普通高中理科实验班招生考试数学卷

普通高中理科实验班招生考试数学卷
数 学 试 题
（满分150分，答题时间120分）
一、选择题（本题共5小题，每小题10分，满分50．每小 题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一 个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）
1．若m
x 1
1-
=是方程022=+-m mx 的根，则m x -的值为 ………【 】 A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2
2．内角的度数为整数的正n 边形的个数是 ………………………………【 】 A ．24 B ．22 C ．20 D ．18
3．某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的 酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者 合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第 一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当 于它们原价的 ………………………………………………………………【 】 A ．90% B ．85% C ．80% D ．75%
4．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 【 】 A ．x B ．12+-x x C ．112++-x x D ．212++-x x 5．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1
23
6-
+=
x x y 的图象上整点的个数 是 ……………………………………………………………………………【 】
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
二、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）
6．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99＋100＝ ．
7．已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12
+-x x 的值为
．
8．若方程组⎩⎨
⎧+=--=+433235k y x k y x 的解为⎩⎨⎧==,
,
b y a x 且||k ＜3，则b a -的取值范围是
．
9．已知函数2
2
)2(2a x a x y +++=的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半
轴上，则a 的取值范围是 ．
10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°，AD ＝DC ＝10，点E ，F 分别
在AD ，BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的
函数关系式是 （不必写自变量的取值范围）．
三、（本题共4小题，满分60分）
11．（本题满分15分）
D C
B
A
F
E
我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依次类推……
（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？
（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由．
（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．
12．（本题满分15分）
甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
13．（本题满分15分）
⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，动点P 在⊙O 2上，且在⊙O 1外，直线PA 、PB 分别 交⊙O 1于点C 、D ．问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生 变化，请你确定CD 最长或最短时点P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．
C
B
A
·
·
P
O O 21
14．（本题满分15分）
如图，函数22
1
+-
=x y 的图象交y
轴于M ，交x 轴于N ，点P 是直线MN 上任意一
点，PQ ⊥x 轴，Q 是垂足，设点Q 的坐标为（t ，0），△POQ 的面积为S （当点P 与M 、N 重合时，其面积记为0）．
（1）试求S 与t 之间的函数关系式；
（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S ＝a （a ＞0）的点P 的个数．
普通高中理科实验班招生考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题10分，共50分）
1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题8分，共40分）
6．1684 7．7 8．－1＜b a -＜5 9．a ＞－1且a ≠0
10．35534+-=x y
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．（本题满分15分）
解 （1）如图1，最多有10个交点； ……………………（4分）
图1 图2
（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如图2． ……（10分） （3）如图3所示． …………………（15分）
图3
12．（本题满分15分）
解：设甲库原来存粮a 袋，乙库原来存粮b 袋，依题意可得 90)90(2+=-b a ． （1） 再设乙库调c 袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即
)(6c b c a -=+． （2） ………………（5分） 由（1）式得
2702-=a b ． （3） 将（3）代入（2），并整理得
1620711=-c a ． ………………（10分）
由于7
)
1(42327162011++-=-=
a a a c ．
又a 、c 是正整数，从而有7
1620
11-a ≥1，即a ≥148；
并且7整除)1(4+a ，又因为4与7互质，所以7整除1+a ．
经检验，可知a 的最小值为152．
答：甲库原来最少存粮153袋． …………………（15分） 13．当点P 运动时，CD 的长保持不变． …………………（4分）
证法一：A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点，弦AB 与点P 的位置无关．……（6分） 连结AD ，
∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ，所以∠ADP 为定值． ……………（10分） ∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ，所以∠P 为定值． ……………（12分） 因为∠CAD ＝∠ADP ＋∠P ， 所以∠CAD 为定值．
在⊙O 1中∠CAD 所对弦是CD ，∴CD 的长与点P 的位置无关．………（15分） 证法二：在⊙O 2上任取一点Q ，使点Q 在⊙O 1外，设直线QA 、QB 分别交⊙O 1 于C ＇、D ＇，连结C ＇D ＇．
∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠3，∠1＝∠2，
⌒ ⌒ ∴ ∠3＝∠4． …………………（10分）
∴ CC ＇＝DD ＇ ∴ C ＇mD ＇＝CmD
∴ CD ＝CD ． …………………（15分）
14．（本题满分15分）
解法1（1）① 当t ＜0时，OQ ＝t -，PQ ＝22
1
+-
t ． ∴ S ＝
t t t t -=+--⋅24
1
)221)((21； ② 当0＜t ＜4时，OQ ＝t ，PQ ＝22
1
+-t ．
∴ S ＝t t t t +-=+-⋅2
4
1)221(21；
③ 当t ＞4时，OQ ＝t ，PQ ＝22
1
)221(-=+--t t ．
∴ S ＝t t t t -=-⋅2
4
1)221(21．
④ 当t ＝0或4时，S ＝0．
于是，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=)40(4
1)40(,4
122
t t t k t t t S 或 …………………………………………6分
C
B
A
·
·
P
D
O O 21′
′
C D Q
1
2
3
4
m
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+--=+-><--=-=)40(1)2(414
1)40(,1)2(4
141222
2t t t t k t t t t S 或
下图中的实线部分就是所画的函数图象． ……………………………………12分
观察图象可知：
当0＜a ＜1时，符合条件的点P 有四个； 当a ＝1时，符合条件的点P 有三个；
当a ＞1时，符合条件的点P 只有两个． ………………………………………15分 解法2：（1）∵ OQ ＝||t ，PQ ＝|22
1
||221|-=+-
t t ， ∴ S ＝
|4|4
1
|221|||212t t t t -=-⋅． ……………………………………4分 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-><-=-=)
40(4
1)40(,4
1|4|4122
2t t t k t t t t x S 或 ………………………6分
以下同解法1．
a
S =。