概率论 高等院校概率论课件JXHD52-3

三、区间估计定义5-6 设θ为总体分布中的未知参数，(θθ=),,,21n X X X ，(θθ=),,,21n X X X 为两个统计量。

对于给定的10<<α,若θθ,满足 αθθθ-=<<1}{P （5-21）则称随机区间（θθ,）是θ的置信度为α-1的置信区间，α-1称为置信度，θθ,分别称为置信下、上限，有时也称（θθ,）为θ的区间估计。

下面就正态总体讨论如何求区间估计：设总体X 服从正态分布)(2σμ，N ，n X X X ,,,21 为X 的一个样本。

4-1Interval estimate Confidence interval1.2σ已知时，求μ的区间估计由于μ=X E ，且X )(~2nN σμ，，因此构造函数nX U 2σμ-= （5-22）则U 服从标准正态分布,即），（10~N U ，由于λσμ<-nX 2<<-⇔μσλn X 2nX 2σλ+记 =θnX 2σλ-nX 2σλθ+= 对于给定的α(10<<α)，由yo λ x αλ-=<1}{U P ，即2/1}{αλ-=<U P （5-23）查标准正态分布表求得λ，从而得μ的置信度为α-1的置信区间为n X 2σλ-（，）n X 2σλ+ （5-24）综上所述得2σ已知时，求μ的区间估计的一般步骤如下：综上所述得2σ已知,求μ的区间估计的一般步骤如下： （1）构造样本函数，并确定其分布，即取n X U 2σμ-=），（10~N （2）对于给定的α(10<<α)，由αλ-=<1}{U P 出发，即由2/1}{αλ-=<U P ，查标准正态分布表求得λ。

（3）进行有关计算。

（4）确定μ的置信度为α-1的置信区间n X 2(σλ-，)2n X σλ+例5-8 某车间生产滚珠，从长期实践中知，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，其方差为0.05，从某天的产品中随机抽取6个，量得直径（mm ）如下：14.70,15.21, 14.90, 14.91, 15.32, 15.32。

试求EX =μ的置信区间(05.0=α)。

解：依题意取样本函数 nX U 2σμ-=），（10~N 对于给定的α=0.05，由2/1}{αλ-=<U P =-=205.010975.查标准正态分布表求得λ=1.96，又6=n ，05.02=σ，06.156161==∑=i i x X ，得μ的置信度为0.95的置信区间是(24.1588.14()18.006.1518.006.15，，=+-)2.2σ未知时，求μ的区间估计构造样本函数 nSX T 2μ-=（5-25）可以证明其分布密度为22)11()21()1()2()(n n t n n nt f ⋅--+-Γ-Γ=π （5-26） 由（5-8）知)1(~-n t T 分布，其图形关于0=t 对称（如图5-5）, f x n n n x nx n ()()()()()=++-∞<<+∞-+ΓΓ1221212π （5-8）yo λ x于是由λμ<-nS X 2，即<<-μλn S X 2nS X 2λ+得μ的置信度为α-1的置信区间为n S X 2λ-（，）n S X 2λ+ （5-28）图5-5对于给定的α（10<<α）， 由αλ-=<1}{T P 即由2/}{αλ=>T P （5-27） 查)1(-n t 分布表可求得λ，例5-9 对飞机的飞行速度进行15独立试验，测得飞机的最大飞行速度（m/s ）：422.2，418.7，425.6，420.3，425.8，423.1，431.5，428.2，438.3，434.0，412.3，417.2，413.5，441.3，423.7，根据长期经验，可以认为飞机的最大飞行速度服从正态分布)(2σμ，N ，试求EX =μ的置信区间（05.0=α）。

解：依题意取样本函数 nSX T 2μ-=)1(~-n t 对于给定的α=0.05，由2/}{αλ=>T P ==205.0025.0查)14(t 分布表，求得λ=2.145。

又15=n ，经计算047.425151151==∑=i i x X 2S ∑==-=1512143.1006)(141i i X x 于是由n S X 2λ-（，）n S X 2λ+得μ的置信度为0.95的置信区间是（74.429,35.420）3.2σ的区间估计构造样本函数 222)1(σχSn -=（5-29）可以证明2χ的分布密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>-Γ=---000)21(21)(2/2321x x e x n x f x n n ，，由(5-7)知上述样本函数)1(~22-n χχ分布，其图形如图5-6（3>n ）。

⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其它，，00)2/(21)(2122/y e yn y f y n n （5-7）yo 1λ 2λx 对于给定的α(10<<α)，取)0(,2121λλλλ<<使满足αλχλ-=<<1}{221P （5-30）为了便于计算，令21,λλ分别满足2/}{12αλχ=<P （5-32）2/}{22αλχ=>P （5-33）查)1(2-n χ表求21,λλ，得2σ的置信度为α-1的置信区间为22)1(λSn -（，12)1(λSn -） （5-34）即2/1}{12αλχ-=>P例5-10 用克矽平治疗矽肺病患者，得治疗前后血红蛋白的差值为2.7，-1.2，-1.0，0.0，0.7，2.0，3.7，0.6，0.8，-0.3，已知差值X 服从正态分布)(2σμ，N ，试求σ2的置信区间（05.0=α）。

解：依题意，取样本函数)1(~)1(2222--=n S n χσχ 对于给定的05.0=α，由975.02/05.01}{12=-=>λχP 查2χ(9)分布表得，7.21=λ025.02/05.0}{22==>λχP 192=λ。

又由于10=n ，经计算68.0101101==∑=i i x X 2S ∑==-=10129376.24)(91i i X x 由（5-34）得2σ的置信度为0.95的置信区间是22)1(λSn -（，12)1(λSn -）=（1.2829，9.0281）查2χ(9)分布表得，7.21=λ192=λ4.二个正态总体均值差的区间估计设X 和2XS 分别是总体~X )(211σμ，N 的容量为m的样本均值、样本方差；Y 和2Y S 分别是总体~Y )(222σμ，N 的容量为n 的样本均值、样本方差，并且这两个样本相互独立。

因为X 、Y 分别为21μμ、的点估计，故取-X Y 为21μμ-的点估计。

此时-X Y 服从正态分布，且E (-X Y )=21μμ- D (-X Y )=D +X D Y nm 2221σσ+=对总体方差的不同情况可得21μμ-的不同置信区间：Mean value error（1）若2221σσ、都已知，则nm 2221σσ+已知，即为上nmY X U 222121)(σσμμ+---=），（10~N （5-35）对于给定的α(10<<α)，由αλ-=<1}{U P （λ待定） （5-36）即 2/1}{αλ-=<U P （5-37）可求得λ，从而得21μμ-的置信度为α-1的置信区间是(X Y m n --+λσσ1222，)X Y m n-++λσσ1222 （5-38）述“2σ已知时，求μ的区间估计”的情形，故构造函数例5-11 设自总体)25(1，μN 得一容量为10的样本,其样本均值X =198.；自总体)36(2，μN 得一容量为12的样本，其样本均值0.24=Y ，并且两个样本相互独立。

求总体均值差21μμ-的置信度为0.90的置信区间。

解：由90.01=-α,得95.021=-α,取样本函数nm Y X U 222121)(σσμμ+---=)10(~，N 由2/1}{αλ-=<U P =95.0查标准正态分布表可求得λ=645.1，又由362512102221====σσ，，，nm ，得345.25.5123610252221≈=+=+n m σσ从而由（5-38）式得21μμ-的置信度为0.90的置信区间是)34.006.8()345.2645.10.248.19(--=⨯±-，（2）2221σσ、都未知，这时只要nm 、都很大（一般都大于50），可用S SX Y22、近似代替2221σσ、，则得21μμ-的置信度为α-1的近似置信区间是(X Y S m S n XY--+λ22，)X Y S m S nXY-++λ22 （5-39）其中λ由标准正态分布表查得（2/1}{αλ-=<U P ）。

（3）22221σσσ==，但2σ未知，可构造样本函数)2(~11)(21-++---=n m t nm S Y X T w μμ （5-40）其中2)1()1(222-+-+-=n m S n S m S YX W，22Y X S S 、分别为两个样本的样本方差。

从而对于给定的α(10<<α)，由 2)(αλ=>T P （5-41）查)2(-+n m t 分布表求得λ。

即得21μμ-的置信度为α-1的置信区间是n m S Y X W11(+--λ，)11nm S Y X W ++-λ （5-42）例5-12 为比较A 、B 两种型号的灯泡的寿命,随机抽取A 型号的灯泡5只，测得平均寿命为1000=A X （小时），标准离差为28=A S (小时)；随机抽取B 型号的灯泡7只，测得平均寿命为980=B X （小时），标准离差为32=B S （小时）。

设两总体都服从正态分布，并且由生产过程知，它们的方差相等，求两正态总体均值差B A μμ-的0.99的置信区间。

解：故取样本函数)2(~11)(21-++---=n m t nm S Y X T w μμ 又由99.01=-α，得01.0=α，，102=-+n m 查表得1693.3=λ，经计算2)1()1(222-+-+-=n m S n S m S Y X W =928 46.30≈W S 5.567151=+WS λ从而得B A μμ- 的0.99的置信区间为（20－56.5，20＋56.5)=(-36.5，76.5)5.方差比的区间估计设两正态总体)(211σμ，N 、)(222σμ，N 的参数都为未知的，样本相应容量分别为n m ，且相互独立，样本方差为2221S S 、，下求方差比2221σσ的置信区间：由)1(~)1(22121--m S m χσ, )1(~)1(22222--n S n χσ，构造2222212122222121)1/()1()1/()1(σσσσS S n S n m S m F =----=22212221σσS S =（5-43）Variance ratio可证F 服从自由度为)11(--n m ，的F 分布，记作)11(--n m F ，,即)11(~--n m F F ，。