高中数学教案：函数的三种形成方式
数学教案高中函数
数学教案高中函数
教学目标：
1. 熟练掌握高中函数的定义和基本性质；
2. 能够灵活运用函数的概念解决实际问题；
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 函数的定义；
2. 函数的图像和性质；
3. 函数的运算。
教学难点：
1. 函数的复合运算；
2. 函数的图像的绘制。
教学准备：
1. 教师准备教学课件和教学用具；
2. 学生准备笔记本和铅笔。
教学过程：
第一步：引入问题
教师通过一个实际问题引入函数的概念，让学生了解函数的定义和意义。
第二步：讲解函数的定义和性质
教师简要介绍函数的定义和性质，包括定义域、值域、自变量和因变量等概念。
第三步：举例说明函数
教师通过一些例题让学生掌握函数的基本性质和运算规则。
第四步：绘制函数的图像
教师示范如何绘制函数的图像，并要求学生根据函数的公式自行绘制函数的图像。
第五步：巩固练习
教师出一些练习题让学生巩固所学的内容，提高解题能力。
第六步：课堂讨论
教师组织学生互相讨论解题方法和答案，促进学生思维的交流。
第七步：作业布置
教师布置相关作业，巩固所学知识。
教学反思：
通过这节课的教学，学生能够熟练掌握函数的基本概念和运算方法，提高数学解题能力和思维能力。
学生在课后应多做练习，巩固所学内容，提高数学学习的效果。
高中数学《函数的表示法》教案1北师版必修
函数的表示方法教学目标：1.掌握函数的三种表示方法(列表法、解析法、图象法),会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
2.根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解决实际问题.3.了解简单的分段函数，并能简单的应用。
一 课题引入与教材认知：1.以引入函数概念的三个问题为背景，引入函数的表示方法。
2.教材认知。
函数的三种表示方法：（1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法。
（2）解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.（3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。
列表法优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。
缺点：只用于自变量为有限个的函数。
解析法优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。
缺点：一些实际问题很难找到它的解析式。
图象法优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
缺点：只能近似地反映函数的变化情况。
二 典型例题例1、购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示x （{}4,3,2,1∈x ）的函数,并指出该函数的值域。
小结：同一个函数可以用不同的方法表示，在实际情境中，能根据不同的要求选择恰当的方法表示函数。
中学阶段研究的函数主要是用解析式表示的函数。
例2、某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km 收费,试写出收费关于路程的函数解析式.例2中的函数具有如下特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析式。
像这样的函数通常叫做分段函数 （注：分段函数是一个函数，而不是几个函数。
）小结：（1）在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
(2) 回顾初中所学内容，如正比例，一次，二次，反比例函数等若已知函数类型，求函数解析式时常用待定系数法其基本步骤是设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。
高中数学函数概论教案模板
高中数学函数概论教案模板
一、教学目标
1. 理解函数的概念及其特点；
2. 掌握函数的定义、性质和基本性质；
3. 熟练运用函数的相关知识解决实际问题。
二、教学内容及安排
1. 函数的概念
- 什么是函数？
- 函数的符号表示：y = f(x)、f: x → y
- 自变量和因变量的概念
2. 函数的性质
- 定义域和值域
- 函数的奇偶性
- 函数的增减性
3. 函数的基本性质
- 函数的连续性
- 函数的周期性
- 函数的单调性
4. 函数的运算
- 函数的相加、相减、相乘、相除
- 函数的复合
5. 实际问题的解决
- 利用函数解决实际问题
- 实际问题的函数建模
三、教学重点与难点
1. 函数的概念及其特点是本节课的重点，学生需要掌握清楚；
2. 函数的运算和实际问题的解决是本节课的难点，需要帮助学生理解和应用。
四、教学方法
1. 讲授与示范结合
2. 分组讨论与合作学习
3. 案例分析与实践应用
五、教学资源
1. 教材
2. 多媒体设备
六、教学评价
1. 课堂练习
2. 作业完成情况
3. 知识掌握程度
七、教学进度安排
第一课：函数的概念
第二课：函数的性质
第三课：函数的基本性质
第四课：函数的运算
第五课：实际问题的解决
八、教学反馈
1. 教师定期对学生学习情况进行诊断和反馈
2. 学生可以提出问题和建议，促进教学质量的提高。
以上为高中数学函数概论教案模板范本，可根据实际教学情况进行调整和修改。
数学高中教案：函数的基本概念与性质
数学高中教案：函数的基本概念与性质一、引言函数是高中数学中的重要概念之一。
它是描述不同数值之间的关系的工具，被广泛应用于各个领域。
本教案将介绍函数的基本概念与性质，帮助学生对函数有更深入的理解。
二、函数的定义1. 函数的定义：函数是一个数集到另一个数集的映射关系，每个自变量对应唯一的因变量。
2. 函数的表示方法：函数可以用方程、图像、表格和函数式等多种方式进行表示。
3. 函数的记法：通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
三、函数的性质1. 定义域：函数的自变量的取值范围，表示为D(f)。
2. 值域：函数的因变量的取值范围，表示为R(f)。
3. 奇偶性：函数奇偶性根据f(-x)=±f(x)来判断，若成立则为偶函数，否则为奇函数。
4. 单调性：函数的单调性描述了函数值的变化趋势，可以分为递增和递减两种。
5. 周期性：函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
四、基本函数的图像与性质1. 线性函数：f(x) = kx + b，k为斜率，b为截距。
线性函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。
2. 幂函数：f(x) = ax^k，a为常数，k为指数。
幂函数的图像形状因a和k的取值不同而改变。
3. 指数函数：f(x) = a^x，a为常数，a>0且a≠1。
指数函数的图像是递增的曲线。
4. 对数函数：f(x) = loga(x)，a为常数，a>0且a≠1。
对数函数的图像是递增的曲线。
五、函数的运算1. 函数的加法运算：(f+g)(x) = f(x) + g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相加。
2. 函数的减法运算：(f-g)(x) = f(x) - g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相减。
3. 函数的乘法运算：(f*g)(x) = f(x) * g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相乘。
4. 函数的除法运算：(f/g)(x) = f(x) / g(x)，将两个函数在相同的自变量下进行相除。
高中数学教案：函数的概念与基本性质
高中数学教案：函数的概念与基本性质函数的概念与基本性质一、导入在高中数学课程中，函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学本身具有广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。
了解函数的概念以及掌握其基本性质，对于理解和运用数学知识都有着至关重要的意义。
本教案旨在帮助学生深入理解函数的概念，并掌握函数的基本性质。
二、函数的定义1. 函数的概念：函数是两个集合之间元素间对应关系的特殊类型。
通俗来说，就是将自变量映射到因变量上。
2. 函数符号表示：通常我们用f(x)来表示一个函数，其中f为函数名，x为自变量。
三、函数图像与解析式1. 函数图像：通过绘制函数对应关系中所有点所构成的图形而得到，可以直观地反映出自变量与因变量之间关系的规律。
2. 解析式：也称作方程式或表达式，在数学中用符号和式子来描述一个函数。
四、常见类型的函数及其性质1. 线性函数：- 定义：线性函数描述了自变量和因变量之间的成正比关系，通常以y=kx+b的形式表示。
- 性质：线性函数的图像是一条直线，且斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b则决定了直线与y轴的交点。
2. 幂函数：- 定义：幂函数是自变量的某个非负指数次方和一个常数之积。
- 性质：幂函数分为奇数次幂函数和偶数次幂函数两类，其图像形状和对称性取决于是否为奇偶次幂。
3. 指数函数：- 定义：指数函数描述了以某个常数为底，自变量为指数的指数值和一个常量之积。
- 性质：指数函数有着特殊的增长规律，其图像在原点上方且递增。
4. 对数函数：- 定义：对数函数是指一个正实验值和底相应指数值之间的对应关系。
- 性质：对数组可以将乘法运算转化为加法运算，并且具有特殊的递减规律。
五、基本性质1. 函数定义域与值域：- 定义域：自变量取值范围，在没有限制条件时通常为实数集合。
- 值域：函数所有可能的输出值的集合，在图像上通常表现为函数曲线所覆盖的区间或点集。
2. 奇偶性：- 奇函数：满足f(-x)=-f(x)的函数，其图像关于原点对称。
函数的概念 教案
函数的概念教案函数是数学中的一个重要概念，它在数学理论和实际问题中都有着广泛的应用。
本教案将介绍函数的定义、性质以及常见的函数类型。
一、函数的定义函数是一个将每个元素都从一个集合（称为定义域）映射到另一个集合（称为值域）的规则。
简单来说，函数就是根据输入值得到输出值的过程。
记作：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
f(x)表示函数f对x 的输出值。
二、函数的性质1. 定义域与值域：- 定义域是函数f中所有可能的输入值x的集合。
- 值域是函数f中所有可能的输出值y的集合。
2. 一一对应关系：- 函数f的每个输入对应唯一一个输出，即不同的输入得到不同的输出。
- 一个输出可能对应多个不同的输入（但不可逆）。
3. 符号化表示：- 对于给定的函数，可以通过数学符号来表示，如多项式函数、三角函数等。
三、常见的函数类型1. 线性函数：- 定义：一个函数是线性的，当且仅当它可表示为f(x) = ax + b的形式，其中a和b是常数。
- 例子：y = 2x + 3，y = -0.5x + 1等。
2. 幂函数：- 定义：一个函数是幂函数，当且仅当它可表示为f(x) = ax^b的形式，其中a和b是常数。
- 例子：y = 2x^3，y = 0.5x^2等。
3. 指数函数：- 定义：一个函数是指数函数，当且仅当它可表示为f(x) = a^x的形式，其中a是常数。
- 例子：y = 2^x，y = 0.5^x等。
4. 对数函数：- 定义：一个函数是对数函数，当且仅当它可表示为f(x) = loga(x)的形式，其中a是常数。
- 例子：y = log2(x)，y = log10(x)等。
四、总结函数是数学中的一个重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。
我们可以通过函数来解决各种实际问题，并且函数具有很多有用的性质和种类。
熟练掌握函数的概念和常见类型，有助于我们加深对数学的理解，并能更好地应用函数的知识解决实际问题。
高中数学教案《函数的概念及其表示》
教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。
o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。
o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。
2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。
o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。
o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。
o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。
o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。
二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。
●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。
●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。
2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。
●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。
●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。
3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。
●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。
高中人教版数学必修3教案
高中人教版数学必修3教案
课时安排：第一课时
教学内容：函数及其性质
教学目标：通过本节课的学习，使学生能够掌握函数的基本概念，并了解函数的性质。
教学重点：函数的概念、定义和性质。
教学难点：函数的性质的应用。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过举例子引入函数的概念，让学生了解函数在生活中的应用。
二、讲解（15分钟）
1. 定义函数的概念，函数的符号表示。
2. 函数的定义及分类。
3. 函数的性质：有界性、单调性、奇偶性等。
三、练习（20分钟）
1. 练习函数的定义和性质。
2. 让学生通过练习题来巩固所学知识。
四、拓展（10分钟）
教师引导学生思考函数在现实生活中的应用，并提出相关问题让学生讨论。
五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题作业，巩固本节课所学内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数的概念及性质有了初步的了解，但在练习过程中发现学生对函数性质的应用理解有所欠缺，需要在后续的教学中加强相关练习。
同时，鼓励学生多思考函数在实际生活中的应用，能够更好地理解函数的概念。
高中数学函数教学设计（精选5篇）
高中数学函数教学设计（精选5篇）一、函数的概念在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
二、高中数学函数教学设计（精选5篇）作为一名默默奉献的教育工作者，总归要编写教学设计，教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。
我们该怎么去写教学设计呢？下面是小编收集整理的高中数学函数教学设计（精选5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
高中数学函数教学设计1教学目标1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图象和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。
2、使学生理解并掌握幂函数的图象与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力。
3、培养学生观察、分析、归纳能力。
了解类比法在研究问题中的作用。
教学重点、难点重点：幂函数的性质及运用难点：幂函数图象和性质的发现过程教学方法：问题探究法教具：多媒体教学过程一、创设情景，引入新课问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?(总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数)问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a 的函数。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积,这里V是a的函数。
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长,这里a是S 的函数。
问题5：如果某人s内骑车行进了km，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢?(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式)(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课，书写课题)二、新课讲解由学生讨论，(教师可提示p=w可看成p=w1)总结，即可得出：p=w,s=a2,a=s,v=t-1都是自变量的若干次幂的形式。
高中数学《函数的概念》教案
高中数学《函数的概念》教案教学目标：1. 理解函数的概念，了解函数在数学和现实生活中的应用。
2. 掌握函数的定义、函数图象、函数表示法等基本概念和性质。
3. 学会利用函数图象和函数式进行函数的简单分析和绘制。
教学重点：1. 函数的定义及其图象。
2. 函数的基本性质。
教学难点：1. 函数概念的深入理解。
2. 函数图象和函数式的绘制。
教学方法：1. 模块化教学法。
2. 案例教学法。
3. 讨论交流式教学法。
教学准备：1. 教学用具：黑板、彩色粉笔、多媒体设备、工具箱等。
2. 教学材料：相关数学教材、运用函数的实际问题等。
教学过程：Step 1: 引入教师首先介绍什么是函数，为什么需要函数，以及函数的应用。
引导学生思考一下：我们生活中常常用到的具有函数特性的物品有哪些？Step 2: 概念阐述1. 函数的定义：函数是一种将一个数域中的每一个元素唯一对应到另一个数域中的元素的关系。
2. 函数的符号表示：（1）函数名：y=f(x)。
（2）定义域：x。
（3）值域：y。
（4）自变量：x。
（5）因变量：y=f(x)。
3. 函数的图象：函数的图象是由函数的自变量的取值范围和函数的部分值确定的点集。
Step 3: 函数的基本性质1. 单调性：函数在定义域上的单调性分为单调递增和单调递减。
2. 奇偶性：函数的奇偶性可以根据函数的自变量的取值范围和函数值的正负性来判断。
3. 周期性：函数f(x+T)=f(x)则函数f(x)的周期为T。
4. 对称性：函数的对称性可以根据函数的自变量的取值范围和函数值的正负性来判断。
Step 4: 函数的应用1. 函数的应用在于解决实际问题。
2. 实际问题可以转化为函数形式。
例如：求公司销售额与广告投入之间的关系。
Step 5: 小结教师要求学生总结函数概念、函数图象、函数定义及其表示法等知识点，深入理解函数的基本性质和应用。
Step 6: 练习教师要求学生分别完成数学教材上的习题和课后作业。
函数的表示法 优秀教案
函数的表示法【教学目标】1．使学生掌握函数的常用的三种表示法；2．使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点；3．使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题；4．培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。
【教学重点】函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法【教学难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。
【教学过程】一、新课引入复习提问：函数的定义问题1：下表列出的是正方形面积变化情况。
（1）这份表格表示的是函数关系吗？（2）当x在(0，+∞)变化时呢？怎么表示？答：（1）是函数关系；（2）是函数关系；y＝x2x∈(0，＋∞）或图像法。
在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函数，可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质，同时也是研究函数的重要手段。
问题2：请同学们回忆一下初中学过的函数有哪些常用的表示法？答：列表法是、图像法、解析法二、新课讲解请同学们阅读课本例2以上部分内容。
1．列表法在实际问题中常常使用表格，有些表格描述了两个变量间的函数关系，比如，某天一昼夜问题：列表法是怎样定义的？有什么优、缺点？在学生回答的基础上师生共同总结：（1）定义：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法。
（2）优点：不用通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观。
缺点：只能表示有限个元素间的函数关系。
2．图像法：人的心脏跳动强度是时间的函数，医学上常用的心电图，就是利用仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化的曲线图。
问题：图像法是怎样定义的？有什么优、缺点？在学生回答的基础上师生共同总结：（1）定义：用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法。
（2）优点：图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势。
缺点：只能近似反映函数的变化情况。
3．解析式法：例如，设正方形的边长为x，面积为y，则y是x的函数，用解析式表示为：y＝x2x∈(0，＋∞）问题：解析式法是怎样定义的？有什么优、缺点？在学生回答的基础上师生共同总结：（1）解析式法：一个函数对应关系用自变量的解析表达式（简称解析式）表示出来的方法，称为解析法。
高中数学教案：函数的基本性质与应用
高中数学教案：函数的基本性质与应用函数是高中数学中的重要内容之一，它不仅在数学中具有重要的地位，还在物理、经济等领域中有着广泛的应用。
掌握函数的基本性质和应用是高中数学学习的关键之一。
本教案将从函数的定义、函数的性质、函数的应用三个方面进行讲解，以帮助学生全面理解函数的概念和应用。
一、函数的定义1.1 函数的概念在数学中，函数是一种特殊的关系。
简单来说，函数是一个输入和一个输出之间的规则，对于给定的一个输入，函数能够唯一确定一个输出。
常用的表示函数的记号是$f(x)$，其中$x$是函数的自变量，$f(x)$是函数的因变量。
1.2 函数的定义域、值域和图像函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是函数取得的因变量的取值范围。
图像是函数在直角坐标系中的表示，横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的变化趋势和特点。
二、函数的基本性质2.1 奇偶性对于一个函数$f(x)$，如果对于任意的$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称该函数为偶函数；如果对于任意的$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称该函数为奇函数。
具有奇偶性的函数在图像上具有对称性，可以通过观察函数的奇偶性来简化问题的求解过程。
2.2 单调性一个函数在其定义域上具有单调性，当其自变量增大时是否使得因变量增大或减小。
如果对于任意的$x_1,x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数为增函数；如果对于任意的$x_1,x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称函数为减函数。
函数的单调性可以帮助我们了解函数的增减趋势和极值点的位置。
2.3 有界性一个函数在定义域上是否有上界或下界，如果存在一个常数$M$，使得对于函数的所有函数值$f(x)$，都有$f(x)\leq M$，则称函数在定义域上有上界；如果存在一个常数$m$，使得对于函数的所有函数值$f(x)$，都有$f(x)\geq m$，则称函数在定义域上有下界。
认识函数数学教案
认识函数数学教案
标题：认识函数数学教案
一、教学目标
1. 学生能够理解函数的基本概念。
2. 学生能够掌握函数的表示方法。
3. 学生能够解决与函数有关的问题。
二、教学重点和难点
1. 教学重点：函数的概念和表示方法。
2. 教学难点：理解和应用函数的概念。
三、教学过程
1. 导入新课：
通过实际生活中的例子引入函数的概念，如身高与年龄的关系，距离与时间的关系等。
2. 讲授新课：
（1）定义函数：讲解什么是函数，函数的输入和输出，以及函数的基本性质。
（2）函数的表示方法：介绍如何用图像、表格和解析式表示函数。
（3）函数的应用：通过实例让学生了解函数在现实生活中的应用。
3. 练习与实践：
设计一些练习题，让学生自己动手解题，以此检验他们对函数的理解程度。
4. 小结：
总结本节课的主要内容，强调关键知识点。
5. 布置作业：
设计一些相关的作业，让学生在课后继续巩固所学知识。
四、教学反思
对本节课的教学效果进行反思，分析学生的学习情况，为下一次教学提供参考。
高一数学函数教案5篇
高一数学函数教案5篇(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《函数的概念》教案
课题：函数的概念(一)教材：普通高中课程标准实验教材教科数学必修(1)人教版【三维目标】1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.2.掌握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性，激发学生学习的积极性.【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.【教学难点】函数概念及符号y=f(x)的理解.【教学方法】诱思教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观感知→观察分析→归纳类比→抽象概括，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.【教学手段】多媒体课件辅助教学【教学过程设计】一、创设情景引入课题北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，在“嫦娥一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系.在初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素.二、观察分析探索新知1.实例分析（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：h =130t -5t 2. （﹡）提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（﹡），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.提出问题：观察分析图中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系. 根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .对于数集A 中的任意一个时间t ，按照图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应.（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.表1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2025 5101530图126 25tSO 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001提出问题：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.根据上表，可知时间t的变化范围是数集}=Nttt≤A，恩格≤,19912001∈{*尔系数y的变化范围是数集}8.=yyB. 并且，对于数集A中的任意≤53{≤9.37一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.2．问题探讨以上三个实例有什么不同点和共同点？活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应.记作.Af→:B3.归纳概括引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？活动：让学生分组讨论交流，讨论归纳出：(1)函数的概念:一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称xx=y∈f(A),ABf→:为从集合A到集合B的一个函数，记作.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合}xxf∈叫做函数的值域.(){A显然，值域是集合B的子集.(2)函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.(3)函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定；②f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示．三、新知演练及时反馈1. 提出问题：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？并用函数的概念来描述这些函数.设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素.2. 思考辨析：(1)1y(x∈R)是函数吗？=(2))0x=xy是函数吗？(≥±(3)x3=1-是函数吗？y-+x方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？由学生总结得到：(1)理解函数的定义应注意：①符号“f:A→B”表示从A到B的一个函数；②函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应；③集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性.(2)判断函数的标准可以简化成：两个非空数集A，B，一个对应关系.提出问题：在三个实例中，按照一定的对应关系，能看作从B到A的函数吗？你能举出函数的实例吗？设计意图：使学生更深刻理解函数的概念，培养学生的数学应用意识.3．练习反馈下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（ B ）四、提炼总结 分享收获 1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y =f (x ).2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.五、布置作业1. 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域.2．课本P 24 习题1.2 1、3、4六、板书设计教案说明函数是高中数学的重要内容之一.它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与代数式﹑方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础. 因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一，本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题.《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.学生在初中已学习过函数的概念，概念从运动的观点刻画了两变量之间的相互依赖关系，在已有认识的基础上，让学生学会用集合与对应的语言来刻画函数的概念，并体会函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要模型，是本节课的教学重点. 本节课的教学难点是：函数概念及符号y=f(x)的理解. 函数的概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围，因此本节课教学设计的整体指导思想是：让学生通过观察分析，去发现，并归纳概括出函数的概念，从而更好的理解函数的概念，熟练的去应用概念解决问题. 通过本节课的学习，进一步培养学生观察问题，提出问题的探究能力；培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，学会数学表达和交流，发展数学应用意识；同时使学生感受到学习函数的必要性，激发学生学习的积极性.本节课对重难点的处理方法是：（1）为了让学生抽象概括出函数的概念，首先以三个实际问题引入，让学生认识到生活中充满着变量间的依赖关系，先建立起函数的背景，为学生理解函数概念打下感性基础. 在三个不同的实例中，通过对关键词的强调和引导，给学生思考、探索的空间，让学生发现、概括出它们的共同特征. 进而引导学生从实际问题中抽象概括出函数的概念，培养了学生的抽象概括能力. 教学中让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析问题，解决问题的能力. 高一的学生是以感性思维为主的年龄阶段，在第一个例子中，通过动画演示炮弹的发射过程，让学生更清晰直观的感知：对于每一个时间t，都有唯一确定的高度h与它对应. 这样设计符合他们的认知规律，化抽象为直观，学生更容易理解. 第二、三个例子，让学生仿照前例，尝试用集合与对应的语言去描述两个变量之间的依赖关系，学会数学表达和交流.由学生抽象概括出函数的概念，其间经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步提高了学生的数学思维能力；教学中注重培养学生积极主动，勇于探索的学习方式. 本节课选自运动、自然界、经济生活中用三种不同方法表示的函数，既可以让学生感受到函数在许多方面的广泛应用，又可以使学生意识到对应关系不仅可以是明确的解析式，也可以是形象直观的曲线和表格，为下一节函数的表示方法描下伏笔.（2）为了使学生正确理解函数的概念，首先让学生用集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素. 其次通过思考辨析，由学生讨论、列举出函数的例子，再次加深对函数概念的理解，同时也培养了学生的数学应用意识. 最后启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程.爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此，数学学习的核心是思考，没有思考就没有真正的数学. 在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体, 总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，适时地给予适当的思维点拨，必要时进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见.这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提升能力.教学过程中既注重锻炼学生独立解决问题的能力，又注重对学生交流合作意识和创新意识的培养.通过本节课的教学，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用.。
函数数学教案
函数数学教案函数数学教案1教学目标：知识与技能1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。
2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。
3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。
过程与方法1、通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
2、经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。
情感与价值观1、经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想。
2、让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。
教学重点：1、掌握函数概念。
2、判断两个变量之间的关系是否可看作函数。
3、能把实际问题抽象概括为函数问题。
教学难点：1、理解函数的概念。
2、能把实际问题抽象概括为函数问题。
教学过程设计：一、创设问题情境，导入新课『师』：同学们，你们看下图上面那个像车轮状的物体是什么？函数数学教案2教学目标1．知识与技能理解一次函数与一元一次不等式的关系，发展学生的认知体系．2．过程与方法经历探索一次函数与一元一次不等式的关系的过程，掌握其应用方法．3．情感、态度与价值观培养良好的数学抽象思维，体会本节课知识在现实生活中的应用价值．重、难点与关键1．重点：一次函数与一元一次不等式的关系．2．难点：如何应用一次函数性质解决一元一次不等式的解集问题．3．关键：从一次函数的图象出发，直观地呈现出一元一次不等式的解的范围．教具准备采用“问题解决”的教学方法．教学过程一、回顾交流，知识迁移问题提出：请思考下面两个问题：（1）解不等式5x+6>3x+10；（2）当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？学生活动观察屏幕，通过思考，得到（1）、（2）的答案，回答问题．教师活动在学生充分探讨的基础上，引导学生思考：“一元一次不等式与一次函数之间有何内在联系？”思路点拨在问题（1）中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，•解这个不等式得x>2；问题（2）就是解不等式2x-4>0，得出x>2时函数y=2x-4的值大于0，•因此这两个问题实际上是同一个问题，从直线y=2x-4（如图）可以看出．当x>2时，•这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0．问题探索教师叙述：由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”有什么关系？学生活动小组讨论，观察上述问题的图象，联系不等式、函数知识，解决问题．师生共识由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．教学形式师生互动交流，生生互动．二、范例点击，领悟新知例2用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．教师活动激发思考．学生活动小组合作讨论，运用两种思维方法解决例2问题．解法1：原不等式化为3x-6<0，画出直线y=3x-6（左图），可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2．解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10（右图），可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为x<2．评析两种解法都把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低．三、随堂练习，巩固深化课本P216练习．四、课堂，发展潜能用一次函数图象来解一元一次方程或一元一次不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的关系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学是重要的．五、布置作业，专题突破课本P129习题14．3第3，4，7，8，10题．函数数学教案3重点难点教学：1.正确理解映射的概念;2.函数相等的两个条件;3.求函数的定义域和值域。
高中数学教案函数的概念和性质
高中数学教案函数的概念和性质高中数学教案：函数的概念和性质一、引言数学中的函数是一个重要的概念，它在各个领域有着广泛的应用。
本教案将引导学生深入理解函数的概念和性质，帮助他们掌握函数的基本知识和运用方法。
二、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合的元素（因变量）。
表示函数的通常形式为：y = f(x)，其中x 为自变量，y为因变量。
2. 自变量和因变量自变量是函数的输入值，因变量是函数的输出值。
例如，在一条直线的方程y = 2x + 1中，自变量为x，因变量为y。
3. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
在确定一个函数时，需要确定定义域和值域的范围。
三、函数的性质1. 单调性函数的单调性描述了函数是否在定义域上单调递增（或递减）。
学生可以通过观察函数的图像、导数的符号等方式来判断函数的单调性。
2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像关于原点的对称性。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
学生可以通过观察函数的表达式来判断函数的奇偶性。
3. 周期性函数的周期性描述了函数图像在一定范围内是否重复出现。
周期函数的图像在每个周期内有一定的规律性。
例如，正弦函数、余弦函数都是周期函数。
4. 极值函数的极值包括最大值和最小值。
学生可以通过求导数、观察函数的图像等方式来确定函数的极值，并进一步分析极值的性质。
四、函数的应用1. 函数在图像绘制中的应用学生可以利用函数的性质，绘制各种形式的函数图像。
通过掌握函数的基本形态和特点，可以更好地理解函数的性质和规律。
2. 函数在实际问题中的应用函数在实际问题中的应用非常广泛。
学生可以通过函数的建模，解决各种实际问题，如距离、速度、面积等。
五、教学活动1. 观察函数图像让学生观察不同函数的图像，帮助他们理解函数的概念和性质。
2. 求解函数的性质让学生通过求导数、观察函数的表达式等方式，判断函数的性质，并进一步分析其特点。
高中数学教案：函数的概念与基本性质
高中数学教案：函数的概念与基本性质一、函数的概念函数是数学中一种重要的概念，在高中数学中占据着重要的地位。
函数的概念来源于实际生活中的对应关系，它描述了两个集合之间的一种关联规则，是一种量与量之间的依赖关系。
在函数中，一个集合称为定义域，另一个集合称为值域。
函数将定义域中的每个元素与一个唯一的值域中的元素对应起来。
例如，一个餐厅的销售额与每天的顾客人数之间存在关联，可以用一个函数来描述这个关系。
在数学中，通常用f(x)来表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集、有理数集或其他特定的集合。
通过函数的定义域和值域，我们可以确定它们的范围和取值的特点。
二、函数的基本性质函数的基本性质包括可定义性、唯一性、有界性、奇偶性和单调性等。
1. 可定义性函数的可定义性是指函数在定义域内是否有确定的取值。
在定义域内的每个元素都要对应一个值域中的元素。
如果函数在定义域内的某些点无法找到对应的值，则称函数在该点不可定义。
2. 唯一性函数的唯一性是指函数的每个自变量都有唯一的函数值。
即使是函数的定义域中有相同的自变量，对应的函数值也必须是相同的。
相反，如果函数的自变量有不同的函数值，那么这个函数就是多值函数。
3. 有界性有界性是指函数在定义域内是否有上界和下界。
上界是指函数值不能超过某个特定的值，下界是指函数值不能小于某个特定的值。
如果一个函数存在上界和下界，那么它是有界函数；如果一个函数不存在上界或下界，那么它是无界函数。
4. 奇偶性奇偶性是指函数在对称轴上的对应关系。
如果一个函数满足f(-x) = f(x)，那么它是偶函数；如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，那么它是奇函数。
奇函数关于坐标原点对称，而偶函数则关于y轴对称。
5. 单调性单调性是指函数在定义域上的增减特性。
如果函数的函数值随着自变量的增大而增大，那么它是增函数；如果函数的函数值随着自变量的增大而减小，那么它是减函数。
高中数学试讲教案函数
高中数学试讲教案函数
一、教学目标：
1. 知识目标：学生能够理解函数的定义，掌握函数的符号表示和性质。
2. 能力目标：学生能够运用函数的相关知识解决实际问题。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和探索精神。
二、教学重点：
1. 函数的定义和符号表示。
2. 函数的性质和特点。
三、教学难点：
1. 运用函数的相关知识解决实际问题。
2. 培养学生对函数的理解和探索能力。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际问题引入函数的概念，引发学生对函数的思考和讨论。
2. 讲授：简要讲解函数的定义和符号表示，介绍函数的性质和特点，引导学生理解函数的基本概念。
3. 练习：让学生通过练习题目巩固函数的相关知识，培养运用函数解决问题的能力。
4. 拓展：引导学生探索函数的更多应用领域，激发学生对函数的兴趣和热爱。
五、归纳总结：总结本节课学习的重点和难点，强化学生对函数的理解和掌握。
六、作业布置：布置相关作业，巩固学生对函数的学习成果。
七、评价反馈：通过课堂练习和作业检查，评价学生对函数的理解和掌握情况，及时给予反馈和指导。
八、课后反思：对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的不足之处，为下一次的教学改进提供参考。
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函数的三种形成方式课程目标知识提要函数的三种形成方式函数的三种形成方式主要指由一些已知函数除四则运算外，得到更多函数的方法，主要包括分段函数、复合函数以及反函数．复合函数设的定义域为，函数的定义域为，值域为，且．那么对于内的任意一个经过和有唯一确定的值与之对应，因此变量与之间通过变量形成函数关系，记为，这种函数称为复合函数，其中称为自变量，称为中间变量，称为因变量．分段函数∙在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．反函数∙反函数的定义设和分别为函数的定义域和值域，如果为一一映射，且由所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作其中，是自变量，是的函数，习惯上改写成的形式．由定义可以看出，函数的定义域恰好是它的反函数的值域；函数的值域恰好是它的反函数的定义域．对数函数且是指数函数且的反函数．反函数的性质①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．②若函数图象上有一点，则必在其反函数的图象上；反之若在反函数图象上，则必在原函数图象上．③互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性．精选例题函数的三种形成方式1. 表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中：函数的值域为；方程有无数个解；函数的图象是一条直线；函数是上的增函数．正确的有．（只填序号）【答案】2. 设函数是定义在上的减函数，并且满足，则的值是．【答案】3. 已知定义在上的函数为单调函数，且，则．【答案】4. 的反函数是，若，则．【答案】【分析】因为，所以，所以，所以．5. 函数的反函数为．【答案】6. 已知函数求的值．【解】，，，．7. 定义域为的单调函数满足，且， (1)求，；【解】，．(2)判断函数的奇偶性，并证明．【解】函数是奇函数．由，所以，即，所以为奇函数．8. 设和求的值．【解】故原式．9. 已知函数（为非零实数），设函数． (1)若，求的表达式；【解】把代入，得，故，所以，所以．(2)设，，试判断能否大于？【解】因为，，所以，一正一负，且正值的绝对值大于负值的绝对值，不妨设，，且，所以，故，所以，当时，，则能大于；当时，，则不能大于．10. 已知函数．(1)若，求的取值范围；【解】由得由得因为，所以解得由得(2)若是以为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数．【解】当时，，因此由单调性可得．因为，所以所求反函数是．复合函数1. 已知，，则．【答案】2. 若，，则的值为．【答案】【分析】时，，所以．3. 若，，且，则的值是．【答案】4. 函数的单调增区间是．【答案】【分析】解得或．定义域为．外层函数单调递减，由复合函数“同增异减”知当内层函数单调递减时复合函数单调递增．即单增区间为5. 函数的单调递减区间是．【答案】6. 若函数．(1)求的定义域；【解】因为，所以的定义域为．(2)求的值域；【解】设，即，所以，由函数在上为增函数，得，所以，的值域为．(3)求的单调增区间．【解】令，则函数在上为增函数，且，因为函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数．即函数的单调增区间为．7. 已知，，若，求的值．【解】因为．所以．又因为，所以，所以解得．8. 设且(1)若在定义域内是奇函数，求证：；【解】因为在定义域内是奇函数，所以所以即所以．(2)若，且在上的最大值是，求实数的值；【解】因为，则在上是增函数，则有．所以，所以．(3)在（2）的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．【解】由知，则在上恒成立，即在上恒成立，因为函数在上的最小值为，所以．9. 已知，求函数的最大值和最小值．【解】令，则∵，∴当，即时，取最大值；当时，即时，取最小值，即的最大值为，最小值为．10. 已知函数，且，，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数．【解】有题设当时，则；当时，则；综上可得分段函数1. 已知函数若，则．【答案】2. 已知函数则；若，则．【答案】，3. 设函数，若，则实数的取值范围是．【答案】或【分析】由题意可得，所以可化为或分别解不等式组可得或．4. 设则，．【答案】；【分析】因为，所以，又因为，所以．5. 已知，则．【答案】6. 已知函数是二次函数，不等式的解集为，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；【解】根据解集为，可设，且，所以的图象的对称轴为，开口向上，在区间上，解得，所以．(2)设，，求的最小值．【解】当，即时，；当，即时，；当，即时，．综上所述，．7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式．【解】令，则，，．因为是定义在上的奇函数，所以，所以．当时，把代入得．综上所述，8. 设函数(1)求，的值；【解】；．(2)若，求的值．【解】，或或解得9. 已知函数．(1)作出函数的图像；【解】由已知，得的图象为：(2)解不等式．【解】不等式，即．由（1），得或或解得．因此，原不等式的解集为．10. 已知函数，．(1)当时，求函数的值域；【解】当时，当时，；当时，，函数的值域为．(2)设，求函数最小值．【解】．（1）当时，，，此时当时，在上单调递减，在上单调递增，所以；（2）当时，，，在上单调递减，在上单调递增，所以；（3）当时，，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，故；综上所述：反函数1. 两个函数的图象关于直线对称，若其中一个函数是，则另一个函数的表达式为．【答案】．2. 若函数的反函数为，则．【答案】3. 若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则．【答案】4. 已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点．【答案】5. 已知函数的反函数是，则，．【答案】；6. 已知函数是的反函数．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足" 和性质"；若函数与互为反函数，则称满足" 积性质"．(1)判断函数是否满足" 和性质"，并说明理由；【解】函数的反函数是所以而，其反函数为故函数不满足" 和性质"．(2)求所有满足" 和性质"的一次函数；【解】设函数满足" 和性质" ．所以所以而得反函数由" 和性质"定义可知对恒成立，所以即所求一次函数为(3)设函数对任何，满足" 积性质"．求的表达式．【解】设，，且点在图象上，则在函数图象上，故可得令则所以即综上所述，此时，其反函数就是而故与互为反函数．7. 已知，函数． (1)求的值；【解】因为，所以．所以．所以．(2)若表示在上的反函数，试求的值．【解】因为，依题意，令，得．因为，所以，即．8. 设函数的反函数是．如果，那么是否正确，试说明理由．【解】解：设由于是的反函数，从而以、分别代替上式中的、．即得．9. 已知．(1)求的定义域、值域和反函数；【解】为使函数有意义，需满足，即．又，，故定义域为．又，，即函数值域为．设，则．，．的反函数为．(2)判断的单调性，并证明；【解】设，．则即．为减函数．(3)解不等式．【解】由得，，，即，解得．又的定义域为，故原不等式的解集为．10. 设常数，函数．(1)若，求函数的反函数；【解】由，解得由，得或且所以，所求反函数为或(2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．【解】①当时，，，则是偶函数；②当时，，定义域为且则是奇函数；③当时，定义域为不关于原点对称，则既不是奇函数，也不是偶函数．课后练习1. 已知函数的定义域为且对一切正实数、都成立，若，则．2. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则．3. 函数是的反函数，则函数恒过定点．4. 表示与中的较小者，则函数的最大值为5. 已知，则方程的解集为．6. 若函数满足，求常数的值．7. 已知函数和在上的图象如下图所示：给出下列四个命题：①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根；③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根．其中正确命题的序号是8. 已知函数，（），若，则．9. 已知，是一次函数且是增函数，若，则．10. 若函数的定义域是，则函数的定义域为．11. 分段函数则12. 函数，则．13. 已知函数则．14. 分段函数（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的的函数．（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的定义域的交集是空集．（3）作分段函数图象时，应．15. 若函数，则；不等式的解集是．16. 若函数的图像经过点，则函数的反函数的图像一定经过点．17. 函数的反函数是．18. 已知函数，则．19. 函数且的反函数是．20. 函数与函数的图象关于直线对称，则；的定义域为．21. 已知函数对一切，，都有，且时，，．(1)求证：是奇函数．(2)判断的单调性，并说明理由．(3)求在上的最大值和最小值．22. 设是上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，求的表达式．23. 已知的定义域为，且试求的值，并由此推测出一个一般结论．24. 设函数的定义域为，且满足条件．对任意，，有，且当时，有．(1)求的值；(2)如果，求的取值范围．25. 设函数为常数且．(1)当时，求；(2)若满足，但，则称为的二阶周期点，证明：函数有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点，；(3)对于（2）中的，，设，，，记的面积为，求在区间上的最大值和最小值．26. 已知二次函数满足，且，(1)求二次函数的解析式．(2)求函数的单调增区间和值域．27. 已知函数，求的最小值．28. 已知．(1)求的定义域；(2)讨论的单调性；(3)求在区间上的值域．29. 已知，求函数的最大值和最小值．30. 已知函数，求和的解析式．31. ，，(1)求的解析式；(2)画出函数的图象，并写出其单调区间．32. 某市出租车的计价标准是：以内（含）元；超过但不超过的部分元；超出的部分元．(1)如果某人乘车行驶了，他要付多少车费？某人乘车行驶了，他要付多少车费？(2)如果某人付了元的车费，他乘车行驶了多远？33. 设，两地相距，汽车以的速度从地到地，在地停留后，再以的速度返回地．试将汽车离开地后行走的路程表示为时间的函数．34. 已知和．(1)求的解析式，并画出其图象；(2)写出方程的解集．(1)作函数的图象；(2)作函数的图象．36. 已知函数，(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性；(3)求；(4)求使的的取值范围．37. 已知函数．(1)求的定义域和值域；(2)判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断结果；(3)求的反函数．38. 求函数的反函数．函数的三种形成方式-出门考姓名成绩1. 函数的定义域为，且对于定义域内的任意，都有，且，则的值为．2. 已知函数若，则．3. 已知函数在上有定义，且对于任意正实数、，都有，则．4. 函数的反函数是．5. 某商品的单价为元，若一次性购买超过件，但不超过件时，每件优惠元；若一次性购买超过件，则每件优惠元．某单位购买件（），设最低的购买费用是元，则的解析式是．6. 已知函数，定义函数序列，，，，则，．7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为．8. 若，则．9. 若正比例函数满足，则．10. 若（，且）在区间上是增函数，则的取值范围是．11. 已知函数若，则实数．12. 已知，，，，是互不相同的正数，且，则的取值范围是．13. 函数是定义在上的偶函数，当时，，则．14. 设，则．15. 已知函数则．16. 若函数的反函数为，则．17. 设为的反函数，则．18. 已知函数 ( )，的反函数为，则．19. 函数的反函数．20. 已知函数和互为反函数，则，．21. 在数轴上找出满足的点．22. 已知函数．(1)画出的图象；(2)写出的单调增区间与减区间．23. 若是定义在上的增函数，且对一切，满足(1)求的值；(2)请举出一个符合条件的函数；(3)若，解不等式．24. 将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率．(1)求；(2)当时，求的表达式；(3)令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值．25. 设函数是上的奇函数．(1)求的值．(2)求的反函数．26. 已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．27. 设，函数有最小值，求不等式的解集．28. 求函数的值域．29. 函数．(1)求函数的定义域；(2)求函数的最大值．30. 判断函数的单调性．31. 为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过度时，按每度元计算，每月用电量超过度时，其中的度仍按原标准收费，超过的部分按每度元计算．(1)设月用电度时，应交电费元．写出关于的函数关系式；(2)小明家第一季度交纳电费情况如下：月份一月二月三月合计交费金额元元元元则小明家第一季度共用电多少度？32. 已知为正整数，规定，，且(1)解不等式；(2)设集合，对任意，证明：；(3)试求．33. 为了预防甲型流感，某学校对教室用药薰消毒法进行消毒，已知在药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），其图象如下图所示．(1)写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少经过多少小时后学生才能回教室？34. 设函数．(1)作出函数的图象；(2)当，且时，求的值；(3)若方程有两个不相等的正根，求的取值范围．35. 根据图象写出函数的表达式．。