无穷大量与无穷小量
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无穷小量与无穷大量
定理11. 若在同一极限过程中, α, β, γ 均为无穷小
量, 则
(1). α ~ α;
(反身性)
(2).若α ~ β; 则 β ~ α;
(对称性)
(3).若α ~ β, β ~ γ; 则 α ~ γ; (传递性)
(4).若α ~ β; 则 αγ ~ γ β .
9
定理12. (等价代换原理)设α, α１, β, β１, 为同一极限
过程中无穷小量且 α～α１,β～β１, 若 lim 1 存在,则
1
lim lim 1 .
1
注1:由此定理可知, 求两个无穷小量商的极限时, 如果 分子, 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的 等价无穷小量来代换原来的分子, 分母, 使计算简化. 请记住以下几个常用的等价无穷小量:
10
当x 0 时
因 ( x) 为无穷小量,
则 0, 某个时刻，在此时刻后, ( x)
f
M ( x)( x)
M
.
M, f ( x)( x)为无穷小量.
M
例 lim x sin 1 0, 但 lim x sin 1 1.
x0
x
x
x
sin x
(1)n
lim
0; lim
0.
x x
n n
3
定理8. (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A 的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量 α 的和.
不是一个很大的常量. 当ƒ(x)取正值无限增大(取负值
绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量).
记为 lim f ( x) （或）lim f ( x)
注2.通常 lim f ( x) 是极限不存在的记号; 但它又
无穷大量与无穷小量
故当 x → +∞ 时 f ( x ) 和 g ( x ) 不能比较 不能比较.
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n
高数第一节第四章 无穷大量和无穷小量
f ( x ) < − M , 我们可以得到正无穷大量或负无穷大量
-9-
第四节
无穷大量与无穷小量
的定义, 记为 lim f ( x ) = +∞ 或 lim f ( x ) = −∞ . 注意 1 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
第一章 函数 极限 连续
2 切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在.
y = f ( x)
第一章 函数 极限 连续
例2 证
证明 lim e x = ∞ .
x →+∞
o
∀M > 0, 取 X = ln M , 当 x > X 时，恒有
x x X
x0
x
| e |= e > e = M , x e = ∞. 所以 xlim →+∞
无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒
第一章 函数 极限 连续
第四节
无穷大量与无穷小量
1 (2) 取 x0 = ( k = 0,1, 2, 3,L) 当k充分大时, xk < δ , 2kπ 但 y( xk ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M . 不是无穷大．
1 例1 证明 lim = ∞. x →1 x − 1 1 > M, 证 ∀ M > 0. 要使 x −1
第一章 函数 极限 连续
∃X 1 > 0, X 2 > 0, 使得 当 x > X 1时恒有 α < ; 2 ε 当 x > X 2时恒有 β < ; 取 X = max{ X 1 , X 2 }, 2 当 x > X 时,恒有 ε ε = ε, α±β ≤ α + β< + 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
-9-
第四节
无穷大量与无穷小量
的定义, 记为 lim f ( x ) = +∞ 或 lim f ( x ) = −∞ . 注意 1 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
第一章 函数 极限 连续
2 切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在.
y = f ( x)
第一章 函数 极限 连续
例2 证
证明 lim e x = ∞ .
x →+∞
o
∀M > 0, 取 X = ln M , 当 x > X 时，恒有
x x X
x0
x
| e |= e > e = M , x e = ∞. 所以 xlim →+∞
无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒
第一章 函数 极限 连续
第四节
无穷大量与无穷小量
1 (2) 取 x0 = ( k = 0,1, 2, 3,L) 当k充分大时, xk < δ , 2kπ 但 y( xk ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M . 不是无穷大．
1 例1 证明 lim = ∞. x →1 x − 1 1 > M, 证 ∀ M > 0. 要使 x −1
第一章 函数 极限 连续
∃X 1 > 0, X 2 > 0, 使得 当 x > X 1时恒有 α < ; 2 ε 当 x > X 2时恒有 β < ; 取 X = max{ X 1 , X 2 }, 2 当 x > X 时,恒有 ε ε = ε, α±β ≤ α + β< + 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
无穷小量和无穷大量wuqiongdahewuqiongxia
•
f xogx
(4) 如果
lim
f g
xx ，则称f是比g低阶的无穷小量。
例如 lim xsinx2lim0
xsinx2与x 为同阶无穷小量。
时x 0
limtanxlimsinx 1 1， 所以，当 x 0 x x 0 x cosx
x 时0
tanx x
无穷小量的性质
•性质１ 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 •性质２ 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 •性质３ 常数乘以无穷小量仍是无穷小量。 •性质４ 有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。
例如 由性质4可得
cos x lim 0 x x
二、无穷大量
定义 若 x x0 时，函数 | f x |，则称函数f(x)
2、limxsin11 1、limsin x 0
x x
x x
填空题
x 为曲x 0 线y＝f(x)的垂直渐
三、无穷小量与无穷大量的关系
定理 如果当 x x0 或 x 时，f(x)为无穷大量, 则
为无 且
穷1小量；反之，如果当
f x
为无穷大f 量x。
0,则
时x ， f(xx)0为或 无x 穷 小量，
1
f x
说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。
第四节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量
定义 若 x x0或x时 ，函数 f x则称0函, 数 f(x)为 x x0 或x 时的无穷小量。
例如： limx20 ，函数 x2当x2 时为无穷小 x2
li m 1 0 ，函数 x x
1 当 x时为无穷小。
x
说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小量。
例11 求
无穷小量无穷大量
02
在进行无穷大量的运算时，需 要注意运算的合法性和结果的 准确性。
03
无穷大量与有界量进行运算时 ，结果通常仍然是无穷大量， 除非有界量趋于零的速度快于 无穷大量趋于无穷大的速度。
重要无穷大量举例
当x→0时，1/x是无穷大量，因 为当x越来越接近于0时，1/x的
绝对值无限增大。
当x→∞时，x是无穷大量，因为 当x越来越大时，x的绝对值无限
求$lim_{x to infty} frac{1}{x}$时， 由于$x$趋近于无穷大，因此 $frac{1}{x}$趋近于0，即无穷小 量。
求$lim_{x to 0^+} ln x$时，由 于$x$趋近于0但大于0，因此$ln x$趋近于负无穷大，即无穷大量 出现在极限中。
06 结论与展望
本文工作总结
02
如果两个无穷大量在自变量的同一变化过程中，它们的比值 趋于一个非零的常数，则称这两个无穷大量是同阶的。
03
如果两个无穷大量的比值趋于无穷大或零，则称它们是不同 阶的。其中，趋于无穷大的称为高阶无穷大，趋于零的称为 低阶无穷大。
无穷大量运算规则
01
无穷大量在四则运算中满足一 些基本的运算规则，如加法、 减法、乘法和除法等。
极限概念是微积分学的基础，对于理解导数、积分等概念具有关键作用。
无穷小量在极限过程中作用
01
02
03
无穷小量是极限过程中的一个重 要概念，表示一个趋近于0的量。
在求极限时，无穷小量可以帮助 我们简化计算，量的性质对于理解极限的 运算法则、连续性等概念也具有 重要意义。
无穷小量和无穷大量都是基于极限理论的概念，用于描述函数或数列在特定点的变化趋势。
相互转化关系
无穷小量与无穷大量
当
x
0
x 时，ln
x
是负无穷大，记作
lim
ln x 。
x ，1 就不是无穷大，而是无穷小x了0。 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
例如： f (x) 2x 1 ， g(x) 2x ，
2x
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim 1 0 是无穷小量。
x
x 2x
又如： f (x) 2x cosx ， g(x) 2x ，
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim cosx 不存在。
例．求下列极限
（1） lim xsin 1 ； （2） lim arctanx 。
x0 x
x x
错！
错！
（1）错正解： li∵m lximsinx10 l，im而x sliimn 1sin11， 0 ； x0x0 x x0 x0x x ∴ lim xsin 1 0 。 x0 x
（2） 解： ∵ lim 1 0 ，而arctan x ，
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量； 当 x x时，xx 是无穷小量；
当x 时， ax (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 1 是无穷小量。 x2
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。
它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。
本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。
一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
通常用符号"ε"或者"δ"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。
无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。
2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。
这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。
二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。
通常用符号"∞"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。
无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。
2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。
3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。
无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。
三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。
当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。
无穷大量与无穷小量
又 a (x) 是无穷小量，即 | a (x) | < e (e 为任意小的 正数)，则
| a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | < e M .
由于 e 是任意的小正数，因而 e M 也是可以任意 小的正数, 故 a (x) f (x) →0 .
推论 1
有限个无穷小量 (自变量同一趋向下)
之积为无穷小量 . 推论 2 常数与无穷小量之积为无穷小量 . 若 lim f ( x ) , 则 lim
定理3
设 f ( x ) 0 , 若 lim f ( x ) 0 ,
1 0. 反之， f ( x) 则 lim 1 . f ( x)
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 若 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) 说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小量与无穷大量
一、无穷大量 二、无穷小量
三、无穷大量与无穷小 量的关系 四、无穷小量阶的比较
一、无穷大量
若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某
种趋向下无限增大，则称 y = f ( x ) 为在 x 的这
种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.
当 x→ x0 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
x x0
lim f ( x ) ,
当 x → 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
lim f ( x ) .
x
有时，所研究的无穷大量具有确定的符号， 若在 x 的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大， 或者恒负，但绝对值无限变大，则记为
| a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | < e M .
由于 e 是任意的小正数，因而 e M 也是可以任意 小的正数, 故 a (x) f (x) →0 .
推论 1
有限个无穷小量 (自变量同一趋向下)
之积为无穷小量 . 推论 2 常数与无穷小量之积为无穷小量 . 若 lim f ( x ) , 则 lim
定理3
设 f ( x ) 0 , 若 lim f ( x ) 0 ,
1 0. 反之， f ( x) 则 lim 1 . f ( x)
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 若 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) 说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小量与无穷大量
一、无穷大量 二、无穷小量
三、无穷大量与无穷小 量的关系 四、无穷小量阶的比较
一、无穷大量
若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某
种趋向下无限增大，则称 y = f ( x ) 为在 x 的这
种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.
当 x→ x0 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
x x0
lim f ( x ) ,
当 x → 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
lim f ( x ) .
x
有时，所研究的无穷大量具有确定的符号， 若在 x 的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大， 或者恒负，但绝对值无限变大，则记为
无穷大量与无穷小量
f (x) = 1 = o(1), (x → ∞). x
f (x) = ex = o(1), (x → −∞).
f (x) = arcsin x = o(1), (x → 0). f (x) = 0 = o(1), (x → X ).
2018/10/11
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明设 lim f (x) = A ⇔ f (x) − A = o(1), (x → X ). x→X
例 : 设f (x) = 6x3, g(x) = 3x3,则当x → 0时, f (x) = o(1), g(x) = o(1)(x → 0), 则lim f (x) = 6x3 = 2,即f (x)与g(x)同阶无穷小. x→0 g(x) 3x3
例 : 设f (x) = sin x = o(1), g(x) = x = o(1)(x → 0),
f (x) 2
x→X
从而0 ≤ f (x)g(x) ≤ M f (x) , (x → X ).
由于f (x) = o(1), (x → X ),故 lim M f (x) = M lim f (x) = 0.
x→X
x→X
由夹逼定理知 : lim f (x)g(x) = 0. x→X
从而f (x)g(x) = o(1), (x → X ).
x→0
x
例: lim x2 sin x→0
1 x3
= 0,
lim x cos 1 = 0,
x→0
x
lim(ln x)⋅sin 1 = 0.
x→1
x −1
1
1
注 : lim sin 不存在,lim cos 不存在.
x→0
第4讲无穷大量与无穷小量
2
故 | a | | f (x) | | a | 2
1 2 f (x) | a |
x U(x0,0 ) ,
即 x x0
时,
1 f (x)
有界 .
故 lim (x) 0 .
xx0 f (x)
有界量与无穷小量之积
注意：
(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).
n .
例4
在某极限过程中,
无穷大量是否一定是无界量 ?
无界量是否一定是无穷大量 ?
例如, {xn}: 0, 2, 0, 4, , 0, 2n, 0,
,
xn
n
(1)n n 2
.
不论 N 取多么大, 当n N 时, 总有等于 0 的项使
| xn | M 不成立, 故当 n 时, {xn} 不是无穷大量. 但该数列是无界的.
n
xn
.
定义2 M 0, 若 0, 当0 | x x0 | 时, 有
| f (x) | M
成立, 则称 f (x) 为 x x0 时的无穷大量, 记为
lim f (x) 或
xx0
f (x) (x x0) .
无穷大量描述的是变量的变化趋势, 不是指一个很大的数.
类似地可以定义
不着不急一, 定看再个是例无题穷: 大量.
当
x
( 不妨设
| x | 1) 时, |
g(x) |
1 x2
1,
f1(x) x (x ) , f2(x) x3 (x ) ,
而
f1(x)
g(x)
x
1 x2
1 x
0
(x ) .
f2(x)
无穷大量与无穷小量
x x0
x
x
0
x
x
0
lim f ( x) lim f ( x) 且 lim f ( x) ；
x
x
x
( 无穷小量与函数极限的关系 )
例 证明：lim f ( x) A的充分必要条件是 x X
f ( x) A o(1) ( x X ) f ( x) A o(1) ( x X ) 证明 必要性：由 lim f ( x) A 及四则运算法则知
例：函数x, x2 , x3当x 0时都为无穷小量
x 1 0.5 0.1 0.01 0
x2 1 0.25 0.01 0.0001 0
x3 1 0.125
0.001 0.000001 0
显然x3比x, x2趋于0的速度要快。 同样不同无穷大量趋于无穷大的速度也不同。
(一) Def2.6:
sin cos
x2 x2
x x
key : ,1.
指出下列变量当
x
?时是无穷小量：
x x2
1 1
,
ln(1 x),
1
e 1 x
1
指出下列变量当x 时?是无穷大量： ln(1 x), e x
二、无穷小量与无穷大量阶的比较
无穷小量虽然都是趋于零的变量，但不同的无穷小量 趋于零的速度都不一样，有时差别很大。
x
关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：
(1)无穷小量与无穷大量的定义同样适用于数列。
(2)无穷小量(无穷大量)是相对于自变量的某一变化 过程而言的。 例如：1x当x 时为无穷小量，当x 0时为无穷大量。
(3)无穷小量(无穷大量)不是指很小(很大)的数而是指 一个变量。实数中仅有０是无穷小量 ！ (4)无穷大量是一个特殊的无界变量，反之无界变量未
无穷小量和无穷大量
x
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( x ) ~ x， 1
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
x
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
任何无穷小量都是有界量。
类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。
例1 (1) lim sin x 0， x 0
sinx是当x 0时的无穷小， sin x o(1) ( x 0 )； 即
lim sin x 1 0， sin x o(1) ( x
三、无穷小量的性质
性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量. 性质2 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是 无穷小，即 O(1)· o(1)=o(1).
证法1： 用迫敛性可以证明。
性质2 （同一过程中的） O(1)· o(1)=o(1). 证法2 仅对 x x0 这种自变量的变化过程 来证。
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0). （1）若 lim f ( x )h( x ) A, 则 lim g( x )h( x ) A,
x x0 x x0
h( x ) h( x ) （2）若 lim B, 则 lim B x x0 f ( x ) x x0 g ( x ) h( x ) h( x ) f ( x ) h( x ) f ( x) lim lim lim 证（2） lim x x0 g ( x ) x x0 f ( x ) g ( x ) x x0 f ( x ) x x0 g ( x )
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( x ) ~ x， 1
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
x
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
任何无穷小量都是有界量。
类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。
例1 (1) lim sin x 0， x 0
sinx是当x 0时的无穷小， sin x o(1) ( x 0 )； 即
lim sin x 1 0， sin x o(1) ( x
三、无穷小量的性质
性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量. 性质2 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是 无穷小，即 O(1)· o(1)=o(1).
证法1： 用迫敛性可以证明。
性质2 （同一过程中的） O(1)· o(1)=o(1). 证法2 仅对 x x0 这种自变量的变化过程 来证。
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0). （1）若 lim f ( x )h( x ) A, 则 lim g( x )h( x ) A,
x x0 x x0
h( x ) h( x ) （2）若 lim B, 则 lim B x x0 f ( x ) x x0 g ( x ) h( x ) h( x ) f ( x ) h( x ) f ( x) lim lim lim 证（2） lim x x0 g ( x ) x x0 f ( x ) g ( x ) x x0 f ( x ) x x0 g ( x )
无穷小量与无穷大量
lim f (x) A f (x) A ．
证明略．
1.1 无穷小量
3．无穷小量的性质 性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量． 证明 以两个无穷小量的和为例．
设
lim (x)
xx0
0
，lim xx0
(x)
0
，由极限定义知：
0
，1
0
，当
0
|
x
x0
|
1
时， | (x)
|
2
；
0
，
2
0
1.1 无穷小量
例 2 求 lim x2 sin 1 ．
x0
x
解 因为 sin 1 1 ，当 x 0 时， x2 是无穷小量．根据无穷小量的性质 3，当 x
x 0 时， x2 sin 1 是无穷小量，即 x
lim x2 sin 1 0 ．
x0
x
1.2 无穷大量
1．无穷大量的概念 定义 2 在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大， 记作 lim f (x) ．
x
2
cos x 是无穷小量．
1.1 无穷小量
例 1 下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷小量：
（1） 1 ； x 1
（2） 2x 4 ；
（3） 2x ；
（4）
1 4
x
．
解 （1）因为 lim 1 0 ，所以当 x 时， 1 为无穷小量．
x x 1
x 1
（2）因为 lim(2x 4) 0 ，所以当 x 2 时， 2x 4 为无穷小量． x2
例如，当 x 1时， 1 无限增大，所以当 x 1时， 1 是无穷大，即 lim 1 ．
证明略．
1.1 无穷小量
3．无穷小量的性质 性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量． 证明 以两个无穷小量的和为例．
设
lim (x)
xx0
0
，lim xx0
(x)
0
，由极限定义知：
0
，1
0
，当
0
|
x
x0
|
1
时， | (x)
|
2
；
0
，
2
0
1.1 无穷小量
例 2 求 lim x2 sin 1 ．
x0
x
解 因为 sin 1 1 ，当 x 0 时， x2 是无穷小量．根据无穷小量的性质 3，当 x
x 0 时， x2 sin 1 是无穷小量，即 x
lim x2 sin 1 0 ．
x0
x
1.2 无穷大量
1．无穷大量的概念 定义 2 在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大， 记作 lim f (x) ．
x
2
cos x 是无穷小量．
1.1 无穷小量
例 1 下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷小量：
（1） 1 ； x 1
（2） 2x 4 ；
（3） 2x ；
（4）
1 4
x
．
解 （1）因为 lim 1 0 ，所以当 x 时， 1 为无穷小量．
x x 1
x 1
（2）因为 lim(2x 4) 0 ，所以当 x 2 时， 2x 4 为无穷小量． x2
例如，当 x 1时， 1 无限增大，所以当 x 1时， 1 是无穷大，即 lim 1 ．
无穷大量与无穷小量
2.4 无穷大量与无穷小量
一.无穷小量
无穷小量
注意
（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
对于x→x0： >0,>0，使得当0<|x-x0|<时, |f(x)|<,恒成立. 对于x→∞： >0,M>0，使得当|x|>M时, |f(x)|<,恒成立.
无穷小量
例如：
无穷小与函数极限的关系:
证
必要性
充分性
意义
证
无穷小的运算性质: 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
四. 无穷小量的阶
四. 无穷小量的阶 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义：,是相同一过程的两个无穷小量.如果 :
例1
解
例2
解
常用等价无穷小: 注 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握
2、几点注意:
02
五.小结
思考题
思考题解答
不能保证. 例 有
一、填空题:
练 习 题
练习题答案
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
1.无穷小的比较:
2.等价无穷小的替换:
一.无穷小量
无穷小量
注意
（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
对于x→x0： >0,>0，使得当0<|x-x0|<时, |f(x)|<,恒成立. 对于x→∞： >0,M>0，使得当|x|>M时, |f(x)|<,恒成立.
无穷小量
例如：
无穷小与函数极限的关系:
证
必要性
充分性
意义
证
无穷小的运算性质: 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
四. 无穷小量的阶
四. 无穷小量的阶 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义：,是相同一过程的两个无穷小量.如果 :
例1
解
例2
解
常用等价无穷小: 注 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握
2、几点注意:
02
五.小结
思考题
思考题解答
不能保证. 例 有
一、填空题:
练 习 题
练习题答案
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
1.无穷小的比较:
2.等价无穷小的替换:
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，在研究极限和无穷时经常出现。
本文将介绍无穷小量和无穷大量的定义、性质以及它们在计算极限过程中的应用。
一、无穷小量的定义与性质无穷小量通常用符号“Δx”或者“dx”表示，表示趋于零的一个量。
严格的定义是：如果函数f(x)在某一点a处的极限为零，那么称Δx为函数f(x)在点a处的一个无穷小量。
无穷小量的性质如下：1. 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。
2. 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有限数的和为无穷小量。
4. 无穷小量与有限数的积为无穷小量。
二、无穷大量的定义与性质无穷大量通常用符号“∞”表示，表示趋于无穷大的一个量。
严格的定义是：如果对于任意的正数M，总存在正数N，使得当x>N时，有|f(x)|>M，那么称f(x)为一个无穷大量。
无穷大量的性质如下：1. 有限数与无穷大量的和为无穷大量。
2. 有限数与无穷大量的差为无穷大量。
3. 有限数乘以无穷大量为无穷大量。
4. 无穷大量与零的积为无穷小量。
三、无穷小量与无穷大量的关系在极限计算中，无穷小量和无穷大量是密切相关的。
当x趋于某一特定值时，如果Δx是一个无穷小量，那么f(x)就是一个无穷大量。
根据无穷小量和无穷大量的性质，可以得到一些重要的极限计算法则。
1. 极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也都存在，并且满足相应的运算规则。
2. 极限的夹逼定理：如果对于x处于某一邻域内的所有值，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(f(x))=lim(h(x))=L，那么lim(g(x))也等于L。
四、无穷小量和无穷大量的应用1. 在微分学中，无穷小量被用来定义导数。
导数表示函数变化率的大小，而无穷小量则表示极小的自变量变化量，二者的关系可以通过极限的定义来推导。
2. 在积分学中，无穷小量被用来定义微积分的基本概念。
无穷大量和无穷小量
无穷大量为无界变量, 但无界变量不一定为无 穷大量.
无界变量而非无穷大量的例
例 如, 当x 0时, y 1 sin 1 是一个
xx 无 界 变 量, 但 不 是 无 穷 大 量.
x 1 k
k
无穷小量与无穷大量的关系
定理: 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷
小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小量. x
lim (1)n 0, 数列{(1)n }是当n 时的无穷小量.
n n
n
关于无穷小量之注
不要把无穷小量与任何一个很小的数混为一谈. 无穷小量为变量,任何一个很小的数为常量.
无穷小量是对于某个变化过程而言的,同一个 变量在一个变化过程中为无穷小量,在另一变 化过程中不一定为无穷小量.
证明提示：取 1
M
意义: 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论.
问题
两个无穷大量的相加或相减后是否仍是 无穷大量？
提示：n 2, 2n, n 2在n 时都是无穷大量 但：n 2 2n, n 2 n 2, 2n 2n有不同的结果
y M, 则 称 在 过 程p中，变 量y为 无 穷 大 量，记 作
lim y . p
无穷大量的例子
因为lim 1 ,故当x 0时， y 1 是无穷大量.
x0 x
x
因为lim ln x ,故当x 0时，y ln x是无穷大量. x0
因为lim e x ,故当x 时，y e x是无穷大量. x
2-3 无穷小与无穷大
无穷小量 无穷大量
1.无穷小量的概念
定义: 极限为零的变量称为无穷小量.
如果函数f (x)当x x（0 或x ）时的极限为零， 那么称函数f (x)为当x x（0 或x ）时的无穷小。
无界变量而非无穷大量的例
例 如, 当x 0时, y 1 sin 1 是一个
xx 无 界 变 量, 但 不 是 无 穷 大 量.
x 1 k
k
无穷小量与无穷大量的关系
定理: 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷
小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小量. x
lim (1)n 0, 数列{(1)n }是当n 时的无穷小量.
n n
n
关于无穷小量之注
不要把无穷小量与任何一个很小的数混为一谈. 无穷小量为变量,任何一个很小的数为常量.
无穷小量是对于某个变化过程而言的,同一个 变量在一个变化过程中为无穷小量,在另一变 化过程中不一定为无穷小量.
证明提示：取 1
M
意义: 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论.
问题
两个无穷大量的相加或相减后是否仍是 无穷大量？
提示：n 2, 2n, n 2在n 时都是无穷大量 但：n 2 2n, n 2 n 2, 2n 2n有不同的结果
y M, 则 称 在 过 程p中，变 量y为 无 穷 大 量，记 作
lim y . p
无穷大量的例子
因为lim 1 ,故当x 0时， y 1 是无穷大量.
x0 x
x
因为lim ln x ,故当x 0时，y ln x是无穷大量. x0
因为lim e x ,故当x 时，y e x是无穷大量. x
2-3 无穷小与无穷大
无穷小量 无穷大量
1.无穷小量的概念
定义: 极限为零的变量称为无穷小量.
如果函数f (x)当x x（0 或x ）时的极限为零， 那么称函数f (x)为当x x（0 或x ）时的无穷小。
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3. 若两个无穷小量在
x
2
sin
1 x
是同阶无穷小量.
U ( x0 ) 内满足:
f (x) L, g( x)
则记 f ( x) O( g( x)) ( x x0 ).
f ( x) 为 x x0 时的有界量时 , 我们记
f ( x) O(1) ( x x0 ) .
应当注意，若
f ( x) , g( x) 为 x x0 时的同阶无
U ( x0 ) 内，有
L f (x) M , g( x)
则称 f与( x) 是 g( x) x x0 时的同阶无穷小量.
根据函数极限的保号性，特别当
f (x)
lim
c0
xx0 g( x)
时，这两个无穷小量一定是同阶的.
例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x2是同阶无穷小量;
当 x 0 时，x 与
x 0
x x 0 x 0 x
从几何上看，曲线
y
x sin
1 x
在
x 近0旁发生无
限密集的振动，其振幅被两条直线
y x 所限制.
y
0.1 y x
0.05
y x sin 1 x
-0.1 -0.05 O
0.05 0.1
x
-0.05 -0.1
y x
二、无穷小量阶的比较 、 、 两个相同类型的无穷小量，它们的和 差 积仍
一、无穷小量
定义1 设 f 在点x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义，
若 lim f x 0, x x0
则称 f 为 x x0 时的无穷小量 .
若 f 在点 x0的某个空心邻域内有界，则称 f 为
x x0 时的有界量.
类似地可以分别定义 f 为
x x0 , x x0 , x , x , x 时的无穷小量和有界量.
是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的. 这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察
两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给 出如下定义.
设当 x x0 时，f x, gx 均是无穷小量 .
1.
若 lim x x0
f x gx
0，则称
x x0
时 f x 是关于 gx
的高阶无穷小量，记作 f ( x) o( g( x)) ( x x0 ) .
2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.
性质1可由极限的四则运算性质直接得到.
下面对性质２加以证明.
设 lim x x0
f (x)
0, |
g(x) |
M,
x U o( x0 ). 对于任意
的 0, 因为 lim f x 0 , 所以存在 0 , 使得当
x x0
0|
x
x0
|
时,
|
f (x)|
, 从而
M 1
| f ( x)g( x) | .
这就证明了 f ( x)g( x) 是 x x0 时 的无穷小量 .
例如:
x
为
x
0
时的无穷小量，sin
1 x
为
x
0
时
的有界量，那么 x sin 1x 为 x 0 时的无穷小量 .
应当注意, 下面运算的写法是错误的：
lim x sin 1 lim x lim sin 1 0 .
f (x)
f (x)
g( x)
lim
lim
lim
1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxx0 h( x) xx0 g( x) xx0 h( x)
前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并
不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
sin x 与 x
1 均为 x2
x 时的无穷小量, 却不能
按照前面讨论的方式进行阶的比较. 这是因为
当 f ( x) 为 x x0 时的无穷小量时，我们记 f ( x) o (1) ( x x0 ) .
例如： 1 cos x o( x) ( x 0 ) ; sin x o (1) ( x 0 ) ; xk1 o ( xk ) ( x 0, k 0 ) .
2. 若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域
x x0
x x0
(2) 若 lim h( x) A, 则 lim h( x) A.
xx0 f ( x)
xx0 g( x)
证 (1) 因为 lim f ( x)h( x) A, lim f ( x) 1, 所以
x x0
xx0 g( x)
lim g( x)h( x) lim g( x) f ( x)h( x) A.
因为
lim
x 0
sin x
x
1,
所以
sin x ~
x ( x 0) ;
因为
lim
x 0
arctan x
x
1,
所以
arctan
x
~
x (x
0) ;
同样还有 1 cos x ~ 1 x2 ( x 0) . 2
根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：
若 f ( x) ~ g( x) ( x x0 ), g( x) ~ h( x) ( x x0 ), 那么 f ( x) ~ h( x) ( x x0 ) . 这是因为
sin x x x sin x ( x ) 1
x2
是一个无界量，并且
(2nπ)sin(2nπ) 0 .
下面介绍一个非常有用的定理：
定理3.12
设函数 f, g, h 在
U ( x0 ) 内有定义, 且
f ( x) ~ g( x) ( x x0 ).
(1) 若 lim f ( x)h( x) A, 则 lim g( x)h( x) A;
穷小量，当然有
f ( x) O( g( x) ) ( x x0 ) .
反之不一定成立, 例如
x
sin
1 x
O(
x
)
( x 0) .
但是这两个无穷小量不是同阶的.
注意： 这里的 f ( x) o( g( x) ) 与 f ( x) O( g( x) )
( x x0 ) 和通常的等式是不同的，这两个式子的
例如: x 1为 x 1 时的无穷小量； 1 x2 为 x 1 时的无穷小量； sin x 为 x 时的无穷小量; x sin x 为 x 时的有界量.
显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 小量.
对于无穷小量与有界量，有如下关系：
1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是 无穷小量.
右边，本质上只是表示一类函数．例如
o( g( x) )
( x x0 ) 表示 g的( x所)有高阶无穷小量的集合．
也就是说，这里的 “=” 类似于
“” .
4.
若
lim
x x0
f (x) g( x)
1,
则称
f ( x) 与 g( x) 为 x x0 时的
等价无穷小量，记作
f ( x) ~ g( x) ( x x0 ).
x
2
sin
1 x
是同阶无穷小量.
U ( x0 ) 内满足:
f (x) L, g( x)
则记 f ( x) O( g( x)) ( x x0 ).
f ( x) 为 x x0 时的有界量时 , 我们记
f ( x) O(1) ( x x0 ) .
应当注意，若
f ( x) , g( x) 为 x x0 时的同阶无
U ( x0 ) 内，有
L f (x) M , g( x)
则称 f与( x) 是 g( x) x x0 时的同阶无穷小量.
根据函数极限的保号性，特别当
f (x)
lim
c0
xx0 g( x)
时，这两个无穷小量一定是同阶的.
例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x2是同阶无穷小量;
当 x 0 时，x 与
x 0
x x 0 x 0 x
从几何上看，曲线
y
x sin
1 x
在
x 近0旁发生无
限密集的振动，其振幅被两条直线
y x 所限制.
y
0.1 y x
0.05
y x sin 1 x
-0.1 -0.05 O
0.05 0.1
x
-0.05 -0.1
y x
二、无穷小量阶的比较 、 、 两个相同类型的无穷小量，它们的和 差 积仍
一、无穷小量
定义1 设 f 在点x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义，
若 lim f x 0, x x0
则称 f 为 x x0 时的无穷小量 .
若 f 在点 x0的某个空心邻域内有界，则称 f 为
x x0 时的有界量.
类似地可以分别定义 f 为
x x0 , x x0 , x , x , x 时的无穷小量和有界量.
是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的. 这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察
两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给 出如下定义.
设当 x x0 时，f x, gx 均是无穷小量 .
1.
若 lim x x0
f x gx
0，则称
x x0
时 f x 是关于 gx
的高阶无穷小量，记作 f ( x) o( g( x)) ( x x0 ) .
2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.
性质1可由极限的四则运算性质直接得到.
下面对性质２加以证明.
设 lim x x0
f (x)
0, |
g(x) |
M,
x U o( x0 ). 对于任意
的 0, 因为 lim f x 0 , 所以存在 0 , 使得当
x x0
0|
x
x0
|
时,
|
f (x)|
, 从而
M 1
| f ( x)g( x) | .
这就证明了 f ( x)g( x) 是 x x0 时 的无穷小量 .
例如:
x
为
x
0
时的无穷小量，sin
1 x
为
x
0
时
的有界量，那么 x sin 1x 为 x 0 时的无穷小量 .
应当注意, 下面运算的写法是错误的：
lim x sin 1 lim x lim sin 1 0 .
f (x)
f (x)
g( x)
lim
lim
lim
1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxx0 h( x) xx0 g( x) xx0 h( x)
前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并
不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
sin x 与 x
1 均为 x2
x 时的无穷小量, 却不能
按照前面讨论的方式进行阶的比较. 这是因为
当 f ( x) 为 x x0 时的无穷小量时，我们记 f ( x) o (1) ( x x0 ) .
例如： 1 cos x o( x) ( x 0 ) ; sin x o (1) ( x 0 ) ; xk1 o ( xk ) ( x 0, k 0 ) .
2. 若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域
x x0
x x0
(2) 若 lim h( x) A, 则 lim h( x) A.
xx0 f ( x)
xx0 g( x)
证 (1) 因为 lim f ( x)h( x) A, lim f ( x) 1, 所以
x x0
xx0 g( x)
lim g( x)h( x) lim g( x) f ( x)h( x) A.
因为
lim
x 0
sin x
x
1,
所以
sin x ~
x ( x 0) ;
因为
lim
x 0
arctan x
x
1,
所以
arctan
x
~
x (x
0) ;
同样还有 1 cos x ~ 1 x2 ( x 0) . 2
根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：
若 f ( x) ~ g( x) ( x x0 ), g( x) ~ h( x) ( x x0 ), 那么 f ( x) ~ h( x) ( x x0 ) . 这是因为
sin x x x sin x ( x ) 1
x2
是一个无界量，并且
(2nπ)sin(2nπ) 0 .
下面介绍一个非常有用的定理：
定理3.12
设函数 f, g, h 在
U ( x0 ) 内有定义, 且
f ( x) ~ g( x) ( x x0 ).
(1) 若 lim f ( x)h( x) A, 则 lim g( x)h( x) A;
穷小量，当然有
f ( x) O( g( x) ) ( x x0 ) .
反之不一定成立, 例如
x
sin
1 x
O(
x
)
( x 0) .
但是这两个无穷小量不是同阶的.
注意： 这里的 f ( x) o( g( x) ) 与 f ( x) O( g( x) )
( x x0 ) 和通常的等式是不同的，这两个式子的
例如: x 1为 x 1 时的无穷小量； 1 x2 为 x 1 时的无穷小量； sin x 为 x 时的无穷小量; x sin x 为 x 时的有界量.
显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 小量.
对于无穷小量与有界量，有如下关系：
1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是 无穷小量.
右边，本质上只是表示一类函数．例如
o( g( x) )
( x x0 ) 表示 g的( x所)有高阶无穷小量的集合．
也就是说，这里的 “=” 类似于
“” .
4.
若
lim
x x0
f (x) g( x)
1,
则称
f ( x) 与 g( x) 为 x x0 时的
等价无穷小量，记作
f ( x) ~ g( x) ( x x0 ).