天津市高考压轴卷 数学文试题

天津市2013届高考压轴卷 数学文试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数122ii+=- A.i -B.iC.5iD.45i + （2）设变量x ，y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．9 （3）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是A ．3B ．4C ．5D ．6（4）三个数0.760.760.7log 6，，的大小顺序是 A.0.76＜log 0.76＜60.7B.0.76＜60.7＜log 0.76 C.log 0.76＜60.7＜0.76D.60.70.7log 60.76<<（5）已知条件1:≤x p ，条件11:<xq ，则p 是q ⌝成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于A．355B．62C．32D．55（7）已知函数()2sin()f x xωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象如图所示，则ω等于（）A．13B．1C．32D．2（8）若()1,2,a b a a b==⊥-u u r u u r r r r且，则向量,a br r的夹角为A.45°B.60°C.120°D.135°第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共110分.二.填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分.（9）已知集合{}24A x x=<，{}0,1,2B=，则A B=I（10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（11）等差数列{}n a的前n项和是n S，若125a a+=，349a a+=，则10S的值为（12）设0,0.a b>>若33a与3b的等比中项，则11a b+的最小值（13）如右图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，32=PC，若︒=∠30CAP，则⊙O的直径=ABA OB PC（14已知函数2cos ,11()21,||1xx f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是___ _三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15题）（本小题满分13分）某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1． （Ⅰ）求,,x y z 的值；（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按1:60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率． （16）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知向量),2(),cos ,(cos a b c B A +==，且⊥.（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ）若a =8b c +=，求△ABC 的面积.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB //DC ，∠ABC ＝45o，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1．（Ⅰ）求PD 与BC 所成角的大小； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅲ）求二面角A -PC -D 的大小．（18）（本题满分13分） 在数列{}n a 中，已知)(log 32,41,41*4111N n a b a a a n n n n ∈=+==+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n S .（19）（本小题满分14分）函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点P ))1(1f ，（的切线方程为.13+=x y （1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求)(x f y =在[-3,1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围.（20）（本小题满分14分）设21F F ，分别是椭圆：)0(2222>>+b a by a x 的左、右焦点，过1F 倾斜角为ο45的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，且a PQ 34||=. （Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设点)10(-，M 满足||||MQ MP =，求该椭圆的方程.参考答案： 1.【答案】B 【解析】12(12)(2)52(2)(2)5i i i ii i i i +++===--+，选B. 2.【答案】B【解析】做出可行域如图，设2z x y =+，即2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线经过点C 时，直线2y x z =-+的截距最小，此时z 最小.由2y xx y =⎧⎨+=⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)B ，代入得23z x y =+=，所以最小值为3，选B. 3.【答案】B【解析】第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==；第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <,不满足条件，输出4k =，所以选B.【答案】C 4.【答案】D【解析】0.761>,600.71<<,0.7log 60<，所以60.70.7log 60.76<<，选D.5.【答案】B 【解析】由11x<得，0x <或1x >，所以q ⌝：01x ≤≤，所以p 是q ⌝成立的必要不充分条件，选B. 6.【答案】A【解析】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =，双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取by x a=，即0bx ay -=，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离2232bd a b ==+，即22294()b a b =+，所以2254b a =，222245b a c a ==-，即2295a c =，所以2935,55e e ==，选A.7.【答案】C【解析】由图象可知153122888T πππ=-=,所以3T π=，又23T ππω==，所以23ω=，选C. 8.【答案】A【解析】因为()a ab ⊥-r r r ，所以()0a ab -=r r r g ，即20a a b -=r r r g ，即2a b a =r r r g ，所以向量,a b r r 的夹角为22cos ,22a a b a b a b a b<>====r r rr r g r r r r ，所以,45a b <>=o r r ，选A. 9.【答案】{}0,1【解析】因为{}24{22}A x x x x =<=-<<，所以{0,1}A B =I . 10.【答案】54【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱.棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰23110CD +=所以梯形的面积为(45)32722S +⨯==，所以该几何体的体积为274542⨯=. 11.【答案】65【解析】由125a a +=，得125a d +=，由349a a +=得1259a d +=，解得11,2d a ==，所以1011091020+45=652S a ⨯=+=.12.【答案】4【解析】由题意知2333)a b ⨯=，即33a b +=，所以1a b +=.所以11224a b a b b a b a a b a b a b a b +++=+=++≥+⨯=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时，取等号，所以最小值为4. 13.【答案】4【解析】因为根据已知条件可知，连接AC ，32=PC ，︒=∠30CAP ，根据切线定理可知,2()PC PB PA PB PB BA ==+g g ,可以解得为4.14.【答案】5【.解析】由2()3()20f x f x -+=得()1f x =或()2f x =.当11x -≤≤时，222xπππ-≤≤，此时0()1f x ≤≤，由()1f x =，得0x =.当1x >时，若()1f x =，得211x -=，即22x =，此时x =若()2f x =，得212x -=，即23x =，此时x =所以关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数共有5个.15. 【答案】解：（Ⅰ）3600.1554,3600.136x y =⨯==⨯=360865436946624z =-----= -----------3分（Ⅱ）由题意知，三个批次的人数分别是180,120,60，所以被选取的人数分别为3,2,1.-------------5分（Ⅲ）第一批次选取的三个教师设为123,,A A A ,第二批次的教师为12,B B ,第三批次的教师设为C ，则从这6名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为{1213111212321222313231212,,,,,,,,,,,,,,}A A A A A B A B AC A A A B A B A C A B A B A C B B BC B C Ω=共15个------------8分“来自两个批次”的事件包括{111121212223132312,,,,,,,,,,}A B A B AC A B A B A C A B A B A C BC B C Ω=共11个，---11分所以“来自两个批次”的概率1115p =． -----13分 16. 【答案】解：（Ⅰ）Θ⊥∴ 0),2()cos ,(cos =+•=•a b c B A （2分） 即0cos cos )2(=++B a A b c由正弦定理可得0cos sin cos )sin sin 2(=++B A B B C整理得0cos sin 2sin =+A C C （5分）32,21cos 0sin ,0ππ=∴-=∴>∴<<A A C C Θ （6分）（II ）由余弦定理可得 ,cos 2222A bc c b a -+= （8分）22248()64b c bc b c bc bc =++=+-=- 即16bc = （11分）故11sin 1622S bc A ∆==⨯=（13分）17.【答案】（Ⅰ）取的AB 中点H ，连接DH ，易证BH//CD ，且BD =CD …………………1分所以四边形BHDC 为平行四边形，所以BC//DH所以∠PDH 为PD 与BC 所成角………………………………………………2分 因为四边形，ABCD 为直角梯形，且∠ABC =45o ， 所以DA ⊥AB又因为AB =2DC =2，所以AD =1， 因为Rt △PAD 、Rt △DAH 、Rt △PAH 都为等腰直角三角形，所以PD =DH =PH =2，故∠PDH =60o ………………………4分（Ⅰ）连接CH ，则四边形ADCH 为矩形， ∴AH =DC 又AB =2，∴BH =1 在Rt △BHC 中，∠ABC =45o， ∴CH =BH =1，CB =2 ∴AD =CH =1，AC =2 ∴AC 2+BC 2=AB 2∴BC ⊥AC ……6分 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ……7分∵PA ∩AC =A ∴BC ⊥平面PAC ………………………………………8分（Ⅲ）如图，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (1，0，0)，∴AP u u u r =(0，0，1)，PC uuu r=(1，1，-1) ………………………………………… 9分 设m =(a ，b ，c )为平面PAC 的一个法向量， 则00AP PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g m m ，即00c a b c =⎧⎨+-=⎩ 设1a =，则1b =-，∴m =(1，-1，0) ………………………………………10分 同理设n =(x ，y ，z ) 为平面PCD 的一个法向量，求得n =(1，1，1) ………11分 ∴1cos ,222===⨯g g m n m n m n …………………………… 12分 所以二面角A -PC -D 为60o………………………………………………… 13分18.【答案】解：（Ⅰ）∵411=+n n a a ∴数列｛n a ｝是首项为41，公比为41的等比数列， ∴)()41(*N n a n n ∈=.…………………………………………………………………………3分（Ⅱ）∵2log 341-=n n a b …………………………………………………………………… 4分∴232)41(log 321-=-=n b n n .…………………………………………………………… 5分∴11=b ，公差d=3∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列.…………………………………………7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，n n a )41(=，23-=n b n （n *N ∈）∴)(,)41()23(*N n n c n n ∈⨯-=.………………………………………………………………8分∴n n n n n S )41()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ① 于是1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② …………………………………………………………………………………………… 10分 两式①-②相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S =1)41()23(21+⨯+-n n .………………………………………………………………………12分 ∴ )()41(381232*1N n n S n n ∈⨯+-=+.………………………………………………………13分. 19.【答案】解：（1）由c bx ax x x f +++=23)(得b ax x x f ++=23)('2，过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为)1)(1(')1(-=-x f f y ， 即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y .而过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ， 故⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=+++=++3241323c b a b a c b a b a 即 ………3分 ∵)(x f y =在2-=x 处有极值，故.124-02-'-=+∴=b a f ，）（ 联立解得542)(,5,4,223+-+=∴=-==x x x x f c b a . ………5分 (2) )2)(23(443)('2+-=-+=x x x x x f ，令0)('=x f 得.232-==x x 或 ………7分 列下表：因此，)(x f 的极大值为13)2(=-f ，极小值为2795)32(=f ， 又)(,4)1(,8)3(x f f f ∴==-Θ在]1,3[-上的最大值为13.……10分（3）)(x f y =在]1,3[-上单调递增，又b ax x x f ++=23)('2， 由（1）知b bx x x f b a +-=∴=+23)('.02，依题意在]1,2[-上恒有0)('≥x f ，即032≥+-b bx x 即23)1(x x b ≤-在]1,2[-上恒成立.当1=x 时恒成立；当)1,2[-∈x 时，)0,3[1-∈-x ，此时613)1(3132+-+-=-≥x x x x b ……12分而))0,3[1(613)1(3-∈--≤-+-x x x Θ当且仅当0=x 时成立 0613)1(3≤+-+-∴x x 要使613)1(3+-+-≥x x b 恒成立，只须0≥b .……14分 20.【答案】解：（Ⅰ）直线PQ 斜率为1，设直线l 的方程为c x y +=，其中22b ac -=.…………2分 设),(),,(2211y x Q y x P ，则Q P ,两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax c x y 化简得0)(2)(2222222=-+++b c a cx a x b a ，…………………………4分 则222212b a c a x x +-=+，.2222221b a b c a x x +-= 因为，所以a x x x x x x PQ 34]4)[(2||2||2122112⋅-+=-=.………………6分得222434ba ab a +=，故222b a =， 所以椭圆的离心率2222=-==a b a a c e . ……………………8分 （Ⅱ）设PQ 的中点为),(00y x N ，由（1）知.3,32200222210cc x y c b a c a x x x =+=-=+-=+=………………10分由||||MQ MP =得1-=MN k . ……………………12分即1100-=+x y ，得3=c ，从而3,23==b a .故椭圆的方程为191822=+y x …………14分。