单参数变换群在Riccati方程中的应用

Ｒｉｅ ｔ方 程 的 一 个 重 要 任 务 。 本 文 主 要 从 单 参 数 ｅ ａｉ
变 换 群 方 法 对 Ｒｉｃｔ 方 程 进 行 研 究 ， 出 了 单 参 ｅ ａｉ 给 数 变 换 群 作 用 下 Ｒｉｅ ｔ ｅ ａｉ方 程 不 变 性 的 条 件 以 及 经 典 坐标 下 的约化 方程 。
称 （ １ 式 为 单 参 数 变 换 群 ， 记 为 ＯＰ ２． ） 简 Ｇ。
［ 收稿 日期 ］２ １ —０ ０ １ ８—２ ９
［ 作者 简介］韦玉程 （ ９６一 ， ， １６ ） 男 广西凤 山人 ， 河池学院数 学系副教授 。
第６ 期
韦玉程 ， 韦胜英 ： 单参数变换群在 Ｒｃａ 方程中的应用 ｉ ｔ ｃｉ
［ 关键 词］ 单参数变换群 ； ｉ ａｉ Ｒ ｃ ｔ方程 ； 穷小形 式； ｃ 无 经典坐标
［ 中图分类号 ］０ ７ ． １５ １ ［ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号 ］１７ —８ １ （０ １ ０ ０ １ ０ ６ ３ ３ ４ ２ １ ）６— ０ ２— ４
化 为形 如 ：
Ｌｅ群 是 １ ｉ ８世 纪 末 期 由 挪 威 数 学 家 Ｍ． ． ｉ Ｓ Ｌｅ
第２ ６卷 第 ６期
Ｖ０ ＿ ６ Ｎ０ ６ ｌ２ ．
钦
州
学
院
学
报
２１ ０ １年 １ ２月
１ ｅ． ． ）ｅ ２０１１
Ｊ Ｒ Ｌ ＯＦＱ［ ＨＯＵ ＵＮ ＶＥ ＳＴ ＯＵ ＮＡ ＮＺ Ｉ Ｒ ＩＹ
单 参 数 变 换 群 在 Ｒｉ ｔ ｉ方 程 中 的 应 用 ｃａ ｃ
它 的 一 般 形 式 ， 首 先 称 之 为 “ ｅ ａｉ 程 ”。 在 并 Ｒｉｃ ｔ 方
１ 预 备 知 识
定 义 １ 在 一， １＝ｇ（ ， ， ） ， ｙ， ｙ ） ，
（ 一∞ ＜８ ＜＋ ∞ ） （．） ２ １
ｙ （ ， 通 过 变 换 ｙ＝ｙ （ ＋Ｗ～ ， 程 （ ． ） 。 ） 则 。 ） 方 １１ 可
“ 积 ”（ 次 变 换 合 成 ：（ ））一 （ ， 乘 两 ，， Ｙ ）一
（ ，２ ） ： ２ ｙ ） 为
２＝， ， ＋６） Ｙ （ Ｙ， ， ２＝ｇ（ Ｙ， ， 占＋６ ）。
（ ２） 一８表 示 逆 变 换 ， 即
＝ １ｙ ，一 ） ， ＝ｇ（ ， １ ，ｌ ｙ １ Ｙ ，一 占） ，
（ ） 两 个 变 换 的 如 下 定 义 “ 积 ” 封 闭 的 且 满 ３ 乘 是
足 结 合 律 。令
２＝ １ｙ ， ｙ ／ ，ｌ ），２：ｇ（ ，１ ６ ， １ｙ ， ）
若 其 满 足 ： １ ＝０表 示 恒 等 变 换 ， （） 即
＝
Ｉ ， ０）， 厂 ｙ， （ Ｙ＝ｇ（ ｙ， ， ０）
许 多 物 理 和 工 程 应 用 以 及 控 制 论 中 ， Ｒｅ ａｉ方 解 ｅｔ 程 是 一 个 重 要 的 任 务 。 然 而 ， ８ １年 Ｌｏ ｖｌ １４ ｉｕ ｉｅ证 ｌ 明 了这 样 的 一 个 事 实 ： 了 某 些 特 殊 情 形 外 ， 方 除 就 程 （ ． ）， 一 般 的 函 数 Ｐ（ １１ 对 ）， （ （ ｑ ）， ）， 程 方
［ ２］。其 它 的 应 用 也 可 参 见 文 献 ［ － ６］ ３］ ［ 。
如 下 形 式 的 方 程 称 为 Ｒｉｃ ｔ 方 程 ｅ ａｉ Ｙ ＋Ｐ（ ｙ ＝ ｑ ） ＋ （ Ｙ ） （ ） ， （．） １ １
其 中 Ｐ（ ）、ｑ ）、 （ （ ）是 某 个 区 间 内 的 已 知 一 阶可 微 函数 ， （ 且 ）≠０。Ｒｉｅ ｔ 方 程 在 常 ｅ ａｉ 微 分 的早 期发 展 中引 起 很 大 的注 意 ， 大 利 数 学 意 家 Ｒ ｅ ａｉ １ ２ ｉｃ ｔ 在 ７ ４年 给 出 了 它 的 特 殊 形 式 ， 来 后 引 起 许 多 学 者 的 研 究 。Ａ ｅ ｅｔ １ ６ ｌｍｂ ｒ 在 ７ ３年 给 出 了
ｌ ３
定 义 ２ 在 （ ． ） 中 ， 占 ：０附 近 将 ， ， ２ １式 在 （
（ ． ） 通 解不 可 能 用 初 等 函数 或 初 等 函数 的积 １ １其 分 给 予 表 示 。 因 此 ， ｅ ａｉ方 程 的 求 解 问 题 变 Ｒｉｅ ｔ
成 相 当 的 困 难 ， 却 是 十 分 有 意 义 的 问 题 。 对 于 但 ｔｉｅ ｔ方 程 （ ．１）若 能 够 找 到 它 的 一 个 特 解 ｌｅ ａｉ １
创 建 发 展 起 来 的 ， 了 今 天 ， 在 微 分 方 程 研 究 中 到 它
＋ ［ （ ｙ （ ２ ） 。 ） 一Ｐ（ ） Ｗ ＝一 （ 戈 ］ ） 可 解 的 一 阶 线 性 微 分 方 程 』 所 以 寻 找 各 种 ， 不 同 形 式 的 Ｒｉｅ ｔ ｅ ａｉ方 程 的 一 个 特 解 就 成 为 解
的 重 要 作 用 引 起 了越 来 越 受 到 众 多 物 理 学 家 和 数
学 家 的 关 注 和 重 视 ， 在 理 论 和 实 际 应 用 研 究 中 并 不 断 得 以 发 展 。关 于 Ｌ ｅ群 方 面 的 比 较 系 统 内容 ｉ 和 一 些 重 要 的 应 用 可 见 Ｏ ｖ ｒ 的 ［ 及 田 畴 的 ｌｅ １］
韦玉 程 ，韦胜 英
（ 河池 学院 数学 系 ，广西 宜州 ５６ ０ ） ４ ３０
［ 摘
要 ］ 使用 单参数变换群 为工具对 Ｒ ｃａｉ ｉ ｔ方程进行研 究。在给定 的单参数 变换群 的作用下讨论 了具 ｅ
有 一阶可微 系数的 Ｒ ｃａｉ ｉ ｔ方程 的形 式不变性条件 ， ｃ 同时也得到 了单参 数变换群 作用下 的无 穷小 形式 、 经典 坐标 及其 约化方程。