江苏省南通中学2019届高三10月阶段考试数学试题

江苏省南通中学2019届高三数学阶段考试试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1． 命题“$x ∈R ，使得x sin x －1≤0”的否定是 ▲ ．答案："x ∈R ，使得xsin x －1>0解析：直接改写，原命题的否定为“"x ∈R ，使得x sin x －1>0”． 2．已知集合A ＝{1,2, 3}，那么A 的非空真子集的个数是 ▲ ．答案 6．3．“22a b >”是“22log log a b >”的 ▲ 条件． 答案 必要不充分解析 若2a >2b，只能得到a >b ，但不能确定a ，b 的正负性，当0>a >b 时，log 2a ，log 2b 均无意义，更不能比较其大小，从而未必有“log 2a >log 2b ”；若log 2a >log 2b ，则可得a >b >0，从而有2a >2b成立． 综上，“2a >2b”是“log 2a >log 2b ”的必要不充分条件．4．设{}223A y y x ==+，{B x y == 则AB =_ ▲ _．提示 因为2233y x =+≥，即[)3,A =+∞，由[]216044,4,4x x B -≥⇒-≤≤=-所以，所以[)[][]3,4,43,4AB =+∞-=5．若“21x >”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ▲ _． 答案－16．设()f x ，()g x 在(,)a b 上可导，且()()f x g x ''>，则当a x b <<时，有()()f x g a + ▲()()f a g x +．(填“<”“>”或“=”)答案 >解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0， ∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．7．已知2()y f x x =+是奇函数，且f (1)＝1．若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝ ▲ ． 答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0．∴f (1)＋f (－1)＋2＝0．∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3．∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1． 8．下列命题的否定中真命题的个数是 ▲ ．①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R )无实根； ②q ：存在一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数； ③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．答案 1解析 由于命题p 是真命题，∴命题①的否定是假命题； 命题q 是真命题，∴命题②的否定是假命题； 命题r 是假命题，∴命题③的否定是真命题． 故只有一个是正确的．9．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2．①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3．② 联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]．10．已知函数2(3)()log (4)a f x ax -=+在区间[1,1]-上是单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ．答案 (2,(2,4)-11．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f (－4)，f (4π3)，f (－5π4)的大小关系为 ▲ (用“<”连接)． 答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π4，4π3时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤5π4，4π3上为减函数，∵5π4<4<4π3，∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)，又函数f (x )为偶函数，∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．12．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b 的值为 ▲ ． 【答案】ln3－13．【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a (x －2)＋b 的图像， 不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小． 根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2)＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点(3，ln3)， 因此有：a ＝13，从而b ＝ln3－13．13．设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m ＋k 的最小值为▲ ．将k 看做函数值，m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，因为m ，k 均为整数，结合可行域可知k ＝7，m ＝6时，m ＋k 最小，最小值为13．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】a ＞3518． 【提示】二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－35． （1）求tan β的值；（2）求cos(2α＋β)的值．解：（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos 2β－1，所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝15． …………………… 2分因为β为钝角，所以cos β＝－55．从而sin β＝1－cos 2β＝1－15＝255． …………………… 5分所以tan β＝sin βcos β＝255－55＝－2． …………………… 7分（2）因为α为钝角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(35)2＝－45． …………………… 9分所以 sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725． …………………… 11分从而cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝725×(－55)－(－2425)×255＝415125． …………………… 14分16．（本小题满分14分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2．又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2．∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2． ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2． ∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2． 即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．17．（本小题满分14分）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝att ＋1，销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为 94 万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x )万元． （1）求函数f (x ) 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值． 解：（1）由题意，P ＝att ＋1，Q ＝bt ，故当t ＝3时，P ＝3a 3＋1＝94，Q ＝3b ＝1． …………………… 3分 解得 a ＝3，b ＝13． …………………… 5分 所以 P ＝3t t ＋1，Q ＝13t ．从而 f (x )＝3x x ＋1＋3－x3，x ∈[0，3]． …………………… 7分 （2）由（1）可得：f (x )＝3x x ＋1＋3－x 3＝133－(3x ＋1＋x ＋13)．…………………… 9分因为x ∈[0，3]，所以x ＋1∈[1，4]， 故 3x ＋1＋x ＋13≥2，从而 f (x )≤133－2＝73． …………………… 11分 当且仅当3x ＋1＝x ＋13，即x ＝2时取等号． 所以f (x )的最大值为 73．答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元． …………………… 14分 18．（本小题满分16分）设[]11A =-，，[]22B =-，函数()221f x x mx =+-． （1）设不等式()0f x …的解集为C ，当()C A B ⊆I 时，求实数m 的取值范围； （2）若对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -=+成立，试求x B ∈时，函数()f x 的值域；（3）设()()22g x x a x mx a =---∈R ，求()()f x g x +的最小值.【答案】(1)]1,1[-；(2)[]3,15-；(3)当1a ≤-时，()min 22f x a =--，当11a -<<时，()2min 1f x a =-，当1a ≥时，()min 22f x a =-．【解析】（1）由[][]1122A B =-=-，，，，知：[]1,1A B ⋂=-，且二次函数()f x 的开口向上，()01f =-，由题意知不等式()0f x ≤的解集为C ，当()C A B ⊆⋂时∴函数()f x 必有两零点，且两零点均在区间[]1,1-内，故只需：()()1010f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得11m -≤≤ ．（3）令()()()h x f x g x =+，则()222221,21221,x x a x ah x x x a x x a x a⎧+--≥⎪=+--=⎨-+-≤⎪⎩ ，①当1a ≤-时，函数()f x 在区间(),1-∞-是减函数，()1,-+∞是增函数，此时()min 22f x a =-- ……………………11分②当11a -<<时，函数()f x 在区间(),a -∞是减函数，(),a +∞是增函数，此时()2min 1f x a =-……………………13分③当1a ≥时，函数()f x 在区间(),1-∞是减函数，()1,+∞是增函数， 此时()min 22f x a =- ．综上：当1a ≤-时，()min 22f x a =--，当11a -<<时()2min 1f x a =-，当1a ≥时()min 22f x a =- ． 19．（本小题满分16分）已知函数3()3f x x x a =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在x ＝2处的切线方程； （2）当[1,1]x ∈-时，求函数f (x )的最小值；（3）已知0a >，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，求实数a 的取值范围． 解：（1）当x ＞1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f (2)＝11．由f'(x )＝3x 2＋3，得f'(2)＝15．所以y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝15(x －2)＋11即15x －y －19＝0．（2）①当a ≤－1时，得f (x )＝x 3＋3x －3a ，因为f'(x )＝3x 2＋3＞0，所以f (x )在[－1，1]单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4－3a ． ②当a ≥1时，得f (x )＝x 3－3x ＋3a ，因为f'(x )＝3x 2－3≤0， 所以f (x )在[－1，1]单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2＋3a ．③当－1＜a ＜1时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3x －3a ，a ＜x ＜1，x 3－3x ＋3a ，－1＜x ≤a ，由①②知：函数f (x )在(－1，a )单调递减，(a ，1)单调递增， 所以f (x )min ＝f (a )＝a 3．综上，当a ≤－1，f (x )min ＝－4－3a ；当－1＜a ＜1时，f (x )min ＝a 3； 当a ≥1时，f (x )min ＝－2＋3a ．（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，即对任意x ≥1有(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3≥0． 设g (x )＝(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3， 则g (1)＝0，g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x ． 设h (x )＝g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x ，因为a ＞0，x ≥1，所以h'(x )＝6(x ＋a )＋15a 2x 2＞0，所以h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)，即g'(x )≥g'(1)＝3(1＋a )2＋3－15a 2＝－(a －1)(2a ＋1)，① 当g'(1)≥0即0＜a ≤1时，所以g'(x )≥0恒成立，所以g (x )在[1，＋∞)单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，满足题意． ② 当g'(1)＜0即a ＞1时，因为g'(a )＝12a 2－15a ＋3＝3(a －1)(4a －1)＞0，且g'(x )在[1，＋∞)单调递增，所以存在唯一的x 0＞1，使得g'(x 0)＝0，因此当1＜x ＜x 0时g'(x )＜0；当x ＞x 0时g'(x )＞0； 所以g (x )在(1，x 0)单调递减，(x 0，＋∞)单调递增． 所以g (x 0)＜g (1)＝0，不满足题意． 综上，0＜a ≤1．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数, 则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数, 则称()f x 为“二阶比增函数”；我们把所有“一阶比增函数” 组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数” 组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)f x ax a x a x =--+-(0x >，a ∈R )①求证：当0a =时，()()f x A B ∈I ；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ,若()f x B ∈,且存在常数k ,使得(0,)x ∀∈+∞，()f x k <，求证: ()0f x <.试题分析：(1)运用题设中定义的新概念进行推理和论证即可获解；(2)借助题设中定义的新的概念进行推理和论证，运用转化与化归的数学思想即可获解. 【解析】（1）①证明: 当0a =时,()()240f x x x x =->, 则()41f x y x x==-在()0,+∞上为增函数；()214f x y x x==在()0,+∞上为增函数,()f x A B ∴∈ ；②解：()()()2221f x y ax a x a x==--+-,在()0,+∞上为增函数, 则()0,022202a a a a>⎧⎪∴<≤-⎨≤⎪⎩, ()()2122f x a y ax a x x-==--+在()0,+∞上为增函数, 21'0a y a x -=-≥在()0,+∞上恒成立, 所以01a ≤≤ 则a 的范围为(1,2]（2）证明：：假设存在()00,x ∈+∞使得()00f x >,记()0200f x m x =>,因为()f x B ∈,所以()f x 为“二阶比增函数” , 即()2f x y x=是增函数, 所以当00x x >>时, ()()0220f x f x m x x >=,即()2f x mx >,所以一定存在100x x >>,使得()211f x mx k >>成立, 这与()f x k <对任意的()0,x ∈+∞成立矛盾, 所以()0f x ≤对任意的()0,x ∈+∞都成立；再证明()0f x =在()0,+∞上无解, 假设存在20x >,使得()20f x =；()f x 为“二阶比增函数” , 即()2f x y x=是增函数, 所以一定存在当320x x >>, 使得()()3222320f x f x x x >=成立, 这与上述的证明结果矛盾. 所以()0f x = , 在()0,+∞上无解, 综上所述, 当()f x B ∈时, 对任意的()0,x ∈+∞,都有()0f x <成立.。