单参数变换群在Riccati方程中的应用
关于Riccati方程可积性条件的讨论
（ｉａ≠０时 ， 变换 ： ｉ ） 作 ｙ＝ａ ＋ｙ（ ， 待定 函数 ）则 ， ｔ ｏ Ｕ 是 ） ， ， ＝
方 程 （ ） 整 理得 １，
＋ —— ・
Ｕ
一
（Ｙ Ｑ ＝“ Ｌｏ ２ｏ ） Ｐ Ｐ ＋ ］ ＋［］ ｘ，
＋ － ｕ
＝
令 ‘ Ｐ＋） ０ 等 ＋ （ｙ Ｑ＝， 一２。 ’ 则
ｋ
—
４
ｅ… ￣ｏ ｑａ ｊＺｙ＋ ）ｘ （一 …
证 明 ： 定理 中取 Ｙ 在 。＝ —— ～ ， ＝ｏ 则 条件 （ ） ｙ］＝一ａＰ Ｐ 出， Ｒ ＝Ｙ。一Ｐ 一Ｑ 口 ， ２ ０ ２ ｅ ｒ Ｊ ｏ 即 ｙ ｙ
ｌＡ ｘ Ｐ ｄ
。， 代人Biblioteka ， 理 即得 ： 整 一
定理 若存在常数 ｔ 函数 使得 ｌ ， 及
Ｌ ｙ ］＝一口Ｐ ２ｏ。 ［ｏ ｅ （Ｙ ’ ＪＰ ，
则 Ｒ ｃａｉ ｉｃ ｔ方程 （ ）可 积 ， １ 且
（） ２
（）当 口 ＝０时 ， 程 （ ）的通积 分 为 ｉ 方 １
ｅ
ｆＰ＋） （ｙＱｘ ２ｏ ｄ
。；
（） ３
西安石油 大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
证 ： 理 取， 一 口０ 条 （Ｌ ］一ｐ』。出 （） 一，定 的ｉ 明在 中 ） ， ， 件２［ ：ｎｅ 即罟 ＝ 由 理 （立 定 。 ＝ ＝则 ） ２ （ ２ ）
“
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Ｍ
２ｙ Ｐ 。＋ｑ 两边 关 于 求 积分 ， ． 易得
ｋｆ‰＋ 出 ≠０ ｅ Ｑ （ （ ） 为任意常数 ）
．
取其一个特解 ＝ａ ‘ 口 此时， 知条件有 Ｊ ， 由已
Ｌ Ｙ］＋ ｕ ＝ｔ ｒｌ＋Ｐ ２ Ｊ ‰＋ ＝０ ［ｏ Ｐ ｉｏ ａｅ ‘ Ｑ ２ ）
Riccati方程解的非线性叠加公式及其应用
０ 引 言
随着 计算 机技 术和 非线性 科 学 的不断发 展 ， 在非 线性 孤立 子理 论 中 ， 已提 出许 多求解 非 线性发 展方 程 的 方法 ］如 双 曲 正 切 函 数 展 开 法 、 ａｏ ｉ椭 圆 函 数 展 开 法 、 助 方 程 法 、 次 平 衡 法 、 探 函 数 法 和 ， Ｊｃ ｂ 辅 齐 试
第 ４ Ｏ卷 第 ３期
２１ ０ ｉ年 ５月
内蒙 古 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＩｎ ｒＭ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌ ｉｅｓｔ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｎ ｅ ｎ ｏｉ Ｎｏ ｍａ ｏ ａ Ｕｎ ｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉ ） ｙ ｏ
Ｂｉ ｌｎ ／ｋ ｕ ｄ变换 法等 ． ｃ 这些 方法 在非 线性 发展 方程 求解 领域 中构 造 了 Ｊ ｃｂ 椭 圆 函数 解 、 曲 函数 解 、 角 函 ａｏ ｉ 双 三 数 解 和有 理形式 解 ． 但是 ， 获得 复合 型精 确解 的成果 还 比较少 ， 了准确 地描 述物 质 的运 动规 律 ， 们研 究 了 为 人 变 系数非 线性 发展 方程求 解 问题［ ． 献 ［ —１］ 别用 截 断展开 法 、 ７］文 － ８１ － 分 改进 的双 曲正切 函数 展开法 和试探 方
关 键 词 ： ｉ ａｉ 程 ； 线 性 叠 加 公式 ； 合 型 解 ；非 线 性 发 展 方 程 Ｒ ｃ ｔ方 ｃ 非 复 中 图 分 类 号 ： ７． ９ ０ ｌ ５ ２ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ － ７ ５ ２ １ ） ３ ０ １— ６ ０ １ ８ ３ （０ １０ － ２ ７ ０
带外 力项 的广 义 Ｋｄ 方 程 Ｖ
离散周期lyapunov方程和离散周期riccati方程的迭代算法
摘要作为线性时变系统的最简单形式，线性周期系统由于其广泛的应用，一直是学者们研究的热点。
线性周期系统，是一类系数矩阵带有周期性的线性系统，在各个领域中都有着广泛的应用。
为了研究离散周期系统的稳定性问题，离散周期Lyapunov方程的求解就显得至关重要。
同样，在进行离散周期系统的线性二次最优状态反馈控制器的设计时，需要用到离散周期Riccati方程的解。
基于这样的研究背景，本文针对离散周期系统下的Lyapunov方程和Riccati方程，给出了其求解的迭代算法。
针对离散周期Lyapunov方程，推导出了相应的迭代算法，分别对零初始条件和任意初始条件的情况给出了严谨的收敛性证明，并通过数值仿真验证了算法的有效性。
并且将最新估计信息的思想引入了迭代算法，得到了新的基于最新估计信息的迭代算法，同样对给出了算法在零初始条件下和非零初始条件下，迭代算法的严谨的收敛性证明，利用数值仿真例子证明了算法是有效并且收敛的。
并且通过对两种算法的数值仿真对比发现，基于最新估计信息的迭代算法的收敛速度要快于原始的迭代算法，从而验证了加入最新估计信息的迭代算法的优越性。
针对推导出的离散周期Riccati方程的迭代算法，给出了其在零初始条件下的收敛性证明，并通过数值仿真验证了算法的有效性，同样，为了改进算法，加入了最新估计信息，得到了新的基于最新估计信息的迭代算法。
同样对该算法的收敛性进行了严谨的证明与数值仿真验证，说明了该算法是有效可用的。
针对两种方程的迭代算法，为了研究最新估计信息对迭代算法的影响程度，引入了加权的思想，得到了带权重因子的新的迭代算法，并进行了收敛性证明。
通过数值仿真，给出了不同权重因子下的收敛性曲线，通过对比可以看出当全部使用最新估计信息时，算法的收敛速度最快，由此可见，加入最新估计信息能有效提高迭代算法的收敛速度。
关键词：离散周期系统；Lyapunov方程；Riccati方程；迭代算法AbstractAs the simplest form of time-varying linear systems, periodic linear systems have been attracting much attention during the past several decades. This is partially because this type of systems has very wide application. To investigate the stabilization problem of the periodic linear systems, it is important to achieve the solution of the periodic Lyapunov matrix equation. Similarly, the design of linear quadratic optimal state feedback controller based on the robust control is related to the stabilizing positive definite solution of Riccati equation. Based on this research background, we propose iterative algorithms for solving discrete-time periodic Lyapunov matrix equation and discrete-time periodic Riccati matrix equation.Iterative algorithms for discrete periodic Lyapunov equations are derived, respectively to the zero initial conditions and arbitrary initial conditions. And the proof of convergence is given. The effectiveness of the algorithm is verified by numerical simulation. And the latest information estimation theory is into the iterative algorithm, the proof of the convergence is also given. The validity of the algorithm is verified by numerical simulations. Finally, the simulation analysis of the two algorithms find that the convergence rate of the iterative algorithm based on the estimation of the latest information is faster than the original algorithm. It proves the superiority of the iterative algorithm adding the latest information of the estimation.Iterative algorithm for discrete periodic Riccati equations is derived, given the zero initial condition of convergence, and the effectiveness of the algorithm is verified through numerical simulation. In order to improve the algorithm with the latest estimate information, a new iterative algorithm based on the information of the latest estimation is given. The convergence of the new algorithm is proved and the validity of the algorithm is verified by numerical simulation. Through numerical simulation, the convergence curves of different weighting factors are given. It found that using the latest estimate information, the convergence speed is the fastest. Therefore, adding the latest estimation information can effectively improve the convergence speed of iterative algorithm.Key words：discrete-time linear periodic system，periodic Lyapunov equations，periodic Riccati equations，iterative algorithms目录摘要 (I)ABSTRACT ..................................................................................................................... I I 第1章绪论 . (1)1.1课题的来源及研究的背景意义 (1)1.2国内外在该方向上的研究现状及分析 (2)1.3本文的主要研究内容 (6)第2章离散周期系统Lyapunov方程快速迭代算法 (8)2.1相关的概念与性质 (8)2.2原始迭代算法 (9)2.2.1显式迭代算法 (9)2.2.2数值仿真 (12)2.3基于最新估计信息的迭代算法 (16)2.3.1显示迭代算法 (16)2.3.2数值仿真 (19)2.4本章小结 (24)第3章离散周期Riccati方程的迭代算法 (25)3.1相关的概念与性质 (25)3.2问题的描述 (25)3.3原始迭代算法 (25)3.3.1显示迭代算法 (26)3.3.2数值仿真 (28)3.4基于最新估计信息的迭代算法 (29)3.4.1显示迭代算法 (30)3.4.2数值仿真 (32)3.5本章小结 (34)第4章离散周期Riccati方程的加权最新估计迭代算法 (35)4.1 带加权因子的快速迭代算法 (35)4.2数值仿真 (37)4.3本章小结 (39)结论 (40)参考文献 (41) (45)致谢 (46)第1章绪论1.1课题的来源及研究的背景意义随着对控制系统的研究越来越深入，人们发现，许多生活中的系统是线性周期系统。
黎卡提方程的解法
黎卡提方程的解法作者：张孟霞，郭春晓来源：《教育教学论坛》2017年第45期摘要：17世纪，意大利数学家黎卡提提出方程：■=p（x）+q（x）y+r（x）y■称为黎卡提方程。
黎卡提方程有着重要的应用，比如，可用此方程证明贝塞尔方程的解不是初等函数；另外，它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中。
黎卡提方程自从17世纪黎卡提提出以来，历经了三百多年一直未有一般解法，虽然有众多特例解法，但是未能从根本上解决这个方程。
本文主要利用无穷小生成元的思想介绍黎卡提方程的几种解法。
关键词：黎卡提方程；无穷小生成元；李积分因子；典型变量中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）45-0164-02一、黎卡提方程的几种等价形式黎卡提方程的一般形式为：y'=p（x）+q（x）y+r（x）y2（1）1.方程（1）可以通过变换y=-r（x）y写为：y'+y2=p（x）+q（x）y （2）其中，q=q+■，p=-rp2.方程（2）可以通过变换■=y-■q（x）写为：■'+■2=■（x）（3）其中，■=-■q'+■q2+p3.方程（2）可以通过变换y=■写为一个二阶线性方程：u"=q（x）u'+p（x）u（4）二、黎卡提方程可线性化的充分条件定理：黎卡提方程（1）可线性化的充分条件为：（A）方程（1）有形式y'=q（x）y+r （x）y2，或有形式y'=p（x）+q（x）y+k（q（x）-kp（x））y2，其中k为常数；（B）方程（1）有一个常数解。
当方程（1）满足（A）、（B）条件中的任何一个时，则方程可线性化。
例：将方程y'=q（x）y+r（x）y2（伯努利方程）线性化。
解：将方程左右两边同时除以y2可得：y-2y'=q（x）y-1+r（x）令z=y-1则上式可转化为一阶线性微分方程：z'=-q（x）z-r（x）三、黎卡提方程的通解1.黎卡提方程的性质。
一类指数型函数Riccati微分方程特解的存在条件及应用
众所周知 ， 一阶非线性 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 微分方程
， ｕ １． ，
＿
Ｚ＝ Ｐ （ ） Ｙ ＋Ｑ（ ） Ｙ＋ Ｒ（ ）
（ １ ）
ｕｘ ，
（ 其中 Ｐ （ ｘ） 、 Ｑ （ ） 和Ｒ （ ｘ ） 都是定义域 Ｄ上的连续可微函数 ， 且Ｐ （ ） Ｒ （ ） ≠ ０ ） 一般没有初等积 分解法¨ ， 求通解 的途径是 ： 如果预先知道方程（ １ ） 的一个特解 Ｙ 。 ， 再利用初等变换 Ｙ ： ＋ Ｙ ０ ， 使之变为 Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 方程再求解 ， 然而求方程（ １ ） 一个特解 的难度并不亚于求其完整的通解． 文［ １ ］ 给出了一 类指数函数系数 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 微分方程 的特解或通解的求法 ， 但所述结论并不全面． 本文从另一角度出发 ， 利 用初等的方法 ， 讨论了一类系数为指数函数型的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程的特解或通解的求法 ， 并说 明文［ １ ］ 的结论
（ １ ． 郑 州职业技术 学院 基础教 育处， 郑州 ４ ５ ０ １ ２ １ ； ２ ． 郑州师范学院 数 学与统计 学院 ， 郑州４ ５ ０ ０ ４ ４ ）
摘
要： 对于一类系数为指数型函数的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 微分方程 Ｙ ＝ Ｐ （ ｘ ） ｆ＋ Ｑ （ ｘ ） ｙ ＋ 尺 （ ） ， 当尸 （ ） 、 Ｑ （ ）
第ｌ ６卷 第 ２期
２ ０ １ ３年 ４月
西安文理 学院学报 ： 自然科 学版 Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｘ ｉ ’ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ａ ｒ ｔ ｓ＆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ （ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｃ ｉ Ｅ ｄ ）
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｗｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ａ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｙ ＝Ｐ（ ） Ｙ ＋Ｑ（ ） Ｙ＋ Ｒ（ ） ｗ ｈ ｅ ｎ Ｐ（ ） 、 Ｑ（ ）ａ ｎ ｄ Ｒ（ Ｘ ）ａ ｒ ｅ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｔ ｙ ｐ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ —
二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法
二阶变系数线性微分方程的Riccati 方程解法对于Riccati 微分方程()()()2'y P x y Q x y R x =++ （1） 称系数关系：()()()()()12,'I P x R x I P x P x Q x ==+ 为方程（1）的不变量. 引理 []11 R 氏方程（1）经'()u y P x u=-变换，化为二阶线性方程21'''0.u I u I u -+= 定理 二阶线性方程()2''''0y bG G G y cG y +-+= （b,c 为常数） 经Gudxy e -⎰=变换，化为分离变量方程 2.duGdx u bu c =-+⎰⎰（2）证明 在方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=中，取()(),P x G Q x bG ==-(),R x,cG =则不变量满足关系：()()()()212,'I P x R x cG I P x P x ===()Q x +='G.bG -于是，方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为Riccati 方程： 2'.u Gu bGu cG =-+ （3）显然，方程（3）为分离变量方程（2）.推论 ()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为分离变量方程 212,duf u Pu P =-+⎰其中u 满足（2）.此时，方程()2''''0y bG G y cG y +-+=中，取',G f =1b P =, 2,c P =则方程20r br c ++=可化为分离变量方程 212'.duf dx f u Pu P ==-+⎰⎰ （4）例 解方程()()()23''21'30.xInx y xIn x y x In x y +--=解 将方程化为()()1''2'30.y Inx y Inx y xInx ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭此时，取,2,G Inx b == 3,c =-则方程化为1213,,2341xdu u x Inxdx In C u u u e --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰⎰1u =-+414,1xx C e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1441211Inx Inx dx x xxC e x x y eC C e e ⎛⎫⎪ ⎪-⎪-⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦312x x x x K K e e -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭引理 []22 对于R 氏方程（1），若存在常数,,αβγ及可微()D x （不等于0）和()0y x ，满足拓广不变量关系：()[]()()2102,'I P x L y D I P x P x αγ===()()02Q x y x ++()2P x D D β=+.则方程（1）可化为可积形式2,duDdx u u αβγ=++⎰⎰ 其中[]()()()200000,'.Dy u y L y y P x y Q x y R x Pα=+=-+++定理 二阶线性方程 ()[]00'''/2'0y P P Q y P y PL y y -+++= （5）经()P x udxy e -⎰=变换，化为Riccati 方程()()()2'.u P x u Q x u R x =++推论 二阶线性方程22''''''2''''''''''0''f f y F f y F F F F f wf y f f λλ⎛⎫⎛⎫-++++-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）经'f udxy e -⎰=变换，化为可积形式 2.duf u u wλ=++⎰（7）例 讨论方程''sin 2'cos 2sin 0V x V x V x +-=的周期性.解 将方程变形为cos ''2'20sin x V V V x +-=.在方程（6）中，取cos 1','sin x F f x c-==（常数0c ≠），20,,w c λ==-则本例方程化为积分形式122,du xc u u c c=+=-⎰ 2/121x ccc c e --+，则2/12112/21()x c dx c e x x c c y ec e c e -⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎰==+ .显然，其解非周期解.参考文献：【1】 张鸿林. 常微分方程手册[M]. 北京：科学出版社，1977.【2】 ZHAOlin-long.The Integrable Conditions of RiccatiDifferential Equation [J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics. 1999,14(3):67-70.。
里卡蒂方程
Riccati 方程秦源 S201801006通过一个学期常微分方程课的学习，我对一些有关常微分方程的理论和方程解法有了一定的了解，下面主要介绍一种比较特殊的一阶非线性微分方程：里卡蒂(Riccati)方程。
当一阶微分方程y’=f(x,y)的右端函数f(x,y)对y 是二次多项式时，称它为里卡蒂(Riccati)方程,其一般形式为)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=。
(1) 里卡蒂方程是二次的非线性微分方程，在一般情况下无法用初等积分法求解，只有对一些特殊情况，或者事先知道了它的一个特解，才可以求出其通解。
下面介绍里卡蒂方程可求解的一些特殊情况，如下：1 当p(x),q(x),r(x)都是常数时，方程(1)是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。
2 当p(x)≡0时，方程(1)是一阶线性微分方程，可用公式()()()⎰⎰⎰-+=dx dx x q x r C dx x q y )(exp )()(exp 求解。
3 当r (x)≡0时，方程(1)是Bernoulli 方程，也可以求解。
4 当里卡蒂方程的形式为22xb y x l ay dx dy +=+ (2) 时，可利用变量替换z=xy,将方程(2)化为变量可分离的方程b z l az dxdz x +++-=)1(2可以用分离变量法求解。
5 若已知里卡蒂方程的一个特解，则可求得它的通解。
令y=φ(x)是里卡蒂方程的一个特解，令y=u+φ(x)代入方程(1)得：)()]()[()]()(2)[()(''22x r x u x q x u x u x p x u +++++=+ϕϕϕϕ因为y=φ(x)是里卡蒂方程的特解，所以代入得：)()()()()()('2x r x x q x x p x ++=ϕϕϕ所以2)()]()()(2['u x p u x q x x p u ++=ϕ这是一个Bernoulli 方程可以求解；或者令z=1/u)()]()()(2['x p z x q x x p z -+-=ϕ这是一阶线性微分方程，我们可以求出它的通解z=Φ(x,C),然后通过变换u=1/z 以及y=u+φ(x),可得里卡蒂方程的通解。
riccati方程解法
Riccati方程的解法有多种，其中包括变量替换法、数值方法和初等积分法等。
1.变量替换法：将Riccati方程转化为线性二阶常微分方程。
例如，通过变换
y = -v'/v，可以将Riccati方程转化为二阶常微分方程v'' - (b - 1/2)v + (c - 1/4)v^3 = 0。
然后，可以使用常见的线性二阶常微分方程的解法来求解。
2.数值方法：使用数值方法求解Riccati方程。
数值方法可以通过将微分方程
转化为差分方程，然后使用数值迭代方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法等）进行逐步计算来获得数值解。
3.初等积分法：如果知道Riccati方程的一个特解，可以使用初等积分方法求
出通解。
设Riccati方程一个特解y∗=y1，令y=z+y1，则Riccati方程转化为dzdx=[2P(x)y1+Q(x)]z+P(x)z2。
这是一个伯努利方程，可求出通解，再代入y=z+y1即可。
以上是Riccati方程的三种常见解法，可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
谈几种Riccati方程的特解及解法
谈几种Riccati方程的特解及解法作者：高金萍来源：《中国教育与教学研究》2013年第05期【摘要】本文对于有些Riccati方程，根据其系数函数的特殊内在关系，借助初等变换，讨论了其求解问题。
【关键词】Riccati方程；特解；Bernoulli方程；行列式；初等变换On the Solving methods for some kinds of Riccati equationGao Jin-ping【Abstract】this essay mainly discusses the solving methods some kinds of Riccati equations according to the special inner relations of their coefficient functions and the usage of elementary transformation.【Key words】Riccati Equation； Particular Solution； Bernoulli Equation； Determinant；Elementary Transformation.一、引言由牛顿（Newton，1642-1727）和莱不尼兹（Lenbinz，1646-1716）所创立的微积分，是人类科学史上重大的发现，而微积分的产生与发展，和人们求解微分方程有密切关系。
所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程。
在物理学、化学、生物学、工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程，这说明，微分方程的确有十分广泛的应用。
一般的微分方程不一定有初等解法，如曾Bessel方程就没有初等解法，对于形式上十分简单的Riccati方程dydx =P（x） y2+Q（x） y+R（x）（1）其中P（x）、 Q（x）、 R（x）∈c[a，b]， P（x）≠0。
一类Riccati方程解的性质
摘要： 对不能应用初等积分法求解的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 ， 研究解的存在唯一性 、 解 的最大存在 区间的有界性及 积分 曲线 的单 调性和 凹凸性 ， 最后应用 Ｂ ｅ ｎｏ ｒ ｕ ｌ ｌ ｉ 方程求解 出这类 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程的通解． 关键 词 ： Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 ；通解 ； 性质 ；Ｂ ｅ ｎｏ ｒ ｕ ｌ ｌ ｉ 方程 中图分类号 ： Ｏ １ ７ ５ ． Ｉ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： ２ ０ ９ ６— ３ １ ２ ２ （ ２ ０ １ ７ ）０ ２— ０ ０ ４ ３—０ ４
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ３ ０ ７ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ２ ０ ９ ６—３ １ ２ ２ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ２ ． ０ ９
０引 言
在常微 分方 程 中 ， 有很 多方 程并 不能 用初 等解 法求解 ． 例 如形式 上 很简 洁 的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｉ微分 方程 ｆ
引用本文格式 ： 凌云 ， 李满枝． 一类 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程解 的性质 ［ Ｊ ］ ． 海南热带海洋学院学报 ， ２ ０ １ ７ ， ２ ４ （ ２ ） ： ４ ３— ４ ６
Байду номын сангаас
一
类Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 解 的性 质
凌 云 ， 李满枝
（ １ ． 海南师范大学 数学与统计学院 ， 海 口５ ７ １ １ ５ ８ ； ２ ． 海南省数学研究 中心 ， 海 口５ ７ １ １ ５ ８ ）
通信作 者 ： 李 满枝 （ １ ９ ７ ９一） ，女 ， 新疆伊犁人 ，海南师范大学数学与统计学院 副教授 ， 硕 士。 研 究方 向为微分方程和 数
值模拟．
二次Riccati方程研究综述
二次Riccati方程研究综述刘玉堂;辛祥鹏【摘要】本文首先介绍了Riccati方程的基本情况,包括研究的部分成果和重要意义.然后按国内和国际两类文献陈述了从2014年至今Riccaiti方程的研究进展.对这两类文献又从方程本身的性质、可积性、精确解、数值解、定性理论和Riccati 方程的应用等角度分别介绍了国内外的研究情况.从中可以看出,求解仍是学者们研究Riccati方程工作的重点,对它的应用主要是寻求其他微分方程的精确解,实际应用方面的工作较少.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(030)003【总页数】7页(P21-27)【关键词】二次Riccati方程;精确解;解的性质;Riccati方程的应用【作者】刘玉堂;辛祥鹏【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城 252059;聊城大学数学科学学院,山东聊城 252059【正文语种】中文【中图分类】O175.21724年, 研究声学的威尼斯人Jacopo Francesco Riccati(1676-1754)伯爵考虑曲率半径只依赖于纵坐标的曲线时得到二阶常微分方程, 作变量替换后,得到一阶方程xm=+,然后他假定q是x的幂函数,例如xn, 从而化成+=nxm+n-1. Bernoulli 们曾研究过可以用变量分离法求解的一些Riccati方程.在常微分方程早期历史上,Riccati的工作值得重视, 不仅由于他处理了二阶微分方程, 还因为他有了将二阶微分方程化为一阶方程的想法. 1763年D′Alembert最先考虑了Riccati方程的一般形式其中p(x)r(x)≠0、q(x)为自变量x的任意连续函数,而且对这种形式采用了“Riccati方程”这一名称[1].秦元勋指出：Danniel Bernoulli曾研究过如下形式的Riccati方程+y2=1+，当v是整数时，这个方程有两个特解Riccati本人给出Riccati方程的求解方法，只要知道它的一个特解Y(x)，则引入z(x)=y(x)-Y(x)，可得Bernoulli方程Riccati还给出，如果知道Riccati方程的两个特解y1(x)，y2(x)，则由及可有即通解可写成其中c是常数。
离散代数riccati方程 lmi
离散代数riccati方程 lmi离散代数Riccati方程与LMI引言离散代数Riccati方程（Discrete Algebraic Riccati Equation）是控制论和系统科学中的一个重要问题。
它可以通过线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）来表示和求解。
在本文中，我们将介绍离散代数Riccati方程与LMI之间的关系，探讨其应用和解决方法。
离散代数Riccati方程简介离散代数Riccati方程是一类特殊的代数方程，形式如下：X=A T XA−A T XB(R+B T XB)−1B T XA+Q其中，X是未知矩阵，A和B是已知矩阵，Q和R是给定的对称矩阵。
Riccati方程的求解对于控制系统的稳定性和性能分析具有重要意义。
线性矩阵不等式（LMI）线性矩阵不等式是描述矩阵约束条件的不等式。
LMI的一般形式如下：F(X)≼0其中，X 是待求矩阵，F (X ) 是关于 X 的线性函数。
LMI 的解集合可以表示为一组矩阵的集合。
Riccati 方程与LMI 的关系Riccati 方程和LMI 之间存在紧密的关系。
事实上，离散代数Riccati 方程可以转化为一个LMI 问题。
通过引入新的变量和约束，可以将Riccati 方程重新表述为LMI 形式，进而可以使用现有的LMI 求解方法来求解Riccati 方程。
具体而言，我们定义下面的矩阵和变量：X =[X 11X 12X 21X 22], Z =[X 11X 12X 21X 22]T F (X )=[X 11−A T X 11A +Q X 11A −X 12+A T X 21⋆X 22−R] 其中，⋆ 表示可以任意取值的元素。
通过对矩阵 F (X ) 的约束条件进行推导和求解，可以得到Riccati 方程的解。
Riccati 方程的求解方法Riccati 方程是一个重要的非线性方程，其求解是一个复杂的问题。
从对称到单参数李变换群的定义
从对称到单参数李变换群的定义收稿日期：2017-08-31基金项目：河套学院自然科学青年项目“无穷维Hamilton 系统属性的研究”（HYZQ201637）作者简介：贾利东（1984-），男，汉族，内蒙古凉城人。
硕士，河套学院助教。
研究方向：计算数学。
19世纪挪威数学家Sophus Lie 在Galois 群理论的影响下，提出连续群的定义，即为李群。
单参数李变换群是一种特殊的李群，它对于求解微分方程有着非常重要的作用。
如：若一个常微分方程在单参数李变换群作用下是不变的，则其阶数可以降低一阶。
初学者对单参数李变换群的定义会提出以下问题：对称—群—变换群—单参数变换群—单参数李变换群这些定义之间有何关系呢？为了弄清楚这个问题，本文的思路是阐述由对称到单参数李变换群的来龙去脉。
一、由对称到群毕达哥拉斯认为，图形中最美的是圆形和球形，这是因为圆形和球形具有最完美的对称。
研究图形对称的方法是对称变换φ，它的数学描述：φ是指非空集合S 到S 的一一映射，并且在变换之后，S 中任意两点之间的距离保持不变。
设正三角形的中心为O ，三条边上的垂直平分线分别为l 1，l 2，l 3，则平面上关于I i 的反射τi 把正三角形变成与它自己重合的图形（i=1，2，3）；平面上绕点O 的转角分别为0度，120度，240度的γ1，γ2，γ3也能把正三角形变成与它自己重合的图形。
正三角形的所有对称变换组成一个集合记为A=τ1，τ2，τ3，γ1，γ2，γ3{}，在这个集合上规定对称变换的乘法，满足以下四个条件：①封闭性。
即A 中任意两个元素的乘积仍在该集合之中；②结合律。
即中A 任意三个元素都满足结合律；③单位元。
即中A 的对称变换γ1；④逆元。
即A 中对称变换的逆变换。
从这个例子及大量类似的例子抽象出群的定义。
于是群的定义就产生了，即：定义：设一个非空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算，若满足：①封闭性：对∀a ，b ∈G ，有ab ∈G ；②结合律：对∀a ，b ，c ∈G ，有（a ·b ）·c=a ·（b ·c ）；③存在单位元e 使对∀a ∈G 有e ·a=a ·e=a ；④对∀a ∈G 有逆元a -1使a -1·a=a ·a -1=e ，则称G 是一个群。
单参数变换群和场
单参数变换群和场引言：单参数变换群和场是现代物理学中重要的概念，它们在描述物理系统的变换和场的性质方面具有重要的应用。
本文将详细阐述单参数变换群和场的定义、特性和应用，探讨其在物理学中的重要性和意义。
一、单参数变换群的定义和特性1.1定义：单参数变换群是指由一组变换构成的集合，其中每个变换都可以通过一个参数来描述，并且满足封闭性和结合律。
1.2特性：单参数变换群具有以下特性：（1）可逆性：每个变换都有一个逆变换，能够将系统从一个状态变换回原始状态。
（2）结合律：对于任意三个变换A、B和C，它们的复合变换满足(A*B)*C=A*(B*C)，即变换的顺序不影响最终的结果。
（3）单位元：存在一个单位变换，它对任何变换的复合都没有影响。
（4）封闭性：任意两个变换的复合仍然是该变换群中的变换。
二、单参数变换群的应用2.1对称性和守恒量：单参数变换群在物理学中的应用主要体现在对称性和守恒量的研究中。
对称性是指物理系统在变换下具有不变性，而守恒量是由对称性导致的物理量不变。
2.2对称群和守恒定律：单参数变换群可以用来描述物理系统的对称性，不同的对称群对应着不同的守恒定律。
例如，时间平移对称性对应着能量守恒定律，空间平移对称性对应着动量守恒定律，旋转对称性对应着角动量守恒定律。
2.3变换群和场的动力学：单参数变换群还可以用来描述物理场的动力学行为。
例如，电磁场可以通过电荷的变换群来描述，强子场可以通过色荷的变换群来描述。
通过研究变换群的性质，可以推导出场的动力学方程，进一步揭示物理场的本质和行为。
三、单参数变换场的定义和性质3.1定义：单参数变换场是指在空间和时间中均有变化的场，它可以通过变换群来描述。
单参数变换场包括标量场、矢量场和张量场等。
3.2性质：单参数变换场具有以下性质：（1）变换规则：单参数变换场在变换下会发生变化，其变换规则由变换群的性质决定。
（2）不变性：某些物理场在特定的变换下保持不变，称为场的不变性。
已知特解的Riccati方程解法的教学探究
Ｐ （ ｘ ） ｙ ＋ Ｑ （ ｘ ） ｙ ＋ Ｒ（ ｘ ）
（ ２ ）
ｄＸ
进一步假设Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 （ １ ） 方 程的通解为ｙ ＝ ｙ ＋ ｕ ， Ｉ Ｉ 为未知函数 ， 代人Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程知 ：
ｕ ｄ
＋
：
ｃ ａ ｔ ｉ 方程可化为Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 方程求解 。 即知道一个或ｎ 个特 解 的情形 下可以求 出Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程的解 。加上柯西初值 问题 的提 出， 常微分方程从求 通解转 向求定解时代１ ２ ］ 。 尽 管求一般 的Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 的通解 比较 困难 ，但 对
限次代数运算而得到 ，但是他证 明了特殊类 型的Ｒ ｉ ｃ —
ｙ＝ｙ＋—————————— ———————一
一
ｆ Ｐ （ ｘ ） ｅ ‘
。 ‘ ’ ＋ Ｃ
其 中Ｃ 为任意常数 。 证明： 假设 ｙ 是Ｒ ｉ ｃ ｅ ａ ｔ ｉ 方程 的一个 已知特解 ， 则有 ：
４ ０ １ ３ ３ １ ）
摘要 ： 通过求 已知特解 的Ｐ ｄ ｃ ｃ ａ ｌ ｒ 方程的通解使 学生 了解常微分方程历 史 ， 增 强学生 学习兴趣 ， 巩 固学生所
学知 识 。
关键词 ： Ｒｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 ； Ｂ ｅ ｎｏ ｒ ｕ ｌ ｌ ｉ 方 程 中 图分 类 号 ： Ｇ６ ４ ２ ． ４
ｆ （ ２ ｙ Ｐ （ ｘ ） ＋ Ｑ （ ｘ ） ） ｄ ｘ
ｅ
的有关常数变异法 的相关 知识。 该方程 由意大利 学者Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 提 出来 ，虽然Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 （ 见下 面方 程 （ １ ） ） 看起来 形 式非 常简单 ， 但 曾被 邀请去彼得堡任 科学院院长 的Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 也仅仅讨论过该 方 程 的一 些特 例 ，并 未 给出解 法 ，这 些特 例后 来被 Ｂ ｅ ｎｏ ｒ ｕ ｌ ｌ ｉ 兄 弟 成 功 解 出 ，且 在 这 个 过 程 中 Ｊ ａ ｍ ｅ ｓ Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 还推导 出跟踪 曲线方程并 提出Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 方程 。 １ ８ ４ １ 年法 国数学 家Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 证 明 了Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程在 一般 情形 下 ， 他 的解不 能用初等 函数 的有限次积 分 以及有
从对称到单参数李变换群的定义
从对称到单参数李变换群的定义作者：贾利东，王慧，斯琴来源：《教育教学论坛》 2018年第14期摘要：单参数李变换群是一种特殊的李群，它在求解微分方程方面有着广泛的应用。
通过对对称—群—变换群—单参数变换群—单参数李变换群这些定义之间的分析，进而可以看出从对称到单参数李变换群定义的自然性。
关键词：对称；变换群；李变换群中图分类号：O13 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）14-0200-0219世纪挪威数学家Sophus Lie在Galois群理论的影响下，提出连续群的定义，即为李群。
单参数李变换群是一种特殊的李群，它对于求解微分方程有着非常重要的作用。
如：若一个常微分方程在单参数李变换群作用下是不变的，则其阶数可以降低一阶。
初学者对单参数李变换群的定义会提出以下问题：对称—群—变换群—单参数变换群—单参数李变换群这些定义之间有何关系呢？为了弄清楚这个问题，本文的思路是阐述由对称到单参数李变换群的来龙去脉。
一、由对称到群毕达哥拉斯认为，图形中最美的是圆形和球形，这是因为圆形和球形具有最完美的对称。
研究图形对称的方法是对称变换φ，它的数学描述：φ是指非空集合S到S的一一映射，并且在变换之后，S中任意两点之间的距离保持不变。
单参数李变换群的定义（5），（6 ），（7 ）主要说明该群具有微积分的特征，即该群既有代数的特征又有微积分的特征，从而在解决微分方程时发挥着无穷的力量。
五、结语至此本文完整的解决了对称，群，变换群，单参数变换群，单参数李变换群，这些概念之间的关系。
从而使学习者认识到单参数李变换群也是非常自然的。
参考文献：[1]Olver P.J.Applications of Lie Groups to Differential Equations[M].Second Edition,Springer -Verlag,New York,1993.[2]Blumen G W,Kumei S.Symmetries and Differential Equations[M].NewYork:Springer,1989.[3]杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[4]丘维声.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2004.[5]吴妙玲,单妍炎.从对称到群的定义[J].内蒙古工业大学学报,2013,32(4).。
函数变换法在riccati方程求解中的应用
函数变换法在riccati方程求解中
的应用
函数变换法是一种求解Riccati方程的常用方法。
它将待求解的非线性方程化为一个具有特殊形式的线性矩阵方程，从而可以使用矩阵分解进行求解。
Riccati方程通常表示为： $$ \frac{dx}{dt} = Ax + x^2 + B $$
其中A和B是已知矩阵，x是未知函数。
首先，我们将原始的非线性Riccati方程变换为一个矩阵方程：$$ \frac{dY}{dt} = CY + D, $$
其中Y是定义在$y=x+Ax$之后的新变量，C和D是相应的已知矩阵。
这样，我们就可以使用矩阵分解求解此方程，并根据求解结果恢复出原始Riccati方程的未知函数x。
黎卡提方程与最优控制
T
1 2
tf
[ x ( t ) Q ( t ) x ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )]dt
T T
t0
证明：
H 1 2 x ( t )Q ( t ) x ( t )
T
1 2
u (t ) R (t )u (t ) (t ) A(t ) x (t ) (t ) B (t )u (t )
T T T
由于u(t)不受约束，所以极小值条件是哈密顿函数对 u(t)取条件极小，根据驻值条件
H u
R (t )u (t ) B (t ) (t ) 0
T 1
u (t ) R
(t ) B (t ) (t )
T
由于R ( t ), ( t ) 是伴随变量，实际系统中不存在，自然也检测不到，工程中 很难实现，所以我们把u(t)表示成x(t)的函数
T
T
欧拉方程
(t ) H x H u
(t f )
0
x (t f ) x (t f )
横截条件
(t f )
引入哈密顿函数后，似的极值必要条件的两个正则 方程
最优控制问题
• 1.满足正则方程
x (t ) H (t ) H x
泛函的变分
J ( x ) J ( x x ) J ( x ) L ( x , x ) r ( x , x )
泛函极值
• 设J(x)是线性赋泛空间 R上的连续泛函，在x0 处可微，其变分为 J ( x
0
,x )
J ( x 0 , x )
riccati方程 b. 摇摆方程 c. levine-athans 方程 d. 输出方程
首先，我们需要了解这四个方程各自的定义和特性。
1.Riccati方程：Riccati方程是一个二阶线性微分方程，通常用于控制理论和滤波器设
计。
它的一般形式是：
(y''(t) + a(t)y'(t) + b(t)y(t) = 0)
其中，(a(t)) 和 (b(t)) 是时间 t 的函数。
2.摇摆方程：摇摆方程（也称为摆动方程或振动方程）描述的是一个物理系统在受到
某种力（如重力）作用下的运动。
一个常见的形式是：
(m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg\sin y)
其中，m 是质量，g 是重力加速度，y 是位移。
3.Levine-Athans 方程：Levine-Athans 方程是一个用于解决库存问题的数学模型。
它
描述了在一定时间内库存如何变化，通常用于供应链管理和生产计划。
4.输出方程：输出方程通常用于描述一个系统的输出与输入或其他系统参数之间的关
系。
具体的方程形式取决于系统的特性和需求。
综上所述，这四个方程各自描述了不同的物理现象或系统行为，没有一个是另一个的简写或特例。
因此，它们之间没有直接的关系或相似性。
Riccati方程解的非线性叠加公式及其应用
Riccati方程解的非线性叠加公式及其应用套格图桑【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》【年(卷),期】2011(040)003【摘要】给出Riccati方程解的非线性叠加公式,借助符号计算系统Mathematica,构造了带强迫项变系数组合KdV方程的无穷序列复合型精确解、无穷序列类孤子解和无穷序列三角函数解.%The nonlinear superposition formula of the solutions to Riccati equation are given,then exact infinite sequence complexiton solutions including infinite sequence soliton-like solutions and triangular function solutions of the variable coefficients combined KdV equation with forcible term are obtained with the aid of symbolic computation system Mathematica.【总页数】6页(P217-222)【作者】套格图桑【作者单位】内蒙古师范大学,数学科学学院,内蒙古,呼和浩特,010022【正文语种】中文【中图分类】O175.29【相关文献】1.基于微分Riccati方程解的非线性指数型降维观测器 [J], 朱芳来2.两类扩展KP方程的B(a)cklund变换与解的非线性叠加公式 [J], 单鸿丽;斯仁道尔吉3.Manin-Radul超对称KdV方程的贝克隆变换和非线性叠加公式及其离散化 [J], 夏爱玲;薛玲玲4.Benjamin方程的B cklund变换、非线性叠加公式及无穷守恒律 [J], 张鸿庆;张玉峰5.基于Riccati方程解的非线性降维观测器 [J], 朱芳来;韩正之因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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Ｒｉｅ ｔ方 程 的 一 个 重 要 任 务 。 本 文 主 要 从 单 参 数 ｅ ａｉ
变 换 群 方 法 对 Ｒｉｃｔ 方 程 进 行 研 究 ， 出 了 单 参 ｅ ａｉ 给 数 变 换 群 作 用 下 Ｒｉｅ ｔ ｅ ａｉ方 程 不 变 性 的 条 件 以 及 经 典 坐标 下 的约化 方程 。
称 （ １ 式 为 单 参 数 变 换 群 ， 记 为 ＯＰ ２． ） 简 Ｇ。
［ 收稿 日期 ］２ １ —０ ０ １ ８—２ ９
［ 作者 简介］韦玉程 （ ９６一 ， ， １６ ） 男 广西凤 山人 ， 河池学院数 学系副教授 。
第６ 期
韦玉程 ， 韦胜英 ： 单参数变换群在 Ｒｃａ 方程中的应用 ｉ ｔ ｃｉ
［ 关键 词］ 单参数变换群 ； ｉ ａｉ Ｒ ｃ ｔ方程 ； 穷小形 式； ｃ 无 经典坐标
［ 中图分类号 ］０ ７ ． １５ １ ［ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号 ］１７ —８ １ （０ １ ０ ０ １ ０ ６ ３ ３ ４ ２ １ ）６— ０ ２— ４
化 为形 如 ：
Ｌｅ群 是 １ ｉ ８世 纪 末 期 由 挪 威 数 学 家 Ｍ． ． ｉ Ｓ Ｌｅ
第２ ６卷 第 ６期
Ｖ０ ＿ ６ Ｎ０ ６ ｌ２ ．
钦
州
学
院
学
报
２１ ０ １年 １ ２月
１ ｅ． ． ）ｅ ２０１１
Ｊ Ｒ Ｌ ＯＦＱ［ ＨＯＵ ＵＮ ＶＥ ＳＴ ＯＵ ＮＡ ＮＺ Ｉ Ｒ ＩＹ
单 参 数 变 换 群 在 Ｒｉ ｔ ｉ方 程 中 的 应 用 ｃａ ｃ
它 的 一 般 形 式 ， 首 先 称 之 为 “ ｅ ａｉ 程 ”。 在 并 Ｒｉｃ ｔ 方
１ 预 备 知 识
定 义 １ 在 一， １＝ｇ（ ， ， ） ， ｙ， ｙ ） ，
（ 一∞ ＜８ ＜＋ ∞ ） （．） ２ １
ｙ （ ， 通 过 变 换 ｙ＝ｙ （ ＋Ｗ～ ， 程 （ ． ） 。 ） 则 。 ） 方 １１ 可
“ 积 ”（ 次 变 换 合 成 ：（ ））一 （ ， 乘 两 ，， Ｙ ）一
（ ，２ ） ： ２ ｙ ） 为
２＝， ， ＋６） Ｙ （ Ｙ， ， ２＝ｇ（ Ｙ， ， 占＋６ ）。
（ ２） 一８表 示 逆 变 换 ， 即
＝ １ｙ ，一 ） ， ＝ｇ（ ， １ ，ｌ ｙ １ Ｙ ，一 占） ，
（ ） 两 个 变 换 的 如 下 定 义 “ 积 ” 封 闭 的 且 满 ３ 乘 是
足 结 合 律 。令
２＝ １ｙ ， ｙ ／ ，ｌ ），２：ｇ（ ，１ ６ ， １ｙ ， ）
若 其 满 足 ： １ ＝０表 示 恒 等 变 换 ， （） 即
＝
Ｉ ， ０）， 厂 ｙ， （ Ｙ＝ｇ（ ｙ， ， ０）
许 多 物 理 和 工 程 应 用 以 及 控 制 论 中 ， Ｒｅ ａｉ方 解 ｅｔ 程 是 一 个 重 要 的 任 务 。 然 而 ， ８ １年 Ｌｏ ｖｌ １４ ｉｕ ｉｅ证 ｌ 明 了这 样 的 一 个 事 实 ： 了 某 些 特 殊 情 形 外 ， 方 除 就 程 （ ． ）， 一 般 的 函 数 Ｐ（ １１ 对 ）， （ （ ｑ ）， ）， 程 方
［ ２］。其 它 的 应 用 也 可 参 见 文 献 ［ － ６］ ３］ ［ 。
如 下 形 式 的 方 程 称 为 Ｒｉｃ ｔ 方 程 ｅ ａｉ Ｙ ＋Ｐ（ ｙ ＝ ｑ ） ＋ （ Ｙ ） （ ） ， （．） １ １
其 中 Ｐ（ ）、ｑ ）、 （ （ ）是 某 个 区 间 内 的 已 知 一 阶可 微 函数 ， （ 且 ）≠０。Ｒｉｅ ｔ 方 程 在 常 ｅ ａｉ 微 分 的早 期发 展 中引 起 很 大 的注 意 ， 大 利 数 学 意 家 Ｒ ｅ ａｉ １ ２ ｉｃ ｔ 在 ７ ４年 给 出 了 它 的 特 殊 形 式 ， 来 后 引 起 许 多 学 者 的 研 究 。Ａ ｅ ｅｔ １ ６ ｌｍｂ ｒ 在 ７ ３年 给 出 了
ｌ ３
定 义 ２ 在 （ ． ） 中 ， 占 ：０附 近 将 ， ， ２ １式 在 （
（ ． ） 通 解不 可 能 用 初 等 函数 或 初 等 函数 的积 １ １其 分 给 予 表 示 。 因 此 ， ｅ ａｉ方 程 的 求 解 问 题 变 Ｒｉｅ ｔ
成 相 当 的 困 难 ， 却 是 十 分 有 意 义 的 问 题 。 对 于 但 ｔｉｅ ｔ方 程 （ ．１）若 能 够 找 到 它 的 一 个 特 解 ｌｅ ａｉ １
创 建 发 展 起 来 的 ， 了 今 天 ， 在 微 分 方 程 研 究 中 到 它
＋ ［ （ ｙ （ ２ ） 。 ） 一Ｐ（ ） Ｗ ＝一 （ 戈 ］ ） 可 解 的 一 阶 线 性 微 分 方 程 』 所 以 寻 找 各 种 ， 不 同 形 式 的 Ｒｉｅ ｔ ｅ ａｉ方 程 的 一 个 特 解 就 成 为 解
的 重 要 作 用 引 起 了越 来 越 受 到 众 多 物 理 学 家 和 数
学 家 的 关 注 和 重 视 ， 在 理 论 和 实 际 应 用 研 究 中 并 不 断 得 以 发 展 。关 于 Ｌ ｅ群 方 面 的 比 较 系 统 内容 ｉ 和 一 些 重 要 的 应 用 可 见 Ｏ ｖ ｒ 的 ［ 及 田 畴 的 ｌｅ １］
韦玉 程 ，韦胜 英
（ 河池 学院 数学 系 ，广西 宜州 ５６ ０ ） ４ ３０
［ 摘
要 ］ 使用 单参数变换群 为工具对 Ｒ ｃａｉ ｉ ｔ方程进行研 究。在给定 的单参数 变换群 的作用下讨论 了具 ｅ
有 一阶可微 系数的 Ｒ ｃａｉ ｉ ｔ方程 的形 式不变性条件 ， ｃ 同时也得到 了单参 数变换群 作用下 的无 穷小 形式 、 经典 坐标 及其 约化方程。