2 北京市昌平区2016届九年级上学期期末考试数学试题
北京昌平区2015—2016学年第一学期初三数学期末质量检测
昌平区2015-2016学年第一学期初三年级期末质量抽测 数 学 试 卷 2016．1学校 姓名 考试编号考生须知 1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．在平面直角坐标系中，将点 A （﹣2，3）向右平移3个单位长度后得到的对应点 A ′的坐标是 A ．（1，3） B ．（﹣2，﹣3） C ．（﹣2，6） D ．（﹣2，1）2．下面四个几何体中，主视图是圆的是A B C D3．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔.那么随机赠送的笔为绿色的概率为 A ．110 B ．15 C ．310 D ． 254. 已知⊙O 的半径长为5，若点P 在⊙O 内，那么下列结论正确的是 A. OP ＞5 B. OP =5 C. 0＜OP ＜5 D. 0≤OP ＜55．如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =4，BC =3，则sin B 的值等于 A ．43B ．34C ．45D ．35CBA6．已知(2)2m y m x =-+是y 关于x 的二次函数，那么m 的值为 A ．-2 B. 2 C. 2± D. 07．如右图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于 A ．120° B ． 140° C ．150° D ． 160°8．二次函数223y x x =--的最小值为A. 5B. 0C. -3D. -49．如右图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A 1B 1C ．若∠A =40°， ∠B 1=110°，则∠BCA 1的度数是A ． 90°B ． 80°C ． 50°D ．30°10. 如右图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则EF GH的值为A. 2B. 32C.3 D. 2二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11．如果3cos 2A =，那么锐角A 的度数为 .12．如右图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD =105°， 则∠DCE 的度数是 .13．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于．．4的概率为 .B 1BA C A 1ABC D OO EDBACBED C AOAB CDE O FG H14．如右图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，3023CDB CD ∠==，, 则阴影部分的面积为 .15．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，CD ⊥AB ,垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，此时，测得顶点C 到量角器最高点的距离CE ＝2cm ，将量角器沿DC 方向平移1cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，如图2,则AB 的长为 cm .图1CBAD EED ABC 图216. 如右图，我们把抛物线y ＝－x (x －3)（0≤x ≤3）记为C 1， 它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2， 交x 轴于另一点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于另一点A 3；……；如此进行下去，直至得C 2016．①C 1的对 称轴方程是 ；②若点P （6047，m ）在抛物线C 2016 上， 则m = .三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．计算：2sin 60cos30(sin 45)tan 45⋅+-．18．如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， △ABC 的顶点均在格点上.（1）画出将△ABC 向右平移2个单位后得到的△A 1B 1C 1，再画出将△A 1B 1C 1绕点B 1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A 2B 1C 2；（2）求线段B 1C 1旋转到B 1C 2的过程中，点C 1所经过的路径长．…C 3A 3C 2A 2yxOA 1C 1ACB19．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … －2 －1 0 1 2 … y…4664…（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）直接写出当y ＜0时x 的取值范围．20. 如下图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =45°，AC =32，求AB 的长.BCA21.某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A ，B ，C ．（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率；（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共100吨生活垃圾，数据统计如下表（单位：吨）：垃圾箱 垃圾A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c226试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少．22. 如右图，二次函数2y x h k ()=-+的顶点坐标为M (1，-4).（1）求出该二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P （点P 与点M 不重合），使54PAB MAB S S =△△，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．如右图，△ABC 内接于⊙O ，∠B =60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：P A 是⊙O 的切线；（2）若43AB =+，23BC =，求⊙O 的半径．POD CB AxyO A BM24．某校九年级进行集体跳绳比赛.如下图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G ，绳子两端的距离AB 约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC 和BD 基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G 关于直线AB 对称.（1）求抛物线G 的表达式并写出自变量的取值范围；（2）如果身高为1.5米的小华站在CD 之间，且距点C 的水平距离为m 米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m 的取值范围.地面GCABD25．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点，以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC =12. 直线BC 与⊙O 交于D ，E 两点，求CE -BD 的值.OA C BD E26. 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α=13，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB =90°. 设∠BAC =α， 则sin α=BC AB=13．易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AB =3x ，则AC =22x ．作CD ⊥AB 于D ，求出CD =（用含x 的式子表示），可求得sin2α=CD OC= ．【问题解决】已知，如图2，点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P =β，sin β =35，求sin2β的值.ON MP图2OBCAD图1五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分） 27．阅读下列材料：春节回家是中国人的一大情结，春运车票难买早已是不争的事实. 春节回家一般都要给父母、亲戚带点年货，坐车回去不好携带，加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费通行等因素，所以选择春节租车回家的人越来越多. 这都对汽车租赁市场起到明显的拉动作用，出现了很多的租赁公司.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元. 当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x 辆车时，日收益为y 元（日收益=日租金收入-平均每日各项支出） . （1）公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金收入为 元（用含x 的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元? （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利?28. 已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC .（1） 如图1，已知∠AOB =150°，∠BOC =120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC . ①∠DAO 的度数是 ；②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明； （2） 设∠AOB =α，∠BOC =β.①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA+OB+OC 的最小值.ABCDABCO 图1图229. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两点A (0，3)，B (1，0)，现将线段AB 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BC ，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点C . （1）如图1，若该抛物线经过原点O ，且14a. ①求点C 的坐标及该抛物线的表达式；②在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB =∠BAO . 若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点D (2，1)，点Q 在抛物线上，且满足∠QOB =∠BAO .若符合条件的Q 点的个数是4个，请直接写出a 的取值范围.CBAO yx12-14432-1图2图1-12344-121xyOABC昌平区2015-2016学年第一学期初三年级期末质量抽测数学参考答案及评分标准 2016. 1一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABDBC二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 题号111213141516答案 30° 105°3523π 23 32x =，- 2 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．解： 2sin 60cos30(sin 45)tan 45⋅+-23321222=⨯+-⎛⎫⎪⎝⎭………………………………………………………… 4分31142=+-14=． ………………………………………………………………… 5分18．解：（1）如图所示. ………………………………………………………… 4分A 2C 2C 1ACB 1BA 1（2）∵点C 1所经过的路径为一段弧， ∴点C 1所经过的路径长为90π42π.180l ⨯==………………………………… 5分 19．解：（1）由表得，抛物线2y ax bx c =++过点(0，6),∴c = 6．…………………………………………………………………………… 1分∵抛物线26=++y ax bx 过点(-1，4)和(1，6), ∴46,6 6.a b a b =-+=++⎧⎨⎩ …………………………………………………………………… 2分解得，1,1.a b =-=⎧⎨⎩∴二次函数的表达式为26y x x =-++．…………………………………………………… 3分 ∵抛物线2y ax bx c =++过点(0，6)和(1，6), ∴抛物线的对称轴方程为12x =.∵当12x =时，254y =,∴抛物线的顶点坐标为125,24⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………………………………………………………4分 （2）当y ＜0时x 的取值范围是x ＜-2或x ＞3. …………………………………………………… 5分20．解： 过点C 作CD ⊥AB 于点D . …………………………………………………………………1分 在Rt △ADC 中，30,23A AC ∠=︒=， ∴132CD AC ==，………………………2分3cos 2332AD AC A =⋅=⨯=. ………………3分在Rt △CDB 中，∠B=45°， ∴∠DCB=∠B=45°.∴3BD CD ==. …………………………………………………………………4分 ∴33AB AD BD =+=+. …………………………………………………… 5分 21．解：（1）画树状图或列表为CB a b ca b c c b aA垃圾 垃圾箱A B C a (A ,a ) (B ,a ) (C ,a ) b (A ,b ) (B ,b ) (C ,b ) c(A ,c )(B ,c )(C ,c )∴ P (垃圾投放正确)=13. ………………………………………………………………… 4分 (2)∵4024010103=++，∴估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为23. …………………………… 5分DBCA22．解：（1）∵二次函数2()y x h k =-+的顶点坐标为M (1，-4)，∴抛物线的表达式为214y x ()=--.令y =0，得1213x x =-=,.∴抛物线与x 轴的交点坐标为A (-1，0)，B (3，0). ………………………………… 2分 （2）∵A (-1,0), B (3,0), M (1，-4), ∴AB =4.∴8MAB S =△. ……………………………………………………………………… 3分 ∵AB =4,∴点P 到AB 的距离为5时，54PAB MAB S S =△△.即点P 的纵坐标为5±.∵点P 在二次函数的图象上，且顶点坐标为M (1，-4)，∴点P 的纵坐标为5. …………………………………………………………………… 4分 ∴()2514x =--.∴ x 1=-2，x 2=4.∴点P 的坐标为(4，5）或（-2，5）. ……………………………………………………… 5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（1）证明：连接OA ． ∵∠B =60°， ∴∠AOC =2∠B =120°． 又∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =30°．……………………1分 又∵AP =AC ，∴∠P =∠ACP =30°．∴∠OAP =∠AOC ﹣∠P =90°． ∴OA ⊥PA ．又∵点A 在⊙O 上，∴PA 是⊙O 的切线．………………………………………………………………2分 （2）解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ． 在Rt △BCE 中，∠B =60°，23BC =， ∴132BE BC ==，CE =3．…………………………………………………3分∵43AB =+，∴4AE AB BE =-=．P OD CBA E∴在Rt △ACE 中，225AC AE CE =+=．………………………………4分∴AP =AC =5．∴在Rt △PAO 中，533OA =．∴⊙O 的半径为533． …………………………………………………………… 5分24．解：（1）如图所示建立平面直角坐标系.地面xOyGCABDE由题意可知：(4,0)A -，(4,0)B ，顶点(0,1)E .设抛物线G 的表达式为21y ax =+. ……………………………………………… 2分 ∵(4,0)A -在抛物线G 上， ∴1610a +=，求得116a =-.∴21116y x =-+. ……………………………………………………………………… 3分自变量的取值范围为-4≤x ≤4. ……………………………………………………… 4分（2）424+222m -＜＜. ………………………………………………… 5分 25．解：过点O 作OF DE ⊥于点F .∴DF EF =． …………………………………… 1分 在矩形ABOC 中，OA=20，∴20BC OA ==，90BOC ∠=︒. ……………………… 2分 在Rt △BOC 中，OC=20 ， ∴cos ∠123205OC OCB BC===.在Rt △OCF 中，cos ∠12CF CF OCF OC==，∴3125CF =.∴365CF =. ………………………………………………………………………………3分FOAC BD E645BF BC CF =-=. …………………………………………………………………4分∴28()()5CE BD EF CF DF BF BF CF -=---=-=. ……………………………… 5分26．解：223x CD =． (1)分 sin2α=CD OC=429． ……………………………………………………………… 2分如图，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR NO ⊥于点R ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q =∠P =β，∴ ∠MON =2∠Q =2β． ………………………………………… 3分 在Rt △QMN 中， ∵ sin β =35MN NQ =， ∴ 设MN =3k ，则NQ =5k ，易得OM=21NQ=52k ．∴ MQ =224QN MN k -=．∵ Δ1122NMQ S MN MQ NQ MR =⋅=⋅，∴ 345k k k MR ⋅=⋅ ． ∴ MR =125k ． ………………………………………………………………………… 4分 在Rt △MRO 中，sin2β=sin ∠MON =122455252kMRk OM ==． …………………………… 5分 五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）27．解：（1）1500-50x （0≤x ≤20, x 为整数）. …………………………………………………… 1分（2）∵日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量，∴日租金收入＝x (1500-50x ). …………………………………………………………… 2分 又∵日收益＝日租金收入-平均每日各项支出， ∴y ＝x (1500-50x )-6250＝－50x 2+1500x -6250＝－50(x －15)2+5000. …………………………………… 3分QRO N MP 图2∵租赁公司拥有20辆小型汽车， ∴ 0≤x ≤20.∴当x ＝15时,y 有最大值5000.∴当日租出15辆时, 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元. ………………… 4分 （3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即y ＝0.∴－50(x －15)2 + 5000＝0，解得x 1＝25，x 2＝5. …………………………………… 5分∴当5＜x ＜25时，y ＞0. ……………………………………………………………… 6分 ∵租赁公司拥有20辆小型汽车，∴当每日租出5＜x ≤20（x 为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利.…………… 7分 28．解：（1）①90°. …………………………………………………………………………………… 1分②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是222OA OB OC +=. 如图1，连接OD .∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD =60°.∴CD = OC ,∠ADC =∠BOC =120°, AD= OB . ∴△OCD 是等边三角形.∴OC =OD =CD ，∠COD =∠CDO =60°. ∵∠AOB =150°，∠BOC =120°， ∴∠AOC =90°.∴∠AOD =30°，∠ADO =60°. ∴∠DAO =90°.在Rt △ADO 中，∠DAO =90°， ∴222OA AD OD +=.∴222OA OB OC +=. ……………………………………………………………… 3分（2）①如图2，当α=β=120°时，OA +OB +OC 有最小值.作图如图2的实线部分. ……………………………………………………… 4分 如图2，将△AOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△A ’O ’C ，连接OO ’. ∴△A ’O ’C ≌△AOC ，∠OCO ’=∠ACA ’=60°. ∴O ’C = OC , O ’A ’ = OA ，A ’C = BC , ∠A ’O ’C =∠AOC . ∴△OC O ’是等边三角形.∴OC = O ’C = OO ’，∠COO ’=∠CO ’O =60°.DABCO 图1O O /A /4321ABC图2∵∠AOB =∠BOC =120°， ∴∠AOC =∠A ’O ’C =120°. ∴∠BOO ’=∠OO ’A ’=180°. ∴四点B ，O ，O ’，A ’共线.∴OA +OB +OC = O ’A ’ +OB +OO ’ =BA ’ 时值最小. …………………………………… 6分②当等边△ABC 的边长为1时，OA +OB +OC 的最小值A ’B =3. ………………… 7分 29．解：（1）①如图1，过点C 作CD ⊥x 轴于点D . ∴90CDB AOB ∠=∠=︒. ∵∠ABC =90º，∴90ABO CBD ∠+∠=︒. 又∵90O AB ABO ∠+∠=︒， ∴OAB CBD ∠=∠. ∵AB =BC ， ∴△AOB ≌△BDC . ∴BD =OA ，CD =OB . ∵A (0，3)，B (1，0)，∴C (4，1). ………………………………1分∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过原点O ，且14a =，∴214y x bx =+. ……………………………………………………………………2分又∵抛物线经过点C (4，1)， ∴34b =-. ∴该抛物线的表达式为21344y x x =-. ……………………………………………… 3分 ② 当点P 在第一象限时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ,连接OP .∵∠POB =∠BAO ，∴1tan tan 3POB BAO ∠=∠=.设P (3m ，m )，m >0. ……………………………………………………………………… 4分∵点P 在21344y x x =-上，∴29944m m m -=. 解得：139m =，0m =(舍去).∴1313()39P ，.…………………………………………………………………………… 5分当点P 在第四象限时，同理可求得55()39P ，-. ………………………………… 6分GP D 图1-1234-121xyO ABC当点P在第二、三象限时，∠POB为钝角，不符合题意.综上所述，在抛物线上存在使得∠POB=∠BAO的点P，点P的坐标为1313()39，或55()39，-.（2）a的取值范围为18a<-或6356a+>. …………………………………………………8分。
北京昌平第一学期初三数学期末考试题(含答案)
昌平区初三年级第一学期期末质量抽测数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）1．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和5，如果O1O2= 8，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是A．外切 B.相交 C.内切 D.内含2．在不透明的布袋中装有2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是A ． B. C. D.3．如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，如果∠ABC=30°，那么AC的长是A．1 B ．C ．D．24. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形构成中心对称图形，该小正方形的序号是A．①B．②C．③D．④5．如图，在△中，点分别在边上，∥，若，，则等于A. B. C. D.6．当二次函数取最小值时，的值为A．B．C．D．7．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是A．米B．米C．米D．米8．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB为直径，以弦（非直径）为对称轴将折叠后与相交于点，如果，那么的长为A．B．C．D．二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如果，那么锐角的度数为.10．如果一个圆锥的母线长为4，底面半径为1，那么这个圆锥的侧面积为．AB C30°④③②①11．在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 .12．在平面直角坐标系中，直线和抛物线在第一象限交于点A , 过A 作轴于点.如果取1，2，3，…，n 时对应的△的面积为，那么_____；_____．三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14 -18题各5分，共29分）13. 如图1，正方形ABCD 是一个6 × 6网格的示意图，其中每个小正方形的边长为1，位于AD 中点处的点P 按图2的程序移动．（1）请在图中画出点P 经过的路径； （2）求点P 经过的路径总长．14. 计算：．15. 现有三个自愿献血者，两人血型为O 型，一人血型为A 型.若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所献血的血型均为O 型的概率(要求：用列表或画树状图的方法解答)．绕点A 顺时针旋转90° 绕点B 顺时针旋转90° 绕点C 顺时针旋转90°输入点P图2输出点CP图1xOy16. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两处的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，求AB 两处的距离.17. 已知抛物线与x 轴相交于两点A (1，0)，B (-3，0)，与y 轴相交于点C (0，3)．(1)求此抛物线的函数表达式； (2)如果点是抛物线上的一点，求△ABD 的面积．18. 如图，在△ABC 中，∠ABC =2∠C ，BD 平分∠ABC ，且，，求AB 的值.四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于点，与x 轴相交于M 、N 两点.如果点M 的坐标为，求点N 的坐标.yxOAB MN20.（1）已知二次函数，请你化成的形式，并在直角坐标系中画出的图象；（2）如果，是（1）中图象上的两点，且，请直接写出、的大小关系；（3）利用（1）中的图象表示出方程的根来，要求保留画图痕迹，说明结果．21. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F . （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为4，BE =2，求∠F 的度数.22. 阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果，求的值.他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则可以得到△BAF ∽△HEF . 请你回答：（1）AB 和EH 的数量关系为 ，CG 和EH 的数量关系为 ，的值为 .（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果，那么的值为 yOx（用含a 的代数式表示）.（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F . 如果，那么的值为（用含m ，n 的代数式表示）.五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分）23.由于2013年第30号强台风“海燕”的侵袭，致使多个城市受到影响. 如图所示，A 市位于台风中心M 北偏东15°的方向上，距离千米，B 市位于台风中心M 正东方向千米处. 台风中心以每小时30千米的速度沿MF 向北偏东60°的方向移动（假设台风在移动的过程中的风速保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强烈台风的影响. （1）A 市、B 市是否会受到此次台风的影响？说明理由.（2）如果受到此次台风影响,该城市受到台风影响的持续时间为多少小时?备用图24．已知二次函数y = x 2 – kx + k – 1（ k ＞2）.（1）求证：抛物线y = x 2 – kx + k - 1（ k ＞2）与x 轴必有两个交点； （2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ,若，求抛物线的表达式；（3）以（2）中的抛物线上一点P （m ,n ）为圆心，1为半径作xyO –1–21234–1–21234ME北ABME北AB圆，直接写出：当m取何值时，x 轴与相离、相切、相交.25.已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'.（1）如图1，∠AEE'= °；（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=，求ME的长.E'MFEDC BAE'EDCBA图1图2E'MFEDC BA图3数学试卷参考答案及评分标准 2014．1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案ACDBDABA二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）题 号 9 10 11 12答 案4 ,2n (n +1)（各2分）三、解答题（共6道小题，第13题4分，第14 -18题各5分，共29分） 13．解：（1）如图所示：PAB CD (2)分（2）由题意得,点P 经过的路径总长为：． (4)分14．解：原式= (3)分=.................................................................. 4分=． (5)分15．解：列表如下：O 1 O 2 A O 1(O 1，O 1)(O 1，O 2)(O 1，A)O2(O2，O1) (O2，O2) (O2，A)A (A，O1) (A，O2) (A，A) (4)分所以，两次所献血型均为O型的概率为.…………………………………………………………5分16．解：依题意，可知：………………………………………1分 (2)分， (3)分．∴． (4)分.……………………………………………………………5分∴AB两处的距离为米.17．解：(1)∵抛物线与y轴相交于点C(0，3),∴设抛物线的解析式为. (1)分∵抛物线与x轴相交于两点，∴ (2)分解得：∴抛物线的函数表达式为：. (3)分（2）∵点是抛物线上一点，∴. (4)分∴. (5)分18．解： ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC =2∠1=2∠2. ∵∠ABC =2∠C ，∴∠C =∠1=∠2. …………………………… 1分 ∴. ……………………………… 2分∴.又∵∠A=∠A ,∴△ABD ∽△ACB . ……………………………………………………………………… 3分∴. ……………………………………………………………………… 4分∴.∴（舍负）. ……………………………………………………………………5分四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分） 19．解：连接AB 、AM ，过点A 作AC ⊥MN 于点C ．，)，(0B 轴相切于点y 与A ⊙∵ ∴AB ⊥y 轴.又∵AC ⊥MN ，x 轴⊥y 轴，∴四边形BOCA 为矩形．．A B =OC ，=OB =AC ∴ ∵AC ⊥MN ，∴∠ACM = 90°，MC =CN ． …………………………………………………… 2分，)0，(M ∵ ．=M O ∴ 在 Rt △AMC 中，设AM =r .O A B MNCyx13-21-3.根据勾股定理得：．=r ，求得即分3 …………………………………………………………………… ．的半径为A ⊙∴ 分4 ………………………………………………………………… ．=B A =CO =AM 即 ∴MC =CN=2 .分5 …………………………………………………………………………. )0 ，(N ∴ 20．解：（1）………………………………………………………………… 1分. ………………………………………………………………… 2分画图象，如图所示． …………………………………………………………………… 3分 分4 …………………………………………………………………………………．）2（ ，抛物线向上平移两个单位后得到抛物线）如图所示，将抛物线3（分5 ………….的根的横坐标即为方程两点B 、A 则，B 、A 交于点轴x 与ABy = x 2 2∙x 3y = x 2 2∙x 1yOx21．（1）证明：连接OD .∵AB =AC , ∴. ∵OD =OC , ∴. ∴.∴∥. ∴. ………………… 1分∵DE ⊥AB ,FEDOCA∴. ∴. ∴.∴DE 是⊙O 的切线. …………………………………………………………… 2分（2）解：连接AD .∵AC 为⊙O 的直径， ∴. 又∵DE ⊥AB , ∴Rt ∽Rt . ………………………………………………………… 3分∴.∴. ∵⊙O 的半径为4， ∴AB =AC =8. ∴. ∴.………………………………………………………………………… 4分 在Rt 中，∵，∴. 又∵AB =AC , ∴是等边三角形. ∴ ∴. ……………………………………………………………………5分 22．解：（1）,,. …………………………………………………………… 3分（2）. …………………………………………………………………………………… 4分分5 ………………………………………………………………………………… .）3（ 五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24、25题各8分，共23分） 23．解：（1）如图1，过点A 作AC ⊥MF 于点C , 过点B 作BD ⊥MF 于点D ．依题意得：∠AME =15°，∠EMD =60°，,，∴∠AMC =45°，∠BMD =30°． ∴，． …………… 2分∵台风影响半径为60千米， 而，，∴A 市不会受到此次台风影响，B 市会受到此次台风影响. (4)北MCDEAB分（2）如图2，以点B 为圆心，以60千米为半径作交MF 于P 、Q 两点，连接PB.…………………………………………………………………………5分∵，台风影响半径为60千米，∴.∵ BD ⊥PQ ，PQ =2PD =60. ……………………… 6分 ∵台风移动速度为30千米/小时， ∴台风通过PQ 的时间为小时.即B 市受台风影响的持续时间为小时 . ………………………………………………7分24．（1）证明：∵， (1)分又∵， ∴. ∴即.∴抛物线y = x 2 – kx + k - 1与x 轴必有两个交点. (2)分(2) 解：∵抛物线y = x 2 – kx + k - 1与x 轴交于A 、B 两点，∴令，有.解得：. (3)分∵，点A 在点B 的左侧，∴.∵抛物线与y 轴交于点C ,FEQ PDM北B∴. ………………………………………………………………………… 4分 ∵在Rt中,, ∴, 解得.∴抛物线的表达式为. ………………………………………………… 5分 （3）解：当或时，x 轴与相离. ……………………………6分当或或时，x 轴与相切. …………………………7分 当或时，x 轴与相交. (8)分25．解：(1) 30°. ……………………………………………………………………………………… 1分(2)当点E 在线段CD 上时，； (2)分当点E 在CD 的延长线上， 时，； ………………………………………… 3分 时，；时，. (4)分(3)作于点G , 作于点H.由AD ∥BC ，AD =AB =CD ，∠BAD =120°，得∠ABC =∠DCB =60°，易知四边形AGHD 是矩形和两个全等的直角三角形.则GH=AD , BG=CH . ∵,∴点、B 、C 在一条直线上.设AD =AB =CD=x ,则GH=x ,BG=CH=,.作于Q.在Rt △EQC 中，CE =2,,PQ ABCDEF ME'H G∴, .∴E'Q=. (5)分作于点P.∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'.∴△A EE'是等腰三角形，.∴在Rt△AP E'中，E'P=.∴EE'=2 E'P= (6)分∴在Rt△EQ E'中，E'Q=.∴.∴ (7)分∴，.∴在Rt△E'AF中,,∴Rt△AG E'∽Rt△F A E'.∴∴.∴.由（2）知：.∴.………………………………………………………………………8分。
北京市昌平区九年级上册期末数学试题有答案【精选】
昌平区第一学期初三年级期末质量抽测数 学 试 卷学校： 班级 姓名一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．已知∠A 为锐角，且sin A ＝2，那么∠A 等于 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 2．如图是某几何体的三视图，该几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．长方体D ．正方体（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，点B 是反比例函数ky x =（0k ≠）在第一象限内图象上的一点，过点B 作BA ⊥轴于点A ，BC⊥y 轴于点C ，矩形AOCB 的面积为6，则的值为 A ．3B ．6C ．-3D ．-64．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC 的大小为 A ．40° B ．30° C ．80°D ．100°5．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+- 6．如图，将ΔABC 绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD ，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是（第6 题图）（第7 题图）A ．60°B ．65°C ． 70°D ．75°7．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°8．小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y （单位：m ）与跑步时间t （单位：s ）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点．B ．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度． C. 小苏在跑最后100m 的过程中，与小林相遇2次．D ．小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．请写出一个图象在第二，四象限的反比例函数的表达式．10．如图，在平面直角坐标系Oy 中，点A ，点B 的坐标分别为（0，2）， （1-，0），将线段AB 沿轴的正方向平移，若点B 的对应点的坐标为 'B （2，0），则点A 的对应点'A 的坐标为．(第10题图)11．如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为劣弧AB 上任意一点，过点C 的切线分别交AP ，BP 于D ，E 两点．若AP=8，则 △PDE 的周长为．12．抛物线2y x bx c =++经过点A （0，3），B （2，3），抛物线的对称轴为．(第11题图)13．如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为．14．如图，在直角三角形ABC中,∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的E点,那么AE的长度是．15．如图，在平面直角坐标系Oy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：．(第13题图) (第14题图) (第15题图) 16.阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M.请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________.(第16题图)三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）︒-︒+︒-︒．17．计算：2sin30tan60cos60tan4518．二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标y的对应值如下表：（1（2）在图中画出这个二次函数的图象．19．如图，在△ABC 中， AB=AC ，BD ⊥AC 于点D ．AC =10，cos A =45，求BC 的长．20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接AC ，BC ．（1）求证：A BCD ∠=∠； （2）若AB =10，CD =8，求BE 的长．21．尺规作图：如图，AC 为⊙O 的直径．（1）求作：⊙O 的内接正方形ABCD ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．22．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D 用高1.5米的测角仪DA 测得塔顶M 的仰角为30︒，然后沿DF 方向前行40m 到达点E 处，在E 处测得塔顶M 的仰角为60︒．请根据他们的测量数据求此塔MF 的高．（结果精确到0.1m ，参考数据：41.12≈，73.13≈，45.26≈）四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m ．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图）， 你选择的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，则B 点坐标是______， 求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度．24．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.25．小明根据学习函数的经验，对函数4254y x x =-+ 的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量的取值范围是全体实数，与y 的几组对应数值如下表：（2）如图，在平面直角坐标系Oy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质； （4）进一步探究函数图象发现：①方程42540x x -+=有个互不相等的实数根；②有两个点（1，y 1）和（2，y 2）在此函数图象上，当2>1>2时，比较y 1和y 2的大小关系为： y 1y 2 (填“>”、“<”或“=”)；③若关于的方程4254x x a -+=有4个互不相等的实数根，则a 的取值范围是.26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线y=m 2－2m －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与轴交于点B 顶点为C 点．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P （1，y 1）和Q （2，y 2），与直线AB 交于点N （3，y 3），若3<1<2，结合函数的图象，直接写出1+2+3的取值范围为.五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 为BC 边上的一点.（1）以点C 为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转90°，得到△BCE ，请你画出旋转后的图形；yl（2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF ⊥BE ； （3）若AC，BF =1，连接CF ，则CF 的长度为.28．对于平面直角坐标系Oy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.例如：点P （3-，4）到到轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3<4，所以点P 的最大距离为4. （1）①点A （2，5-）的最大距离为；②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为；（2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；（3）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.昌平区第一学期初三年级期末质量抽测数学参考答案及评分标准一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒122112=⨯-…………………………………………………………4分12=．…………………………………………………………………5分18．解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1-，4-）．………………………………… 1分设二次函数的解析式为：2(1)4y a x=+-………………2分把点（0，3）代入2(1)4y a x=+-得1a=∴2(1)4y x=+-…………………………………3分（2）如图所示……………………………………………………… 5分19．解：∵AC=AB，AB=10，∴AC=10．……………………………………………1分在Rt△ABD中∵cos A=ADAB=45，∴AD=8，……………………………………………………………………2分∴DC=2.……………………………………………………………………………3分∴6BD==.…………………………………………………………4分∴BC==……………………………………………………5分20．（1）证明：∵ 直径AB ⊥弦CD ，∴弧BC =弧BD . …………………… 1分∴A BCD ∠=∠.…………………… 2分（2）解：连接OC∵ 直径AB ⊥弦CD ，CD =8， ∴CE =ED =4. …………………… 3分∵ 直径AB =10，∴CO =OB =5.在Rt △COE 中3OE =…………………… 4分∴2BE =.…………………… 5分21．（1）如图所示…………………… 2分（2）解：∵ 直径AC =4，∴OA =OB =2. ……………………… 3分∵正方形ABCD 为⊙O 的内接正方形， ∴∠AOB=90°，……………………… 4分∴AB == 5分.22．解：由题意AB =40，CF =1.5，∠MAC=30°，∠MBC =60°， ∵ ∠MAC=30°，∠MBC =60°， ∴∠AMB=30°∴∠AMB =∠MAB∴ AB =MB =40．………………………… 1分 在Rt △ACD 中， ∵ ∠MCB=90°，∠MBC =60°， ∴ ∠BMC =30°．∴ BC =12BM =20．………………………… 2分∴MC ==………………………………… 3分.， ∴ MC 34.6． ……………………………………………… 4分∴ MF = MC+CF =36.1.………………………………………………………… 5分 ∴ 塔MF 的高约为36.1米． …………………………………… 5分23．解：方案1：（1）点B 的坐标为（5,0）…………… 1分 设抛物线的解析式为：(5)(5)y a x x =+-…………… 2分 由题意可以得到抛物线的顶点为（0,5），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：1(5)(5)5y x x =-+-…………… 3分 （2）由题意：把3x =代入1(5)(5)5y x x =-+-解得：165y ==3.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m …………… 6分方案2：（1）点B 的坐标为（10,0）…………… 1分 设抛物线的解析式为：(10)y ax x =-…………… 2分由题意可以得到抛物线的顶点为（5,5），代入解析式可得：15a =- ∴抛物线的解析式为：1(10)5y x x =--…………… 3分 （2）由题意：把2x =代入1(10)5y x x =--解得：165y ==3.2…………… 5分 ∴水面上涨的高度为3.2m …………… 6分方案3：（1）点B 的坐标为（5, 5-）…………… 1分 由题意可以得到抛物线的顶点为（0,0） 设抛物线的解析式为：2y ax =…………… 2分 把点B 的坐标（5, 5-），代入解析式可得：15a =-∴抛物线的解析式为：215y x =-…………… 3分（2）由题意：把3x =代入215y x =-解得：95y =-= 1.8-…………… 5分 ∴水面上涨的高度为5 1.8-=3.2m …………… 6分24．（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点，∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =，∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=．∴OC ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分（2）解：∵tan D=OC CD =34，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分∴OD =5．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sin D=OC OD =AE AD =35，∴AE=245．……………………………6分 25． （1）m =0,…………… 1分（2）作图,……………2分（3）图像关于y 轴对称, (答案不唯一) ……………3分（4）（5）944a -<< 26．解：（1）∵抛物线y=m 2－2m －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为,3-（0）；…………………… 1分 ∵抛物线y=m 2－2m －3 (m ≠0)的对称轴为直线1x =，∴点B 的坐标为,0（1）．…………………… 2分 （2）∵∠ACB =45°，∴点C 的坐标为,4-（1），…………………… 3分把点C 代入抛物线y=m 2－2m －3得出1m =，∴抛物线的解析式为y=2－2－3． …………………… 4分（3）123523x x x <++< ……………………6分 27．（1）补全图形…………………… 2分（2）证明：∵ΔCBE 由ΔCAD 旋转得到，∴ΔCBE ≌ΔCAD ，……………… 3分∴∠CBE =∠CAD ，∠BCE =∠ACD =90°，……………4分 ∴∠CBE +∠E =∠CAD +∠E ，∴∠BCE =∠AFE =90°，∴AF ⊥BE ．……………………………………5分（3………………………………………………7分28．解：（1）①5……………………… 1分②5±……………………… 3分（2）∵点C 的最大距离为5， ∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±. ………………4分 分别把5x =±，5y =±代入得：当5x =时，7y =-，当5x =-时，3y =，当5y =时，7x =-，当5y =-时，3x =，∴点C （5-，3）或（3，5-）.……………………… 5分（3）5r ≤≤…………………………………7分。
2016昌平区初三(上)期末数学
2016昌平区初三（上）期末数学一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C． D．2．（3分）如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A等于（）A．50°B．20°C．30°D．40°3．（3分）将二次函数表达式y=x2﹣2x+3用配方法配成顶点式正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+4C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣24．（3分）如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A．1 B．C．D．6．（3分）如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（）A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．47．（3分）已知一个扇形的半径是2，圆心角是60°，则这个扇形的面积是（）A． B．πC．D．2π8．（3分）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（）A．与x轴相离、与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切、与y轴相离D．与x轴、y轴都相切9．（3分）已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的两点，且y1＜y2．满足条件的m 值可以是（）A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．310．（3分）如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知sinA=，则锐角A的度数是．12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为．13．（3分）将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为．14．（3分）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为．15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，勾为AC长8步，股为BC长15步，问△ABC的内切圆⊙O直径是多少步？”根据题意可得⊙O的直径为步．16．（3分）如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把线段BD 绕着点D逆时针旋转α（0＜α＜180）度后，如果点B恰好落在Rt△ABC的边上，那么α=．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．（5分）计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°．18．（5分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率．19．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果AC=2，且tan∠ACD=2．求AB的长．20．（5分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：﹣（1）求这个二次函数的表达式；（2）求m的值．21．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．22．（5分）一个圆形零件的部分碎片如图所示．请你利用尺规作图找到圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（5分）昌平区南环路大桥位于南环路东段，该桥设计新颖独特，悬索和全钢结构桥体轻盈、通透，恰好与东沙河湿地生态恢复工程及龙山、蟒山等人文、自然景观相呼应；首创的两主塔间和无上横梁的设计，使大桥整体有一种开放、升腾的气势，预示昌平区社会经济的蓬勃发展，绚丽的夜景照明设计更是光耀水天，使得南环路大桥不仅是昌平新城的交通枢纽，更是一座名副其实的景观大桥，今后也将成为北京的一个新的旅游景点，成为昌平地区标志性建筑．某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在B点测得顶端D的仰角∠DBA=30°，向前走了50米到达C点后，在C点测得顶端D的仰角∠DCA=45°，点A、C、B在同一直线上．求南环大桥的高度AD．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象过点A（6，1）．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线与反比例函数y=图象的另一个交点为B，与y轴交于点P，若AP=3PB，求点B的坐标．25．（5分）如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF和AD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．26．（5分）有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小文根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小文的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）表是y与x的几组对应值．则m的值为；﹣﹣﹣﹣﹣（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：．五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）27．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）在图1中画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；（3）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A3B3C3与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点A的对应点A3的坐标．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．29．（8分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN 的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．【解答】∵⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∵∠BOC=80°，∴∠B=∠BCO=50°∴∠A=40°．故选D．3．【解答】y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2．故选A．4．【解答】从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，故选：D．5．【解答】如图，tan∠CAB==，故选：C．6．【解答】∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，∵S△AOB=2，∴|k|=4，∴k=﹣4，即可得双曲线的表达式为：y=﹣，故选A．7．【解答】扇形的面积==，故选：A．8．【解答】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，则有2=2，3＞2，∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．故选C．9．【解答】∵k＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，由题意得，0＜m＜2，故选：C．10．【解答】根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，②P在之间，∠DME保持36°，大小不变，③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选B．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．【解答】由sinA=，得∠A=60°，故答案为：60°．12．【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∠A=70°，∵∠BCE+∠BCD=180°，∴∠BCE=○A=70°．故答案为：70°．13．【解答】将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x﹣3）2+2，故答案为：y=2（x﹣3）2+2．14．【解答】∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故答案为4．15．【解答】∵∠C=90°，AC=8步，BC=15步，∴AB==17步，∴△ABC的内切圆⊙O直径=8+15﹣17=6步，故答案为：6．16．【解答】设旋转后点B的对应点为B′，①当B′在线段AB上时，连接B′D，如图1，由旋转性质可得BD=B′D，∴∠DB′B=∠B=55°，∴α=∠BDB′=180°﹣55°﹣55°=70°；②当点B′在线段AC上时，连接B′D，如图2，由旋转性质可得BD=B′D，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∴sin∠CB′D==，∴∠CB′D=30°，∴∠BDB′=90°+30°=120°；综上可知旋转角α为70°或120°，故答案为：70°或120°．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．【解答】2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°=2×﹣4××+（）2=1﹣2+3=2．18．【解答】（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的结果数为2，所以取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率═=．19．【解答】在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠B=∠ACD，∵tan∠ACD=2，∴tan∠B=，∴，由勾股定理得AB=5．20．【解答】（1）设这个二次函数的表达式为y=a（x﹣h）2+k．依题意可知，顶点（﹣1，），∴．∵（0，4），∴．∴．∴这个二次函数的表达式为．（2）当x=1时，y=﹣×4+=，即．21．【解答】如图，作直径AD，连接CD．∴∠ACD=90°．∵∠B=60°，∴∠D=∠B=60°．∵⊙O的半径为6，∴AD=12．在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=6．∴AC=．22．【解答】如图，点O即为所求．四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．【解答】由题意知，在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠DCA=45°，∴AC=AD．设AC=AD=x，在Rt△ABD中，∵∠BAD=90°，∠DBA=30°，∴BD=2AD=2x，∴AB=．∴BC=．∵BC=50，∴．∴x≈68.3．∴x=68．∴南环大桥的高度AD约为68米．24．【解答】（1）反比例函数的图象过点A（6，1），∴m=6×1=6，∴反比例函数的表达式为．（2）过A点作AM⊥y轴于点M，AM=6，作BN⊥y轴于点N，则AM∥BN，如图所示．∵AM∥BN，AP=3PB，∴，∵AM=6，∴BN=2，∴B点横坐标为2或﹣2，∴B点坐标为（2，3）或（﹣2，﹣3）．25．【解答】（1）证明：连接CE，如图所示：∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．∵点F为BC的中点，∴EF=BF=CF．∴∠FEC=∠FCE．∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE．∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．∴EF是⊙O的切线．（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE=60°．∴∠COD=∠AOE=60°．∵⊙O的半径为2，∴OA=OC=2在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，∴∠ODC=30°．∴OD=2OC=4，∴CD=．在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=．∴AD==．26．【解答】（1）由题意可知2x﹣2≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1；（2）当x=3时，m==，故答案为：；（3）利用描点法可画出函数图象，如图：（4）由函数图象可知：图象有两个分支，关于点（1，1）中心对称，故答案为：图象有两个分支，关于点（1，1）中心对称．五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）27．【解答】（1）如图1，△A1B1C1为所作；（2）如图1，△A2B2C2为所作；（3）如图2，△A3B3C3△ABC为所作，此时点A的对应点A3的坐标是（﹣4，﹣4）．28．【解答】（1）抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣4），代入得解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣2x2+4x+2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得C（﹣3，4），二次函数y=﹣2x2+4x+2的最大值为4．由函数图象得出D纵坐标最大值为4．因为点B与点C关于原点对称，所以设直线BC的表达式为y=kx，将点B或点C 与的坐标代入得，．∴直线BC的表达式为．当x=1时，．∴t的范围为．29．【解答】（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE====；（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．由旋转可得，△AMN≌△ABP，∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，∴△PAM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM，∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，当AC=BC=4时，AB=4，当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，∴AQ=AB=2=CQ，NQ=AQ=2，∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=．。
人教版初中数学九年级上册期末试题(北京市昌平区
2017-2018学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）已知∠A为锐角，且sin A＝，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°2．（2分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．球体3．（2分）如图，点B是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k 的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣64．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y＝（x﹣6）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣96．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°8．（2分）小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．10．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为．11．（2分）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE 的周长为．12．（2分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为．13．（2分）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB 的长为．14．（2分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：．16．（2分）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．（5分）计算：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．18．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象．19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．AC＝10，cos A＝，求BC的长．20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝8，求BE的长．21．（5分）尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC＝4时，求这个正方形的边长．22．（5分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E 处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D＝，求AE的长．25．（6分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：012… (2)1其中m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4﹣5x2+4＝0有个互不相等的实数根；②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1）和Q （x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围为．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．（7分）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC边上的一点．（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC＝，BF＝1，连接CF，则CF的长度为．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1＜d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P（﹣3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为；（2）若点C在直线y＝﹣x﹣2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．2017-2018学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）已知∠A为锐角，且sin A＝，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由∠A为锐角，且sin A＝，得∠A＝45°，故选：C．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2．（2分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．球体【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．故选：A．【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．3．（2分）如图，点B是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k 的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6【分析】可根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到k的值．【解答】解：因为矩形AOCB的面积为6，所以k的值为6，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．4．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y＝（x﹣6）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣9【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．6．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．7．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°【分析】连接OC．由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC＝50°，接下来，由切线的性质可证明∠OCD＝90°，最后在△OCD中依据三角形内角和定理可求得∠D的度数．【解答】解：连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝25°．∴∠DOC＝∠A+∠ACO＝50°．∵CD是⊙的切线，∴∠OCD＝90°．∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°．故选：B．【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠DOC和∠OCD的度数是解题的关键．8．（2分）小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误；根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y＝﹣．【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y＝﹣，故答案为：y＝﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．10．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为（3，2）．【分析】根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：∵将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），∵﹣1+3＝2，∴0+3＝3∴A′（3，2），故答案为：（3，2）【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．11．（2分）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE 的周长为16．【分析】直接运用切线长定理即可解决问题；【解答】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA＝DC，EB＝EC；∴DE＝DA+EB，∴PD+PE+DE＝PD+DA+PE+BE＝P A+PB，∵P A、PB分别是⊙O的切线，∴P A＝PB＝8，∴△PDE的周长＝16．故答案为：16【点评】该命题以圆为载体，以考查切线的性质、切线长定理及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．12．（2分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为直线x＝1．【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴x＝＝1．故答案为：直线x＝1．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上两点坐标的关系是解答此题的关键．13．（2分）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB 的长为π．【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB＝360°×＝60°，的长为＝π．故答案为：π【点评】本题主要考查正多边形的性质和弧长公式，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．14．（2分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是4．【分析】由勾股定理可知AB＝10，由折叠的性质得BE＝BC＝6，再由线段的和差关系即可求解．【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB＝＝10．由折叠的性质得：BE＝BC＝6，则AE＝AB﹣BE＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE，故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．16．（2分）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为+1．【分析】按照要求作图即可得点M，连接AC、BC，由题意知AB＝4、BC＝1、∠ACB＝90°，从而可得AM＝AC＝＝，继而可得答案．【解答】解：如图，点M即为所求，连接AC、BC，由题意知，AB＝4、BC＝1，∵AB为圆的直径，∴∠ACB＝90°，则AM＝AC＝＝＝，∴点M表示的数为+1，故答案为：+1．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．（5分）计算：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．【分析】根据解特殊角的三角函数值解答．【解答】解：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°＝＝．【点评】考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，3）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，3）代入y＝a（x+1）2﹣4得a＝1∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）如图所示：【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．AC＝10，cos A＝，求BC的长．【分析】先在Rt△ABD中利用cos A的定义可计算出AD的长，再利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵AC＝AB，AB＝10，∴AC＝10．在Rt△ABD中∵cos A＝＝，∴AD＝8，∴DC＝2．∴．∴．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝8，求BE的长．【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；（2）连接OC，根据垂径定理得到CE＝DE＝CD＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB﹣OE即可．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC＝弧BD．∴∠A＝∠BCD；（2）连接OC∵直径AB⊥弦CD，CD＝8，∴CE＝ED＝4．∵直径AB＝10，∴CO＝OB＝5．在Rt△COE中，∵OC＝5，CE＝4，∴OE＝＝3，∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．21．（5分）尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC＝4时，求这个正方形的边长．【分析】（1）过点O作出直径AC的垂线，进而得出答案；（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直径AC＝4，∴OA＝OB＝2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB＝90°，∴．【点评】此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题关键．22．（5分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E 处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】首先证明AB＝BM＝40，在Rt△BCM中，利用勾股定理求出CM即可解决问题；【解答】解：由题意：AB＝40，CF＝1.5，∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，∵∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，∴∠AMB＝30°∴∠AMB＝∠MAB∴AB＝MB＝40，在Rt△BCM中，∵∠MCB＝90°，∠MBC＝60°，∴∠BMC＝30°．∴BC＝＝20，∴，∴MC≈34.64，∴MF＝CF+CM＝36.14≈36.1．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB＝BM＝40，属于中考常考题型．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是方案二（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（10，0），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B的坐标即可，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式；（2）根据题意可知水面宽度变为6m时x＝2或x＝8，据此求得对应y的值即可得．【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，把点（0，0）代入得：0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，故答案为：方案二，（10，0）；（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，所以水面上涨的高度为米．【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D＝，求AE的长．【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC＝弧CF得到∠BAC＝∠F AC，加上∠OCA ＝∠OAC．则∠OCA＝∠F AC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD＝4，再利用勾股定理计算出OD ＝5，则sin D＝，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵点C为弧BF的中点，∴弧BC＝弧CF．∴∠BAC＝∠F AC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC．∴∠OCA＝∠F AC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OCD中，∵tan D＝＝，OC＝3，∴CD＝4，∴OD＝＝5，∴AD＝OD+AO＝8，在Rt△ADE中，∵sin D＝＝＝，∴AE＝．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．25．（6分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：012… (2)1其中m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数图象关于y轴对称；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4﹣5x2+4＝0有4个互不相等的实数根；②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1＜y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是．【分析】（1）观察对应数值表即可得出；（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；（3）观察函数图象，即可求得．【解答】解：（1）观察对应数值表可知：m＝0，（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：（3）观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），故答案为：函数图象关于y轴对称；（4）①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4﹣5x2+4＝0有4互不相等的实数根，故答案为4；②函数图象可知，当x2＞x1＞2时，y1＜y2；故答案为＜；③观察函数图象，结合对应数值表可知：，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的图象，性质和最值，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1）和Q （x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围为．【分析】（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；（2）确定点C坐标，利用待定系数法即可解决问题；（3）如图，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，求出直线l经过点A、点C时的x1+x3+x2的值即可解决问题；【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，﹣3）；∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的对称轴为直线x＝1，∴点B的坐标为（1，0）．（2）∵∠ACB＝45°，∴点C的坐标为（1，﹣4），把点C代入抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3得出m＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（3）如图，当直线l1经过点A时，x1＝x3＝0，x2＝2，此时x1+x3+x2＝2，当直线l2经过点C时，直线AB的解析式为y＝3x﹣3，∵C（1，﹣4），∴y＝﹣4时，x＝﹣此时，x1＝x2＝1，x3＝﹣，此时x1+x3+x2＝，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2∴．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解答（3）题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了解题的难度．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．（7分）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC边上的一点．（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC＝，BF＝1，连接CF，则CF的长度为．【分析】（1）直接利用旋转的性质即可得出结论；（2）先判断出△CBE≌△CAD，得出∠CBE＝∠CAD，∠BCE＝∠ACD＝90°，即可得出结论；（3）先利用相似三角形的性质求出BD＝x，CD＝（3﹣x），用BC＝BD+CD ＝，建立方程求出BD＝，CD＝，∴BD＝CD，再利用三角形的面积求出CM＝1，进而根据勾股定理得，AM＝2，再△AMC∽△BNF，求出FN ＝，BN＝，∴DN＝BD﹣BN＝，得出CN＝CD+DN＝，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，△BCE即为所求；（2）证明：如图2，∵△CBE由△CAD旋转得到，∴△CBE≌△CAD，∴∠CBE＝∠CAD，∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠CBE+∠E＝∠CAD+∠E，∴∠BCE＝∠AFE＝90°，∴AF⊥BE；（3）如图3，在Rt△ABC中，BC＝AC＝，∴AB＝AC＝，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，AF＝3，设AD＝x，∴DF＝3﹣x，由旋转知，CE＝CD，BE＝AD＝x由（2）知，∠BFD＝90°＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BFD∽△BCE，∴，∴＝，∴BD＝x，CD＝（3﹣x），∵BC＝BD+CD＝，∴x+（3﹣x）＝，∴x＝，∴BD＝，CD＝，过点C作CM⊥AD于M，＝AC×CD＝AD×CM，∴S△ACD∴CM＝＝1，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝2，过点F作FN⊥BC于N，∴∠BNF＝90°＝∠AMC，由旋转知，∠CAM＝∠FBN，∴△AMC∽△BNF，∴＝，∴＝，∴FN＝，BN＝，∴DN＝BD﹣BN＝，∴CN＝CD+DN＝，在Rt△CNF中，CF＝＝故答案为：．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是求出BD，CD的值．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1＜d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P（﹣3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为5；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为±5；（2）若点C在直线y＝﹣x﹣2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．。
北京2016昌平初三二模数学试卷和答案
昌平区2016年初三年级第二次统一练习数学试卷2016.5学校姓名考试编号考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．天安门广场位于北京市中心，南北长880米，东西宽500米，面积达440 000平方米，是当今世界上最大的城市广场. 将440 000用科学记数法表示应为A. 54.410⨯ B. 44.410⨯ C. 44410⨯ D. 60.4410⨯2．在函数y＝2x-中，自变量x的取值范围是A. x＞2B. x≠2C. x＜2D. x≤23．在下列简笔画图案中，是轴对称图形的为A B C D4. 在一个不透明的袋子里装有3个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从这个袋子里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为14，则m等于A．1 B． 2 C． 3 D． 45．如右图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠C=40°，则∠D的度数为A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°6．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如下左图）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定. 课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如下右图）. 观察所得到的四边形，下列判断正确的是A．∠BCA＝45°B．BD的长度变小C．AC＝BD D．AC⊥BDA BC DDCBA→7．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是A．1.65,1.70 B．1.70,1.70 C．1.70,1.65 D．3,48．如右图，是雷达探测器测得的结果，图中显示在点A，B，C，D，E，F处有目标出现，目标的表示方法为（r，α），其中，r表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度. 例如，点A，D的位置表示为A（5，30°），D（4，240°）.用这种方法表示点B，C，E，F的位置，其中正确的是A．B（2，90°）B．C（2，120°）C．E（3，120°）D．F（4，210°）9．商场为了促销，推出两种促销方式：方式①：所有商品打8折销售.方式②：购物每满100元送30元现金．杨奶奶同时选购了标价为120元和280元的商品各一件，现有四种购买方案：方案一：120元和280元的商品均按促销方式①购买；方案二：120元的商品按促销方式①购买，280元的商品按促销方式②购买；方案三：120元的商品按促销方式②购买，280元的商品按促销方式①购买；方案四：120元和280元的商品均按促销方式②购买．你给杨奶奶提出的最省钱的购买方案是A.方案一B.方案二C.方案三D.方案四10.如图1，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB=2厘米，∠BAD=60°. P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动. 设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则P，Q的运动路线可能为东0°1123234厘米图1图2Oy /x /DO CB AA. 点P : O —A —D —C ，点Q : O —C —D —OB. 点P : O —A —D —O ，点Q : O —C —B —OC. 点P : O —A —B —C ，点Q : O —C —D —OD. 点P : O —A —D —O ，点Q : O — C —D —O二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：2363m m -+= .12．如下图，小慧与小聪玩跷跷板，跷跷板支架EF 的高为0.4米，E 是AB 的中点，那么小慧能将小聪翘起的最大高度BC 等于 米.13．如右图，⊙O 的直径AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AC ，若CD =23∠A =30º，则⊙O 的半径为 ．14．如右图，已知四个扇形的半径均为1，那么图中阴影部分面积的和是 .15．市运会举行射击比赛，射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛. 在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10次成绩（单位：环）的平均数及方差如下表. 根据表中提供的信息，你认为最合适的人选是 ，理由是 .甲 乙 丙 丁 平均数 8.3 8.1 8.0 8.2 方差2.11.81.61.4CFB E ADACE O16. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 1，C 1的坐标分别为（1 ，0），（1，1）. 将△OB 1C 1绕原点O 逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m 倍，使OB 2=OC 1，得到△OB 2C 2；将△OB 2C 2绕原点O 逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m 倍，使OB 3=OC 2，得到△OB 3C 3．如此下去，得到△OB n C n ．（1）m 的值为__________；（2）在△OB 2016C 2016中，点C 2016的纵坐标为_____________．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：()1118π20166sin 452-⎛⎫+-+-︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式组()()202130x x x -⎧⎪⎨---⎪⎩≤，＞， 并写出它的整数解.19．先化简，再求值：269(3)26x x x x -+⋅+-，其中30x -=. 20. 已知：如图，∠B =∠C ，AB =DC ．求证：∠EAD ＝∠EDA ．21. 已知关于x 的一元二次方程2220x x k ++-=有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；（2）若k 为大于1的整数，求方程的根.22. 为保障北京2022 年冬季奥运会赛场间的交通服务，北京将建设连接 北京城区－延庆区－崇礼县三地的高速铁路和高速公路. 在高速公路方面，目前主要的交通方式是通过京藏高速公路(G6)，其路程为220公里.为将崇礼县纳入北京一小时交通圈，有望新建一条高速公路，将北京城区到崇礼的道路长度缩短到100公里. 如果行驶的平均速度每小时比原来快22公里，那么从新建高速行驶全程所需时间与从原高速行驶全程所需时间比为4:11.求从新建高速公路行驶全程需要多少小时？A BEDCB 2C 223-4234-2-34-1-1-4-3-2C 1B 1yxO23．在△OAB 中，∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB =4．以OB 为边，在△OAB 外作等边△OBC ，E 是OC上的一点．（1）如图1，当点E 是OC 的中点时，求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）如图2，点F 是BC 上的一点，将四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，求OE的长．图2FE图1A OBCECBOA24．阅读下列材料：根据北京市统计局、国家统计局北京调查总队及《北京市统计年鉴》数据，2004年本市常住人口总量约为1493万人，2013年增至2115万人，10年间本市常住人口增加了622万人. 如果按照数据平均计算，本市常住人口每天增加1704人. 我们还能在网上获取以下数据：2010年北京常住人口约1962万人，2011年北京常住人口约2019万人，2014年北京常住人口为2152万人， 2015年北京常住人口约2171万人.北京市近几年常住人口平稳增长，而增长的速度有所放缓. 其中，2011年比上一年增加2.91%，2012年比上一年增加2.53%，2013年比上一年增加2.19%，2014年比上一年增加1.75%. 相关人士认为，常住人口出现增速连续放缓的原因，主要与经济增速放缓相关. 2011年开始，随着GDP 增速放缓，人口增速也随之放缓. 还有一个原因是就业结构发生变化，劳动密集型行业就业人员在2013年出现下降，住宿、餐饮业、居民服务业、制造业的就业人数下降. 根据以上材料解答下列问题：（部分数据列出算式即可） （1）2011年北京市常住人口约为 万人； （2）2012年北京市常住人口约为 万人；（3）利用统计表或．统计图将2013 — 2015年北京市常住人口总量及比上一年增速百分比表示出来.25． 如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，与BC 交于点D ，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，2ACB BAE ∠=∠.（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若2sin 3B =，BD=5，求BF 的长.26. 我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系. 在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°. 若∠A =30°，则cosA A AC AB的邻边斜边=∠== 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对. 如图2，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时，sad A =BC AB底边腰=. 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对的定义，解答下列问题：（1）直接写出sad60°的值为 ；（2）若0°＜∠A ＜180°，则∠A 的正对值sad A 的取值范围是 ；（3）如图2，已知tan A =34，其中∠A 为锐角，求sad A 的值；（4）直接写出sad36°的值为 .图2C BA图1备用图CBAA BC27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A . （1）求直线y=kx +b 的表达式；（2） 将直线y=kx +b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点.若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx +b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E图象，直接写出m 的取值范围.28. 在等边△ABC 中，AB =2，点E 是BC 边上一点，∠DEF =60°，且∠DEF 的两边分别与△ABC 的边AB ，AC 交于点P ，Q （点P 不与点A ，B 重合）. （1）若点E 为BC 中点．①当点Q 与点A 重合，请在图1中补全图形；②在图2中，将∠DEF 绕着点E 旋转，设BP 的长为x ，CQ 的长为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如图3，当点P 为AB 的中点时，点M ，N 分别为BC ，AC 的中点，在EF 上截取EP '=EP ，连接NP '. 请你判断线段NP '与ME 的数量关系，并说明理由.图3图1ABE C图2D PQF29. 已知四边形ABCD，顶点A，B的坐标分别为（m，0），（n，0），当顶点C落在反比例函数的图象上，我们称这样的四边形为“轴曲四边形ABCD”，顶点C称为“轴曲顶点”. 小明对此问题非常感兴趣，对反比例函数为y=2x时进行了相关探究.（1）若轴曲四边形ABCD为正方形时，小明发现不论m取何值，符合上述条件的轴曲正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点C在第一象限，另一个正方形的顶点C1在第三象限.①如图1所示，点A的坐标为（1，0），图中已画出符合条件的一个轴曲正方形ABCD，易知轴曲顶点C的坐标为（2，1），请你画出另一个轴曲正方形AB1C1D1，并写出轴曲顶点C1的坐标为；②小明通过改变点A的坐标，对直线CC1的解析式y﹦kx＋b进行了探究，可得k﹦，b（用含m的式子表示）﹦；（2）若轴曲四边形ABCD为矩形，且两邻边的比为1∶2，点A的坐标为（2，0），求出轴曲顶点C的坐标．备用图图1昌平区2016年初三年级第二次统一练习数学参考答案及评分标准2016. 5一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：6122+-⨯………………4分=3 ．…………………………………………………………………5分18．解：()()202130xx x----⎧⎨⎩≤，①＞，②由①得：x≤2. ………………………………………………………………………1分由②得：2x– 2–x+ 3＞0.…………………………………………………………2分x＞- 1. ………………………………………………………………………3分∴原不等式组的解集为：- 1＜x≤2. …………………………………………………4分∴原不等式组的整数解为0，1，2. ………………………………………………5分19．解：原式=2(3)(3)2(3)xxx-⋅+-……………………………………………………………2分 =292x-．……………………………………………………………………3分∵0x=，∴x=4分∴原式=293.2-=-…………………………………………………………5分20．证明：在△AEB和△DEC中，∵AEB DECB CAB DC∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AEB≌△DEC.……………………………………3分∴AE=DE.…………………………………………………………………………4分ABEDC∴∠EAD ＝∠EDA ． …………………………………………………………………5分21．解：（1）由题意得：△=224(2)0k -->………………………………………………………………………2分解得： 3.k < …………………………………………………………………………3分（2）∵k 为大于1的整数，∴ 2.k =……………………………………………………………………………4分∴原方程为：220.x x += 解得：10x =，2 2.x =-…………………………5分22．解：设选择从新建高速公路行驶全程所需的时间为4x 小时. ………………………………1分由题意得：10022022.411x x -= ………………………………………………………………2分 解得：5.22x = ……………………………………………………………………………3分经检验522x =是原方程的解，且符合题意. ………………………………………………4分∴104.11x = 答：从新建高速公路行驶所需时间为1011小时. …………5分23．（1）证明：如图1，∵△OBC 为等边三角形，∴OC =OB ，∠COB =60° . ∵点E 是OC 的中点, ∴EC =21OC =21OB . ……………………1分 在△OAB 中，∠OAB =90°， ∵∠AOB =30°，∴AB =21OB , ∠COA =90°.∴ CE =AB ，∠COA +∠OAB =180°. ∴CE ∥AB .∴四边形ABCE 是平行四边形. ……………………………………………2分（2）解：如图2，∵四边形ABCO 折叠，点C 与点A 重合，折痕为EF ，∴△CEF ≌△AEF , ∴EC =EA . ∵OB =4, ∴OC =BC =4. ………………………………3分 在△OAB 中，∠OAB =90°， ∵∠AOB =30°， ∴OA= ……………………………4分 在Rt △OAE 中，由（1）知：∠EOA =90°， 设OE =x ， ∵OE 2+OA 2=AE 2 , ∴x 2+(2=(4-x )2 , 解得，x =21.∴OE =21.…………………………………5分 24．解：（1）2019. ………………………………………………………………………… 1分图2FE AOBC图2E图1OCECBOA（2）2019（1 + 2.53%）= 2070. ……………………………………………… 2分 （3）2013 — 2015年北京市常住人口总量及比上一年增速百分比统计表………………………………………………………………… 5分 25．（1）证明：连接AD .∵ E 是弧BD 的中点，∴弧BE = 弧ED ，∴∠1=∠2. ∴∠BAD= 2∠1. ∵∠ACB= 2∠1, ∴∠C=∠BAD . ………………………1分∵AB 为⊙O 直径, ∴∠ADB =∠ADC =90°. ∴∠DAC +∠C =90°. ∵∠C=∠BAD ， ∴∠DAC+∠BAD =90°. ∴∠BAC =90°. 即AB ⊥AC . 又∵AC 过半径外端，∴AC 是⊙O 的切线.……………………………………………………………2分 （2）解：过点F 作FG ⊥AB 于点G . 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，2sin 3AD B AB==， 设AD =2m ，则AB =3m ，利用勾股定理求得BD∵BD=5，∴m ∴AD = , AB =. …………………………3分∵∠1=∠2, ∠ADB =90°， ∴FG =FD . ………………………………4分设BF = x , 则FG = FD = 5- x. 在Rt △BGF 中，∠BGF =90°，2sin 3B =， ∴523x x -=. 解得，x =3. ∴BF =3. ……………………………5分 26．解：（1）1． ……………………………………………………… 1分（2）0＜sad A ＜2．…………………………………………… 2分 （3）如图2，过点B 作BD ⊥AC 于点D ．∴∠ADB =∠CDB =90°． 在Rt△ADB 中， tan A =34，∴设BD=3k ，则AD =4k ． ∴ AB 5k =． … 3分∵AB =AC ， ∴CD =k ．∴在Rt △CDB 中， 利用勾股定理得，．DCBA图22P D BA(Q)B CE 图1PFD231F QP D 图2CE BAPBED在等腰△ABC 中，sad A=55BC ABk==． ……… 4分（4）21. …………………………………………………………………………… 5分27．解：（1）∵直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩ 解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩…………………………………………………1分 ∴直线y=kx +b 的表达式为： 1.y x =-+ …………………………………………2分（2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =. …………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分 由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤< ……………5分②40.m -≤≤ ………………………………………………………………………………7分28．解：（1）①如图1. ……………………………1分②∵等边△ABC ，∴∠B=∠C=∠DEF =60°，AB =BC =AC =2. ∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°. ∴∠2=∠3. ∴△PBE ∽△ECQ .…………………………2分∴BP BE ECCQ=. ∵点E 为BC 的中点，∴BE=EC=1.∵BP 的长为x ，CQ 的长为y ， ∴11x y=.即1xy =. …………………………3分自变量x 的取值范围是：122x ≤< . ………………4分（2）如图3，答：N P '=ME . .............................................. .......................... 5分证明：连接PM ，PN ，PP ' .∵P ，M ，N 分别是AB ，BC ，AC 的中点， ∴PN //BC ，PN =12BC ，PM //AC ，PM =12AC. ∴四边形PMCN 为平行四边形. ............ 6分∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠C =60°.图3∴PM =PN ，∠NPM =∠C =60°.∵EP=EP '，∠PEP '=60°, ∴△P EP '是等边三角形. ∴∠E PP '=60°，PE =PP '. ∴∠E PP '=∠NPM .∴∠EPM =∠N PP '. ∴△EPM ≌△N PP '.∴N P '=ME . .................... 7分29．解：（1）①如图1 . ……………………………1分 1(1,2)C --. …………………………2分②1k =. ……………………………3分b m =-. ……………………………4分（2）①当AB =2BC 时，∵点A 的坐标为（2，0），∴点C 的坐标为2(,)2n n -或2,2n n -⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴222n n -⨯=或222nn -⨯=.解得：1n =. ∴点C的坐标为1⎛⎝⎭或1,⎛- ⎝⎭. ………………6分 ②当BC =2AB 时，点C 的坐标为(,24)n n -或(,42)n n -. ∴(24)2n n -=或(42)2n n -=.解得：1n =± 1.n =∴点C的坐标为()1,2或(12--或()1,2……………8分图1。
北京市昌平区九年级上期末质量抽测数学试题含答案
昌平区 - 第一学期初三年级期末质量抽测 数学试卷（120分钟 满分120分）．1一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是2．如图，在⊙O 中，∠BOC =80°，则∠A 等于A ．50°B ．20°C ．30°D ．40°3．将二次函数表达式223y x x =-+用配方法配成顶点式正确的是A ．2(1)+2y x =-B ．2(+1)+4y x =C ．2(1)2y x =--D ．2(2)2y x =+-4．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是A B C D5．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都在小正方形的顶点上，则tan ∠CAB 的值为A ．1B ．13C ．12 D ．556．如图，反比例函数ky x=在第二象限的图象上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，且=2AOBS ,则k 的值为A ．4-B ．2C ．2-D ． 47．已知一个扇形的半径是2，圆心角是60°，则这个扇形的面积是A ．2π3 B ．π C ．π3D ．2π 8．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为A ．与x 轴相离、与y 轴相切B ．与x 轴、y 轴都相离C ．与x 轴相切、与y 轴相离D ．与x 轴、y 轴都相切 9．已知点A （2，y 1）、B （m ，y 2）是反比例函数(0)ky k x=>的图象上的两点，且y 1＜y 2． 满足条件的m 值可以是A ．6-B ．1-C ．1D ．310．如图，点A ，B ，C ，D ，E 为⊙O 的五等分点，动点M 从圆心O 出发，沿线段OA →劣弧AC →线段CO 的路线做匀速运动，设运动的时间 为t ，∠DME 的度数为y ，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰 当的是二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11．已知3sin A =，则锐角A 的度数是 ． 12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，∠A = 70º，则∠BCE 的度数为 ．13．将抛物线22y x =向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 ．OBC DEOED C14．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC =4，则CD 的长为 ．15．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章。
北京市昌平区2016届九年级上期末考试数学试题及答案.doc
北京市昌平区2016届九年级上期末考试数学试题及答案数学试卷2016、1学校姓名考试编号考生须知1、本试卷共8页，共五道大题，29道小题，总分值120分、考试时刻120分钟、2、在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号、3、试题【答案】一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效、4、考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回、【一】选择题〔共10道小题，每题3分，共30分〕以下各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意旳、 1、在平面直角坐标系中，将点A 〔﹣2，3〕向右平移3个单位长度后得到旳对应点A ′旳坐标是 A 、〔1，3〕B 、〔﹣2，﹣3〕C 、〔﹣2，6〕D 、〔﹣2，1〕 2、下面四个几何体中，主视图是圆旳是ABCD3、“双十二”期间，小冉旳妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔〔除颜色外其它都相同且数量有限〕、小冉旳妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色旳笔.那么随机赠送旳笔为绿色旳概率为 A 、110B 、15C 、310D 、25 4.⊙O 旳半径长为5，假设点P 在⊙O 内，那么以下结论正确旳选项是 A.OP ＞5B.OP =5C.0＜OP ＜5D.0≤OP ＜55、如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =4，BC =3，那么sin B 旳值等于A 、43B 、34C 、45D 、356、(2)2my m x =-+是y 关于x 旳二次函数，那么m 旳值为A 、-2B.2C.2± D.07、如右图，线段AB 是⊙O 旳直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，那么∠AOD 等于 A 、120° B 、140°C 、150°D 、160° 8、二次函数223y x x =--旳最小值为A.5B.0C.-3D.-49、如右图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A 1B 1C 、假设∠A =40°，∠B 1=110°，那么∠BCA 1旳度数是A 、 90°B 、 80°C 、 50°D 、 30°B 1BA CA 110.如右图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，那么EF GH旳值为 A.2B.32C.3D.2 【二】填空题〔共6道小题，每题3分，共18分〕 11、假如3cos 2A =，那么锐角A 旳度数为.12、如右图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，假设∠BAD =105°，那么∠DCE 旳度数是.13、在一个不透明旳口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同旳小球，把它们分别标号为1，2，3，4， 5，从中随机摸出一个小球，其标号小于．．4旳概率为.14、如右图，AB 是⊙O 旳直径，弦CD AB ⊥于点E ，3023CDB CD ∠==，, 那么阴影部分旳面积为.15、如图1，将一个量角器与一张等边三角形〔△ABC 〕纸片放置成轴对称图形，CD ⊥AB ,垂足为D ，半圆〔量角器〕旳圆心与点D 重合，现在，测得顶点C 到量角器最高点旳距离CE ＝2cm ，将量角器沿DC 方向平移1cm ，半圆〔量角器〕恰与△ABC 旳边AC ，BC 相切，如图2,那么AB 旳长为cm.图1CBAD EED ABC 图216.如右图，我们把抛物线y ＝－x (x －3)〔0≤x ≤3〕记为C 1， 它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2， 交x 轴于另一点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于另一点A 3；……；如此进行下去，直至得C 2016、①C 1旳对 称轴方程是；②假设点P 〔6047，m 〕在抛物线C 2016 上，那么m =.【三】解答题〔共6道小题，每题5分，共30分〕17、计算：2sin 60cos30(sin 45)tan 45⋅+-、18、如下图，方格纸中旳每个小方格差不多上边长为1个单位长度旳正方形，每个小正方形旳顶点叫格点，△ABC 旳顶点均在格点上.…C 3A 3C 2A 2yxOA 1C 1OEDBA CBE DCAO〔1〕画出将△ABC 向右平移2个单位后得到旳△A 1B 1C 1，再画出将△A 1B 1C 1绕点B 1按逆时针方向旋转90°后所得到旳△A 2B 1C 2；〔2〕求线段B 1C 1旋转到B 1C 2旳过程中，点C 1所通过旳路径长、ACB19、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点旳横坐标x ，纵坐标y 旳对应值如下表：x … －2 －1 0 1 2 … y…4664…〔1〕求那个二次函数旳表达式及顶点坐标； 〔2〕直截了当写出当y ＜0时x 旳取值范围、20.如下图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =45°，AC =32，求AB 旳长.BCA21.某小区为了促进生活垃圾旳分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ，同时设置了相应旳垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A ，B ，C 、〔1〕假设小明将一袋分好类旳生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确旳概率；〔2〕为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共100吨生活垃圾，数据统计如下表〔单位：吨〕：垃圾箱 垃圾A B C a40 10 10 b 3 24 3 c226试可能该小区居民“厨余垃圾”投放正确旳概率约是多少、 22.如右图，二次函数2y x h k ()=-+旳顶点坐标为M (1，-4). 〔1〕求出该二次函数旳图象与x 轴旳交点A ，B 旳坐标；〔2〕在二次函数旳图象上是否存在点P 〔点P 与点M 不重合〕，使xyOABM54PAB MAB S S =△△，假设存在，求出P 点旳坐标；假设不存在，请说明理由、 【四】解答题〔共4道小题，每题5分，共20分〕23、如右图，△ABC 内接于⊙O ，∠B =60°，CD 是⊙O 旳直径，点P 是CD 延长线上旳一点，且AP =AC 、 〔1〕求证：PA 是⊙O 旳切线；〔2〕假设43AB =+，23BC =，求⊙O 旳半径、24、某校九年级进行集体跳绳竞赛.如下图所示，跳绳时，绳甩到最高处时旳形状可看作是某抛物线旳一部分，记作G ，绳子两端旳距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳旳手到地面旳距离AC 和BD 差不多保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G 关于直线AB 对称.〔1〕求抛物线G 旳表达式并写出自变量旳取值范围；〔2〕假如身高为1.5米旳小华站在CD 之间，且距点C 旳水平距离为m 米，绳子甩过最高处时超过她旳头顶，直截了当写出m 旳取值范围.地面GCABD25、如图，⊙O 旳半径为20，A 是⊙O 上一点，以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC =12.直线BC 与⊙O 交于D ，E 两点，求CE -BD 旳值.OA C BD E26.【问题学习】小芸在小组学习时问小娟如此一个问题：α为锐角，且sin α=13，求sin2α旳值、小娟是如此给小芸讲解旳：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，因此∠ACB =90°.设∠BAC =α，那么sin α=BC AB =13、易得∠BOC =2α、设BC =x ，那么AB =3x ，那么AC =22x 、作CD ⊥AB 于D ，求出CD =〔用含x 旳式子表示〕，可求得sin2α=CDOC=、【问题解决】，如图2，点M ，N ，P 为⊙O 上旳三点，且∠P =β，sin β=35，求sin2β旳值.PODCB AONMP图2OBCAD图1【五】解答题〔共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分〕 27、阅读以下材料：春节回家是中国人旳一大情结，春运车票难买早已是不争旳事实.春节回家一般都要给父母、亲戚带点年货，坐车回去不行携带，加上一般小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费通行等因素，因此选择春节租车回家旳人越来越多.这都对汽车租赁市场起到明显旳拉动作用，出现了专门多旳租赁公司.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日旳各项支出共6250元.当每辆车旳日租金为500元时，可全部租出；当每辆车旳日租金每增加50元，未租出旳车将增加1辆.依照以上材料解答以下问题：设公司每日租出x 辆车时，日收益为y 元〔日收益=日租金收入-平均每日各项支出〕. 〔1〕公司每日租出x 辆车时，每辆车旳日租金收入为元〔用含x 旳代数式表示〕； 〔2〕当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元? 〔3〕当每日租出多少辆时，租赁公司旳日收益才能盈利?28.，点O 是等边△ABC 内旳任一点，连接OA ，OB ，OC .〔1〕如图1，∠AOB =150°，∠BOC =120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC . ①∠DAO 旳度数是；②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间旳数量关系，并证明； 〔2〕设∠AOB =α，∠BOC =β.①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图2中画出符合条件旳图形，并说明理由；②假设等边△ABC 旳边长为1，直截了当写出OA+OB+OC 旳最小值.ABCDABCO 图1图229.在平面直角坐标系xOy 中，两点A (0，3)，B (1，0)，现将线段AB 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BC ，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)通过点C . 〔1〕如图1，假设该抛物线通过原点O ，且14a. ①求点C 旳坐标及该抛物线旳表达式；②在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB =∠BAO .假设存在，请求出所有满足条件旳点P 旳坐标，假设不存在，请说明理由；〔2〕如图2，假设该抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)通过点D (2，1)，点Q 在抛物线上，且满足∠QOB =∠BAO .假设符合条件旳Q 点旳个数是4个，请直截了当写出a 旳取值范围.CBAO yx12-14432-1图2图1-12344-121xyOABC昌平区2018-2016学年第一学期初三年级期末质量抽测数学参考【答案】及评分标准2016.1【一】选择题〔共10道小题，每题3分，共30分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【答案】 ABCDCABDBC【二】填空题〔共6道小题，每题3分，共18分〕题号 11 12 13141516【答案】30°105°3523π 23 32x =，-2 【三】解答题〔共6道小题，每题5分，共30分〕17、解：2sin 60cos30(sin 45)tan 45⋅+-23321222=⨯+-⎛⎫ ⎪⎝⎭…………………………………………………………4分 31142=+-14=、…………………………………………………………………5分 18、解：〔1〕如下图.…………………………………………………………4分A 2C 2C 1ACB 1BA 1〔2〕∵点C 1所通过旳路径为一段弧， ∴点C 1所通过旳路径长为90π42π.180l ⨯==…………………………………5分19、解：〔1〕由表得，抛物线2y ax bx c =++过点(0，6),∴c =6、……………………………………………………………………………1分∵抛物线26=++y ax bx 过点(-1，4)和(1，6),∴46,6 6.a b a b =-+=++⎧⎨⎩……………………………………………………………………2分解得，1,1.a b =-=⎧⎨⎩∴二次函数旳表达式为26y x x =-++、……………………………………………………3分∵抛物线2y ax bx c =++过点(0，6)和(1，6),∴抛物线旳对称轴方程为12x =.∵当12x =时，254y =,∴抛物线旳顶点坐标为125,24⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………………………4分〔2〕当y ＜0时x 旳取值范围是x ＜-2或x ＞3.……………………………………………………5分 20、解：过点C 作CD ⊥AB 于点D .…………………………………………………………………1分 在Rt △ADC 中，30,23A AC ∠=︒=， ∴132CD AC ==，………………………2分3cos 2332AD AC A =⋅=⨯=.………………3分在Rt △CDB 中，∠B=45°，DBCA∴∠DCB=∠B=45°. ∴3BD CD ==.…………………………………………………………………4分∴33AB AD BD =+=+.……………………………………………………5分 21、解：〔1〕画树状图或列表为CB a b ca b c c b aA垃圾垃圾箱A B C a (A,a ) (B,a ) (C,a ) b (A,b ) (B,b ) (C,b ) c(A,c )(B,c )(C,c )∴P (垃圾投放正确)=13.…………………………………………………………………4分 (2)∵4024010103=++，∴可能该小区“厨余垃圾”投放正确旳概率约为23.……………………………5分22、解：〔1〕∵二次函数2()y x h k =-+旳顶点坐标为M (1，-4)，∴抛物线旳表达式为214y x ()=--.令y =0，得1213x x =-=,.∴抛物线与x 轴旳交点坐标为A (-1，0)，B (3，0).…………………………………2分 〔2〕∵A (-1,0),B (3,0),M (1，-4), ∴AB =4.∴8MAB S =△.………………………………………………………………………3分 ∵AB =4,∴点P 到AB 旳距离为5时，54PAB MAB S S =△△.即点P 旳纵坐标为5±.∵点P 在二次函数旳图象上，且顶点坐标为M (1，-4)，∴点P 旳纵坐标为5.……………………………………………………………………4分 ∴()2514x =--.∴x 1=-2，x 2=4.∴点P 旳坐标为(4，5〕或〔-2，5〕.………………………………………………………5分 【四】解答题〔共4道小题，每题5分，共20分〕 23、〔1〕证明：连接OA 、 ∵∠B =60°， ∴∠AOC =2∠B =120°、 又∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =30°、……………………1分又∵AP =AC ，∴∠P =∠ACP =30°、∴∠OAP =∠AOC ﹣∠P =90°、 ∴OA ⊥PA 、又∵点A 在⊙O 上，∴PA 是⊙O 旳切线、………………………………………………………………2分 〔2〕解：过点C 作CE ⊥AB 于点E 、 在Rt △BCE 中，∠B =60°，23BC =，∴132BE BC ==，CE =3、…………………………………………………3分∵43AB =+，∴4AE AB BE =-=、 ∴在Rt △ACE 中，225AC AE CE =+=、………………………………4分∴AP =AC =5、∴在Rt △PAO 中，533OA =、∴⊙O 旳半径为533、……………………………………………………………5分24、解：〔1〕如下图建立平面直角坐标系.地面xOyGCABDE由题意可知：(4,0)A -，(4,0)B ，顶点(0,1)E .设抛物线G 旳表达式为21y ax =+.………………………………………………2分P OD CB A E∵(4,0)A -在抛物线G 上， ∴1610a +=，求得116a =-.∴21116y x =-+.………………………………………………………………………3分自变量旳取值范围为-4≤x ≤4.………………………………………………………4分〔2〕424+222m -＜＜.…………………………………………………5分 25、解：过点O 作OF DE ⊥于点F .∴DF EF =、……………………………………1分 在矩形ABOC 中，OA=20，∴20BC OA ==，90BOC ∠=︒.………………………2分 在Rt △BOC 中，OC=20，∴cos ∠123205OC OCB BC ===.在Rt △OCF 中，cos ∠12CF CF OCF OC==，∴3125CF =.∴365CF =.………………………………………………………………………………3分645BF BC CF =-=.…………………………………………………………………4分∴28()()5CE BD EF CF DF BF BF CF -=---=-=.………………………………5分26、解：223x CD =、………………………………………………………………………1分sin2α=CD OC=429、………………………………………………………………2分如图，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR NO ⊥于点R 、 在⊙O 中，∠NMQ =90°、 ∵∠Q=∠P =β，∴∠MON=2∠Q=2β、…………………………………………3分 在Rt △QMN 中，∵sin β=35MN NQ =，∴设MN =3k ，那么NQ =5k ，易得OM=21NQ=52k 、 ∴MQ =224QN MN k -=、 ∵Δ1122NMQ S MN MQ NQ MR =⋅=⋅，∴345k k k MR ⋅=⋅、FOA C BD EQRO NMP 图2∴MR=125k 、…………………………………………………………………………4分 在Rt △MRO 中，sin2β=sin ∠MON =122455252kMRk OM ==、……………………………5分 【五】解答题〔共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分〕27、解：〔1〕1500-50x 〔0≤x ≤20,x 为整数〕.……………………………………………………1分 〔2〕∵日租金收入＝每辆车旳日租金×日租出车辆旳数量，∴日租金收入＝x (1500-50x ).……………………………………………………………2分 又∵日收益＝日租金收入-平均每日各项支出， ∴y ＝x (1500-50x )-6250＝－50x 2+1500x -6250＝－50(x －15)2+5000.……………………………………3分 ∵租赁公司拥有20辆小型汽车， ∴0≤x ≤20.∴当x ＝15时,y 有最大值5000.∴当日租出15辆时,租赁公司旳日收益最大，最大值为5000元.…………………4分 〔3〕当租赁公司旳日收益不盈也不亏时，即y ＝0.∴－50(x －15)2+5000＝0，解得x 1＝25，x 2＝5.……………………………………5分 ∴当5＜x ＜25时，y ＞0.………………………………………………………………6分 ∵租赁公司拥有20辆小型汽车，∴当每日租出5＜x ≤20〔x 为整数〕辆时，租赁公司旳日收益才能盈利.……………7分28、解：〔1〕①90°.……………………………………………………………………………………1分②线段OA ，OB ，OC 之间旳数量关系是222OA OB OC +=. 如图1，连接OD .∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD=60°.∴CD =OC ,∠ADC =∠BOC =120°,AD=OB . ∴△OCD 是等边三角形.∴OC =OD =CD ，∠COD =∠CDO =60°. ∵∠AOB =150°，∠BOC =120°， ∴∠AOC =90°.∴∠AOD =30°，∠ADO =60°. ∴∠DAO =90°.在Rt △ADO 中，∠DAO =90°， ∴222OA AD OD +=.∴222OA OB OC +=.………………………………………………………………3分 〔2〕①如图2，当α=β=120°时，OA +OB +OC 有最小值.作图如图2旳实线部分.………………………………………………………4分 如图2，将△AOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△A ’O ’C ，连接OO ’.DABCO 图1∴△A ’O ’C ≌△AOC ，∠OCO ’=∠ACA ’=60°.∴O ’C =OC ,O ’A ’=OA ，A ’C =BC ,∠A ’O ’C =∠AOC .∴△OCO ’是等边三角形.∴OC =O ’C =OO ’，∠COO ’=∠CO ’O =60°.∵∠AOB =∠BOC =120°，∴∠AOC =∠A ’O ’C =120°.∴∠BOO ’=∠OO ’A ’=180°. ∴四点B ，O ，O ’，A ’共线.∴OA +OB +OC =O ’A ’+OB +OO ’=BA ’时值最小.……………………………………6分 ②当等边△ABC 旳边长为1时，OA +OB +OC 旳最小值A ’B =3.…………………7分 29、解：〔1〕①如图1，过点C 作CD ⊥x 轴于点D . ∴90CDB AOB ∠=∠=︒. ∵∠ABC =90º，∴90ABO CBD ∠+∠=︒. 又∵90OAB ABO ∠+∠=︒， ∴OAB CBD ∠=∠. ∵AB =BC ，∴△AOB ≌△BDC . ∴BD =OA ，CD =OB .∵A (0，3)，B (1，0)，∴C (4，1).………………………………1分 ∵抛物线y=ax 2+bx+c 通过原点O ，且14a =， ∴214y x bx =+.……………………………………………………………………2分 又∵抛物线通过点C (4，1)，∴34b =-.∴该抛物线旳表达式为21344y x x =-.………………………………………………3分②当点P 在第一象限时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ,连接OP . ∵∠POB =∠BAO ，∴1tan tan 3POB BAO ∠=∠=.设P (3m ，m )，m >0.………………………………………………………………………4分∵点P 在21344y x x =-上，∴29944m m m -=. 解得：139m =，0m =(舍去).OO /A /4321A BC图2GP D 图1-1234-121xyO ABC∴1313()39 P，.……………………………………………………………………………5分当点P在第四象限时，同理可求得55()39P，-.…………………………………6分当点P在第【二】三象限时，∠POB为钝角，不符合题意.综上所述，在抛物线上存在使得∠POB=∠BAO旳点P，点P旳坐标为1313()39，或55()39，-.〔2〕a旳取值范围为18a<-或6356a+>.…………………………………………………8分。
昌平2016-2017学年第一学期初三数学期末试题 最后稿答案
∴ BC 5 .……………………………………………………………………………… 4 分
由勾股定理得 AB 5 .………………………………………………………………… 5 分
昌平初三期末 数学参考答案及评分标准 第 1 页 （共 6 页）
20．解：（1）设这个二次函数的表达式为 y a(x h)2 k .
当 AC=BC=4 时，PA+PB+PC= 2 2 2 6 ．…………………… 8 分
N M
C
A
图3
昌平初三期末 数学参考答案及评分标准 第 6 页 （共 6 页）
∵ AM∥BN，AP=3PB
∴
BN AM
BP AP
BP 3BP
1 3
∵ AM=6， ∴BN=2…………………………3 分
∴ B 点横坐标为 2 或-2
∴ B 点坐标为（2，3）或(-2, -3).
………………………………… 5 分
6
5 4 P1
3 N1
B1
2 A
1M
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 x
昌平初三期末 数学参考答案及评分标准 第 4 页 （共 6 页）
当1 x 2 时， y 随自变量 x 的增大而减小. 当 x 0 时， y 随自变量 x 的增大而增大. 当 0 x 1时， y 随自变量 x 的增大而减小.
图象有两个分支，关于点（1,1）中心对称. 等…………………………………………… 5 分 五、解答题（共 3 道小题，第 27，28 小题各 7 分，第 29 小题 8 分，共 22 分） 27．解：（1）如图 1.………………………………………… 2 分
[精品]北京市昌平区九年级上数学期末试题(有答案)
![[精品]北京市昌平区九年级上数学期末试题(有答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/80ea2503f46527d3240ce078.png)
北京市昌平区 2017-2018 学年九年级上学期期末考试试题一、选择题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）1.已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A 等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由∠A为锐角，且sinA=，得∠A=45°，故选：C．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．球体【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．故选：A．【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．3.如图，点 B是反比例函数y=（≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B 作BA⊥轴于点A，BC⊥y 轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则的值为（）A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6【分析】可根据反比例函数的比例系数的几何意义得到的值．【解答】解：因为矩形 AOCB 的面积为 6，所以的值为 6，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数 y=图象中任取一点，过这一个点向轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||．4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】由⊙O是△ABC 的外接圆，∠A=50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．【解答】解：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5.将二次函数 y=2﹣6+5用配方法化成y=（﹣h）2+的形式，下列结果中正确的是（）A．y=（﹣6）2+5B．y=（﹣3）2+5 C．y=（﹣3）2﹣4 D．y=（+3）2﹣9【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：y=2﹣6+5=2﹣6+9﹣4=（﹣3）2﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．6.如图，将△ABC 绕点 C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A 的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】由旋转性质知△ABC∽△DEC，据此得∠ACB=∠DCE=30°、AC=DC，继而可得答案．【解答】解：由题意知△ABC∽△DEC，则∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，∴∠DAC===75°，故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③ 旋转前、后的图形全等．7.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点 D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°【分析】连接 OC．由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC=50°，接下，由切线的性质可证明∠OCD=90°，最后在△OCD 中依据三角形内角和定理可求得∠D 的度数．【解答】解：连接 OC．∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=25°．∴∠DOC=∠A+∠ACO=50°．∵CD 是⊙的切线，∴∠OCD=90°．∴∠D=180°﹣90°﹣50°=40°．故选：B．【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠DOC和∠OCD的度数是解题的关键．8.小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50 米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏在跑最后 100m的过程中，与小林相遇2 次D.小苏前 15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故 A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故 B错误；小林在跑最后 100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知 1 次，故 C错误；根据图象小苏前 15s 跑过的路程小于小林前 15s 跑过的路程，故 D 正确；故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）9.请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y=﹣．【分析】根据反比例函数的性质可得＜0，写一个＜0 的反比例函数即可．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y=﹣，故答案为：y=﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数（≠0），（1）＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．10.如图，在平面直角坐标系Oy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段 AB沿轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为（3，2）．【分析】根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：∵将线段 AB 沿轴的正方向平移，若点 B 的对应点B′的坐标为（2，0），∵﹣1+3=2，∴0+3=3∴A′（3，2），故答案为：（3，2）【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．11.如图，PA，PB分别与⊙O相切于 A、B两点，点 C为劣弧 AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为16 ．【分析】直接运用切线长定理即可解决问题；【解答】解：∵DA、DC、EB、EC 分别是⊙O 的切线，∴DA=DC，EB=EC；∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB，∵PA、PB 分别是⊙O 的切线，∴PA=PB=8，∴△PDE 的周长=16．故答案为：16【点评】该命题以圆为载体，以考查切线的性质、切线长定理及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理分析、判断、推理或解答．12.抛物线 y=2+b+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为直线=1 ．【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．【解答】解：∵抛物线 y=2+b+c 经过点 A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴==1．故答案为：直线 =1．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上两点坐标的关系是解答此题的关键．13.如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为π．【分析】求出圆心角∠AOB 的度数，再利用弧长公式解答即可．【解答】解：如图，连接 OA、OB，∵ABCDEF 为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，的长为=π．故答案为：π【点评】本题主要考查正多边形的性质和弧长公式，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．14.如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC 边上一点，将△BCD沿BD 折叠，使点 C落在AB边的E 点，那么 AE 的长度是4．【分析】由勾股定理可知AB=10，由折叠的性质得 BE=BC=6，再由线段的和差关系即可求解．【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB==10．由折叠的性质得：BE=BC=6，则AE=AB﹣BE=4．故答案为：4．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等．15.如图，在平面直角坐标系Oy中，△CDE可以看作是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB 得到△CDE的过程：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿轴向右平移一个单位．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD 得到△AOB 的过程．【解答】解：将△AOB 绕点 O 顺时针旋转90°，再沿轴向右平移一个单位得到△CDE，故答案为：将△AOB 绕点 O 顺时针旋转90°，再沿轴向右平移一个单位【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．16.阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点 O 表示数 0，点 A 表示数 1，点B 表示数 5，以 AB为直径作半圆（如图）；第二步：以 B点为圆心，1 为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以 A 点为圆心，AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点 M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为+1 ．【分析】按照要求作图即可得点 M，连接 AC、BC，由题意知 AB=4、BC=1、∠ACB=90°，从而可得AM=AC==，继而可得答案．【解答】解：如图，点 M 即为所求，连接 AC、BC，由题意知，AB=4、BC=1，∵AB 为圆的直径，∴∠ACB=90°，则AM=AC===，∴点 M表示的数为+1，故答案为：+1．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）17．（5分）计算：2s in30°﹣tan60°+co s60°﹣tan45°．【分析】根据解特殊角的三角函数值解答．【解答】解：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°==．【点评】考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标 y 的对应值如下表：（2）在图中画出这个二次函数的图象．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y=a（+1）2﹣4，然后把点（0，3）代入求出 a 即可；（2）利用描点法画二次函数图象．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y=a（+1）2﹣4，把点（0，3）代入 y=a（+1）2﹣4 得 a=1∴抛物线解析式为 y=（+1）2﹣4；（2）如图所示：【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．19．（5 分）如图，在△A BC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cosA=，求 BC 的长．【分析】先在Rt△ABD 中利用 cosA 的定义可计算出 AD 的长，再利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵AC=AB，AB=10，∴AC=10．在Rt△ABD 中∵cosA==，∴AD=8，∴DC=2．∴．∴．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．20．（5分）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接 AC，BC．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若AB=10，CD=8，求 BE的长．【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；（2）连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算 OB﹣OE 即可．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥弦 CD，∴弧 BC=弧 BD．∴∠A=∠BCD；（2）连接 OC∵直径AB⊥弦 CD，CD=8，∴CE=ED=4．∵直径 AB=10，∴CO=OB=5．在Rt△COE 中，∵OC=5，CE=4，∴OE==3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．21．（5分）尺规作图：如图，AC 为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC=4 时，求这个正方形的边长．【分析】（1）过点 O 作出直径 AC 的垂线，进而得出答案；（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形 ABCD 的边长．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形 ABCD 为⊙O 的内接正方形，∴∠AOB=90°，∴．【点评】此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题关键．22．（5分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点 D用高1.5 米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿 DF方向前行40m到达点E处，在E 处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】首先证明 AB=BM=40，在Rt△BCM 中，利用勾股定理求出 CM 即可解决问题；【解答】解：由题意：AB=40，CF=1.5，∠MAC=30°，∠MBC=60°，∵∠MAC=30°，∠MBC=60°，∴∠AMB=30°∴∠AMB=∠MAB∴AB=MB=40，在Rt△BCM 中，∵∠MCB=90°，∠MBC=60°，∴∠BMC=30°．∴BC==20，∴，∴MC≈34.64，∴MF=CF+CM=36.14≈36.1．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB=BM=40，属于中考常考题型．四、解答题（共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分）23．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为 10m 时，桥洞与水面的最大距离是 5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是方案二（填方案一，方案二，或方案三），则 B点坐标是（10，0），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B 的坐标即可；（2）根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点 B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据题意可知水面宽度变为6m时=2或=8，据此求得对应 y 的值即可得．【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点 B的坐标为（10，0），故答案为：方案二，（10，0）；（2）由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y=a（﹣5）2+5，把点（0，0）代入得：0=a（0﹣5）2+5，即a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（﹣5）2+5，由题意知，当=5﹣3=2 时，﹣（﹣5）2+5= ，所以水面上涨的高度为米．【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．24．（6 分）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C 为弧BF的中点，过点C作AF 的垂线，交AF的延长线于点E，交 AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tanD=，求 AE的长．【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC=弧 CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先在Rt△OCD 中利用正切定义计算出 CD=4，再利用勾股定理计算出OD=5，则sinD=，然后在Rt△ADE 中利用正弦的定义可求出 AE的长．【解答】（1）证明：连接 OC，如图，∵点 C 为弧 BF 的中点，∴弧 BC=弧 CF．∴∠BAC=∠FAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE．∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt△OCD中，∵tanD==，OC=3，∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8，在Rt△ADE中，∵sinD===，∴AE=．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．25．（6 分）小明根据学习函数的经验，对函数y=4﹣52+4 的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量的取值范围是全体实数，与 y 的几组对应数值如下表：…﹣0 1 2… 4. 3.﹣﹣0 23 4 320 ﹣﹣m 34（2）如图，在平面直角坐标系Oy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数图象关于 y轴对称；（4）进一步探究函数图象发现：①方程4﹣52+4=0 有 4 个互不相等的实数根；②有两个点（1，y1）和（2，y2）在此函数图象上，当2＞1＞2 时，比较 y1 和y2的大小关系为：y1＜y2（填“＞”、“＜”或“=”）；③若关于的方程4﹣52+4=a 有 4 个互不相等的实数根，则a 的取值范围是．【分析】（1）观察对应数值表即可得出；（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；（3）观察函数图象，即可求得．【解答】解：（1）观察对应数值表可知：m=0，（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：（3）观察函数图象，发现该函数图象关于 y轴对称，（答案不唯一），故答案为：函数图象关于 y 轴对称；（4）①∵函数的图象与轴有 4个交点，∴方程4﹣52+4=0 有 4 互不相等的实数根，故答案为 4；②函数图象可知，当2＞1＞2 时，y1＜y2；故答案为＜；③观察函数图象，结合对应数值表可知：，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的图象，性质和最值，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=m2﹣2m﹣3（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与轴交于点 B 顶点为 C点．（1）求点 A 和点 B的坐标；（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y 轴的直线 l 与抛物线交于点P（1，y1）和Q（2，y2），与直线AB交于点N（3，y3），若3＜1＜2，结合函数的图象，直接写出1+2+3 的取值范围为．【分析】（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；（2）确定点 C坐标，利用待定系数法即可解决问题；（3）如图，当直线l 在直线 l1与直线 l2之间时，3＜1＜2，求出直线l 经过点 A 、点C时的+3+2 的值即可解决问题；1【解答】解：（1）∵抛物线 y=m2﹣2m﹣3 （m≠0）与 y轴交于点A，∴点 A的坐标为（0，﹣3）；∵抛物线 y=m2﹣2m﹣3 （m≠0）的对称轴为直线 =1，∴点 B的坐标为（1，0）．（2）∵∠ACB=45°，∴点 C的坐标为（1，﹣4），把点 C 代入抛物线 y=m2﹣2m﹣3 得出 m=1，∴抛物线的解析式为 y=2﹣2﹣3．（3）如图，当直线 l1 经过点 A 时，1=3=0，2=2，此时1+3+2=2，当直线 l2 经过点 C 时，直线 AB 的解析式为y=3﹣3，∵C（1，﹣4），∴y=﹣4 时，=﹣此时，1=2=1，3=﹣，此时1+3+2=，当直线 l 在直线 l1与直线l2之间时，3＜1＜2∴．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解答（3）题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了解题的难度．五、解答题（共 2 道小题，每小题 7 分，共 14 分）27．（7 分）已知，△A BC中，∠A CB=90°，AC=BC，点D 为BC边上的一点．（1）以点 C为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC=，BF=1，连接CF，则 CF的长度为．【分析】（1）直接利用旋转的性质即可得出结论；（2）先判断出△CBE≌△CAD，得出∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，即可得出结论；（3）先利用相似三角形的性质求出BD= ，CD=（3﹣），用BC=BD+CD= ，建立方程求出BD=，CD= ，∴BD=CD，再利用三角形的面积求出CM=1，进而根据勾股定理得，AM=2，再△AMC∽△BNF，求出FN= ，BN= ，∴DN=BD﹣BN= ，得出CN=CD+DN= ，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图 1，△BCE即为所求；（2）证明：如图 2，∵△CBE 由△CAD 旋转得到，∴△CBE≌△CAD，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E，∴∠BCE=∠AFE=90°，∴AF⊥BE；（3）如图3，在Rt△ABC中，BC=AC=，∴AB=AC=，在Rt△ABF 中，根据勾股定理得，AF=3，设 AD=，∴DF=3﹣，由旋转知，CE=CD，BE=AD=由（2）知，∠BFD=90°=∠BCE，∵∠B=∠B，∴△BFD∽△BCE，∴，∴= ，∴BD= ，CD=（3﹣），∵BC=BD+CD=，∴+ （3﹣）= ，∴=，∴BD=，CD=，过点 C 作CM⊥AD 于 M，∴S△ACD=AC×CD=AD×CM，∴CM==1，在Rt△AMC 中，根据勾股定理得，AM=2，过点 F 作FN⊥BC 于 N，∴∠BNF=90°=∠AMC，由旋转知，∠CAM=∠FBN，∴△AMC∽△BNF，∴=，∴= ，∴ FN=，BN= ，∴DN=BD﹣BN= ，∴CN=CD+DN=，在Rt△CNF中，CF==故答案为：．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是求出BD，CD的值．28．（7分）对于平面直角坐标系Oy中的点 P，给出如下定义：记点P到轴的距离为d1，到y 轴的距离为 d2，若d1≥d2，则称d1 为点P 的最大距离；若d1＜d2，则称 d2 为点 P 的最大距离．例如：点 P（﹣3，4）到到轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 3，因为3＜4，所以点 P 的最大距离为 4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为5 ；②若点B（a，2）的最大距离为 5，则 a的值为±5；（2）若点 C在直线y=﹣﹣2上，且点C 的最大距离为 5，求点 C的坐标；（3）若⊙O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，直接写出⊙O的半径r 的取值范围．【分析】（1）①直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最大距离”；②点 B（a，2）到轴的距离为 2，且其“最大距离”为 5，所以a=±5；（2）根据点C的“最大距离”为5，可得=±5 或y=±5，代入可得结果；（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线=5，直线=﹣5，直线 y=5，直线y=﹣5 有交点时，⊙O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，【解答】解：（1）①∵点 A（2，﹣5）到轴的距离为 5，到 y轴的距离为2，∵2＜5，∴点 A 的“最大距离”为 5．②∵点 B（a，2）的“最大距离”为 5，∴a=±5；故答案为 5，±5．（2）设点 C的坐标（，y），∵点 C 的“最大距离”为 5，∴=±5 或y=±5，当 =5 时，y=﹣7，当 =﹣5 时，y=3，当 y=5 时，=﹣7，当 y=﹣5 时，=3，∴点C（﹣5，3）或（3，﹣5）．（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线=5，直线=﹣5，直线 y=5，直线y=﹣5 有交点时，⊙O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，∴．【点评】本题考查一次函数综合题、“最大距离”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。
2016年北京各区初三上期末几何综合及答案
2016年初三上期末数学汇编——几何综合CBACBAEDCBA1、DC 已知：在等边△ABC 中， AB= D ，E 分别是AB ，BC 的中点（如图1）．若将△BDE 绕点B 逆时针旋转，得到△BD 1E 1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE 1与AD 1的交点为P ． （1）判断△BDE 的形状；（2）在图2中补全图形， 图1①猜想在旋转过程中，线段CE 1与AD 1的数量关系并证明； ②求∠APC 的度数；（3）点P 到BC 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）图2 备用图2、XC 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC = 4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ． （1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________； （2）当4<BD <8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．图1 图2 备用图3、HD （1）如图1，△ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD .若AC =2， BC =1，则△BCD 的周长为 ；（2）O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且△EDF 的周长等于AD 的长.①在图2中求作△EDF （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在图3中补全图形，求EOF ∠的度数； ③若89AF CE=，则OF OE的值为 .6、SJS 在正方形ABCD 中，DE 为正方形的外角∠ADF 的角平分线，点G 在线段AD 上，过点G 作PG ⊥DE于点P ，连接CP ，过点D 作DQ ⊥PC 于点Q ，交射线PG 于点H ． （1）如图1，若点G 与点A 重合.①依题意补全图1；②判断DH 与PC 的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点H 恰好在线段AB 上，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可以不写．．．．出计算结果．．．．．）．图1 图28、CP 已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC .（1） 如图1，已知∠AOB =150°，∠BOC =120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC . ①∠DAO 的度数是 ；②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明； （2） 设∠AOB =α，∠BOC =β.①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA+OB+OC 的最小值.ABCDABCO 图1图29、TZ 王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书，第31页遇到这样一道题：如图1，在△ABC 中，P 是边AB 上的一点，联结CP .要使△ACP ∽△ABC ，还需要补充的一个条件是____________，或_________. 请回答：（1）王华补充的条件是____________________，或_________________. （2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：如图2，在△ABC 中，∠A=30°，AC 2= AB 2+AB.BC. 求∠C 的度数．ABC图2图1PCBA10、FS在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处（如图1）．图1 图2（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接,OP、OA．已知△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN、 PA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1中画出图形；②在△OCP与△PDA的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M、N在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？请你说明理由．11、HR如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t=21秒时，则OP= ，S△ABP= ；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.为了证明AQ·BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E.试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3．答案PBPAO1、DC2、XC28．解：（1 …………………………2分（2）①补全图形如图所示； ………………3 ②结论：（1）中NM 与AB 证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ， ∴∠CAB =∠B =45°． ∴∠CAN +∠NAM =45°．∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ， ∴AD =AE ，∠DAE =90°．AN ⊥DE ．∴∠CAN +∠DAC =45°， ∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ． 4分在Rt △AND 中，ANAD=cos ∠DAN在Rt △ACB 中，ACAB=cos ∠CAB∵M 为AB 的中点，∴AB =2AM ．∴2AC AC AB AM ==．∴AM AC =． ∴AN AD =AMAC． ∴△ANM ∽△ADC ． ∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°． ∴∠AMN =90°．∴NM ⊥AB ． ………………………………………………………5分 （3）当BD 的长为 6 时， ……………………………7分3、HD （本小题满分8分）解：（1）3； ………………………………1分（2）①如图，△EDF 即为所求； ………………………………3分②在AD 上截取AH ，使得AH =DE ，连接OA 、OD 、OH . ∵点O 为正方形ABCD 的中心，∴OA OD =，90AOD ∠=︒，1245∠=∠=︒. ∴△ODE ≌△OAH . ………………………………4分 ∴DOE AOH ∠=∠，OE OH =. ∴90EOH ∠=︒.∵△EDF 的周长等于AD 的长， ∴EF HF =. ………………………………5分 ∴△EOF ≌△HOF .∴45EOF HOF ∠=∠=︒. ………………………………6分………………………………8分4、CY5、FT6、SJS （1）①依题意补全图1 (1)② DH=CP (2)证明：∵DE 为正方形的外角∠ADF 的角平分线∴∠1=∠2=45° ∵PG ⊥DE 于点P ∴∠3=45°∴∠HAD =135°，∠PDC =135° ∴∠HAD =∠PDC∵四边形ABCD 为正方形∴AD=CD.∵DQ ⊥PC ，∴∠ADQ +∠CDQ =90°，∠4+∠CDQ =90°.∴∠ADQ =∠4∠HAD =∠PDC ，∠ADQ =∠4，AD=CD ∴△HAD ≌△PDC. ∴DH=CP …………….…………….. ...5分（2） 求解思路如下：a ．与②同理可证∠HGD =∠PDC,∠ADQ =∠4 可证△HGD ∽△PDC ；b ．由②可知△GPD 为等腰直角三角形，可设PD=PG=x ，GD, AG易证△AGH 为等腰直角三角形2x ； c. 由△HGD ∽△PDC得21x x =解方程求得PD 的长 ……….7分7、SY8、CP28．解：（1）①90°. (1)分②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是222OA OB OC +=. 如图1，连接OD .∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD=60°.∴CD = OC ,∠ADC =∠BOC =120°, AD= OB . ∴△OCD 是等边三角形.∴OC =OD =CD ，∠COD =∠CDO =60°. ∵∠AOB =150°，∠BOC =120°， ∴∠AOC =90°.∴∠AOD =30°，∠ADO =60°. ∴∠DAO =90°.在Rt △ADO 中，∠DAO =90°， ∴222OA AD OD +=.∴222OA OB OC +=. ……………………………………………………………… 3分 （2）①如图2，当α=β=120°时，OA +OB +OC 有最小值.作图如图2的实线部分. ……………………………………………………… 4分 如图2，将△AOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△A ’O ’C ，连接OO ’. ∴△A ’O ’C ≌△AOC ，∠OCO ’=∠ACA ’=60°. ∴O ’C = OC , O ’A ’ = OA ，A ’C = BC , ∠A ’O ’C =∠AOC . ∴△OC O ’是等边三角形.∴OC = O ’C = OO ’，∠COO ’=∠CO ’O =60°. ∵∠AOB =∠BOC =120°， ∴∠AOC =∠A ’O ’C =120°. ∴∠BOO ’=∠OO ’A ’=180°. ∴四点B ，O ，O ’，A ’共线.∴OA +OB +OC = O ’A ’ +OB +OO ’ =BA ’ 时值最小. …………………………………… 6分②当等边△ABC 的边长为1时，OA +OB +OC 的最小值A ’B………………… 7分DABO 图1O O /A /4321ABC图29、TZ10、FS28．解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∴∠1+∠3=90°．∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．-------------------------1分又∵∠D=∠C， 2∴△O C P∽△P D A．---------------------------------------------2分如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴12OP CPPA DA==．∴CP=12AD=4．设OP=x，则CO=8－x．在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=(8－x)2+42．---------------------------------------------3分解得：x=5．∴A B=A P=2O P=10．-------------------------------------------------4分∴边AB的长为10．（2）①----------5分D②在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是不变的．过点M 作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图．∵AP =AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB =∠ABP =∠MQP ． ∴MP =MQ ．又ME ⊥PQ ∴点E 是PQ 的中点 ∵MP =MQ ，BN =PM ，，． ∴BN =QM ，又 MQ ∥AN 可证点F 是QB 的中点 ∴E F =PB 21． ------------------------------------------------6分 ∵△BCP 中，∠C =90°，PC=4，BC=AD=8 ∴PB=54为定值∴EF 为定值． ----------------------------------------------------------7分∴在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是不变的它的．11、HR 28.解：（1）1，433；…………………………………… 2分 （2）①∵∠A<∠BOC=60°， ∴∠A 不可能是直角.②当∠ABP=90°时，∵∠BOC=60°， ∴∠OPB=30°. ∴OP=2OB ，即2t=2.∴t =1. …………………………………… 3分③当∠APB=90°，如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则OP=2t ，OD=t ，，AD=2t +，DB=1t -. ∵∠APD+∠BPD=90°，∠B+∠BPD=90°，∴∠APD=∠B. ∴△APD ∽△PBD.2016年初三上期末数学汇编——几何综合第 11 页 共 11 页∴BD PD PD AD ==24t t 20+-=，解得12t t = （舍去）. …………………………………… 4分（3）补全图形，如图∵AP=AB ，∴∠APB=∠B.∵OE ∥AP∴∠OEB=∠APB=∠B.∵AQ ∥BP ，∴∠QAB+∠B=180°.又∵∠3+∠OEB=180°，∴∠3=∠QAB.又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP ，∵∠B=∠QOP ，∴∠1=∠2.∴△QAO ∽△OEP. ∴EPAO EO AQ =，即AQ·EP=EO·AO. ∵OE ∥AP ，∴△OBE ∽△ABP. ∴31BA BO BP BE AP OE ===. ∴OE=31AP=1，BP=23EP. ∴AQ·BP=AQ·23EP=23AO·OE=23×2×1=3. …………………………………… 6分。
2023-2024学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定2.如果，那么下列比例式成立的是()A.B.C.D.3.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为()A. B.C.D.4.如图，点A ，B ，C ，D 在上，AC 是的直径，，则的度数是()A. B.C. D.5.在平面直角坐标系xOy 中，若点和在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是()A.B.C. D.6.如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则AB的距离可表示为()A.海里B.海里C.海里D.海里7.如图，在等腰中，于点，则的值()A. B.2 C. D.8.如图，是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是()①≌；②；③；④若，则A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.写出一个开口向下且过的抛物线的表达式__________.10.如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为__________.11.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案正六边形的外接圆，已知正六边形ABCDEF的边长是4，则长为__________.12.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE，AC交于点F，则和的面积比为__________.13.如图，在中，半径OC垂直弦AB于点D，若，，则CD的长为__________.14.小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是_______________15.如图，AB是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径AB上一动点，则的最小值为__________.16.已知抛物线为常数，的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④其中，正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共12小题，共96分。
北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷 (2)
北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°2．（2分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．球体3．（2分）如图，点B是反比例函数y=（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣64．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．（2分）将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y=（x﹣6）2+5B．y=（x﹣3）2+5C．y=（x﹣3）2﹣4D．y=（x+3）2﹣96．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°8．（2分）小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．10．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为．11．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为．12．（2分）抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为．13．（2分）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为．14．（2分）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：．16．（2分）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．（5分）计算：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．18．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象．19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cosA=，求BC的长．20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．21．（5分）尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．22．（5分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．25．（6分）小明根据学习函数的经验，对函数y=x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：x (2)1012…y… 4.3 3.20﹣2.2﹣1.40 2.8 3.74 3.7 2.80﹣1.4﹣2.2m3.2 4.3…其中m=；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4﹣5x2+4=0有个互不相等的实数根；②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）；③若关于x的方程x4﹣5x2+4=a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1）和Q （x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围为．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．（7分）已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点．（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC=，BF=1，连接CF，则CF的长度为．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1＜d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P（﹣3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为；（2）若点C在直线y=﹣x﹣2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．C；2．A；3．B；4．D；5．C；6．D；7．B；8．D；二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．y=﹣；10．（3，2）；11．16；12．直线x=1；13．π；14．4；15．将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位；16．+1；三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．方案二；（10，0）；24．；25．函数图象关于y轴对称；4；＜；；26．；五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．；28．5；±5；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
昌平区2015-2016学年第一学期初三年级期末质量抽测 数 学 试 卷 2016．1学校 姓名 考试编号考生须知 1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．在平面直角坐标系中，将点 A （﹣2，3）向右平移3个单位长度后得到的对应点 A ′的坐标是 A ．（1，3） B ．（﹣2，﹣3） C ．（﹣2，6） D ．（﹣2，1） 2．下面四个几何体中，主视图是圆的是A B C D3．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔.那么随机赠送的笔为绿色的概率为 A ．110 B ．15 C ．310 D ． 254. 已知⊙O 的半径长为5，若点P 在⊙O 内，那么下列结论正确的是 A. OP ＞5 B. OP =5 C. 0＜OP ＜5 D. 0≤OP ＜5 5．如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =4，BC =3，则sin B 的值等于 A ．43B ．34C ．45D ．356．已知(2)2my m x =-+是y 关于x 的二次函数，那么m 的值为 A ．-2 B. 2 C. 2± D. 0CBA7．如右图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于 A ．120° B ． 140° C ．150° D ． 160°8．二次函数223y x x =--的最小值为A. 5B. 0C. -3D. -49．如右图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A 1B 1C ．若∠A =40°， ∠B 1=110°，则∠BCA 1的度数是A ． 90°B ． 80°C ． 50°D ．30°10. 如右图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则EF GH的值为A. 2B.32C. 3D. 2二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11．如果3cos 2A =，那么锐角A 的度数为 .12．如右图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD =105°，则∠DCE 的度数是 .13．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于．．4的概率为 .B 1B AC A 1ABCD OOED BACAB CDE O FG H14．如右图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，3023CDB CD ∠== ，,则阴影部分的面积为 .15．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，CD ⊥AB ,垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，此时，测得顶点C 到量角器最高点的距离CE ＝2cm ，将量角器沿DC 方向平移1cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，如图2,则AB 的长为 _ cm .图1CBAD EED ABC 图216. 如右图，我们把抛物线y ＝－x (x －3)（0≤x ≤3）记为C 1， 它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2， 交x 轴于另一点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于另一点A 3；……；如此进行下去，直至得C 2016．①C 1的对 称轴方程是 ；②若点P （6047，m ）在抛物线C 2016 上， 则m = .三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．计算：2sin 60cos30(sin 45)tan 45⋅+-．18．如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， △ABC 的顶点均在格点上.（1）画出将△ABC 向右平移2个单位后得到的△A 1B 1C 1，再画出将△A 1B 1C 1绕点B 1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A 2B 1C 2；（2）求线段B 1C 1旋转到B 1C 2的过程中，点C 1所经过的路径长．…C 3A 3C 2A 2yxOA 1C 1BE D C AOACB19．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … －2 －1 0 1 2 … y…4664…（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）直接写出当y ＜0时x 的取值范围．20. 如下图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =45°，AC =32，求AB 的长.BCA21.某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A ，B ，C ．（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率；（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共100吨生活垃圾，数据统计如下表（单位：吨）：垃圾箱 垃圾A B C a40 10 10 b 3 24 3 c226试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少．22. 如右图，二次函数2y x h k ()=-+的顶点坐标为M (1，-4).（1）求出该二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P （点P 与点M 不重合），使54PAB MAB S S =△△，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．xyO A BM四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．如右图，△ABC 内接于⊙O ，∠B =60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：P A 是⊙O 的切线；（2）若43AB =+，23BC =，求⊙O 的半径．24．某校九年级进行集体跳绳比赛.如下图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G ，绳子两端的距离AB 约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC 和BD 基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G 关于直线AB 对称.（1）求抛物线G 的表达式并写出自变量的取值范围；（2）如果身高为1.5米的小华站在CD 之间，且距点C 的水平距离为m 米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m 的取值范围.地面GCABDPOD CB A25．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点，以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC =12. 直线BC 与⊙O 交于D ，E 两点，求CE -BD 的值.OA C BD E26. 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α=13，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB =90°. 设∠BAC =α， 则sin α=BC AB=13．易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AB =3x ，则AC =22x ．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CD OC= ．【问题解决】已知，如图2，点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P =β，sin β =35，求sin2β的值.ON MP图2OBCAD图1五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）27．阅读下列材料：春节回家是中国人的一大情结，春运车票难买早已是不争的事实. 春节回家一般都要给父母、亲戚带点年货，坐车回去不好携带，加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费通行等因素，所以选择春节租车回家的人越来越多. 这都对汽车租赁市场起到明显的拉动作用，出现了很多的租赁公司.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元. 当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益=日租金收入-平均每日各项支出）.（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元?（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利?28. 已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC .（1） 如图1，已知∠AOB =150°，∠BOC =120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC . ①∠DAO 的度数是 ；②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明； （2） 设∠AOB =α，∠BOC =β.①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA+OB+OC 的最小值.ABCDABCO 图1图229. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两点A (0，3)，B (1，0)，现将线段AB 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BC ，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点C . （1）如图1，若该抛物线经过原点O ，且14a. ①求点C 的坐标及该抛物线的表达式；②在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB =∠BAO . 若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点D (2，1)，点Q 在抛物线上，且满足∠QOB =∠BAO .若符合条件的Q 点的个数是4个，请直接写出a 的取值范围.CBAO yx12-14432-1图2图1-12344-121xyOABC昌平区2015-2016学年第一学期初三年级期末质量抽测数学参考答案及评分标准 2016. 1一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABDBC二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 题号 11 12 13141516答案30°105°3523π 23 32x =，-2 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．解： 2sin 60cos30(sin 45)tan 45⋅+-23321222=⨯+-⎛⎫⎪⎝⎭………………………………………………………… 4分31142=+-14=． ………………………………………………………………… 5分18．解：（1）如图所示. ………………………………………………………… 4分A 2C 2C 1ACB 1BA 1（2）∵点C 1所经过的路径为一段弧， ∴点C 1所经过的路径长为90π42π.180l ⨯== ………………………………… 5分19．解：（1）由表得，抛物线2y ax bx c =++过点(0，6),∴c = 6．…………………………………………………………………………… 1分∵抛物线26=++y ax bx 过点(-1，4)和(1，6), ∴46,6 6.a b a b =-+=++⎧⎨⎩ …………………………………………………………………… 2分解得，1,1.a b =-=⎧⎨⎩∴二次函数的表达式为26y x x =-++．…………………………………………………… 3分 ∵抛物线2y ax bx c =++过点(0，6)和(1，6), ∴抛物线的对称轴方程为12x =.∵当12x =时，254y =,∴抛物线的顶点坐标为125,24⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………………………4分 （2）当y ＜0时x 的取值范围是x ＜-2或x ＞3. …………………………… 5分 20．解： 过点C 作CD ⊥AB 于点D . …………………………………1分 在Rt △ADC 中，30,23A AC ∠=︒=， ∴132CD AC ==，………………………2分3cos 2332AD AC A =⋅=⨯=. ………………3分在Rt △CDB 中，∠B=45°， ∴∠DCB=∠B=45°.∴3BD CD ==. …………………………………………………………………4分 ∴33AB AD BD =+=+. …………………………………………………… 5分 21．解：（1）画树状图或列表为CB a b ca b c c b aA垃圾 垃圾箱A B C a (A ,a ) (B ,a ) (C ,a ) b (A ,b ) (B ,b ) (C ,b ) c(A ,c )(B ,c )(C ,c )DBCA∴ P (垃圾投放正确)=13. ………………………………………………………………… 4分 (2)∵4024010103=++，∴估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为23. …………………………… 5分22．解：（1）∵二次函数2()y x h k =-+的顶点坐标为M (1，-4)，∴抛物线的表达式为214y x ()=--.令y =0，得1213x x =-=,.∴抛物线与x 轴的交点坐标为A (-1，0)，B (3，0). ………………………………… 2分 （2）∵A (-1,0), B (3,0), M (1，-4), ∴AB =4.∴8MAB S =△. …………………………………………………… 3分 ∵AB =4,∴点P 到AB 的距离为5时，54PAB MAB S S =△△.即点P 的纵坐标为5±.∵点P 在二次函数的图象上，且顶点坐标为M (1，-4)， ∴点P 的纵坐标为5. ………………………………… 4分 ∴()2514x =--.∴ x 1=-2，x 2=4.∴点P 的坐标为(4，5）或（-2，5）. ………………… 5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分） 23．（1）证明：连接OA ． ∵∠B =60°，∴∠AOC =2∠B =120°． 又∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =30°．……………………1分 又∵AP =AC ，∴∠P =∠ACP =30°．∴∠OAP =∠AOC ﹣∠P =90°． ∴OA ⊥PA ．又∵点A 在⊙O 上，∴PA 是⊙O 的切线．………………………………2分 （2）解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ．PO DCBAE在Rt △BCE 中，∠B =60°，23BC =， ∴132BE BC ==，CE =3．……………………………3分∵43AB =+，∴4AE AB BE =-=． ∴在Rt △ACE 中，225AC AE CE =+=．…………4分∴AP =AC =5．∴在Rt △PAO 中，533OA =．∴⊙O 的半径为533． ………………… 5分24．解：（1）如图所示建立平面直角坐标系.地面xOyGCABDE由题意可知：(4,0)A -，(4,0)B ，顶点(0,1)E .设抛物线G 的表达式为21y ax =+. ……………………………………………… 2分 ∵(4,0)A -在抛物线G 上， ∴1610a +=，求得116a =-.∴21116y x =-+. ……………………………………… 3分自变量的取值范围为-4≤x ≤4. …………………………… 4分（2）424+222m -＜＜. ………………………………………………… 5分 25．解：过点O 作OF DE ⊥于点F .∴DF EF =． …………………………………… 1分 在矩形ABOC 中，OA=20，∴20BC OA ==，90BOC ∠=︒. ……………………… 2分 在Rt △BOC 中，OC=20 ，FOA C BD E∴cos ∠123205OC OCB BC===.在Rt △OCF 中，cos ∠12CF CF OCF OC==，∴3125CF =. ∴365CF =. ………………………………………………………………………………3分645BF BC CF =-=. …………………………………………………………………4分∴28()()5CE BD EF CF DF BF BF CF -=---=-=. ……………………………… 5分26．解：223x CD =． …………………………………………… 1分sin2α=CD OC=429． ………………………………………… 2分如图，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR NO ⊥于点R ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q =∠P =β，∴ ∠MON =2∠Q =2β． ………………………………………… 3分 在Rt △QMN 中， ∵ sin β =35MN NQ =， ∴ 设MN =3k ，则NQ =5k ，易得OM=21NQ=52k ． ∴ MQ =224QN MN k -=．∵ Δ1122NMQ S MN MQ NQ MR =⋅=⋅，∴ 345k k k MR ⋅=⋅ ． ∴ MR =125k ． …………………………………………… 4分 在Rt △MRO 中，sin2β=sin ∠MON =122455252kMRk OM ==． ……………… 5分 五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分） 27．解：（1）1500-50x （0≤x ≤20, x 为整数）. ……………………………… 1分QRO N MP 图2（2）∵日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量， ∴日租金收入＝x (1500-50x ). ……………………… 2分 又∵日收益＝日租金收入-平均每日各项支出， ∴y ＝x (1500-50x )-6250＝－50x 2+1500x -6250＝－50(x －15)2+5000. ………………… 3分 ∵租赁公司拥有20辆小型汽车， ∴ 0≤x ≤20.∴当x ＝15时,y 有最大值5000.∴当日租出15辆时, 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元. ………………… 4分 （3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即y ＝0.∴－50(x －15)2 + 5000＝0，解得x 1＝25，x 2＝5. …………………………………… 5分∴当5＜x ＜25时，y ＞0. ……………………………………………………………… 6分 ∵租赁公司拥有20辆小型汽车，∴当每日租出5＜x ≤20（x 为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利.…………… 7分 28．解：（1）①90°. ……………………………………………… 1分 ②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是222OA OB OC +=. 如图1，连接OD .∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD =60°.∴CD = OC ,∠ADC =∠BOC =120°, AD= OB . ∴△OCD 是等边三角形.∴OC =OD =CD ，∠COD =∠CDO =60°. ∵∠AOB =150°，∠BOC =120°， ∴∠AOC =90°.∴∠AOD =30°，∠ADO =60°. ∴∠DAO =90°.在Rt △ADO 中，∠DAO =90°， ∴222OA AD OD +=.∴222OA OB OC +=. ………………… 3分 （2）①如图2，当α=β=120°时，OA +OB +OC 有最小值. 作图如图2的实线部分. ……………………………… 4分 如图2，将△AOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△A ’O ’C ，连接OO ’. ∴△A ’O ’C ≌△AOC ，∠OCO ’=∠ACA ’=60°. ∴O ’C = OC , O ’A ’ = OA ，A ’C = BC , ∠A ’O ’C =∠AOC .DABCO 图1O /A /A∴△OC O ’是等边三角形.∴OC = O ’C = OO ’，∠COO ’=∠CO ’O =60°. ∵∠AOB =∠BOC =120°， ∴∠AOC =∠A ’O ’C =120°. ∴∠BOO ’=∠OO ’A ’=180°. ∴四点B ，O ，O ’，A ’共线.∴OA +OB +OC = O ’A ’ +OB +OO ’ =BA ’ 时值最小. …………………………………… 6分②当等边△ABC 的边长为1时，OA +OB +OC 的最小值A ’B =3. ………………… 7分 29．解：（1）①如图1，过点C 作CD ⊥x 轴于点D . ∴90CDB AOB ∠=∠=︒. ∵∠ABC =90º，∴90ABO CBD ∠+∠=︒. 又∵90O AB ABO ∠+∠=︒， ∴OAB CBD ∠=∠. ∵AB =BC ， ∴△AOB ≌△BDC . ∴BD =OA ，CD =OB . ∵A (0，3)，B (1，0)，∴C (4，1). ………………………………1分∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过原点O ，且14a =，∴214y x bx =+. ……………………………………………………………………2分又∵抛物线经过点C (4，1)， ∴34b =-. ∴该抛物线的表达式为21344y x x =-. ……………………………………………… 3分 ② 当点P 在第一象限时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ,连接OP .∵∠POB =∠BAO ，∴1tan tan 3POB BAO ∠=∠=.设P (3m ，m )，m >0. ……………………………………………………………………… 4分∵点P 在21344y x x =-上，∴29944m m m -=. 解得：139m =，0m =(舍去).∴1313()39P ，.…………………………………………………………………………… 5分GP D 图1-1234-121xyO ABC当点P在第四象限时，同理可求得55()39P，-. …………………………………6分当点P在第二、三象限时，∠POB为钝角，不符合题意.综上所述，在抛物线上存在使得∠POB=∠BAO的点P，点P的坐标为1313()39，或55()39，-.（2）a的取值范围为18a<-或6356a+>. …………………………8分。