +=2212m a b+≥. 【答案】（1）2=m ；（2）证明略.【解析】试题分析：（1）不等式的b a b a b a +≤+≤-在求最值方面的应用；（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
高三毕业班总复习立体几何形成性试题(理).docx
一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 设m,n 是两条不同的直线，a,B 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）【答案】D【解析】可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对,故选D.2. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（(D) 8\2【解析】由斜二测画法可知，原图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2,在斜二测图形中OB’ = 2返且ZBOA = 45。
，那么在原图形中，ZBOA = 90。
且OB = 4\2. 因此，原平面图形的面积为2 x 4\2 = 8\/2,故选D.3. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系 统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成 一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式V =秽l?h,它实 际上是将圆锥体积公式中的圆周率TI 近似取为3,那么近似公式v =売l?h ，相当于将圆锥体 积公式中的TT 近似取为（）、22 A. 7 【答案】B【解析】V = |nr 2h = j^L 2h» 若V « ^L 2h» 则— n =罟.①若n 丄a, a 丄B,则n//B②若n 丄a,a//B,n u B,则n 丄n ③若n u a,n u B,m//n,贝阪〃B ④若n 丄a,n 丄B,m 丄B,则n 丄a ⑷①②（B ）③④ （C ）①③ （D ）②④D. 355 113⑻ 2\ 2 (C) 4\/3 【答案】D故选B.4. 如图4,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD, AB = 2,若该四棱(A) 3 ⑻扌 (° 2\3(D)|【答案】B 【解析】试题分析：连结AC,BC 交于点已収PC 的中点O,连结0已则OE//PA,所以0E 丄 底血ABCD,则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，半径为 R =扌PC = I^PA 2 + AC 2= l^'PA 2 + 8'所以球的体积为訊(扌J P A ： + 8「=弓尹’解得 PA =扌，故选B.考点：球的内接多面体；求的体积和表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了四血体的外接球的体积公式、球内接四棱锥的性质等知识的应用，同时考查了共定理的运用，解答值需要认真审题，注意空间思维能力的配用，解答中四 棱锥的外接球是以0为球心，半径为R = 8^利用体积公式列岀等式是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5. 如图5,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的儿条棱中，最长的棱的长度为( )(A) 6\2 (B) 4V '2 (0 6 (D)4【答案】C锥的所有顶点都在体积为学 同一球面上，贝IJPA =原儿何体为三棱锥D-ABC,其中AB = BC = 4,AC = 4^2,DB = DC = 2\5, DA = J(4迈f + 4 = 6，故最长的棱的长度为DA = 6,选C点睛：对于小方格中的三视图，可以放到长方体，或者正方体里面去找到原图，这样比较好 找；6. 二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB = 4, AC = 6, BD = 8, CD = 2\17,则该二面角的大小为（ ）(A) 150 °(B )45 ° (C) 60 ° ⑴)120 °【答案】C 【解析】由条件知XX •忑=0,忑•丽=0, CD = CA + AB + BD-• ------- 2 ---------- ? ------------- 2 -------------- ? -------------- -------- -- ----------- - -------- ---------- - ------・・|CD| = |CA| + |AB| + |BD| + 2CA ・ AB + 2AB ・ BD + 2CA ・ BD =62 + 42 + 824- 2 x 6 x 8cos(CA,BD) = (2\17)2-.••cos(CA z BD) = -p (CA,BD) = 120 °，•:二面角的大小为60° ；故选C.7. 河堤斜面与水平面所成角为60 °，堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿着这条直道从堤角向上行走到20m 时，则人升高了（ ）⑷ 15m⑻ 10m (0 10\.3m (D) 5\3m【答案】D作直线AB 所在的水平面的垂线EG,垂足为G,【解析】 如图所示则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF丄AB.垂足为F,连接FG ,由三垂线定理的逆定理，知FG丄AB.因此，ZEFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，ZEFG = 60°•由此得:EG = EFsin60 ° = CEsin30 ° sin60 °= 20 x j x y = 5\3 （m）点睛：理解题意，人升高，指的是竖直距离升高了多少，所以要构造地面的垂直线段；8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）白］&倍視图(A) 16 + 8n (B) 8 + 8n(0 16 + 16n (D) 8 + 16n将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解.原几何体为组合体;上面是长方体，下面是圆柱的一半（如图所示）, 其体积为V = 4 x 2 x 2 + |n x 22 x 4 = 16 + 8n.故选A;9. 己知H 是球O 的直径AB 上一点,AH 汨B = 1:3,AB 丄平血a, H 为垂足,a 截球O 所得截面的面积为TT ,则球O 的体积为()【答案】B设球O 的半径为R ,则AH = p OH = | .又・・•截面的面积为TT ,・・・EH = 1 .・・•在RtAOEH 中，R 2 =(》2+ 1，・・・R =萼. •••故体积v = |n(^)3 = 網点睛：运用球当中的垂面定理，构造勾股定理，求出球的半径；10. 已知正四棱锥S —ABCD 屮，SA = 2\,3，当该棱锥的体积最大时，它的高为()(A)l(B) \,3 (C)2 (D)3【答案】C 【解析】设h 二SO,则OA =、匕一"，所以底面边长为Q24-2h 2,所以V = |(24-2h 2)h = |(12-h 2)h ，令V = |(12-3h 2) = 0得,h = 2,故当 h=2 时，该棱锥的体积最大.所以选C11. 如图，四边形ABCD 中，AB = AD = CD = 1, BD = \庁，BD 丄CD.将四边形ABCD 沿(B) 32』3TTH(A )16n 9对角线BD折成四面体A BCD，使平面A BD丄则卜列结论正确的是（）•（A）AC 丄BD ⑻ ZBAC = 90 °（C） CA与平面A BD所成的角为30 °⑴）四面体A BCD的体积为扌【答案】B【解析】考点：异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：计算题.分析：根据题意，依次分析命题：对于A可利用反证法说明真假，若A成立可得BD丄A，D, 产生矛盾；对于C由CA'与平面A' BD所成的角为ZCA' D=45。
福建省宁德市高中毕业班质量检查理科数学试题.docx
2. 3. i 为虚数单位，则复数——在复平面内对应的点位于1 + zA.第一象限B.第二象限在等比数列｛色｝中,若a 1=l,a 4=8, A. 56 B ・ 63C.第三象限D. 则该数列的前6项和为C. 127D. 4. 5. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为 A. — 1 或 1 B. —2 或 0 C. —2 或 1 D. — 1 或 0兀2 v 2若抛物线y 2 = 2px 的焦点与双||||线二_2_ = 1的6 36. 右焦点垂合，则p 的值为 A. 3 B. 6设0为直线2的方向向量，则a-n = 0是///Q 的 A.充分非必要条件 C.充要条件 右图是一个多面体的三视图,C. A /3D. 2V3 n 为平面Q 的法向量， A. V3 B. C. A /3 + 6D.B.必要非充分条件D.既非充分也非必耍条件则其全面积为£2 x/3 + 4r 福建省宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：心1.材题前，考牛先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 考生作答时，将答案答在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超 岀答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5亳米的黑色中性（签字）笔或碳酸笔书写，字体工整、笔迹清是。
4. 做选考题时，考牛•按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答案题卡上把所选题目对应的题号涂 里。
八、、o5. 保持答题卡卡而的清楚，不折證、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一•并交回。
参考公式：锥体的体积公式：V=-Sh,其中S 为底面面积，/?为高；3球的表面积、体积公式：S=4龙厂彳，v=-7rr\其中厂为球的半径。
高考数学压轴专题宁德备战高考《平面向量》经典测试题含答案解析
《平面向量》考试知识点一、选择题1．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）A ．1162DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r B ．1134DF AB AC =--u u u r u u u r u u u rC ．3142DF AB AC =-+u u u r u u u r u u u rD ．1126DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】设AB AF λ=u u u r u u u r，由平行四边形法则得出144AE AF AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD =-u u u r u u u r u u u r，即可得出答案. 【详解】设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u ur u u u r r u u u r u u u r因为C E F 、、三点共线，则1=144λ+，=3λ所以1111132262DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.2．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为（ ） A ．45° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】 【分析】设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为cos =4BD α-u u u r，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．【详解】312AB AC ==，D 是AC 的中点，则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为θ，则cos =4BD α-u u u r，∴()cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA ACBA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB ACα⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u ru ur r u， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.3．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．4．若向量a b r r，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．12-B．12C ．32D ．3-【答案】A 【解析】 【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3b a b π=r r r ，所以b a =r r .又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r，即20t a a b ⋅+⋅=r r r . 所以2221122ba b t a b⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.5．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．23B ．32C ．33D ．3【答案】D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r，∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．6．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（）A ．4B ．6C ．23D ．43【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．7．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ） A ．0B ．1C 2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.8．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r，然后套用公式向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||AF BCBC ⋅=u u u r u u u ru u u r ，即可得到本题答案. 【详解】因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又因为EF BC ⊥，所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||AF BCBC ⋅=u u u r u u u ru u u r . 故选：A. 【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.9．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C 【解析】 【分析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr10．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且222a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r的取值范围（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞ C ．(0,4) D ．(2,4)【答案】A 【解析】 【分析】根据AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u ru u u ru u u r，从而有2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r求解. 【详解】因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，又因为()()()222222EF a b b a a b =-++=+=u u u r ，所以24AB DC EF +==u u u r u u u r u u r，因为AB 不平行于CD ，所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以||||4AB DC +>u u u r u u u r.故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】 【分析】以,BA BC u u u r u u u r为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.12．如图，已知1OA OB ==u u u v u u uv ，2OC =u u u v ，4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+，则mn等于（ ）A ．57B ．75C ．37D ．73【答案】A 【解析】 【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可． 【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ=210，sin θ=7210,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ） 即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．13．已知向量(b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设(),a x y =r 6=-，()4x λ=-，整体代换即可得解.【详解】 设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴6a b b⋅==-r rr 即12x +=-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ++=，∴()4x λ+=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.14．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】 根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.15．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-【答案】D【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =u u u r u u u r ， 则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u u r u u u r ） ＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u u r u u u r ） 1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．16．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，m n →→-=n →=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可.【详解】设||n x →=， 因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2213m n x x →→-=-+=，即220x x --=，解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.17．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ）A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D【解析】【分析】 计算25AC a b =+u u u r r r ，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案. 【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r ，即()253a b a mb λ+=+r r r r ， ∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D .【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v ，则（ ） A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v B ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v C ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v D ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v 【答案】A【解析】【分析】 利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】 Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ， ∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ， 故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.19．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u u ur u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（ ）. A ．3B ．23C ．2D ．3 【答案】D【解析】【分析】 判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.【详解】 圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r ，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.20．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是 【答案】B【解析】【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r 代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．。
宁德市必修第二册第二单元《复数》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-3．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．324．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．26．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ） A ．4B ．2C ．0D ．2-7．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i --B ．1i +C ．5555i + D ．5555i - 8．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．19．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ） A ．52B ．1C ．1-D ．52-10．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ） A ．15i + B ．1i -C ．15i - D ．1i +11．复数11ii+-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知复数21aiz i+=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2C D二、填空题13．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3arcsin5得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．14．化简2012221i ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________.点集{||1|1,}D z z z C =++=∈，则||z 的最小值_____和最大值________.15．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________.16．若复数z 满足5z z +=，则复数z =________________.17．在复平面内，复数(3)a z =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 18．已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______19．关于x 的不等式mx 2-nx+p>0(m ,n ,p ∈R)的解集为(-1,2),则复数m+p i 所对应的点位于复平面内的第____象限.20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.三、解答题21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=. （1）求14z i +-的最小值与最大值； （2）若4z z+为实数，求z 的值. 22．已知复数()212(24)z a a i =--+，()221z a a i =-+，12z z z =-（i 为虚数单位，a R ∈）.（1）若复数12z z z =-为纯虚数，求12z z ⋅的值； （2）若1z z i +=-，求z i +的值.23．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z ．（I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11mz n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 24．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =. （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 25．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 26．已知1251034.z i z i =+=-，（1）若12z z ，若在复平面上对应的点分别为A,B ，求AB 对应用的复数 （2）若12111z z z z =+，求【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值. 【详解】 由()()()()11711768341112i i i iz i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由 222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．D解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a a z i a a a -+-==++++，所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a a x y a a-==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为22212111a x a a -==-+++， 又因为a R ∈， 所以211a +≥， 所以22021a<≤+， 所以221111a-<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A 【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数，所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 5．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．C解析：C 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解. 【详解】因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，所以1z i =+也是方程的一个根， 故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22p q =-⎧⎨=⎩，所以0p q +=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.7．A解析：A 【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--.故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.8．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．9．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以12z -±=，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：x =x =10．D解析：D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论. 【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-， 所以1z i =+，故选D. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11．A解析：A 【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11ii+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事；（3）进而求得a b +的值.12．B解析：B 【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a+≠，即可求解. 【详解】 由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a az i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a+≠，解得2a =， 所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】点对应的复数其中则对应的复数其中利用两角和差公式求得的坐标；由则化简可得【详解】点对应的复数其中则对应的复数其中则则故的坐标为；由则得故答案为：；【点睛】本题考查了复数的运算结合考查了两角和解析：118(,)55-1-【分析】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos αα==A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos αα==则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，则cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+=，则118)656555z i '=-+=-+，故A '的坐标为118(,)55-；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+， 得1z =-. 故答案为：118(,)55-；1- 【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.14．13【分析】根据复数的代数形式的除法乘方运算法则计算可得根据复数的几何意义得到的轨迹即可得到的最值；【详解】解：设因为即根据复数的几何意义可知表示以为圆心为半径的圆上的点集则故答案为：；；【点睛】本解析：1- 1 3 【分析】根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到z 的轨迹，即可得到||z 的最值； 【详解】解：201222+⎝⎭)()()201222111i i i ⎡⎤-=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦20120⎫=+⎪⎪⎝⎭2012022⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭10062⎡⎤⎫⎢⎥=⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()100610062514221i i i i ⨯+=-====-设(),z x yi x y R =+∈，因为{||1|1,}D z z z C =++=∈即11x yi +++=根据复数的几何意义可知{||1|1,}D z z z C =+=∈表示以(1,-为圆心，1为半径的圆上的点集， 则max13z ==，min 11z ==，故答案为：1-；1；3. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题．15．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题 解析：1+【分析】先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==， ∴011cos sin 2334z ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.16．【分析】由一定为实数由题可知的虚部为设进而求解即可【详解】因为所以的虚部为设则解得所以故答案为:【点睛】本题考查相等复数考查复数的模的应用解析：115【分析】由z 一定为实数,由题可知z 设()a a R z =∈,进而求解即可【详解】因为5z z +=+,所以z设()a a R z =∈,则5a =,解得115a =,所以115z =,故答案为:115【点睛】本题考查相等复数,考查复数的模的应用 17．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．故答案为：66i -【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．【分析】由题意画出图形数形结合得答案【详解】|z ﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点（11）距离为1的点的轨迹如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(30)的距离由图可知|z ﹣3|的最大值为故1【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【详解】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹， 如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=． 51．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．19．二【解析】分析：先根据x 的不等式mx2-nx+p>0(mnp ∈R)的解集为(-12)得到再分析出m<0p>0再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限详解：∵mx2-nx+p>0(mnp ∈R解析：二.【解析】分析：先根据x 的不等式mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2)得到0,n -12,m p -12,m m ⎧⎪<⎪⎪+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩（）（）再分析出m<0,p>0,再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.详解：∵mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2),0,n (-1)2,m p (-1)2,m m ⎧⎪<⎪⎪∴+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩即m<0,p>0.故复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.故答案为二.点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知一元二次不等式的解集，一般要想到韦达定理.20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i 解析：3i【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),因为|z|=3,所以a 2+b 2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z +为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y-+=++=++=++-++++， 因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =或1z =+或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1）123626z z i ⋅=--；（2）1. 【分析】 （1）由复数12z z z =-为纯虚数，可得2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，从而可求出a 的值，进而可求出12z z ⋅的值；（2）由1z z i +=-，可得复数z 在直线y x =-上，所以22232a a a a --=-++，从而可求出a 的值，进而可得z i +的值【详解】解：（1）()()22122241()z z a a a a i a R -=--+--++∈为纯虚数， ∴2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，解得2a =， ∴128z i =-，225z i =-，∴12(28)(25)3626z z i i i ⋅=-⋅-=--.（2）()()2212223z z z a a a a i =-=--+--， ∵1z z i +=-，∴复数z 对应的点22(2,23)a a a a ----在直线y x =-上，即22232a a a a --=-++，解得1a =-或52a =. 当1a =-时，0z =，1z i +=； 当52a =时，7744z i =-，73444z i i +=-=. 【点睛】此题考查复数的有关概念，考查复数的模，考查计算能力，属于中档题23．（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-=【分析】（I ）设1z x yi =+，得出2z 的表达式，根据12(1)(1)z i z i -=+和1z =方程组求得,x y 的值，进而求得1z 的值.（II ）根据（I ）的结论确定1z 的值.代入11m z n i z +=+运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得,m n 的值. 【详解】解：（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ，∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+ （II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--， 则有(1)1m i n i i +--=+-+，∴12112m n m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩． 【点睛】 本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题.24．（1）12z =-+. (2）ABC S ∆=. 【解析】 分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b =+<>，则z a bi =-，由题2z z =，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，利用三角形的面积公式，即可求解.详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b =+，则z a bi =-， 故2222z a b abi z a bi =-+==-.所以22a b a -=，2ab b =-.又0a <，0b >，解得12a =-，b =，12z =-+. （Ⅱ）由（Ⅰ），得12z =-，212z =--，31z =. z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，如图所示：故1233311sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.25．1,22【解析】【分析】根据复数相等的概念得到实部虚部均为0，即21020x y y -+=⎧⎨-=⎩求得参数值. 【详解】∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴21020x y y -+=⎧⎨-=⎩解得12x = ,y=2 所以实数x ，y 的值分别为12，2. 【点睛】这个题目考查了复数相等的概念，两个复数相等则需要实部等于实部，虚部等于虚部即可. 26．（1）214i --（2）552i -【详解】 （1）()()2134i 510i 214.AB z z i =-=--+=--所以AB 对应用的复数为214i --. （2）由题得121212111z z z z z z z +=+= 1212552z z z i z z ∴==-+。
完整版宁德市普通高中毕业班第二次质量检查理科答案定稿
2019 届宁德市一般高中毕业班第二次质量检查试卷数学（理科）试题参照答案及评分标准明：一、本解答指出了每 要考 的主要知 和能力，并 出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解法不一样样，可依据 的主要考 内容比较 分 准指定相 的 分 ．二、 算 ，当考生的解答在某一部分解答未改 的内容和 度，可 影响的程度决定后 部分的 分，但不得超 部分正确解答 分数的一半；假如后 部分的解答有 重的 ，就不 再 分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到 一步 得的累加分数．四、只 整数分数， 和填空 不 中 分．5 分， 分60 分．一、 ：本 考 基 知 和基本运算，每小 1． C 2． D 3． A 4． C 5．B 6． B7． A8． B 9． C 10． B11． D12． A二、填空 ：本 考 基 知 和基本运算，每小5 分， 分 20 分．13．314． 315． 9 3916． [e,)5 2三、解答 ：本大 共6 小 ， 分 70 分，解答 写出文字 明、 明 程和演算步 ．17．本小 主要考 数列及数列乞降等基 知 ，考 运算求解能力，考 函数与方程思想、化 与 化思想等， 分 12 分．解：（Ⅰ）由已知得 S nn 2 2kn (n k) 2 k 2 ,因 kN * ，当 nk ， (S n )mink 2 9 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分故 k3 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分所以 S nn 2 6n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 S n 1(n 1)26(n 1) ， ( n2)所以 a n S n S n 1 26n) [( n 26( n 1)] ，(n 1)得 a n 2 n 7 (n2) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分当 n 1 ， S 14 a 1 ,上， a n2n 7 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分b n1 nn7) , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（Ⅱ）依 意，a n1 (2 n 所以 T 2n+153 1 1 3 5 L L2 n(4n 7)2 n 17] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分11[2(2 n 1)5 (22L2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分1 4424 43n5 2n ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分18．本小 主要考 空 直 与直 、直 与平面的地点关系及平面与平面所成的角等基 知 ，考 空 想象能力、推理 能力、运算求解能力，考 化 与 化思想等． 分12 分．解法一：（ 1） 明：因 四 形ABCD 直角梯形，且 AB / /DC , AB AD 2 , ADC,2所以 BD 2 2 ，⋯⋯1 分，又因 CD4, BDC,4依据余弦定理得 BC 2 2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分，所以 CD 2BD2BC2，故 BC BD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分又因 BC PD , PD I BDD,且BD , PD 平面 PBD ，所以 BC平面 PBD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又因 BC平面 PBC ，所以 平面 PBC平面 PBD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由（ 1）得平面 ABCD 平面 PBD ,zE BD 的中点， PE ，因 PB6 ,PDP所以 PE BD , PE 2 , 又平面 ABCD 平面 PBD ，平面 ABCD I 平面 PBD BD ，MPE 平面 ABCD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分AByuuur uuurABCD 的方向 x, y, z如 ，以 A 原点分 以EAD ， AB 和垂直平面 DC正方向，建立空 直角坐 系 A xyz ，xA(0,0,0)， B(0,2,0) ， C (2,4,0) ， D (2,0,0) ， P(1,1,2) ， ⋯⋯⋯⋯ 8 分假 存在 M(a,b,c) 足要求，CM (0uuuur uuurCP1)，即 CMCP，所以 M(2- ,4 -3 ,2 ) ,易得平面 PBD 的一个法向量 uuur(2,2,0). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9BC 分n( x, y, z) 平面 ABM 的一个法向量，uuur (0,2,0)uuuur ,4-3 ,2 )AB， AM =(2-n uuur 0 2 y 0AB，没关系取 n (2,0, 2) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分由 uuuur 得(2) x (4 3 ) y 2 z 0n AM 0因 平面 PBD 与平面 ABM 所成的 二面角| 4 |13 ，所以2 2 42( 2)22，解得2，2 （不合 意舍去） .3故存在 M 点 足条件，且CM2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分CP.3解法二：（ 1） 明：取 段 CD 的中点 F ， AF 交 BD 于 E 点， BF ，因 AB//CD, ABAD1 2 , ADC ,zCD2 21 分，所以四 形 ADFB 正方形，故 BDAF , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯P且 E BD 中点 ,又 F 段 CD 的中点，M所以EF//BC 且BC BD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分，又因 BC PD , PD I BDD,且BD, PD平面 PBDABDEC所以 BC平面 PBD ，4 分F⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x又因 BC 平面 PBC ，所以平面 PBC 平面 PBD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（ 2） EP ，因 PBPD6，E 中点,所以 PEBD , PE 2,又因 BC平面 PBD ，所以 PE , DE , EF 三 两两相互垂直， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分uuur uuur uuurE xyz分 以 ED , EF , EP x, y, z 正方向，建立空 直角坐 系E(0,0,0) , A(0,2,0) , B(2,0,0) , C(2,2 2,0) , D(2,0,0) , P(0,0,2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分假 存在 M 足要求，CM(0uuuuruuur1),即 CMCP ,CP易得平面 PBD 的一个法向量 uuur(0,2 2,0) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分BC n(x, y, z) 平面 ABM 的一个法向量，uuur(2, 2,0)AB ， uuuur uuur uuuur uuur uuur ( 22 ,3 22 2,2 ).AM AC CMACCPuuurn AB 0 2x 2 y由 uuuur 得n AM 0 ( 2 2 ) x (3 2 2 2 ) y 2 z 0没关系取 n ( 2, 2 ,2) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分因 平面 PBD 与平面 ABM 所成的 二面角3 ，所以| 4|122 （不合 意舍去） .4 22) 22 ，解得，2 2 (3故存在 M 点 足条件，且CM2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分CP .319. 本小 主要考 率分布直方 、均匀数、独立性 及数学希望等基 知 ，考 运算求解能力、数据 理能力、 妄图 ，考 分 与整合思想、必然与或然思想、化 与 化思想． 分 12 分．解：（ 1） x (10 0.005 30 0.0075 50 0.010 70 0.0125 90 0.010 110 0.005)2062 ．估 今年 7 月份旅客人均 水果的金62 元． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（ 2）列 表以下：水果达人非水果达人合 男 10 40 50 女 20 30 50合3070100⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分又 2100(10 3020 40) 23.841,50 50 30 70所以有 95% 的掌握 “水果达人 ”与性 有关系． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）若 方案一： 需付款 10 12 10 110 元； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分若 方案二： 付款X 元， X 可能取84 ， 96 ， 108 ， 120 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分32P(X84)C 33 1 1 ， P( X96) C 321 1 3 ， 2822 823， P(X3P( X 108)C 311 1 120)C 30 11 ，2 2828所以 E(X) 841 963 3 111分88108120102 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯88因 102 110 ，所以 方案二更划算． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分20．本 主要考 直 、 、直 与 的地点关系等基 知 ，考 运算求解能力、推理 能力，考 函数与方程思想、化 与 化思想，考 考生剖析 和解决 的能力， 分 12 分．解法一：（1）当点 A 的坐1, 14 ， OA17 3 2 ，22 2所以AB 3 2 ． . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分由 称性，AFBF2a ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分所以 2a7 2 3 2 4 2 ，得 a2 2 ． . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分14 代入 方程x 2 y 21 中，将点 1, 8b 2224 ，解得 b所以 方程x 2y 2 1 ． . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分84（ 2）当直 AB 的斜率不存在 ， CD 2 2 ，此 S ACD1 2 2 2 2 2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2当直 AB 的斜率存在 ， 直CD 的方程 yk ( x2)( k 0) ．y k( x 2), 消去 y 整理得： (1 2k 2) x28k 2x 8k28 07 分由2 y 2 8, ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x 2然> 0 ，C ( x1 , y1 ),D (x2 , y2 ) ，2x1x28k2,12k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分288kx1x212k2 ,故 CD1k2x1x28k 228k281k241 2 k212k21k232k2 +3212k 224 2 1k2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分12k2uuuv uuuvR) ，所以CD // AB，因 CD AB (所以点 A 到直 CD 的距离即点 O 到直 CD 的距离d2k分，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯91 k 2所以 S ACD1CD d222 122kk12k212k42 k1k210分12k2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯421k2k 212k 22224k44k24k 44k2122112，12k 2因12k21，所以 012 1 ，12k2所以 0SACD2 2 ．解法二：（ 1） F (c,0) ，依据 意，可得222(c1)214 (c 1)214 2 (1 0)214 0 7 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分222得 (c1)274 2( c 1)27，解得 c2 ．22由 c 0 ，得 c2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分所以 a 2b 24 ，又因 1 71 ，解得 a2 8,b 24 ，a 2 2b 222所以 的方程x y 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分84(2)由（ 1）得 F(2,0)， 直 CD 的方程 ： x ty2 ，x ty 2,消去 x 得： ( t 22) y 2立x 2 y 2 4ty40 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分8 4 1,32(t 2 1)0 ， C( x 1 , y 1 ), D (x 2 , y 2 ) ， y 1y 1 4t ,t 22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分4y 1 y 1,t 22所以 |CD |1 t24 2( t 2 1)， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分t 2222uuuvuuuvtA 到直 CD 的距离，因 CDAB ，所以 CD // AB ，所以 O 到直 CD 的距离即 点点 O 到直 CD ： xty 20 的距离 d2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分t21所以 ACD 的面 S ACD1 4 2( t2 1)2 42t 2 1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分2t 22t 2122)2(t令 m t 2 1(m 1) ，S ACD4 22m4 212 2 （当且 当 t0 取等号） . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分2m1m1m 2m所以 ACD 的面 取 范(0, 2 2] . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21．本小 主要考 数的几何意 、 数及其 用、不等式等基 知 ，考 推理 能力、运算求解能力、 新意 等，考 函数与方程思想、化 与 化思想、分 与整合思想、数形 合思想等． 分12分．（ 1）解：当 x0 ， f ( x) e x 1 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当 x 0 ， f ( x) 2 x0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分f (x) 的域 (0,) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分令 f ( f (x) 1) m ，Q f (x) 1 1， f ( f ( x)1) 2，m 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分又 f ( x) 的减区(,0]，增区 (0,) .f ( x) 1t1， f ( x) 1 t 2，且 t10 ， t2 1 ．f ( x) t11无解 .从而 f (x)t21要有两个不一样样的根，足t 21 2 ，t 23.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分f (t2 ) f ( f ( x) 1) 2 3 .即 m 2 3 ．m 的最小2 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2) y f ( f ( x)1)m 有两个零点 x1、 x2且 x1x2， f ( x)t ， t [2,) ，e x11t ，x1ln( t1) .2x2 t ，x2t 2. 4a ln( t1)t 21 t[2,) 恒建立 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分4t 2'at t 2t2ah(t ) a ln( t1)1， h (t ).分4t122(t 1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 Q t[2,) ，t 2t[2,)恒建立.当 2a 2 ，即 a 1 ，h'(t)0 ，h(t ) 在[2,) 上增 .h (t )h(2) a ln1110 建立 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分当 a 1 ，g(t)t 2t2a .由g (2)422a22a0 .t0(2,) ，使得g(t0)0 .g(t )0 g(t)0当 t (2, t 0 ) ， h(t ) 减，此 h(t )h(2) 0 不切合 意 .上， a1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分22． 修 44 ；坐 系与参数方程本小 考 直 和 的极坐 方程、参数方程等基 知 ，考 运算求解能力，考 数形 合思想、化 与 化思想等． 分 10 分．解法一：（ 1）由 ( x1)2 ( y 2) 2( 5 cos ) 2 ( 5 sin ) 2 5 ，得曲 C 的一般方程 ( x1)2( y2) 2 5，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分把 xcos ， ysin 代入 式化 得曲C 的极坐 方程 ：2cos4sin.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因 直 l ： y3x 是 原点且 斜角的直 ，3所以直 l 的极坐 方程 ：( R ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分3（ 2）把3 代入2cos4sin得1 2 3 ，故 |OA| 12 3 ，把6 代入2cos4sin得23，故 |OB|23 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因AOB3 6 6, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分所以OAB 的面 S1 |OA | | OB | sin 68 5 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分24解法二 :（ 1）同解法一；（ 2）由（ 1）及 知可得 C 的直角坐 方程 (x 1)2 ( y 2) 25 ，直 l 的直角坐 方程y3x ，直 m 的直角坐 方程y3x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分3立(x 1)2( y 2)25,得 O(0,0), A(12 3 , 62 3) . y 3 x,2(x1)2 ( y2)2 5,32 3 23立y3x,得 O(0,0), B(2, 2 ) .3故|OA| 1 23 ，|OB| 23 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因AOB, 所以OAB 的面 ：1 8 5 3 S|OA| | OB | sin4. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2623． 修 45 ：不等式本小 考 不等式的解法与性 等基 知 ，考 运算求解能力、推理 能力，考 分 与整合思想、化 与 化思想等．分 10 分．1 x, x解法一：（ 1）因 f (x) | x1| ，所以 f (2 x)f ( x1) | 2x1| | x | 1 3 x, 0x 1 ，2x 1, x12x0,11由 f (2 x)f (x1) 2得：0 x2 ,或 x 2 ,1 或 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x 21 3x 2x 12.解得 x 1 或 x或 x 3 ，所以不等式的解集 ： (, 1] U [3, ) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（ 2） a b f (3)2 ，又 a 0 ， b 0 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分所以要a 1b1 2 2 建立，只需 ( a 1b 1)2 (2 2) 2 建立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分即 a b 2 2 ( a 1)(b 1) 8 ，只需(a 1)(b 1) 2 建立， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因 a0 ， b 0 ，所以依据基本不等式(a 1)(b1)建立，(a 1)(b 1)22故命 得 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分解法二：（ 1）因 f (x)| x 1| ，1 x, x 0,所以 f (2 x) f (x 1) | 2 x 1| | x | 1 3 x, 0 x1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分2x 1, x1 .2作出函数 g ( x) f (2 x) f ( x 1) 的 像（以下 ）yA2BOx因直 y 2 和函数 g ( x) 像的交点坐A( 1,2) , B(3,2) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分所以不等式的解集： ( , 1] U [3, ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2） a b f (3) 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又 a0 ， b0 ，所以2a1a 3 ，2b1b 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分22故 2a12b1a3b3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分242所以a1b122建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。
福建省宁德市高中数学复数练习题doc
一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．设复数1iz i=+，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12iC ．12-D ．12i -3．已知复数1=-iz i，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A ．12B ．2C D ．24．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5B C ．D ．5i 5．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．56．已知i 为虚数单位，若复数()12iz a R a i+=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3C ．5D ．7．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限8．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设21iz i+=-，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-10．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 11．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BC D ．312．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5 BC ．2D 13．若复数11iz i，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．214．题目文件丢失！15．题目文件丢失！二、多选题16．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-17．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 18．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =19．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．复数z 满足233232iz i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =21．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =22．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠ C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称23．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z =-B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=24．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =25．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --26．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -27．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( ) A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y == B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于128．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z29．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C 解析：C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-.故选：C2．A 【分析】根据复数除法运算整理得到，根据虚部定义可得到结果. 【详解】 ，的虚部为. 故选：.解析：A 【分析】根据复数除法运算整理得到z ，根据虚部定义可得到结果. 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，z ∴的虚部为12.故选：A .3．B 【分析】先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】 由于， 则. 故选：B解析：B 【分析】先利用复数的除法运算将1=-iz i化简，再利用模长公式即可求解.由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||2z ===. 故选：B4．B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】 ，所以， 故选：B解析：B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B5．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅． 【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．6．A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义【详解】由复数为纯虚数，则，解得 则 ，所以，所以 故选：A解析：A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a + 【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =-则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a += 故选：A7．B 【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】 因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B 【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B.本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.8．C 【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论． 【详解】 由题意，，∴，对应点，在第三象限． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论． 【详解】由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+， ∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限．故选：C ．9．C 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】 因为， 所以其虚部为. 故选：C.解析：C 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】 因为()()()()21223113111222i i i i z i i i i ++++-====+--+， 所以其虚部为32. 故选：C.10．A 【分析】采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果. 【详解】 设，则， ，，解得：， . 故选：A.解析：A 【分析】采用待定系数法，设(),z a bi a b R =+∈，由复数运算和复数相等可求得,a b ，从而得到结果. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，()()22313z z a bi a bi a bi i ∴-=+--=+=+，133a b =⎧∴⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩，1z i ∴=+. 故选：A. 11．C 【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得，所以的共轭复数是，所以. 故选：C.解析：C 【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得22(2)12121i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =. 故选：C.12．B 【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得； 【详解】 解：因为，所以所以. 故选：B.解析：B 【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得； 【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B .13．C 【分析】由复数除法求出，再由模计算． 【详解】 由已知， 所以． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法求出z ，再由模计算． 【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=． 故选：C ．14．无 15．无二、多选题 16．ABCD 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】 ，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD 【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项. 【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确； 故选：ABCD. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.17．ACD 【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】因为，所以A 正确； 因为，，所以，所以B 错误； 因为，所以C 正确； 因为，所以，所以D 正确解析：ACD 【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 19．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.20．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.21．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)1(1)(1)2i i z i i i --====-+-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题22．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．23．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确； 对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.24．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．25．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.26．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 27．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 28．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
福建省宁德市2019届高三临考适应性检测理科数学卷4
福建省龙岩市2019届高三临考适应性检测理科数学卷4第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数2334ii-+-所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如右图，是一程序框图，则输出结果为( ) A ．49 B ．511 C ．712 D ．6133．设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线， 给出下列4个命题,其中正确命题是（ ） A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β C ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥βD ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b4．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表所示．已 知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率 是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．125．若点M 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，则ABM V 与ABC ∆的面积比为（ ）A ．15B ．25C ．35 D ．456．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为，弦AP 的长度为d ，则函数()l f d =的图像大致是（ ）7．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 14m n a a a =，则14m n+的 一年级 二年级 三年级女生 373x y 男生 377 370 z最小值为（ ） A ．32B ．53C ．256D ．不存在 8．若双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线22y bx = 的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为( ) A ．98B ．63737 C. 324 D. 310109．设函数()y f x =在(),-∞+∞内有定义。
2020届福建省宁德市高三毕业班6月质量检查数学(理)试题(解析版)
2020届福建省宁德市高三毕业班6月质量检查数学（理）试题一、单选题 1．复数21iz i=+在复平面内对应点的坐标为（ ） A ．()1,1-- B ．()1,1-C ．()1,1D ．()1,1-【答案】C【解析】由除法法则计算复数，化为复数的代数形式，得对应点坐标． 【详解】21i i+2(1)1(1)(1)-==+-+i i i i i ，对应点为(1,1)． 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．属于基础题． 2．已知集合{}2|20A x x x =--<，{}|3B x a x a =<<+，若{}|02A B x x ⋂=<<，则A B =（ ）A ．{}|23x x -<<B ．{}|13x x -<<C ．{}|03x x <<D ．{}|21x x -<<【答案】B【解析】先根据一元二次不等式的解法，求出集合{|12}A x x =-<<，然后根据{|02}A B x x ⋂=<<得出0a =，从而可得出集合B ，然后进行并集的运算，即可求出AB ．【详解】解：由题可知，{}2}|20{|12A x x x x x =-<-=<-<， 由于{|3}B x a x a =<<+，且{|02}A B x x ⋂=<<，0a ∴=，{|03}B x x ∴=<<，{|13}A B x x ∴=-<<．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和并集的运算，属于基础题． 3．已知向量()0,1a =，()1,3b =，则a 在b 上的投影为（ ）A B C D ．12【答案】B【解析】由向量的数量积公式得出a 与b 的夹角的余弦值，再由cos a θ得出a 在b 上的投影. 【详解】设a 与b 的夹角为θ11a ==，(12b =+=，011a b =⨯+=⋅2cos 3a b ba θ⋅∴=⋅=则a 在b 上的投影为cos 1a θ==故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的几何意义，属于中档题.4．某校2名教师、4名学生分成2个小组，分别到两个不同的实验室做实验.每个小组由1名教师和2名学生组成，则教师A 和学生B 在同一个小组的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】把四个学生编号，分配两个给教师A ，写出所示有基本事件可知教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件的个数．即可计算出概率． 【详解】4名学生编号为,,,B C D E ，与教师A 同一组的基本事件有,,,,,BC BD BE CD CE DE 共6个，其中教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件有,,BC CD BE 共3个，所以所求概率为3162P ==．本题考查古典概型，解题关键是用列举法写出事件空间中的所有基本事件．5．某数学小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得π的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标()(),y 01,01x x y <<<<，其中有399个点的坐标满足221x y +≤，据此可估计π的值约为（ ） A ．3.19 B ．3.16C ．3.14D ．3.11【答案】A【解析】本题首先可以通过绘图明确点()(),y 01,01x x y <<<<所在区域以及221x y +≤所表示的区域，然后求出重合的区域面积，最后根据题意以及几何概型的性质即可得出结果. 【详解】如图所示，点()(),y 01,01x x y <<<<落在一个边长为1的小正方形内，正方形面积为1，221x y +≤指一个半径为1的圆以及此圆内部的所有区域，圆与小正方形重合的区域面积为4π， 因为获得500个点()(),y 01,01x x y <<<<的坐标，有399个点的坐标满足221x y +≤，所以π43991500，π 3.19， 故选：A. 【点睛】本题考查几何概型，能否根据题意准确的绘出图像是解决本题的关键，考查几何概型概率计算公式的灵活使用，体现了基础性，是中档题.6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，且两条渐近线夹角为60，则该双曲线的焦距为（ ）A ．B ．8C ．4D ．8 【答案】D【解析】本题首先可以根据双曲线方程得出渐近线方程为by x a=±，然后根据两条渐近线夹角为60得出b a =ba =222c ab =+即可得出结果. 【详解】令22220x y a b -=，则2222y x b a =，b y x a =±，故双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，因为两条渐近线夹角为60，所以其中一条渐近线的切斜角为30或60，3b a =或ba = 因为实轴长为4，所以2a =，当b a =时，b =2244343c a b ，焦距832c ；当ba=b =224124c a b ，焦距28c =，综上所述，该双曲线的焦距为8， 故选：D. 【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线的相关性质求焦距，能否根据双曲线夹角的度数得出a 、b 之间的关系是解决本题的关键，考查双曲线实轴、虚轴以及焦距三者之间的关系，考查计算能力，是中档题.7．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D（ ）A ．#FB ．GC ．#GD ．A【答案】B【解析】先根据已知条件求得公比，结合题目所求半音与#D 的频率之比，求得该半音. 【详解】依题意可知()01,2,,12,13n a n >=.由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，则121111222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,,12,13n a n =为等比数列，设公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.即对应的半音为G .故选：B 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 8．已知函数()tan 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为2π，其图象过点(，则其对称中心为（ ）A ．(),046k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．(),0412k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z C ．(),026k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．(),0212k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 【答案】A【解析】由正切函数的最小正周期公式T πω=求出ω，将点(代入求出ϕ，得出()tan y x ωϕ=+的解析式，根据正切函数的对称中心和利用整体代入法得出232k x ππ+=，即可求出对称中心. 【详解】 解：已知函数tan()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的最小正周期为2ππω=，2ω∴=，即函数tan(2)y x ϕ=+，其图象过点，tan ϕ∴=2πϕ<，3πϕ∴=，则函数tan(2)3y x π=+，令232k x ππ+=()k Z ∈，求得46k x ππ=-，k Z ∈， 则该函数的对称中心为(46k ππ-，0)，k Z ∈. 故选：A. 【点睛】本题考查正切函数的图象和性质，以及利用整体代入法求正切型函数的对称中心，考查分析和运算能力.9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．472π++B ．47π++C ．872π++D ．872π+-【答案】C 【解析】由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，根据所给数据可计算出表面积. 【详解】由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，如图所示： 其中2AD DC ==，几何体的高为3， 所以2PA PB ==，22PC PD ==， 所以侧面PAD 和侧面PBC 面积相等，均为12222⨯⨯=， 侧面PCD 的面积为()221222172⨯⨯-=，半个圆锥的侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为21221422ππ⨯-⨯=-， 所以该几何体的表面积为22748722πππ++++-=++，故选：C.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题.10．已知函数21,2()log ,2x fx x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则不等式(21)(4)f x f x +<的解集为（ ）A ．11(,)(,)64-∞-+∞ B ．11(,)(,)42-∞-+∞ C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞ D ．11(,)(,)22-∞-+∞【答案】D【解析】利用分段函数图象解不等式求解可得. 【详解】画出函数图象，由图得：()f x 是偶函数且在(,2)-∞-上单减，在(2+)∞，上单减； (21)(4)f x f x +<，由偶函数性质得当2214x x ≤+<，满足不等式，则12x >因为22x -<<时()1f x = 42x ∴<-时，满足不等式，则21x <- 综上有11(,)(,)22x ∈-∞-+∞ 故选：D 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式.利用指对数函数的单调性，要特别注意底数的取值范围，并在必要时进行讨论 11．若面积为1的ABC 满足2AB AC =，则边BC 的最小值为（ ） A ．1 B 2 C 3D ．2【答案】C【解析】由已知利用三角形的面积公式可得21sin AC A=，由余弦定理可求2sin 4cos 5BC A A +=，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解．【详解】 解：ABC 的面积1S =，且2AB AC =，21sin sin 12ABC S AB AC A AC A ∴===△， 21sin AC A∴=， 根据余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅22422cos AC AC AC AC A =+-⋅⋅⋅ 22254cos 54cos (54cos )sin AAC AC A A AC A-=-⋅=-=，即254cos sin ABC A-=，可得2sin 4cos 5BC A A +=，2sin 4cos )5BC A A A α∴++=，55sin()A α=≥+，解得：BC ≥即边BC 故选：C. 【点睛】本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了化简和运算能力.12．当[],x m n ∈时，函数()2sin cos 2310f x x x x x ππ=--++≥恒成立，则n m-的最大值为（ ） A ．52B ．2C ．32D ．1【答案】C【解析】根据题意，将原不等式恒成立转化为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，设()sin cos g x x x ππ=-，2()231h x x x =--，转化为()()g x h x ≥恒成立，求得它们的交点(0,1)-，3(2，1)-，画出()y g x =和()y h x =的图象，即可得到所求区间和n m -的最大值． 【详解】解：由题可知，[],x m n ∈时，函数2()sin cos 2310f x x x x x ππ=--++恒成立， 即为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，设()sin cos g x x x ππ=-，即()2sin()4g x x ππ=-，()g x 为最小正周期为2的函数，且(0)1g =-，35()2sin124g π==-， 设2()231h x x x =--，可得3(0)()12h h ==-，分别作出()y g x =和()y h x =的图象，可得它们有两个交点(0,1)-，3(2，1)-，由题意可得当[0x ∈，3]2时，()()g x h x ≥恒成立，即()0f x 恒成立，此时n m -取得最大值32. 故选：C.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，以及正弦函数和二次函数的图象和性质，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、填空题13．若命题“[]01,2x ∃∈-，00x a ->”为假命题，则实数a 的最小值为_______. 【答案】2【解析】根据命题为假得到[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立，简单计算，可得答案. 【详解】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，故[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立.所以[]1,2x ∀∈-，a x ≥恒成立， 故2a ≥ 所以实数a 的最小值为2 故答案为：2. 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题.14．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入的a ，b ，c 分别为0.61.5，1.50.6，0.6log 1.5，则输出的结果为________.（结果用a ，b ，c 表示）【答案】b【解析】模拟程序运算，确定变量值． 【详解】模拟程序运算，变量值变化如下：开始输入 1.50.60.60.6, 1.5,log 1.5a b c ===，1.50.6x =，判断0.6 1.51.510.6x >>=，0.61.5x =，判断0.60.61.50log 1.5x =>>，输出0.61.5x =， 故答案为：b ． 【点睛】本题考查程序框图，考查选择结构，模拟程序运行，观察变量值的变化，判断条件是否满足，可得结论． 15．已知点()2,0A -，)2,0B，动点P 满足APB θ∠=且2cos 12PA PB θ⋅⋅=，则点P 的轨迹方程为__________【答案】2213x y +=【解析】根据题意得||AB =由半角公式和余弦定理可得||||PA PB +的值为定值，且大于两个定点A ，B 的距离，由椭圆的定义可得P 的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质求出a ，c ，b 的值，进而求出椭圆的方程． 【详解】解：根据题意，可知||AB = 由2||||cos12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=， ||||||||cos 2PA PB PA PB θ∴+=，在ABP △中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+-+-==，222||||cos 8PA PB PA PB θ∴=+-，即22||||cos 42PA PBPA PB θ+=-，22||||||||cos ||||422PA PBPA PB PA PB PA PB θ+∴+=+-=，22||||||||62PA PB PA PB +∴+=，即222||||||||12PA PB PA PB ++=，2(||||)12PA PB ∴+=，所以||||PA PB +=||AB ， 可得P 的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =，焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆，即a =c =2221b a c =-=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=.故答案为：2213x y +=.【点睛】本题考查点的轨迹方程和椭圆的定义及性质的应用，还涉及半角公式及余弦定理的应用，考查化简和计算能力，属于中档题．16．已知四棱锥S ABCD -，底面ABCD 是边长为6的菱形，AC BD O =，SO ⊥底面ABCD 且8SO =.若此四棱锥的内切球的表面积为16π，则该四棱锥的体积为_______. 【答案】642【解析】利用数形结合，根据题意可知球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，可知11,O F O O 为内切球的半径，然后计算SE ，利用等体积法，求得ABCD S ，最后根据体积公式可得结果. 【详解】由题可知：球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，如图由SO ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，则SO CD ⊥⋂=SO OE O ，所以，CD ⊥平面SOE ，又1,⊂O F SE 平面SOE所以1,⊥⊥SE CD O F CD ，又1⊥O F SE ，⋂=SE CD E ，所以1O F ⊥平面SCD 由此四棱锥的内切球的表面积为16π，可知半径为2 所以1112,6===O F O O SO ，由111∠+∠=∠+∠SO F O SF O SF SEO ，所以1∠=∠SO F SEO11121cos cos 63∠=∠===O F SEO SO F O S ，则22sin ∠=SEO 所以22sin 62∠==⇒=OS SEO SE SE则11142332⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅⇒= ⎪⎝⎭ABCD ABCD ABCD S SO CD SE S S所以13-=⋅=S ABCD ABCD V S SO故答案为：【点睛】本题考查几何体内切球问题，本题关键在于找到球心，以及计算底面菱形的面积，考验分析能力以及计算能力，同时结合数形结合的方法，形象直观，便于理解与计算，属难题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 中，11a =且1a ，2a ，74a -成等比数列、数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足321n n b S -=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n a ，{}n b 的公共项12,,,n k k k a a a ⋅⋅⋅按原来的顺序组成新的数列，试求数列{}n k 的通项公式，并求该数列的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；13n n b -=（2）13122n n k -=+；31424n n n T =+-【解析】（1）根据等比数列的性质，可求等差数列{}n a 的公差，从而求得数列{}n a 的通项公式，由()()1112n nn S n b S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，可求得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得1213n n k --=，所以可得13122n n k -=+，再求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，74a -成等比数列，所以()21274a a a -=，即()()112164a a d a d +-=+，()()21631d d -=+⨯，解得2d =.所以21n a n =-.当1n =时，111321b S b -==，因为321n n b S -=，得11321n n b S ---=，（2n ≥） 所以()()1132320n n n n b S b S -----=，得13n n b b -=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比3q =的等比数列，所以13n n b -=.（2）依题意，n k n a b =，由（1）得1213n nk --=，113131222n n n k --+==+，所以()0121131333322424n n n n n T -=+++++=+-.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等，属于中档题.18．如图，在ABC 中，AC BC ⊥，30BAC ∠=︒，4AB =，E ，F 分别为AC ，AB 的中点,PEF 是由AEF 绕直线EF 旋转得到，连结AP ，BP ，CP .（1）证明：AP ⊥平面BPC ；（2）若PC 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角P CF B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】（1）要证AP ⊥平面BPC ，则证AP PC ⊥和BC AP ⊥；证AP PC ⊥由平面几何知识可得，证BC AP ⊥，只需证EF AP ⊥，即证EF ⊥平面APC ，利用线面垂直判定可得.（2）建立空间直角坐标系，根据PC 与平面ABC 所成的角为60°，可知PEC 为等边三角形，分别计算平面CFB 、平面PCF 的一个法向量，然后根据向量的夹角公式，可得结果. 【详解】 解法一：（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，且E 为AC 中点，所以AE EC EP ==.所以AP PC ⊥ 又因为F 为AB 的中点，所以EF BC ∥， 又BC AC ⊥，所以EF AC ⊥， 从而EF EP ⊥，又ACEP E =，所以EF ⊥平面ACP ，即BC ⊥平面ACP ，又AP ⊂平面ACP ，所以BC AP ⊥， 又AP PC ⊥且PC BC C ⋂=，所以AP ⊥平面BPC （2）由（1）得EF ⊥平面AEP ，因为EF ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP 过点P 作PM AC ⊥，交AC 于M 又平面ACP平面ABC AC =，故PM ⊥平面ABC ，所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角， 所以60PCM ∠=︒，又EC EP =，所以PEC 为等边三角形， 得M 为EC 中点，由BC ⊥平面ACP ，AC BC ⊥ 分别以CA ，CB 为x ，y 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，()3,1,0F，3M ⎫⎪⎪⎝⎭，332P ⎫⎪⎪⎝⎭， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，()3,1,0CF =，332CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：2200n CF n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303302x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪， 令3x =，得()23,3,1n =--，12121213cos ,13n n n n n n ⋅==又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --的余弦值为1313- 解法二：（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，所以EP AE =，又因为E 为AC 的中点，所以AE EC EP ==. 所以2APC π∠=，即AP PC ⊥，同理，AF BF PF ==，得AP BP ⊥， 又BPCP P =，所以AP ⊥平面BPC（2）由（1）得⊥AP BC ，又AC BC ⊥， 所以BC ⊥平面APC ，又因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP . 过点P 作PM AC ⊥，垂足为M ， 因为平面ACP平面ABC AC =，所以PM ⊥平面ABC ，所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角，所以60PCM ∠=︒， 因为EC EP =，所以PEC 为等边三角形，所以M 为EC 中点， 取FB 的中点N ，连接MN ，所以MN EF ∥，所以MN ⊥平面PAC ， 分别以MN ，MC ，MP 为x ，y ，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，()0,0,0M，0,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,2B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，()1,CF =，30,2CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：2200n CF n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0302x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 令3x =，得()23,n =，12121213cos ,13n n n n n n ⋅==又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --的余弦值为13- 【点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，以及线面角，面面角知识，考查推理论证能力、运算求解能力，审清题意细心计算，属中档题. 19．某药业公司统计了2010-2019年这10年某种疾病的患者人数，结论如下：该疾病全国每年的患者人数都不低于100万，其中有3年的患者人数低于200万，有6年的患者人数不低于200万且低于300万，有1年的患者人数不低于300万.（1）药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效，选择了200名患者，随机平均分为两组作为实验组和对照组，实验结束时，有显著疗效的共110人，实验组中有显著疗效的比率为70％.请完成如下的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99.9％把握认为该药品对该疾病有显著疗效；（2）药业公司最多能引进3条新药品的生产线，据测算，公司按如下条件运行生产线：每运行一条生产线，可产生年利润6000万元，没运行的生产线毎条每年要亏损1000万元.根据该药业公司这10年的统计数据，将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率、假设各年的患者人数相互独立.欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进多少条生产线？附：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效；（2）应引进2条生产线.【解析】（1）通过计算，直接列出2×2列联表，根据公式计算2K，即可判断出结果；（2）分引进1条，2条，3条生产线三种情况，分别求解总利润的期望值，即可得出结论.【详解】（1）列联表如下：由于()222007060403020018.210.8281001001109011K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效； （2）根据提议：()31002000.310P x ≤<==，()62003000.610P x ≤<==， ()13000.110P x ≥==， 记药业公司年总利润为ξ（单位：万元）， ①引进1条生产线的情形：由于每年的患者人数都在100万以上，因此运行1条生产线的概率为1，对应的年利润，()600016000E ξ=⨯=；②引进2条生产线的情形：当100200x ≤<时，运行1条生产线，此时600010005000ξ=-=，因此()()5000 1002000.3P P x ξ==≤<=）， 当200x ≥时，运行2条生产线，此时6000212000ξ=⨯=， 因此()()12000200= 0.60.10.7P P x ξ==≥+=， 由此得ξ与的分布列如下：所以()50000.3120000.79900E ξ=⨯+⨯=； ③引进3条生产线的情形：当100200x ≤<时，运行1条生产，此时6000100024000ξ=-⨯=， 因此()()40001002000.3P P x ξ==<<=，当200300x ≤<时，运行2条生产线，此时60002100011000ξ=⨯-=， 因此()()11000 2003000.6P P x ξ==<<=，当300x ≥时，运行3条生产线，此时6000318000ζ=⨯=， 因此()()18000 3000.1P P x ξ==≥=， 由此得ξ与的分布列如下：所以()40000.3110000.618000 0.19600E ξ=⨯+⨯+⨯=， 因为9900＞9600＞6000，所以欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进2条生产线. 【点睛】本题主要考查随机变量的分布列与期望的计算，考查了独立性检验的应用，考查学生的运算求解能力、数据处理能力与应用意识.20．已知函数()()1ln 0x e f x a x a x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln 0xf x a x x +->，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）0e a -<≤【解析】（1）求出导数后，对a 分类讨论，利用导数可求得函数的单调区间； （2）分离参数后得n 11l x x a e+->在(0,)+∞上恒成立，再构造函数利用导数求出最大值即可得到答案. 【详解】（1）()222(1)e e (1)11()x x x a x f x a x xx x -+-⎛⎫'=+-+= ⎪⎝⎭， 由定义域为()0,∞+，所以e 1x >.当10a -≤≤时，0x e a +>，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<， 所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当1a <-时，令()0f x '=，则1x =或()ln x a =-， 当a e =-时，()ln 1a -=，()0f x '≥恒成立， 所以函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；当1e a -<<-时，()0ln 1a <-<，由()0f x '>，得0ln()x a <<-或1x >，由()0f x '<，得ln()1a x -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为()()ln ,1a -，递增区间为()()0,ln a -和()1,+∞； 当a e <-时，()ln 1a ->，由()0f x '>，得01x <<或ln()x a >-，由()0f x '<，得1ln()x a <<-，所以函数()f x 的单调递减区间为()()1,ln a -，递增区间为()0,1和()()ln ,a -+∞. 综上，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当a e =-时，函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；当1e a -<<-时，函数()f x 的单调递减区间为()()ln ,1a -，递增区间为()()0,ln a -和()1,+∞；当a e <-时，函数()f x 的单调递减区间为()()1,ln a -，递增区间为()0,1和()()ln ,a -+∞.（2）依题意得，()()1ln ln 0xxf x a x x e a a x +-=++>在()0,∞+恒成立.①当0a =时，不等式显然成立； ②当0a <时，()1ln xa x e -+<，即n 11l x xa e+->成立，设()1ln xx g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=， 设()11ln h x x x=--，则()h x 在()0,∞+单调递减，()10h =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以()()max 11g x g e== 所以11a e->，解得(),0a e ∈-. 综上，当0e a -<≤时，()()1ln 0xf x a x x +->. 【点睛】本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.属于中档题.21．在平面直角坐标系xOy 中，动直线AB 交抛物线2:4y x Γ=于A ，B 两点. （1）若90AOB ∠=︒，证明直线AB 过定点，并求出该定点；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作与y 轴垂直的直线交抛物线2:4y x Γ=于C 点；点N 为AC 的中点，过点N 作与y 轴垂直的直线交抛物线2:4y x Γ=于点P .设△ABC 的面积1S ，△APC 的面积为2S .（i ）若AB 过定点()2,1，求使1S 取最小值时，直线AB 的方程；（ii ）求12S S 的值.【答案】（1）证明见解析；定点()4,0（2）（i ）230x y --=（ii ）128S S = 【解析】（1）设直线AB 的方程，并代入抛物线方程，利用韦达定理和12120x x y y +=可解决；（2）（i ）得到M 、C 的坐标，得到||CM ，进而得到31121211||232S CM y y y y =⋅-=-，再根据二次函数可求得最小值；（ii ）求出122112111||||||2222y y S PN y PN y y +=⋅⋅-=⋅-，求出2121||||64PN y y =-代入12||2||S CM S PN =即可得到结果. 【详解】（1）证明：依题意可设直线AB 的方程为x ty m =+， 代入24y x =消去x 得：2440y ty m --=，216160t m ∆=+>，即20t m +>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y m =-， 因为90AOB ∠=︒，所以12120x x y y +=， 又21114x y =，22214x y =，所以2212121016y y y y +=，故1216y y =-，（120y y =已舍去）所以416m -=-，得4m =，因此直线AB 的方程为4x ty =+，该直线过定点()4,0. （2）（i ）因为AB 过定点()2,1，所以由（1）得2t m =+，即2mt ，()2216161620t m t t ∆=+=-+>恒成立，124y y t +=，12448y y m t =-=-，由题知得1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，()21212,162y y y y C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()2222212121212121144||21621616y y y y y y y y x x CM +++-+=-=-=， 所以31121211||232S CM y y y y =⋅-=-， 因为12y y -===≥12t =时等号成立，所以33112113232S y y =-≥=当1S 取到最小值4时，12t =，32m =，直线AB 的方程为1322x y =+，即230x y --=.（ii ）依题知可得1121||2S CM y y =⋅-，122112111||||||2222y y S PN y PN y y +=⋅⋅-=⋅-，所以12||2||S CM S PN =， 由（2）（i ）可知212||16y y CM -=（此处12y y -可以理解为A ，B 两点的纵向高度差）同理可得22121212121()122||161664y y y y y PN y y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭===-， 所以21212122||1628||64y y S y y S -==-. 【点睛】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0r >）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的圾坐标方cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与曲线C 相交于A ，B 两点. （1）求曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程； （2）若4r >，点()4,0P满足11PA PB-=r 的值. 【答案】（1）222x y r +=，40x y --=（2）r =【解析】（1）曲线C 的普通方程为222x y r +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，可得到l 的直角坐标方程.（2）写出l的参数方程可设为422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，得22160t r ++-=，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则由韦达定理得1221216t t t t r ⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩. 【详解】（1）曲线C 的普通方程为222x y r +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，得到l 的直角坐标方程为40x y --=.（2）点()4,0P 在直线l 上，则l的参数方程可设为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程与曲线C的普通方程联立，得22160t r ++-=，()()2232416432>4r r r ∆=--=->0，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则由韦达定理得1221216t t t t r ⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩4r >时，212160t t r =-<⋅.所以21212212111616t t t t PA B t P t r r----====--⋅r =. 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力，属于中档题. 23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A . （2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 【答案】（1）{|01}A x x =≤≤（2）12【解析】（1）将0a =代入，则|||1|1x x +-，再利用绝对值不等式的性质即可得解； （2）问题等价于1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立，由此建立关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】解：（1）当0a =时，()|||1|f x x x =+-，即解不等式|||1|1x x +-， 由绝对值不等式知，|||1||(1)|1x x x x +---=，当且仅当(1)0x x -时取等号，因此()1f x 的解集{|01}A x x =；（2）由A B ⊆，即[0x ∈，1]，不等式3()||2f x x -恒成立，即3||12x a xx -+--，整理得1||2x a -， 故1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立， 则1212a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩在[0x ∈，1]上恒成立，得1212a a⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 故12a =． 【点睛】本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.。
最新福建省宁德市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二
数学试卷一、选择题 1、已知全集，集合，则A ．B ．C ．D ． 2.如图,在复平面内,若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB u u u r u u u r,则复数12z z 所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3、设等比数列的前 项和为,则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若一个几何体的三视图,其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形,尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )A.23B. 332C.3D. 235.如图,执行程序框图后,输出的结果为( )A.8B.10C.12D.32 6、下列函数中，周期为 ，且在上单调递增的奇函数是A ．B ．C ．D ．7、已知，，，，则的最大值为A ．B ． 2C ．D ．8、若从区间 内随机取两个数,则这两个数之积不小于 的概率为( )A. B.C.D.9.如图,在正方体1111ABCD A B C D 中,若平面11A BCD 上一动点P 到1AB 和BC 的距离相等,则点P 的轨迹为( )A.椭圆的一部分B.圆的一部分C.一条线段D.抛物线的一部分10、将方程 的正根从小到大地依次排列为，给出以下不等式： ①； ②； ③ ； ④ ；其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题11.已知函数()()1,4,{21,4,xx f x f x x ⎛⎫≥ ⎪=⎝⎭+<则()2log 3f =__________.12、已知双曲线 的离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则 __________. 13、已知等差数列 的公差不为零,,且、、成等比数列,则的取值范围为 .14.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++的图象如图所示, 则()()'3'1f f -=__________.15、假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域，则称这条直线平分这个区域．如图，是平面内的任意一个封闭区域.现给出如下结论：① 过平面内的任意一点至少存在一条直线平分区域 ； ② 过平面内的任意一点至多存在一条直线平分区域 ； ③ 区域内的任意一点至少存在两条直线平分区域；④ 平面内存在互相垂直的两条直线平分区域 成四份． 其中正确结论的序号是． 三、解答题16、招聘会上,某公司决定先试用后再聘用小强,该公司的甲、乙两个部门各有4个不同岗位. (Ⅰ)公司随机安排小强在这两个部门中的3个岗位上进行试用,求小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率;(Ⅱ)经试用,甲、乙两个部门都愿意聘用他.据估计,小强可能获得的岗位月工资及相应概率如下表甲部门不同岗位月工资(元)22002400 2600 2800 获得相应岗位的概率0.40.30.20.1乙部门不同岗位月工资(元)2000 2400 2800 3200 获得相应岗位的概率0.40.30.20.1求甲、乙两部门月岗位工资的期望与方差,据此请帮助小强选择一个部门,并说明理由.17.如图,三棱柱111ABC A B C -中, 1AA ⊥平面ABC ,90BAC ∠=o ,2,6AB AC ==, 点D 在线段1BB 上,且113BD BB =,11A C AC E ⋂=. 1.求证:直线DE 与平面ABC 不平行;2.设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ,若7cos θ=,求1AA 的长; 3.在2的条件下,设平面1ADC ⋂平面ABC l =,求直线l 与DE 所成的角的余弦值.18.如图,圆C 与y 轴相切于点()0,2T ,与x 轴正半轴相交于两点,M N (点M 在点N 的左侧),且3MN =.1.求圆C 的方程;2.过点M 任作一条直线与椭圆22:148x y Γ+=相交于两点A 、B ,连接AN 、BN ,求证: ANM BNM ∠=∠.19、已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；（Ⅱ）判断函数 的单调性；（Ⅲ）求证：（）． 20、如图,在平面直角坐标系中,锐角、的终边分别与单位圆交于,两点.(Ⅰ)如果,点的横坐标为,求的值;(Ⅱ)若角 的终边与单位圆交于C 点,设角 、 、 的正弦线分别为MA 、NB 、PC,求证:线段MA 、NB 、PC 能构成一个三角形;(III)探究第(Ⅱ)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 21、设矩阵M 是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标保持不变的伸缩变换. (Ⅰ)求矩阵M;(Ⅱ)求矩阵M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.22.在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 、B 的极坐标分别为1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭、23,3π⎛⎫⎪⎝⎭,曲线C 的参数方程为cos ,{sin x r y r αα== (α为参数). 1.求直线AB 的直角坐标方程;2.若直线AB 和曲线C 只有一个交点,求r 的值.23.已知关于 x m <对于任意的[1,2]x ∈-恒成立.1.求 m 的取值范围;2.在1的条件下求函数()21(2)f m m m =+-的最小值.参考答案答案： 1、解析： 2.答案：A解析：由图及向量的平行四边形法则,易知复数12z z +所对应的点位于第一象限. 答案： 3、 解析： 若当和q<0时, ;反之,当时,,由于 同号,所以4.答案：D解析：此几何体为一个正三棱柱,底面边长为2,所以其体积为222V =⨯=5.答案：B解析：退出循环体时4A =,所以共执行了5次循环体,所以此程序的功能是求2510S =⨯= 答案： 6、解析： 由于是奇函数，所以排除A ，C.对于D ： ,当 时，由于 ,所以函数在区间上是增函数.答案： 7、解析： 由题意知四边形ABCD 四点共圆，所以 的最大值应为此圆的直径长，因为三角形ABC 的外接圆直径为答案： 8、解析： 设 是区间 内的任意两个数,则 ,试验的区域为一下正方形此面积为,事件发生的区域为 表示的区域,由题意知此区域面积,所以所求事件的概率为 . 9.答案：D解析：设1A B 与1B A 相交与O ,由题意易得P 到1A B 的距离为PO ,P 到BC 的距离等于P 到O 的距离,根据抛物线的定义知点P 的轨迹为抛物线的一部分 答案： 10、解析： 分别作直线 及正切曲线 ,则两者的交点即为x+tanx=0的根,则在每一个周期π内， 与都有一个交点，在x>0为正根，交点都位于使tanx 为负数的半周期内，因此有：， 即②对①错.交点的值越来越趋于负无穷大，越来越接近 的垂直渐近线,即相邻交点的距离越来越大，最终接近于极限π. 这样即： , 化为：, 即④对③错 11.答案：124解析：由已知得: ()()()222log 3log 31log 32f f f =+=+()()2log 24221log 33log 242f f ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭()12log 241224-==. 答案： 12、解析： 由于抛物线的焦点为(4,0),所以 又 ,答案： 13、解析： 设公差为d,则由和、、成等比数列知,14.答案：-5解析：32'()32f x ax bx c =++ ,由已知得'(2)0,'(1)0f f =-=故221,2,6333b c b a c a a a -==-⇒=-=-,所以(3)276305(1)326f a b c a f a b c a --+'===-++-' 答案： 15、解析： 不难理解平面内的任意一点一定存在一条直线平分区域,如果选取的点比较特殊，也比较特殊有可能存大多条直线，所以①对，②错.对于特殊区域可能在区域内的任意一点只能有一条直线平分区域 ，因而③错.由于①正确，不难判断④正确答案： 16、解析： (I)小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门说明从甲部门中选2个,从乙部门中选1个,有 种选法,总的方法数为 ,所以所求事件的概率为 .(2)根据期望公式先求出甲、乙两部门月岗位工资的期望,在期望差距很小的情况下,再分别求出期方差,方差小的说明各岗位的工资待遇波动小,竞争压力小,比较安稳.方差大的岗位工资拉的比较开,工作比较有挑战性,能更好地体现工作价值(Ⅰ)记事件“小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率”为 ,则.(Ⅱ)(元), (元).,.选择甲部门:因为,说明甲部门各岗位的工资待遇波动比乙部门小,竞争压力没有乙部门大,比较安稳. 13分选择乙部门:因为 ,说明乙部门各岗位的工资待遇波动比甲部门大,岗位工资拉的比较开,工作比较有挑战性,能更好地体现工作价值17.答案：1.依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,设1AA h =, 则()()()()112,0,0,0,6,0,2,0,,0,0,,0,6,,0,3,32h h B C D A h C h E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.证明:由1AA ⊥平面ABC 可知()10,0,1n =u r为平面ABC 的一个法向量. ∴()12,3,0,0,1066h hDE n ⎛⎫⋅=-⋅=≠ ⎪⎝⎭u u u r u r .∴直线DE 与平面ABC 不平行.2.设平面1ADC 的法向量为2(,,)n x y z =u u r,则()()()221,,2,0,2033{,,0,6,60h h n AD x y z x z n AC x y z h y hz ⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎝⎭⋅=⋅=+=u u r u u u r u u r u u u u r,取6z =-,则x y h ==,故()2,,6n h h =-u u r.∴12122127cos cos ,71236n n n n n n h θ⋅====⨯+u r u u r u r u u r u r u u r , 解得63h =∴163AA =3.在平面11BCC B 内,分别延长CB 、1C D ,交于点F ,连结AF ,则直线AF 为平面1ADC 与平面ABC 的交线.∵1//BD CC ,1111==33BD BB CC , ∴113BF BD FC CC ==. ∴12BF CB =u u u r u u u r ,∴()()()112,0,02,6,03,3,022AF AB BF AB CB =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由2知,h =故(2,3,6h DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u r ,∴cos ,AF DE AF DE AF DE ⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴直线l 与DE所成的角的余弦值为=. 解析：18.答案：1.设圆C 的半径为(0)r r >,依题意,圆心坐标为(,2)r 。
2019届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理科数学
2019届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理科数学时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：郭蒙一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】, ∴.2. 复数满足,则( )A. B.C. D.【答案】D【解析】∵, 由,得, ∴,解得,. ∴.3. 的展开式中的系数为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】二项式的展开式的通项公式为, 令,求得,可得展开式中的系数为,4. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.问:得几何?”意思是:“有一块棱长为尺的正方体方木,要把它作成边长为寸的正方体枕头,可作多少个?”现有这样的一个正方体木料,其外周已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为( )A. B.C.D.【答案】C【解析】有一块棱长为尺的正方体方木,要把它作成边长为寸的正方体枕头,可作个, 由正方体的结构及锯木块的方法, 可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那块,共有个, ∴从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率:.5. 如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗线画出的是某棱锥的三视图,则该棱锥的体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据几何体得三视图转换为几何体为, 所以:该几何体的体积为:.6. 已知平面区域, ,则点 是 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】平面区域,表示圆以及内部部分;,的可行域如图三角形区域:7. 已知函数,记,,,则,,的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】是偶函数,在上单调递增; ∴; ∵,; ∴; ∴; ∴.8. 若函数,则下列结论正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 对任意的,都有C. 函数在上是减函数D. 函数的图象关于直线对称【答案】B【解析】函数,, 则:①函数的最小正周期为. 故选项A错误; ②令:, 解得:,当时,函数的单调递减区间为:, 故:选项C错误; ③当时,,故关于中心对称,∴,故选项C、D错误.9. 如图,为了测量某湿地,两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点,,.从点测得,从点测得,,从点测得.若测得,(单位:百米),则,两点的距离为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意,在中,,,, 则,则, 在中,,,, 则, 则有,变形可得, 在中,,,, 则, 则.10. 如图,点 是抛物线 的焦点,点 , 分别在抛物线 和圆 的实线部分上运动,且 总是平行于 轴,则 周长的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】抛物线的焦点为,准线方程为, 圆的圆心为, 与抛物线的焦点重合,且半径, ∴,,,∴三角形的周长, ∵, ∴三角形的周长的取值范围是.11. 下列图象中,可能是函数 的图象的是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意,函数,其导数, 又由, 当,,其定义域为,为偶函数,不经过原点且在第一象限为增函数,没有选项符合; 当为正偶数时,,其定义域为,为偶函数且过原点,在第一象限为增函数,没有选项符合, 当为正奇数时,,其定义域为,为奇函数且过原点,在第一象限为增函数且增加的越来越快,没有选项符合, 当为负偶数时,,其定义域为,为偶函数,不经过原点且在第一象限先减后增,D 选项符合; 当为负奇数时,,其定义域为,为奇函数,不经过原点且在第一象限先减后增,没有选项符合, 综合可得:D 可能是函数的图象;12. 已知直线 交双曲线于 , 两点,过 作直线 的垂线 交双A. B.C. D.【答案】A【解析】联立直线和双曲线方程可得,可设, 可得, 在直角三角形中,, 可得, 设直线的方程为, 代入双曲线方程可得, 可得, 即有, 可得, 即为, 可得,.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则__________.【答案】【解析】由三角函数的定义,, 可得:, 可得:.14. 在矩形中,,,点在边上.若,则的值是__________.【答案】【解析】因为, 所以, 所以, 所以, 所以.15. 已知正三棱锥每个顶点都在球的球面上,球心在正三棱锥的内部.球的半径为,且.若过作球的截面,所得圆周长的最大值是,则该三棱锥的侧面积为__________.【答案】【解析】依题意,该球的大圆的周长为,所以,得,如图,正三棱锥中,设底面三角形的中心为,则平面,设为的中点,连接,,则是的三等分点,且是三棱锥的侧面的斜高.根据正三棱锥的对称性,球心在上. 所以. 则,又因为三角形为直角三角形,所以. 所以三棱锥的高.所以三棱锥的斜高. 该三棱锥的侧面积为.16. 已知函数 ,对任意的 , ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意可得,且,由于,所以当时,,函数在上单调递增,则,,所以,故,即.三、解答题（每小题12分,共60分）17. 已知数列 的前 项和 , 的最小值为 . (1)确定 的值,并求数列 的通项公式; (2)设 ,求数列 的前 项和 .【答案】见解析【解析】(1)由已知得因为,当时,, 故;所以. 因为,所以, 得. 当时,,综上,. (2)依题意,, 所以.18. 如图,四棱锥 中, , ,, ,.(1)求证:平面 平面 ; (2)在线段 上是否存在点 ,使得平面 与平面所成锐二面角为 ?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【答案】见解析【解析】(1)证明:因为四边形为直角梯形, 且,,, 所以, 又因为,,根据余弦定理得所以,故. 又因为,,且,平面,所以平面, 又因为平面,所以平面平面(2)由(1)得平面平面, 设为的中点,连结,因为, 所以,,又平面平面, 平面平面,平面. 如图,以为原点分别以,和垂直平面的方向为,,正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,假设存在满足,,即, 所以, 易得,面的一个法向量为. 设为平面的一个法向量,由,得,不妨取. 因为平面与平面所成的锐二面角为,所以, 解得,(不合题意舍去). 故存在点满足条件,且.19. 绿水青山就是金山银山.某山村为做好水土保持,退耕还林,在本村的山坡上种植水果,并推出山村游等旅游项目.为预估今年 月份游客购买水果的情况,随机抽样统计了去年 月份 名游客的购买金额.分组如下: , ,…, ,得到如图所示的频率分布直方图:(1)请用抽样的数据估计今年 月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点作代表). (2)若把去年 月份购买水果不低于 元的游客,称为“水果达人”.填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 的把握认为“水果达人”与性别有关系?(3)为吸引顾客,商家特推出两种促销方案.方案一:每满 元可立减 元;方案二:金额超过 元可抽奖三次,每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响,中奖 次打 折,中奖 次打 折,中奖 次打 折.若每斤水果 元,你打算购买 斤水果,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案. 附:参考公式和数据:, .临界值表:【答案】见解析【解析】(1). 估计今年月份游客人均购买水果的金额为元. (2)列联表如下:, 因此有的把握认为“水果达人”与性别有关系. (3)若选方案一:则需付款元; 若选方案二:设付款元,则可能取值为,,,.,所以. 因为, 所以选择方案二更划算.20. 已知椭圆的左焦点为 , 是椭圆上关于原点 对称的两个动点,当点 的坐标为时, 的周长恰为 . (1)求椭圆的方程; (2)过点 作直线 交椭圆于 、 两点,且,求 面积的取值范围.【答案】见解析为. (2)当直线的斜率不存在时,, 此时. 当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 由消去整理得:.显然, 设,,则故因为,所以, 所以点到直线的距离即为点到直线的距离,所以, 因为,所以, 所以.综上,.21. 已知函数函数恰有两个零点和. (1)求函数的值域和实数的最小值; (2)若,且恒成立,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)当时,. 当时,.的值域为. 令,,,. 又的单调减区间为,增区间为. 设,,且,.无解. 从而要有两个不同的根,应满足,..即.的最小值为. (2)有两个零点、且,设,,,.,.对恒成立, 设,.,恒成立.当,即时,,在上单调递增.成立. 当时,设.由.,使得. 且当时,,时,.当时,单调递减, 此时不符合题意. 综上,.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的方程为. (1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程; (2)在(1)的条件下,直线的极坐标方程为,设曲线与直线的交于点和点,曲线与直线的交于点和点,求的面积.【答案】见解析【解析】(1)由, 得曲线的普通方程为, 把,代入该式化简得曲线的极坐标方程为:. 因为直线是过原点且倾斜角为的直线, 所以直线的极坐标方程为:. (2)把代入得,故, 把代入得,故, 因为, 所以的面积为.22B. 已知函数. (1)求不等式的解集; (2)若,且,求证:.【答案】见解析【解析】(1)因为, 所以, 由得:或或,解得或或,所以不等式的解集为:. (2),又,, 所以要证成立, 只需证成立, 即证, 只需证成立, 因为,,所以根据基本不等式成立, 故命题得证.。
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2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（理科）
平面向量与复数
宁德市数学组
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设i 为虚数单位，则复数2i 1i
-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
（2）设i 为虚数单位，则2
(1i)1+i -=（ ） （A ）1i -- （B ） 1i + （C ）i - （D ）i
（3）平面向量(1,2),(4,2),()m m ===+∈R a b c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）
（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2
（4）设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1i z =+，则+iz i
z = （ ） （A ）2- （B ）2i - （C ） 2 （D ）2i
（5）已知,a b 是单位向量，0⋅=a b .若向量c 满足1,--=c a b 则c 的取值范围是（ ）
（A
）1⎤⎦
（B
）2⎤⎦
（C ）1⎡⎤⎣⎦
（D ）2⎡⎤⎣⎦
（6） 如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是弧AB 的三等分点， ,M N 是线段AB 的三等分点，若6OA =，则MD NC ⋅的值是（ ）
（A ）2 （B ）10 （C ）26 （D ）28 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。
（7） 已知i 为虚数单位，复数32i 23i +-的模为_______ . （8）已知向量(1,1),(1,1)==-a b ，若k -a b 与a 垂直，则实数k 的值是 .
（9） 复数2i 1+2i
a -（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值是 ． （10）已知梯形ABCD 中，1//,,2A B D C A D
D C C B A B P ===是BC 边上一点，且AP xAB yAD =+.当P 在BC 边上运动时，x y +的最大值是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（11）（本小题满分10分）
已知复数1i z =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，若22(2)az bz a z +=+成立，求实数,a b 的值.
（12）（本小题满分15分）
已知a ，b 是两个单位向量．
（Ⅰ）若|32|3-=a b ，试求|3|+a b 的值；
（Ⅱ）若a ，b 的夹角为60，试求向量2=+m a b 与2-3=n b a 的夹角.
（13）（本小题满分15分）
已知向量(1)=a ,1
(,2=b ,存在非零实数k 和t ，使得向量2(3)t =+-x a b ，k t =-+y a b ，且⊥x y ．问2
k t t
+是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，说明理由.
2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（理科）
平面向量与复数（参考答案）
宁德市数学组
一 选择题。
1. 【答案】B. 解析：由题意22(1)2211(1)(1)2
i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位 于第二象限，故选B.
2. 【答案】A. 解析：2(1i)i(1-i)11+i
i -=-=--，故选A. 3. 【答案】D. 解析：由c a c b
c a c b ⋅⋅=得=2m =，故选D. 另解：OA 、OB 关于直线y x =对称，故点C 在直线y x =上，2m =，故选D.
4. 【答案】C.
解析：1i +iz (1)112i z i i i i i
+=+-=-++=，故选C. 5. 【答案】A.
解析：设(1,0)=a ， (0,1)=b ，(,)x y =c ，则22
(1)(1)1x y -+-=. 设1cos ,x α=+
1sin y α=+，则==c 11≤≤c ，故选A.
另解：由+=
a b ()1-+=c a b 1≤≤c ，故选A. 6. 【答案】C.
解析：MD MO OD =+，NC NO OC =+,所以()()MD NC MO OD NO OC MO NO MO OC ⋅=++=⋅+⋅
4121826OD NO OD OC +⋅+⋅=-++=.
另解：以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(2,0)N 、(2,0)M -
、(3,C
、(3,D -
，(1,MD =-
，(1,MC =，故26MD MC ⋅=，故选C.
二 填空题。
7.
解析：因为32i (32i)(23i)i,23i 23i 23i)
+++==--+（）(所以其模为1.
另解：32i 32i 123i 23i ++==-- 8. 【答案】0.
解析：(1,1)k k k -=+-a b ，()1120,0k k k k k -⋅=++-===a b b
9. 【答案】4. 解析：2i (2i)(1-2i)422i 1+2i (1+2i(1-2i))55a a a a ---+==-212a i i
-+，因复数2i 1+2i a -（i 是虚数单位）是纯虚数，故405220
54=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≠+=-a a a 10. 【答案】32
. 解析：设BP tBC =，则AP AB BP AB tBC =+=+()AB t BA AD DC =+++
1(1)2t AB t AD =-+，故13122
x y t +=+≤． 三 解答题。
11．解：由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：
(1i)2(1i)a b ++-[]22(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()2
2a =+44(2)i a -++
则()222424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎪⎨-=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩. 12．解：（1）a ，b 是两个单位向量，||||1∴==a b ，又|32|3-=a b ，
229||124||9∴-⋅+=a a b b ，即13
⋅=a b ．
|3|∴+===a b
（2）||m ====
||====n 227(2)(23)2||6||2⋅=+⋅-=+⋅-=-
m n a b b a b a b a ， 7
1cos
||||2θ-⋅===-m n m n ，0180θ≤≤，∴夹角120θ= 13．解：由已知得, 2=a ，1=b ，0⋅=a b ．由⊥x y 得, 2[(3)]()0t k t +-⋅-+=a b a b ， 即23(3)(3)0k t k k t t t -⋅+-++⋅+-⋅=a a a b b b ，
所以3
430k t t -+-=，334t t k -=， 所以2217(43)44
k t t t t +=+-≥- ， 所以当2t =-时, 2k t t
+有最小值74-.。