人教版九年级数学上册知识点总结

= 0(a ≠ 0) . 其中，ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的 依据。
22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方， 另一边是非负数， 可以直接开平方。 一般地，对于形如 根据平方根的定义可解得 x1= （2） （3）
2
x2=a(a≥0)的方程，
a ,x = a .
2 2
直接开平方法适用于解形如 x =p 或(mx+a) =p(m≠0)形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零； 负数没有平方根。
2
方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般 a 化为正值
2
③求出 b -4ac 的值；
④若 b -4ac≥0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b2-4ac＜0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子 b -4ac 叫做方程 ax +bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b -4ac. △＞ 0 ，方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 △ =0，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
人教版九年级数学上册知识点总结
第二十一章 二次根式 21.1 二次根式
知识点一 二次根式的概念 (1) 一般地 ,我们把形如 号。 (2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点： ① 二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“ ” 。如
a (a≥ 0)的式子叫做二次根式。二次根式 a 的实质是一个非负数 a 的算术平方根。其中“
一般地，对二次根式的除法规定： 知识点四 商的算术平方根的性质
Hale Waihona Puke a b=a b
（a≥0，b＞0） ，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
a b
=
a b
（ a ≥0,b＞0） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
知识点五 最简二次根式 必须满足以下两个条件： （1） 被开方数不含分母； ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
2
适用范围 形如 x =p 或（mx+n）2=p(p≥0) 所有一元二次方程 所有一元二次方程 一边为 0，另一边易于分解成两个一次因 式的积的一元二次方程。
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1,x2,则有 x 1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程 a x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1 ,x2,则有 x1+x2=，
”叫做二次根
4 是二次根式，虽然 4 =2，但 2 不是二次根式。
2
②
被开方数 a 必须是非负数，即 a≥0.如 ”的根指数为 2，即“ 2
3 就不是二次根式，但式子 (3)
是二次根式。
③
“
” ，一般省略根指数 2，写作“
” ，注意，不可误认为根指数是“1”或“0” 。
提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。 知识点二 二次根式的性质 （ 1）
22.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。
2
知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax + bx + c 知识点三 一元二次方程的根
21.3 二次根式的加减
知识点一 二次根式的加减 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，二次根式加减法的实质是将被开方数相同 的二次根式合并，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变。 知识点二 二次根式的混合运算 （1） （2） 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。 在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
23.2 中心对称
知识点一 中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这 个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转 180°两个图形能够完全重合。 知识点二 作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状 连接起来，即可得出成中心对称图形。 知识点三 中心对称的性质 有以下几点： （1） （2） （3） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形； 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
2
2
2
2
一元二次方程 根的判别式
△＜ 0 ，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
22.2．3 因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方 法叫做因式分解法。 （2） ① ② ③ ④ 因式分解法的详细步骤：
a （ a≥0）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即 a ≥（a ≥0） ，我们把这个性质叫做二次
根式的非负性。 （2） （
a）
2
= a （a ≥0） ，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把
一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。 （3）
2
c b ,x x = a a
1 2
22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） （2） （3） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 设：是指设元，也就是设出未知数。 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的 各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） （5） （6） 解：就是解方程，求出未知数的值。 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 答：写出答案。
移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 理论依据 平方根的意义 完全平方公式 配方法 当 ab=0，则 a=0 或 b=0
（4）
直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平 方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法， 叫做配方法， 配方的目的是降次， 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） ⑶ 把常数项移到等号的右边； ⑵方程两边都除以二次项系数； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
第二十四章 圆 24.1 圆 24.1.1 圆
知识点一 圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作 圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，
a
2
= a (a≥0) ，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数（式）时，
就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。 知识点三 代数式 定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。
x ） =b。
2
利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （ 4 ）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转
知识点一 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二 旋转的性质 旋转的特征： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （ 3） 图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质： （1 ）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2 ）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转 的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ④接：即连接到所连接的各点。