高考数学难点突破_难点09__指数、对数函数
如何解决高考数学中的指数与对数运算问题

如何解决高考数学中的指数与对数运算问题在高考数学中,指数与对数运算问题一直是考生们的难点之一。
本文将介绍一些解决这类问题的方法和技巧,帮助考生们更好地应对高考数学中的指数与对数运算。
一、指数运算问题的解决方法:1. 熟悉指数的基本运算法则:指数相乘,底数不变,指数相加;指数相除,底数不变,指数相减;指数的负指数是指数的倒数等。
掌握这些基本运算法则可以快速简化指数运算。
2. 注意指数运算的特殊情况:0的任何正指数都等于0,0的负指数为不存在;1的任何指数都等于1,1的负指数为1的倒数等。
遇到这些特殊情况,可以直接计算结果。
3. 运用指数运算的化简规则:当指数运算中有相同底数时,可以运用化简规则将指数部分合并或分解。
例如,指数相乘时可以将底数不变,指数相加;指数相除时可以将底数不变,指数相减。
灵活应用这些规则可以简化计算过程。
4. 运用对数函数化简指数:对数函数和指数函数是互逆关系,通过运用对数函数可以将指数运算转化为对数运算,并利用对数运算的性质来解决问题。
二、对数运算问题的解决方法:1. 了解对数的基本性质:对数的底数必须为正实数且不能等于1,对数的真数必须为正实数。
了解这些基本性质可以帮助我们正确应用对数运算。
2. 运用对数运算的基本公式:对数运算有两个基本公式,即对数公式和换底公式。
对数公式是ln(a/b) = ln(a) - ln(b),换底公式是loga(b) = logc(b) / logc(a)。
根据具体情况灵活应用这些公式可以化简对数运算。
3. 善用常见对数与自然对数的计算:常见对数的底数为10,自然对数的底数为e。
掌握常见对数和自然对数的近似值,可以在计算过程中快速估算结果。
常见对数的近似值为log10(2)≈0.3010,log10(3)≈0.4771,自然对数的近似值为ln(2)≈0.6931,ln(3)≈1.0986。
4. 运用对数变换解决问题:对数变换是将原问题转化为以对数形式表示的问题,通过运用对数的性质解决问题。
对数函数(重难点突破)

对数函数重难点突破一、知识梳理二、知识精讲知识点一 对数函数及其性质(1)概念:函数 y =log a x(a >0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质0<a<1图象定义域: (0,+∞)值域: R当 x = 1 时, y =0,即过定点(1,0)当 x>1 时, y>0; 当 0<x<1 时, y<0在(0,+∞)上是增函数a>1对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质:①a logaN =N ;②log a a b =b(a>0,且 a≠1). (2)对数的运算法则如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①log a (MN)=log a M +log a N ; M④log a m M n =n mlog a M(m ,n∈R,且 m≠0).(3)换底公式: log b N =log a Nlog a b(a ,b 均大于零且不等于 1).三、例题讲解(一) 对数函数的概念与图像 例 1、给出下列函数:;①y= x πx .其中是对数函数的有( ) A .1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个 【答案】解: ①y=x 2 的真数为 x 2,故不是对数函数;3(x ﹣ 1)的真数为x ﹣ 1,故不是对数函数; ③y= log x+1x 的底数为 x+1,故不是对数函数;②y= log④y=log πx 是对数函数;故选: A .【变式训练 1-1】.函数f(x)=log a |x|+1(0<a <1)的图象大致为( )【答案】 A②log a =log a M -log a N ;③log a M n =nlog a M(n∈R);2 ②y=log 3(x ﹣ 1); ③y=log x+1x ; ④y=logN【解析】选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y 轴对称.设g(x)=log|x|,先画出ax>0 时,g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x<0 时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象,结合图象知选 A.【变式训练 1-2】.函数f (x )=的图象可能是( )【答案】解:∵f(x )=,∴函数定义域为(﹣∞, 0)∪(0,+∞),∵,∴函数f (x )为奇函数,图象关于原点对称,故排除 B 、C ,∵当 0<x <1 时, lnx <0,∴f(x )=<0,x∈(0,1)故排除 D .故选: A .【变式训练 1-3】.函数 y =|lg (x+1) |的图象是( )A .B .C .D .故函数 y = lg (x+1)的图象与 X 轴的交点是(0,0),即函数 y = |lg (x+1) |的图象与 X 轴的公共点是(0, 0),考察四个选项中的图象只有 A 选项符合题意故选: A . 1273 8【变式训练 1-4】.计算: +log 2(log 216)=________. CD例 2.函数 y = 的图象大致是(A . . .B .【解析】:原式=2 331323x 2 ,x 02x1,x083.)+log24=+2=【答案】 B【变式训练 2-1】.已知a 0 ,b 0且a 1,b 1 ,若logab 1,则下列不等式可能正确的是().A.(b1)(b a)0B.(a1)(a b)0C.(a1)(b1)0D.(a1)(b a)0【答案】 AD【解析】∵loga b1logaa,∴若a1,则b a,即b a1.∴(b1)(b a)0,故A正确.(a1)(b a)0,故D正确.若0a1,则0b a1,∴(a1)(a b)0,(a1)(b1)0,故BC错误,2x,x12-3】.图中曲线是对数函数y log x的图象,已知a 取 3 ,,,C 2 ,C3,C4的a 值依次为( )4 3 1【变式训练a3510四个值,则相应于C1,【变式训练2-2】.已知函数f(x)log2(1x),x1,则f(0)f(3)_______.【解析】f(0)f(3)20log1(3)121.故答案为:-14 3 1 4 1 3A . 3 , , ,B . 3 , , ,3 5 10 3 10 54 3 1 4 1 3C . , 3 , ,D . , 3 , ,3 5 10 3 10 5【答案】 A 可得C 1 , C 2 , C 3 , C 4 的a 值从小到大依次为: C 4 ,C 3 , C 2 , C 1 ,4(二) 比较大小例 3.(2019·浙江湖州高一期中) 下列各式中错误的是( )A . 30.8 30.7B .log 0.5 0.4 log 0.5 0.6C . 0.750.10.750.1 D .log 2 3 log 3 2 【答案】 C【变式训练 3-1】.(2020·全国高一课时练习) 设 alog 3 ,b log 2 3,c log 3 2 则( )A .a >b >cB .a >c >bC .b >a >cD .b >c >a 【答案】 A1 【解析】 alog 3log 3 3 1, 2log 3 3 log 3 2 c ,1 2【变式训练 3-2】.(2019 秋•沙坪坝区校级月考) 已知 a =log 30.3,b =30.3,c =0.30.2,则( ) A .a <b <c B .a <c <b C .c <a <b D .b <c <a 【分析】容易得出,从而可得出 a ,b ,c 的大小关系.【答案】解:∵log 30.3<log 31=0,30.3>30 =1,0<0.30.2<0.30=1 ∴a<c <b .故选: B . 【变式训练 3-3】.(2019•西湖区校级模拟)下列关系式中,成立的是( )【答案】解:∵log 34>log 33=1,0<0.31.7<0.30=1,log 0.310<log 0.31=0,CDlog 2 2 b log 2 3 log 2 2 1, a b c .故选: A. . . A . B . ..∴.故选: A.(三) 对数函数过定点问题例4.(2019 秋•水富县校级月考)已知函数y=3+log a(2x+3)(a>0,a≠1)的图象必经过定点 P,则P 点坐标是()A.(1,3)B.(﹣,4)C.(﹣1,3)D.(﹣1,4)【分析】令 2x+3=1,求得x 的值,从而求得P 点的坐标.【答案】解:令 2x+3=1,可得 x=﹣ 1,此时y=3.即函数y=3+log a(2x+3)(a>0,a≠1))的图象必经过定点 P 的坐标为(﹣ 1,3).故选:C.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于基础题.【变式训练 4-1】.函数y=log a(x+2)+a x+1+2(a>0,且a≠1)的图象必经过的点是()A.(0,2) B.(2,2) C.(﹣ 1,2) D.(﹣ 1,3)【分析】根据 log a1=0,a0=1,求出定点的坐标即可.【答案】解:令x+2=1,解得:x=﹣ 1,故y=0+1+2=3,故图象过(﹣ 1,3),故选:D.【点睛】本题考查了对数函数,指数函数的性质,根据log a1=0,a0=1 是解题的关键.【变式训练 4-2】.已知a>0,a≠1,则f(x)=log a的图象恒过点()A.(1,0)B.(﹣2,0)C.(﹣1,0)D.(1,4)【分析】令=1,解得x=﹣ 2,y=0,进而得到f(x)=log a的图象恒过点的坐标.【答案】解:令=1,解得:x=﹣ 2,故f(﹣2)=log a1=0 恒成立,即f(x)=log a的图象恒过点(﹣ 2,0),故选:B.(四) 有关对数函数奇偶性问题例5.(多选题)下列函数中,是奇函数且存在零点的是( )A.y=x3+x B.y=logx2C.y=2x2 -3 D.y=x|x|【答案】 ADx 为非奇非偶函数,与题【解析】 A 中, y=x3+x 为奇函数,且存在零点x=0,与题意相符; B 中,y=log2意不符;C4.1,c f 20.8 ,【变式训练 5-1】.已知奇函数f x在R 上是增函数,若a f log b f log2则a,b,c 的大小关系为( )A.a b c B.b a c C.c b a D.c a b【答案】 C 5【解析】由题意:a f log21f log25,且:log25log24.12,120.82,据此: log 2 5log 2 4.1 20.8 ,结合函数的单调性有: f log 2 5 f log 2 4.1 f 20.8 , 即a b c,c b a .本题选择 C 选项.【变式训练 5-2】.对于函数 ,下列说法正确的是( )A .f (x )是奇函数B .f (x )是偶函数C .f (x )是非奇非偶函数D .f (x )既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可. 【答案】解:由 >0,解得:﹣ 1<x <1,故函数f (x )的定义域是(﹣ 1,1),关于原点对称,而 f ( ﹣x )=log 2=﹣ log 2=﹣ f (x ),故f (x )是奇函数,故选: A .(五) 有关对数函数定义域问题 例 6.函数 y =1log 2(x 2)的定义域为( )A .(-∞ ,2)B .(2,+∞)C .(2,3)∪(3,+∞)D .(2,4)∪(4,+∞) 【答案】 Cx 2 0,【变式训练 6-1】.(2018 秋•宜宾期末) 函数 y =的定义域是( )A .( ,+∞)B .( ,1]C .(﹣∞, 1]D .[1,+∞)【分析】首先由根式有意义得到 log 0.5(4x ﹣ 3) ≥0,然后求解对数不等式得到原函数的定义域. 【答案】解:要使原函数有意义,则 log 0.5(4x ﹣ 3) ≥0,即 0<4x ﹣ 3≤1,解得.所以原函数的定义域为(].故选: B .【解析】:选 C 根据题意得 解得 x>2 且 x≠3,故选 C. log 2 (x 2) 0【变式训练 6-2】.(2018 春•连城县校级月考)函数y=的定义域是()A.[1,+∞) B.(,+∞) C.(1,+∞) D.(,1]【分析】利用对数的性质求解.【答案】解:函数 y = 的定义域满足: ,解得 .故选: D .1【变式训练 6-3】.函数ylog 2 x 2的定义域是__________.【答案】2,3 3,x 2 0 x 2 0因此,函数y 的定义域是2,3 3, .故答案为: 2,3 3, .【变式训练 6-4】.函数f xlog 1 x 2 2x 3 的定义域为______,最小值为______.2【答案】3,1 2 【解析】由题意得 x 2 2x 3 0 ,解得3 x 1,所以函数 f x 的定义域为 3,1 ,令t x 2 2x 3 x 1 2 4 0,4 ,所以g t log 1 t 在 0,4 递减,且g 4 log 1 4 2 .2 2因此函数 f x 的值域为[2, ) ,最小值为 2 .(六) 有关对数函数值域问题及最值问题1例 7.函数f(x)= 的值域是( )A .(-∞ ,1)B .(0,1)1 log2 x 23x 1【解析】由题意可得log 3 x2 0 ,即x2 1 ,解得 x 2且 x 3.【解析】∵3x +1>1, ∴0<13x 1<1,∴函数的值域为(0,1).【变式训练 7-1】.(2019 秋•南昌校级期中) 函数 y =log 4(2x+3 ﹣ x 2 )值域为.【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值,再通过配方求得值域. 【答案】解:设 u (x )=2x+3 ﹣ x 2=﹣(x ﹣ 1) 2+4,当 x =1 时, u (x )取得最大值 4,∵函数 y =log 4x 为(0,+∞)上的增函数, ∴当 u (x )取得最大值时,原函数取得最大值,即 y max =log 4u (x ) max =log 44=1,8因此,函数 y =log 4(2x+3 ﹣ x 2)的值域为(﹣∞, 1],故填: (﹣∞, 1].【变式训练 7-2】.已知函数f(x) lg x 2 2x a ,若它的定义域为 R ,则 a_________,若它的值域为 R ,则 a__________. 【答案】 1 1【解析】函数 f(x) lg x 2 2x a 的定义域为 R ,则 x 22x a0恒成立,故 4 4a 0, 即 a1 ;函数 f(x) lg x2 2x a 为 R ,则 0, 是函数 y x 2 2x a 值域的子集,则 4 4a0 ,即 a 1.故答案为: 1; 1.【变式训练 7-3】.)已知f(x)=log 2(1-x)+log 2(x +3),求f(x)的定义域、值城.【答案】定义域为 3,1 ,值域为,2 .【解析】由函数 f(x) 有意义得 ,解得 3 x1,因为 f xlog 2 (1 x) log 2 (x 3) log 2 1 x x 3 log 2 x 2 2x 3log 2x 1 2 4 , 3 x 1, 又因为tx 1 24在( 3, 1) 上递增,在( 1,1) 上递减,所以t 0,4 ,所以log 2 t,2 .所以函数f(x) 的值域为 ,2 .【变式训练 7-4】.设f x log a 1 x log a (3 x)a 0,a 1 ,且 f 1 2 . 1)求a 的值及 fx 的定义域;2)求 fx 在区间 0, 3上的最大值.2 1 x 0 x3 0【答案】1)a2,定义域为1,3;2)2【解析】1)f1loga 2loga2loga42,解得a2.故f x log21x log2(3x),则解得-1< x < 3 ,故f x的定义域为1,3.(2)函数 f x log 2 1 x log 2 3 x log 2 3 x 1 x ,定义域为 1,3 , 01, 3 ,由函数 y log 2 x 在0, 上单调递增, 函数 y 3 x 1 x 在 0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减,可得函数 f x 在0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减.故 f x 在区间 0上的最大值为 f 1 log 2 4 2 .(七) 对数函数的概念与图像例 8.画出下列函数的图象:(1)y =lg|x -1| .(2) y lg(x 1) .(八) 对数型复合函数的单调性问题例 9.函数f(x) log 1 (2 x)的单调递增区间是( )2A .( , 2) B . ( ,0) C . (2, ) D . (0, )【答案】 A【解析】由 2 x 0 ,得到x 2 ,令t2 x ,则t 2 x 在(, 2) 上递减,而y log 1 t 在(0,) 上2递减,由复合函数单调性同增异减法则,得到f(x) log 1 (2 x) 在(, 2) 上递增,故选: A2226 ax在0,2 上为减函数,则a 的取值范围是()【变式训练9-1】.函数f x logaA .(0,1)B .1,3C.1,3D.3,【答案】B,计算得出,所以 B 选项是正确的.【变式训练 9-2】.已知函数 f(x) log x 2log x 2(a 0, a 1) .(1)当 a 2 时,求 f(2) ;(2)求解关于x 的不等式 f(x) 0 ;(3)若x [2,4], f(x) 4 恒成立,求实数a 的取值范围.2, 1 1, 3 2【解析】 (1)当 a2 时, f x log 2 x 2 log 2 x 2 f 2 1 1 22 (2)由 f x 0 得: log x 2log x 2 log x 2 log x 1 0log a x 1或log a x 2当 a 1 时,解不等式可得: 0 x或 x a 2 1 a综上所述:当 a 1 时, f x 0 的解集为0, 1 a 2,;当 0 a 1时, f x 0 的解集为0, a 21 ,a(3)由 f x4 得: log x 2 log x 6 log x 3 log x 2 0log a x 2 或log a x 3①当 a 1 时,log a x maxlog a 4 , log a xminlog a 2a当 0 a 1时,解不等式可得: x 或 0 x a 2【答案】(1) 2 ;(2)见解析; (3)【解析】若函数上为减函数,则a a a 2 在1a a a aa a a aloga 42logaa2或loga23logaa3,解得:1a32②当0 a 1时,loga xmaxloga2 ,logaxminloga4loga 2 2 logaa 2 或loga4 3 logaa3 ,解得:综上所述:a的取值范围为22,11,32(九) 对数型复合函数的最值问题2a 1例10.(2019·内蒙古集宁一中高三月考)已知f x loga 1x1xa0,a1(1)求f x的定义域;(2)判断f x的奇偶性并予以证明;(3)求使f x 0 的x 的取值范围.【答案】(1)1,1;(2)见解析;(3)见解析.【解析】(1)由>0 ,解得x∈(-1,1).(2)f(-x)=loga=-f(x),且x∈(-1,1),∴函数y=f(x)是奇函数.(3)若 a>1,f(x)>0,则>1,解得0<x<1;若0<a<1,f(x)>0,则 0<<1,解得-1<x<0.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,既不是奇函数又不是偶函数,如果对称常见方法有:(1 )直接法, f x f x(正为偶函数,负为减函数);(2 )和差法,f x f x0(和为零奇函数,差为零偶函数);(3)作商法,f xf x1(1为偶函数,1为奇函数).【变式训练10-1】..(2019·浙江高一期中)已知函数f(x) log3 mx2 8x nx21.2(Ⅰ)若m 4, n 4 ,求函数f(x) 的定义域和值域;(Ⅱ)若函数f(x) 的定义域为R ,值域为[0,2] ,求实数m, n 的值.8];(Ⅱ)m5,n5.【答案】(Ⅰ)定义域为x x1,值域为(,log3【解析】(Ⅰ)若m 4, n 4 ,则 f(x) log34x 2 8x 4x 21,由4x 2 8x 4x 210 ,得到x 22x 1 0 ,得到 x 1 ,故定义域为x x 1 .4x 28x 4,则 (t 4)x 2 8x t 4 0当t4 时, x 0 符合.64 4(t 4)2 0,又 x 1 ,所以 t 0 ,所以 0t 8 ,则值域为(,log 3 8] .(Ⅱ)由于函数 f(x) 的定义域为 R ,则mx 2 8x n x 2 1m 0 m 0tmx 2 8x n,由于 f(x) 的值域为[0,2] ,则t [1,9] ,而(t m)x 2 8x t n 0 ,则由 64 4(t m)(t n) 0, 解得t [1,9] ,故 t 1和 t 9 是方程m n 10 m 5意.所以m 5, n 5 . 【变式训练 10-2】.(2019 秋•荔湾区校级期末)已知函数 f (x )=log 3(1+x )﹣ log 3( 1 ﹣ x ). (1)求函数f (x )定义域,并判断 f (x )的奇偶性.(2)判断函数f (x )在定义域内的单调性,并用单调性定义证明你的结论. (3)解关于 x 的不等式f (1 ﹣ x )+f (1 ﹣ x 2 )>0.x 2 1 令 t 64 4(t m)(t n) 0 即t2(m n)t mn 16 0 的两个根,则 ,得到 ,符合题mn 16 9 n 5x 2 10 恒成立,则 ,即 ,令 64 4mn 0 mn 16当t 4 时,上述方程要有解,则 ,得到 0 t 4 或4 t 8 , t 0【分析】(1)根据对数函数的性质以及函数的定义域,根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可;(2)根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可;(3)根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可.【答案】解:(1)要使函数f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x)有意义,必须满足,解得:﹣1<x<1,∴函数f(x)的定义域是(﹣ 1 ,1),综上所述,结论是:函数f(x)的定义域是(﹣ 1 ,1).f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x)=log3().f(﹣x)=log3=﹣log3.∴f(x)为奇函数.(2)函数f(x)=log3(),在区间(﹣ 1 ,1)上任取两个不同的自变量x1 ,x2,且设x1<x2 ,则f(x1)﹣f(x2 )=log3,又(1+x1)(1﹣x2)﹣(1﹣x1)(1+x2)=2(x1﹣x2)<0,即(1+x1)(1﹣x2)<(1﹣x1)(1+x2),∵﹣1<x1<x2<1,∴1+x1>0,1﹣x2>0,∵(1+x1)(1﹣x2)>0,∴<1,∴log3<0,即f(x1 )>f(x2),∴函数f(x)是定义域内的单调递增函数.(3)∵f(x)为奇函数,∴f(1﹣x)+f(1﹣x2)>0∴f(1﹣x)>f(x2﹣1),又∵f(x)在定义域上单调递增,∴1﹣x>x2﹣1,x2+x﹣2<0,即(x+2)(x﹣1)<0,∴﹣2<x<1,而,解得:0<x<,综上:0<x<1.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题.四、迁移应用21x,x1,【答案】[0,)【解析】x1时,f(x)21x2,1x1,x0,∴0x1,x1时,f(x)1log2x2,log2x1,x1,所以x1,综上,原不等式的解集为[0, ) .故答案为:[0,).217.设函数f(x) 则满足f(x) 2 的x 的取值范围是_______________.1log2x,x1,。
高考数学中的对数与指数问题解析

高考数学中的对数与指数问题解析高考数学中的对数与指数是比较重要的知识点之一,同时也是比较难理解的知识点之一,所以在备考高考时,掌握对数与指数的知识点是非常重要的。
在本篇文章中,笔者将结合自己的学习经验以及高考历年真题,为大家详细解析关于对数与指数的知识点。
一、对数对数(Logarithm)是一个非常常见的数学概念,在现代科学和工程技术中得到广泛的应用。
在高中数学中,对数是一个非常重要的知识点,它是指一种数学运算,用于表示一数在另一数的幂中的指数。
对数的定义对于一个正实数a和正整数n,当且仅当an=b,其中b是一个正实数时,称n为b以a为底的对数,记作loga(b)。
其中,a被称为对数的底数,b被称为真数,n被称为对数。
注意:底数如果没有指明,则默认为10,即log 10 (b)=log (b)。
对数的性质1、loga(mn)=loga(m)+loga(n)2、loga(m/n)=loga(m)-loga(n)3、loga(mn)=nloga(m)4、loga((m^n))=nloga(m)5、loga(m)=1/logm(a)6、loga(1)=07、loga(a)=1通过对数的这些性质,可以快速的推导某些数学式子。
对数的应用对数在许多领域都有着广泛的应用,比如说信号处理、通讯工程、生物学、计算机科学等等。
在高考数学中,对数的应用也非常占有重要地位,我们经常会遇到关于对数的一些实际问题,如生物学、经济学、物理学等方面。
二、指数指数(Exponent)是数学语言中比较常见的概念之一,指的是在一定的情况下,同一个数连乘若干次,这个数就成了指数。
在高中数学中,指数也是非常基础而且常见的数学概念之一。
指数的定义当一个正整数b(底数)和正整数n(指数)的乘积为一个正实数a时,b的n次方等于a,用符号表示为bn=a。
指数的性质1、bm*bn=b(m+n)2、bm/bn=b(m-n)3、(bm)n=bmn4、b1=b5、b0=16、(1)n=17、0n=0(当n≠0时无意义)指数的应用指数函数在很多领域都有着广泛的应用,比如说物理学、工程学、工商管理、经济学等等。
高考数学难点突破_难点09__指数对数函数

高考数学难点突破_难点09__指数对数函数指数对数函数是高考数学中的一个重要的难点,也是学生普遍认为比较难理解和掌握的内容之一、本文将从基本概念、性质、解题技巧等方面进行详细介绍,帮助学生突破这一难点。
一、基本概念1.指数函数:指数函数是以指数为自变量,以底数为底的函数。
比如y=2^x就是一个指数函数,其中2是底数,x是指数。
2. 对数函数:对数函数是指数函数的逆运算,也就是说,指数函数和对数函数互为反函数。
比如 y = log2(x) 就是一个对数函数,其中 2 是底数,y 是对数。
二、性质1.指数函数的性质:(1)底数为正数且不等于1;(2)指数为任意实数;(3)当底数小于1时,指数函数是递减函数;(4)当底数大于1时,指数函数是递增函数。
2.对数函数的性质:(1)底数为正数且不等于1;(2)对数为任意正数;(3)对数函数的定义域是正数集合,值域是实数集合;(4)对数函数图象是一条过点(1,0)的上凸曲线。
三、解题技巧1.指数函数的解题技巧:(1)利用指数函数的性质进行函数图象的绘制;(2)将指数转化为对数的形式,利用对数的性质简化计算;(3)注意指数函数的定义域和值域,避免出现无解的情况;(4)利用指数函数的性质解决等式、不等式,注意正确应用换底公式。
2.对数函数的解题技巧:(1)利用对数函数的性质进行函数图象的绘制;(2)利用对数函数的反函数性质化简等式、不等式的解;(3)根据定义域和值域限制,判断函数是否有解;(4)注意合理利用换底公式,化简对数运算。
四、经典题型1. 解对数方程:如 log2(x+3) + log2(x-2) = 3,将对数方程转化为指数方程求解。
2.判断函数性质:如f(x)=5^(x-3),要求判断指数函数f(x)的增减性和定义域。
3.运用指数对数函数求最值:如y=3^x-3^(1-x),通过化简求函数的最值。
4. 判断指数函数与对数函数的关系:如 f(x) = 2^x 和 g(x) = log2(x),要求判断两个函数的值域和定义域。
高考数学复习点拨 剖析对数函数中的三大难点

剖析对数函数中的三大难点对数函数是高中数学中的一个重要函数,也是高考的热点知识之一.学习对数函数时会遇到一些难点,使解题思维陷入困境,究其原因主要有三大难点.难点一:底数不统一对数的运算性质及相关的知识都是建立在底数相同的基础上的,但在实际问题中,对数的运算、变形却经常要遇到底数不相同的情况,出现这种情形,该如何来突破呢?主要有三种处理方法:① 化指数式.对数函数与指数函数互为反函数,所以它们之间有着密切的关系:log a N b =即为b a N =,因此在处理有关对数中遇到的问题时,经常将对数式化为指数式来帮助解决. ②利用换底公式统一底数.换底公式的主要功能就是将底数不相同的对数通过换底把底数统一起来,然后再运用相关的性质与法则进行求解. ③ 利用函数图象.函数的图象是函数的另一重要方面,它可以将函数的有关性质直观显现,因此,当对数的底数不相同时,可以借助对数函数的图象的直观性来加以理解和寻求解题的思路.例1 若1100a b a b ≠≠>>,,,,且满足关系式2log 2log 4log 3a a b ==,求a b,的值.分析:已知关系式中包含三个别底数不相同的对数式, 因此可设2log 2log 4log 3a a b m ===,转化为指数式来解决.解:设2log 2log 4log 3a a b m ===,则2m a =,42ma ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 22mm a a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,即22m m m a a =. 由于0m a >,122m ∴=,1m ∴=-. log 2log 31a b ∴==-,1123a b ∴==,. 例2 设2log 3a =,3log 7b =,求42log 56的值.分析:两个已知对数式的底数不相同,无法直接进行计算,所以应该首先考虑统一底数,从条件看应该把底数统一为3.解:由2log 3a =,可得31log 2a =, 所以,33342333log 56log 73log 23log 56log 42log 2log 711ab ab a ++===++++. 例3 若log 2log 20a b <<,则a b ,满足的关系是( )A.1a b << B.1b a << C.01a b <<< D.01b a <<< 分析:此题由于两个对数式底数不同,但是真数相同,所以可以把两个对数式看成是两个对数函数在自变量取同一个值时的两个不同的函数值,可通过图象来分析.解:log 2log 2a b ,可以看成是对数函数log a y x =,log b y x =在2x =时的两个函数值,画出它们的大致图象(如右图),显然a b ,均小于1,根据对数函数的底数和图象的关系可得:01b a <<<,故选(D).难点二:真数是和差的形式 对数的运算性质的主要功能是将运算级别较高的降低为级别较低的运算,而和与差是运算中的最低级别,所以在处理真数是和差形式的对数问题时,难度就较大,主要有两种处理方法:①整体考虑;②对真数因式分解.例4 若实数x 满足222log (21)log (24)3x x +--=,求x 的值.分析:已知关系式既有对数的相乘,又有真数的差,要将此式进行转化,可以把2log (21)x -看成整体,再对22log (24)x +-的真数因式分解.解:由222log (21)log (24)3x x +--=,得22log (21)log 4(21)3x x ⎡⎤--=⎣⎦,所以22log (21)2log (21)3x x ⎡⎤-+-=⎣⎦,所以222log (21)2log (21)30x x -+--=,解得2log (21)1x -=,或2log (21)3x -=-,故有2log 3x =,或29log 8x =. 难点三:对数与对数相乘对于对数与对数相乘,运用对数的运算性质是很难解决的.因此,在解决此类问题时,要根据所给的关系式认真分析其结构特点.其求解主要有三种方法:①利用换底公式;②整体考虑;③化各对数为和差的形式.例5 设23456783log 3log 4log 5log 6log 7log 8log log 27m =,求m 的值. 分析:已知等式是七个对数之积,其特点是:从第二个对数开始的每一个对数的底数是前一个对数的真数,因此,我们可以采用换底公式将各对数换成以2为底的两个对数的商,然后约分达到目的.解:2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log m22222222222222log 4log 5log 6log 7log 8log log 3log log 3log 4log 5log 6log 7log 8m m ==. 23log log 273m ∴==,8m ∴=.例6 已知2222(log )7log 30x x -+≤,求函数22log log 24x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域. 分析:所求函数的解析式是两个对数的积的形式,可利用对数的运算性质将其化为两个差的积.解:由2222(log )7log 30x x -+≤,得21log 32x ≤≤. 函数22222231log log (log 1)(log 2)log 2424x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当23log 2x =,即x =min 14y =-; 当2log 3x =,即8x =时,max 2y =.所以函数的值域为124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,.。
如何应对高考数学中的指数与对数运算题目

如何应对高考数学中的指数与对数运算题目随着高考的临近,数学科目中的指数与对数运算题目成为了考生们备战的重点之一。
这类题目既考验了学生对基本概念的理解,又要求他们具备灵活的运算能力。
为了帮助考生们更好地应对高考数学中的指数与对数运算题目,下面将从知识梳理、解题技巧和练习方法三个方面进行讲解。
一、知识梳理指数与对数是数学中重要的概念,对应于实际生活中的很多现象和应用。
在应对高考数学中的指数与对数运算题目时,考生首先要对相关概念进行梳理和理解。
指数运算是将一个数与自己连乘若干次的运算,用表达式表示为a^n。
在指数运算中,考生需要了解指数的性质,例如指数相等时底数相等,指数相加时底数相乘等。
此外,考生还要熟悉指数运算的基本法则,如乘方法则、幂函数的运算等。
对数运算是指数运算的逆运算,用表达式表示为loga(x)。
在对数运算中,考生需要了解对数的性质,例如对数的底数应为正数且不等于1,对数的定义域和值域等。
同时,考生还需掌握对数运算的基本法则,如对数的乘法法则、除法法则、换底公式等。
这些知识对于高考数学中的指数与对数运算题目至关重要。
二、解题技巧在应对高考数学中的指数与对数运算题目时,考生可以采用以下解题技巧,帮助他们更好地理解和解决问题。
1. 灵活运用变换法考生可以通过变换法来处理指数与对数运算题目。
例如,在化简指数表达式时,可以将指数转化为相同底数的乘方形式,以便进行运算。
在解对数方程时,可以通过变换底数的方法,将方程转化为相同底数的对数方程,从而简化计算过程。
2. 利用指数和对数的性质指数和对数具有一些重要的性质,考生可以充分利用这些性质来解题。
例如,在求指数和的数值时,可以利用指数加法性质将指数相加,从而得到最终结果。
在解决对数运算题目时,可以应用对数乘法法则或对数换底公式将复杂的运算转化为简单的形式。
3. 注意问题中的限制条件在解答数学题目时,考生需要仔细阅读问题并注意其中的限制条件。
指数与对数运算题目中常常会给出一些条件,这些条件对于解题过程以及最终结果的求取都具有重要的指导作用。
高一最难的数学知识点指数对数

高一最难的数学知识点指数对数在高中数学中,指数和对数是其中最具挑战性的知识点之一。
对于大部分高一学生来说,掌握这两个概念可能需要一些时间和努力。
本文将介绍高一最难的数学知识点之一——指数和对数,并通过例题和解析,帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、指数指数是数学中重要且常见的概念之一。
在数学中,指数表示一个数的乘积中,相同因子的重复次数。
指数的表示通常采用上标形式,如2³表示2的三次方。
在学习指数时,我们需要了解指数运算的基本规则。
其中包括乘法法则、除法法则和幂运算法则等。
1. 乘法法则乘法法则指出,两个具有相同底数的指数相乘,等于底数不变,指数相加。
例如,aⁿ * aᵐ = a^(n+m)。
通过使用乘法法则,我们可以简化复杂的指数运算,并进行快速计算。
2. 除法法则除法法则是乘法法则的逆运算。
两个具有相同底数的指数相除,等于底数不变,指数相减。
例如,aⁿ / aᵐ = a^(n-m)。
掌握除法法则对于解决涉及指数的复杂问题非常重要。
3. 幂运算法则幂运算法则规定,一个数的指数上再次有指数,等于底数不变,指数相乘。
即(aⁿ)ᵐ = a^(n*m)。
理解幂运算法则有助于我们处理复合指数和简化指数表达式。
二、对数对数是指数的逆运算。
在数学中,对数表示一个数以某个底数为指数时的结果。
对数有时候也被称为幂运算的反函数。
对数的表示通常采用log的形式,如logₐb表示以底数a为指数时,结果为b的对数。
掌握对数的规则和性质是理解和解决对数问题的关键。
以下是一些基本的对数性质。
1. 对数的乘法法则对数的乘法法则指出,两个数相乘后取对数,等于将两个数分别取对数再相加。
即logₐ(m*n) = logₐm + logₐn。
这个性质可以用于简化复杂的对数运算。
2. 对数的除法法则对数的除法法则是乘法法则的逆运算。
两个数相除后取对数,等于将两个数分别取对数再相减。
即logₐ(m/n) = logₐm - logₐn。
黄冈中学高考数学典型例题9:指数、对数函数

黄冈中学高考数学典型例题详解指数、对数函数指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; (2)若f (x )的反函数为f -1(x ),证明:对任意的自然数n (n ≥3),都有f -1(n )>1+n n ; (3)若F (x )的反函数F -1(x ),证明:方程F -1(x )=0有惟一解.●案例探究[例1]已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明:点C 、D 和原点O 在同一条直线上; (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标.命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托:(1)证明三点共线的方法:k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A 点坐标. 错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法:本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明:设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知:x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上,所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218xx x 3log 8x 2,所以OC 的斜率:k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率:k 2=228222log 3log x x x x =,由此可知:k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上.(2)解:由BC 平行于x 轴知:log 2x 1=log 8x 2 即:log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得:x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3,log 83).[例2]在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000(10a )x(0<a <1)的图象上,且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范围;(3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{C n }前多少项的和最大?试说明理由.命题意图:本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度较大的综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托:指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析:考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口. 技巧与方法:本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运用相关的知识点去解决问题.解:(1)由题意知:a n =n +21,∴b n =2000(10a )21+n .(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减,∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a)-1>0,解得a <-5(1+2)或a >5(5-1).∴5(5-1)<a <10.(3)∵5(5-1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n .数列{b n }是一个递减的正数数列,对每个自然数n ≥2,B n =b n B n -1.于是当b n ≥1时,B n <B n -1,当b n <1时,B n ≤B n -1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得:n ≤20.8.∴n =20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有:(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和,如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(-∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10-x +2)B.3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02( )(log )0( 22x x x x .则f --1(x -1)=_________.4.(★★★★★)如图,开始时,桶1中有a L 水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y = ae -nt ,那么桶2中水就是y 2=a -ae -nt ,假设过5分钟时,桶1和桶2的水相等,则再过_________分钟桶1中的水只有8a .三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x -3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时,点Q (x -2a ,-y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式;(2)若当x ∈[a +2,a +3]时,恒有|f (x )-g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21[f (x 1)+f (x 2)]与f (221x x +)的大小,并加以证明.7.(★★★★★)已知函数x ,y满足x ≥1,y ≥1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ,求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值.参考答案 难点磁场解:(1)由xx-+11>0,且2-x ≠0得F (x )的定义域为(-1,1),设-1<x 1<x 2<1,则F (x 2)-F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=, ∵x 2-x 1>0,2-x 1>0,2-x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1. 因此F (x 2)-F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(-1,1)上是增函数.(2)证明:由y =f (x )=x x -+11log 2得:2y =1212,11+-=-+y y x x x, ∴f -1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ,∴f --1(x )的定义域为R .当n ≥3时,f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n . 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明:∵F (0)=21,∴F -1(21)=0,∴x =21是F -1(x )=0的一个根.假设F -1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的,故F -1(x )=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析:由题意:g (x )+h (x )=lg(10x +1)①又g (-x )+h (-x )=lg(10-x +1).即-g (x )+h (x )=lg(10-x +1)②由①②得:g (x )=2x,h (x )=lg(10x +1)-2x . 答案:C2.解析:当a >1时,函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选,又a >1时,y =(1-a )x 为减函数.答案:B二、3.解析:容易求得f- -1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1( log 2x x x x ,从而:f -1(x -1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x答案:⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4.解析:由题意,5分钟后,y 1=ae -nt ,y 2=a -ae -nt ,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae -n (5+t )=8a,解得t =10. 答案:10三、5.解:(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x -2a ,y ′=-y .即x =x ′+2a ,y =-y ′.∵点P (x ,y )在函数y =log a (x -3a )的图象上,∴-y ′=log a (x ′+2a -3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aa x -1.(2)由题意得x -3a =(a +2)-3a =-2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0<a <1,∵|f (x )-g (x )|=|log a (x -3a )-log aax -1|=|log a (x 2-4ax +3a 2)|·|f (x )-g (x )|≤1,∴-1≤log a (x 2-4ax +3a 2)≤1,∵0<a <1,∴a +2>2a .f (x )=x 2-4ax +3a 2在[a +2,a +3]上为减函数,∴μ(x )=log a (x 2-4ax +3a 2)在[a +2,a +3]上为减函数,从而[μ(x )]max =μ(a +2)=log a (4-4a ),[μ(x )]mi n =μ(a +3)=log a (9-6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9-6a )≥-1解得0<a ≤12579-,由log a (4-4a )≤1解得0<a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0<a ≤12579-.6.解:f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号), 当a >1时,有log a x 1x 2≤log a (221xx +)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +),21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)]≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0<a <1时,有log a x 1x 2≥log a (221xx +)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21[f (x 1)+f (x 2)]≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号).7.解:由已知等式得:log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x -1)2+(log a y -1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u -1)2+(v -1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内,圆弧(u -1)2+(v -1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =-u +k 有公共点,分两类讨论.(1)当u ≥0,v ≥0时,即a >1时,结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2); (2)当u ≤0,v ≤0,即0<a <1时,同理得到2(1-2)≤k ≤1-3.x 综上,当a >1时,log a xy 的最大值为2+22,最小值为1+3;当0<a <1时,log a xy 的最大值为1-3,最小值为2-22.8.解:∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0.∴-3≤21log x ≤-23.即21log (21)-3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)-3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈[22,8]}又f (x )=(log 2x -1)(log 2x -3)=log 22x -4log 2x +3=(log 2x -2)2-1.∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =-1;当log 2x =3,即x =8时,y max =0.。
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难点9 指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; (2)若f (x )的反函数为f -1(x ),证明:对任意的自然数n (n ≥3),都有f -1(n )>1+n n ; (3)若F (x )的反函数F -1(x ),证明:方程F -1(x )=0有惟一解. ●案例探究[例1]已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明:点C 、D 和原点O 在同一条直线上; (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标.命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托:(1)证明三点共线的方法:k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A 点坐标. 错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法:本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明:设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知:x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上,所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率:k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率:k 2=228222log 3log x x x x =,由此可知:k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上. (2)解:由BC 平行于x 轴知:log 2x 1=log 8x 2 即:log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得:x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3,log 83).[例2]在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n位于函数y =2000(10a )x(0<a <1)的图象上,且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范围; (3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{C n }前多少项的和最大?试说明理由.命题意图:本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度较大的综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级 题目.知识依托:指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析:考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口.技巧与方法:本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运用相关的知识点去解决问题.解:(1)由题意知:a n =n +21,∴b n =2000(10a )21+n .(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减,∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a)-1>0,解得a <-5(1+2)或a >5(5-1).∴5(5-1)<a <10.(3)∵5(5-1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n .数列{b n }是一个递减的正数数列,对每个自然数n ≥2,B n =b n B n -1.于是当b n ≥1时,B n <B n -1,当b n <1时,B n ≤B n -1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得:n ≤20.8.∴n =20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有:(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和,如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(-∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10-x +2)B.g (x )=21[lg(10x +1)+x ],h (x )= 21[lg(10x +1)-x ] C.g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)-2xD.g (x )=-2x ,h (x )=lg(10x +1)+2x2.(★★★★)当a >1时,函数y =log a x 和y =(1-a )x 的图象只可能是( )二、填空题3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02()(log )0( 22x x x x .则f --1(x -1)=_________.4.(★★★★★)如图,开始时,桶1中有a L 水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y = ae -nt ,那么桶2中水就是y 2=a -ae -nt ,假设过5分钟时,桶1和桶2的水相等,则再过_________分钟桶1中的水只有8a . 三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x -3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时,点Q (x -2a ,-y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式;(2)若当x ∈[a +2,a +3]时,恒有|f (x )-g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21[f (x 1)+f (x 2)]与f (221x x +)的大小,并加以证明. 7.(★★★★★)已知函数x ,y 满足x ≥1,y ≥1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ,求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值.参考答案难点磁场 解:(1)由xx-+11>0,且2-x ≠0得F (x )的定义域为(-1,1),设-1<x 1<x 2<1,则F (x 2)-F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=,∵x 2-x 1>0,2-x 1>0,2-x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1. 因此F (x 2)-F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(-1,1)上是增函数.(2)证明:由y =f (x )=xx -+11log 2得:2y =1212,11+-=-+y y x x x ,∴f -1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ,∴f --1(x )的定义域为R .当n ≥3时,f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n . 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明:∵F (0)=21,∴F -1(21)=0,∴x =21是F -1(x )=0的一个根.假设F -1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的,故F -1(x )=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析:由题意:g (x )+h (x )=lg(10x +1)① 又g (-x )+h (-x )=lg(10-x +1).即-g (x )+h (x )=lg(10-x +1)②由①②得:g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)-2x . 答案:C2.解析:当a >1时,函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选,又a >1时,y =(1-a )x 为减函数.答案:B二、3.解析:容易求得f- -1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1(log 2x x x x ,从而:f -1(x -1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x答案:⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4.解析:由题意,5分钟后,y 1=ae -nt,y 2=a -ae-nt,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae -n (5+t )=8a ,解得t =10.答案:10三、5.解:(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x -2a ,y ′=-y .即x =x ′+2a ,y =-y ′. ∵点P (x ,y )在函数y =log a (x -3a )的图象上,∴-y ′=log a (x ′+2a -3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aax -1. (2)由题意得x -3a =(a +2)-3a =-2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0<a <1,∵|f (x )-g (x )|=|log a (x -3a )-log aax -1|=|log a (x 2-4ax +3a 2)|·|f (x )-g (x )|≤1,∴-1≤log a (x 2-4ax +3a 2)≤1,∵0<a <1,∴a +2>2a .f (x )=x 2-4ax +3a 2在[a +2,a +3]上为减函数,∴μ(x )=log a (x 2-4ax +3a 2)在[a +2,a +3]上为减函数,从而[μ(x )]max =μ(a +2)=log a (4-4a ),[μ(x )]mi n =μ(a +3)=log a (9-6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9-6a )≥-1解得0<a ≤12579-,由log a (4-4a )≤1解得0<a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0<a ≤12579-.6.解:f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号),当a >1时,有log a x 1x 2≤log a (221x x +)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +),21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)]≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0<a <1时,有log a x 1x 2≥log a (221x x +)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21[f (x 1)+f (x 2)]≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号).7.解:由已知等式得:log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x -1)2+(log a y -1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u -1)2+(v -1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内,圆弧(u -1)2+(v -1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =-u +k 有公共点,分两类讨论.(1)当u ≥0,v ≥0时,即a >1时,结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2); (2)当u ≤0,v ≤0,即0<a <1时,同理得到2(1-2)≤k ≤1-3.x 综上,当a >1时,log a xy 的最大值为2+22,最小值为1+3;当0<a <1时,log a xy 的最大值为1-3,最小值为2-22.8.解:∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0.∴-3≤21log x ≤-23. 即21log (21)-3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)-3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈[22,8]}又f (x )=(log 2x -1)(log 2x -3)=log 22x -4log 2x +3=(log 2x -2)2-1. ∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =-1;当log 2x =3,即x =8时,y max =0.。