人教版初三数学24[1].4.1弧长和扇形面积
人教版-数学-九年级上册 第24-4-1弧长和扇形面积 导学案
24.4.1弧长和扇形面积一、学习目标１.理解并掌握及扇形面积的计算公式２.会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长３. 重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积４. 难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积二、知识准备１.圆周长的计算公式是：2.圆面积计算公式是：3.弧长是它所对应的的一部分，扇形面积是它所对应的面积的一部分自习自疑文一、阅读教材P107－108内容，思考并回答下面的问题：1．弧长的计算公式为__________________________２. 由组成圆心角的两条和圆心角所对的所围成的图形叫做扇形。
３.扇形面积的计算公式：或二、自习评估：1.如果扇形的圆心角是120°，半径是3cm,则这个扇形的面积等于____________；2.已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，圆弧的长度是：我想问：请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
等级组长签字自主探究文活动一：如图，某传送带的一个转动轮的半径为Rcm1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送厘米；2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送厘米；3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送厘米。
因此弧长的计算公式为__________________________活动二：如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形（1）右图中扇形有几个？答：（2）思考圆心角为的扇形面积是圆面积的几分之几？答：（3）圆心角的扇形面积圆面积的几分之几？答：（4）如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为 .活动三：1.圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．2.在半径为18cm的圆上有一段长为10cm的弧,求该弧所对的圆周角的度数.自测自结文1.如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形的面积和是多少？2.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。
人教版初三数学上册24.4.1弧长和扇形面积 教学设计
24．4.1弧长和扇形面积教学设计碧华学校林喜斌一、教材分析（一）本课的地位和作用本节教材是人教版九年级下册《24.4.1弧长和扇形面积公式》，是在学生学习了圆的有关概念性质、圆心角圆周角等内容之后，对弧长和扇形面积的计算的学习，研究弧长公式、扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用。
本节内容的弧长公式和扇形面积公式是以圆的周长和面积公式为依据，通过特殊圆心角到一般圆心角所对的弧长和扇形面积，探索计算公式，并运用它们来计算和解决实际问题，是圆的有关计算中的一个重要问题。
（二）教学目标1、知识目标：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题。
2、能力目标：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.3、情感与价值目标：经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力.（三）教学重点、难点重点：让学生经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题.难点：探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题.二、教法设想在本节课教学中，我从学生思维的起点出发，突出教师为主导、学生为主体的教学原则，在组织教学中，我主要采用了多媒体教学和自主探究法，让学生在老师的引导下提出问题，自主探索、合作交流，收获新知；通过尝试应用，巩固实践，来深化新知，感受收获的喜悦。
三、学法研究教学中重视指导学生掌握一些最基本的学习方法和数学思想。
通过本节课的教学，让学生学会观察分析、自主探索、总结归纳的学习方法，掌握转化思想，培养学生的空间想象能力，充分调动学生自己动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论，鼓励他们尝试自己完成解题过程，大胆展示自我。
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸板制作一个扇形，测量并计算其面积。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对弧长和扇形面积的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上两点间的弧与半径的对应圆心角的比值；扇形面积是由圆心、圆上两点和这两点间的弧所围成的图形。它们在工程、设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算一个半圆的弧长和面积，通过这个案例，我们可以了解弧长和扇形面积在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《弧长和扇形面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否遇到过需要计算圆的一部分长度或面积的情况？”比如，设计一个扇形花园，我们该如何计算它的面积？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索弧长和扇形面积的奥秘。
人教版九年级数学上册第24章 圆 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1.通过自主探究得出弧长的计算公式，体验从特殊到一般的学习
方法，发展学生的推理能力.
2.通过小组讨论推导出扇形面积公式，会推导弧长和扇形面积之
间的关系，学会利用类比的思想方法解决问题.
3.通过练习恰当熟练地运用公式计算弧长、扇形的面积，增强学
生的数学运用能力.
3
4.试着总结圆心角为 ᵒ的扇形面积公式.
扇形 =
=
教师讲评
知识点1．弧长（重点）
n°的圆心角所对的弧长为l= .
知识点2．扇形面积（重点）
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如
图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
2.扇形面积：
旧知回顾
还记得小学学过的圆的周长和面积公式吗？
(C=πd=2πr,S=πr²)
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》一诗中的诗句
，那么同学们想过没有，如果真的要看千里之遥，要“站”多高呢？
如图，地球上B、C两点间的距离指的是球面上两点间的距离，也就是什么的
长？（弧BC的长）
假设弧BC的长为500km，如果地球的半径是6400km，你能算出视线AC的
(2)由(1)易得 =
,
=
, ∠
= °.
∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积 −△ 的面积
=
×
− × ×
×
= −
.
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件： （1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？ （3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（ ） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（ ） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（ ）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。
九年级上册数学24.4.1--弧长和扇形面积优质课教学设计
教学过程设计1）圆面积S=πR 2；（2）圆心角为1°的扇形的面积： （3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n 倍；（4）圆心角为n°的扇形的面积 = ． 归纳：若设⊙O 半径为R ，圆心角为n°的扇形的面积S 扇形，则扇形面积公式 S 扇形=2应用： 已知扇形的圆心角为120°,半径为2，则这个扇形的面积为多少？⑴已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇 ； ⑵已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____ （3）已知半径为2cm 的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S 扇= （4）⊙A, ⊙B, ⊙C 两两不相交,且半径都是1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多少?弧长的和为多少? 如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m ，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m ）（三）弧长公式与扇形面积公式的关系问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？得到三、自主探究1、如图，⊙A 、 ⊙B 、 ⊙C 、 ⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积？ ABCD落实性，以便发现问题和及时解决问题。
教师引导学生类比弧长公式的推导方法尝试探究扇形面积公式学生独立思考，尝试解题，之后师生交流思路和解法，进一步加深对扇形面积公式的认识.学生比较两个公式，找它们的联系，明确知识之间的联系，在解题时，根据条件，选择适当的公式．教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总 学生类比推导扇形面积公积公式通过分析，引导学生将复杂问题转化为简单的问题，体现化归思想，同时，理解数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识．运用所学公式迅速、正确解题，培养学生良好的学习习惯，训练学生的解题速度和综合运用知识解题的能力． 归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯巩固深化提高lR S 21 扇形2、如图几7-4-3，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于O ABC四、小结归纳1弧长公式2扇形面积公式3弧长公式与扇形面积公式的关系五、作业设计教材124--125页，习题24.4第3、7题补充：如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为板书设计课题弧长公式应用扇形面积公式关系定理应用应用弧长公式与扇形面积公式的关系归纳教学反思补充题。
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》是学生在学习了角的度量、圆的性质、圆的周长等知识的基础上，进一步探究圆的弧长和扇形面积的计算。
这一节内容不仅是前面学习内容的延续，也为后面学习圆锥、圆柱等几何体提供了基础。
教材通过生活中的实例，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作、探究活动等，理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。
三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念。
2.掌握弧长和扇形面积的计算公式。
3.能够运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算公式。
2.难点：弧长和扇形面积公式的推导过程。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际问题，探究弧长和扇形面积的计算方法。
2.利用几何画板等软件，直观展示弧长和扇形的计算过程，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在合作中交流、讨论，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、几何画板软件。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生探究。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如自行车轮子的周长，引出弧长的概念。
提问：如何计算这个弧长？引导学生思考，为下面的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，展示一个圆的扇形，让学生直观地感受弧长和扇形面积的计算过程。
通过软件的动态演示，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用准备好的实际例子，计算弧长和扇形面积。
最新人教版九年级上册数学第24章圆第4节弧长和扇形面积
例 3 如图24.4-3，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果 AO =45 cm，CO =5 cm，当AC 绕点O 顺时针旋转 90°时，求雨刷器AC 扫过的面积. 解题秘方：利用旋转，将不规则 图形的面积转化为规则图形的面 积，利用扇形面积公式计算.
感悟新知
知2－练
解：∵△ A′C′O 是△ ACO 绕点O 旋转90°得到的，
360 2
答案：A
知2－练
感悟新知
知2－练
2-1. 如图，AB 为⊙ O的直径，点C，D 在⊙ O上， 且 BC=6 cm，AC=8 cm，∠ ABD=45°
感悟新知
知2－练
(1)求BD 的长； 解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C＝90°，∠BDA＝90°. ∵BC＝6 cm，AC＝8 cm，∴AB＝ 62＋82＝10(cm)． ∵∠ABD＝45°，∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD＝AD＝5 2 cm.
圆中，弧长相等的弧才是等弧.
感悟新知
知1－练
例 1 [中考·沈阳] 如图24.4-1，正方形ABCD 内接于⊙ O， ︵
AB=2 2 ，则AB的长是( )
3
1
A. π
B. π C. 2π
2
D. 2 π
解题秘方：紧扣“弧长公
式”进行解答.
感悟新知
解：如图24.4-1，连接OA，OB，
∵正方形ABCD 内接于⊙ O，
感悟新知
(2)求图中阴影部分的面积. 解：连接 DO，∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°.∴∠BOD＝90°. ∵AB＝10 cm，∴OB＝OD＝5 cm. ∴S 阴影＝S 扇形 OBD－S△BOD＝903π6×052－12×5×5 ＝254π－2知
人教版数学九年级上册24 第1课时弧长和扇形面积课件
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
在⊙O中，由半径OA,OB和 AB所
构成的图形是扇形.
在⊙O中，由半径OA,OB和ACB 所
构成的图形也是扇形. 在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等，
所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等.
思考：
(1)半径为R的圆,面积是多少？
R2
360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形 的面积的多少倍？
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ）
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3
7 8
3
D. 4 3 3
H
A
O
C
O1 H1
B
C1
3．一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2， 则该扇形的圆心角为多少度?
解：设扇形半径为R，圆心角为n°,由扇形
+24.4.1弧长和扇形面积+课件++2024-2025学年人教版数学九年级上册+-
·自我检测 当堂反馈·
1.一个扇形的圆心角为90o，半径为2，则弧长为
，
扇形面积π为
.
π
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇 形的圆心角为 150o .
3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为8cm,则这个扇形的面 积S扇形 =_8_c_m__2 ．
·归纳总结 反思提高·
（1）本节课我们研究的内容是什么？ 弧长和扇形面积公式
（2）小明觉得上面的扇形可近似看成曲边△AOB，其中 可 看作是三角形的底，半径可作为三角形的高，所以他猜测该 扇形面积还可以用三角形的面积公式求得.请你通过计算判断 小明的猜想是否合理，并说明理由.
·活用公式 解决问题·
活动2 推导公式
·活用公式 解决问题·
变式练习 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 3dm，其中水面高度为1.5dm，求截面上有水部分的面积.
（2）我们是怎么研究的？ 从整体到部分 从特殊到一般 类比迁移
（3）本节课你有哪些收获？
·布置作业 分层训练·
基础作业
1.120°的圆心角所对的弧长为
,则此弧所在的圆的半径是
2.如左图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC长为半径
画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积为
链接中考 如右图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交
180°
90°
1°
占整圆的 几分之几
弧长 扇形面积
“数”与“式”
从整体到部分
n°
从特殊到一般
类比思想
·活用公式 解决问题·
趁热打铁 如图，若扇形的半径R是3，∠AOB=120°， （1）求 的长和扇形AOB的面积.
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当堂训练 (2006,武汉 如图,⊙A 武汉) ,⊙A、 4. (2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互 外离,它们的半径都是1, 1,顺次连接四个圆心得到 外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到 四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分) ABCD,则图形中四个扇形 四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面 积之和是___________. 积之和是___________. π
注意： 两个公式的联系和区别 两个公式的联系和区别； 注意： (1)两个公式的联系和区别； (2)两个公式的逆向应用。 两个公式的逆向应用。 两个公式的逆向应用
B A
D
C
当堂训练 5 .（07·山东）如图所示，分别以 边形的顶点为 山东） （ 山东 如图所示，分别以n边形的顶点为 圆心，以单位1为半径画圆 为半径画圆， 圆心，以单位 为半径画圆，则图中阴影部分的 个平方单位． 面积之和为 π 个平方单位．
当堂训练 6. （08·鄂州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°, 鄂州） 鄂州 如图， △ 中 ° 分别为AB、 的中点， ∠A=30°,BC=2,O、H分别为 、AC 的中点，将 ° 、 分别为 顺时针旋转120° 的位置， △ABC顺时针旋转 °到△A1BC1的位置，则整 顺时针旋转 个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（ C ） 所扫过的面积为（ 个旋转过程中线段 所扫过的面积为
效果检测 下列图形是扇形吗？ 下列图形是扇形吗？
效果检测 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所 围成的图形叫做扇形
O
扇形
扇形面积越大，圆心角就越大。 扇形面积越大，圆心角就越大。
效果检测 思考:(1)半径为 的圆 面积是多少？ 思考 半径为R的圆 面积是多少？ 半径为 的圆,面积是多少 (2)1°的圆心角所对n°的圆心角所对扇形面积是多少？ °的圆心角所对扇形面积是多少？
D
B
C
变式训练 练习：如图、 练习：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高 面半径是 ，其中水面高0.9cm，求截面上 ， 有水部分的面积。 有水部分的面积。 S弓形= S扇形+S△ 感悟： 感悟： ①当弓形面积小于半圆时 S弓形= S扇形-S△ ②当弓形面积大于半圆时 S弓形= S扇形+S△
O
当堂训练 3、（ 内江）如图，这是中央电视台“曲苑杂 、（07·内江 如图，这是中央电视台“ 、（ 内江） 中的一副图案，它是一扇形图形， 谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中 ∠AOB为120°，OC 为 ° 长为8cm，CA长为 长为12 长为 ， 长为 cm，则贴纸部分的面 ， 积为（ ） 积为（ B 2 2 64πcm B． 112πcm A． ． ． 2 2 152πcm 144πcm D． C． ． ．
A D E 0 B
C
效果检测 3. 已知等边三角形 已知等边三角形ABC的边长为 ，分别以 、 的边长为a，分别以A、 的边长为 F，求图中阴影部分的面积S. 求图中阴影部分的面积
A
a B、C为圆心，以 为半径的圆相切于点 、 E、 为圆心， 为半径的圆相切于点D 、 为圆心 2
F
B D
E C
当堂训练 的边长为12cm， ， 1.(08·眉山 如图，等边△ABC 的边长为 眉山)如图，等边△ 眉山 如图 于 点 内切⊙ 内切⊙O 切 边BC于D点，则图中阴影部分的 A 面积为（ 面积为（ C）
S扇形
nπR = 360
1 = lR 2
2
n° ° 1° O °
效果检测 1、已知扇形的圆心角为 °，半径为 ，则这个 、已知扇形的圆心角为120° 半径为2，
4π 扇形的面积S 扇形的面积 扇形=____. 3 1 2、已知扇形面积为 π ，圆心角为 °，则这个 圆心角为60° 、 3
扇形的半径R=____． 扇形的半径 2．
A 700mm 100° 100 ° C O
B R=900mm 700mm
D
效果检测 1.已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长 1.已知弧所对的圆心角为 ° 半径是4 已知弧所对的圆心角为90 ____。 为____。 2π 2. （06·随州）已知一条弧的半径为9，弧长为8π , 06·随州 已知一条弧的半径为9 弧长为8 随州） 那么这条弧所对的圆心角为____。 那么这条弧所对的圆心角为____。 160° 3. (06·枣庄)钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那 (06·枣庄)钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那 么经过40分钟 分针针端转过的弧长是( 分钟, 么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( B) 50π π 20π π 10π π 25π π cm A. C. cm cm B. cm D. 3 3 3 3
π A． cm ．
2
C． πcm ． 2
3 2 πcm B． ． 3
D． ．
2
3πcm
2
B
O D C
当堂训练 2.（08·潍坊）如图，正六边形内接于圆 圆O （ 潍坊 如图，正六边形内接于圆O, 潍坊） 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为______． 的半径为 ，则圆中阴影部分的面积为 ．
100π− 150 3
4 3、已知半径为 的扇形， 、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 π ， 的扇形 3 4 πcm2 则这个扇形的面积是_________． 则这个扇形的面积是 3 ．
例题点评 例1.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半 如图、 如图 径是0.6cm，其中水面高 径是 ，其中水面高0.3cm，求截面上有水 ， 部分的面积。 部分的面积。 S弓形= S扇形- S△ A 0
D
效果检测 思考:(1)半径为 的圆,周长是多少？ 思考 半径为R的圆 周长是多少？ 半径为 的圆 周长是多少 (2)1°的圆心角所对弧长是多少？ °的圆心角所对弧长是多少？ (3)n°的圆心角所对弧长是多少？ °的圆心角所对弧长是多少？
n R π l = 1 0 8
n° ° 1° O °
解决问题 制造弯形管道时， 要先按中心线计算“ 制造弯形管道时 ， 要先按中心线计算 “ 展直长 再下料， 度 ” ， 再下料 ， 试计算图所示管道的展直长度 L(单位：mm，精确到 单位： 单位 ，精确到1mm)
弧长和扇形面积
问题情境 制造弯形管道时， 要先按中心线计算“ 制造弯形管道时 ， 要先按中心线计算 “ 展直长 再下料， 度 ” ， 再下料 ， 试计算图所示管道的展直长度 L(单位：mm，精确到 单位： 单位 ，精确到1mm)
A 700mm 100° 100 ° C O
B R=900mm 700mm
7 7 4 7 A. π− 3 B． π+ 3 ． 3 8 3 8 4 C. π D. π+ 3 3
A A1 C O B O1 H1 C1
H
颗粒归仓
n R π 1.弧长公式： 弧长公式： 弧长公式 l = 1 0 8 2 1 nπR = lR 2.扇形面积公式： S扇形 = 扇形面积公式： 扇形面积公式 2 360