2020届高考数学一轮总复习第十一单元鸭内容第84讲绝对值不等式的解法及其应用练习理含解析新人教A版
高考数学含绝对值的不等式的解法
三 灵与肉
我站在镜子前，盯视着我的面孔和身体，不禁惶惑起来。我不知道究竟盯视者是我，还是被 盯视者是我。灵
魂和肉体如此不同，一旦相遇，彼此都觉陌生。我的耳边响起帕斯卡尔的话 语：肉体不可思议，灵魂更不可思议，最不可思议的是肉体居然能和灵魂结合在一起。 人有一个肉体似乎是一件尴尬事。那个丧子的母亲终于停止哭泣，端起饭碗，因为她饿了。 那个含情脉脉的姑娘不得不离
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，
高考数学含绝对值的不等式的解法
3 x 2 3 2 x
定义法
同解变形
同解变形或数形结合 同解变形 平方法 零点分析法 同解变形
41 2 3x 4
5 x x 1
6 x 2 x 1 3
7 ax 2 2
例2、设 a 0，不等式 ax b c 的解集为
x 2 x 1，求 a : b : c
例3、若 x 2 x 1 a恒成立，求实数a的取值范围。
几何法，或绝对值不等式法
例4、在一条公路上，每隔100千米有个仓库（如图）， 共有五个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存 有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库 是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行? A1（0） A3（200） A4（300）
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1原点的距离
OA a
a, a 0 a 0, a 0 a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法：
（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法；
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝 对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时 （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：
作业：
；森米 森米奶昔 森米奶茶 ； 2019.1 ；
分争夺战中建立雇佣关系.雇佣费,是呐壹份材料资源,请善尊大人过目.”鞠言将修炼大魔印镇杀术第伍层の材料清单给远瞳善尊查看.远瞳善尊眸子微微壹凝,而后说道：“呐似乎是修炼大魔印镇杀术第伍层の材料,暗影楼倒是很舍得啊.”远瞳善尊是哪个人物?他知道呐份材料是修炼大魔印镇杀术 第伍
高考一轮复习理科数学课件绝对值不等式的解法及其应用
知识点梳理和归纳总结
01
绝对值不等式的定义 和性质
明确绝对值不等式的概念，掌握其基 本性质，如正数的绝对值是其本身， 负数的绝对值是它的相反数，0的绝 对值是0。
02
绝对值不等式的解法
熟练掌握绝对值不等式的解法，包括 分段讨论法、平方法、几何意义法等 ，能够根据不同的题型选择合适的解 法。
03
绝对值不等式的应用
了解绝对值不等式在解决实际问题中 的应用，如求解最值问题、证明不等 式等。
针对性地进行专项训练和模拟考试
专项训练
针对绝对值不等式的各类题型进行专 项训练，如含参绝对值不等式、绝对 值三角不等式等，提高解题速度和准 确率。
模拟考试
定期进行模拟考试，模拟真实考试环 境，检验自己的备考效果，查漏补缺 。
其他相关定理和性质介绍
绝对值的非负性
对于任意实数x，都有|x|≥0，且 |x|=0当且仅当x=0。
绝对值的单调性
对于任意实数x、y，若x≤y，则 |x|≤|y|。但反之不成立，即若|x|≤|y|
，不能推出x≤y。
绝对值的几何意义
在数轴上，一个数到原点的距离叫 做该数的绝对值。因此，绝对值与 距离、长度等几何概念密切相关。
绝对值不等式分类
03
根据不等号方向分类
可分为严格不等式（如$|x|<a$）和非严 格不等式（如$|x|leq a$）。
根据涉及绝对值个数分类
可分为单一绝对值不等式（如$|x-1|<2$ ）和多个绝对值不等式（如$|x1|+|x+2|geq 3$）。
根据解法不同分类
可分为可直接去绝对值符号求解的不等式 和需要讨论绝对值内部表达式正负情况求 解的不等式。
绝对值不等式的解法 PPT
5
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2. 设不等式 x a b 的解集为 x 1 x 2 ，
则 a 与 b 的值为（ D）
(A) a 1,b 3 (B) a 1,b 3(C) a1,b3 (D) a 1 ,b 3 22
课堂小结
绝对值不等式的解法: 1．公式法 |f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)； |f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)． 2．平方法 |f(x)|＞|g(x)|⇔[f(x)]2＞[g(x)]2.
练习一：解下列不等式： （1）|x|>5 （2）|x-1|<5 （3）| 5x-6 | < 6–x （4）|x-1| > |x-3|
2020/7/19
练习二:
1. 不等式 |x2－5x+6|≤x2－4 的解集( A)
(A){x| x≥2} (B){x| x≤2} (C){x| x≥ 4 }(D){x| 4 x≤2}
2020/7/19
小结：不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。 ① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
-a
0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }源自-a2020/7/19
0
a
典型例题
例3.解不等式： 2x 3 5
例4.解不等式： x2 2x x
例5.解不等式： x 9 x 1
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
例2：求不等式|x|>1的解集。 方法： 利用绝对值的几何意义观察
高三第一轮复习绝对值不等式
绝对值不等式【提纲挈领】 主干知识归纳1.含有绝对值的不等式的解法 （1）()(0)()()f x a a f x a f x a >>⇔><-或； （2）()(0)()f x a a a f x a <>⇔-<<；（3）(0)x a x b c c -+-≥>和(0)x a x b c c -+-≤>型不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想。
2.绝对值三角不等式 定理1：若b a ,为实数，则b a b a +≤+，当且仅当0≥ab 时，等号成立。
定理2：设c b a ,,为实数，则cb b ac a -+-≤-，该式等号成立0))((≥--⇔c b b a ，即b 落在c a ,之间。
推论1：a b a b-≤+；推论2：a b a b -≤-。
方法规律总结1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 （1）求零点。
（2）划区间、去绝对值号。
（3）分别解去掉绝对值的不等式（组）。
（4）取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值。
2.图像法求解不等式用图像法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法。
[指点迷津][类型一]绝对值不等式的性质【例1】：(1) 已知∀x ∈R ，使不等式log 2(4－a )＋3≤|x ＋3|＋|x －1|成立，则实数a 的取值范围是________．(2) 若∃x ∈R ，|x －a |＋|x －1|≤4成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】： (1)令g (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，则g (x )≥|x ＋3＋1－x |＝4，所以g (x )min ＝4.因为∀x ∈R ，使不等式log 2(4－a )＋3≤|x ＋3|＋|x －1|成立，所以log 2(4－a )＋3≤g (x )min ，即log 2(4－a )＋3≤4，所以log 2(4－a )≤1，即0<4－a ≤2，解得2≤a <4.所以实数a 的取值范围是[2，4)．(2)在数轴上，|x －a |表示坐标为x 的点P 到坐标为a 的点A 的距离，|x －1|表示点P 到坐标为1的点B 的距离．因为(|PA |＋|PB |)min ＝|a －1|，所以要使不等式|x －a |＋|x －1|≤4成立，只需|a －1|≤4，解得－3≤a ≤5.故实数a 的取值范围是[－3，5]．[类型二]绝对值不等式的解法【例2】： (1)设函数f (x )＝|2x －1|＋|2x －3|，则不等式f (x )≤5的解集为________．(2)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，则a 的值为________． 【解析】： (1)由原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <12，4－4x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤32，2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，4x －4≤5，解得－14≤x <12或12≤x ≤32或32＜x ≤94，因此不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－14，94.(2)由f (x )≤0，得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，解得a ＝2.故实数a 的值为2.【例3】： (1) 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为________．(2) 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x －2|，g (x )＝x ＋3，则不等式f (x )＜g (x )的解集为________． 【解析】： (1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，两边平方得4x 2－4ax ＋a 2≤36－12a ＋a 2，即x2－ax ＋3a －9≤0.由题意可知，－2与3为方程x 2－ax ＋3a －9＝0的两个根，则有－2＋3＝a ，所以a ＝1.(2)不等式f (x )<g (x )可化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．[类型三]绝对值不等式的参数范围问题【例4】：. 设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，(1)若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54；(2)求a 的值，使函数f (x )有最大值178.证明 (1)方法一 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1.又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54.[3分]∴若|a |≤1，则|f (x )|≤54.[5分]方法二 设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x . ∵－1≤x ≤1， ∴当x ＝±1，即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54；当－1<x <1即x 2－1<0时，g (a )＝(x 2－1)a ＋x 是单调递减函数．∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1，∴g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54；g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54.∴|f (x )|＝|g (a )|≤54.(2)当a ＝0时，f (x )＝x ，当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1，不满足题设条件， ∴a ≠0.又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1. 故f (1)和f (－1)均不是最大值，∴f (x )的最大值178应在其对称轴上的顶点位置取得，∴命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧a <0－1<－12a <1f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝178，解得⎩⎨⎧a <－12a ＝－2或a ＝－18，∴a ＝－2.即当a ＝－2时，函数f (x )有最大值178.[同步训练][一级目标]基础巩固组一、选择题1．不等式|x 2－x |<2的解集为( )A ．(－1,2)B ．(－1,1)C ．(－2,1)D ．(－2,2)【解析】： [∵|x 2－x |<2，∴－2<x 2－x <2，即⎩⎨⎧ x 2－x ＋2>0x 2－x －2<0，∴⎩⎨⎧x ∈R －1<x <2.∴－1<x <2.] 答案 A 2．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小 【解析】：方法一 把a 当作变量，要去掉绝对值符号，分区间进行讨论，如图所示．不妨设b >0 (b <0时同理)．(1)当－1<a ≤－b 时，|a ＋b |＋|a －b |＝－a －b －a ＋b ＝－2a <2， (2)当－b <a ≤b 时，|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b －a ＋b ＝2b <2， (3)当b <a <1时，|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b ＋a －b ＝2a <2. 综上可知|a ＋b |＋|a －b |<2.方法二 (|a ＋b |＋|a －b |)2＝2a 2＋2b 2＋2|a 2－b 2|＝⎩⎨⎧4a 2，a 2>b 2，4b 2，a 2≤b 2，∴|a ＋b |＋|a －b |<2.] 答案B3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 【解析】： 由|x ＋3|－|x －1|的几何意义知，|x ＋3|－|x －1|∈[－4,4]，即|x ＋3|－|x －1|的最大值是4，要使|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≥4恒成立即可．所以a ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．答案A4．若不等式|8x ＋9|<7和不等式ax 2＋bx >2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为( )A ．a ＝－8，b ＝－10B ．a ＝－4，b ＝－9C ．a ＝－1，b ＝9D ．a ＝－1，b ＝2 【解析】：由|8x ＋9|<7，得－7<8x ＋9<7，即－16<8x <－2，∴－2<x <－14.由题意知－2，－14为方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎨⎧－b a ＝－2－14，－2a2⎝⎛⎭⎫－14.∴⎩⎨⎧a ＝－4b ＝－9.答案 B5．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1或a >3B ．－1<a <3C ．－1<a <2D ．1<a <3 【解析】：由|x －1|＋|x －3|的几何意义知|x －1|＋|x －3|≥2，即|x －1|＋|x －3|的最小值为2.当a 2－2a －1<2时满足题意，∴a 2－2a －3<0，即(a ＋1)(a －3)<0，∴－1<a <3. 答案B 二.填空题6．给出以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪x y <23.其中所有正确命题的序号是________________．【解析】： |a |－|b |≤|a －b |<1，∴|a |<|b |＋1； |a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a | ＝|b －a |＝|a －b |；∵|y |>3，∴1|y |<13，∴|x ||y |<23，即|x y |<23.故①、②、③都正确．7．不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．【解析】： 原不等式可化为：⎩⎨⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎨⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎨⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}．8．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________________________________________________________．【解析】： 由|x ＋1|＋|x －3|的几何意义知，|x ＋1|＋|x －3|∈[4，＋∞)，∴a ＋4a≤4.当a >0时，a ＋4a≥4，当且仅当a ＝2时，取等号，当a <0，显然符合题意． 三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】： 方法一 (1)由f (x )≤3 得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎨⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )min ≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得， g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )min ≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．10．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． 【解析】：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3.①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.不等式组⎩⎨⎧ x ≤－1，f x3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32.②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，此不等式不成立，不等式组⎩⎨⎧－1<x ≤1f x3的解集为∅.③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3. 不等式组⎩⎨⎧x >1，f x3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞.综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2xa ＋1x ≥1.f (x )的最小值为1－a .若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2xa ＋1x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R .f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【二级目标】能力提升题组 一、选择题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是( )A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)【解析】： ∵⎪⎪⎪⎪x －2x＞x －2x ，∴x －2x＜0，∴0＜x ＜2.答案A2．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ：命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】： |a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．答案 C 二、填空题3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.【解析】： |x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 三、解答题4．对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．【解析】： 由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a －b |＋|a ＋b ||a |恒成立．故|x －1|＋|x －2|不大于|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值．∵|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号， ∴|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值等于2.∴x 的取值范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解．解不等式得12≤x ≤52.5、设函数).0(1)(>-++=a a x ax x f （1）证明：2)(≥x f ；（2）若5)3(<f ，求a 的取值范围。
高中数学绝对值不等式的解法
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
所以原不等式的解集为 (, 3] [3 ,). 22
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
解：方法三：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x－x1|
x
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
－x ,x<0
1
－1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索：不等式|x|<1的解集。
3 4
方法一：利用绝对值的几何意义观察
y
所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
－1 o 1
x
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数，那么
① x c x2 c2 c x c
② x c x2 c2 x c,或x c
题型2: 如果 c 是正数，那么
① ax +b c (ax +b)2 c2 c ax +b c
或3x－4≥2，解得 x 或2 x≥2. 3
答案：
(, 2) [2,) 3
三、例题讲解
例2、解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法1：3 | 3 2x | 5 3 | 2x 3 | 5
| |
2x 2x
3 3
| |
3 5
2x 3 5 2x
高考数学一轮总复习绝对值不等式的解法与数列极限的关系与绝对值的应用
高考数学一轮总复习绝对值不等式的解法与数列极限的关系与绝对值的应用绝对值是数学中常见的概念，它的应用广泛且重要。
在高考数学一轮总复习中，不等式与绝对值的联系及数列极限与绝对值的应用是我们需要重点掌握的知识点。
本文将介绍绝对值不等式的解法与数列极限的关系，并探讨绝对值的应用。
1. 绝对值不等式的解法绝对值不等式是一种形式特殊的不等式，它的解法与普通的不等式有所区别。
下面介绍几种常见的解法：1.1 分类讨论法当绝对值中的表达式包含不同情况时，可以通过分类讨论的方式来解决。
例如，对于不等式|2x+3|≥5，可以分别讨论2x+3的取值范围，然后求解得出满足条件的x的值。
1.2 倍角法倍角法是解决绝对值不等式的常用方法之一。
例如，对于不等式|sinx|>0.5，可以通过考虑sinx和cosx的正负性来得出满足条件的x的取值范围。
1.3 区间法对于一些特殊的不等式，可以利用区间的性质来进行求解。
例如，对于不等式|2x-1|<3，可以通过构造区间[-3,3]，然后确定满足条件的x的取值范围。
2. 数列极限与绝对值的应用数列极限是高中数学中的重要知识点，与绝对值的应用有紧密的联系。
下面介绍两种常见的相关应用：2.1 极限定义的证明在数列极限的证明中，常常需要使用到绝对值的性质。
例如，证明数列{an}的极限是A，需要证明对于任意给定的误差ε>0，存在正整数N，使得当n>N时就有|an-A|<ε成立。
这里的绝对值就是用来限制误差范围的。
2.2 极限计算的辅助工具在一些求极限的过程中，需要用到绝对值的性质来简化计算。
例如，求极限lim(x→∞)|x-1|/x，可以利用绝对值的非负性质，将|x-1|替换为x-1，从而得到简化后的表达式1-1/x。
3. 绝对值的应用除了与不等式及数列极限的联系外，绝对值还有许多其他的应用。
下面介绍一些常见的应用情景：3.1 函数定义的拆分在一些函数的定义中，需要将函数分段来描述。
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。
常利用绝对值的代数意义和几何意义。
2、解绝对值不等式常用的同解变形①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)③|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。
3、绝对值三角不等式等号成立的条件：①取等号②取等号③取等号④取等号经典例题透析类型一：含有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式（1）；（2）；（3）解析：（1）由原不等式可得,得,∴原不等式的解集是；（2）原不等式可化为,得或整理得,或∴原不等式的解集是；（3）由原不等式可得或整理得或∴原不等式的解集是总结升华：不等式的解集为；不等式的解集为.举一反三：【变式】（2011山东，4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A）[-5,7] (B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)【答案】D2、解不等式|x2+4x-1|<4解析：原不等式-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1.即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）.举一反三：【变式】解不等式|x2+4x-1|>4.【答案】原不等式的解集是（-∞,-5）∪(-3,-1)∪(1, +∞）3、解不等式1|2x-1|<5.解析：法一：原不等式等价于①或②解①得：1x<3 ；解②得：-2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}法二：原不等式等价于12x-1<5或–5<2x-1-1即22x<6或–4<2x0.解得1x<3或–2<x0.∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}总结升华：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a|x|b a x b或-b x-a(a0).举一反三：【变式1】解不等式:【答案】原不等式的解集是【变式2】解不等式4＜|x2-5x|≤6.【答案】原不等式等价于不等式组不等式(1)等价于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(2)等价于-6≤x2-5x≤6利用数轴取不等式(1)，(2)的解的交集：∴原不等式的解集为：4、解不等式：|4x-3|>2x+1.思路点拨：关键是去掉绝对值符号。
高中数学知识点精讲精析 绝对值不等式的解法
4.2.1绝对值不等式的解法1．含有绝对值的不等式的性质(1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|证明：∵ -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,∴ -(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|),|a+b|≤|a|+|b|........①又 a=a+b-b, |-b|=|b|∴ 由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......②由①②得 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|由以上定理很容易推得以下的结论：(2) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(3) |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|2 几个基本不等式的解集(1) |x| -a<X0)(2) |x|>a x>a或x<-a(a>0)(3) |x-m|0) -a<X-M m-a<X<M+A(4) |x-m|>a(a>0) x-m>a或x-m<-a x>m+a 或 x<M-A< SPAN>3．绝对值的定义：|a|=由定义可知：|ab|=|a||b|, .4．绝对值不等式的解法(1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。
因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键，常采取划分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化为图像或曲线为解决。
(2)几种主要的类型① |f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x)② |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x)③ |f(x)| -g(x)<F(X)④ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解。
⑤ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用图像法来解决5．关于“绝对值”的四则运算规律(1) |ab|=|a|·|b|(2)(3) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(4) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|在一般情况下，两个数的和或差的绝对值与这两个数的绝对值的和差是不相等的，但在某些情况下，可以取等号。
绝对值不等式的常见形式及解法
绝对值不等式的常见形式及解法绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：（1）绝对值定义法；（2）平方法；（3）零点区域法。
常见的形式有以下几种。
1. 形如不等式：利用绝对值的定义得不等式的解集为：。
在数轴上的表示如图1。
2. 形如不等式：它的解集为：。
在数轴上的表示如图2。
3. 形如不等式它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质来得解集。
4. 形如它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质求出原不等式的解集。
例如：解不等式：（1）（2）（3）解：（1）由绝对值的定义得：或解得（2）两边同时平方得：（3）令得。
所以和3把实数分为三个区间，即：；。
在这三个区间内来讨论原不等式的解集。
初等幂函数图像极坐标转直角坐标的办法两边都乘以r，比如说r=2sinX 两边同时乘以r成为r^2=2rsinXx^2+y^2=2y如2cos@，同乘r，即r^2=2rcos@,又因为r^2等于x^2+y^2，所以x^2+y^2=2y诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα k∈zcos（2kπ+α）=cosα k∈ztan（2kπ+α）=tanα k∈zcot（2kπ+α）=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=—sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
高中优质教学课件精选数学绝对值不等式的解法
形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a恒成立的问题
例6 (1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒成立， 求实数a的取值范围．
(2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空， 求实数a的取值范围．
(3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求 实数a的取值范围．
【思路点拨】 对(1)(2)(3)来说，问题的关键是 如何转化，求出函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最值, 则问题获解．
三、例题讲解
平方法
例4、解不等式 x 9 x 1
解： x 9 x 1
x 92 x 12
x5
1
5
9
三、例题讲解
题型：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.
例5、解不等式|ห้องสมุดไป่ตู้+1|+|x-1|≥3.
【思路点拨】 可用零点分段讨论，可用图象法， 也可用绝对值几何意义求解．
三、例题讲解
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法3：3 | 3 2x | 5 3 | 2x 3 | 5
3 2x 3 5，或 5 2x 3 3
3 x 4，或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
-1 0
34
三、例题讲解
例3、解不等式|2x－1|<2－3x.
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，
需要分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1 ∴ 0≤x＜1
2020届高考数学一轮总复习第十一单元选考内容第84讲绝对值不等式的解法及其应用课件理新人教A版
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
2, x -1, 2x,1 x 1, 即 f(x)＝ 2, x 1.
故不等式 f(x)＞1 的解集为{x|x＞21}．
(2)当 x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|＞x 成立等价于当 x∈(0， 1)时|ax－1|<1 成立．
若 a≤0，则当 x∈(0，1)时|ax－1|≥1； 若 a＞0，则|ax－1|＜1 的解集为x|0＜x＜a2， 所以a2≥1，故 0＜a≤2. 综上，a 的取值范围为(0，2]．
【变式探究】
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋ 1|＋|x－1|.
|f(x)|>g(x)及|f(x)|<g(x)型不等式 的解法
|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－ b|≤c型不等式的解法
绝对值三角不等式的应用
考点1·|f(x)|>g(x)及|f(x)|<g(x)型不等式的解法
【例 1】(经典真题)解不等式 x＋|2x＋3|≥2.
解：原不等式化为|2x＋3|≥2－x.
2．绝对值三角不等式
(1)定理 1 若 a，b 为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且
仅当 ab≥0 时，等号成立；
推论 1 |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
推论 2 |a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
(2)定理 2 |a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当
点评：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号， 而根据绝对值的定义去掉绝对值符号是最基本的方法．
考点2·|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的 解法
2020届高考数学一轮总复习第十一单元选考内容第84讲绝对值不等式的解法及其应用练习理(含解析)新人教A版
第84讲 绝对值不等式的解法及其应用1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x ＋a|－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a 的取值范围．(1)当a ＝1时，f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-≤+.2,62,21,2,1-,42x x x x x可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1等价于|x ＋a|＋|x －2|≥4.而|x ＋a|＋|x －2|≥|a＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f(x)≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广州一模)已知函数f(x)＝2|x ＋a|＋|3x －b|. (1)当a ＝1，b ＝0时，求不等式f(x)≥3|x|＋1的解集； (2)若a>0，b>0，且函数f(x)的最小值为2，求3a ＋b 的值．(1)当a ＝1，b ＝0时，不等式f(x)≥3|x|＋1， 即为2|x ＋1|＋3|x|≥3|x|＋1， 即|x ＋1|≥12，所以x ＋1≤－12或x ＋1≥12.所以x≤－32或x≥－12.所以所求不等式的解集为{x|x≤－32或x≥－12}．(2)因为a>0，b>0，所以b3>－a.所以f(x)＝2|x ＋a|＋|3x －b|＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+≤<-++--≤-+-=,3,25,3,2,,25b x b a x b x a b a x a x a b x可知f(x)在(－∞，b 3]单调递减，在[b3，＋∞)单调递增，所以f(x)min ＝f(b 3)＝6a ＋2b3＝2.所以3a ＋b ＝3.3．(2017·广东肇庆第三次统测)已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a . (1)若a ＝0，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|x ＋1|≥2|x |， 两边平方，并整理得(3x ＋1)(1－x )≥0， 所以所求不等式的解集为{x |－13≤x ≤1}．(2)由f (x )≥g (x )，得|x ＋1|≥2|x |＋a ， 即|x ＋1|－2|x |≥a ，令F (x )＝|x ＋1|－2|x |，依题意，可得F (x )max ≥a . F (x )＝|x ＋1|－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ≥0，3x ＋1， －1<x <0，x －1， x ≤－1.易知F (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝0时，F (x )取得最大值，最大值为1. 所以a 的取值范围为(－∞，1]．4．(2017·湖北黄冈三月调研)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|(a ∈R )． (1)当a ＝－1时，求f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含集合[12，1]，求实数a 的取值范围．(1)当a ＝－1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|， (方法1)f (x )≤2⇔|2x ＋1|＋|2x －1|≤2. 原不等式等价于：⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x ＋1－2x －1≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，2x ＋1－2x －1≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，2x ＋1＋2x －1≤2.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，x ≥－12或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，2≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x ≤12.所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤12}．(方法2)f (x )≤2⇔|x ＋12|＋|x －12|≤1.上述不等式的几何意义为数轴上的点x 到两点－12，12距离之和小于或等于1，则－12≤x ≤12，所以原不等式的解集为[－12，12]．(2)因为f (x )≤|2x ＋1|的解集包含[12，1]，所以当x ∈[12，1]时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，所以当x ∈[12，1]时，|2x －a |＋2x －1≤2x ＋1恒成立，所以2x －2≤a ≤2x ＋2在x ∈[12，1]上恒成立．所以(2x －2)max ≤a ≤(2x ＋2)min (x ∈[12，1])．所以0≤a ≤3.5．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b ，求a ＋b 的最小值．(1)f(x)＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+-<.1,3,121-,2,21,3-x x x x x xy ＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)(方法一)f (x )≥x 2－x ＋m ，即m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x 有解． 令g (x )＝|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .下面只要求g (x )的最大值． g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －3， x ≤－1，－x 2＋3x －1， －1<x <2，－x 2＋x ＋3， x ≥2.当x ≤－1时，g (x )max ＝g (－1)＝－5. －1<x <2时，x ＝32∈(－1,2)，g (x )max ＝－94＋92－1＝54.当x ≥2时，g (x )max ＝g (2)＝－4＋5＝1. 综上，g (x )max ＝54.所以m 的取值范围为(－∞，54]．(方法二)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－(|x |－32)2＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为(－∞，54]．。
2020届高考数学(文)总复习讲义：绝对值不等式
帝 / 绝对值不等式一、基础知识批注一一理解深一点1. 绝对值三角不等式定理1：如果a , b 是实数，则|a + b|w |a|+ |b|,当且仅当ab >0时，等号成立.定理2:如果 a , b , c 是实数，那么|a — c|< |a — b|+ |b — c|,当且仅当(a — b)(b — c)>0 时，等号成立.J|a|— |b| w |a — b|w |a|+ |b|,当且仅当|a|> |b|且 ab > 0时，左边等号成立，当且仅当ab < 0时，右边等号成立.2. 绝对值不等式的解法 一>(1)|x|<a 与凶>a 型不等式的解法不等式a>0 a = 0 a<0 |x|<a {x|— avxva }?? |x|>a{x|x>a 或 xv — a}{x|x € R 且 X M 0}R(2)|ax + b|< c(c > 0)和 |ax + b|> c(c>0)型不等式的解法：① |ax + b|< c ? — c w ax + b w c ; ② |ax + b|> c ? ax + b 》c 或 ax + b w — c.|x — a|+ |x — b|> c 和|x — a|+ |x — b|w c 型不等式的解法及体现数学思想① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ② 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想二、基础小题强化一一功底牢一点 一判一判对的打“V”，错的打“x”(1)若|x|>c 的解集为 R 贝y c w 0.()⑵不等式|x — 1|+ |x + 2|<2的解集为？.()基础相对薄弱.一轮复工I 更需山视基础知识的强化和落实■解绝对值不等式的关键是 :去掉绝对值符号.⑶对|a + b|> |a|- |b|当且仅当a> b>0时等号成立.()⑷对|a —b|w|a|+ |b|当且仅当ab< 0时等号成立.()答案：(1)X (2)V (3) X (4)V(二)填一填1.不等式|5—4x|>9的解集为___________ .解析：•/ |5—4x|>9 ,••• 5—4x>9 或5—4x<—9./• 4x< —4 或4x>14 , • x<—1 或x>2.•原不等式的解集为lx x< —1或x>7答案:lx x< —1 或x>7}2•若不等式|kx—4|< 2的解集为{x|1w x< 3},则实数k= _____________ ,解析：由|kx —4|< 2? 2< kx w 6.•••不等式的解集为{x|1w x< 3},• k= 2.答案：23.函数y= |x—4|+ |x+ 4|的最小值为____________ .解析：因为|x—4| + |x+ 4|> |(x—4) —(x+ 4)|= 8, 所以所求函数的最小值为8.答案：84.不等式|x + 1|—|x —2|> 1的解集是___________解析:—3, x w —1,令f(x)= |x+ 1|—|x—2|= 2x —1, —1<x<23 x> 2.当一1<x<2 时，由2x—1 > 1，解得1 w x<2. 又当x > 2时，f(x) = 3>1恒成立.所以不等式的解集为{x|x > 1}.答案：{x|x > 1}考点不宜整合太大，挖掘过深稳取120分就是大胜考点一绝对值不等式的解法［典例］(2016全国卷I )已知函数f(x) = |x + 1|-|2x- 3|.7110—■⑴画出y= f(x)的图象；⑵求不等式|f(x)|>1的解集「x—4，x< —1,3［解］⑴由题意得f(x) = 3x-2，- 1<x<2,I 3-x+ 4, x>3故y= f(x)的图象如图所示.⑵由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)= 1时，可得x= 1或x= 3;1当f(x)=—1时，可得x= 3或x= 5.3故f(x)>1 的解集为{x|1<x<3},f(x)< - 1 的解集为ix x<t或x>5 |.r所以|f(x)|>1的解集为x x<3或1<x<3或x>53［解题技法］解绝对值不等式的常用方法基本性对a € R+, |x|<a? —avxva, |x|>a? x< —a 或x>a 质法平方法两边平方去掉绝对值符号零点分含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱［题组训练］1 解不等式|x+ 1|+ |x- 1|< 2.解：当x<- 1时，原不等式可化为—x—1 + 1 —x w 2,解得x> —1，又因为x< —1,故无解；当一1W x< 1 时，原不等式可化为x + 1+ 1 —x= 2w 2,恒成立；当x>1时，原不等式可化为x + 1+ x —1 < 2,解得x w 1,又因为x>1，故无解；综上，不等式|x+ 1| + |x—1|w 2的解集为［—1,1］.2. (2019沈阳质检)已知函数f(x)=|x—a| + 3x,其中a € R (1)当a= 1时，求不等式f(x) > 3x+ |2x + 1|的解集；⑵若不等式f(x) w 0的解集为｛x|x w—1｝，求a的值. 解：(1)当a= 1 时，f(x)= |x—1|+ 3x.法一：由f(x)> 3x + |2x+ 1|,得|x—1|—|2x + 1|> 0,当x>1 时，x—1 —(2x+ 1)>0,得x w —2,无解；1 1 当一2三x w 1 时，1 —x—(2x+ 1) > 0,得一-w x w 0；x > a ,xva ,即 a 或a x三ax w-空当a>0时，不等式的解集为lx x < — 盒由一号=-1,得a = 2.当a = 0时，不等式的解集为｛x|x w 0｝，不合题意. 当a<0时，不等式的解集为lx x w 中盒 由 a =— 1 得 a =— 4.4综上，a = 2或a =— 4. 考点二绝对值不等式性质的应用［典例］(2019湖北五校联考)已知函数f(x)=|2x — 1|, x € R (1)解不等式 f(x)v|x|+ 1 ；1 1⑵若对 x , y € R,有 |x — y — 1|w §, |2y + 1|w 舌，求证：f(x)<1. ［解］(1)••• f(x)v|x|+ 1,.・. |2x — 1|V|X|+ 1,即 1》2，或［0vxv 2，2x — 1vx + 11 — 2xvx + 11 1得j w xv2或ovxvj 或无解.故不等式f(x)v|x|+ 1的解集为{x|0vxv2}.(2)证明:f(x)= |2x — 1|= |2(x — y — 1)+ (2y + 1)|w |2(x — y — 1)|+ |2y + 1|= 2|x — y — 1|+ |2y故不等式f(x)v 1得证.［解题技法］绝对值不等式性质的应用利用不等式 |a + b|w |a| + |b|(a , b € R )和 |a — b|w |a — c| + |c — b|(a , b € R)，通过确定适当的a , b ,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式.［题组训练］1. 求函数 f(x) = |x + 2 019|— |x — 2 018| 的最大值.解：因为 f(x)= |x + 2 019|— |x — 2 018|w |x + 2 019 — x + 2 018|= 4 037, 所以函数f(x)= |x + 2 019|—|x — 2 0181的最大值为 4 037.1152. 若 x € ［ — 1,1］ , |y|w 1, |z|w 9,求证:|x + 2y — 3z|w 3或 x W 0，1 — 2xv — x +1, 1 1+ 1|W 2T +1=v1.1 1证明：因为 x € [ — 1,1] , |y|<6，Iz K 1,115所以 |x + 2y — 3z|< |x| + 2|y|+ 3|z|w 1 + 2X + 3X =69 3考点三 绝对值不等式的综合应用［典例］(2018合肥质检)已知函数f(x)=|2x — 1|. (1)解关于x 的不等式f(x)— f(x + 1)< 1；⑵若关于x 的不等式f(x)<m — f(x + 1)的解集不是空集，求m 的取值范围.［解］(1)f(x) — f(x + 1)< 1? |2x — 1|— |2x + 1|w 1,解得 x >1或一1w xv 1，即 x > —1,2 4 2 4所以原不等式的解集为一1，+ m .-4}(2)由条件知，不等式|2x — 1|+ |2x + 1|<m 有解，则 m>(|2x — 1|+ |2x + 1|)min 即可.由于 |2x — 1|+ |2x + 1|= |1 — 2x| + |2x + 1|> |1 — 2x + (2x + 1)|= 2，当且仅当(1 — 2x)(2x +1)>0，即卩x € — 2，1时等号成立，故 m>2.所以m 的取值范围是(2, + m ).［解题技法］两招解不等式问题中的含参问题 (1) 转化① 把存在性问题转化为求最值问题；② 不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题；③ 不等式的解集为？的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问 题，即 f(x) V a 恒成立? a > f(x)max ，f(x)> a 恒成立? a v f(x)min .(2) 求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ① 利用绝对值的几何意义； ② 利用绝对值三角不等式，即 |a| + |b|> |a ±)|> ||a|— |b||；③ 利用零点分区间法.［题组训练］1. (2018 全国卷 n )设函数 f(x) = 5— |x + a|— |x — 2|.则；x > 2，2x — 1— 2x — 1< 11 1 或 2<x <2, 1 — 2x — 2x — 1 <11— 2x + 2x + 1 w 1所以 |x + 2y — 3z|<(1)当a= 1时，求不等式f(x) > 0的解集；⑵若f(x)w 1，求a的取值范围."2x+ 4, x<—1,解：(1)当a= 1 时，f(x)=S2,—K x< 2,i—2x+ 6, x>2.当x<—1 时，由2x+ 4> 0，解得一2< x<—1,当—1< x< 2时，显然满足题意，当x>2 时，由一2x + 6> 0,解得2<x< 3,故f(x) > 0 的解集为｛x|—2< x w 3｝.(2)f(x)w 1 等价于|x + a|+ |x—2|>4.而|x+ a| + |x—2|》|a+ 2|,且当x= 2时等号成立.故f(x) w 1 等价于|a + 2|> 4.由|a+ 2|》4可得a w —6或a》2.所以a的取值范围是(一R,—6] U [2, + ).2.(2018广东珠海二中期中)已知函数f(x)= |x+ m|+ |2x—1|(m€ R)，若关于x的不等式f(x)w |2x + 1|的解集为A,且号，2? A,求实数m的取值范围.乜"I解：T 3, 2 ? A,A -•••当x € J, 2时，不等式f(x)w |2x+ 1|恒成立，即|x+ m|+ |2x- 1|w |2x + I在x€ j, 2｛上恒成立，•|x+ m|+ 2x—1 w 2x+ 1,即|x+ m|w 2在x € 4, 2上恒成立，•—2w x+ m w 2,••—x—2w m w —x+ 2 在x€ 4, 2 上恒成立，•••(—x —2)max w m w(—x+ 2)min,11 - 11••—匚w m w 0,故实数m的取值范围是—二,0 I4 _4 1[课时跟踪检测]1.求不等式|2x—1| + |2x + 1|w 6的解集I —2x—2x—1 w 6解:原不等式可化为x<—21w x w 12’1 —2x + 2x+ 1 w 6解得-3 < x < 2,即原不等式的解集为lx —3< X W 3 >2.已知函数f(x)=|x — 4|+ |x — a|(a € R )的最小值为 a. (1) 求实数a 的值； (2) 解不等式f(x) < 5.解：(1)f(x)= |x — 4|+ |x — a|> |a — 4|= a , 从而解得a = 2.■ — 2x + 6, x <24汁 |x — 2|= 2, 2V x w 4,<2x — 6, x > 4.1故当 x w 2 时，由一2x + 6W 5，得-w x < 2; 当2<x w 4时，显然不等式成立；11当 x>4 时，由 2x — 6W 5,得 4<x W y , 故不等式f(x)w 5的解集为ix 2w x w琴L3. (2018 全国卷 I )已知 f(x) = |x + 1|— |ax — 1|. (1)当a = 1时，求不等式f(x)>1的解集；⑵若x € (0,1)时不等式f(x)>x 成立，求a 的取值范围. 解：(1)当 a = 1 时,f(x)=|x + 1|— |x — 1|,［一 2, x W — 1,即 f(x) = 2x , — 1<x<1,Z x > 1.故不等式f(x)>1的解集为l x x>2 ，:⑵当 x € (0,1)时|x + 1| — |ax — 1|>x 成立等价于当 x € (0,1)时 |ax — 1|<1 成立. 若 a w 0,则当 x € (0,1)时，|ax — 1|> 1;若 a>0，则 |ax —1|<1 的解集为 ix 0<x<a ', 所以 2> 1,故 0<a w 2.a1x>2, 2x—1+ 2x + 1< 6.(2) 由 (1)知,f(x)= |x —综上，a 的取值范围为(0,2].4.设函数 f(x) = |3x — 1|+ ax + 3. (1)若a = 1，解不等式f(x)< 4;⑵若f(x)有最小值，求实数 a 的取值范围.解：(1)当 a = 1 时，f(x)= |3x — 1|+ x + 3< 4, 即 |3x — 1|< 1 — x ,” e 1x — 1 < 3x — 1 w 1 — x ,解得 0W x < 2，所以f(x)< 4的解集为0, 1 .13+ a x + 2, x > 3，⑵因为f(x)=“即实数a 的取值范围是[—3,3].5. (2019贵阳适应性考试)已知函数f(x)= |x — 2|— |x + 1|.(1)解不等式f(x)> — x ;⑵若关于x 的不等式f(x)w a 2— 2a 的解集为R,求实数a 的取值范围.解：(1)原不等式等价于 f(x) + x >0，不等式f(x) + x>0可化为|x — 2|+ x>|x + 1|, 当 x<— 1 时，一(x — 2) + x>— (x + 1),解得 x>— 3,即一3<x< — 1; 当一1 w x w 2 时，一(x — 2) + x>x + 1，解得 x<1，即一1 w x<1; 当 x>2 时，x — 2 + x>x + 1,解得 x>3, 即卩 x>3,综上所述，不等式 f(x) + x>0的解集为{x| — 3<x<1或x>3}. ⑵由不等式 f(x) w a 2 — 2a 可得 |x — 2|— |x + 1|w a 2— 2a ,•/ |x — 2| — |x + 1|w |x — 2— x — 1|= 3,当且仅当 x € (—s,— 1]时等号成立,a ? — 2a 》3，即卩 a ?— 2a — 3》0，解得 a w — 1 或 a 》3.•••实数a 的取值范围为(一s,— 1] U [3 ,+s ).6. 已知函数 f(x)=|x — a|+ |x + 1|. (1)若a = 2，求不等式f(x) > x + 2的解集；⑵如果关于x 的不等式f(x)v 2的解集不是空集，求实数 a 的取值范围.—2x + 1, x v- 1,解：(1)当 a = 2 时，f(x)= 3, — 1w x v 2,所以f(x)有最小值的充要条件为 a — 3w 0,^2x—1, x>2,不等式 f(x)> x + 2 等价于 |xv —4， 或 | —xv 2，或 j x > 2, ,—2x + 1 >x + 2 3>x + 2 |2x — 1> x + 2 解得x v 1或x > 3,故原不等式的解集为{x|x v 1或x > 3}.(2) •/ f(x) = |x — a|+ |x +1|>|(x — a)— (x + 1)|= |a +1|,当(x — a)(x + 1)w 0 时取等号.•••若关于x 的不等式f(x)v 2的解集不是空集，只需|a + 1|v 2, 解得一3v a v 1,即实数a 的取值范围是(一3,1).7.已知函数 f(x)=|2x — a|+ a.(1)当a = 2时，求不等式f(x) w 6的解集;(2)设函数 g(x)=|2x — 1|.当 x € R 时，f(x) + g(x) > 3, 求 解：(1)当 a = 2 时，f(x)= |2x — 2|+ 2.解不等式 |2x — 2|+ 2w 6，得—1w x w 3. 因此f(x)w 6的解集为{x|— 1 < x w 3}.(2)当 x € R 时，f(x) + g(x)= |2x — a|+ a + |1 — 2x|>3,V =1— a Min2 2所以a 的取值范围是［2,+^).8. (2018 福州质检)设函数 f(x)=|x — 1|, x € R (1)求不等式f(x) w 3— f(x — 1)的解集;⑵已知关于x 的不等式f(x)w f(x + 1) — |x — a|的解集为 取值范围.解：⑴因为 f(x) w 3— f(x — 1),a1+ 匚22x—-宁.a 的取值范围.所以 1 a2—23 — a> ，解得 a > 2. M ，若1, 2 ? M ，求实数a 的产2,2x — 3w 3,解得 0w x<1 或 1 w x w 2 或 2<x w 3, 所以0w x w 3,故不等式f(x)w 3 — f(x — 1)的解集为[0,3]. ⑵因为1,2 ? M ,所以 |x — 1|w 3— |x — 2|? |x — 1|+ |x — 2|w 3?x<1, 3— 2x w 31 w x w 2,或‘或1w 31 1 当 x<— 2时，1— x — (— 2x — 1)>0,得一2w x< —-.•••不等式的解集为｛x|— 2淳F M xC F g)严f (x A f (x +I)——-X ——a-w ^Nwf(x)Af(x+I)——_x ——a-7 -X ——I-——-X -+_x ——a A o z-X ——a -A -x l ——_x ——•！-〉H RxC 〔〉w )淳F -x ——a -A严君X ——l A a A x +严-再x ——1A a A x +亠錄w x w 0｝.法二：由f(x)> 3x + |2x+ 1|,得|x—1|> |2x + 1|,两边平方，化简整理得x12+ 2x w 0,解得—2w x w 0,•••不等式的解集为｛x|—2w x w 0｝.rrx>a,x<a,⑵由|x —a|+ 3x w 0，可得’或］l4x —a w 0 l2x+ a w 0,。
高三数学第一轮复习讲义(43)含绝对值的不等式
高三数学第一轮复习讲义（43）含绝对值的不等式一．复习目标：1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；2．会解一些简单的含绝对值的不等式．二．知识要点：1．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当 时，左边等号成立；当 0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当 时，左边等号成立；当 时，右边等号成立．③进而可得：||||||||||a b a b a b -≤±≤+．2．绝对值不等式的解法：①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<； ②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．三．课前预习：1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为 （ ）2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为 （ ）3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x << （ ）4．已知集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，则a 的取值范围是 ．5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)x f x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 ．四．例题分析：例1．已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小．例2．求证：||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++． 例3．设,,a b c R ∈，已知二次函数2()f x ax bx c =++，2()g x cx bx a =++，且当||1x ≤时，|()|2f x ≤，（1）求证：|(1)|2g ≤；（2）求证：||1x ≤时，|()|4g x ≤．例4．设m 等于||a 、||b 和1中最大的一个，当||x m >时，求证：2||2a b x x+<． 五．课后作业： 班级 学号 姓名1．若,a b R ∈，且||||a c b -<，则 （ ）2．若0m >，则||x a m -<且||y a m -<是||2x y m -<的 （ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 、()g x ，设不等式|()||()|f x g x a +<(0)a >的解集是M ，不等式|()()|f x g x a +<(0)a >的解集是N ，则集合M 、N 的关系是 （ ）4．不等式||22x x x x≥++的解集是 ． 5．不等式|4||3|x x a -+-<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ．6．若实数,a b 满足0ab >，则①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||a b a b +>-．这四个式子中，正确的是 ．7．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）．8．解不等式：（1）2|1121|x x x -+>；（2）|3||21|12xx x +-->+．9．设有关于x的不等式lg(|3||7|)++->，x x a（1）当1a=时，解这个不等式；（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R．10．设二次函数2=++对一切[1,1]f x ax bx c()f x≤，x∈-，都有|()|1求证：（1）||1+≤．ax ba c+≤；（2）对一切[1,1]x∈-，都有|2|4。
高考理科数学一轮总复习选修-绝对值不等式
第1讲绝对值不等式一、知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想．法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．常用结论1．两个等价关系(1)|x|<a⇔－a<x<a(a>0)．(2)|x|>a⇔x<－a或x>a(a>0)．2．掌握一组主要关系|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |，|a |＋|b |之间的关系： (1)|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立．(2)|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立．二、教材衍化1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)． 答案：(－2，1]∪[4，7)2．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________．解析：①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x ≤1；②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2，所以x <4，所以1<x <4； ③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为{x |x <4}． 答案：{x |x <4}一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)含参数的绝对值不等式讨论不清； (2)存在性问题不能转化为最值问题求解．1．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________．解析：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.答案：22．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．绝对值不等式常见的3种解法(1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[提醒]用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．1．设函数f(x)＝|x＋4|.(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，求a的值；(2)求不等式f(x)>1－12x的解集．解：(1)因为f(x)＝|x＋4|，所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4.所以|2a|＝4，所以a＝±2.(2)f(x)＝|x＋4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋4，x>－4，0，x＝－4，－4－x，x<－4，所以不等式f(x)>1－12x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x＋4>1－12x（x>－4），0>1－12x（x＝－4），－4－x>1－12x（x<－4），解得x>－2或x<－10，故不等式f(x)>1－12x的解集为{x|x>－2或x<－10}．2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.(1)求不等式f(x)≤2的解集；(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．解：(1)由f(x)≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，2－2x≤2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x<4，0≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x≥4，2x－8≤2，解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤5}．(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x≤1，0，1<x<4，2x－8，x≥4，作出函数f (x )的图象，如图所示，易知直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)， 当此直线经过点B (4，0)时，k ＝12；当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2. 故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.绝对值不等式性质的应用(师生共研)设不等式|x －2|<a (a ∈N +)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 【解】 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32，又因为a ∈N +，所以a ＝1.(2)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3. 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0即－1≤x ≤2时取到等号， 所以f (x )的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，经常用于证明含绝对值的不等式．1．若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值． 解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)|≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7， 所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.2．设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |<1. (1)解不等式|f (x )|>5；(2)求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 解：(1)因为|x 2－x －15|>5，所以x 2－x －15<－5或x 2－x －15>5， 即x 2－x －10<0或x 2－x －20>0， 解得1－412<x <1＋412或x <－4或x >5，所以不等式|f (x )|>5的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－4或x >5或1－412<x <1＋412. (2)证明：因为|x －a |<1，所以|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x －15)－(a 2－a －15)| ＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|<1·|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)， 即|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．恒成立与存在性问题(师生共研)(2020·玉溪模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|. (1)解不等式f (x )≤x ＋3；(2)若g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|，对任意的x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，3x ≤x ＋3，得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32.(2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝{y |y ≥32}，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|， 所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎡⎦⎤14，74. 故实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题，利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．1．(2020·陕西彬州质监)已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋2|. (1)求函数f (x )的值域；(2)若存在x ∈[－2，1]，使f (x )≥x 2＋a 成立，求a 的取值范围． 解：(1)依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，x ≥3，－2x ＋1，－2<x <3，5，x ≤－2.当－2<x <3时，－5<－2x ＋1<5， 所以f (x )的值域为[－5，5]． (2)因为－2≤x ≤1，所以f (x )≥x 2＋a 可化为－2x ＋1≥x 2＋a ， 得存在x ∈[－2，1]，使得a ≤－x 2－2x ＋1成立． 令g (x )＝－x 2－2x ＋1＝－(x ＋1)2＋2， 则当x ∈[－2，1]时，g (x )max ＝2， 所以a 的取值范围为(－∞，2]．2．已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R )． (1)若f (1)<11，求a 的取值范围；(2)若对任意的a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围．解：(1)f (1)＝|1－a |＋|2－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a ≤1，1，1<a <2，2a －3，a ≥2，当a ≤1时，3－2a <11，解得a >－4， 所以－4＜a ≤1；当1<a <2时，1<11恒成立； 当a ≥2时，2a －3＜11， 解得a <7，所以2≤a <7.综上，a 的取值范围是(－4，7)．(2)因为任意的a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立， 又f (x )＝|x －a |＋|2x －a |≥|x －a －(2x －a )|＝|x |， 所以|x |≥x 2－x －3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥x 2－x －3，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥x 2－x －3，x <0，解得0≤x ≤3或－3≤x ＜0， 所以x 的取值范围为[－3，3]．[基础题组练]1．(2020·商洛模拟)已知不等式|2x ＋3|＋|2x －1|<a 的解集为M . (1)若a ＝6，求集合M ；(2)若M ≠∅，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝6时，原不等式为|2x ＋3|＋|2x －1|<6， 当x ≤－32时，原不等式化为－2x －3＋1－2x <6，解得x >－2，所以－2<x ≤－32；当－32<x <12时，原不等式化为2x ＋3＋1－2x <6，解得4<6，所以－32<x <12；当x ≥12时，原不等式化为2x ＋3＋2x －1<6，解得x <1，所以12≤x <1.综上所述，集合M ＝{x |－2<x <1}．(2)因为M ≠∅，所以不等式|2x ＋3|＋|2x －1|<a 恒有解． 令f (x )＝|2x ＋3|＋|2x －1|，则f (x )＝2⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －12≥4， 所以a >4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)． 2．(2020·贵州质量测评)已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|.(1)若对任意的x ∈R ，f (x )≥5a －a 2恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝6围成的封闭图形的面积． 解：(1)f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|≥|(x ＋3)－(x －1)|＝4， 所以f (x )min ＝4.对任意的x ∈R ，f (x )≥5a －a 2恒成立，所以f (x )min ≥5a －a 2， 所以4≥5a －a 2⇒a 2－5a ＋4≥0，解得a ≤1或a ≥4， 所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)． (2)f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≥1，4，－3<x <1，－2x －2，x ≤－3，当f (x )＝6时，x ＝－4或x ＝2.画出图象可得(图略)，围成的封闭图形为等腰梯形，且一条底边长为6，一条底边长为4，高为2，所以封闭图形的面积S ＝12×(6＋4)×2＝10.3．(2020·四川绵阳一诊)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －m |(m ∈R )． (1)当m ＝1时，解不等式f (x )≥2；(2)若关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3，4]，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当x ≤－12时，f (x )＝－2x －1＋(x －1)＝－x －2，由f (x )≥2得x ≤－4，综合得x ≤－4； 当－12<x <1时，f (x )＝(2x ＋1)＋(x －1)＝3x ，由f (x )≥2得x ≥23，综合得23≤x <1；当x ≥1时，f (x )＝(2x ＋1)－(x －1)＝x ＋2， 由f (x )≥2得x ≥0，综合得x ≥1.所以当m ＝1时，f (x )≥2的解集是{x |x ≤－4或x ≥23}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|－|x －m |≥|x －3|的解集包含[3，4]， 所以当x ∈[3，4]时，|2x ＋1|－|x －m |≥|x －3|恒成立．x ∈[3，4]时，原式可变为2x ＋1－|x －m |≥x －3，即|x －m |≤x ＋4， 所以－x －4≤x －m ≤x ＋4，则－4≤m ≤2x ＋4在[3，4]上恒成立，显然当x ＝3时，2x ＋4取得最小值10， 则m 的取值范围是[－4，10]．4．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )>9；(2)对任意的x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1<x <12，－3x ，x ≤－1.f (x )>9等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x >9或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x >9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x >9.综上，原不等式的解集为{x |x >3或x <－3}． (2)因为|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |. 由(1)知f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝32，所以2|a |≤32，即|a |≤34，所以－34≤a ≤34，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，34. [综合题组练]1．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a . (1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不合题意； 当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意． 综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1，0)．2．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值．解：(1)因为f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5，所以当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，所以x >2； 当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，所以－2<x <0； 当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，所以x ≤－2. 综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)因为f (x )＝|2x －3|，所以g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |.所以依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.3．设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|.(1)解不等式f (x )>4；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，所以f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1. 综上，不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立⇔a ＋1>f (x )min ， 由(1)得，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，f (x )min ＝52，所以a ＋1>52，所以a >32， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值；(2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4.当x >2时，原不等式可化为2x <5，所以2<x <52； 当x <－1时，原不等式可化为－2x <3，所以－32<x <－1； 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4，所以－1≤x ≤2.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <52， 即x 1＝－32，x 2＝52. 所以x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k .当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，所以k ≥0.当x ≤－2或x ≥0时，因为|x ＋1|≥1，所以不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2， 所以k ≤3.当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x， 所以k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.。
2020年高考数学一轮复习教案(全国通用版)-绝对值不等式
2020年高考数学一轮复习 绝对值不等式 教材版本 全国通用 课时说明（建议） 2课时 知识点绝对值不等式的解法、不等式的证明、综合运用 复习目标利用几个重要的不等式求函数的最值以及不等式的证明 复习重点利用几个重要的不等式求函数的最值以及不等式的证明 复习难点 考查含参数的绝对值不等式的解法中分类讨论、等价转化的数学思想一、自我诊断 知己知彼1．如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是 ( )． A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13<x <12 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，或x >13 【答案】B【解析】解不等式1x <2得x <0或x >12. 解不等式|x |>13得x >13或x <－13.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13. 2. 不等式1<|x ＋1|<3的解集为 ( )．A ．(0,2)B ．(－2,0)∪(2,4)C ．(－4,0)D ．(－4，－2)∪(0,2) 【答案】D【解析】原不等式等价于⎩⎨⎧ x ＋1≥0，1<x ＋1<3或⎩⎨⎧ x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎨⎧ x ≥－1，0<x <2或⎩⎨⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2.答案为D. 3．若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，5)B ．[0,5)C ．(－∞，1)D ．[0,1]【答案】A【解析】由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5，∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5.答案为A.4．若不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a 的范围为____________．【答案】[3，＋∞)【解析】由题意得0<x <4⇒|x －1|<a ，则①0<x ≤1，|x －1|＝1－x ，∴0≤1－x <1.②1<x <4，|x －1|＝x －1，∴0<x －1<3.综合①，②得|x －1|<3，∴a ∈[3，＋∞)．5．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．【答案】0≤a ≤14【解析】∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0； 当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14； 当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14无解．综上可知0≤a ≤14.二、温故知新 夯实基础1．绝对值三角不等式（1）性质1：a b +≤a b +.（2）性质2：a b -≤a b -.性质3：a b -a b ≤-≤a b +.2．绝对值不等式的解法（1（2①()0ax b c c +≤>:c ax b c -≤+≤；②()0ax b c c +≥>:ax b c ax b c +≤-+≥或.（3）和型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.三、典例剖析 思维拓展考点一 含有绝对值不等式的解法例1(1)求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集；(2)求|x －1|＋|x ＋2|<5的解集．【答案】略【解析】(1)原不等式可化为：⎩⎨⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎨⎧ －3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎨⎧ x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}．(2)分别求|x －1|，|x ＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x <－2，－2≤x ≤1，x >1.当x <－2时原不等式即1－x －2－x <5，解得－3<x <－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x <5，因为3<5恒成立，则－2≤x ≤1；当x >1时，原不等式即x －1＋2＋x <5， 解得1<x <2.综上，原不等式的解集为{x |－3<x <2}．【易错点】注意取并集交集情况【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.例2设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【答案】(1) {x |x ≥3或x ≤－1}；(2) a ＝2.【解析】(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧ x ≤a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.【易错点】代入得整个过程.【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.考点二 不等式的证明例1设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.【答案】略【解析】因为a ，b ，c 为正实数，由平均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc ，当且仅当1a 3＝1b 3＝1c 3即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23，当且仅当3abc ＝abc 即abc ＝3时，等号成立，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.【易错点】容易忽视取等的条件.【方法点拨】关键在于拼凑积为定值或和为定值.考点三 不等式的综合应用例1 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）y ＝225x ＋3602x －360 (x >2)；（2）当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.【解析】 法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎨⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5. 从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．法二 (1)同法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．【易错点】忽视取值范围，列式子.【方法点拨】合理设变量，考虑取值范围，化为基本不等式求最值.四、举一反三 成果巩固考点一 含有绝对值不等式的解法1、不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解集为________．【答案】(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2答案：(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32 2、若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 等于( )． A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－8【答案】C【解析】由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4.当a >0时，－8a <x <4a .∵解集为(－1,2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －8a ＝－14a ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝1，a ＝2矛盾，故a 不可能大于0.当a ＝0，则x ∈R 不符合题意．当a <0时，4a <x <－8a .∵解集为(－1,2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝－4，a ＝－4.故a ＝－4.3、设函数f (x )＝| x ＋1|＋| x －a|(a ＞0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，求a 的值．【答案】（1）略；（2）a ＝2.【解析】(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |＝⎩⎨⎧ －2x －1＋ax ＜－1a ＋1 －1≤x ＜a2x ＋1－a x ≥a，函数f (x )如图所示．(2)由题设知：|x ＋1|＋|x －a |≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝5的图象(如图所示)又解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．由题设知，当x ＝－2或3时，f (x )＝5，且a ＋1＜5即a ＜4，由f (－2)＝(－2)×(－2)－1＋a ＝5得a ＝2.考点二 不等式的证明1、已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值。
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第84讲 绝对值不等式的解法及其应用
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x ＋a|－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a 的取值范围．
(1)当a ＝1时，f(x)＝⎪⎩
⎪
⎨⎧>+-≤<-≤+.2,62,21,2,1-,42x x x x x
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1等价于|x ＋a|＋|x －2|≥4.
而|x ＋a|＋|x －2|≥|a＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f(x)≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．(2018·广州一模)已知函数f(x)＝2|x ＋a|＋|3x －b|. (1)当a ＝1，b ＝0时，求不等式f(x)≥3|x|＋1的解集； (2)若a>0，b>0，且函数f(x)的最小值为2，求3a ＋b 的值．
(1)当a ＝1，b ＝0时，不等式f(x)≥3|x|＋1， 即为2|x ＋1|＋3|x|≥3|x|＋1， 即|x ＋1|≥1
2
，
所以x ＋1≤－12或x ＋1≥1
2.
所以x≤－32或x≥－1
2
.
所以所求不等式的解集为{x|x≤－32或x≥－1
2}．
(2)因为a>0，b>0，所以b
3>－a.
所以f(x)＝2|x ＋a|＋|3x －b|
＝⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>-+≤<-++--≤-+-=,3,25,3,2,,25b x b a x b x a b a x a x a b x
可知f(x)在(－∞，b 3]单调递减，在[b
3，＋∞)单调递增，
所以f(x)min ＝f(b 3)＝6a ＋2b
3＝2.
所以3a ＋b ＝3.
3．(2017·广东肇庆第三次统测)已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a . (1)若a ＝0，解不等式f (x )≥g (x )；
(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．
(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|x ＋1|≥2|x |， 两边平方，并整理得(3x ＋1)(1－x )≥0， 所以所求不等式的解集为{x |－1
3≤x ≤1}．
(2)由f (x )≥g (x )，得|x ＋1|≥2|x |＋a ， 即|x ＋1|－2|x |≥a ，
令F (x )＝|x ＋1|－2|x |，依题意，可得F (x )max ≥a . F (x )＝|x ＋1|－2|x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1－x ， x ≥0，3x ＋1， －1<x <0，
x －1， x ≤－1.
易知F (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝0时，F (x )取得最大值，最大值为1. 所以a 的取值范围为(－∞，1]．
4．(2017·湖北黄冈三月调研)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|(a ∈R )． (1)当a ＝－1时，求f (x )≤2的解集；
(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含集合[1
2
，1]，求实数a 的取值范围．
(1)当a ＝－1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|， (方法1)f (x )≤2⇔|2x ＋1|＋|2x －1|≤2. 原不等式等价于：
⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x ＋1－2x －1≤2，或⎩
⎪⎨⎪⎧
－12
≤x ≤12，
2x ＋1－2x －1≤2，
或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，2x ＋1＋2x －1≤2.
即⎩⎪⎨⎪⎧
x <－12，x ≥－1
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
－12
≤x ≤12，
2≤2，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x >1
2，x ≤1
2.
所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1
2}．
(方法2)f (x )≤2⇔|x ＋12|＋|x －1
2
|≤1.
上述不等式的几何意义为数轴上的点x 到两点－12，1
2距离之和小于或等于1，
则－12≤x ≤12
，
所以原不等式的解集为[－12，12
]．
(2)因为f (x )≤|2x ＋1|的解集包含[1
2
，1]，
所以当x ∈[1
2，1]时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，
所以当x ∈[1
2，1]时，|2x －a |＋2x －1≤2x ＋1恒成立，
所以2x －2≤a ≤2x ＋2在x ∈[1
2，1]上恒成立．
所以(2x －2)max ≤a ≤(2x ＋2)min (x ∈[1
2，1])．
所以0≤a ≤3.
5．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b ，求a ＋b 的最小值．
(1)f(x)＝⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
≥<
≤+-<.1,3,121-,2,21,3-x x x x x x
y ＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知，y ＝f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.
6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；
(2)若不等式f (x )≥x 2
－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．
(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，
3，x ＞2.
当x ＜－1时，f (x )≥1无解；
当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．
(2)(方法一)f (x )≥x 2
－x ＋m ，即m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2
＋x 有解． 令g (x )＝|x ＋1|－|x －2|－x 2
＋x .
下面只要求g (x )的最大值． g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋x －3， x ≤－1，－x 2
＋3x －1， －1<x <2，
－x 2＋x ＋3， x ≥2.
当x ≤－1时，g (x )max ＝g (－1)＝－5. －1<x <2时，x ＝3
2
∈(－1,2)，
g (x )max ＝－94＋92－1＝54
.
当x ≥2时，g (x )max ＝g (2)＝－4＋5＝1. 综上，g (x )max ＝5
4
.
所以m 的取值范围为(－∞，5
4]．
(方法二)由f (x )≥x 2
－x ＋m 得
m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .
而|x ＋1|－|x －2|－x 2
＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－(|x |－32)2＋54≤5
4
，
且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2
＋x ＝54.
故m 的取值范围为(－∞，5
4
]．。