高中物理第六章万有引力与航天第4节万有引力理论的成就学案新人教必修2

第4节 万有引力理论的成就
，
一、地球质量的计算
在不考虑地球自转的情况下，地球表面物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即
mg ＝G Mm R 2，解得M ＝gR 2
G
Ｗ.在已知g 、R 并在卡文迪许准确测定引力常量G 后，可据上式得到
地球的质量. 二、天体质量的计算
计算中心天体的质量，首先观测环绕天体的轨道半径r 和运动周期T ，根据万有引力提
供向心力，G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得中心天体质量M ＝4π2
GT
r 3
Ｗ.
三、发现未知天体
海王星的发现和哈雷彗星的回归.
一、合作探究找规律 考点一 计算天体的质量
1.若已知卫星绕地球运动的周期T 和卫星到地心的距离r ，可以计算卫星的质量吗？
2.若已知地球绕太阳运动的周期T 和地球到太阳的距离r ，可以计算太阳的密度吗？
答：1.不可以.因为GMm r 2＝m 4π2
T
2r ，等式两边卫星的质量消去了，只能计算中心天体的质
量.
2.不可以，只能计算太阳的质量，但由于不知道太阳的半径，故无法计算太阳的密度. 考点二 发现未知天体
如图，行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
1.行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
2.行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
答：1.由G Mm r 2＝m v 2
r
得v ＝
GM
r
，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的.
2.无关.因为在等式G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2
T
2r 各项中都含有m ，可以消掉.
二、理解概念做判断
1.卡文迪许测出了万有引力常量，使得万有引力定律有了实际的应用价值.(√)
2.利用万有引力可以确定天体的质量，如确定地球的质量.(√)
3.冥王星被称为“笔尖下发现的行星”.(√)
4.科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析.(√)
要点1|计算天体的质量和密度
1.计算天体质量的思路和公式
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的，根据圆周运动的知识和牛顿第二定律可知有关天体运动的一些物理量有如下关系：
G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝mrω2
＝mωv ＝mr 4π2
T
2. (2)重力近似等于其所受的万有引力，即：
mg ＝G Mm
R
2(m 在M 的表面上).
说明：①万有引力提供天体运动的向心力以及重力近似等于万有引力是我们研究天体运动的两大依据.
②式中的r 是天体做匀速圆周运动的轨道半径，R 是被环绕天体的半径. 2.计算被环绕天体质量的几种方法
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量.下面以地球质量的计算为例，介绍几种关于计算天体质量的方法：
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，轨道半径为r ，根据万有引力提供向
心力，即G M 地·m 月r 2＝m 月r 4π2T 2，可求得地球质量M 地＝4π2r
3
GT 2
.
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和月球运行的线速度v ，由于地球
对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月v 2
r ，
解得地球质量M 地＝rv 2
G
.
(3)若已知月球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T ，由于地球对月球的引力等于月球
做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月v 2πT ，G M 地·m 月r 2＝m 月v 2
r ，以
上两式消去r ，解得地球的质量为M 地＝Tv 3
2πG
.
说明：根据万有引力定律只能计算被环绕的中心天体的质量.
(4)利用绕地球运转的各种航天器(卫星、宇宙飞船、航天飞机、空间站)，测出其轨道半径r 、周期T 或线速度v 等，利用万有引力提供向心力列出相关方程即可求出地球质量.
(5)求其他天体的质量的思路和方法：通过观测，寻找其卫星，测出其卫星运行的轨道半径、周期、线速度等；或者对该天体发射一环绕运转的飞行器，测出该飞行器运行的轨道半径、周期、线速度等，利用万有引力提供向心力列出相关方程求解.
3.利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程G Mm r 2＝m 4π2
T
2
r ，又M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝M 43πR 3＝4π2r
3
GT 243
πR 3＝3πr
3
GT 2R
3.当天体的卫星环绕天体表面运动时，其
轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π
GT
2.
4.利用天体表面的重力加速度来求天体的密度
由mg ＝G Mm R 2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3g
4πGR
，其中g 为天体表面的重力加速度，R 为天
体的半径.
典例1 1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只
脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步，在月球上，如果阿姆斯特朗和同伴奥尔德林用弹簧测力计测出质量为m 的食品的重力为F ；而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱，在月球表面附近
飞行一周，记下时间为T .引力常量G 已知.
(1)试根据以上数据求出月球的质量； (2)据题中所给数据求出月球的平均密度.
【思路点拨】 利用月球表面处万有引力等于重力，当用弹簧秤在月球表面处测重力时，
F ＝mg
再对指令舱根据万有引力提供向心力，列圆周运动的方程可以求出.
【解析】 (1)设月球的质量为M 、半径为R 、表面的重力加速度为g ，根据万有引力定律，有F ＝mg ＝G Mm
R
2，①
根据指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球表面的重力加速度，有a n ＝g ＝F m
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
R .② 联立①②求得月球质量M ＝F 3T 4
16G π4m
3.
(2)指令舱的向心力等于月球对它的万有引力，即
G Mm R 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2R 得月球质量M ＝4π2R 3
GT
2
所以月球的平均密度ρ＝M
43πR 3＝4π2R
3
GT 2
43
πR 3＝3πGT 2.
【答案】 (1)F 3T 416G π4m 3 (2)
3π
GT 2
变式训练1－1 (2018·济宁一模)对于环绕地球做圆周运动的卫
星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r 与周期T 关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G )( )
A ．4π2
b Ga
B ．4π2
a
Gb
C ．Ga
4π2b
D ．Gb
4π2a
解析：卫星受到的万有引力提供其圆周运动的向心力，G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得r 3
＝GM 4π
2T 2，
对照图象可知，GM
4π2＝a b ，地球的质量M ＝
4π2
a
Gb
，B 选项正确. 答案：B
解决天体问题的思路和方法： (1)建立两种模型
①建立质点模型：天体有自然天体(如地球、月亮)和人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)两种，无论是哪种天体，不管它的体积有多大，在分析天体问题时，首先应把研究对象看做质点，人造天体直接看做一个质点，自然天体看作是位于球心位置的一个质点.
②建立匀速圆周运动模型：行星或卫星的绕行轨道大都为椭圆，但用圆周运动知识处理近圆的椭圆轨道问题，误差不大并且方便解决.
(2)抓住两条思路
天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决问题的基本思路有两条：
思路1：利用在中心天体表面或附近万有引力近似等于重力.
G Mm
R
2＝mg 0(g 0表示天体表面的重力加速度). 思路2：利用万有引力提供向心力
由此得到G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2
r ＝mωv ＝m 4π2
T
2r .
名师点易错
1.计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体.注意方法的拓展应用.明确计算出的是中心天体的质量.
2.要注意R 、r 的区分.R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径.若近地轨道运行，则有R ＝r .
要点2|双星模型
双星模型如图所示：
1.两颗星球绕中心连线的某一点做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，属于同轴转动的模型，模型中的向心力、周期、角速度相等.
2.双星的轨道半径之和等于双星之间的距离，即r A ＋r B ＝L .
3.每颗星做匀速圆周运动的向心力由双星之间的万有引力提供，即G
m A m B L
2＝m A ω2
r A ＝m B ω2r B ，解得m A m B ＝r B
r A
，两星做匀速圆周运动的半径与自身的质量成反比.
典例2 冥王星和其附近的星体卡戎的质量分别为M 、m (m <M )，两星相距L ，它
们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点O 做匀速圆周运动.冥王星与星体卡戎到O 点的距离分别为R 和r .则下列说法正确的是( )
A ．可由G Mm R
2＝MRω2
计算冥王星做圆周运动的角速度。