2021高考数学大一轮复习第二章函数2.1函数及其表示课件理新人教A版
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第二节 基本不等式 (2)
≥2+2
2
2
·=4,当且仅当
1
∴0<a<1.∵a+≥2
错误.
2
2
2,当且仅当
1
a=b= 时,等号成立,故
2
1
1
1
1
B 错误; + =(a+b) +
1
a=b=2时,等号成立,故
1
·=2,当且仅当
A正
=2+ +
C 错误;∵a>0,b>0,a+b=1,
1
a=1 时,等号成立,∴a+取不到
2ab
(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)a+b≥2 (a>0,b>0),当且仅当 a=b 时,等号成立.
+ 2
(3)ab≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
+ 2 2 +
(4)
≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
3.利用基本不等式求最值
1
(x+y) + 的形式,再展开利用基本不等式求得最值.即将欲求最值的目标
式中的常数用变量替换,构造符合基本不等式应用的条件.
对点训练3(2021重庆八中高三月考)若实数x,y满足x>2y>0,且xy=1,则
2 + 42
的最小值是
-2
.
答案 4
解析 x,y 满足 x>2y>0,且
2
C.若 + ≥2,则必有 a>0,b>0
新课程2021高考数学一轮复习第二章第1讲函数及其表示课件
(2)分段函数的相关结论
①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 □02 并集 各段函数的值域的 □03 并集 .
，值域等于
1．概念辨析 (1)对于函数 f：A→B，其值域就是集合 B.( × ) (2)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( √ ) (4)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数．( × )
3.已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1， 则 f(x)＝___12_x_2－__32_x_＋__5_____.
解析 因为 f(x)是二次函数且 f(0)＝5， 所以设 f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0). 又因为 f(x＋1)－f(x)＝x－1， 所以 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，
记作 □04 y＝f(x) ，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数
的 □05 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做 □06 函数值 ，函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的 □07 值域 .
(3)函数的三要素： □08 定义域 、□09 对应关系 和 □10 值域
2．小题热身
(1)函数 y＝ 2x－3＋x－1 3的定义域为(
)
A.32，＋∞
B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C.32，3∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
答案 C 解析 由x2－x－3≠3≥00，， 解得 x≥32且 x≠3，所以已知函数的定义域为
32，3∪(3，＋∞)．
第2章函数及其表示-2021版高三数学(新高考)一轮复习教学课件(45张ppt)
第二章 函数、导数及其应用
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题组三 考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是 [－1,7]．
第二章 函数、导数及其应用
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[答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
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第二章 函数、导数及其应用
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1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与 之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有 原象，即称为函数． 2．判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
f2：
x
x≤1
y
1
1<x<2 2
x≥2 3
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f3：
第二章 函数、导数及其应用
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[解析] (1)①是映射，也是函数； ②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； ③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集． (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值 域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C． (3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是 同一函数； ②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同 一函数； ③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．
【创新设计】(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 第1讲 函数及其表示配套课件 理 新人教A版
【训练3】 求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1；(2)y＝2x－1－ 13－4x. 解 (1)法一 (配方法)
∵y＝1－x2－1x＋1，又 x2－x＋1＝x－122＋34≥34，
∴0<x2－1x＋1≤43，∴－13≤y＜1.
∴函数的值域为－13，1.
法二 (判别式法) 由 y＝x2x－2－x＋x 1，x∈R. 得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1 时，x∈∅，∴y≠1.
考向一 函数与映射的概念
【例1】 (1)(2012·临沂调研)已知a，b为两个不相等的实 数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}， f：x―→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x， 则a＋b等于________． (2)已知映射f：A―→B.其中A＝B＝R，对应关系f： x―→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在 元素与之对应，则k的取值范围是________．
又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1. 综上得－13≤y＜1.∴函数的值域为－13，1.
(2)法一 (换元法) 设 13－4x＝t，则 t≥0，x＝13－4 t2， 于是 f(x)＝g(t)＝2·13－4 t2－1－t ＝－12t2－t＋121＝－12(t＋1)2＋6， 显然函数 g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
[方法总结] (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是 同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关， 可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换 元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有 关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求 解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0， 且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋ －11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右 边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底 数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故 有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组 解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1， 解得aa＝ ＞10或 且2a，≠1. ∴a＝2.
高考数学大一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数及其表示课件理
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
C方法帮∙素养大提升
方法 分类讨论思想在函数中的应用
方法 分类讨论思想在函数中的应用
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
素养提升 当自变量不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素.
说明 若两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数 是相同函数.
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
3.函数的表示法 函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.
注意 函数图象的特征:与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用 这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
注意 (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值 范围; (2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式;
归纳总结 y=f(x)的定义域的类型及方法
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
注意 (1)分式中,分母不为0; (2)偶次方根中,被开方数非负;
示例3 已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=
.
思维导引 已知复合函数f(g(x))求f(x),可用换元法或配凑法求解.由于f(x)
是二次函数,也可采用待定系数法求解.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
方法总结
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
考点2 分段函数（重点）
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
高中数学课件-2 1 函数及其表示
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-6-
3.映射的概念 两个非空集合A和B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元 素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的 映射,记作f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像, 记作f:x→y. 4.映射与函数的关系 函数是从非空数集到非空数集的映射,该映射中的原像的集合称 为定义域,像的集合称为值域.
(2)函数 f(x)= A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4]
������2 -5������+6 4-|������| +lg ������-3
的定义域为(
)
B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6]
关闭
要使函数有意义,须 即 -4 ≤ ������ ≤ 4,
4-|������| ≥ 0,
������ 2 -5������ +6 ������ -3
函数及其表示
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-14-
考点4
知识方法
易错易混
思考:怎样判断两个函数相等? 解题心得:两个函数是否相等,取决于它们的定义域和对应关系 是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才相 等.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示, 如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均相等.
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-4-
1.函数的基本概念 (1)函数的定义:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f, 对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与 之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B 或y=f(x),x∈A,此时x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合 {f(x)|x∈A}叫作函数的值域. (2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一 致,我们就称这两个函数相等. (4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图像法. (5)分段函数:若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区 间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数 的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
高中数学人教A版 精品 第二章 §2-1 函数的概念及其表示
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.
( ×) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.( × ) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数.( × )
(4)函数 f(x)＝xx－ 2，1x，<0x≥0， 的定义域为 R.( √ )
3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义 域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
跟踪训练1 函数f(x)＝lnx1－1＋ 3－x的定义域为
A.(1,3]
√B.(1,2)∪(2,3]
C.(1,3)∪(3，＋∞)
D.(－∞，3)
x－1>0， 由题意知x－1≠1，
3－x≥0， 所以1<x<2或2<x≤3，
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3].
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2， 当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1.
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高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版
第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
高中数学第二章基本初等函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时分数指数幂新人教A版必修1
B．234
C．18
D．243
[解析]
4－23
＝
1
3
42
＝22123
＝213＝18.
(C)
2．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是
m
A．am÷an＝a n
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
(D )
• [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确， 故选D．
(3)由于a23
－a－32
＝(a12
)3－(a－12
3
)3，所以有a21 a2
－a－32 －a－12
1
＝a2
－a－21 a＋a－1＋a12
1
a2
－a－12
·a－12
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
『规律方法』 (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知
条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体
3
(2)化简：
7
a2
a－3÷ 3 a－83 a15÷3
a－3 a－1.
• [思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指 数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)21 ＝1＋16－110＝1165.
3
(2)原式＝
7
a2
a－32
÷
a－83
15
a3
3
÷
a－23
• 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分 数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式 又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．