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(完整版)无穷小量与无穷大量
第周第学时教案授课教师：贾其鑫第周第学时教案授课教师：贾其鑫第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有|f (x )|>M .正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 因为∀M >0, ∃M 1=δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|, 所以∞=-→11lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|1|1|11|, 只要M x 1|1|<-.第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明:如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).1.3.3无穷小量的性质第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
第一章无穷小量与无穷大量
α ( x) 的同阶无穷小， （3）如果 lim = A ≠ 0，则称 α ( x )是β ( x )的同阶无穷小， β ( x)
α ( x) 是等阶无穷小量， 当A = 1，即 lim = 1，则称 α ( x )与β ( x )是等阶无穷小量， β ( x)
记作α(x) ～ β(x) 记作
α ( x) 的同阶无穷小， （3）如果 lim = A ≠ 0，则称 α ( x )是β ( x )的同阶无穷小， β ( x)
x →0
x
1 sin ≤ 1， 解：因为 lin x = 0，即x是x → 0时的无穷小量。 x →0 x 1 1 即 sin 是有界变量 ， 由推论 2知x sin 为x → 0时的无穷 x x 1 小量， 即 lim x. sin = 0 x →0 x
三、无穷小的比较
x， x，x 2都是无穷小， 都是无穷小， 我们知道， 我们知道，当 x → 0时， 3
x2 lim = 0， x →0 3 x 3x lim 2 = ∞， x →0 x 3x lim = 3， x况， 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反 映了不同的无穷小趋向于零的快慢程度． 映了不同的无穷小趋向于零的快慢程度．所以无 穷小量的比较是指这种趋向于0的 穷小量的比较是指这种趋向于 的“快”与“慢” 的比较， 的比较，可以用它们在同一变化过程中的比值的 极限来衡量． 极限来衡量．
即 lim ( x 2 − 2 x + k ) = 0
x→3
所以， 所以，k=3
例4、 x3 1)、lim = 0， 则 x 3是 x的高阶无穷小 x→0 x
x = ∞ ， 则 x是 x 3的低阶无穷小 x→0 x 3 tan 2 x 3)、lim = 2， 则 tan 2 x是 x的同阶无穷小 x→0 x 2)、lim
无穷小量无穷大量
正无穷大量 : lim f ( x)
负无穷大量 : lim f ( x)
1 例 证明 lim 1 . x 1 x 1
1 证 : 设 G是任意给定的正数 , 要使 G, x 1 1 只要 | x 1| . G y 1 1 取 , 则当 0 | x 1| 时 , 0 G
错！ 错！
1 1 1 （1）错解： lim lim x lim x lim sin 1 ， ； 正解： ∵ x sin 0 ，而 sin 0 x0x0 x x0 x0x x
1 ∴ lim x sin 0 。 x x0
1 （2） 解： ∵ lim 0 ，而 arctan x ， 2 x x
(3)若lim X ， limY , 则lim(X Y) (4) 若lim X ， Y, 则limY X (5)若lim X ，则lim （ X )
1 (6) 若lim X ，则lim 0; X 1 反之，若lim X 0，且X 0, 则lim X
5
1 就有 G. x 1 1 所以 lim . x 1 x 1
-4
-2
-5 -10
2
4
6
x
又如 用无穷大的定义可以证明 :
当x 时, e x 是无穷大量,即 lim e x
x
当x 0 时, e 是无穷大量,即 lim e
x 0
1 x
1 x
在下面的定义和定理中, 总设 及 是在同一 个自变量的变化过程中的 无穷小 , 且 0 .
定义 3 设 lim X lim Y 0
X （1）若 lim 0 , 则称 X 是比 Y 高阶的无穷小 , Y 而称 Y 是 X 的低阶无穷小 ; 记为X o(Y );
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。
它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。
本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。
一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
通常用符号"ε"或者"δ"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。
无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。
2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。
这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。
二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。
通常用符号"∞"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。
无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。
2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。
3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。
无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。
三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。
当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。
无穷小量与无穷大量
故 lim 1 sin x 0 . x x
注意：
我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.
例3
求
lim
x0
x3 x2
4
.
解 由于 lim x3 0 , ( 无穷小量 ) x 0
lim(x2 4) 4 ,
x 0
故
lim
x0
x3 x2
例4
lim
x s in
1 x
lim
sin
1
x0 x
x0
x
不存在, 但不是无穷大,
x 0 时,
x sin 1 x
与
x是
不可比较的无穷小.
二. 关于等阶无穷小的性质和定理
1. 定理
定理 设在某一极限过程中, ~ , ~ ,
若 lim a ( 或为 ) ,
例2 证明 ax 1 ~ x ln a (x 0 , a 0) 证 即要证 lim a x 1 1 x0 x ln a 令 y ax 1, 则 x 0 时, y 0 , 且
x
log a
(1
y)
ln(1 ln a
y)
有何想法？
故 lim ax 1 lim y lim x0 x ln a y0 ln(1 y) y0
1 x 1~ x 2
1 cos x ~ x2
m1 x 1~ x
2
m
其中, m , n N , a 0 .
ex 1~ x
ax 1 ~ xln a
tan x sin x ~ x3 2
例5
《数学分析》14无穷小量与无穷大量word精品文档6页
§５ 无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。
会利用它们求某些函数的极限。
教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。
引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列。
通过前面几节对函数极限的学习。
我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。
例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=L我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。
既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。
一、无穷小量1．定义１：设f 在某00()U x 内有定义。
若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。
记作：0()0(1)()f x x x =→.（类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。
例：(1,2,),sin ,1cos k x k x x =-L 都是当0x →时的无穷小量；是当1x -→时的无穷小量；21sin ,xx x是x →∞时的无穷小量。
2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1sinx是当0x →时的有界量，即1sin(1)(0)O x x=→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。
一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。
4 无穷小量和无穷大量
2 + 3x 2 2 要使 ， = + 3 ≥ − 3 > M，只要 x x x
2 2 > 3 + M， 即 x < M +3 x
2 取δ= ,则对 ∀ M > 0 ， M+3 2 + 3x 当 0 < x < δ 时，有 >M x 2 + 3x 故 lim =∞ x→0 x
数学分析( 数学分析(上)
2
令 x＝－t，原式＝ 1 ＝－t 原式＝
数学分析( 数学分析(上)
定理5 复合运算法则) 定理5 (复合运算法则) 设y = f (u )与u = ϕ ( x )满足
(1)Rϕ ⊂ Df ;
ϕ (2) limϕ(x) = u0 , 且∃δ0 > 0, 对∀x ∈U(x0 ,δ0 ),都有 (x) ≠ u0;
x →∞
x + arctan x
数学分析( 数学分析(上)
1+ x −1 例7 求 lim x →0 x
3
解 令 例8 求
3
1+ x = t
2
原式＝ ／ 原式＝1／3
2
x →+∞
lim ( x + x − x + 1）＝1／2
4x + x − 1 + x + 1
2
例9 求 lim
x → −∞
x + sin x
x−3 . 例2 求 lim 2 x→ 3 x − 9
x−3 x−3 = lim 解 lim 2 x→3 x − 9 x → 3 ( x − 3)( x + 3) 1 1 = lim = x→ 3 x + 3 6
数学分析3.5无穷小量与无穷大量
第三章函数极限5 无穷小量与无穷大量一、无穷小量定义1：设f在U0(x0)内有定义，若limx→x0f(x)=0，则称f为当x→x0时的无穷小量. 记作f(x)=o(1) (x→x0).若函数g在U0(x0)内有界，则称g为当x→x0时的有界量. 记作f(x)=O(1) (x→x0).性质：1、两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.2、无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.例：当x→0时，x2是无穷小量，sin1x 为有界量，所以limx→0x2sin1x=0.结论：limx→x0f x=A limx→x0(f x−A)=0.二、无穷小量阶的比较设x→x0时，f与g均为无穷小量.1、若limx→x0f(x)g(x)=0，则称当x→x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量. 记作f(x)=o(g(x)) (x→x0).2、若存在正数K和L，使得在某U0(x0)上有：K≤f(x)g(x)≤L或limx→x0f(x)g(x)=c≠0，则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量.例：(1)当x→0时，1-cos x与x2皆为无穷小量. 又limx→01−cos xx2=12. 所以1-cos x与x2为当x→0时的同阶无穷小量.(2)当x→0时，x与x2+sin1x 皆为无穷小量. 又1≤2+sin1x≤3. 所以x与x2+sin1x为当x→0时的同阶无穷小量.若无穷小量f与g满足关系式f(x)g(x)≤L，x∈U0(x0). 则记作f(x)=O(g(x)) (x→x0). 当f(x)=o(g(x)) (x→x0)时，也有f(x)=O(g(x)) (x→x0).o(g(x))=f|limx→x0f xg x=0；f(x)=o(g(x))，即f(x)∈f|limx→x0f xg x=0.3、若limx→x0f(x)g(x)=1，称f与g为当x→x0时的等阶无穷小量. 记作f(x)~g(x) (x→x0).注：不是任何两个无穷小量阶都可以进行比较，如：当x→0时，x sin1x和x2都是无穷小量，但它们的比1x sin1x或xsin1x当x→0时，都不是有界量，所以不能进行阶的比较。
无穷小量与无穷大量
f (x)
f (x) g(x)
lim
lim
lim
1 .
xa h( x) xa g( x) xa h( x)
前面讨论了无穷小量阶旳比较, 值得注意旳是, 并 不是任何两个无穷小量都可作阶旳比较. 例如
sin x 与 x
1 x2
均为 x
时旳无穷小量,
却不能
按照前面讨论旳方式进行阶旳比较. 这是因为
例6
计算
lim
x 0
tan x sin x sin x3
.
解
lim
x 0
tan x sin x sin x3
lim
x 0
tan
x sin x3
x
sin
x(
1 cos
x
1
)
lim x 0
x3
lim
x 0
sin
x(1 cos x3 cos x
x)
lim
x 0
x
x2 2
x3
1. 2
xa f ( x)
(2) 能够类似地证明. 上述定理 告诉我们，在求极限时，乘积中旳因子
可用等价无穷小量替代，这是一种很有用旳措施. 例5 计算 lim arctan x .
x 0 sin 2 x 解 因为 arctan x ~ x , sin 2x ~ 2x ( x 0), 所以
lim arctan x lim x 1 . x 0 sin 2 x x 0 2 x 2
时的有界量.
例如: 1 x2 为 x 1 时的无穷小量 sin x(x )为有界量.
性质1 若函数 f ( x)与g( x)( x a) 都是无穷大， 则函数 f ( x)g( x)( x a) 是无穷大.
第3节 无穷小量与无穷大量
2/10/2019 6:10 AM
第2章
极限与连续
例2
1 变量 y 为无穷小量。 x
1 所以当 x 时， 0 ， 因为 lim x x
例3
2 lim x 因为 x 0 0 ，所以当 x 0 时，
2 2
所以，x 时， 函数 f ( x ) x cos x 不是 无穷大量。
2/10/2019 6:10 AM
第2章
极限与连续
3. 无穷小量与无穷大量的关系 【定理】在变量 y 的变化过程中
1 y 则 是无穷小量； （1）若 是无穷大量， y 1 y ( 0) 则 是无穷大量。 （2）若 是无穷小量， y 则对 0 , 证明（1）若 y 是无穷大量，
2/10/2019 6:10 AM
M
(2)
第2章
极限与连续
在上述两个时刻中较晚的那个时刻以后， （1）和（2）都成立。 因此，在那个较晚的时刻以后， 恒有
y y M
M
成立，所以 y 是无穷小量。 证毕。
【推论】常量与无穷小量的乘积是无穷
小量。
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3 2
0
（2007）
sin x cos x 2
因此
x3 x2 1 lim (sin x cos x ) 0 x 3 x 2 x
有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小。
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即 lim 0 ,
故 是无穷小量，且 y A
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23无穷小量与无穷大量
四、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x x2 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 限 1 2 x sin 1 0 x lim sin lim 不存在. 不可比. （ 型） 2 x 0 x0 x x 0
（1） 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意
：无穷多个无穷小的代数和未
必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 1 1 但 lim ... 1不是无穷小 . n n n n
n个
（2） 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. （3 ） 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
如： lim
x 0
x 1
1 x
2
x
lim ( x 2 1)
lim ln( x 1)
x
lim ln(x 1)
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2） 切 勿 将 lim f ( x ) 认 为 极 限 存 在 ;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界 变量未必是无穷大.
x x0
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x k 1 2k 2 ( k 0,1,2,3,)
1 1 sin x 1 cos x , lim lim lim 2 x 0 cos x x 0 2 x x 0 x
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§５ 无穷小量与无穷大量教学目的 ：理解无穷小（大）量及其阶的概念。
会利用它们求某些函数的极限。
教学要求 ：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。
引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim a n 0 . 我们称之为无穷小数n列。
通过前面几节对函数极限的学习。
我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。
例如：limsin x 0,lim x 2 0,Lx 0x 0我们给这类函数一个名称——“无穷小量” 。
既然有“无穷小量” ，与之对应的也应有“无穷大量” ，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量 ” 有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。
一、无穷小量1．定义１ ：设 f 在某 U 0 (x 0 ) 内有定义。
若 lim f ( x)0 ，则称 f 为当 xx 0 时的无穷小量。
记作：xx 0f (x)0(1)(x x 0 ) .（类似地可以定义当 xx 0 , x x 0 , x, x, x时的无穷小量） 。
例：x k(k1,2, ),sin x ,1 cosx 都是当 x 0 时的无穷小量； 1 x 是当 x 1 时的无穷小量；L1 sin x, 是 x 时的无穷小量。
x 2x2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２ （有界量 ）若函数 g 在某 U 0 (x 0 ) 内有界，则称g 为当 x x 0 时的有界量，记作：g( x) O (1)(xx 0 ) .例如： sin x 是当 x 时的有界量，即sin x O (1)(x) ; sin 1是当 x0 时的有界量，即1xO(1)(x 0) .sinx注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若 f (x) 0(1)(xx 0 ) ，则 f ( x) O (1)(x x 0 ) .区别 ：“ 有界量 ”与“ 有界函数 ”。
一般在谈到函数 f 是有界函数或函数 f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点 x ，都有 | f (x) | M 。
这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。
（２）性质性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。
性质２无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。
性质３lim f ( x)Af ( x) A 是当 xx时的无穷小量lim( f ( x)A) 0.x x 0x x 0例如； lim x2sin10 ， lim( x 2 x 3 ) 0,lim xsin x0 .x 0xx 0x 0问题 ：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：x 2x?,limx 2sin x1,lim2x 22 .lim0,lim221,lim2x 0xx 0xx 0xx 0xx 0x引申 ：同为无穷小量， lim x20，而 limx不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。
这个“级x 0xx 0x 2别” 表现在收敛于０ （或趋近于０） 的速度有快不慢。
就上述例子而言， 这个“级别” 的标志是 x 的“指数”，当 x0 时， x 的指数越大，它接近于０的速度越快。
这样看来，当x0 时， x 2 的收敛速度快于 x 的收敛速度。
所以其变化结果以x 2 为主。
此时称 x 2 是（当 x0 时） x 的高阶无穷小量，或称 x0 时， x 是x 2 的低阶无穷小量。
一般地，有下面定义：１．无穷小量阶的比较（主要对x x 0 叙述，对其它类似）设当 xx 0 时， f , g 均为无穷小量。
（１）若 limf ( x) 0 ，则称 xx 0 时 f 为 g 的高阶无穷小量，或称g 为 f 的低阶无穷小量，xxg ( x)记作 f ( x) 0( g ( x))( xx 0 ) . 即 f ( x) 0( g ( x))( x x 0 )lim f ( x) 0 .x x 0 g(x)例 limx k 1x k 10( x k)( x0) ， lim1cos x lim tan x0 1 cos x 0(sin x)( x 0) .x 0x kx 0sin x x 02问题 lim1 x2 lim(1 x)20(1 x)( x 1) ？1 x0，此时是可说 1 xx 1x 1引申 与上述记法： f ( x) 0( g( x))( x x 0 ) 相对应有如下记法： f ( x) O ( g( x))( x x 0 ) ，这是什么意思？含义如下：若无穷小量f与 g 满足关系式 f ( x) L, x U 0 ( x 0 ) ，则记作 f ( x) O (g ( x))( x x 0 ) .g( x)例如，（１） 1 cos x O( x 2 )( x0) ， x(2 sin x) O (x)( x 0) .2（２）若 f (x) 0( g( x))( xx 0 ) f (x) O( g( x))( x x 0 ) .注等式 f (x) 0( g( x))( xx 0 ) ， f (x) O( g(x))( xx 0 ) 等与通常等式的含义不同的。
这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数） ，而中间的“＝”叫的含义是“”。
例如：1 cos x0(sin x)( x0) ， 其 中 0(sin x)f | lim f (x) 0 ，而上述等式表示函数x 0 g( x)1 cosxf | lim f ( x) 0 。
为方便起见，记作 1 cos x 0(sin x).x 0 g (x)（２）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某U 0( x 0 ) 上有 Kf (x)L ，则称 f 与 g 为当 xx 0时的g(x)同阶无穷小量。
但 需 要 注 意 ： limf ( x)不 存 在 ， 并 不 意 味 着 f 与 g 不 全 为 同 阶 无 穷 小 量 。
如x 0g( x)sin 1) x(2 sin 1 ) 1 ) 不存在。
但 1 x(2 sin 1) lim xlim x(20 ， lim x lim(2 sin x3 ，所 x 0x 0x x 0 x x 0x x以 x 与 x(2sin 1) 为当 x0 时的同阶无穷小量。
x由上述记号可知： 若 f 与 g 是当 xx 0 时的同阶无穷小量， 则一定有： f ( x) O( g( x))( xx 0 ) 。
（３）若 limf ( x) x 0 时的等价无穷小量，记作 f ( x) : g( x)( xx 0 ) .1 ，则称 f 与 g 是当 xx x 0g ( x)例如：１） sin x sin x : x( x0) ; ２） lim2(1 cos x)1 1 cos x :x 2 0) .lim12( xx 0 xx 0x2对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。
定 理设 函 数 f 、 g 、 h 在 U 0 ( x 0 ) 内 有 定 义 ， 且 有 f (x) : g( x)( xx 0 ) . (1) 若lim f ( x) h( x) x x 0例１． 求 lim x x 0例２． 求极限A ，则 lim g( x)h( x)A ；(2)h( x)h(x)B.若 limB, ，则 limx x 0x xf (x)x xg (x)arctgx .sin4xtgx sin xlim 3.x x 0sin x注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代 , 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。
３．小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。
无穷小量比较。
两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量。
但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。
例如 lim x sin1lim x 2 0 .x x 0x x x 0二、无穷大量１．问题 “无穷小量是以０为极限的函数” 。
能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数” 。
答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数f (x) 当 xx 0 时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“ ”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。
所以不能简单地讲“无穷大量是以 为极限的函数” 。
但是，确实存在着这样的函数，当xx 0 时， f ( x) 与 ( or) 无限接近。
例如：１）f ( x) 1 ，当 x0 时， 1 与越来越接近，而且只要x 与０充分接近，1就会无xxx限增大；２） f ( x)1 ，当 x1 时，也具有上述特性。
x 1在分析中把这类函数 f (x) 称为当 xx 0 时有非正常极限。
其精确定义如下：２．非正常极限定义２ （非正常极限 ）设函数 f (x) 在某 U 0 (x 0 ) 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在0 ，当x U 0 (x 0 ; )( U 0 ( x 0 )) 时有 | f ( x) | M ，则称函数f ( x) 当 xx 0 时有非正 常极限，记 作lim f ( x)。
x x 0注：１）若“ | f ( x) | M ”换成“ f (x) M ”，则称 f ( x) 当 xx 0 时有非正常极限；若换成 f ( x)M , 则称 f (x) 当 xx 0 时有 非正常极限，分别记作 limf (x), lim f ( x).x x 0x x 02)关于函数 f 在自变量 x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列a n当 n时的非正常极限的定义，都可类似地给出。
例如：lim f ( x)M 0 ，当 xM 时， f (x) M ;xlim a nM 0 ， N 0 ，当 n N 时， a nM .n３．无穷大量的定义定义３ ．对于自变量 x 的某种趋向（或 n），所有以, or为非正常极限的函数（包括数列），都称为 无穷大量 。
例如：1当 x0 时是无穷大量； a x (a 1) 当x时是无穷大量。
x 2注：１）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;２）若 f 为 xx 0 时的无穷大量，则易见 f为 U 0 (x 0 ) 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。
例如； f ( x) x sin x 在 U ()上无界，但 limf ( x;３）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定)x义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。
４．利用非正常极限定义验证极限等式例３ 证明lim 1 .x2x 0例４证明；当 a 1时， lim a x。
x三、无穷小量与无穷大量的关系定理 （１）设 f 在 U 0(x 0 ) 内有定义且不等于０，若f 为当 xx 0 时的无穷小量，则1为 xx 0 时f的无穷大量；（２）若 g 为 xx 0 时的无穷大量，则1为 xx 0 时的无穷小量。