2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练六

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2019高考数学高分突破二轮复习练习：专题6 第1讲函数图象与性质

第1讲函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解+析 f (x )＝e x －e －x x 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e >2，排除C ，D ，只有B 项满足.答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解+析法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A.f (x )在(0，2)上单调递增B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解+析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.答案 C4.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解+析因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 答案 22考点整合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ).②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 易错提醒错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一函数及其表示【例1】 (1)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( ) A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 (2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解+析 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎨⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0. 答案 (1)C (2)D探究提高 1.(1)给出解+析式的函数的定义域是使解+析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)(2)(2018·郑州质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，－log 2（x ＋1）＋2，x ≥0. 且f (a )＝－2.则f (14－a )＝________.解+析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1).(2)当x <0时，f (x )＝2x ＋1>0，由f (a )＝－2，知－log 2(a ＋1)＋2＝－2，∴a ＝15.故f (14－a )＝f (－1)＝2－1＋1＝1.答案 (1)D (2)1热点二函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.解+析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.(2)作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解+析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案 (1)D (2)1探究提高 1.已知函数的解+析式，判断其图象的关键是由函数解+析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为()(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解+析(1)法一易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.(2)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. 答案(1)D(2)C热点三函数的性质与应用考法1函数的奇偶性、周期性【例3－1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解+析(1)设g(x)＝f(x)－1＝ln(1＋x2－x)，则g(x)为奇函数.由f(a)＝4，知g(a)＝f(a)－1＝3.∴g(－a)＝－3，则f(－a)＝1＋g(－a)＝－2.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期.∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.答案(1)－2(2)6考法2函数的单调性与最值【例3－2】(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(32a－1)≥f(－3)，则a的最大值是()A.1B.12 C.14 D.34(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b <a <cD.b <c <a解+析 (1)f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，∴32a －1≤3，则2a －1≤12，∴a ≤34.故a 的最大值是34.(2)法一易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b .答案 (1)D (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解+析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x －2，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则 f (g (－3))＝( )A.－3B.－2C.－1D.0(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解+析 (1)由题意得g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝2－log 33＝1.因此f [g (－3)]＝f (1)＝log 31－2＝－2.(2)由题意知f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3.答案 (1)B (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解+析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；(3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8解+析由已知得a >0，∴a ＋1>1，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 答案 C2.(2018·西安质检)函数f (x )＝x 3－x e x ＋e－x 的图象是( )解+析 f (x )＝x 3－x e x ＋e －x 为奇函数，排除选项A ，B ，由f (x )＝0，知x ＝0或x ＝±1，选项D 满足.答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A.y ＝ln(1－x )B.y ＝ln(2－x )C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x ) 解+析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B. 答案 B4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解+析由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .答案 C5.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集为( ) A.(1－ln 2，＋∞)B.(－∞，1－ln 2)C.(1－ln 2，1)D.(1，1＋ln 2)解+析因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，∴f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1.因此x <1－ln 2.答案 B6.已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A.7B.8C.9D.10解+析作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案 C二、填空题7.(2018·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解+析由题意得：⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1. 答案 {x |x >－1}8.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解+析 ∵奇函数f (x )满足f (log 124)＝－3，而log 124＝－2<0，∴f (－2)＝－3，即f (2)＝3，又∵当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，又2>0，∴f (2)＝a 2＝3，解之得a ＝ 3.答案 39.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________.解+析在同一坐标系中画出函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x ∈(－1，1]时，y ＝f (x )的图象在y ＝log 2(x ＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案 (－1，1]三、解答题10.(2018·深圳中学调研)已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2 x，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。

2019年高考数学高分突破复习专题六第1讲

第1讲函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解析 f (x )＝e x －e －xx 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e>2，排除C ，D ，只有B 项满足. 答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解析法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C4.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解析因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.答案22考点整合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称. 2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ). ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.易错提醒错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一函数及其表示【例1】 (1)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 (1)函数有意义，则⎩⎨⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎨⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0.答案 (1)C (2)D探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)(2)(2018·郑州质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，－log 2（x ＋1）＋2，x ≥0. 且f (a )＝－2.则f (14－a )＝________.解析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1).(2)当x <0时，f (x )＝2x ＋1>0，由f (a )＝－2，知－log 2(a ＋1)＋2＝－2，∴a ＝15.故f (14－a )＝f (－1)＝2－1＋1＝1. 答案 (1)D (2)1热点二函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.解析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.(2)作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案 (1)D (2)1探究提高 1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析(1)法一易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.(2)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. 答案(1)D (2)C热点三函数的性质与应用考法1 函数的奇偶性、周期性【例3－1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解析(1)设g(x)＝f(x)－1＝ln(1＋x2－x)，则g(x)为奇函数.由f(a)＝4，知g(a)＝f(a)－1＝3.∴g(－a)＝－3，则f(－a)＝1＋g(－a)＝－2.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期.∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.答案(1)－2 (2)6考法2 函数的单调性与最值【例3－2】(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(32a－1)≥f(－3)，则a的最大值是( )A.1B.12C.14D.34(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析(1)f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，由f(32a－1)≥f(－3)＝f(3)，∴32a－1≤3，则2a－1≤12，∴a≤34.故a 的最大值是34.(2)法一易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数， ∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)， ∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b . 答案 (1)D (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x －2，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则f (g (－3))＝( ) A.－3B.－2C.－1D.0(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解析 (1)由题意得g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝2－log 33＝1.因此f [g (－3)]＝f (1)＝log 31－2＝－2. (2)由题意知f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3. 答案 (1)B (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8解析由已知得a >0，∴a ＋1>1， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案 C2.(2018·西安质检)函数f (x )＝x 3－x e x ＋e －x的图象是( )解析 f (x )＝x 3－x e x ＋e －x为奇函数，排除选项A ，B ，由f (x )＝0，知x ＝0或x ＝±1，选项D 满足. 答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B.y ＝ln(2－x ) C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x )解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B. 答案 B4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .答案 C5.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集为( )A.(1－ln 2，＋∞)B.(－∞，1－ln 2)C.(1－ln 2，1)D.(1，1＋ln 2)解析因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，∴f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1.因此x <1－ln 2. 答案 B6.已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4对任意x∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( ) A.7B.8C.9D.10解析作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9. 答案 C 二、填空题7.(2018·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解析由题意得：⎩⎨⎧2x－12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1. 答案 {x |x >－1}8.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解析∵奇函数f(x)满足f(log124)＝－3，而log124＝－2<0，∴f(－2)＝－3，即f(2)＝3，又∵当x>0时，f(x)＝a x(a>0且a≠1)，又2>0，∴f(2)＝a2＝3，解之得a＝ 3.答案 39.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________.解析在同一坐标系中画出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x∈(－1，1]时，y＝f(x)的图象在y＝log2(x＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案(－1，1]三、解答题10.(2018·深圳中学调研)已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2 x ，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。

2019届高考数学总复习高分突破复习小题满分限时练七

高分突破复习：小题满分限时练(七)(限时：分钟)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.).已知实数集，集合＝{<}，＝{－－>}，则∩(∁)＝( ).[－，) .(，].[－，) .(，)解析集合＝{<<}，＝{>，或<－}，∁＝{－≤≤}，所以，∩(∁)＝(，].答案.已知为虚数单位，若复数＝＋(∈)的实部与虚部互为相反数，则＝( ).－ .－ .－.－解析＝＋＝＋＝＋，∵复数＝＋(∈)的实部与虚部互为相反数，∴－＝，解得＝－.答案.下列说法中正确的是( ).“>，>”是“>”成立的充分条件.命题：，>，则綈：，<.命题“若>>，则<”的逆命题是真命题.“>”是“>”成立的充分不必要条件解析对于选项，由>，>，易得>，故正确；对于选项，全称命题的否定为特称命题，所以命题：∈，>的否定为綈：，≤，故错误；对于选项，其逆命题：若<，则>>，可举反例，如＝－，＝，显然为假命题，故错误；对于选项，由“>”并不能推出“>”，如＝，＝－，故错误.答案.已知>，>，＝(，)，＝(，－)，若⊥，则＋的最小值为( )解析依题意，得·＝＋－＝＋＝.＋＝＋＝＋＋≥，当且仅当＝，＝时取等号.答案.已知直线，，平面α，β，且⊥α，β，给出下列命题：①若α∥β，则⊥；②若α⊥β，则∥；③若⊥，则α⊥β；④若∥，则α⊥β.其中正确的命题是( ).①④ .③④ .①② .①③解析对于①，若α∥β，⊥α，β，则⊥，故①正确，排除；对于④，若∥，⊥α，则⊥α，又β，所以α⊥β.故④正确.答案.设公比为(>)的等比数列{}的前项和为.若＝＋，＝＋，则＝( ).－ .－解析由＝＋，＝＋得＋＝－，即＋＝－，解得＝－(舍)或＝，将＝代入＝＋，得＋＝×＋，解得＝－.答案.点，，，均在同一球面上，且，，两两垂直，且＝，＝，＝，则该球的表面积为( )πππ解析三棱锥－的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.所以长方体的体对角线长是＝，它的外接球半径是，外接球的表面积是π×＝π.答案.若θ\(\)(\\((π)＋θ)))＝θ，则θ＝( ).－.－解析∵θ\(\)(\\((π)＋θ)))＝θ.∴θ＋θ）（θ－θ）,(())（θ－θ）)＝θ，即( θ＋θ)＝θ.∴＋θ＝θ，解得θ＝－或θ＝(舍去).答案.已知平面区域Ω＝{(，)≤≤π，≤≤}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线＝下方的。

2019届高考数学总复习高分突破复习：小题基础过关练(一)

高分突破复习：小题基础过关练(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.(2018·天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A.{x |0<x ≤1} B.{x |0<x <1} C.{x |1≤x <2}D.{x |0<x <2}解析因为B ＝{x |x ≥1}，所以∁R B ＝{x |x <1}，因为A ＝{x |0<x <2}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}. 答案 B2.(2018·福州五校联考)若复数1－b i 2＋i (b ∈R )的实部与虚部相等，则b 的值为( )A.－6B.－3C.3D.6解析 1－b i 2＋i ＝（1－b i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝2－b －（2b ＋1）i 5，由1－b i2＋i(b ∈R )的实部与虚部相等，得2－b 5＝－（2b ＋1）5，解得b ＝－3. 答案 B3.已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7. 可得a 2－a ·b ＝4－a ·b ＝7，可得a ·b ＝－3，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－32×3＝－12，由0≤〈a ，b 〉≤π，得〈a ，b 〉＝2π3.答案 C4.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 “不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件. 答案 B5.已知f (x )满足∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1e x ＋k (k 为常数)，则f (ln5)的值为( ) A.4B.－4C.6D.－6解析 ∵f (x )满足∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，故f (－x )＝－f (x )，则f (0)＝0. ∵x ≤0时，f (x )＝1e x ＋k ，∴f (0)＝1＋k ＝0，k ＝－1，所以当x ≤0时，f (x )＝1e x －1，则f (ln 5)＝－f (－ln 5)＝－4. 答案 B6.已知在递增的等差数列{a n }中，a 1＝3，其中a 2－4，a 3－2，a 7成等比数列，则S 10＝( ) A.180B.190C.200D.210解析设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，因为a 2－4，a 3－2，a 7成等比数列，所以(a 3－2)2＝(a 2－4)a 7，即(2d ＋1)2＝(d －1)(3＋6d )，解得d ＝－12(舍去)或d ＝4.所以S 10＝3×10＋10×92×4＝210. 答案 D7.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝203，b sin A ＝4，则a 的值为( )A.6B.5C.4D.3解析由a sin A ＝b sin B ，b sin A ＝4得a sin B ＝4，又a tan B ＝203，所以cos B ＝35，从而sinB ＝45，所以a ＝5.答案 B 8.(2018·广州测试)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 24－x 25＝1D.y 25－x 24＝1 解析易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以双曲线的右顶点是(2，0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝32，所以c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以该双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案 A9.下列命题，其中说法错误的是( ) A.双曲线x 22－y 23＝1的焦点到其渐近线距离为 3B.若命题p ：x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2C.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a α，且b ∥α解析双曲线x 22－y 23＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x －2y ＝0的距离为d ＝|3·5－0|3＋2＝3，故A 正确；若命题p ：x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：x ∈R ，都有sin x＋cos x <2，B 正确；若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 不正确；设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，由a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入长方体中，如图，则存在平面α，使得a α，且b ∥α，故D 正确. 答案 C10.已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，PA 为球O 的直径且PA ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( )A. 2B.2 2C. 3D.2 3解析取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径PA ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2. 答案 B11.若(2x ＋1)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n ＝( ) A.405B.810C.243D.64解析 (2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n xn －1，取x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n ，(2x ＋1)n的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n＝243，解得n ＝5. ∴a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810. 答案 B12.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则( ) A.4f (－2)<9f (3) B.4f (－2)>9f (3) C.2f (3)>3f (－2)D.3f (－3)<2f (－2)解析根据题意，令g (x )＝x 2f (x )，其导数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，又对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则当x >0时，有g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]>0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，则有g (－2)＝g (2)，且g (2)<g (3)，则有g (－2)<g (3)，即有4f (－2)<9f (3). 答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________.解析作出满足约束条件的可行域如图中阴影所示，则点A (－2，2)，B (2，－2)，C (2，10)，所以平面区域面积为S △ABC ＝12|BC |·h ＝12×(10＋2)×(2＋2)＝24.答案 2414.若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 解析抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0).因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p＝2 2. 答案 2 215.当a ＝2，b ＝6时，执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________.解析依据程序框图，初始值a ＝2，b ＝6，S ＝0，T ＝12. 循环执行一次：S ＝12，a ＝3，b ＝5，T ＝15. 循环执行两次：S ＝15，a ＝4，b ＝4，T ＝16. 循环执行三次：S ＝16，a ＝5，b ＝3，T ＝15，此时满足S >T ，输出S ＝16. 答案 1616.(2018·全国大联考)2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影.小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A，B，C，D的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是C；乙说：第2个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是D；丙说：第4个盒子里面放的是D，第2个盒子里面放的是C；丁说：第4个盒子里面放的是A，第3个盒子里面放的是C.小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半.”可以推测，第4个盒子里面放的电影票为________.解析甲说：“第1个盒子里放的是B，第3个盒子里放的是C”.(1)若第1个盒子里放的是B正确，则第3个盒子里放C错误，由乙知，第3个盒子里放D正确，结合丙知第2个盒子里放C，结合丁，第4个盒子里面放的是A正确.(2)若第1个盒子放的是B错，则第3个盒子里放C正确，同理判断第4个盒子里面放的是D，故可以推测，第4个盒子里放的电影票为A或D.答案A或D。

2019届高考数学总复习高分突破复习：小题基础过关练(二)

高分突破复习：小题基础过关练(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( ) A.(－1，1)B.(－1，2)C.(0，2)D.(1，2)解析由|x －1|<1，得－1<x －1<1，解得0<x <2， ∴M ＝{x |0<x <2}，又∵N ＝{x |x <2}， ∴M ∩N ＝(0，2). 答案 C2.(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A.0B.12C.1D. 2解析因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝－i ＋2i ＝i ，所以|z |＝1.答案 C3.函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析 y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，是周期为π的奇函数. 答案 A4.已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin 2θ 的值为( ) A.35B.45C.15D.－15解析由已知tan θ＝2，sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45. 答案 B5.(2018·日照模拟)设a ＝20.1，b ＝lg 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.b >c >aB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c解析因为a ＝20.1∈(1，2)，b ＝lg 52∈(0，1)，c ＝log 3910<0，∴a >b >c .答案 D6.“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析由f (x )＝m ＋log 2x ＝0(x ≥1)，得m ＝－log 2x ≤0.因为{m |m <0}{m |m ≤0}，所以“m <0”是“函数f (x )(x ≥1)存在零点”的充分不必要条件. 答案 A7.(2018·武昌调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为( )A.1.2B.1.6C.1.8D.2.4解析由三视图知，商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体的组合体.依题意，得(5.4－x )×3×1＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6，解得x ＝1.6.答案 B8.正项等比数列{a n }中，a 2 018＝a 2 017＋2a 2 016，若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n的最小值等于( )A.1B.32C.53D.136解析设公比为q ，因为a 2 018＝a 2 017＋2a 2 016，所以q 2＝q ＋2，则q ＝2或q ＝－1(舍). 又a m a n ＝16a 21，则a 21·2m ＋n －2＝16a 21.∴m ＋n ＝6(m >0，n >0)，且m ，n ∈N *. ∴4m ＋1n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24n m ·m n ＝32. 当且仅当m ＝4，n ＝2时等号成立. 答案 B9.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( ) A. 3B.2 3C.2D.3解析由OC →＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)，又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. 答案 D10.习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入m ＝6，则输出的S ＝( )A.26B.44C.68D.100解析第一次运行，n ＝1，a ＝n 2－12＝0，S ＝0＋0＝0，不符合n ≥m ，继续运行.第二次运行，n ＝2，a ＝n 22＝2，S ＝0＋2＝2，不符合n ≥m ，继续运行，第三次运行，n ＝3，a ＝n 2－12＝4，S ＝2＋4＝6，不符合n ≥m ，继续运行，第四次运行，n ＝4，a ＝n 22＝8，S ＝6＋8＝14，不符合n ≥m ，继续运行，第五次运行，n ＝5，a ＝n 2－12＝12，S ＝14＋12＝26，不符合n ≥m ，继续运行，第六次运行，n ＝6，a ＝n 22＝18，S ＝26＋18＝44，符合n ≥m ，输出S ＝44.答案 B11.已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( ) A.4x ＋y －1＝0B.2x ＋y ＝0C.2x ＋8y ＋7＝0D.x ＋4y ＋3＝0解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 212＝1，且x 224－y 222＝1，相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2. 又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0. 答案 C12.定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1>0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )<1lg x ＋5的解集为( ) A.(10，10) B.(0，10) C.(10，＋∞)D.(1，10)解析设g (x )＝f (x )－1x －5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2f ′（x ）＋1x2>0，故函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，故g (x )<0的解集为(0，1)，即f (x )<1x＋5的解集为(0，1).由0<lg x <1，得1<x <10，则所求不等式的解集为(1，10). 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x ＋y －4≥0，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为________.解析由题意可得可行域为如图所示(含边界)的阴影部分，z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，则在点A 处取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， ∴A (1，2).代入z ＝x ＋2y 得最小值5. 答案 5 14.若二项式⎝⎛⎭⎪⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则⎠⎛1m x 2d x ＝________.解析依题意m ＝T 5＝C 46⎝⎛⎭⎪⎫552＝3.则⎠⎛1m x 2d x ＝⎠⎛13x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪31＝263.答案26315.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝________.解析双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，当x ＝－1时，y ＝±b a，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－b a，所以S △AOB ＝12×2×b a ×1＝23，即b a ＝2 3.所以b2a 2＝12，所以e ＝1＋b 2a2＝13. 答案1316.若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P ，在其图象上总存在点P ′，使得OP →·OP →′＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”.给出下列五个函数： ①y ＝x －1；②y ＝e x－2(其中e 为自然对数的底数)； ③y ＝ln x ；④y ＝1－x 2.其中是“特殊对点函数”的是________(写出所有正确的序号).解析设点P (x 1，f (x 1))，点P ′(x 2，f (x 2))，由OP →·OP ′→＝0，得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0，即OP →⊥OP →′.对于①y ＝x －1.当取点P (1，1)时，满足OP →⊥OP →′的点P ′不在y ＝x －1上，故①y ＝x －1不是“特殊对点函数”，如图(1)所示；对于②y ＝e x －2.作出函数y ＝e x－2的图象.由图象知，满足OP →⊥OP →′的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则②是“特殊对点函数”，如图(2)所示；(1) (2)(3) (4)对于③y ＝ln x .当取点P (1，0)时，满足OP →⊥OP →′的点P ′不在y ＝ln x 上，故③y ＝ln x 不是“特殊对点函数”，如图(3)所示；对于④y ＝1－x 2.作出函数y ＝1－x 2的图象，由图象知，满足OP →⊥OP →′的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则④是“特殊对点函数”，如图(4)所示. 答案 ②④。

2019年高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练六

高分突破复习：小题满分限时练(六)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝( ) A.(0，2] B.[－2，e) C.(0，1]D.(1，e)解析由－x 2－x ＋2≥0，得－2≤x ≤1，则P ＝[－2，1]，又Q ＝{x |0<x <e}＝(0，e)，故P ∩Q ＝(0，1]. 答案 C2.若复数z 满足z ＝4－2ii －1(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )A.复数z 的虚部为1B.|z |＝10C.z －＝－3＋iD.复平面内与复数z 对应的点在第二象限解析 z ＝4－2i i －1＝12(4－2i)(－1－i)＝－3－i.∴z －＝－3＋i ，A ，B ，D 均不正确.答案 C3.已知a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A.b >c >aB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c解析 0<a ＝20.9<2，c ＝log 123＝－log 23<0，又b 3＝(323)3＝9>8，则b >2.故b >a >c .答案 C4.如图，已知正六边形ABCDEF 内接于圆O ，连接AD ，BE ，现在往圆O内投掷2 000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是(参考数据：π3≈1.82，3π≈0.55)( ) A.275B.300C.550D.600解析依题意，设AB ＝1，故阴影部分的面积S 1＝2×34×12＝32，圆O 的面积S 2＝π×12＝π，故落在阴影区域内的小米的粒数为2 000×32π＝2 000×32π≈550.答案 C5.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.5解析依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2. 答案 B6.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，3a ＝6sin A ，△ABC 的面积S ＝3，则a ＋b ＝( ) A.21B.17C.29D.5解析在△ABC 中，c ＝3，3a ＝6sin A ， ∴csin C ＝a sin A ＝63，则sin C ＝32，C ＝π3. 又S ＝12ab sin π3＝3，知ab ＝4.由余弦定理，32＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab .∴(a ＋b )2＝9＋3ab ＝21，故a ＋b ＝21. 答案 A7.若执行右面的程序框图，则输出的结果为( ) A.180 B.182 C.192D.202解析循环一次后：S ＝2，m ＝2. 循环两次后：S ＝7，m ＝3. 循环三次后：S ＝20，m ＝4. 循环四次后：S ＝61，m ＝5. 循环五次后：S ＝182，m ＝6. 不满足S <120？，退出循环体. 输出S ＝182. 答案 B8.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.53π＋12D.53π＋1 解析由三视图知，该几何体是由一个长方体、一个半球与圆锥构成的组合体.V 长方体＝3×2×2＝12，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 圆锥＝13·π×12×1＝π3.故该几何体的体积V ＝12＋23π＋π3＝π＋12.答案 A9.已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( )A.向左平移2π3个单位长度B.向右平移2π3个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度解析 f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，∴π3ω－π6＝k π(k ∈Z )，ω＝3k ＋12，又0<ω<3，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6.当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3－π6的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 为偶函数. 答案 B10.已知数列{a n }为等差数列，且a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 15的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A.500B.600C.700D.800解析由题意，可知公差最大值时，S 15最大；公差最小时，S 15最小.可得a 1＝1，a 2＝5，此时公差d ＝4是最大值，M ＝S 15＝1×15＋15×142×4＝435.当a 2＝5，a 5＝8，此时d ＝1是最小值，a 1＝4，m ＝S 15＝4×15＋15×142×1＝165. M ＋m ＝435＋165＝600.答案 B11.如图，已知抛物线y 2＝8x ，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋9|QM |的最小值为( ) A.32 B.36 C.42D.50解析易知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，圆心(2，0)，半径r ＝1，且圆心C (2，0)是抛物线y 2＝8x 的焦点，则|PN |＋9|QM |＝|PC |＋r ＋9(|QC |＋r )＝|PC |＋9|QC |＋10.设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝4.故|PN |＋9|QM |＝|PC |＋9|QC |＋10 ＝x 1＋9x 2＋5p ＋10＝x 1＋9x 2＋30 ≥29x 1x 2＋30＝42.当且仅当x 1＝9x 2＝6时，上式等号成立. 答案 C12.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2eD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 3，2e 2 解析由f (x )＝2x －2－1＝0，得x ＝2.依题意|2－β|<1，解得1<β<3.又g (β)＝β2－a e β＝0，得a ＝β2eβ，1<β<3.设φ(x )＝x 2ex ，x ∈(1，3)，则φ′(x )＝x （2－x ）ex，当1<x <2时，φ′(x )>0；2<x <3时，φ′(x )<0， ∴φ(x )在x ＝2处有极大值，且φ(2)＝4e 2，又φ(1)＝1e ，φ(3)＝9e3且φ(1)<φ(3).∴φ(x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知向量a ，b 满足a ＝(cos 2 018°，sin 2 018°)，|a ＋b |＝7，|b |＝2，则a ，b 的夹角等于________.解析由条件知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝7，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝7，a·b ＝1.故cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝12，〈a ，b 〉＝π3.答案π314.已知点P 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，2x ＋y ≥2，x ≤1表示的平面区域内，A (3，2)，B (2，1)，则△PAB 面积的最大值为________.解析作不等式组表示的平面区域如图阴影部分，且|AB |＝2，又k AB ＝1<2，∴点C 到AB 所在直线的距离最大.易知直线AB 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2x ，得点C (1，2)，∴C 点到直线AB 的距离d ＝|1－2－1|2＝2，故△PAB 面积的最大值是12·|AB |·2＝1.答案 115.点M 是双曲线x 2－y 24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________. 解析不妨设点M 是渐近线2x －y ＝0上一点.∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心C (2，0)，半径R ＝1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x －y ＝0垂直.因此圆M 的半径的最小值r min ＝|MC |min －R . 由于|MC |min ＝|4－0|22＋（－1）2＝455，故r min ＝455－1. 答案 455－116.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为________.解析以C 为顶点，把三棱柱补成长方体，设其外接球的半径为R ，则(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CC 21＝36＋AC 2＋BC 2，又V 三棱柱＝12·AC ·BC ·CC 1＝48，知AC ·BC ＝16，∴AC 2＋BC 2≥2AC ·BC ＝32.则(2R )2的最小值为68，所以R min ＝17.故外接球体积的最小值为 43π(17)3＝68173π. 答案 68173π。

2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练

高分突破复习：小题满分限时练(三)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(x＋2)}，则A∩B＝( )A.(－2，－1]B.(－2，3]C.(－2，1]D.[－2，1]解析A＝{x|x2＋2x－3≤0}＝[－3，1]，B＝{x|y＝ln(x＋2)}＝(－2，＋∞)，∴A∩B＝(－2，1].答案 C2.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )A.12B.22C. 2D.2解析z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝2i＋22＝i＋1，则|z|＝12＋12＝ 2.答案 C3.下列命题中正确的是( )A.命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”B.若p为真命题，q为假命题，则(綈p)∨q为真命题C.为了了解高考前高三学生每天的学习时间情况，现要用系统抽样的方法从某班50名学生中抽取一个容量为10的样本，已知50名学生的编号为1，2，3，…，50，若8号被选出，则18号也会被选出D.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝m，则“nα，n⊥m”是“α⊥β”的充分条件解析选项A，需要先换量词，再否定结论，故命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定为“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，选项A错误；选项B，∵綈p为假命题，q为假命题，∴(綈p)∨q为假命题，选项B错误；选项C，根据系统抽样的特点，从50名学生中抽取10人，需间隔5人抽取1人，8＋2×5＝18，18号会被选出，故选项C正确；选项D，根据线面垂直的判定定理可知，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线才能得出该直线与该平面垂直，故由n⊥m不能得到n⊥β，进而不能得到α⊥β，故选项D错误.答案 C4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落在阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数约为( ) A.3 333 B.6 667 C.7 500D.7 854解析题图中阴影部分的面积为⎠⎛01(1－x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪10＝23，正方形的面积为1，设落在阴影部分的点的个数为n ，由几何概型的概率计算公式可知，231＝n10 000，n ≈6 667.答案 B 5.⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A.－3 2 B.3 2C.6D.－6解析通项T r ＋1＝C r3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 23－r(－x 4)r＝C r3(2)3－r(－1)r x－6＋6r，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T2＝－6. 答案 D6.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A.13B.14C.15D.16解析所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD －A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4，2，3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15.答案 C7.已知奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )，若当x ∈(－1，1)时，f (x )＝lg 1＋x1－x，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( )A.911B.119C.－911D.－119解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )＝f (2－x )，又函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (2－x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )为周期函数，周期为4.当x ∈(－1，1)时，令f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝1，得x ＝911.又f (2 018－a )＝f (2－a )＝f (a )＝1，∴a 可以是911.答案 A8.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，条件框内应填写( )A.i >3?B.i <5?C.i >4?D.i <4?解析由程序框图可知，S ＝10，i ＝1；S ＝8，i ＝2；S ＝4，i ＝3；S ＝－4，i ＝4.由于输出的S ＝－4.故应跳出循环，条件为i <4？. 答案 D9.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.15万元B.16万元C.17万元D.18万元解析设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时，z ＝3x ＋4y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18. 答案 D10.已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A.g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1B.g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C.g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D.g (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2解析 ∵f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，∴y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，3φ＝k π，k ∈Z .又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，因此φ＝π3.∴g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0，1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有增有减，故D 错误. 答案 C11.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( ) A.5B. 5C.53D.54解析在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，故c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′.由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan∠F ′FP ＝43，又|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8.∴|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，∴a ＝1，又∵2c ＝10，c ＝5，故双曲线C 的离心率e ＝c a＝5. 答案 A12.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色.先染1；再染两个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( ) A.3 971B.3 972C.3 973D.3 974解析由题意，设第1组的数为1；第2组的数为2，4；第3组的数为5，7，9，…，根据等差数列的前n 项和，前n 组共有n （n ＋1）2个数.由于2 016＝63×（63＋1）2<2 018<64×（64＋1）2＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数.由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n 组最后一个数是n 2，因此，第63组最后一个数为632，632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________.解析由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案 1014.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则A ＝________.解析在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0. 则cos A ＝0或sin B ＝2sin A . ①若cos A ＝0，则A ＝π2；②若sin B ＝2sin A ，则b ＝2a .由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，且c ＝2，C ＝π3.∴a 2＋b 2－ab ＝4，联立b ＝2a ，得a ＝233，b ＝433，则b 2＝a 2＋c 2，B ＝π2，从而A ＝π6.答案π2或π615.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，点E 和点F 分别在线段BC 和DC 上，BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________. 解析法一由题意，得AD ＝CD ＝BC ＝1，AB ＝2， ∴AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →) ＝(AB →＋λBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋19λDC →＝AB →·AD →＋λBC →·AD →＋19λAB →·DC →＋19BC →·DC →＝|AB →||AD →|·cos 60°＋λ|BC →||AD →|cos 60° ＋19λ|AB →||DC →|cos 0°＋19|BC →||DC →|cos 120° ＝2×1×12＋λ2＋29λ－118＝1718＋λ2＋29λ≥178＋2λ2×29λ＝2918(当且仅当λ＝23时，等号成立). 法二如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，过点D 作DG ⊥AB 交AB 于点G ，过点C 作CH ⊥AB 交AB 于点H ，由题意得，AB ∥DC ，AB ＝2，AD ＝BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴AG ＝BH ＝AD cos 60°＝12，同理，DG ＝CH ＝32， ∴A (0，0)，B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，DC →＝(1，0)，AB →＝(2，0)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.∵BE →＝λBC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2，3λ2，DF →＝19λDC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19λ，0，∴AE →＝AB →＋BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，3λ2，AF →＝AD →＋DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，3λ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32＝1718＋29λ＋λ2≥178＋2λ2×29λ＝1718＋23＝2918(当且仅当λ＝23时等号成立). 答案291816.已知函数f (x )＝x ＋a ln x (a >0)，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1(x 1≠x 2)，|f (x 1)－f (x 2)|>⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2，则正数a 的取值范围是________.解析由f (x )＝x ＋a ln x (a >0)，得当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＝1＋a x >0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，不妨设x 1>x 2，则|f (x 1)－f (x 2)|>⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2，即f (x 1)－f (x 2)>1x 2－1x 1，f (x 1)＋1x 1>f (x 2)＋1x 2，令g (x )＝f (x )＋1x ，则g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，所以g ′(x )＝1＋a x －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上恒成立，a x ≥1x 2－1，即a ≥1x －x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上恒成立，令h (x )＝1x －x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则h ′(x )＝－1－1x2<0，h (x )单调递减，h (x )<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，则a ≥32，故正数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞。

2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练(四)

高分突破复习：小题满分限时练(四)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2}，B ＝{x |x ≥－1}，则∁U (A ∪B )＝( ) A.[－2，－1] B.(－2，－1)C.(－∞，－2]∪[－1，＋∞)D.(－2，1)解析 A ∪B ＝(－∞，－2]∪[－1，＋∞)，∁U (A ∪B )＝(－2，－1). 答案 B2.已知复数z ＝5i1－2i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析因为复数z ＝5i 1－2i ＝5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－2＋i ，所以z －＝－2－i ，其对应的点为(－2，－1)，在第三象限. 答案 C3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天的空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，下列说法错误的是( )A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成负相关解析 12月2日空气质量指数最低，所以空气质量最好，A 正确；12月24日空气质量指数最高，所以空气质量最差，B 正确；12月7日到12月12日AQI 在持续增大，所以C 正确；在该地区统计这段时间内，空气质量指数AQI 整体呈上升趋势，所以空气质量指数与这段日期成正相关，D 错误. 答案 D4.已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A >sin B ”是“tan A >tan B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析根据正弦定理asin A＝bsin B，知sin A >sin B a >b A >B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A >B an A >tan B .答案 C5.右面程序框图是为了求出满足3n －2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和两个空白框中，可以分别填入( ) A.A >1 000和n ＝n ＋1 B.A >1 000和n ＝n ＋2 C.A ≤1 000和n ＝n ＋1 D.A ≤1 000和n ＝n ＋2解析因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”.由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n ，所以◇内填入“A ≤1 000”. 答案 D6.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( ) A.17532里 B.1 050里 C.22 57532里D.2 100里解析由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700，则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝22 57532.答案 C 7.已知sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6的值为( )A.43－310 B.43＋310 C.4－3310D.33－410解析 ∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝1－15＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310.答案 A8.如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则此双曲线的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析因为2c ＝|AB |＝6，所以c ＝3.因为b 2a ＝|BC |＝52，所以5a ＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以9＝a 2＋5a 2，解得a ＝2或a ＝－92(舍去)，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.答案 B9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB＝2，BC ＝23，则球O 的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π解析法一由题意知，S ，A ，B ，C 是如图所示三棱锥S －ABC 的顶点，且SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AC ＝22＋（23）2＝4，SC ＝22＋42＝2 5.取AC 的中点E ，SC 的中点F ，连接EF ，EB ，BF ，FA ，则FS ＝FC ＝FA ＝12SC ＝5，BE ＝12AC ＝2，FB ＝BE 2＋EF 2＝22＋12＝5，故FS ＝FC ＝FA ＝FB ，即点F 就是三棱锥的外接球的球心，且其半径为5，故球的表面积S ＝4π·(5)2＝20π.法二由题意可知，S ，A ，B ，C 为如图所示长方体的四个顶点，连接SC ，且SA ＝AB ＝2，BC ＝23，设球O 的半径为R ，则2R ＝SC ＝SA 2＋AB 2＋BC 2＝25，即R ＝5，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝20π. 答案 C10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( ) A.f (log 27)<f (－5)<f (6) B.f (log 27)<f (6)<f (－5) C.f (－5)<f (log 27)<f (6) D.f (－5)<f (6)<f (log 27)解析由f (x ＋2)＋f (x )＝0，得f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x )，f (x )的周期T ＝4. 又f (－x )＝－f (x )，且有f (2)＝－f (0)＝0，所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log 22＝－1，f (6)＝f (2)＝0. 又2<log 27<3，所以0<log 27－2<1，即0<log 274<1，∵x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈[0，1]， ∴f (log 27)＝－f (log 27－2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274 ＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274＋1＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272，又1<log 272<2，所以0<log 2⎝⎛⎭⎪⎫log 272<1，所以－1<－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272<0，所以f (－5)<f (log 27)<f (6). 答案 C11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.若x 1x 2<0，且f (x 1)－f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，＋∞解析如图，画出f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的大致图象，记M ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则|MN |＝π6.设点A ，A ′是平行于x 轴的直线l 与函数f (x )图象的两个交点(A ，A ′位于y 轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x 1，x 2，结合图形可知，|x 2－x 1|＝|AA ′|∈(|MN |，＋∞)，即|x 2－x 1|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞.答案 A12.已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)<f (x )对任意的x >2恒成立，则k 的最大值为( ) A.3B.4C.5D.6解析先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m >2)，所以f ′(m )＝f （m ）m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln mm －2，化为m －4－2ln m ＝0，设g (x )＝x －4－2ln x (x >2)，则g ′(x )＝1＋2x>0，故g (x )在(2，＋∞)上单调递增.因为g (e 2)＝e 2－8<0，g (e 3)＝e 3－10>0，且g (m )＝0，所以e 2<m <e 3，又k <f ′(m )＝2＋ln m ∈(4，5)，且k ∈Z ，所以k max ＝4. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.(x ＋2y )5的展开式中含x 3y 2项的系数为________.解析展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5x5－r(2y )r.依题意，r ＝2，故含x 3y 2项的系数22C 25＝40. 答案 4014.若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2≥0，x ＋y －1≤0，y ≥m ，且x －y 的最大值为5，则实数m 的值为________.解析画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示：x －y 的最大值为5，由图形可知，z ＝x －y 经过可行域的点A 时取得最大值5.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，x ＋y ＝1⟹A (3，－2)是最优解，直线y ＝m 过点A (3，－2)，所以m ＝－2. 答案－215.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 为正方形，P 为A 1D 1的中点，AD ＝2，AA 1＝3，点Q 是正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且QC ＝2QP ，则线段BQ 的长度的最大值为________.解析以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则P (1，0，3)，C (0，2，0)，B (2，2，0)，Q (x ，y ，0)，因为QC ＝2QP ，所以x 2＋（y －2）2＝2（x －1）2＋y 2＋3⟹(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，所以(y ＋2)2＝4－(x －2)2⟹|y ＋⟹－4≤y ≤0，|BQ |＝（x －2）2＋（y －2）2＝4－8y ，又4≤4－8y ≤36，则2≤|BQ |≤6，故线段BQ 的长度的最大值为6. 答案 616.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.解析由已知条件，得192＝e b，又48＝e22k ＋b＝e b ·(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋b＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案 24。

2019-2020年高考数学小题高分突破6数列

2019-2020 年高考数学小题高分打破6数列1．已知 { a } 为等比数列，数列{ b } 知足 b ＝ 2， b ＝5，且 a (b －b )＝a ，则数列 { b } 的n n 1 2 n n ＋1 n n＋1 n前 n 项和为 ()A ． 3n＋ 1 B． 3n－ 1C. 3n2＋ nD.3n2－n2 2答案 C分析∵ b1＝ 2，b2＝ 5，且 a n(b n＋1－ b n)＝ a n＋1，∴a1(b2－ b1)＝ a2，即 a2＝ 3a1，又数列 { a n} 为等比数列，∴数列 { a n} 的公比 q＝3，且 a n≠ 0，a n＋1∴ b n＋1－ b n＝a n＝3，∴数列 { b n} 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，∴数列 { b n n n n－ 1 × 3＝3n2＋n.} 的前 n 项和为 S ＝ 2n＋ 2 22．设等比数列 { a } 的前 n 项和为 S ， S ＝ 3，S ＝15，则 S 等于 ()n n2 4 6 A．27 B．31 C．63 D．75答案 C分析由题意得 S2， S4－ S2， S6－ S4成等比数列，所以 3,12， S6－ 15 成等比数列，所以 122＝ 3× (S6 6＝ 63.－15)，解得 S 3．设 S n是公差不为2成等比数列，则 a100 的等差数列 { a n} 的前 n 项和， S3＝ a2，且 S1，S2，S4 等于 ( )A．15 B．19 C．21 D．30答案 B分析设等差数列 { a n} 的公差为 d，因为2 2 S3＝a2，所以3a2＝a2，解得 a2＝0 或 a2＝ 3，又因为 S1 2 4， S ， S 组成等比数列，所以 S22 1 4＝SS，所以 (2a2－ d)2＝ (a2－ d)(4a2＋ 2d)，若 a2＝ 0，则 d2＝－ 2d2，此时 d＝ 0，不切合题意，舍去，当 a2＝ 3 时，可得 (6 －d)2＝ (3 －d)(12＋ 2d)，解得 d＝ 2(d＝ 0 舍去 )，所以 a10＝ a2＋ 8d＝ 3＋ 8× 2＝ 19.a94．在等差数列{ a n} 中，若 <－ 1，且它的前 n 项和 S n有最小值，则当 S n>0 时， n 的最小值 a8 为 ( )A．14 B．15 C．16 D．17答案 C分析∵数列 { a n n有最小值，} 是等差数列，它的前n 项和 S∴d>0， a1<0， { a n} 为递加数列．a9∵<－ 1，a8∴a8·a9<0 ， a8＋ a9>0，由等差数列的性质知，2a8＝a1＋a15<0， a8＋ a9＝ a1＋ a16>0.∵S n＝ n a1＋ a n，2∴当 S n >0 时， n 的最小值为16.5．若 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，且S n＝ 2a n－2，则 S8等于 ()A ． 255 B． 256 C． 510D． 511答案 C分析当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 2a1－2，据此可得a1＝ 2，当 n≥2 时， S n＝2a n－2， S n－1＝ 2a n－1－ 2，两式作差可得 a n＝2a n－ 2a n－1，则 a n＝ 2a n－1，据此可得数列 { a n} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，其前2×(1－ 28)＝ 29－ 2＝512－ 2＝510.8 项和为 S8＝1－ 2n 1 2 n＋2 nn， n∈ N*，则 S2 017的值为()6．已知数列 { a } 中 a ＝ 1， a ＝ 2，且 a － a ＝ 2－2·(－1)A．2 016×1 010－ 1 B． 1 009× 2 017C．2 017× 1 010－ 1 D． 1 009× 2 016答案 C分析由递推公式，可得当 n 为奇数时， a n＋2 n n1，公差为 4 的等差数列，－ a ＝4，数列 { a } 的奇数项是首项为当 n 为偶数时， a n＋2 n n2，公差为0 的等差数列，－ a ＝0，数列 { a } 的偶数项是首项为S2 017＝ (a1＋a3＋＋ a2 017)＋( a2＋ a4＋＋ a2 016)＝1 009＋1× 1 009× 1 008× 4＋ 1 008× 2 2＝2 017× 1 010－ 1.a n－ 3 *)，则 a56等于 () 7．已知数列 { a n} 知足 a1＝0， a n＋1＝(n∈ N3a n＋13A．－ 3 B．0 C. 3 D. 2答案 A分析因为 a n＋1＝a n－ 3(n∈ N *) ，n3a ＋ 1所以 a1＝0， a2＝－3， a3＝3，a4＝0， a5＝－3， a6＝3，，故此数列的周期为 3.所以 a56＝ a18×3＋2＝ a2＝－ 3.8．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记录了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风切断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸① ，头圈一尺三②.逐节多三分③ ，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(说明：①第一节的高度为 0.5 尺；②第一圈的周长为 1.3 尺；③每节比其下边的一节多0.03 尺；④每圈周长比其下边的一圈少0.013 尺 )问：此民谣提出的问题的答案是( )A ． 72.705 尺B． 61.395 尺C．61.905 尺D． 73.995 尺答案 B分析因为每竹节间的长相差0.03 尺，设从地面往上，每节竹长为a1， a2， a3，，a30，所以 { a n 1 1＝ 0.03 为公差的等差数列，} 是以 a ＝ 0.5 为首项，以 d由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013 尺，设从地面往上，每节圈长为b1， b2， b3，，b30，由 { b n} 是以 b1＝1.3 为首项， d＝－ 0.013 为公差的等差数列，所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是S30＝ 30× 0.5＋30×29× 0.03 ＋ 30× 1.3＋30×29× －0.013 ＝61.395.2 29．已知数列 { a n} 是各项均为正数的等比数列，S n是其前 n 项和，若 S2＋ a2＝ S3－ 3，则 a4＋3a 的最小值为 ( )2A．12 B．9 C．6 D． 18答案 D分析因为 S3－ S2＝ a3，所以由 S 2＋ a 2＝ S 3－ 3，得 a 3－ a 2＝ 3，设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则 a 1＝ 3，q q － 1 因为 { a n } 的各项为正数，所以 q>1.4213＋ 3a 1 qa ＋ 3a ＝ a q＝ a 1q(q 2＋ 3)＝ 3q( q 2＋ 3) q q－ 1＝ 3 q 2＋ 3 ＝ 3 q － 1＋ 4 ＋ 2 ≥ 18，q － 1q － 1 当且仅当 q － 1＝ 2，即 q ＝3 时， a 4＋3a 2 获得最小值 18.nn n* n n10．已知数列 { a } 的通项公式为 a ＝ 2 (n ∈N )，数列 { b } 的通项公式为 b ＝ 3n － 1，记它们的公共项由小到大排成的数列为A ． [1,2)23C.,e 32{ c n n c n ，则 1 的取值范围为 () } ，令 x ＝ 1＋ c nx 1 x n － 1x nB ． (1，e)D. 3， e2答案 C分析由题意知， { a n } ， { b n } 的共同项为 n－1.2,8,32,128，，故 c n ＝ 22由 x n ＝ c n，1＋c n得 1＝1＋1， x n c n1 1 n＝ 111 .1n－1＋c 11＋c 2 1＋ c nx xx令 F n ＝ 1 ，x 1 x n －1x n则当 n ≥ 2 时， F n＝ 1>1，F n － 1 x n故数列 { F n } 是递加数列，∴ 1 ≥3. x 1 x n － 1x n 2∵ 当 x>0 时， ln(1 ＋ x)<x ，∴ ln 1＋ 1 < 1，c n c n则 ln11 11＋ c 1 1＋ c 2 1＋ c n＝ ln 1＋ 1 ＋ ln 1＋ 1 ＋＋ ln 1＋ 1<1＋1＋＋1n 12＝ 1 ＋ 1 12 3＋＋ n－12221 1－1 n1＝2 22 <2 ＝2，11－ 1－ 1 344111＋1 2∴ 1＋ 1＋ < e 3，1 2 n31 2故 ≤n < e 3，应选 C.2 1 n －1x x x11．记 n为数列n13， 2a n ＋ 1n *n2≤ M 对随意S { a } 的前 n 项和，知足 a ＝ 2 ＋ 3S ＝ 3(n ∈N )，若 S ＋ S n的 n ∈N * 恒建立，则实数 M 的最小值为 ()1741A ．2 2 B.6C.12 D． 4 答案 C分析由 a 1＝ 3，2a n ＋ 1＋ 3S n ＝ 3(n ∈N * )，2得 2a n ＋3S n －1＝ 3， n ≥ 2.两式相减，可得 2a n ＋ 1－2a n ＋ 3a n ＝ 0，即 a n ＋1＝－ 1＝ q. a n 23∵ a 1＝ 2， ∴ 2a 2＋ 3S 1＝ 3，即 2a 2＋ 3a 1＝ 3，∴ a 2＝－ 3， ∴ a 2＝－ 1，4 a 1 2 ∴ a n ＝ 3－1n －1.223 1－－ 1 n2 2 1n .则 S n ＝ 1＝1－－ 21＋23 ∴ 当 n ＝ 1 时， S n 取最大值 2；3当 n ＝2 时， S n 取最小值 4.要使 S n ＋ 2≤ M 对随意的 n ∈ N * 恒建立．S n3依据对勾函数的性质，当S n ＝时，S n＋2获得最大值41，S n12∴M≥4112，∴实数 M 的最小值为41. 1212．关于随意实数x，符号[x]表示不超出x 的最大整数，比如[3] ＝3， [ － 1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝1.已知数列 { a n} 知足 a n＝ [log 2n]，其前 n 项和为 S n，若 n0是知足 S n>2 018 的最小整数，则n0 的值为()A ． 305 B． 306 C． 315D． 316答案 D分析由题意， a n＝[ log2n]，当 n＝1 时，可得 a1＝ 0， (1 项 )当 21≤ n<22时，可得 a2＝ a3＝ 1， (2 项)当 22≤ n<23时，可得 a4＝ a5＝＝a7＝2， (4 项 ) 当23≤ n<24时，可得 a8＝ a9＝＝a15＝ 3， (8 项 ) 当24≤ n<25时，可得 a16＝ a17＝＝ a31＝ 4， (16 项 )，当 2k≤ n<2k＋1时，可得 a2 k＝ a2k＋1＝＝a2 k＋1－1＝k，(2k项)当 2k≤ n<2k＋1时，前 n 项和 S n＝ 1×21＋2× 22＋＋ k× 2k，2S n＝ 1×22＋ 2× 23＋＋k× 2k＋1，所以－ S n＝ 2＋ 22＋ 23＋＋ 2k－k× 2k＋1，所以 S n＝(k－1)× 2k＋1＋ 2.由 S n>2 018 ，得 k≥8.当 k＝7 时， S n＝ 1 538<2 018；当 k＝8 时， S n＝ 3 586>2 018，所以取 k＝ 7，且 2 018－ 1 538＝ 480，所以 n 1× 1－ 28 ＋480＋1＝ 316.0 ＝81－ 213．已知等比数列n nn＋r ，则 a3 2n 的最大{ a } 的前 n 项和 S＝3 － r ＝ ________，数列 n n＋ 4 3项是第 k 项，则 k＝ ________.答案19 4分析等比数列前n 项和公式拥有的特点为S n ＝ aq n － a ，据此可知， r ＝－ 1，则 S n ＝ 3n － 1， a 3＝ S 3－ S 2＝ (33－1)－ (32－ 1)＝ 18，a 3－ r ＝ 19.令 b n ＝ n (n ＋ 4)23 n，且则 b n ＋1n 2＋ 6n ＋ 5 ＝ 2· 2， b n 3n ＋ 4nb n ＋ 1 2 n 2＋ 6n ＋ 5由b n ＝3· n 2＋ 4n >1b n ＋1 2 n 2＋ 6n ＋ 5 由＝ · 2 <1 b n 3 n ＋ 4nb n >0，可得 n 2<10，可得 n 2>10，据此可得，数列中的项知足 b 1<b 2<b 3<b 4，且 b 4>b 5>b 6>b 7>b 8> ，则 k ＝ 4.14．已知等比数列{ a n } 的首项是 1，公比为 3，等差数列 { b n } 的首项是－ 5，公差为 1，把 { b n }中的各项按以下规则挨次插入到 { a n } 的每相邻两项之间，组成新数列 { c n } ： a 1， b 1，a 2 ，b 2，b 3，a 3，b 4，b 5 ，b 6，a 4，，即在 a n 和 a n ＋ 1 两项之间挨次插入 { b n } 中 n 个项，则c 2 018＝ ________.( 用数字作答 )答案1 949分析由题意可得， a n ＝ 3n － 1，b n ＝－ 5＋ (n － 1)× 1＝ n －6，由题意可得，数列 { c n } 中的项为 30，－ 5,31，－ 4，－ 3,32，－ 2，－ 1,0,33，， 3n 时，数列 { c n } 的项数为 1＋ 2＋＋ n ＋ (n ＋ 1)＝ n ＋ 1 n ＋ 2 ，2当 n ＝62 时， 63× 64＝ 2 016，即此时共有 2 016 项，且第 2 016 项为 362，2 ∴ c 2 018＝ b 1 955＝1 955－ 6＝ 1 949.15．已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝ 1， a 2 ＝2， a 3n ＝2n － 2a n ， a 3n ＋1＝ a n ＋ 1， a 3n ＋2 ＝a n － n ，则 S 60＝________.( 用数字作答 )答案264分析因为 a 3n ＝ 2n －2a n ， a 3n ＋1＝ a n ＋ 1，a 3 n ＋ 2＝ a n － n ，所以 a 3 n ＋ a 3n ＋ 1＋ a 3n ＋ 2＝ n ＋1，所以 (a 3＋ a 4＋ a 5)＋ (a 6＋ a 7＋ a 8)＋＋(a 57＋ a 58＋ a 59)＝ 2＋ 3＋＋ 20＝ 209，因为 a 3 n ＝ 2n － 2a n ， a 3n ＋ 2＝ a n － n ，所以 a 60＝ a 3× 20＝ 2× 20－ 2a 20，a 20＝ a 3× 6＋ 2＝a 6－ 6，a 6＝ a 3× 2＝2× 2－ 2a 2＝0，所以 a 20＝－ 6， a 60＝ 52，综上， S 60 ＝1＋ 2＋ 209＋ 52＝ 264.16．数列 { a n } 知足 a 1＝ 42*)，则 1 ＋ 1 ＋＋ 1 的整数部分是 ________．，a n＋1＝ a n － a n ＋ 1(n ∈ Na a a1 22 017答案 2分析因为 a 1＝ 4 2 1(n ∈ N * )，， a n ＋ 1＝ a n－ a n＋3 所以 a n ＋1 n n 2 >0 ，－ a ＝ (a － 1) 所以 a n ＋1>a n ，数列 { a n } 单一递加，所以 a n ＋1－ 1＝a n (a n － 1)>0 ，所以 1＝ 1＝ 1 － 1，a－ 1 an a － 1a － 1a n n ＋ 1 nn所以 1＝ 1 － a 1，a n a － 1＋－ 1n1n所以 S n ＝1 ＋ 1 ＋＋ 1 a 1 a2 a n＝ 1 1 － 1＋ 1 － 1 ＋＋2 23 a － 1 a － 1 a － 1 a － 1 1 － 1 ＝ 1 － 1 ，a n －1 a n ＋ 1－ 1 a 1 －1 a n ＋ 1－ 11所以 m ＝ S 2 017＝ 3－，a 2 018－ 1因为 a4，所以 a42－4＋ 1＝13，1 ＝32＝3393132－13＋ 1＝ 133，a ＝ 9981a 4＝1332－133＋ 1>2，，8181所以 a 2 018>a 2 017>a 2 016> >a 4>2，1所以 a 2 018－ 1>1，所以 0<a 2 018－ 1<1，1所以 2<3－ a 2 018－ 1<3，所以 m 的整数部分是 2.。

2019年高考数学高分突破复习专题六第5讲

第5讲导数的综合应用与热点问题高考定位在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e x－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.(1)证明当a＝1时，f(x)＝e x－x2，则f′(x)＝e x－2x.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x－2.令g′(x)＝0，解得x＝ln 2.当x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0；当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0.∴当x≥0时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.(2)解若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程e x－ax2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，由a＝e xx2，令φ(x)＝e xx2，x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝e x（x－2）x3，令φ′(x)＝0，解得x＝2.当x∈(0，2)时，φ′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0.∴φ(x)min＝φ(2)＝e24.∴a＝e24.2.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x，且f(x)≥0.(1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0，因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x.当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0. 综上，a ＝1.(2)证明由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ，设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )>0.所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞单调递增. 又h (e －2)>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0. 因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点. 由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0). 由x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12得f (x 0)<14.因为x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e －1∈(0，1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2. 所以e －2<f (x 0)<2－2.考点整合1.利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解. 2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x →∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x 1，x 2且x 1<x 2的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的零点分布情况如下：3.利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式.若证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果能证明F (x )在(a ，b )上的最大值小于0，即可证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b ). (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题.①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立I是f(x)>g(x)的解集的子集f(x)－g(x)]>0(x∈I).min②x∈I，使f(x)>g(x)成立I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集f(x)－g(x)]>0(x∈I).max③对x 1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2f(x)max≤g(x)min.④对x 1∈I，x2∈I使得f(x1)≥g(x2f(x)min≥g(x)min.温馨提醒解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键.热点一利用导数研究函数的零点(方程的根)【例1】(2018·西安调研)函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.解(1)f′(x)＝a＋ln x＋1，x>0，由f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.则f(x)＝－x＋x ln x，∴f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)内有两个不同的根，则函数y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点. 由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.如图，由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.因此实数m的取值范围是(－2，－1).探究提高 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题.第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解.2.根据函数零点情况求参数范围：(1)要注意端点的取舍；(2)选择恰当的分类标准进行讨论.【训练1】设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围.解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f(0)＝c，f′(0)＝b，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－2 3 .当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：∴当c>0且c－3227<0时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝⎛⎭⎪⎫－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.热点二利用导数证明不等式【例2】 (2018·郑州质检)已知函数f (x )＝x －1＋a e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0，且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e. (1)解由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1＋a e x . 当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令f ′(x )<0，得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(2)证明法一设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3. 由g ′(x )<0，得x >ln 3；由g ′(x )>0，得x <ln 3. 故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0. 从而g (x )＝f (x )＋2x <0. ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0. 即x 1－2x 2>－4＋e x1.∵－1<x 1<0，∴e －1<e x 1<1，∴－4＋e x 1>－4＋1e.从而x 1－2x 2>－4＋1e.法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴x 1＝e x 1＋e x 2－x 2－3，∴x1－2x2＝e x1＋e x2－3x2－3.设g(x)＝e x－3x，则g′(x)＝e x－3.由g′(x)<0，得x<ln 3；由g′(x)>0，得x>ln 3. 故g(x)min＝g(ln 3)＝3－3ln 3.∵－1<x1<0，x2>0，∴x1－2x2>e－1＋3－3ln 3－3＝1e－3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4，∴x1－2x2>－4＋1 e .探究提高 1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①x∈[a，b]，有f (a)≤f(x)≤f(b)，②x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).2.证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.【训练2】(2016·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<x－1ln x<x；(3)设c>1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>c x.(1)解由f(x)＝ln x－x＋1(x>0)，得f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，解得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增.当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.因此f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上为减函数.(2)证明由(1)知，函数f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.∴当x≠1时，ln x<x －1.故当x∈(1，＋∞)时，ln x<x－1，ln 1x<1x－1，即1<x－1ln x<x.(3)证明由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－c x，则g′(x)＝c－1－c x ln c.令g′(x)＝0，解得x0＝lnc－1 ln c ln c.当x<x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减.由(2)知1<c－1ln c<c，故0<x0<1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0<x<1时，g(x)>0.∴当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>c x.热点三不等式恒成立、存在性问题考法1 不等式恒成立问题【例3－1】(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1).(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－a（x－1）x＋1>0，设g(x)＝ln x－a（x－1）x＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0. ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>g (1)＝0. ②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1.故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )<g (1)＝0，综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，2]. 考法2 存在性不等式成立问题【例3－2】 (2018·哈尔滨质检)函数f (x )＝e x sin x ，g (x )＝(x ＋1)cos x －2e x ，其中e 是自然对数的底数. (1)求f (x )的单调区间； (2)对x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当2k π<x ＋π4<π＋2k π(k ∈Z )，即x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4＋2k π，3π4＋2k π (k ∈Z )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当π＋2k π<x ＋π4<2π＋2k π(k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋2k π，7π4＋2k π(k ∈Z ) 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；综上，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋2k π，7π4＋2k π(k ∈Z ). (2)f (x 1)＋g (x 2)≥m ，即f (x 1)≥m －g (x 2)，设t (x )＝m －g (x )，则原问题等价于f (x )min ≥t (x )min ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，一方面由(1)可知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝0. 另一方面：t (x )＝m －(x ＋1)cos x ＋2e x ，t ′(x )＝－cos x ＋(x ＋1)sin x ＋2e x ，由于－cos x ∈[－1，0]，2e x ≥2， ∴－cos x ＋2e x >0，又(x ＋1)sin x ≥0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，t ′(x )>0，t (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2为增函数，t (x )min ＝t (0)＝m －1＋2，所以m －1＋2≤0，m ≤1－ 2. 即实数m 的取值范围是(－∞，1－2).探究提高 1.对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化.2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍.【训练3】 (2018·石家庄调研)设函数f (x )＝e （x 2－ax ＋a ）e x (a ∈R ).(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线过点M (2，3)，求a 的值；(2)设g (x )＝x ＋1x ＋1－13，若对任意的n ∈[0，2]，存在m ∈[0，2]，使得f (m )≥g (n )成立，求a 的取值范围.解 (1)因为f (x )＝e （x 2－ax ＋a ）e x，所以f ′(x )＝e·（2x －a ）e x －（x 2－ax ＋a ）e xe 2x＝－（x －2）（x －a ）e x －1.又f (1)＝1，即切点为(1，1)，所以k ＝f ′(1)＝1－a ＝3－12－1，解得a ＝－1. (2)“对任意的n ∈[0，2]，存在m ∈[0，2]，使得f (m )≥g (n )成立”，等价于“在[0，2]上，f (x )的最大值大于或等于g (x )的最大值”. 因为g (x )＝x ＋1x ＋1－13，g ′(x )＝x 2＋2x （x ＋1）2≥0，所以g (x )在[0，2]上单调递增，所以g (x )max ＝g (2)＝2. 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0在[0，2]上恒成立，f (x )单调递增，f (x )max ＝f (2)＝(4－a )e －1≥2，解得a ≤4－2e ；②当0<a <2时，f ′(x )≤0在[0，a ]上恒成立，f (x )单调递减，f ′(x )≥0在[a ，2]上恒成立，f (x )单调递增， f (x )的最大值为f (2)＝(4－a )e －1或f (0)＝a e ，所以(4－a )e －1≥2或a e≥2.解得：a ≤4－2e 或a ≥2e ，所以2e≤a <2；③当a ≥2时，f ′(x )≤0在[0，2]上恒成立，f (x )单调递减，f (x )max ＝f (0)＝a e≥2，解得a ≥2e，所以a ≥2. 综上所述：a ≤4－2e 或a ≥2e.热点四利用导数求解最优化问题【例4】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值，所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 探究提高利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x ).(2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)结论：回归实际问题作答.【训练4】 (2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________.解析由题意，连接OD ，交BC 与点G ，由题意，OD ⊥BC ，设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高 h ＝DG 2－OG 2 ＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12·(23x )2·sin 60°＝33x 2，则三棱锥的体积V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x＝3·25x 4－10x 5，令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415. ∴体积最大值为415 cm 3.答案 4151.重视转化思想在研究函数零点中的应用，如方程的解、两函数图象的交点均可转化为函数零点，充分利用函数的图象与性质，借助导数求解.2.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x 轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.3.利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h (x )>0.其中找到函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点是解题的突破口. 4.不等式恒成立、能成立问题常用解法(1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如a ＞f (x )max 或a ＜f (x )min .(2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论.(3)数形结合，构造函数，借助函数图象的几何直观性求解，一定要重视函数性质的灵活应用.一、选择题1.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′（x ）－f （x ）x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( ) A.(－2，0)∪(2，＋∞) B.(－2，0)∪(0，2) C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0，2)解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0，∴φ(x )＝f （x ）x在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数. 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2). 答案 D2.(2018·贵阳联考)已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 的零点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如图所示.由于f (0)＝f (3)＝2，1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4. 答案 D3.(2018·江南八校联考)已知x ∈(0，2)，若关于x 的不等式x e x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为( )A.[0，e ＋1)B.[0，2e －1)C.[0，e)D.[0，e －1)解析依题意，知k ＋2x －x 2>0，即k >x 2－2x 对任意x ∈(0，2)恒成立，从而k ≥0.由xe x <1k ＋2x －x 2得k <e x x ＋x 2－2x .令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，则f ′(x )＝e x （x －1）x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1，2)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1，2)上单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，1)上单调递减，所以k <f (x )min ＝f (1)＝e －1.故实数k 的取值范围是[0，e －1). 答案 D4.已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( ) A.f (a )＜f (1)＜f (b ) B.f (a )＜f (b )＜f (1) C.f (1)＜f (a )＜f (b )D.f (b )＜f (1)＜f (a )解析由题意，知f ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的.又f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，所以零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1x＋1＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2).综上，可得0＜a ＜1＜b ＜2.因为f (x )在R 上是单调递增的，所以f (a )＜f (1)＜f (b ). 答案 A5.(2018·潍坊三模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >1，12x ＋12，x ≤1，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的最小值是( ) A.3－2ln 2 B.e －1 C.2D.e ＋1解析作出函数f (x )的图象如图所示，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则当ln x ＝1时，得x ＝e.因此1<n ≤e，－1<m ≤1.又ln n ＝12m ＋12，即m ＝2ln n －1.所以n －m ＝n －2ln n＋1.设h (n )＝n －2ln n ＋1(1<n ≤e)，则h ′(n )＝1－2n.当h ′(n )>0，得2<n ≤e；当h ′(n )<0，得1<n <2.故当n ＝2时，函数h (n )取得最小值h (2)＝3－2ln 2. 答案 A 二、填空题6.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm 3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ dm.解析设圆柱的底面半径为R dm ，母线长为l dm ，则V ＝πR 2l ＝27π，所以l ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小.S 表＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R ，所以S ′表＝2πR －54πR 2.令S ′表＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小. 答案 37.(2018·长沙调研)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f （x ）e x<1的解集为________.解析令g (x )＝f （x ）e x，则g ′(x )＝e x ·f ′（x ）－（e x ）′·f （x ）（e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f （x ）e x在R 上单调递减.又g (0)＝f （0）e 0＝1，所以f （x ）e x<1，即g (x )<g (0)，所以x >0，所以不等式的解集为{x |x >0}. 答案 {x |x >0}8.(2018·江苏卷)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.解析 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又f (0)＝1，所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意.当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 3，由f ′(x )<0得0<x <a3，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3. 答案－3 三、解答题9.(2018·兰州调研)设函数f (x )＝x －2x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x 2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a >0时，记f (x )的最小值为g (a )，证明：g (a )<1. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 3＝x 2＋2x 2－a x 2＋2x 3＝（x 2＋2）（x －a ）x 3，当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，当x ∈(0，a )，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增. 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增. (2)证明由(1)知，f (x )min ＝f (a )＝a －2a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a －1a 2 ＝a －a ln a －1a ，即g (a )＝a －a ln a －1a.要证g (a )<1，即证a －a ln a －1a<1，即证：ln a＋1a＋1a2－1>0，令h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1，则只需证h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1>0，h′(a)＝1a－1a2－2a3＝a2－a－2a3＝（a－2）（a＋1）a3.当a∈(0，2)时，h′(a)<0，h(a)单调递减；当a∈(2，＋∞)时，h′(a)>0，h(a)单调递增；所以h(a)min＝h(2)＝ln 2＋12＋14－1＝ln 2－14>0，所以h(a)>0，即g(a)<1.10.已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由.(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x，所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，所以h(1)h(2)<0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点.(2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x.由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点.h′(x)＝e x－12x－12－1，记φ(x)＝e x－12x－12－1，则φ′(x)＝e x＋14x－32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即h(x)在(0，＋∞)内至多有两个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.11.已知函数f(x)＝e ax－ax－1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设m为整数，且对于任意正整数n(n≥2).若(n！)2n（n－1）<m恒成立，求m的最小值.解(1)f′(x)＝a e ax－a＝a(e ax－1)，当a>0时，令f′(x)>0，解得x>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＝0时，显然无单调区间；当a<0时，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.综上，当a＝0时，无单调区间；a≠0时，单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞).(2)令a＝1，由(1)可知f(x)的最小值为f(0)＝0，所以f(x)≥0.所以e x≥x＋1(当x＝0时取得“＝”).令x＝n－1，则e n－1>n，所以e0·e1·e2·…·e n－1>1×2×3×…×n，即e n（n－1）2>n！，两边进行2n（n－1）次方得(n！)2n（n－1）<e，所以m的最小值为3.。

2019高考数学高分突破二轮复习练习专题六规范答题示范 Word版含解析.doc

规范答题示范一一函数与导数解答题【典例】(12分)(2017・全国III卷)已知函数» = ln x+ax + (2a + l)x.(1)讨论函数只尤)的单调性；. 3(2)当a<0时，证明fix) W —疝一 2.［信息提取］看到讨论/U)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数川)进行求导.3看到要证ROW一焉一2成立，想到利用导数求函数的最大值.［规范解答］⑴解只力的定义域(0, +oo),1 I | | (2QX+1) (x+1)f (x) =—+ 2ax+2。

+1 = ■. .....................................................................1分若aNO 时，则当xe(0, +oo)时，f(x)>0,故只x)在(0, +s)上单调递增，.....................................................................2分若。

<0时，则当对［。

，一土)时，/(x)>0；当好［一土，+』时，加<0.故只x)在［。

，一如上单调递增，在［一土，上单调递减. .....................................................................5分(2)证明由⑴知，当a<0时顼x)在》=一土处取得最大值，最大值为f ［—土)=mW\ laj 4a所以母)W 一土一2 等价于ln［一土)— 1 一土W 一土—2,即In［一新 +土+1W0,.....................................................................8分设g(x)=lnx—x+1,则g，(x)=?—1.当xG(o, 1)时，g‘a)>o；尤E(I, +oo)时，g，a)<o.所以g(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减.故当x=l时，g(x)取得最大值，最大值为g(l) = O. .....................................................................10分所以当x>0时，g(x)W0,从而当a<0时，In［—新+土+1W0,3即必)鞋—2. .....................................................................12分［高考状元满分心得］得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第⑵问中利用单调性求g(x)的最大值和不等式性质的运用.得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出只”的定义域,f(x)在(0, +co)上单调性的判断；第⑵问，式”在》=—土处最值的判定，y(x)W一土一2等价转化为In［一如+土+1W0等.得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导尹(” 准确，否则全盘皆输，第(2)问中，准确计算只》)在》=—土处的最大值.［解题程序］第一步：求函数式”的导函数/(%);第二步：分类讨论式”的单调性；第三步：利用单调性，求只X)的最大值；第四步：根据要证的不等式的结构特点，构造函数g(x);第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式.第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范.【巩固提升】已知函数/(%) =x2—Mn%—a, g(x)=j—x.⑴当。

高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练(六)

—————————— 教育资源共享步入知识海洋 ————————高分突破复习：小题满分限时练(六)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝( ) A.(0，2] B.[－2，e) C.(0，1]D.(1，e)解析由－x 2－x ＋2≥0，得－2≤x ≤1，则P ＝[－2，1]，又Q ＝{x |0<x <e}＝(0，e)，故P ∩Q ＝(0，1]. 答案 C2.若复数z 满足z ＝4－2ii －1(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )A.复数z 的虚部为1B.|z |＝10C.z －＝－3＋iD.复平面内与复数z 对应的点在第二象限解析 z ＝4－2i i －1＝12(4－2i)(－1－i)＝－3－i.∴z －＝－3＋i ，A ，B ，D 均不正确.答案 C3.已知a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A.b >c >aB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c解析 0<a ＝20.9<2，c ＝log 123＝－log 23<0，又b 3＝(323)3＝9>8，则b >2.故b >a >c .答案 C4.如图，已知正六边形ABCDEF 内接于圆O ，连接AD ，BE ，现在往圆O 内投掷2 000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是(参考数据：π3≈1.82，3π≈0.55)( ) A.275B.300C.550D.600解析依题意，设AB ＝1，故阴影部分的面积S 1＝2×34×12＝32，圆O 的面积S 2＝π×12＝π，故落在阴影区域内的小米的粒数为2 000×32π＝2 000×32π≈550.答案 C5.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.5解析依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2. 答案 B6.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，3a ＝6sin A ，△ABC 的面积S ＝3，则a ＋b ＝( ) A.21B.17C.29D.5解析在△ABC 中，c ＝3，3a ＝6sin A ， ∴csin C ＝a sin A ＝63，则sin C ＝32，C ＝π3. 又S ＝12ab sin π3＝3，知ab ＝4.由余弦定理，32＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab .∴(a ＋b )2＝9＋3ab ＝21，故a ＋b ＝21. 答案 A7.若执行右面的程序框图，则输出的结果为( ) A.180B.182C.192D.202解析循环一次后：S ＝2，m ＝2. 循环两次后：S ＝7，m ＝3. 循环三次后：S ＝20，m ＝4. 循环四次后：S ＝61，m ＝5. 循环五次后：S ＝182，m ＝6. 不满足S <120？，退出循环体. 输出S ＝182. 答案 B8.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.53π＋12D.53π＋1 解析由三视图知，该几何体是由一个长方体、一个半球与圆锥构成的组合体.V 长方体＝3×2×2＝12，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 圆锥＝13·π×12×1＝π3.故该几何体的体积V ＝12＋23π＋π3＝π＋12.答案 A9.已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( )A.向左平移2π3个单位长度B.向右平移2π3个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度解析 f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，∴π3ω－π6＝k π(k ∈Z )，ω＝3k ＋12，又0<ω<3，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6.当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3－π6的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 为偶函数. 答案 B10.已知数列{a n }为等差数列，且a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 15的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A.500B.600C.700D.800解析由题意，可知公差最大值时，S 15最大；公差最小时，S 15最小.可得a 1＝1，a 2＝5，此时公差d ＝4是最大值，M ＝S 15＝1×15＋15×142×4＝435.当a 2＝5，a 5＝8，此时d ＝1是最小值，a 1＝4，m ＝S 15＝4×15＋15×142×1＝165. M ＋m ＝435＋165＝600.答案 B11.如图，已知抛物线y 2＝8x ，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋9|QM |的最小值为( ) A.32 B.36 C.42D.50解析易知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，圆心(2，0)，半径r ＝1，且圆心C (2，0)是抛物线y 2＝8x 的焦点，则|PN |＋9|QM |＝|PC |＋r ＋9(|QC |＋r )＝|PC |＋9|QC |＋10.设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝4.故|PN |＋9|QM |＝|PC |＋9|QC |＋10 ＝x 1＋9x 2＋5p ＋10＝x 1＋9x 2＋30 ≥29x 1x 2＋30＝42.当且仅当x 1＝9x 2＝6时，上式等号成立. 答案 C12.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2eD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 3，2e 2 解析由f (x )＝2x －2－1＝0，得x ＝2.依题意|2－β|<1，解得1<β<3.又g (β)＝β2－a e β＝0，得a ＝β2eβ，1<β<3.设φ(x )＝x 2ex ，x ∈(1，3)，则φ′(x )＝x （2－x ）ex，当1<x <2时，φ′(x )>0；2<x <3时，φ′(x )<0， ∴φ(x )在x ＝2处有极大值，且φ(2)＝4e 2，又φ(1)＝1e ，φ(3)＝9e3且φ(1)<φ(3).∴φ(x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知向量a ，b 满足a ＝(cos 2 018°，sin 2 018°)，|a ＋b |＝7，|b |＝2，则a ，b 的夹角等于________.解析由条件知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝7，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝7，a·b ＝1.故cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝12，〈a ，b 〉＝π3.答案π314.已知点P 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，2x ＋y ≥2，x ≤1表示的平面区域内，A (3，2)，B (2，1)，则△PAB 面积的最大值为________.解析作不等式组表示的平面区域如图阴影部分，且|AB |＝2，又k AB ＝1<2，∴点C 到AB 所在直线的距离最大.易知直线AB 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2x ，得点C (1，2)，∴C 点到直线AB 的距离d ＝|1－2－1|2＝2，故△PAB 面积的最大值是12·|AB |·2＝1.答案 115.点M 是双曲线x 2－y 24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________. 解析不妨设点M 是渐近线2x －y ＝0上一点.∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心C (2，0)，半径R ＝1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x －y ＝0垂直.因此圆M 的半径的最小值r min ＝|MC |min －R . 由于|MC |min ＝|4－0|22＋（－1）2＝455，故r min ＝455－1. 答案 455－116.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为________.解析以C 为顶点，把三棱柱补成长方体，设其外接球的半径为R ，则(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CC 21＝36＋AC 2＋BC 2，又V 三棱柱＝12·AC ·BC ·CC 1＝48，知AC ·BC ＝16，∴AC 2＋BC 2≥2AC ·BC ＝32.则(2R )2的最小值为68，所以R min ＝17.故外接球体积的最小值为 43π(17)3＝68173π. 答案 68173π。

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