山东省枣庄八中东校区2020届高三数学1月考前测试试题 文

枣庄八中（东校）2020学年度高三1月检测数学试卷（文）本试卷满分150分,考试时间120分钟注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷(60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合},50|{},,02|{2N x x x B R x x x x A ∈<≤=∈≤-+=，则=⋂B AA ．)1,0(B ．]1,0[C ．{0,1}D ．{1}2.设变量,x y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩,则目标函数2z x y =+的最小值为A.3B.2C.1D.－13. 已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．已知函数231(1)()(1)x x f x ax x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，((0))3f f a =，则3(log )f a ＝A ．8B ．6C ．3D ．1 5．等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =A ．29B ．31C ．33D ．366. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆223()4x a y -+=相切，则该双曲线的方程是A ．2213y x -= B ．22139x y -= C ．22125x y -= D ．221412x y -= 7.已知直线1:sin 10l x y α+-=，直线2:3cos 10l x y α-+=，若12l l ⊥，则sin 2α=A ．35B ．35-C. 23 D ．23- 8．已知函数()21sin 21x x f x x x -=+++，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为A ．1-B ．1C ．2D ．29.函数()sin()(0)6f x A wx w π=+>的图象与x 轴正半轴焦点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，若要得到函数()sin gx A wx =的图象，只要将()f x 的图象A ．向左平移6πB ．向右平移6πC ．向左平移12π D ．向右平移12π 10.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球表面积为414π，则该几何体的体积为 A.43 B. 83C ．223 D. 42311. 过抛物线24y x=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x yB x y 两点，若12y y +=则AB 的值为A.6B.8C.10D.1212.已知()0,xx xe a f x e a>=+，若()f x 的最小值为1-，则a =A ．21eB ．1eC. e D ．2e第Ⅱ卷(90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAC ∠=o，则BC AC •=u u u r u u u r ． 14.若曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线，则a b += .15．已知P 是双曲线C ：1222=-y x 右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，则||||1PQ PF +的最小值是 . 16．记n S 为正项等比数列}{n a 的前n 项和，若2224=-S S ，则46S S -的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分） 已知ABC ∆中，3B π=.（1）若12AB AC ==，求ABC ∆的面积；（2）若BM AN NC MN BM AB 32,,4====，求AM 的长.18.（本小题12分）数列{}n a 为递增的等比数列, {}⊆531,,a a a {}27,16,9,4,1,0,2,3,8---，数列{}n b 满足112,28n n n b b b a +=-=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b 2是等差数列；（Ⅲ）设数列{}n c 满足14+⋅=n n nn b b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. 已知函数()1x f x e x =-- (e 是自然对数的底数)（Ⅰ）求证: 1x e x ≥+ （Ⅱ）若不等式()1f x ax >-在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,求正数a 的取值范围.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=o ．（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PAD ；（Ⅱ）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=o ，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．21．（本题满分12分）已知21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且421=+PF PF ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线21,l l 分别交椭圆E 于C A ,和D B ,且21l l ⊥，若||1AC ，λ，||1BD 成等差数列，求出λ的值.22．(本小题满分12分) 已知函数2ln )(x x a x f +=（a 为常数）．（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）是否存在正实数a ，使得对任意],1[,21e x x ∈，都有|11||)()(|2121x x x f x f -≤-，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1=a 时， 22)(x xbxe xf x+-≤，对),0(∞+∈∀x 恒成立，求整数b 的最大值．数学试卷（文科）答案一.选择题 AA AABDB CABCB二．填空题 2 1 221+ 817.解：由题意2221cos 2B BC ==⇒=，……2分所以222AC BC AB +=，所以1122ABC S ∆=⨯=……5分 （2）设BM x =，则2,BNx AN ==在ABN ∆中，222)4(2)242cos 3x x π=+-⋅⋅ ，解得1x =或2x =-（舍去），所以1BM = ……8分在ABM ∆中，AM ==………10分 18.解：（1）数列{}n a 为递增的等比数列，则其公比为正数，又{}⊆531,,a a a {}27,16,9,4,1,0,2,3,8---，当且仅当16,4,1531===a a a 时成立。

此时公比2=q ,所以12-=n n a ． ……4分（2） 因为n n n a b b 821=-+，所以2122++=-n n n b b ，即22211=-++nnn n b b ． 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧nn b 2是首项为121=b ，公差为2的等差数列． ……8分 （3）12)1(212-=-+=n n b n n，所以n n n b 2)12(-=．……10分)121121(41)12)(12(2141+--=+-==+n n n n b b c n n n n)12(2)1211(41)121121......5131311(41+=+-=++-++-+-=n n n n n T n ……12分 19(1).由题意知,要证1x e x ≥+,只需证()10x f x e x =--≥……1分求导得()'1x f x e =-,当()0,x ∈+∞时, ()'10x f x e =->,当(),0x ∈-∞时, ()'10x f x e =-<,()f x ∴在()0,x ∈+∞是增函数,在(),0x ∈-∞时是减函数,即()f x 在0x =时取最小值()00f = ……4分()()00f x f ∴≥=,即()10x f x e x =--≥,1x e x ∴≥+ ……6分(2).不等式()1f x ax >-在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,即11x e x ax -->-在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,亦即x e x a x -<在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,令()1,,22x e x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦ 以下求()x e x g x x -=在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值 …..8分()()21'x e x g x x -=,当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()'0g x <,当]2,1[∈x 时, ()'0g x >, ∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()g x 单调递减,当]2,1[∈x 时, ()g x 单调递增……10分∴()gx 在1x =处取得最小值为()11g e =-,∴正数a 的取值范围是(0,1)e -…….12分20解：（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥，CD PD ⊥． 由于AB CD ∥，故AB PD ⊥， 从而AB ⊥平面PAD ．……3分 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB⊥平面PAD ．……6分（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得AD =，2PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =．……8分从而2PA PD ==， AD BC ==PB PC ==． 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 6062222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+12分 21．解 (1)421=+PF PF Θ2,42==∴a a∴椭圆14:222=+b y x E .将)23,1(P 代入可得32=b ，∴椭圆134:22=+y x E ……4分 (2)①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，12711=+BD AC ；……5分 ②当AC 的斜率k 存在且0≠k 时，AC 的方程为)1(+=x k y ，代入椭圆方程13422=+y x ，并化简得01248)43(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x C y x A ，则2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+2221221221243)1(12]4))[(1(1kk x x x x k x x k AC ++=-++=-+=……8分∵直线BD 的斜率为k1-，∴43)1(1222++=k k BD ……10分 ∴127)1(12771122=++=+k k BD AC 综上，=λ212711=+BD AC ，∴247=λ ……12分 22．（Ⅰ）∵xax x x a x f +=+=2'22)(),0(+∞∈x ．∴（ⅰ）若0≥a ，则0)('≥x f 恒成立⇒)(x f 在),0(∞+上单调递增；（ⅱ）若0<a ，则xax a x xax x f )2)(2(22)(2'---+=+=． 令0)('>x f ，解得2a x ->；令0)('<x f ，解得20a x -<<．⇒)(x f 在)2,0(a -上单调递减，在),2(∞+-a上单调递增． 综上：当0≥a 时，)(x f 在),0(∞+上单调递增；当0<a 时，)(x f 在)2,0(a -上单调递减，在),2(∞+-a上单调递增．……4分（Ⅱ）满足条件的a 不存在．理由如下： 若0>a，由（Ⅰ）可知，函数2ln )(x x a x f +=在],1[e 为增函数；不妨设e x x ≤≤≤211，则|11||)()(|2121x x x f x f -≤-，即11221)(1)(x x f x x f +≤+6分∴由题意：xx f x g 1)()(+=在],1[e 上单调递减， ∴012)(2'≤-+=xx x a x g 在],1[e 上恒成立,即221x x a -≤对],1[e x ∈恒成立； 又221x x y -=在],1[e 上单调递减； ∴0212<-≤e ea ；故满足条件的正实数a 不存在．……8分（Ⅲ）当1=a 时，使22)(x xbxe xf x+-≤对),0(∞+∈∀x 恒成立 即2ln x bxe x x -≤对),0(∞+∈∀x 恒成立．∴ 当1=x 时，e b ≤； 又 Z b ∈2≤⇒b ．……9分下面证明：当2=b 时，2ln xbxe x x-≤对),0(∞+∈∀x 恒成立． 当2=b 时，2ln x bx e x x -≤2ln 2xe x x x≤+⇔． 设)0(ln 2)(2>--=x x x x e x g x ，则2')2)(()(x x x e x g x--=．……10分 易知：0>-x e x ，∴当)2,0(∈x 时，0)('<x g ；当),2(∞+∈x 时，0)('>x g ．∴042ln 4342ln 447.242ln 44)2()(22>->-->--=≥e g x g 即当2=b 时，2ln xbxe x x -≤对),0(∞+∈∀x 恒成立．∴2max=b ．…….12分。