2014届奥赛班物理测试题

物理竞赛练习题姓名 学号 得分说明:共九道题，总分160分。

答题时间：180分钟一、（15分）如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h 。

轨道上有两个物体A 和B ，它们通过一根绕过定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接。

物体A 在下面的轨道上以匀速率v 运动。

在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO 段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P 与绳子分离，设绳长BO 远大于滑轮直径，求：1、小水滴P 脱离绳子时速度的大小和方向；2、小水滴P 离开绳子落到下面轨道所需要的时间。

二、（15分）一电流表，其内阻Rg=10.0Ω，如果将它与一阻值R 0=44990Ω的定值电阻串联，便可成为一量程U 0=50V 的电压表。

现把此电流表改装成一块双量程的电压表，两个量程分别为U 01=5V 和U 02=10V 。

当用此电压表的5V 挡去测量一直流电源两端的电压时，电压表的示数为4.50V ；当用此电压表的10V 挡去测量该电源两端的电压时，电压表的示数为4.80V 。

问此电源的电动势为多少？三、（15分）位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd 。

ab 长为1l ，是水平的，bc 长为2l ，线框的质量为m ，电阻为R 。

其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界P P '和Q Q '均与ab 平行，两边界间的距离为H ，2l H ，磁场的磁感应强度为B ，方向与线框平面垂直，如图所示。

令线框的dc 边从离磁场区域上边界P P '的距离为h 处自由下落，已知在线框的dc 边进入磁场后，假设ab 边到达边界P P '之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。

问从线框开始下落到dc 边刚刚到达磁场区域下边界Q Q '的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为多少？H四、（15分）如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H 、内壁横截面积为S 的绝热气缸内，有一质量为m 的绝热活塞A 把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A 之间串联着两个劲度系数分别为k 1和k 2（k 1≠k 2）的轻质弹簧．A 的上方为真空；A 的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡状态，A 所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h 1 = H / 4 ．现给电炉丝R 通电流对气体加热，使A 从高度h 1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h 2 = 3H / 4 ．求此过程中气体吸收的热量△Q ．已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1 K 吸收的热量为3R / 2 ，R 为普适气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律．(活塞厚度不计)五、 （20分）两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的2倍，卫星通过近地点时的速度R GM v 4/3=，式中M 为地球质量，G 为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示）六、（20分）如图所示，在真空中有一个折射率为n （0n n ，0n 为真空的折射率）、半径为r 的质地均匀的小球。

频率为ν的细激光束在真空中沿直线BC 传播，直线BC 与小球球心O 的距离为l （r l ），光束于小球体表面的点C 点经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D 点又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小．七、（20分）如图所示，一薄壁导体球壳（以下简称为球壳）的球心在O 点．球壳通过一细导线与端电压V U 90=的电池的正极相连，电池负极接地．在球壳外A 点有一电量为C q 911010-⨯=的点电荷，B 点有一电量为C q 910162-⨯=的点电荷。

OA 之间的距离cm d 201=，OB 之间的距离cm d 402=．现设想球壳的半径从cm a 10=开始缓慢地增大到50cm ，问：在此过程中的不同阶段，大地流向球壳的电量各是多少？己知静电力恒量229109-∙∙⨯=Cm N k ．假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接触。

八、（20分）处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁时会发出一系列不同频率的光，称为氢光谱．氢光谱线的波长可以用下面的巴耳末—里德伯公式来表示⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22111n kR λ n ，k 分别表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数．3,2,1=k …，对于每一个k ，有3,2,1+++=k k k n …，R 称为里德伯常量，是一个已知量．对于1=k 的一系列谱线其波长处在紫外线区，称为赖曼系；2=k 的一系列谱线其波长大部分处在可见光区，称为巴耳末系．用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验，当用赖曼系波长最长的光照射时，遏止电压的大小为U 1，当用巴耳末系波长最短的光照射时，遏止电压的大小为U 2． 已知电子电量的大小为e ，真空中的光速为c ，试求：普朗克常量和该种金属的逸出功．九、（20分）惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的。

负电荷中心与原子核重合。

但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用。

下面我们采用一种简化模型来研究此问题。

当负电中心与原子核不重合时，若以x 表示负电中心相对正电荷（原子核）的位移，当x 为正时，负电中心在正电荷的右侧，当x 为负时，负电中心在正电荷的左侧，如图1所示。

这时，原子核的正电荷对荷外＋－ x 图1x x 1负电荷的作用力f 相当于一个劲度系数为k 的弹簧的弹性力，即f=－kx ，力的方向指向原子核，核外负电荷的质量全部集中在负电中心，此原子可用一弹簧振子来模拟。

今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，相距为R ，原子核正电荷的电荷量为q ，核外负电荷的质量为m 。

因原子间的静电相互作用，负电中心相对各自原子核的位移分别为x 1和x 2，且|x 1|和|x 2|都远小于R ，如图2所示。

此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。

众所周知，孤立谐振子的能量E=mv 2/2+kx 2/2是守恒的，式中v 为质量m 的振子运动的速度，x 为振子相对平衡位置的位移。

量子力学证明，在绝对零度时，谐振子的能量为2ωh ，称为零点振动能，π2/h = ，h 为普朗克常量，m k /=ω为振子的固有角频率。

试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量，与两个相距足够远的（可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的）惰性气体原子的能量差，并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。

可利用当|x|<<1时的近似式(1+x)1/2≈1+x/2-x 2/8，(1+x)-1≈1－x+x 2。

物理竞赛练习参考答案一、解答A 、B 两物体通过同一轻绳相连，故A 、B 两物体的运动速度沿绳方向的分速度相同，并且与P 点沿绳方向的分速度也相同。

1、如图所示，物体B 在上轨道的运动可以看成是沿绳子的运动和垂直绳子的运动（即绳子绕O 点的转动）的合成。

B 沿绳子运动的分速度v B ∥=v ，因而垂直于绳子的分速度v B ⊥=vtan θ（θ=30°）。

绳子中点小水滴P 的速度也可分解成沿着绳子的分速度和垂直绳子的分速度，即v P ∥=v ，v P ⊥=vtan α。

其中角α是v P 与BO 的夹角。

小水滴P 垂直绳子的分速度可看作绳子绕O 点的转动，因而v P ⊥= v B ⊥/2= vtan θ/2。

由此可得，63tan 21tan ==θα。

故v P 与水平方向的夹角为30°63arctan-，水滴离开绳子的速度大小为12134tan 1)2tan (22222//v v v v v v v P P P =+=+=+=⊥θθ2、由α＜30°可知，水滴P 做斜向下抛运动，考虑P 在竖直方向的分运动为初速度0Py v ，加速度为g 的匀加速直线运动，则有4)cos tan 21(sin cos sin 0vv v v v P Py =-=-=⊥θθθθθ，因而221412gt vt h +=。

由此方程可解出t （取t 为正值的解），得)16(412v gh v gt -+=。

二、解答：设电流表的量程为I g ，当电流表与定值电阻R 0串联改装成电压表时，此电压表的内阻 R'0=R g +R 0(1)由于此电压表的量程U 0=50V ，故有I g R'0=U 0(2) 由(1)、(2)两式得A 1011.1A 44990105030g 0g -⨯=+=+=R R U I (3)即电流表的量程为1mA 。

v B ⊥vBAPOαv B v Pv B ∥ v P ⊥v P ∥ h电流表改装成的双量程电压表的电路如图所示，图中R 1和R 2是为把电流表改装成双量程电压表必须串联的电阻，其值待求。

用R'1表示电压表量程U 01=5V 档的内阻，则有R'1=R g +R 1 (4)而I g R'1=U 01(5) 由(3)、(5)式得Ω105Ω10533g 011⨯===-I U R'(6) 同理得电压表量程U 02=10V 档的内阻Ω100.1Ω101043g 0221g 2⨯===++=-I U R R R R'(7) 设电源的电动势为E ，内阻为r ，当用电压表的5V 档测电源两端的电压时，电压表的示数为U 1，已知U 1=4.50V ，设此时通过电压表的电流为I 1，有U 1+I 1r=E (8) U 1=I 1R'1(9)当用电压表的10V 档测量该电源两端的电压时，电压表的示数为U 2，已知U 2=4.80V ，设此时通过电压表的电流为I 2，有U 2+I 2r=E (10) U 2=I 2R'2(11)解(8)、(9)、(10)、(11)式，并注意到(6)、(7)式得E =5.14V(12)三、解答设线框的dc 边刚到达磁场区域上边界'PP 时的速度为1v ，则有2112mv mgh = （1） 边进入磁场后，按题意线框虽然受安培力阻力作用，但依然加速下落．设dc 边下落到离'PP 的距离为1h ∆时，速度达到最大值，以0v 表示这个最大速度，这时线框中的感应电动势为10Bl v =E 线框中的电流 10Bl v I R R==E 作用于线框的安培力为22101B l F Bl I Rv == （2）速度达到最大的条件是安培力 F mg = 由此得5V 10VR g R 1R 2 A +0221mgRv B l =（3） 在dc 边向下运动距离1h ∆的过程中，重力做功1G W mg h =∆，安培力做功F W ，由动能定理得 22011122F G W W mv mv +=- 将（1）、（3）式代入得安培力做的功32214412F m g R W mg h mgh B l =-∆+- （4） 线框速度达到0v 后，做匀速运动．当dc 边匀速向下运动的距离为221h l h ∆=-∆时，ab 边到达磁场的边界'PP ，整个线框进入磁场．在线框dc 边向下移动2h ∆的过程中，重力做功G W '，安培力做功F W '，但线框速度未变化，由动能定理0F G W W ''+=221()F G W W mg h mg l h ''=-=-∆=--∆ （5）整个线框进入磁场后，直至dc 边到达磁场区的下边界'QQ ，作用于整个线框的安培力为零，安培力做的功也为零，线框只在重力作用下做加速运动。