高二数学下第1章《直线与平面》测试题
高中高二数学练习卷平面与空间直线练习试题
高二数学同步检测一平面与空间直线说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答 .第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10 小题 ,在每题给出的四个选项中,选择一个切合题目要求的选项）1.列命题是真命题的是()A.空间不一样三点确立一个平面B.空间两两订交的三条直线确立一个平面C.四边形确立一个平面D.和同向来线都订交的三条平行线在同一平面内答案 :D分析 :依据公义3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同向来线上的三点,才能确立一个平面 ,因此 A 错 .如图 (1),a,b,c 三条直线两两订交,但 a,b,c 不共面 ,因此 B 错误 .如图 (2),明显四边形ABCD 不可以确立一个平面.2.已知 AB ∥PQ,BC ∥QR,∠ ABC=30 ° ,则∠ PQR 等于 ()A.30 °B.30 °或 150°° D.以上结论都不对答案 :B分析 :由等角定理可知∠PQR 与∠ ABC 相等或互补 ,即∠ PQR=30°或 150°.3.如右图 ,α∩ β =l,A ∈ β ,B∈ β ,AB ∩ l=D,C ∈α ,则平面 ABC 和平面α的交线是 ()A. 直线C.直线ACABB. 直线D.直线BCCD答案 :D分析 :CD 为平面 ABC 与平面α的交线 .应选 D.4.如图 ,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,而且是所在棱的中点,则直线PQ 与RS 是异面直的是 () 答案 :C分析 :A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS订交;由两条直异面的判断定理可知中的 PQ 与 RS 异面 .5.“ a,b 是异面直”的表达，正确的选项是()①a∩ b=且a不平行于b② a平面α ,b平面β 且α ∩β =③ a平面α,b α④不存在平面α,使a平面α 且b平面α 建立A. ①②B.①③C.①④D. ③④C 平面答案 :C分析 :依据“异面直是不一样在任何一个平面内的两条直”的定知,④正确.空不相交的两条直除平行外就是异面 ,故于① ,既然两直不平行 ,必定异面 .分在两个平面内的两条直可能平行 ,故②不正确 .平面内的一条直和平面外的一条直除异面外可能平行或订交 ,故③不正确 .上所述 ,只有①④正确 .6.右是一个无盖的正方体盒子睁开后的平面，体盒子中，∠ ABC 的⋯ ()A 、 B、 C 是睁开上的三点，在正方A.180 °°°°答案 :C分析 :把平面形原立体形，找准 A 、 B 、C 三点相地点,可知∠ABC 在等△ABC 内.7.在空四形ABCD 中,M,N 分是AB,CD 的中点, BC+AD=2a, MN 与 a 的大小关系是( )A.MN>aB.MN=aC.MN<aD.不可以确立答案 :C分析 :如图,取AC中点P,则MP 1 1故 C 正确 . 2BC,NP AD, 且 MP+NP= (BC+AD)=a>MN,28.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD —A 1B1 C1D 1中， O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是CC1、 AD 的中点，那么异面直线OE 和 FD 1所成的角的余弦值等于 ()10 15 4 2A. B. C. D.5 5 5 3答案 :B分析一 :如图 (1),取面 CC1D1D 的中心为 H，连接 FH 、D 1H.易知 OE∥ FH ，因此∠ D 1FH 为所求异面直线所成的角 .在△ FHD 1中，FD 1= 5， FH=3， D1H=2由余弦定理，得∠D 1FH 的余弦值为15 .2 2 2 5分析二 :如图 (2),取 BC 中点为 G.连接 GC1、 FD1,则 GC1∥ FD1.再取 GC 中点为 H, 连接 HE 、OH，则∠ OEH 为异面直线所成的角 .在△ OEH 中， OE= 3 ,HE= 5，OH= 5 .2 4 4由余弦定理，可得cos∠OEH= 15. 59.空间有四点 A,B,C,D, 每两点的连线长都是2,动点 P 在线段 AB 上 ,动点 Q 在线段 CD 上 ,则P,Q 两点之间的最小距离为( )B.3C. 2D. 3 2答案 :C分析 :PQ的最小值应是AB,CD 的公垂线段长 .易知 P,Q 分别是 AB,CD 中点时 ,PQ⊥ AB,PQ ⊥CD.在 Rt△ BQP 中 ,∵BQ= 3 ,BP=1,∴PQ= 3 1 = 2 .10.右图是正方体的平面睁开图,则在这个正方体中:①BM 与 ED 平行 ;② CN 与 BE 是异面直线 ;③ CN 与 BM 成 60°角 ;④ DM 与 BN 垂直 .以上四个命题中,正确命题的序号是()A. ①②③B. ②④C.③④D.②③④答案 :C分析 :将上边的睁开图复原成以下图正方体.简单知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①②不正确 .由于 BE∥ CN, 因此 CN 与 BM 所成的角是∠ EBM=60 ° ,延伸 CD 至 D ′,使 DD ′=DC, 则D ′N ∥ DM, ∠ BND ′就是 DM 与 BN 所成的角 .设正方体的棱长为 1,由于 BN= 3 a,ND ′ = 2 a,BD′= 5 a,因此BN2+D′N2=D′B2,即BN⊥ND′,BN⊥DM.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题 ,答案需填在题中横线上）11.以下四个命题 :①A ∈ l,A ∈ α,B∈ l,B∈ αl α;②A ∈ α,A∈ β,B∈ α,B∈βα∩β =AB;③l α,A∈ l A a;④A,B,C ∈ α,A,B,C∈ β,且 A,B,C 不共线α与β重合.此中推理正确的序号是__________.答案 :①②④分析 :由公义 1 知①正确 ;由公义 2 知②正确 ;由公义 3 知④正确 ;而③中直线 l 可能与平面 α 订交于 A.故③不正确 .12.空间四条直线 ,两两订交可确立平面的个数最多有 ____________ 个.答案 :6分析 :明显 ,任两条订交直线若都能确立一个平面 (不重复 ),此时平面个数最多 .如图 ,平面 PAB, 平面PAC,平面 PAD,平面 PBC,平面 PCD,平面 PBD, 共 6 个. 13.(2006 全国要点中学一模 ,11)给出三个命题 :①若两条直线和第三条直线所成的角相等 ,则这两条直线相互平行 ; ②若两条直线都与第三条直线垂直 ,则这两条直线相互平行 ; ③若两条直线都与第三条直线平行 ,则这两条直线相互平行 . 此中不正确的序号是 __________. 答案 :①②分析 :在以下图的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中 ,A 1D 1⊥ D 1D,C 1D 1⊥ D 1D,即 A 1D 1 与 D 1D,C 1D 1 与 D 1D 所成的角都是 90°,但 A 1D 1 与 C 1 D 1 不平行 ,可知①②不正确 ,由公义 4 可知③正确 . 14.在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，假如 E 、 F 分别为 AB 、CC 1 的中点，那么异面直线 A 1C与 EF 所成的角等于 _______________. 答案 :arccos23分析 :延伸 AA 1 到 P ，使 A 1P=1 AA 1，2连接 PF ，则 PF ∥ A 1C ，设 A 1A=a.则 PE 2=( 3a)2+( 1a)2=102 2 4 EF 2=( 1 a)2+a 2+( 1 a)2 = 6224a 2，a 2 ，PF 2=A 1C 2=3a 2 .3a 2 6 a 2 10 a 2∴cos ∠ PEF=4 4 2.2 3a6 a 322∴直线 A 1C 与 EF 所成的角等于 arccos.3三、解答题（本大题共 5 小题 ,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.已知正方体ABCD — A 1B1C1D 1中， E、 F 分别是 D1C1、 B1C1的中点， AC∩BD=P ，A 1C1∩ EF=Q，求证：(1)D 、 B、 F、 E 四点共面；(2)若直线 A 1C 交平面 DBFE 于点 R，则 P、 Q、 R 三点共线 .(1)证法一 :∵ EF 是△ D 1B1 C1的中位线 ,∴EF ∥B 1D 1.在正方体 AC 1中， B1 D1∥ BD,∴E F ∥BD.由公义 3 知 EF 、BD 确立一个平面,即 D 、B、 F、 E 四点共面 .证法二 :延伸 BF,CC1交于点 G,延伸 DE,CC 1交于点 G′ .G 与 G′重合 DE,BF 是订交直线D,B,F,E 四点共面 .(2)证明 :正方体 ABCD — A 1B1C1D1中，设 A 1ACC 1确立的平面为α ,设平面 DBFE 为β,Q EF Q∵Q 为α、β的公共点.又Q A1C1Q同理 ,P 亦为α、β的公共点 ,R A1C RR∈ PQ,即 P、 Q、 R 三点共线 .∴又 R由公义 2可知评论 :证明多点共线，可先由两点确立向来线，证其他点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法.16.如图，E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边上的点，且有 AE ∶EB=AH ∶ HD=m,CF ∶FB=CG ∶GD=n.(1)证明 E、 F、 G、H 四点共面 .(2)m 、 n 知足什么条件时，EFGH 是平行四边形 ?(3)在（ 2）的条件下，若 AC ⊥ BD ，试证明 EG=FH.(1)证明 :∵AE ∶ EB=AH ∶ HD ，∴ EH ∥ BD.∵C F∶ FB=CG ∶ GD，∴FG∥ BD. ∴ EH ∥ FG.∴ E、 F、 G、H 四点共面 .(2)解 :当且仅当 EH FG 时，四边形 EFGH 为平行四边形 .∵ EH AE m ,∴ EH= m BD.BD AE EB m 1 m 1同理 ,FG= n BD. 由 EH=FG 得 m=n.n 1故当 m=n 时，四边形EFGH 为平行四边形 .(3) 证明 :当 m=n 时， AE ∶ EB=CF ∶ FB,∴ EF∥ AC.又∵ AC ⊥ BD ，∴∠ FEH 是 AC 与 BD 所成的角 .∴∠ FEH=90 ° .进而 EFGH 为矩形，∴ EG=FH.评论 :空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点的连线组成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当两对角线相互垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且相互垂直时 ,该平行四边形为正方形 .M,N,P . 分别在直线a,b,c 上 ,点Q 是b 17.如图 ,a,b,c 为不共面的三条直线,且订交于一点O,点上异于 N 的点 ,判断 MN 与 PQ 的地点关系 ,并予以证明证法一 :(反证法 )假定 MN 与 PQ 共面于β ,则点 M,N,P,Q∈ β .又点 N, Q b b OcO b P同理 ,aβ .∴a,b,c 共面 ,与已知 a,b,c 不共面矛盾 .故 MN 与 PQ 为异面直线 .a b0点M , N , Q共面于 MON证法二 : M又 Q b且异于 NN , Q b点Q MN,OP 平面 MON点 P平面MON.P c故平面 MON 内一点 Q 与平面外一点P的连线 PQ 与平面内可是Q 点的直线MN 是异面直线.18.以下图 ,今有一正方体木材ABCD — A 1B 1C1D1,此中M,N分别是AB,CB的中点,要过D 1,M,N 三点将木材锯开 ,请你帮助木匠师傅想方法 ,如何画线才能顺利达成 ?解: 作法以下 :(1) 连接 MN 并延伸交 DC 的延伸线于 F,连接 D 1F 交 CC 1 于 Q,连接 QN; (2) 延伸 NM 交 DA 的延伸线于 E,连接 D 1E 交 A 1A 于 P,连接 MP;(3) 挨次在正方体各个面上画线D 1P,PM,MN,NQ,QD 1,即为木匠师傅所要画的线 .19. 如 图 ,AB,CD是 两 条 异 面 直 线 ,AB=CD=3a,E,F 分 别 是 线 段 AD,BC上 的 点 , 且ED=2AE,FC=2BF,EF=7 a,G ∈ BD,EG ∥ AB.(1) 求 AB 与 CD 所成的角 ; (2) 求△ EFG 的面积 .解 :(1) ∵ ED=2AE,EG ∥AB, ∴ DG=2BG . ∵ F C=2BF, ∴ FG ∥ DC.∴∠ EGF 即为 AB 与 CD 所成的角或其补角 .∵ A B=CD=3a,EG=2a,GF=a, 又 EF= 7 a,EG 2 GF 2 EF 24a 2 a 2 7a 21 ∴cos ∠ EGF=2EG GF2 2a a.2∴∠ EGF=120° .∴ AB 与 CD 所成的角为 60° .1 (2)S △ EFG = EG ·GF · sin120° 2= 1× 2a × a × sin120°23 2=a .2本卷由《 100 测评网》整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提高.。
高二数学选修2-1第一章测试题
1.如下图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． (1)求证：AC 1∥平面CDB 1；(2)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．2.如下图所示， 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点，求证：(1) MN//B 1D 1 ；(2) AC 1//平面EB 1D 1 ；(3) 平面EB 1D 1//平面BDG.3.如图， 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、P 、Q 、R 分别是所在棱 AB 、BC 、BB '、A 'D '、D 'C '、DD '的中点，求证： (1)PQ ∥EF ； (2)PQ ∥平面EFG ； (3)平面PQR ∥平面EFG ；(4)异面直线EG 与AC 1的夹角的余弦.5. 已知PA ⊥平面ABC ，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的任一点，求证：PC BC ⊥6、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB, PC 的中点 (1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：EF ⊥CD ；（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．7、如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是B D ．BC 的中点,2====BD CD CB CA ,2==AD AB(Ⅰ)求证:AO ⊥平面BCD;(Ⅱ)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值;(Ⅲ)求点E 到平面ACD 的距离.1、（1）起止框图： （2）输入、输出框： （3）处理框： （4）判断框：ACD'B 'C 'D ' FQGRP OCCB DA PEFACDOBE2、三种基本逻辑结构: 顺序结构 ;条件结构;循环结构3、基本算法语句 条件语句IF -THEN -ELSE 格式当计算机执行上述语句时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句1，否则执行ELSE 后的语句2。
高二数学 空间平行关系
高二数学空间平行关系知识要点（一）直线与直线平行的判定方法1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（二）直线与平面平行的判定方法1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。
3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。
（三）平面和平面平行的判定方法1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（四）直线与平面平行的性质1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（五）平面与平面平行的性质1、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-3直线与平面的夹角
3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB ＝60°，射线PC 与PA 、PB 所成角均为135°，则PC 与平面α所成角的余弦值是( )A ．－63B.63C.33D ．－33[答案] B[解析] 由三余弦公式知cos45°＝cos α·cos30°， ∴cos α＝63. 2．三棱锥P —ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是△ABC 的外心，P A ＝AB ＝1，BC ＝2，则PB 与底面ABC 所成角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°[答案] B[解析] 由AB ＝1，BC ＝2，知AC ＝3，∴OA ＝32， 又∵PA ＝1，PQ ⊥AC ，∴PO ＝12，∵OB ＝OA ＝32，∴tan θ＝33.∴应选B. 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值是( ) A.24 B.23 C.63D.32[答案] C[解析] 由计算得sin θ＝23.故选C. 4．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833 C.21060D.21030[答案] D[解析] 以O 为原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝(－24a,0，144a )，可求得平面PBC 的法向量为n ＝(－1，－1，17)， ∴cos(OD →，n )＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与面PBC 的角为θ，则sin θ＝21030，故选D.5．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，2π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡π2，2π3D.⎣⎡π3，π2[答案] D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A7．如图，正方体AC 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( ) A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1 D ．∠C 1BO [答案] D[解析] 由三垂线定理得，OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.56π [答案] B[解析] 以D 为原点建立空间直角坐标系，平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)， 而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos θ＝1＋223＝32，∴θ＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角．9．正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折起，使点D 在面ABCD 外 ，这时DB 与平面ABC 所成角一定不等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 当沿对角线AC 折起时，BD 在面ABC 上的射影始终在原对角线上，若BD ⊥面ABC ，则此时B 、D 重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC 的一条直角边BC 平行于平面α，点A ∈α，斜边AB ＝2，AB 与平面α所成的角为30°，则AC 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 过B 、C 作BB ′⊥α于B ′，CC ′⊥α于C ′， 则BB ′＝CC ′＝1，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.故选B. 二、填空题11．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．[答案]104[解析] 设三棱柱的棱长为1，以B 为原点，建立坐标系如图，则C 1(0,1,1)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ. sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，∴cos θ＝1－sin 2θ＝104. 12．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．[答案] 30°13．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为________．[答案] 60°14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、A 1D 1的中点，则EF 与面A 1C 1所成的角为________．[答案] 45° 三、解答题15．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12SC 与平面ABCD 所成的角．[解析] 解法1：如图所示，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，A ∈α，则AB 与平面α所成的角为π2－arccos |AB →·n ||AB →|·n ；AS →是平面ABCD 的法向量，设CS →与AS →的夹角为φ. ∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1. |AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS →|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos33. 从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.解法2：连结AC ，显然∠SCA 即为SC 与平面ABCD 所成的角．计算得：AC ＝2，∴tan ∠SCA ＝22，故SC 与平面ABCD 所成角为arctan22. 16．如图，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°.D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点．若OP ⊥BD ，试求：(1)OP 与底面AOB 所成的角的大小； (2)BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小．[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B (3,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，2，4，设P (3,0，z )，则BD →＝⎝⎛⎭⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，z ＝98.∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，98.(1)∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角． ∵tan ∠POB ＝983＝38，∴∠POB ＝arctan 38.故OP 与底面AOB 所成角的大小是arctan 38.(2)∵OB →＝(3,0,0)，且OB →⊥平面AOO ′A ′， ∴平面AOO ′A ′的法向量为OB →＝(3,0,0)． 又DB →＝(3,0,0)－⎝⎛⎭⎫32，2，4＝⎝⎛⎭⎫32，－2，－4， ∴OB →·DB { ＝3×32＋(－2)×0＋(－4)×0＝92.又|OB →|＝3， |DB →|＝⎝⎛⎭⎫322＋(－2)2＋(－4)2＝892， ∴cos 〈OB →，DB →〉＝OB →·DB →|OB →|·|DB →|＝923×892＝389 .∴BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小为π2－〈OB →，DB →〉＝π2－arccos 389(或写成arcsin389)．17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值．[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)，BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BD ，n ⊥BB 1∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝－2x －2y ＝0n ·BB 1→＝2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y z ＝0， 令y ＝1时，则n ＝(－1,1,0)， cos<n ，BE →>＝n ·BE →|n ||BE →|＝105.即BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为105.18．(2009·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的大小； [解析] 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．解法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形， ∴AD ＝12AB .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12.∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arcsin24. 解法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设PA ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12a ，32a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32a ，0，P (0,0，a )． (1)∵AP →＝(0,0，a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，∴BC →·AP →＝0， ∴BC ⊥AP .又∵∠BCA ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D ⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12，E ⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a .又由(1)知，BC ⊥平面P AC . ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵AD →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a ，∴cos ∠DAE ＝AD →·AE →|AD →||AE →|＝144.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arccos144.。
高二数学立体几何(1)
平面的基本性质，两直线的位置关系一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．若直线上有两个点在平面外，则 （ ）A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内 2．在空间中，下列命题正确的是 （ ） A ．对边相等的四边形一定是平面图形B ．四边相等的四边形一定是平面图形C ．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形D ．有一组对角相等的四边形是平面图形 3．在空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．用一个平面去截正方体，则截面形状不可能是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 5．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A ．90° B ．45°C ．60°D ．30°6．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．相交或异面7．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ）A ．[30°，90°]B ．[60°，90°]C ．[30°，60°]D ．[60°，120°]8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线；③ CN 与BM 成60角； ④ DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C .③④D ．②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位 置关系只能是 （ ） A ．平行 B ．平行或异面 C ．平行或相交 D ．异面或相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EB ＝AF ：FDN D C ME A B F＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） A ．BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 B ．EF//平面BCD 且EFGH 是梯形C ．HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 D ．HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形二．填空题（本题每小题6分，共24分）11．若直线a, b 与直线c 相交成等角，则a, b 的位置关系是 ．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为 ． 三、解答题（共76分）15．（12分）已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线 .16．（12分）在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足PDCPQD AQ NB CN MB AM ====k .求证：M 、N 、P 、Q 共面.17．（12分）已知：平面,//,,,a c c A a b b a 且平面βαβα⊂=⋂⊂=⋂求证：b 、c 是异面直线18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD 中，AB =CD =3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，并且BE ∶EC =AF ∶FD =1∶2，EF =7，求AB 和CD 所成角的大小.19．（14分）四面体A-BCD 的棱长均为a ，E 、F 分别为楞AD 、BC 的 中点，求异面直线AF 与CE 所成的角的余弦值．20．（14分）在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.（2）求直线A′C与DE所成的角；直线和平面的位置关系一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．下列命题：① 一条直线在平面内 的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一 定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角 相等，则这两斜线互相平行.其中真命题的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列命题中正确的是 （ ）A ．若平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线B ．若平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交C ．若平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行D ．若平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直3．相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的 射影所成的角是 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．已知A 、B 两点在平面α的同侧，AC ⊥α于C ，BD ⊥α于D ，并且AD ∩BC ＝E ，EF ⊥α于F ，AC ＝a ，BD=b ，那么EF 的长等于 （ ）A ．b a ab +B ．ab b a +C ．b a 2+D ．2ba +5．P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面P AB 所成角的余弦值是（ ）A ．21B ．22C ．36 D ．33 6．Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，D 是BC 的中点，AC ＝2，DE ⊥平面ABC ，且DE ＝1，则点E 到斜边AC 的距离是 （ ）A ．25 B ．211 C ．27 D ．419 7．如图，PA ⊥矩形ABCD ，下列结论中不正确的是（ ） A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BD D ．PA ⊥BD8．如果α∥β，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的 两条线段，AB ⊥AC ，且AB ＝2，直线AB 与平面α所成的角为30°，那么线段AC 的长的取值范围是（ ）A． B ．[1,)+∞ C． D．)+∞9．若a , b 表示两条直线，α表示平面，下面命题中正确的是 （ ） A ．若a ⊥α, a ⊥b ，则b //α B ．若a //α, a ⊥b ，则b ⊥αC ．若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥bD ．若a //α, b //α，则a //b10．如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和，则 （ ） A ．1sin sin 2212≥+θθ B ．1sin sin 2212≤+θθC ．1sin sin 2212>+θθD ．1sin sin 2212<+θθ二、填空题（本题每小题6分，共24分）11．已知△ABC ，点P 是平面ABC 外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，（1）若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，那么O 点一定是△ABC 的 ；（2）若点P 到△ABC 的三边所在直线的距离相等且O 点在△ABC 内，那么O 点一定是△ABC 的 ．12．已知△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P 到此三角形 三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是 13．如图所示，矩形ABEF 与矩形EFDC 相交于EF ， 且BE ⊥CE ，AB ＝CD ＝4，BE ＝3，CE ＝2， ∠EAC ＝α，∠ACD ＝β，则cos α∶cos β＝ ．14．AB ∥CD ，它们都在平面α内，且相距28．EF ∥α，且相距15． EF ∥AB ，且相距17．则EF 和CD 间的距离为 ． 三、解答题（共76分） 15．（12分）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.16．（12分）A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （1）求证：AB ⊥CD ；（2）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.17．（12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：EF ⊥CD ；（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．18．（12分）在ABC ∆中，︒=∠75BAC ，线段VA ⊥平面ABC ，点A 在平面VBC 上的射影为H.求证：H 不可能是VBC ∆的垂心.19．（14分）AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，AB ＝2，AC ＝1， P 为⊙O 所在平面外一点，且PA ⊥⊙O ， PB 与平面所成角为45 （1）证明：BC ⊥平面PAC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离．20．（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作P A⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（2）求证：PB⊥面AMN.（3）若P A=A B=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？平面和平面的位置关系一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是 （ ） A ．垂直于同一平面的两平面平行 B ．垂直于同一直线的两平面平行 C ．与一直线成等角的两平面平行 D ．Rt ∠ABC 在平面α的射影仍是一个直角，则∠ABC 所在平面与平面α平行 2．ABCD 是一个四面体，在四个面中最多有几个是直角三角形 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m ⊂α、n ∥β,则m ∥n ； ②若m ∥α、n ∥β,则α∥β； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，m ∥β；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β． 其中真命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知二面角α－AB －β的平面角为θ，α内一点C 到β的距离为3，到棱AB 的距离为4， 则tan θ等于 （ ）A ．34B ．35CD5．下列命题：① 若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则α⊥β; ② 平面α⊥平面β，平 面β⊥平面γ，则α⊥γ；③ 直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β； ④ 平面α// 平面β，直线a ⊂平面α，则a //β．其中正确命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．二面角α－AB －β的平面角为锐角，C 是α内的一点 （它不在棱AB 上），点D 是C 在平面β内的射影，点E 是AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点，那么（ ） A ．∠CEB>∠DEB B ．∠CEB<∠DEB C ．∠CEB=∠DEB D ．无法确定7．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l βγ=⋂，//l α，,m m αγ⊂⊥，那么必有（ ） A ．,l m αγ⊥⊥ B ．,//m αγβ⊥ C ．//,m l m β⊥ D ．//,αβαβ⊥ 8．已知：矩形ADEF ⊥矩形BCEF ，记∠DBE ＝α， ∠DCE ＝β，∠BDC ＝θ，则 （ ） A ．sin α＝sin βsin θ B ．sin β＝sin αcos θ C ．cos α＝cos βcos θ D ．cos β＝cos αcos θ9．若有平面α与β，且l P P l ∉α∈β⊥α=βα,,, ，则下列命题中的假命题为 （ ）A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的直线在α内10．空间三条射线PA ，PB ，PC 满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C的度数 （ ）A ．等于90°B ．是小于120°的钝角C ．是大于等于120°小于等于135°的钝角D ．是大于135°小于等于150°的钝角二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果. 11．如图所示，E 、F 、G 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1相应棱的中点，则（1）面EFG 与面ABCD 所成的角为 ；（2）面EFG 与面ADD 1A 1所成的角为 ． 12．斜线PA 、PB 于平面α分别成40°和60°，则∠APB 的取值范围为13．在直角△ABC 中，两直角边AC ＝b ，BC ＝a ，CD ⊥AB 于D ， 把这个Rt △ABC 沿CD 折成直二面角A －CD －B 后， cos ∠ACB ＝ ．14．如图，两个矩形ABCD 和ABEF 中，AD ＝AF ＝1， DC ＝EF ＝，则AB 与CF 所成角θ的大小范 围是 ．三、解答题：本大题满分76分. 15．（本小题满分12分）.//,,//,,,:αββαb b a a b a 且且是异面直线已知⊂⊂ 求证：βα//．16．（本小题满分12分）正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′棱长为1．（1）证明：面A ′BD ∥面B ′CD ′； （2）求点B ′到面A ′BD 的距离．（14分）17．（本小题满分12分）如图，平面α∥平面β，点A 、C ∈α，B 、D ∈β，点E 、F 分别在线段AB 、CD 上，且FDCFEB AE =，求证：EF ∥β.18．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形.（1）求证：BC ⊥AD ；（2）若点D 到平面ABC 的距离不小于3，求二面角A —BC —D 的平面角的取值范围； （3）求四面体ABCD 的体积的最大值.19．（本小题满分14分）在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，底边AB 上有且 只有一点M 使得平面⊥DM D 1平面MC D 1. （1）求异面直线C C 1与M D 1的距离； （2）求二面角D C D M --1的大小.20．（本小题满分14分）如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. （1）证明AD ⊥D 1F; （2）求AE 与D 1F 所成的角; （3）证明面AED ⊥面A 1FD 1;（4）111112ED A F V ED A F AA --=的体积，求三棱锥设．空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是 （ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a 与平面β所成的角 （ ） A ．与θ相等 B ．与θ互余 C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为 （ ）A ．3π B ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG 中必有 （ ） A ．SG ⊥△EFG 所在平面 B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了 （ ） A ．1002米B ．502米C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos 33B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为 （ ）A ．43a B ．43 a C ．23 a D ．46a 9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是 （ ）A ．0＜α＜6π B ．6π＜α＜4π C ．4π＜α＜3π D ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA 〉的大小为（ ）A ．6πB ．65πC ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________． 13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC ，30=∠BAC ，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ．（1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小． 16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N ．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． 17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形， SD 垂直于底面ABCD ，SB=3． （1）求证BC ⊥SC ；（2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．1AB=a,(如图一)将△ADC 18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=2沿AC折起，使D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==)20(<<a ．（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小．二 面 角二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系，具有综合性强，灵活性大的特点，因此，一直成为高考、会考的热点。
2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义第1章 直线与方程 单元综合测试卷(解析版)
第1章 直线与方程 单元综合测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线1:2630l x y -+=与直线211:32l y x =+的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直【答案】B【解析】根据题意1:2630l x y -+=，化简得1:l 1132y x =+，由于1l 和2l 解析式完全相同，所以直线1l 与直线2l 重合. 故选：B.2．已知(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，则=a （ ） A ．2 B ．92C ．2或8-D ．2或92【答案】D【解析】因为(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，13452a a =-=⇒=，或92a =，故选：D3．已知直线1:30l x y -=，2:20l x ay +-=，若12l l ⊥，则=a ( ) A ．13B ．13-C ．3D ．－3【答案】A【解析】∵12l l ⊥，∴111()133a a ⋅-=-⇒=．故选：A ．4．已知()0,2A ，()2,1B ，过点()1,0C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．[]2,1- B ．()(),21,-∞-+∞C ．()2,1-D ．(][),21,-∞-+∞【答案】D 【解析】因为过点()1,0C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 有公共点，所以由图可知，BC k k ≥或AC k k ≤， 因为10121BCk -==-或20201ACk -==--， 所以1k或2k ≤-，故选：D5．已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论k ，1P ，2P 如何，方程组总有解B ．无论k ，1P ，2P 如何，方程组总有唯一解C ．存在k ，1P ，2P ，方程组无解D ．存在k ，1P ，2P ，方程组无穷多解 【答案】B【解析】已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点， 所以2112b b k a a -=-,即12a a ≠,并且11221,1b ka b ka =+=+，211212122121 a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-. 所以112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩①②21b ⨯-⨯①②b 得：()122121a b a b x b b -=-即()1221a a x b b -=-, 所以方程组有唯一解. 故选：B6．已知直线10l y +=与直线2:10l kx y -+=，若直线1l 与直线2l 的夹角是60°，则k 的值为（ ）A0 B ．0CD ．【答案】A【解析】直线10l y +=的斜率为1k =120°. 要使直线1l 与直线2l 的夹角是60°， 只需直线2l 的倾斜角为0°或60°， 所以k 的值为0故选：A7．在四边形ABCD 中，∠A ＝45°，∠B ＝75°，AD ＝2BC ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则MN ＝（ ）A ．62-B ．372C ．622+ D ．332【答案】B【解析】如图所示：过D 点作⊥DO AB ,垂足为O 点，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.设OE m =，由题知(32,0)-A ，(0,32)D ，因为62sin 75sin(4530)4︒︒︒+=+=，62cos 75cos(4530)4︒︒︒-=+=，所以3(62)(,)4C m +，3(62)(,0)4B m -+，因为M ，N 分别为AB ，CD 的中点，所以36152(,0)28m M -+，36152(,)28m N +，所以22361523615237()()28282m m MN -+=+-+=. 故选：B.8．已知直线l 经过点(3,1)P ，且被两条平行直线1l ：10x y ++=和2l ：60x y ++=截得的线段长为5，则直线l 的方程为（ ） A ．2x = B ．3x = C ．0y = D ．2y =【答案】B【解析】直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =， 此时l 与直线1l ,2l 的交点分别为()()3,4,3,9A B --， 截得的线段长1495AB =-+=，符合题意.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()13y k x -=-， 且设直线l 与直线1l 和2l 的交点分别为,.A B解方程组()1310y k x x y ⎧-=-⎨++=⎩，解得3241,11k k A k k --+⎛⎫⎪++⎝⎭； 解方程组()1360y k x x y ⎧-=-⎨++=⎩，解得3791,11k k B k k --+⎛⎫⎪++⎝⎭. 由5AB =,得2223237419151111k k k k k k k k ---+-+⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，解得0k =，即所求直线l 的方程为 1.y = 综上所述，所求直线l 的方程为3x =或 1.y = 故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年人教版高二数学复习精练第一章 空间向量与立体几何-综合检测(培优版)(解析版)
第一章 空间向量与立体几何本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列四个结论正确的是 （ ）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角 【答案】B【解析】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误； 若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-， 所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。
则不满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，C 错误；()()1,1,,2,,4a x b x ==-，则()()1,1,2,,42452a b x x x x x ⋅=⋅-=-++=-，令520x -<得：25x <，当1124xx ==-时，2x =-，此时,a b 反向， 要想,a b 为钝角，则25x <且2x ≠-，故D 错误. 故选：B2．直角梯形ABCD 中，,4,2,,AB DC AB CD AD BC AB E ===⊥∥是边AB 的中点，将三角形ADE 沿DE 折叠到1A DE 位置，使得二面角1A DE B --的大小为120，则异面直线1A D 与CE 所成角的余弦值为（ ）A ．14B C D ．34【答案】D建如图所示空间直角坐标系，得)11,0A -，()()()0,0,2,0,0,0,0,2,2D E C ，所以()()13,1,2,0,2,2A D EC =-=，所以11123cos ,48A D EC A D EC A D EC⋅+===. 故选：D3．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【解析】1121132322MN MA AB BN OA OB OA BC OA OB OC OB =++=+-+=-++-211322OA OB OC =-++，又OA a =，OB b =，OC c =，∴211322MN a b c =-++,故选：B ．4．以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面； 对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.5．如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B【解析】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B6．设P ABC -是正三棱锥，G 是ABC 的重心，D 是PG 上的一点，且PD DG =，若PD x yPB z PA PC =++，则(),,x y z 为（ ）A ．512,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．111,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,363⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为三棱锥P ABC -是正三棱锥，G 是ABC 的重心， 所以1111112()()3333333AG AB AC PB PA PC PA PB PC PA =+=-+-=+-， 因为D 是PG 上的一点，且PD DG =， 所以12PD PG =， 因为PG PA AG =+， 所以111222PD PG PA AG ==+ 1111222333PA PB PC PA ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭11112663PA PB PC PA =++-111666PA PB PC =++, 因为PD x yPB z PA PC =++，所以16x y z ===，所以(),,x y z 为111,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B7．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为CD ，CB 的中点，分别沿AE ，AF 将三角形ADE ，ABF 折起，使得点B ，D 恰好重合，记为点P ，则AC 与平面PCE 所成角等于（ ）A ．6πB ．4π C ．3πD ．512π 【答案】A【解析】由题意得,PA PF PA PE ⊥⊥，因为正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为CD ，CB 的中点， 所以1PE PF CE CF ====，所以222222EF CE CF PE PF =+==+， 所以PE PF ⊥所以P A ，PE ，PF 三线互相垂直，故以PE ，PF ，P A 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0P ，()1,0,0E ，()0,0,2A ，()0,1,0F ，设(),,C x y z ，则(,,2),(1,,),(,1,)AC x y z EC x y z FC x y z =-=-=-由AC =1EC =，1FC =，得222222222(2)8,(1)1,(1)1x y z x y z x y z ++-=-++=+-+=，解得222,,333C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222,,,(1,0,0)333PC PE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，则22203330n PC x y z n PE x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，令1z =，则()0,1,1n =， 因为228,,333AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以AC 与平面PCE 所成角的正弦值1cos ,22n AC n AC n AC⋅===，因为AC 与平面PCE 所成角为锐角， 所以AC 与平面PCE 所成角为6π， 故选：A8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．34D ．23【答案】A【解析】设上底面圆心为1O ，下底面圆心为O ，连接1,,OO OC OB 以O 为原点，分别以1,,OC OB OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则11(1,0,0),(0,2,0),(0,1,2),(2,0,2),C A B D 则11(1,0,2),(0,1,2)CD AB ==- 1111114cos ,55CD AB CD AB CD AB ⋅===⋅又异面直线所成角的范围为π(0,2⎤⎥⎦故异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为45故选：A一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A ．当P 为1BD中点时，APC ∠为锐角B ．存在点P ，使得1BD ⊥平面APCC ．AP PC +的最小值D ．顶点B 到平面APC 【答案】ABD【解析】：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系， 设()101BP BD λλ=≤≤，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ， 则()11,1,2BD =--，故()1,,2BP BD λλλλ==--， 则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，当P 为1BD 中点时，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅， 所以APC ∠为锐角，故A 正确； 当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥， 则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值， 由B 得，此时16λ=， 则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以306AP CP ==即AP PC +C 错误； 对于D ，()()0,1,0,1,1,0AB AC =-， 设平面APC 的法向量(),,n x y z =， 则有()0120n AC x y n AP x z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，可取()2,2,21n λλλ-，则点B 到平面APC 的距离为cos ,12AB n AB AB n nλ⋅⋅==当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当01λ<≤时，==≤，当且仅当12λ=时，取等号，所以点B 到平面APC，故D 正确. 故选：ABD.10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是CD ，11A B ，1DD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．E ，F ，M ，N 四点共面B ．BD 与EF 所成的角为3πC ．在线段BD 上存在点P ，使1PC ⊥平面EFMD ．在线段1A B 上任取点Q ，三棱锥Q EFM -的体积不变 【答案】ABD【解析】以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB =，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,2,2C ，()0,1,0E ，()2,1,2F ，()0,0,1M ，()1,2,0N ，设DE xDF yDM zDN =++，则()()()()0,1,02,1,20,0,11,2,0x y z =++，所以20,21,20,x z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1,32,32,3x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩故1x y z ++=，即E ，F ，M ，N 四点共面，选项A 正确；因为()2,2,0DB =．()2,0,2EF =，所以1cos ,28DB EF DB EF DB EF⋅===⋅， 所以BD 与EF 所成的角为3π，选项B 正确； 假设在线段BD 上存在点P ，符合题意.设()01DP DB λλ=≤≤，则()1112,22,2PC DC DP DC DB λλλ=-=-=--，若1PC ⊥平面EFM ，则10PC ME ⋅=，10PC MF ⋅=．因为()0,1,1ME =-，()2,1,1MF =，所以2220,42220,λλλ--=⎧⎨-+-+=⎩，此方程组无解，所以在线段BD 上不存在点P ，使1PC ⊥平面EFM ，选项C 错误； 因为()10,2,22A B ME =-=，所以1A B ME ∥，又1A B ⊄平面EFM ，ME ⊂平面EFM ，所以1A B ∥平面EFM ，故1A B 上的所有点到平面EFM 的距离均相等，即在线段1A B 上任取点Q ， 三棱锥Q EFM -的体积不变，选项D 正确． 故选：ABD11．关于空间向量，下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l m ⊥B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =--，平面α的法向量为()0,1,1b =，则l α∥C ．平面α，β的法向量分别为()1,1,2a =-，11,0,2b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则αβ∥D ．若对空间内任意一点O ，都有111236OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】AD【解析】对于A ，直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2110a b ⋅=--=，则l m ⊥，故正确对于B ，直线l 的方向向量为()0,1,1a =--，平面α的法向量为()0,1,1b =， 所以a b =-，则l α⊥，故错误；对于C ，平面α，β的法向量分别为()1,1,2a =-，11,0,2b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()11,0,1,1,21102⎛⎫⋅=⨯-=-+= ⎪⎝⎭a b ，a b ⊥，则αβ⊥，故错误；对于D ，111236OP OA OB OC =++，得1111236++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，故正确.故选：AD.12．已知点P 为正方体1111ABCD A B C D -内及表面一点，若AP BD ⊥，则（ ） A ．若//DP 平面1AB C 时，则点P 位于正方体的表面 B ．若点P 位于正方体的表面，则三棱锥C APD -的体积不变 C ．存在点P ，使得BP ⊥平面11B CDD ．AP ，CD 的夹角π3π,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】AD【解析】：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ， 所以BD ⊥平面11ACC A ，又AP BD ⊥，所以点P 在平面11ACC A 上（包括边界），又11//DA CB ，1DA ⊄平面1AB C ，1CB ⊂平面1AB C ，所以1//DA 平面1AB C ， 同理可得11//A C 平面1AB C ，1111AC A D A ⋂=，111,A C A D ⊂平面11AC D ， 所以平面11//AC D 平面1AB C ，因为//DP 平面1AB C ，D ∈平面11AC D ，所以DP ⊂平面11AC D ，又平面11AC D ⋂平面1111ACC A C A =，所以11P C A ∈，即P 位于正方体的表面，故A 正确； 对于B ，设P 到平面ADC 的距离为h ，则13C APD P ACD ADCV V Sh --==⋅显然当11P C A ∈和1P AA ∈（不包括1A 点）时h 不一样，则三棱锥C APD -的体积不一样，故B 错误；如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()10,1,1C ，所以()11,1,1AC =-，()10,1,1CD =-，()11,0,1CB =，所以110AC CD ⋅=，110AC CB ⋅=，即11AC CD ⊥，11AC CB ⊥， 11CD CB C ⋂=，11,CD CB ⊂平面11B CD ，所以1AC ⊥平面11B CD ，若BP ⊥平面11B CD ，则1//BP AC ，显然在平面11ACC A 上（包括边界）不存在点P ，使得1//BP AC ，故C 错误；因为设(),,P x y z ，()1,,AP x y z =-，()1,1,0DB =，所以10AP DB x y ⋅=-+=，即1y x =-， 又()0,1,0CD =-，所以AP CD y ⋅=-，1CD =，(AP x =，设所以AP，CD的夹角为θ，则cos θ==当0y =时cos 0θ=，2πθ=，当0y ≠时cos θ=222z y⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭≥ 所以0<≤，所以cos 0θ≤<，因为[]0,θπ∈，所以3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上可得3,24ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确；故选：AD三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知梯形ABCD 和矩形CDEF ．在平面图形中，112AB AD DE CD ====，CD AE ⊥．现将矩形CDEF 沿CD 进行如图所示的翻折，满足面ABCD 垂直于面CDEF ．设2EN NC =，EP PB μ=，若AP ∥面DBN ，则实数μ的值为______．【答案】3【解析】易得,CD DE CD DA ⊥⊥，又面ABCD ⊥面CDEF ，面ABCD面CDEF EF =，又AD ⊂面ABCD ，则AD ⊥面CDEF ，又DE ⊂面CDEF ，则AD DE ⊥，以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,10,2,0D B A E C ，又()2212410,,333333DN DE EN DE EC DE DC DE DE DC ⎛⎫=+=+=+-=+= ⎪⎝⎭，同理可得11,,111111DP DE EP DE EB DE DB μμμμμμμμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪++++++⎝⎭，设面DBN 的法向量为(),,n x y z =，则041033n DB x y n DN y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则()1,1,4n =--，又11,,111AP AD DP μμμμ⎛⎫=+=- ⎪+++⎝⎭， 又AP ∥面DBN ，则140111AP n μμμμ⋅=+-=+++，解得3μ=. 故答案为：3.14．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，AB =N 为侧面11BCC B 上一动点（不含边界），且满足1D N CN ⊥.记直线1D N 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的取值范围为_________.【答案】13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析：建立如图所示空间直角坐标系：则()()10,0,4,0,3,0D C ，设(),3,N x z ，所以()()1,3,4,,0,D N x z CN x z =-=，因为1D N CN ⊥，所以22140D N CN x z z ⋅=+-=， 则224x z z =-+，因为0x <2043z z <-+<， 解得01z <<或34z <<，易知平面11BCC B 的一个法向量为()0,1,0n =， 所以11sin D N n D N nx θ⋅===⋅则cos ,tan θθ==所以tan θ=∈13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.15．如图，锐二面角l αβ--的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC BD ==，CD =则锐二面角l αβ--的平面角的余弦值是___________.【答案】23【解析】设锐二面角l αβ--的平面角为θ，AC CD B A BD =-++，则2222222=36+16+3672cos =40AC AB BD AC AB AC BD A C B D D B θ=++-⋅-⋅+⋅-，则2cos 3θ=.故答案为：2316．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点(不含端点)，有下列结论：∴平面A 1D 1P ∴平面A 1AP ；∴多面体1D CDP -的体积为定值； ∴直线D 1P 与BC 所成的角可能为3π； ∴APD 1能是钝角三角形.其中结论正确的序号是___________(填上所有序号). 【答案】∴∴∴【解析】对于∴，正方体1111ABCD A B C D -中，111A D AA ⊥，11A D AB ⊥，1AA AB A =，11A D ∴⊥平面1A AP ，11A D ⊥平面11D A P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，故∴正确；对于∴，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面1CDD 的距离1BC =， ∴三棱锥1D CDP -的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=，为定值，故∴正确；对于∴，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(0D ，0，1)，(1,1,0)B ，(0C ，1，0)，设(1P ，a ，)b ，(01,01)a b <<<<，1(1D P =，a ，1)b -，(1,0,0)BC =-，1cos D P <，110||||1D P BC BC D P BC >==<，12=-，所以22(1)3a b +-=， 01a <<，01b <<，所以22(1)3a b +-<，所以假设不成立，故∴错误；对于∴，见上图，由题得1(1,0,0),(0,0,1)A D ,设(1,,1),(01)P y y y -<<， 所以1(0,,1),(1,,)PA y y PD y y =--+=--，所以21112(21)cos ,||||||||y y y yPA PD PA PD PA PD --<>==，当102y <<时，1cos ,0PA PD <><，即1APD ∠是钝角.此时APD 1是钝角三角形. 故∴正确. 故答案为：∴∴∴四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在圆锥PO 中，已知2,PO O =的直径2AB =，点C 是AB 的中点，点D 为AC 中点.(1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求二面角A PC B --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】(1)连接OC ，如图所示：因为,OA OC D =为AC 的中点，所以AC OD ⊥. 又PO ⊥底面,O AC ⊂底面O ，所以AC PO ⊥.因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD (2)以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()()1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2A B C P -.()()()1,0,2,0,1,2,1,1,0AP CP BC ==-=-设平面APC 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则有1100n AP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x z y z +=⎧⎨-+=⎩， 令11z =，则112,2x y =-=，所以()12,2,1n =-设平面BPC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则有2200n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令22y =，则222,1x z ==，所以()22,2,1n = 所以1212121cos ,94n n n nn n ⋅===.所以12sin ,1n n =故二面角A PC B -- 18（12分）如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体.(1)设11BAC △的重心为O ，求证：直线OD ⊥平面11BA C ；(2)设E ､F 分别是棱AD ､11D C 上的点，且1DED F a ==，M 为棱AB 的中点，若异面直线DM 与EF a 的值. 【答案】(1)证明见解析；． 【解析】【分析】 (1)设1111AC B D N =，连接1DB ，首先1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111DD AC ⊥， 又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =，111,DD B D ⊂平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，而1B D ⊂平面11BDD B ，所以111AC B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，1111A C A B A =，111,A C A B ⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ， 连接BN 交1B D 于O ，因为11DA DB DC ==，所以O 是等边11A BC 的中心也是重心， 所以DO ⊥平面11A BC ，(2)如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0)E a ，1(1,,0)2M ，(0,,1)F a ，1(1,,0)2DM =，(,,1)EF a a =-，由题意cos ,1DM EF DM EF DM EF⋅<>===解得：a =． 19（12分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面P AD ∴平面ABCD ，点E 为PC 的中点，AB ∴CD ，CD ∴AD ，CD ＝2AB ＝2，P A ＝AD ＝1，P A ∴AD ．(1)证明：BE ∴平面PCD ；(2)求二面角P −BD −E 的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)13【解析】(1)证明：取PD 的中点F ，连接AF ，EF ，则//EF CD ，12EF CD =．又//AB CD ，12AB CD =，所以//EF AB ，EF AB =，所以四边形ABEF 为平行四边形，所以//AF BE ． 因为1PA AD ==，PF FD =，所以AF PD ⊥． 所以BE PD ⊥．．．．．．因为平面P AD ∴平面ABCD ，PA AD ⊥， 所以P A ∴平面ABCD ，所以PA AB ⊥，．．．．．．所以PB BC ==又点E 为PC 的中点，所以BE PC ⊥．．．．． 又PC PD D ⋂=，所以BE ∴平面PCD ． (2)以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，1），B （1，0，0），D （0，1，0），C （2，1，0），E （1，12，12）． ．．．．． 于是()()111,0,1,1,1,0,0,,22PB BD BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭设平面PBD 的法向量为()1111,,n x y z =，则110n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11110x z x y -=⎧⎨-+=⎩．取11x =．得()11,1,1n =…………设平面EBD 的法向量为()2222,n x y z =，则2200n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222110220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩取21x =．得()21,1,1n =-．…………所以1212121cos ,3n n n n n n ⋅〈==〉， 所以二面角P −BD −E 的余弦值为13.20（12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC⊥，且122BC CD AB ===，取AB 的中点O ，连结OD ，并将AOD △沿着OD 翻折，翻折后AC =,M N 分别是线段,ADAB 的中点，如图（2）.(1)求证：AC OM ⊥；(2)求平面OMN 与平面OBCD 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】(1)连接OC ，//ABCD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，O 为AB 中点， ∴四边形ODCB 为正方形，OC ∴=，翻折后，AC =((2222222OA OC AC ∴+=+==，OA OC ∴⊥；又OA OD ⊥，OC OD O =，,OC OD ⊂平面OCD ，OA ∴⊥平面OCD ，CD ⊂平面OCD ，OA CD ∴⊥，又CD OD ⊥，OA OD O =，,OA OD ⊂平面OAD ，CD平面OAD ，OM ⊂平面OAD ，CD OM ∴⊥；OA OD =，M 为AD 中点，OM AD ∴⊥，又CDAD D =，,CD AD ⊂平面ACD ，OM ∴⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，AC OM ∴⊥. (2)以O 为坐标原点，,,OD OB OA 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,1M ，()0,1,1N ，()1,0,1OM ∴=，()0,1,1ON =；z 轴⊥平面OBCD ，∴平面OBCD 的一个法向量()0,0,1m =； 设平面OMN 的法向量(),,n x y z =，则00OM n x z ON n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =，解得：1y =，1z =-，()1,1,1n ∴=-；1cos ,3m n m n m n⋅∴<>==⋅即平面OMN 与平面OBCD 21（12分）在四棱锥P ABCD -中，已知侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，90ADC ∠=︒，3AB AD ==，4CD =，点M ，N 分别在线段AB 和PD 上，且2AM DNMB NP==． (1)求证：//PM 平面ACN ；(2)设二面角P CD A --大小为θ，若cos 3θ=，求直线AC 和平面PAB 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)5 【解析】(1)连接MD ，交AC 于点E ，连接NE ；2AM MB =，223AM AB ∴==，//AB CD ，12AM ME CD DE ∴==， 又2DN NP =，ME PN DE DN ∴=，//NE PM ∴， 又NE ⊂平面ACN ，PM ⊄平面ACN ，//PM ∴平面ACN .(2)取CD 中点F ，连接,PF MF ；作PO MF ⊥，垂足为O ；PCD 为正三角形，PF CD ∴⊥；2AM DF ==，//AM DF ，∴四边形AMFD 为平行四边形，//AD FM ∴， 又90ADC ∠=，CD FM ∴⊥，又PF FM F =，,PF FM ⊂平面PFM ， CD 平面PFM ；PO ⊂平面PFM ，CD PO ∴⊥，又PO FM ⊥，CD FM F =，,CD FM ⊂平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ； 作//OG CD ，交BC 于点G ，则OG FM ⊥，以O 为坐标原点，,,OM OG OP 正方向为,,x y z 轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，PF CD ⊥，MF CD ⊥，PFO ∴∠即为二面角P CD A --的平面角，又PF =cos PFO ∠=cos 2OF PF PFO ∴=∠=，OP ∴=则(P ，()2,2,0C -，()1,2,0A -，()1,1,0B ，()3,4,0AC ∴=-，(AP =-，(1,BP =--， 设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则200AP n x y BP n x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，解得：x =0y =，()22,0,1n ∴=；设直线AC 和平面PAB 所成角为θ，62sin cos ,535AC n AC n AC n θ⋅∴=<>===⨯⋅，故直线AC 和平面PAB 22．（12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，DA ⊥平面PAB ，E 是DA 的中点．(1)若PB 的中点是M ，求证：//EM 平面PCD ；(2)若,2,⊥===PA PB PA AD AB PCE 与平面PAB 所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】(1)如图所示： 取PC 的中点F ，连接EM ，DF ，FM ，因为四边形ABCD 为矩形，E 是AD 的中点，所以1,//2DE BC DE BC =，1,//2=FM BC FM BC ，所以,//DE FM DE FM =， 所以四边形DEMF 是平行四边形，所以//EM DF ，又EM ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，所以//EM 平面PCD .(2)由AD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()0,0,0,0,2,1,2,0,2P E C ，所以 ()()0,2,1,2,0,2PE PC ==，设平面PCE 的一个法向量为 (),,n x y z =， 则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩P P n n E C ，即 20220y z x z +=⎧⎨+=⎩， 令 1z =，得11,,12n ⎫⎛=-- ⎪⎝⎭， 易知平面P AB 的一个法向量为 ()0,0,1m =， 则 12cos ,31⋅==⋅+n mn m n m ，设平面PCE 与平面PAB 所成二面角为()0,πθθ⎡⎤∈⎣⎦， 所以5sin ,3n m θ==.。
高二下学期期末数学试题(含答案)
第二学期教学质量监测试卷高二数学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数212⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭所对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列命题中的假命题是 A ．,lg 0x x R ∈∃>B ．,sin 1x x ∃∈=RC ．2,0x x ∈∀>RD ．,20x x ∈∀>R 3．设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x = A.2e B.e C.ln 22D.ln 24．已知A 是B 的充分不必要条件，C 是B 是必要不充分条件，A ⌝是D 的充分不必要条件，则C 是D ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知2~(,)Z N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544．若(),~51X N ，则(67)P X <<等于A ．0.3413B ．0.4772C ．0.1359D ．0.81856．在四面体OABC 中，OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，OC c =u u u r r，点M 在OA 上，且2OM MA =,点N 是BC 的中点，则MN =uuu rA ．211322a b c -++r r rB ．121232a b c -+r r rC ．111222a b c +-r r rD ．221332a b c +-r r r7．直线3,,022x x y ππ===及曲线cos y x =所围成图形的面积是A ．2B ．3C ．πD ．π28．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有 A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．126种9．抛物线22y px =的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为π9，则p =A ．2B ．4C ．6D ．8 10．以下命题正确的个数为(1)存在无数个∈βα,R ，使得等式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=-成立； (2)在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的充要条件； (3)命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =,则A B =”的逆否命题是真命题；(4)命题“若6πα=，则21sin =α”的否命题是“若6πα≠，则21sin ≠α”．A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，已知椭圆221:110x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于,A B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为A ．9B ．5C ．5D ．312．已知函数)(x f 的导函数为()f x '，且()()f x f x '>对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是 A ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f < B ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f < C ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f > D ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f > 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个焦点恰好与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．代数式⋅⋅⋅+++11111中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式t =,则11t t+=，则210t t --=，取正值得t =，用类似方法可得=⋅⋅⋅+++666 ．15．用总长为24m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器底面为正方形,则这个容器体积的最大值为 ．16．在()()642x x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()3,45,3f f +＝ ．(用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，1112,2(1,2,3...)n na a n a +==-=． （Ⅰ）求234,,a a a 的值，猜想出数列的通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．18.（本小题满分12分）已知函数()(,)bf x ax a b x=+∈R 的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线方程为38y x =-． （Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的极值．19.（本小题满分12分）如图四边形A B C D 为边长为2的菱形，G 为AC 与BD 交点，平面BED ⊥平面A B C D，2,BE AE ==（Ⅰ）证明：BE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若120ABC ∠=，求直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如下的频率分布直方图：第19题图DAGCE（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求X 的分布列和数学期望． 21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3()1,3--M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线02:=--y x l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上一动点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积． 22.（本小题满分12分）已知函数21()ln(1)2f x a x x x =++-，其中a 为实数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212()0f x x ->．高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数（+i）2所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数（+i）2=+i=+i对应的点（，）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx＞0 B．∃x∈R，sinx=1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0【考点】2I：特称命题；2H：全称命题．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5L ：简易逻辑．【分析】根据对数函数，正弦函数及指数函数的性质，分别判断，A，B，D为真命题，由当x=0时，x2=0，故C为假命题．【解答】解：对于A：当x＞1时，lgx＞0，故∃x∈R，lgx＞0为真命题；对于B：当x=2kπ+，k∈Z时，sinx=1，则∃x∈R，sinx=1，为真命题；对于C：当x=0时，x2=0，故∀x∈R，x2＞0，为假命题，对于D，由指数函数的性质可知：∀x∈R，2x＞0，故为真命题，故选：C．【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正弦函数的性质，属容易题．3．（5分）（2008•海南）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C．D．ln2【考点】65：导数的乘法与除法法则．【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．【点评】本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．4．已知A是B的充分不必要条件，C是B是必要不充分条件，￢A是D的充分不必要条件，则C是￢D的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的递推关系进行递推即可．【解答】解：∵￢A是D的充分不必要条件，∴￢D是A的充分不必要条件，则￢D⇒A∵C是B是必要不充分条件，∴B是C是充分不必要条件，B⇒C∵A是B的充分不必要条件，∴A⇒B，则￢D⇒A⇒B⇒C，反之不成立，即C是￢D的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义进行递推是解决本题的关键．5．已知Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．若X～N（5，1），则P（6＜X＜7）等于（）A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.8185【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】计算P（4＜X＜6），P（3＜X＜7），于是P（6＜X＜7）=（P（3＜X＜7）﹣P（4＜X＜6））．【解答】解：P（4＜X＜6）=0.6826，P（3＜X＜7）=0.9544，∴P（6＜X＜7）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．故选C．【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．6．如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【考点】M3：空间向量的加减法．【专题】5H ：空间向量及应用．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．7．直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积是（）A．2 B．3 C．πD．2π【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；52 ：导数的概念及应用．【分析】直接利用定积分公式求解即可．【解答】解：直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积S=（﹣cosx）dx=﹣sinx|=2，故选：A．【点评】本题考查定积分的应用，考查计算能力．8．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有（）A．80种B．100种C．120种D．126种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5O ：排列组合．【分析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案．【解答】解：根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有C94=126种选法，其中只有男生没有女生的选法有C54=5种，只有女生没有男生的选法有C44=1种，则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1=120种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，可以使用间接法分析，避免分类讨论．9．抛物线y2=2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的简单性质．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3，∴p=4．故选B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．以下命题正确的个数为（）（1）存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；（2）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；（3）命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题；（4）命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38 ：对应思想；48 ：分析法；5L ：简易逻辑．【分析】（1），利用正弦的和差公式验证即可．（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，能得到A＞30°；（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题；（4），利用原命题与其否命题的关系判定．【解答】解：对于（1），sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ．可得sinβcosα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+，β任意．故正确．对于（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，∵sin30°=sin150°=，∴根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，∴能得到A＞30°；得A＞30°是sinA＞的必要不充分条件，故错；对于（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题，故正确对于（4），命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，正确．故选：C【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了三角、命题的否命题等基础知识，属于中档题．11．如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．9 B．5 C．D．3【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），则A（，），AB的一个三分点坐标为（，），由该点在椭圆C1上，求出=2，从而c==3a，由此能求出离心率．【解答】解：由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），∴A点坐标可表示为A（x0，kx0）（x0＞0）∴=，即A（，），∴AB的一个三分点坐标为（，），该点在椭圆C1上，∴，即=1，得k=2，即=2，∴c==3a，∴离心率e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查椭圆性质、双曲线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．已知函数F的导函数为f′（x），且f′（x）＞f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（1）＜ef（0），f（2）＜e2f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2）＜e2f（0）C．f（1）＜ef（0），f（2）＞e2f（0）D．f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＞0，故g（x）在R递增，故g（1）＞g（0），g（2）＞g（0），即f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0），故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点恰好与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得a2+3=4，解可得a=1，即可得双曲线的标准方程，由双曲线的渐近线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），其双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点也为（2，0），则有a2+3=4，解可得a=1，故双曲线的方程为：x2﹣=1，则双曲线的渐近线方程为：y=±x；故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线、抛物线的标准方程，注意分析双曲线的焦点坐标．14．代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得= 3 ．【考点】F3：类比推理．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5M ：推理和证明．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案为：3．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．15．用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为8m3．【考点】7F：基本不等式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；5T ：不等式．【分析】根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，由题意可得8x+4y=24，即2x+y=6，用x、y 表示长方体的体积可得V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x），由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，则有8x+4y=24，即2x+y=6，其体积V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x）≤[]3=8m3，当且仅当x=2时，等号成立；即这个容器体积的最大值8m3；故答案为：8m3．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是用x、y表示容器的体积．16．在（2+x）6（x+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，4）+f（5，3）= 400 ．（用数字作答）【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，分别代入计算即可得到．【解答】解：（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r x r C4k x4﹣k y k=C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，∵x m y n项的系数为f（m，n），当k=4时，4+r﹣4=3，即r=3．∴f（3，4）=C6326﹣3C44=160，当k=3时，4+r﹣3=5，即r=4．∴f（5，3）=C6426﹣4C43=240，∴f（3，4）+f（5，3）=160+240=400，故答案为：400【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）（2017春•荔湾区期末）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2﹣（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想出数列的通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【专题】38 ：对应思想；4F ：归纳法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（I）根据递推公式计算并猜想通项公式；（II）先验证n=1时猜想成立，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1的情况，得出结论．【解答】解：（I）a2=2﹣=；a3=2﹣=；a4=2﹣=；猜想：a n=．（II）当n=1时，猜想显然成立；假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a k=，则a k+1=2﹣=2﹣==，∴当n=k+1时，猜想成立．∴a n=对任意正整数恒成立．【点评】本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．18．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ），依题意列式计算得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=得函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，f（x）极小值=f（﹣2），f（x）极大值=f（2）【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．∴，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=当x∈（﹣∞，﹣2），（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，0），（0，2）时，f′（x）＞0．即函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，∴f（x）极小值=f（﹣2）=4；f（x）极大值=f（2）=﹣4．【点评】本题考查了导数的几何意义，函数的单调性与极值，属于中档题，19．（12分）（2017春•荔湾区期末）如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5H ：空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）由AC⊥DB，平面BED⊥平面ABCD，得AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又 AE2=AB2+BE2，得BE⊥AB，即可得BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系，则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0），利用向量法求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB又因为平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD=DB，AC⊂平面ABCD．∴AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又BE=2，AE=2，AB=2，∴AE2=AB2+BE2，∴BE⊥AB，且AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点H，连接BH．∵四边形ABCD为边长为2的菱形，∠ABC=120°，∴BH⊥AD，且BH=．由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系（如图）则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0）设面EDC的法向量为，，由，可取cos==﹣直线EG与平面EDC所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题．20．（12分）（2017春•荔湾区期末）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：=150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10=164（g），∵经销商购进这批海鱼100千克，∴估计这批海鱼有：（100×1000）÷164≈610（条）．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），P（X=0）==0.216，P（X=1）==0.432，P（X=2）==0.288，P（X=3）==0.064，∴X的分布列为：∴E（X）=3×0.4=1.2．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，得，x2﹣3x=0．求出点A（0，﹣2），B（3，1），从而|AB|=3，在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．将y=x+b代入，得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，由根的判别式求出点P（﹣3，1）时，△PAB的面积最大，由此能求出△PAB的最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，消去y得，x2﹣3x=0．解得x=0或x=3．…（5分）∴点A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|==3．…（6分）在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．…（7分）将y=x+b代入，整理得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0．…（8分）令△=（6b）2﹣4×4×3（b2﹣4）=0，解得b=±4．…（9分）将b=±4代入方程4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，解得x=±3．由题意知当点P的坐标为（﹣3，1）时，△PAB的面积最大．…（10分）且点P（﹣3，1）到直线l的距离为d==3．…（11分）△PAB的最大面积为S==9．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的求法，考查椭圆、直线方程、两点间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为实数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2f（x2）﹣x1＞0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）所证问题转化为（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=．①当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，故f（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；③当a＜0时，由f'（x）=0得x1=，x2=﹣（舍）f（x）在（﹣1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则0＜a＜1，，，∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），要证2f（x2）﹣x1＞0⇔f（x2）+x2＞0⇔aln（x2+1）+﹣x2＞0⇔（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），∵g′（x）=ln（x+1）+＞0，∴g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴命题得证．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的构造与运用，转化思想．属于中档题。
(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）A ．2：1B ．4：1C ．8：1D ．8：3 2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π 3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为（ ）A 3B 6C ．23D ．264．在空间四边形ABCD 中，AB BC =，AD DC =，则对角线AC 与BD 所成角的大小是（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．305．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π6．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m 7．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．24B ．30C ．47D ．79．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．3B ．3C ．33D 310．如下图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM 平面ADE ；②DE BM ⊥；③平面//BDM 平面AFN ；④AM ⊥平面BDE ．以上四个命题中，真命题的序号是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 11．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．212．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．14．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．15．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；16．已知等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA =，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C ABD -的外接球的表面积为____．17．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD 为正方形，给出下列说法：①该八面体的体积为83；②该八面体的外接球的表面积为8π； ③E 到平面ADF 3；④EC 与BF 所成角为60°.其中正确的说法为__________.（填序号）18．如图，在三棱锥V ABC -中，22AB =，VA VB =，1VC =，且AV BV ⊥，AC BC ⊥，则二面角V AB C --的余弦值是_____．19．已知扇形的面积为56π，圆心角为6π，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________． 20．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -中，2PC PD DC AD ===，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，O ､E 分别是棱CD ､PA 的中点.（1）求证：//OE 平面PBC ；（2）求二面角P AB C 的大小.22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，,//AB CD AB AD ⊥，22CD AB AD ==．（1）求证：BD ⊥平面1BCC ；（2）在线段11C D 上是否存在一点E ，使//AE 面1BC D ．若存在，确定点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．23．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．24．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，6SA SD ==，22SB =，点E 是棱AD 的中点，点F 是棱SC 上靠近S 的一个三等分点.（1）求证：平面SBE ⊥平面ABCD ；（2）求三棱锥F SEB -的体积.25．如图，已知三棱锥P ABC -﹐PC AB ⊥，ABC 是边长为233PB =60PBC ∠=，点F 为线段AP 的中点．（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）求直线BF 与平面PAC 所成角的大小．26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，226AB PD ==，，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由~AOE ACF 可得：22(1)11h r --=，即22r h h =-， ∴圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323h V r h h h h ππππ===-++--． 当且仅当22h -=，即4h =时取等号．∴该圆锥体积的最小值为83π． 内切球体积为43π． 该圆锥体积与其内切球体积比2:1．故选：A ．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.2．A解析：A【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积．【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆，且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-， 222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.3．A解析：A【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值，此时M 为1DD 的中点，然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥，最后根据221111M A B B A M =+即可得出结果.【详解】如图，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开，与侧面11ADD A 共面，连接12A C ，易知当1A 、M 、2C 共线时，1A M MC +取得最小值，因为1AB AD ==，12AA =，所以M 为1DD 的中点，12A M =因为11B A ⊥平面11A D DA ，1A M ⊂平面11A D DA ，所以111B A A M ⊥，则222211111(2)3M B A A M B =+=+=故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.4．A解析：A【分析】取AC 中点O ，根据条件分析AC 与平面BOD 的位置关系，由此得到异面直线AC 与BD 所成角的大小.【详解】取AC 中点O ，连接,,BO DO BD ，如图所示：因为AB BC =，AD DC =，所以,BO AC DO AC ⊥⊥，且BODO O =，所以AC ⊥平面BOD ，又BD ⊂平面BOD ，所以AC BD ⊥，所以AC 与BD 所成角为90︒，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是通过找AC 中点证明线面垂直，从而确定出线线垂直关系，和常规的求解异面直线所成角的方法不同.5．D解析：D【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可.【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122ON AP ==，4AN =，故()224232R =+=2441872S R πππ==⨯=.故选:D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法. 6．C解析：C【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算．【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V =三棱柱ABC A B C '''-V +四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．7．D解析：D【分析】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE ⊥平面11ACC A 可得BE AM ⊥，再由1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.【详解】取AC 中点E ，连接1,A E BE ， ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，1CC BE ∴⊥，1AC CC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅，1CAM AA E ∴∠=∠，12CAM A EA π∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ， 1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为2π.【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出1AM A B ⊥.8．D解析：D【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -， 由题得22437AD =-7 所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅=. 故选：D【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 9．C解析：C【分析】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，可证EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，通过计算可得结果.【详解】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，因为,E F 分别为1111,C D A B 的中点，所以11//EF A D ，在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11A D ⊥平面11ABB A ，所以EF ⊥平面11ABB A ， 因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1EF A B ⊥，因为1FG A B ⊥，且FG EF F =，所以1A B ⊥平面EFG ，因为EG ⊂平面EFG ，所以1A B EG ⊥，所以EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，因为12AB AA ==，所以14FAG π∠=，因为11A F =，所以12222FG A F ==， 在直角三角形EFG 中，221612EG EF FG =+=+=， 所以cos FG EGF EG ∠==23236=. 所以二面角11B A B E --3. 故选：C【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键. 10．A解析：A【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，得出BM ∥平面ADNE ，判断①正确；由连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，判断②正确；由BD ∥FN ，得出BD ∥平面AFN ，同理BM ∥平面AFN ，证明平面BDM ∥平面AFN ，判断③正确；由MC BD ⊥，ED ⊥AM ，根据线面垂直的判定，判断④正确．【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，如图1所示；对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ，∴BM ∥平面ADNE ，①正确；对于②，如图2所示，连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，所以DE BM ⊥，②正确； 对于③，如图2所示，BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ，∴BD ∥平面AFN ；同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ，∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确；对于④，如图3所示，连接AC ，则BD AC ⊥，又MC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MC BD ⊥，又ACMC C ，所以BD ⊥平面ACM ，所以BD ⊥AM ， 同理得ED ⊥AM ，ED BD D =，所以AM ⊥平面BDE ，∴④正确．故选：A ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于展开空间想象，将正方体的平面展开图还原，再由空间的线线，线面，面面关系及平行，垂直的判定定理去判断命题的正确性．11．C解析：C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =， 所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下： （1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.12．C解析：C【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积.【详解】如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长，所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=所以球O 的表面积24164S R ππ==.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.二、填空题13．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积．【详解】4,2AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC A C 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ， 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则412OP OA ==，2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=， 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆， 其面积为224S ππ=⨯=．故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上． 14．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平 解析：(0,]6π 【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAM FDA △△， ∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x=-，01x <<，则112t <<． 在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM 平面ABD DM =，∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，而21DM t =-，12DF x t =-=， ∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ==-=-+=--+， ∵112t <<，∴2114t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤． 故答案为：(0,]6π．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．15．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认 解析：22【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==，所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED '平面EDCB DE =，所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥， 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力.. 16．12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题 解析：12π【分析】根据题意可判断出,,DC DA DB 两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积.【详解】等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA CB ==，D 为AB 的中点，2CD AD BD ∴===，,CD AD CD BD ∴⊥⊥， 22AB =，满足222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，,,DC DA DB ∴两两垂直，设外接球的半径为R ，则222222223R =++=，即3R =，∴三棱锥C ABD -的外接球的表面积为2412R ππ=.故答案为：12π.【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出,,DC DA DB 两两垂直.17．②④【分析】①求出该八面体的体积即可判断；②可得球心为正方形ABCD 对角线交点即可得出半径求出表面积；③取AD 的中点G 连接EGFGEF 过E 作求出即可；④可得为所成角【详解】①八面体的体积为；②八面体 解析：②④【分析】①求出该八面体的体积即可判断；②可得球心为正方形ABCD 对角线交点，即可得出半径求出表面积；③取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，EF ，过E 作EH FG ⊥，求出EH 即可；④可得DEC ∠为所成角.【详解】①八面体的体积为21822(22)3⨯⨯⨯=； ②八面体的外接球球心为正方形ABCD 对角线交点，易得外接球半径为2，表面积为8π；③取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，EF ，易得3EG FG ==AD ⊥平面EGF ，过E 作EH FG ⊥，交FG 的延长线于H ，又EH AD ⊥，AD FG G ⋂=，故EH ⊥平面ADF ，解得63EH =，所以E 到平面ADF 的距离为263； ④因为//ED BF ，所以EC 与BF 所成角为60︒.故答案为：②④.【点睛】解本题的关键是正确理解正八面体的性质，根据线面垂直关系得到点到平面的垂线段. 18．【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示：为的中点则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为解析：34【分析】 取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，证明出VO AB ⊥，OC AB ⊥，可得出面角V AB C --的平面角为VOC ∠，计算出VO 、OC ，利用余弦定理求得cos VOC ∠，由此可得出二面角V AB C --的余弦值.【详解】取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，如下图所示：VA VB =，O 为AB 的中点，则VO AB ⊥，且AV BV ⊥，22AB =122VO AB ∴== 同理可得OC AB ⊥，且2OC =V AB C --的平面角为VOC ∠，由余弦定理得2223cos 24VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅， 因此，二面角V AB C --的余弦值为34. 故答案为：34. 【点睛】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题. 19．【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径进而求出球的表面积【详解】设扇形的长为l 半径为R 则解得 解析：36π【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径，再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径，再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】设扇形的长为l ，半径为R ，则221116562223S lR R R παπ===⨯=，解得30R =，扇形弧长l 为锥底面周长2r π，∴底面的半径5r =，∴圆锥的高为225R r -=．设外接球的半径为1R ，∴()222115(5)R R =-+，解得13R =，∴该外接球的表面积为21436R ππ=，故答案为：36π.【点睛】本题考查扇形的弧长与圆锥的底面周长的关系及外接球的半径和圆锥的高及底面半径的关系，和球的表面积公式的应用，属于中档题.20．【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状都不可能是三角形解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法三、解答题21．（1）证明见解析；（2）3π． 【分析】（1）取PB 中点F ，连接,EF FC ，证明EFCO 是平行四边形，得线线平行后可证得线面平行；（2）取AB 中点G ，连接,,OG PG OP ，可证PGO ∠（或其补角）是二面角PAB C 的平面角．然后在PGO △中求解．【详解】（1）取PB 中点F ，连接,EF FC ， 因为E 是PA 中点，∴//EF AB ，且12EF AB =， 又ABCD 是矩形，//,AB CD AB CD =，O 是CD 中点，∴//,EF OC EF OC =，∴EFCO 是平行四边形，∴//OE CF ，而OE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，∴//OE 平面PBC ．（2）取AB 中点G ，连接,,OG PG OP ，ABCD 是矩形，O 是CD 中点，则OG AB ⊥，又PA PC CD ==，∴PO CD ⊥，而平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵,OG AB ⊂平面ABCD ，∴PO AB ⊥，PO OG ⊥． PO OG O =，,PO OG ⊂平面POG ，∴AB ⊥平面POG ，而PG ⊂平面POG ， ∴AB PG ⊥，∴PGO ∠（或其补角）是二面角PAB C 的平面角． 设1AD =，则1OG =，2CD =，3PO =，∴3tan 3PO PGO OG ∠===，[0,]PGO π∠∈，∴3PGO π∠=． ∴二面角P AB C 的大小为3π．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角，然后通过解三角形得解；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角得二面角．22．(1)证明见解析（2）存在，点E 是11C D 的中点，证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明BD ⊥平面1BDC ；（2）存在点E 是11C D 的中点，使//AE 平面1BDC ，由线面平行的判定定理进行证明即可得到结论．【详解】（1）因为1AA ⊥底面ABCD ，所以1CC ⊥底面ABCD ，因为BD ⊂底面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为底面ABCD 是梯形，//AB DC ，90BAD ∠=︒，22CD AB AD ==，设1AB =，则1AD =，2CD = 所以2BD =，2BC =，所以在BCD ∆中，222BD BC CD +=， 所以90CBD ∠=︒，所以BD BC ⊥，又因为1CC BD ⊥，且1CC BC C ⋂=所以BD ⊥平面1BCC .(2)存在点E 是11C D 的中点，使//AE 平面1BDC证明如下：取线段11C D 的中点为点E ，连结AE ，如图，所以11//C D CD ，且112C P CD = 因为//AB CD ，12AB CD =， 所以1//C E AB ，且1C E AB =所以四边形1ABC E 是平行四边形．所以1//AE CB ．又因为1BC ⊂平面1BDC ，AE ⊂/平面1BDC ，所以//AE 平面1BDC ．【点睛】关键点点睛：解决是否存在问题时，可以先寻求特殊位置，再证明，本题中取中点后连结AE ，可利用平行四边形 1//AE CB ，再根据线面平行的判定定理求证即可，属于先猜后证的方法.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（ 1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明//PB 平面AEC ；（ 2）通过体积得到底面为正方形，再由线面垂直得到面面垂直即可.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ,因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点,又E 为PD 的中点，所以//EO PB ,EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .（2）因为113P ABCD V AB AD AP -=⨯⨯⨯=, 所以3AB =，所以底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ABCD ⊥，所以BD PA ⊥，且AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ， 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD .【点睛】本题主要考查了立体几何及其运算，要证明线面平行先证明线线平行，要证明面面垂直，先证明线面垂直，考查了学生的基础知识、空间想象力.24．（1）证明见解析；（2）159. 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一证明SE AD ⊥，BE AD ⊥，即可证明出AD ⊥平面SEB ，所以平面SBE ⊥平面ABCD ；（2）先证明出BC ⊥平面SEB ，利用三角形相似可得F 到平面SBE 的距离1233d BC ==，计算出SEB △的面积，再代入体积计算公式求解.【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，6SA SD ==∴SE AD ⊥ 因为ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，∴BE AD ⊥， ∵BE SE E =∩∴AD ⊥平面SEB ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴平面SBE ⊥平面ABCD .（2）连接BE ，AC 相交于点G ，则由三角形相似得2CG AG =∵//AD BC ，∴BC ⊥平面SEB ，∵点E 是棱AD 的中点，F 是棱SC 上靠近S 的一个三等分点.∴//SA FG ，∴21CF CG BC SF GA AE ===， ∴F 到平面SBE 的距离1233d BC ==，115352SBE S ∆=⨯⨯= ∴三棱锥F SEB -的体积1153F SEB SBE V S d -∆=⨯⨯=.【点睛】方法点睛：关于三棱锥的体积的求解常见的有两种解法，一是利用等体积法，需要证明出线面垂直，再换底换高计算；二是利用空间直角坐标系，计算点到面的距离，然后代入体积计算公式即可.25．（1）证明见解析；（2）45.【分析】（1）利用余弦定理求出PC ，利用勾股定理可证得PC BC ⊥，再由PC AB ⊥结合线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面ABC ；（2）取AC 的中点H ，连接BH 、FH ，推导出直线BF 与平面PAC 所成的角为BFH ∠，求出BH 、FH ，即可求得BFH ∠，即为所求.【详解】（1）在PBC 中，43PB =23BC =60PBC ∠=，由余弦定理可得2222cos 36PC PB BC PB BC PBC =+-⋅∠=，222PC BC PB ∴+=， PC BC ∴⊥，PC AB ⊥，AB BC B ⋂=，PC ∴⊥平面ABC ；（2）取AC 的中点H ，连接BH 、FH ，如下图所示：ABC 是边长为3H 为AC 的中点，BH AC ∴⊥且sin 603BH AB ==，PC ⊥平面ABC ，BH ⊂平面ABC ，BH PC ∴⊥，AC PC C ⋂=，BH ∴⊥平面PAC ，所以，BFH ∠就是直线BF 与平面PAC 所成角．HF ⊂平面PAC ，BH FH ∴⊥， F 、H 分别为PA 、AC 的中点，132FH PC ∴==，BH FH ∴=， 所以，BHC △为等腰直角三角形，且BHF ∠为直角，所以，45BFH ∠=.因此，直线BF 与平面PAC 所成角为45.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.26．（1）证明见解析；（2）263. 【分析】（1）证明出AC ⊥平面PBD ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；。
(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测(包含答案解析)(1)
一、选择题1．如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是平面11ADD A 的中心，M 、N 、F 分别是11B C 、1CC 、AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．12MN EF =，且MN 与EF 平行 B ．12MN EF ≠，且MN 与EF 平行 C ．12MN EF =，且MN 与EF 异面 D ．12MN EF ≠，且MN 与EF 异面 2．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为（ ）A 3B 6C ．23D ．264．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（ ） A ．3 B ．6 C ．5 D ．225．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．24B ．30C ．47D ．78．已知E ，F 是四面体的棱AB ，CD 的中点，过EF 的平面与棱AD ，BC 分别相交于G ，H ，则（ ） A ．GH 平分EF ，BH AGHC GD = B ．EF 平分GH ，BH GDHC AG = C ．EF 平分GH ，BH AGHC GD= D ．GH 平分EF ，BH GDHC AG= 9．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（ ） A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为5 B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于10 D ．直线1AC 与平面BDM 相交11．正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到面1A BM 的距离为（ ） A ．2B ．22C ．12D ．3212．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（ ）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'二、填空题13．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为________．14．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.15．已知某空心圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，记该圆锥内半径最大的球为球O ，则球O 与圆锥侧面的交线的长为________cm .16．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；17．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．18．已知扇形的面积为56π，圆心角为63，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________．19．已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC 3=，若四面体P ﹣ABC 的体积为32，则该球的体积为_____． 20．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是___________．三、解答题21．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm )，（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)； （2）求该几何体最长的棱长.22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1CB 与1AC 所成角的大小； （3）求二面角1B AC C --的平面角的余弦值.23．如图，平行四边形ABCD 中，45DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，BD PD =，4AB =.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若点,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥P MBN -的体积.24．如图，在平面四边形A ABC '中，90CAB CA A '∠=∠=，M 在直线AC 上，A A A C ''=，AB AM MC ==，A AC '绕AC 旋转．（1）若A AC '所在平面与ABC 所在平面垂直，求证：A C '⊥平面A AB '． （2）若二面角A AC B '--大小为60，求直线A B '与平面ABM 所成角的正弦值． 25．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，226AB PD ==，，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，利用正方体性质可求得2MN =，3EF =知12MN EF ≠，再利用三角形中位线性质知1//MN B C ，从而//MN ED ，又EF 与ED 相交，可知MN 与EF 异面，即可选出答案. 【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则22112MN MC C N =+=作E 点在平面ABCD 的投影点G ，即EG ⊥平面ABCD ，连接,EG GF ，在直角EGF△中，1EG =，222GF AG AF =+=，则2222123EF EG GF =+=+=，所以12MN EF ≠，故排除A 、C 连接DE ，由E 是平面11ADD A 的中心，得112DE A D =又M N 、分别是11B C 、1CC 的中点，所以1//MN B C 又11//A D B C ，所以//MN ED ， 又EF ED E ⋂=，所以MN 与EF 异面 故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误； 对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误； 对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．3．A解析：A 【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值，此时M 为1DD 的中点，然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥，最后根据221111M A B B A M =+即可得出结果.【详解】如图，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开，与侧面11ADD A 共面，连接12A C ，易知当1A 、M 、2C 共线时，1A M MC +取得最小值， 因为1AB AD ==，12AA =，所以M 为1DD 的中点，12A M = 因为11B A ⊥平面11A D DA ，1A M ⊂平面11A D DA ，所以111B A A M ⊥， 则222211111(2)3M B A A M B =+=+=故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.4．B解析：B 【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===，如图，2215232h ED BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭11223622EBDSBD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，111212EBC S=⨯⨯=， 由11C EBD D C EB V V --=得，1161233d =⨯⨯，故636d ==. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法： （1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离； （3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则a n d n⋅=.5．A解析：A 【分析】证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 【详解】∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒，∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．6．B解析：B 【分析】由M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，得平行线，从而找到异面直线MN 与PQ 所成角，在三角形中可得其大小． 【详解】如图，连接1AD ，1AB ，显然M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点， 又N 是1B D 中点，Q 是1CD 中点，所以//MN AD ，//PQ AC ， 所以CAD ∠是异面直线MN 与PQ 所成角（或补角），大小为4π． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7．D解析：D 【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解. 【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -， 由题得22437AD =-7 所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅=.故选：D 【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.8．C解析：C 【分析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案. 【详解】过EF 的平面为平面ABF 时，G 在A 点， H 在B 点， 所以0BH AGHC GD==，EF 平分GH ， 即BH AG HC GD =，所以舍去ABD ，选C 故选：C9．D解析：D 【分析】过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ，则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，然后在CFG △中求解. 【详解】如下图所示，在平面ABFE 中，过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ， 则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，设1EF =，则3AB =，2BC CF AE ===，因为//EF AB ，//FG AE ，所以，四边形AEFG 为平行四边形， 所以，2FG AE ==，1AG =，2BG =， 由于2ABC π∠=，由勾股定理可得2222CG BC BG =+=所以，222CG CF FG =+，则2CFG π∠=.故选：D. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】 设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan 2AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =，22BD =，5DM =C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC ==直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 55d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.11．B解析：B 【分析】 连接11A N B AB =，根据已知条件先证明11B A A B ⊥、1⊥MN AB ，再通过线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A BM ，由此确定出1B N 的长度即为点1B 到面1A BM 的距离，最后完成求解. 【详解】连接1B A 交1A B 于N ，连接11,,,,MB MN MB MA MA ，如图所示：因为11A ABB 为正方形，所以11B A A B ⊥， 又因为22111115142MB MC C B =+=+=2215142MA MC CA =+=+=，所以1MB MA =且N 为1AB 中点，则MN 为等腰三角形1AMB 的中垂线， ∴1⊥MN AB 且1MNA B N =，∴1AB ⊥平面1A BM ，∴1B N 就是点1B 到截面1A BM 的距离，又因为111122B N AB ===，所以点1B 到截面1A BM的距离为2， 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解平面外一点A 到平面α的距离的方法：（1）几何方法：通过线面垂直的证明，找到A 在平面α内的投影点A '，则AA '即为A 到平面α的距离；（2）向量方法：①建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点B ；②求解出AB 和平面α的法向量n ；③根据AB n d n⋅=即可求解出点A 到平面α的距离.12．C解析：C 【分析】设AH a =，则BH a =，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt ACH 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.二、填空题13．【分析】先根据面面垂直取平面的外接圆圆心G 平面的外接圆圆心H 分别过两点作对应平面的垂线找到交点为外接球球心再通过边长关系计算半径代入球的表面积公式即得结果【详解】如图取的中点的中点连在上取点使得取的 解析：643π【分析】先根据面面垂直，取平面PAD 的外接圆圆心G ，平面ABCD 的外接圆圆心H ，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心O ，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果. 【详解】如图，取AD 的中点E ，BC 的中点F ，连EF ，PE ，在PE 上取点G ，使得2PG GE =，取EF 的中点H ，分别过点G 、H 作平面PAD 、平面ABCD 的垂线，两垂线相交于点O ，显然点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，由2AD =，4AB =，可得3PE =33GE OH ==，2222125AH AE EH +=+=则半径22343(5)3r OA ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭， 故四棱锥P ABCD -外接球的表面积为2364433ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：643π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.14．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的 解析：163π【分析】求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积. 【详解】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，3x ∴=， 所以，球O 的半径为323x =，则球O 的表面积为2231643S ππ=⨯=⎝⎭. 故答案为：163π. 【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解.15．【分析】由题可求出底面半径根据三角形相似关系可求出球半径再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径即可求出交线长【详解】圆锥的轴截图如图所示由题可知圆锥的高母线设的内切圆与圆锥的母线相切 解析：125π【分析】由题可求出底面半径，根据三角形相似关系可求出球半径，再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径，即可求出交线长. 【详解】圆锥的轴截图如图所示，由题可知，圆锥的高4cm AF =，母线5cm AB AC ==， 设ABC 的内切圆O 与圆锥的母线相切与点E ，则OE AB ⊥， 则该圆锥内半径最大的球即以O 为圆心，OE 为半径的球， 在直角三角形ABF 中，2222543cm BF AB AF =--=，由圆的切线性质可得3cm BE BF ==， 所以532cm AE AB BE =-=-=， 在直角三角形AFB 和直角三角形AEO 中， 因为∠∠EAO BAF =，所以△△AFB AEO ~，所以AE OE AF BF =，则可得3cm 2OE =， 过点E 作ED AF ⊥，D 为垂足，则球O 与圆锥的侧面的交线是以DE 为半径的圆，354cm 22AO AF OF =-=-=， 因为1122△AEO S AE OE ED AO =⋅=⋅，所以6cm 5ED =， 所以球O 与圆锥的侧面的交线长为6122cm 55ππ⨯=. 故答案为：125π. 【点睛】本题考查圆锥与球的相切问题，解题的关键是利用轴截面，用平面几何的知识解决.16．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认解析：22. 【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案. 【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==， 所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =，30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED'平面EDCB DE =，所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥， 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力..17．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考 解析：33【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论． 【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AEDE E =，∴BC ⊥平面AED ，ME ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性2BM CM ==，112ME BC ==， 又113323323EO DE ==⨯⨯=， 由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥， ∴3cos EO MEO ME ∠==． 故答案为：3．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤．18．【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径进而求出球的表面积【详解】设扇形的长为l 半径为R 则解得 解析：36π【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径，再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径，再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】设扇形的长为l ，半径为R ，则22111656222S lR R παπ====，解得30R =l 为锥底面周长2r π，∴底面的半径5r =∴225R r -=．设外接球的半径为1R ，∴()222115R R =-+，解得13R =，∴该外接球的表面积为21436R ππ=，故答案为：36π. 【点睛】本题考查扇形的弧长与圆锥的底面周长的关系及外接球的半径和圆锥的高及底面半径的关系，和球的表面积公式的应用，属于中档题.19．【分析】根据四面体是球的内接四面体结合位置关系可得棱锥的形状以及棱长之间的关系利用体积公式即可代值计算【详解】设该球的半径为R 则AB ＝2R2ACAB2R ∴ACR 由于AB 是球的直径所以△ABC 在大圆所解析：【分析】根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算. 【详解】设该球的半径为R ，则AB ＝2R ，2AC ==2R ， ∴AC=，由于AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ， 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得：BC 2＝AB 2﹣AC 2＝R 2，所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC =2， 又PO ⊥平面ABC ，且PO ＝R ，四面体P ﹣ABC 的体积为32，∴VP ﹣ABC 13=⨯R R 232=3＝9，R 3＝所以：球的体积V 43=⨯πR 343=⨯=．故答案为：. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.20．【分析】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大二面角的平面角最小趋于二面角的平面角最大趋于二面角的平面角的补角求出二面角的平面角和二面角的平面角即可【详解】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大解析：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于二面角D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，求出二面角D AC B --的平面角和二面角D BC A --的平面角即可. 【详解】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，设正四面体的棱长为2a ，如图所示，取AC 的中点E ，连接DE 、BE ， 易知DEB ∠为二面角D AC B --的平面角，3DE BE a ==，所以((()()()2223321cos 3233a a a DEB a a+-∠==⨯⨯， 同理可得：二面角D BC A --的平面角的补角的余弦值为13-， 故二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的求解，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）4cm . 【分析】（1）直接画出三棱锥S ABC -即可；（2）作SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，分别在等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △中，求出线段长度，得到该几何体最长的棱长． 【详解】（1）（2）如下图，SE ⊥面ABC ，线段AC 中点为D 2,3,1,4,2,=1SE cm AE cm CE cm AC cm AD DC cm DE cm ======，BD AC ⊥，3BD cm =，在等腰ABC 中，222313cm AB AC ==+ 在Rt SEA △中，22222313cm SA SE AE =+=+ 在Rt SEC △中，2222215cm SC SE CE =+=+= 在Rt BDE △中，22223110cm BE BD DE =+=+SE ⊥面ABC ，SE BE ∴⊥在Rt SEB △中，22222(10)14cm SB SE BE =+=+=在三梭锥S-ABC 中，SC AB AC SA SB AC <==<<， 所以最长的棱为AC ，长为4cm 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体的三视图，以及棱锥的性质，解决本题的关键点是作出SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，由三视图得出等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △，分别求出线段长度，得出答案，考查学生空间想象能力与计算能力，属于中档题．22．（1）4；（2）60︒；（3）33. 【分析】（1）根据棱锥的体积公式求解即可；（2）作辅助线，利用平行得出异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠，再结合等边三角形的性质得出夹角；（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF ，由11,CF AC BF AC ⊥⊥结合定义得出二面角1B AC C --的平面角，再由直角三角形的边角关系得出平面角的余弦值. 【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -的体积1122242ABC V SCC ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）记1BC 与1B C 的交点为O ，作AB 的中点E ，连接,OE CE ，异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠2CO OE CE ===60COE ︒∴∠=（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF11,CF AC BF AC BFC ⊥⊥⇒∠为所求角3tan 2,cos 2BC BFC BFC FC ∠===∠=【点睛】关键点睛：在求异面直线的夹角时，关键是利用中位线定理得出平行，从而得出异面直线的夹角.23．（1）证明见解析；（2）223. 【分析】（1）可由PD BD ⊥，PA BD ⊥证得BD ⊥平面PAD ，故BD AD ⊥，再由BD BC ⊥和PD BC ⊥可得BC ⊥平面PBD ，从而面PBC ⊥面PBD （2）可利用1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===，进行转化求体积. 【详解】解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 又PA BD ⊥，PAPD P =，平面PD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥.在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，所以BD BC ⊥.由PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥， 而BDPD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD .（2）由（1）可知，BD AD ⊥，而45DAB ∠=，则ADB △为等腰直角三角形，又4AB =，所以22PD BD AD ===，连接AC ，由点,M N 分别是,PA PC 的中点，所以PMN PAC 且12MN AC =， 所以14PMNPAC SS =，则1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===， 在平行四边形ABCD 中，1222242ABCABDSS==⨯=， PD 为三棱锥P ABC -的高，所以118242233P ABC ABCV SPD -=⨯=⨯⨯=所以三棱锥P MBN -的体积为12243P MBN P ABC V V --==. 【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 24．（1）证明见解析 ；（26． 【分析】（1）由面面垂直以及AB AC ⊥可得AB ⊥平面A AC '，进而可得AB AC '⊥，再由AC AA ''⊥利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）取BC 的中点N ，连结,,A M A N MN ''，可得A MN '∠为二面角A AC B '--的平面角即60A MN '∠=，设1AB =，则2AC A A ''==，利用余弦定理求出32A N '=，由勾股定理可证A N MN '⊥，结合A N AC '⊥可证明A N '⊥平面ABC ，A BN '∠为直线A B '与平面ABM 所成角，在A BN '中求sin A BN ∠'即可. 【详解】（1）∵90CAB CA A '∠=∠=，∴AB AC ⊥，∵平面A AC '⊥平面ABC ，平面A AC '⋂平面ABC AC =，AB 平面ABC ，∴AB ⊥平面A AC '，A C '⊂平面A AC '，∴AB AC '⊥，AC AA ''⊥，又∵AB平面A AB '，AA '⊂平面A AB '，A A A B A '''⋂=，∴A C '⊥平面A AB '．（2）取BC 的中点N ，连结,,A M A N MN ''，设1AB =，则2AC A A ''==，∵点M 为中点，∴A M AC '⊥， ∵//MN AB ，∴MN AC ⊥，∴A MN '∠为二面角A AC B '--的平面角， ∴60A MN '∠=， ∵1122MN AB ==，∴1A M '=， 在A MN '△中，由余弦定理可得：22222cos6011131214224A N A M MN A M MN +-='''=⨯+-⨯⨯⨯=，∴222A M A N MN ''=+，∴A N MN '⊥，A N AC '⊥，MN AC M ⋂=， ∴A N '⊥平面ABC ，∴A BN '∠为直线A B '与平面ABM 所成角，在A BN '中，A B '===，所以sinA N A BN AB '''∠===【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可； （2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）； （3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.25．（1）证明过程见解析；（2）3. 【分析】（1）根据矩形的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合棱锥的等积性、线面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）在矩形ABCD 中，连接BM ，所以90D C ︒∠=∠=，因为2AB AD =，M 为DC 的中点，所以三角形ADM 和三角形BCM 是等腰直角三角形，因此有45DMA CMB ︒∠=∠=,所以90AMB ︒∠=，即MB AM ⊥,在棱锥D ABCM -，取AM 中点N ，连接,DN CN ，因为三角形ADM 是等腰直角三角形，所以DN AM ⊥，因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，所以DN ⊥平面ABCM ，而BM ⊂平面ABCM ，所以DN BM ⊥，又因为,,DNAM N DN AM =⊂平面ADM ，所以BM ⊥平面ADM ，而AD ⊂平面ADM ，所以BM AD ⊥；（2）设1AD =，所以2AB =，M 为DC 的中点，因此1DM MC ==,在等腰直角三角形ADM 中，1112222DN AM ====，在直角梯形ABCM 中，2BN ===,。
高二数学立体几何试题
高二数学立体几何试题1.如图所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中点．（I）求证：；（Ⅱ）若直线与平面成45o角，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（I）证明：在矩形中，∵平面平面，且平面平面∴∴（Ⅱ）由（I）知：∴是直线与平面所成的角，即设取，连接∵是的中点∴∴是异面直线与所成角或其补角连接交于点∵，的中点∴∴∴异面直线与所成角的余弦值为【解析】略2.二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A．2a B．C．a D．【答案】A【解析】此题考查二面角的知识；如下图所示：过点作平面垂线，垂足为，连接，且，所以，在中，可以求出，；四边形是直角梯形，可求出斜腰，所以在中，，选A3.（本题12分）如图，长方体中，，，点为的中点。
（1）求证：直线∥平面；（2）求证：平面平面；（3）求证：直线平面。
【答案】略【解析】（1）设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是，BD的中点，故PO//，所以直线∥平面--（4分）（2）长方体中，，底面ABCD是正方形，则AC BD又面ABCD，则AC，所以AC面，则平面平面 -----------------------（9分）（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形。
PC，同理PA，所以直线平面。
---------------------（12分）4.是平面外一点，平面，垂足为，若两辆互相垂直，则是的（）A．垂心B．内心C．重心D．外心【答案】A【解析】,,；又，，，；同理，可证,即是的垂心．【考点】1．空间中垂直关系的互化；2．三角形的四心．5.长方体的表面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】由题可知，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题可得，4（a+b+c）=24…①，2ab+2bc+2ac=11…②，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为；【考点】棱柱的结构特征6.棱长均为的三棱锥，若空间一点满足则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵空间一点P满足，∴点P在平面ABC内．因此当SP⊥平面ABC，P为垂足时，取得最小值．∵三棱锥S-ABC的棱长均为3，∴点P为底面ABC的中心．如图：∴在Rt△APS中，；故选A．【考点】1．向量在几何中的应用；2．平面向量的基本定理及其意义．7.如图，二面角的大小是45°，线段．，与所成的角为30°．则与平面所成的角的正弦值是．【答案】【解析】过点A做AO垂直平面于点O，作AC垂直直线于点C，连接CO、BO．，则，，即为与平面所成的角．设 AO=a，则，所以．【考点】二面角、直线与平面所成的角．8.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），那么这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是：底面为上底长为1，下底为是2，高为1的直角梯形且高为1的直棱柱．所以该几何体的侧面积为．故选C．【考点】由三视图求其直观图的侧面积．9.已知是两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题中错误的是（）A．若则B．若，则C．若则D．若，则【答案】C【解析】对于选项，由线面垂直的判定定理及其性质定理可得，选项是正确的；对于选项，直接由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两直线平行，即选项是正确的；对于选项，若则或与相交，即选项是错误的；对于选项，由直线与平面平行的性质定理和面面平行的判定定理可得选项是正确的．故应选．【考点】1、线面平行的判定定理和性质定理；2、线面垂直的判定定理和性质定理．10.已知是两条不同直线，、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是．（1）．若⊥γ，β⊥γ，则//β（2）．若⊥，⊥，则//（3）．若//，//，则//（4）．若//，//β，则//β【答案】（2）【解析】（1）中可能平行，可能相交；（2）中由线面垂直的性质可知垂直于同一平面的两直线平行；（3）中两直线可能平行，相交或异面；（4）中可能平行，可能相交【考点】空间线面平行垂直的位置关系11.如图：已知四棱柱的底面是菱形，该菱形的边长为1，，．（1）设棱形的对角线的交点为，求证：//平面；（2）若四棱柱的体积，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连接交于点G，连接GC，得到，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）通过体积公式求出高的值，由得到，利用面面垂直的性质定理作出与平面所成角的平面角，再结合已有数据求出最终结果。
数学必修2——2.3.1《直线与平面垂直的判定》导学导练
高中数学必修2高中数学必修二2.3.1《直线与平面垂直的判定》导学导练【知识要点】1、直线与平面垂直的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.用符号语言表示为： 2、直线与平面垂直的判定1）线面垂直的判定定理此平面垂直。
用符号语言表示为：2）定理的证明 3）定理的作用4）定理的推论 53、直线与平面所成的角【范例析考点】考点一．直线与平面垂直的理解例1A.6 B.5 C.4 D.3 【针对练习】1、判断正误（对的打“√”，错的打“×”）①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直（ ） ②若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥b （ ）2、一条直线与一个平面垂直的条件是 ( A. 垂直于平面内的一条直线 B. C. 垂直于平面内的无数条直线 D. 垂直于平面内的两条相交直线3、如果平面α外的一条直线a 与αA. a ⊥α B. a ∥α C. a 与α斜交 D.4、下列命题中,正确的命题是（ ）A.若a 是平面α的斜线,直线b 垂直于a 在α内的射影,则a ⊥bB.若a 是平面α的斜线,平面β内的直线b 垂直于a 在α内的射影,则a ⊥bC.若a 是平面α的斜线,b 是平面α内的一条直线,且b 垂直于a 在这个平面内的射影,则a ⊥bD.若a 是平面α的斜线,直线b 平行于平面α,且b 垂直于α在另一平面β内的射影,则a ⊥b5、如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面α( ) A.不存在与l 平行的直线 B.不存在与l 垂直的直线 C.与l 垂直的直线只有一条 D.与l 平行的直线有无穷多条6、下列条件中，能使直线m ⊥平面α平面的是（ ）A.αα⊥⊥⊥⊥c ,b ,c m ,b mB.α//b ,b m ⊥C.α⊥=⋂b ,A b mD.α⊥b ,b //m7、如果直线l 和平面α内无数条直线垂直，则l 与平面α的位置关系是┄（ ） A.α⊥l B.α//l C.α⊂lD.以上都不正确8、M 是△ABC 所在平面外一点，MA ，MB ，MC 两两垂直，D 是BC的中点，AB=AC ，MB=MC 。
高二数学平面向量试题答案及解析
高二数学平面向量试题答案及解析1.设是单位向量，且，则的值为．【答案】【解析】。
2.已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是_______．【答案】【解析】略3.已知点O为直线外任一点，点A、B、C都在直线上，且，则实数【答案】-2【解析】略4.已知矩阵，向量.（1）求矩阵的特征值、和特征向量、；（2）求的值.【答案】解：(1),当时，得,当时，得.(2).【解析】解：(1)矩阵的特征多项式为，令，得,当时，得,当时，得. …………………6分(2)由得，得.∴.……………………14分5.若向量，且与的夹角余弦为，则等于_________________.【答案】【解析】略6.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则7.若向量，=(m，m+1)，且∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两向量平行，所以，所以，故选A．【考点】向量平行的充要条件的坐标表示8.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．9.已知，，若，，且，则_________．【答案】【解析】因为，所以．【考点】1．数量积；2．向量垂直．10.（本小题满分12分）设平面向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先由向量数量积的定义写出函数，然后应用辅助角公式将函数化成的形式，再由公式求得函数的最小正周期；（Ⅱ）由求得的取值区间即为函数的增区间．试题解析：（Ⅰ）所以，的最小正周期为．（Ⅱ）由得所以，的单调递增区间为．【考点】1．向量的数量积；2．三角恒等变形公式；3．三角函数的性质．11.（本小题共12分）设向量（1）若，求x的值；（2）设函数，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】主要考察向量数量积的坐标表示的相关问题，（1）首先表示和，令其相等，得到：，然后再解方程；（2）第一步，先利用数量积的坐标表示得到函数，并化简为，第二步，然后根据，求的范围，并算得其最值．试题解析：（1）由及得：又，从而，所以．（2）当时，取得最大值所以函数的最大值是．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简和性质．12.已知点，曲线C：恒过定点B，P为曲线C上的动点且的最小值为2，则（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【答案】D【解析】曲线C：恒过点B，则令，可得，即，又点，设，则，由于在（0，+∞）上有最小值2，且，故是的极值点，即最小值点．，恒成立，在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，时，，函数在是减函数，在是增函数，所以有最小值为，即，解得；故选D．【考点】平面向量数量积的运算．13.已知平面向量，且，则实数的值为（）A．1B．4C．D．【答案】D【解析】因为，所以．故选D．【考点】向量平行的充要条件．14.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．15.（12分）已知向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）（其中≤ω≤），函数f（x）=•，且f（x）图象的一条对称轴为x=．（1）求f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，求cos（α﹣β）的值．【答案】（1）f（）=﹣1；（2）cos（α﹣β）=．【解析】（1）由向量的数量积公式得出函数f（x）的解析式，再由对称轴方程求出,从而得出函数f（x）的解析式，最后将代入解析式求值即可；（2）利用已知条件可求出的正弦、余弦值，然后利用两角差的余弦公式即可求出cos（α﹣β）的值．试题解析：（1）∵向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）=（（sinωx+cosωx），﹣1）∴函数f（x）=•=2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∵f（x）图象的一条对称轴为x = ．∴2ω×+=+kπ，（k∈Z）．又由≤ω≤，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），∴f（）=sin（2×π+）=﹣cos=﹣1，（2）∵f（）=，f（﹣）=，∴sinα=，sinβ=，∵，∴cosα=，cosβ=，【考点】由三角函数的性质求其解析式并运用其求三角函数值、利用两角差的余弦公式求值．16.如图,设为内的两点,且,＝＋,则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，由平行四边形法则知，所以，同理，故．故答案为：B．【考点】平面向量共线．【思路点睛】首先，利用向量的运算法则——平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，然后再平行四边形法则作出Q,同理可求出，再将两个式子相比，即可求出的面积与的面积之比．17.已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程．【答案】【解析】依题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又∵．∴，∴所求方程为：．【考点】双曲线的定义．18.设两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则下列推理①；②；③；④其中正确的命题序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】B【解析】两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，，故①错，所以答案为B【考点】空间向量．【方法点睛】可根据两条直线的方向向量平行，则两条直线平行，两条直线的方向向量垂直，两条直线也垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直，我们结合空间直线与直线，直线与平面位置关系的判断方法，逐一分析已知中的四个命题，即可得到答案．向量方法证明线、面位置关系，其中熟练掌握两条直线的方向向量的夹角与直线夹角的关系，直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面夹角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角之间的关系，是解答此类问题的关键．19.在各项均为正数的等比数列中，和是方程的两根，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】和是方程的两根，由【考点】1．等比数列性质；2．向量的数量积运算20.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，因为与垂直，所以，解得．故D正确．【考点】空间向量垂直问题．21.已知过点且斜率为的直线与圆交于两点．（1）求的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）由圆心到直线的距离小于半径列出不等式，解之即可求的取值范围；（2）设，联立方程，化简得，由韦达定理写出与的关系，代入向量表达式，可求出的值，从而求出直线方程，即可求的长．试题解析：（1）由题设，可知直线的方程为，因为与交于两点，所以．解得，所以k的取值范围为．（2）设．将代入方程，整理得，所以，，由题设可得，解得，所以的方程为．故圆心在直线上，所以．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．向量的坐标运算．【名师】本题主要考查的是直线与圆的位置关系与向量的坐标运算，属于中档题．直线与圆的位置关系的判断可用几何法或代数法:几何法即由圆心到直线的距离来判断，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离；代数法即联立方程组用一元二次方程的判别式来判断，即时，直线与圆相交；时，直线与圆相切；时，直线与圆相离；实际解题时用几何法比代数法简单．22.在直角坐标系中，已知两点，；，是一元二次方程两个不等实根，且、两点都在直线上．（1）求；（2）为何值时与夹角为．【答案】（1）;（2）【解析】（1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线上求得;（2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线上可得x1=y2，x2=y1，求出，再由数量积公式求出,与（1）中的结合得到关于的方程，求解方程得答案试题解析：（1）、是方程两个不等实根，解之，又、两点都在直线上，（2）由题意设，，同理当与夹角为时，解之即为所求．【考点】一元二次方程的根与系数关系及平面向量的数量积运算．【方法点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．主体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积的运算律．23.已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．（1）若，试用、、表示；（2）证明：；（3）若的，，外接圆的半径为，用表示．【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）【解析】（1）利用向量加法的平行四边形法则，用已知向量表示向量（2）要证明向量只要证明利用O是三角形的外心，可得然后用向量然后用向量、、表示（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的两边平方整理可得外接圆半径试题解析：（1）由平行四边形法则可得：,即；（2） O是的外心，，即，而，,，；（3）在中, 为的外心，，，于是，，【考点】向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义．【方法点睛】（1）当向量与是坐标形式给出时，若证明，则只需证明；（2）当是非坐标形式时，要把用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．24.已知向量则A．2或3B．－1或6C．6D．2【答案】D【解析】由得【考点】向量的坐标运算25.已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A．B．C．D．4【答案】C【解析】根据已知可得：，故选择C【考点】求向量的模26.已知A点坐标为，B点坐标为，且动点到点的距离是，线段的垂直平分线交线段于点．（1）求动点的轨迹C方程．（2）若P是曲线C上的点，，求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）根据题意知，所以的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以轨迹的方程为；（2）设点则，根据两点之间的距离公式得：，化简得：，又有椭圆的范围知，求函数的最值．试题解析：（1）∵；又，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，∵，∴，所求轨迹方程为．（2）解：设点则【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值．【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题．求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误．27.已知为圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外点。
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。
高二数学平面练习题
高二数学平面练习题一、选择题：1.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是A.异面B.平行C.相交D.可能共面也可能异面2.一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是A.异面B.平行C.相交D.可能共面也可能异面3.经过同一条直线上的3个点的平面A.有且只有1个 C.有且只有3个C.有无数个D.不存在4.下列说法中正确的个数是①一条直线上有一个点在平面内，则这条直线上所有点都在这个平面内 ②一条直线上有两个点在平面内，则这条直线一定不在该平面内③若线段AB ⊂平面α，则线段AB 延长线上的任何一点比在平面α内 ④一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线上的所有点都在这个平面内A. 1个B.2个C.3个D.4个5.设,,a b c 是空间三条直线，给出下列四个命题：①若a 与b 相交，a 与c 相交，则b 与c 也相交；②若a 与b 垂直，a 与c 垂直，则b 与c 也垂直；③若a 与b 共面，a 与c 共面，则b 与c 也共面；④若a 与b 异面，a 与c 异面，则b 与c 也异面.以上命题真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D.4 6.两平面l αβ=，若第三个平面γ不经过l ，则三平面,,αβγ把空间分成____部分. A.8 B.7或8 C.6或7或8 D.4或6或7或87.下列个图是正方体或正四面体，,,,P Q R S 分别是所长棱的中点，这四个点不共面的图是8.如图，平面,αβ相交于EF ，分别在平面,αβ内作EAC FBD ∠=∠，则AC 和BD 的关 系是A.异面B.平行C.相交D.不确定二、填空题：9.直线与平面公共点的个数可能为________________.10.四条直线两两平行，胆不共面，最多可确定________个平面.11.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 是异面直线；③DM 与AF 平行.以上三个命题中，正确的是______________.12.如图，在空间四边形ABCD 中，,E H 分别是,AB AD 的中点，,F G 分别是,BC CD 上的点，且23CF CG CB CD ==，若6BD =cm ，梯形EFGH 的面积为282cm ，则平行线,EH FG 间的距离是____________.13.在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，若 ,AC BD a AC BD b +=⋅=，则22EF EH +=________________.三、解答题：14.求证：两两相交且不过同一点的四条直线共面（写出已知、求证、证明）.15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点，求证： （1）1,,,E C D F 四点共面；（2）1,,CE D F DA 三线共点.16.如图，正方体的棱长为4，,M N 分别是11A B 和1CC 的中点.（1）画出过,,D M N 的平面与平面11BB C C 、平面11AA B B 的两条交线；（2）设过,,D M N 三点的平面与棱11B C 交于点P ，求PM PN +的值.17.已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 的中点. 求证：,,,E F G H 四点共面.18.如图，已知,,a b a b A αββ=⊂=，且,c c α⊂∥a ，求证：,b c 为异面直线.。
高二数学平行试题
高二数学平行试题1.平面平面的一个充分条件是A．存在一条直线，且B．存在一个平面，∥且∥C．存在一个平面，⊥且⊥D．存在一条直线，且∥【答案】D【解析】根据面面垂直的判定定理和性质定理可知：A、B、C选项都是既不充分也不必要条件；只有D选项是充分条件.【考点】平面与平面的位置关系、逻辑关系.2.已知为两条不同直线,为两个不同平面,给出下列命题: （）①②③④其中的正确命题序号A．③④B．②③C．①②D．①②③④【答案】B【解析】①不正确，因为还有可能；②③均正确，线面垂直的性质定理；④不正确，因为两直线还有可能异面。
【考点】1线线位置关系、线面位置关系；2线线垂直、线面垂直；3线线平行、线面平行。
3.已知为两条不同直线,为两个不同平面,给出下列命题:①②③④其中的正确命题序号（）A．③④B．②③C．①②D．①②③④【答案】B【解析】①不正确，因为还有可能；②③均正确，线面垂直的性质定理；④不正确，因为两直线还有可能异面。
【考点】1线线位置关系、线面位置关系；2线线垂直、线面垂直；3线线平行、线面平行。
4.－为正方体，下列结论错误的是（）A．∥B．C．D．【答案】D【解析】因为－为正方体，所以∥且，所以四边形为平行四边形，所以∥,，因为，，所以∥，故A正确；因为，所以，因为为正方形，所以,因为，所以，因为，所以，故B正确。
同理可证得，因为，所以，同理可证，因为，所以，故C正确。
排除法应选D。
【考点】1线面平行；2线线垂直、线面垂直。
5.如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面，．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）是否存在点，到四棱锥各顶点的距离都相等？并说明理由.【答案】（1）参考解析；（2）参考解析；（3）存在【解析】（1）线面平面平行的证明，关键是在平面内找到一条直线与要证明的直线平行，根据，再根据直线BC，直线AD的位置关系，即可得线面平行.线面平行还有一种就是转化为面面平行.线面平行的证明就是这两种判断的相互转化.（2）要证线线垂直转化为线面垂直，由题意可知，通过证明直线AC垂直于平面PAB，由面面垂直可知，只需证明直线AC垂直于AB，在三角形ABC中，由所给条件即可得到AC垂直于AB. （3）由（2）可知直线PB垂直于平面PAC.所以可得直线PB垂直于直线PC.通过三角形的BCD全等于三角形CBA，所以可得直线BD垂直于DC.所以BC是的斜边，即BC的中点就是所要找的Q点.试题解析：（1）证明：底面为梯形，，又平面，平面，所以平面.（2）证明：设的中点为，连结，在梯形中，因为，，所以为等边三角形，，又，所以四边形为菱形.因为，，所以，所以，，又平面平面，是交线，所以平面，所以，即.（3）解：因为，，所以平面.所以，，所以为直角三角形，.连结，由（2）知，所以，所以为直角三角形，.所以点是三个直角三角形：、和的共同的斜边的中点，所以，所以存在点（即点）到四棱锥各顶点的距离都相等.【考点】1.线面平行的判定.2.线线垂直的判定.3.直角三形的性质.4.归纳推理论证的能力.6.如图，在四棱锥中，为正三角形，平面，为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）本题中先取的中点，然后根据题意易证且，从而四边形是平行四边形，这样就可得到，最后就是由线面平行的判定定理可得结论；（2）根据（1）中所证得的，要证平面，只须证平面，由题中的条件不难证明，最后由线面垂直的判定定理可得平面，根据，可得结论.试题解析：证明: (1)取的中点，连接则 2分且，则四边形是平行四边形，平面内，所以平面 6分(2) 平面，，所以平面，而面，所以因为为的中点且为正三角形，所以又，所以平面又平面 12分.【考点】1.线面平行的证明；2.线面垂直的证明.7.已知、b为两条直线，为两个平面，下列四个命题：①∥b,∥b∥; ②∥③∥,∥∥④∥其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】由①可得直线平行于直线b与平面，则直线b与平面有平行或在平面内的两种位置关系，所以①不正确；由②∥可得直线b与平面有平行或在平面内的两种位置关系，所以②不正确. 由③∥,∥∥可得直线与平面有平行或在平面内的两种位置关系，所以③不正确；由④∥可得直线与平面有平行或在平面内的两种位置关系，所以④不正确.故综上可得选D.【考点】1.直线与平面的位置关系.2.直线与平面平行与垂直.8.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【答案】C【解析】A同时平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，也可能是异面直线，∴A错误,B时平行于同条直线的两个平面，不一定平行，可能相交，∴B错误, C若m∥n，m⊥α，则根据直线平行的性质可知，n⊥α成立，C正确,D当m∥α，α⊥β，则m⊥β不一定成立，可能相交，可能平行，D错误,选C．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系．9.在长方体中，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．【答案】（1）参考解析；（2）参考解析【解析】（1）线面垂直的证明关键是要找到平面内两条相交直线与该直线平行.其中BC⊥DF较易，在通过所给的条件说明DF⊥FC.即可得所要证的结论.（2）连结AC与DB交于点O.通过直线可得四边形EAOF为平行四边形所以可得AE//OF即可证得直线以平面的平行.本小题主要就是考查线面的关系，通过相应的判断定理，结合具体的图形即可得到所求的结论.试题解析：在长方体中，，，、分别为、的中点．(1)证：∵BC⊥面DCC1D1.∴BC⊥DF.∵矩形DCC1D1中，DC=2a，DD1=CC1=a.∴DF=FC=∴DF2+FC2=DC2∴DF⊥FC.∵BC∩FC=C.∴DF⊥面BCF(2) 证：连结AC交BD于O，连结FO，EF .∵.∴.∴四边形EAOF为平行四边形∴AE//OF. ∵AE面BDF. OF面BD.∴AE//面BDF【考点】1.线面垂直.2.线面平行.10.在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则（）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的(锐)二面角为C．平面与平面平行D．平面与平面所成的(锐)二面角为【答案】A【解析】令,,则，即,。
高二数学必修二第一章和第二章单元测试试题
高二数学必修二第一章和第二章单元测试试题班级 学号 姓名 得分 说明:本试题测试时间为60分钟,满分100分一、选择题:(本大题共8小题,每小题4分,共32分)1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是 （ ）A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π2．下列说法正确的是 （ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3．若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是 ( ) A ．相交 B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行、相交或异面4．b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α的是 ( )A ．b 与α内一条直线不相交B ．b 与α内两条直线不相交C ．b 与α内无数条直线不相交D ．b 与α内所有直线不相交5．对任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线6．在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 （ ） A ．点P 必在直线AC 上 B ．点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面ADC 外D ．点P 必在平面ABC 外7．边长与对角线长均相等的空间四边形ABCD 中，AB 与CD 的中点分别是P 、Q ，作与直线PQ 垂直的任一平面α，则空间四边形ABCD 在平面α内的射影是 （ ）A ．梯形B ．矩形但非正方形C ．菱形但非正方形D ．正方形8．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=I n βγ=I ，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)9. 已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 10．如图，∆ABC 是直角三角形，∠ABC =︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有个直角三角形11．如图Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=， A B C P则这个平面图形的面积是12．平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD交于S ，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_______________.13．下列命题中，所有正确的命题的序号是 .①一条直线和两条直线平行线中的一条垂直，则它也和另一条垂直；②空间四点A 、B 、C 、D ，若直线AB 和直线CD 是异面直线，那么直线AC 和直线BD 也是异面直线；③空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上；④若一条直线l 与平面α内的两条直线垂直，则α⊥l .14．如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等， D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为三、解答题(本大题共4小题,共44分。
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高二数学下第1章《直线与平面》测试题
（2016年6月5日）
时量：120分钟 总分：120分
一 选择题（本大题共12题，每小题4分，共48分）
1、 下列正确的命题是（ ）
（A ） 两个平面相交只有一个公共点 （B ）三条互相平行的直线确定一个平面， （C ）三条两两相交的直线确定一个平面
（D ）直线上有三点在平面内，则直线在平面内。
2、 一个角的两边分别平行于另一个40º角的两边，则这个角为（ ）
（A ） 40º （B ）140º （C ）40º或140º （D ）40º且140º 3、 下列命题正确的是（ ）
（A ）相交与ααl l ⇒⊥， （B ）ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,,， （C ）αα⊥⇒⊥n l n m m l ,||,||，（D ）m l m l ⊥⇒⊥αα||,。
4、 空间四边形ABCD 中，AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，且△BCD 是锐角三角形，那么必有（ ）
（A ） 平面ABD ⊥平面ADC ，（B ）平面ABD ⊥平面ABC ， （C ） 平面ADC ⊥平面BCD ，（D ）平面ABC ⊥平面BCD 。
5、 P 是四边形ABCD 所在平面外一点，若P 到四边形四条边的距离都相等，则四边形ABCD 是（ ） （A ）正方形，（B ）长方形，（C ）菱形，（D ）圆的外切四边形。
6、 BC 是Rt △ABC 的斜边，PA ⊥平面ABC ，连PB 、PC ，过P 作PD ⊥BC 于D ，连AD ，图中共有直角三角形（ ） （A ）6个，（B ）7个，（C ）8个，（D ）9个。
7、 已知βα--l 是直二面角，A ∈α，B ∈β，l B A ∉, ，设直线AB 与α，β所成的角分别为θ1，θ2，则θ1＋θ2（ ）
（A ） 等于90º，（B ）大于或等于90º，（C ）小于或等于90º， （D ）小于90º。
8、 已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则
AC 1等于（ ）
（A ）85，（B ）50，（C ）85，（D ）25。
9、 若{}
c b a ,,为空间的一个基底，则下列各选项中能构成基底的一组向量是（ ） （A ）+-,2,， （B ）+-,,，
（C ）++,22,2， （D ）2,,++++。
10 图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， M 和N 分别是A 1B 1、BB 1中点，那么直线AM 和直线CN 所成角的余弦值为（ ） （A ）
23，（B ）10
10
，（C ）53，（D ）52。
A
C 1
D 1
B 1
A 1
D
C
B
M
N
11、在直角坐标系中，设A （－2，3）、B （3，－2），
沿X 轴把直角坐标平面折成120º的二面角后，AB 的长为（ ）
（A ）112，（B ）44，（C ）24，（D ）32。
12、如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面AC ， 在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时， a 的取值范围是（ ）
（A ）a>6，（B ）a≥6，（C ）0<a≤6，（D ）0<a<6。
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、已知平面的一条斜线与一个平面的夹角为45º，又知平面内的一条直线和斜线在平面内的射影的夹角为45º，则平面的斜线和平面内该直线所成的角为 ； 14、如图，已知四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝BD ， ∠CBA ＝∠DBC ＝θ，则AD 与BC 所成的角为 ； (1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
AD z AB y AC x AC ++=11，则x ＋y ＋z ＝ ； (2)已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ， 线段DD 1⊥α，∠DBD 1＝30º，若AB ＝1㎝，AC ＝BD ＝3㎝， 则C 、D 间的距离为 。
三 解答题（本大题共六小题，共64分）
1、山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60º，山坡上有一条直道CD ，它和坡脚的水平线AB 成30º的角，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？（保留一位小数）。
（满分8分）
2、已知二面角α－PQ －β为60º，点A 和点B 分别在平面α和平面β内，点C 在棱PQ 上，∠ACP ＝∠BCP ＝30º，CA ＝CB ＝4㎝。
（1）求证：AB ⊥PQ ； （2）求点B 到平面α的距离；
（3）设R 是线段CA 上一点，直线BR 与平面α成的角是45º，求线段CR 长度（满分12分）
3、 如图所示，已知AA 1⊥面ABC ，且面ABC ∥面A 1B 1C 1，AA 1∥CC 1∥BB 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1㎝，∠BCA ＝90º，棱AA 1＝2㎝，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点。
（1）求BN 的长；
（2
）求
（3）求证：A 1B ⊥C 1M 。
（满分12分）
C
A B
α A
R C
B
Q P β A
A 1
C B 1
B
M
N C 1
B A
C
P
E
D
4、如图，底面ABCD 是边长为a 的正方形，并且PD ＝a ，PA ＝PC ＝a 2。
（1）求证：PD ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线PB 与AC 所成的角； （3）求二面角A －PB －D 的大小。
5、已知：如图所示，平面α∥平面β，线段AB 与线段CD 异面，βα⊂⊂CD AB ,，且AB ＝4，CD ＝5，AB 与CD 成的角为60º，平面γ∥α，且γ与AC 、BC 、BD 、AD 分别交于M 、N 、P 、Q 。
（满分12分） （1）求证：四边形MNPQ 为平行四边形； （2）试求截面MNPQ 面积的最大值。
6、 （满分10分）
（理科做）长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝4，AD ＝AA 1＝2，MN 是BD 、CD 1的公垂线，求MN 的长。
（文科做）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是BD 、CD 1的公垂线，求MN 的长。
A
D B C N
β
α M
P Q
D 1
C 1
A 1
B 1
D
B
A M
N P D
C
B
A。