Ch8-1-3任意项级数
第9节第4节任意项级数
★
n 1
定理第二个结论 :反之不然,由
(1)n1可得.
n1 n
2020年5月29日星期五
5
§9.4 任意项级数
例1:
判断级数
（1）n
1
x（n x
0)的敛散性.
n1
n
解:
对于级数 （1）n xn
x
n
，由达朗贝尔判别法知：
n1
当x 1时
n xn
n1 n 收敛， 当x
1时
xn 发散.
故:
2、定理: 若 un 收敛, 则 un收敛.
n1
n 1
(即绝对收敛级数必为收敛级数,但反之不然.)
证明1: 方法：先构造一个参考级数
令
vn
1 2
(un
un
)
(n 1,2,L ),
显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1
又Q un (2vn un ),
n1
n1
un 收敛.
b a
（f x）g（x）dx作比较，
n1
形式有相似之处.
在积分中,分部积分是重要方法,阿贝尔变换变 形后在形式上也与分部积分公式十分相似.
| b
bb
udv uv - vdu
a
aa
比较
m
m1
aibi amBm (ai1 ai )Bi
i 1
i 1
2020年5月29日星期五
23
§9.4 任意项级数
使用也类似于分部积分法，关键是选取a n和bn .
2020年5月29日星期五
29
§9.4 任意项级数
证明:
用柯西收敛原理考察级数 anbn 充分远的片段和 n 1
任意项级数
n
三、小结 正 项 级 数
1. 若 Sn → S,则级数收敛;
任意项级数
审
2. 若 lim un 0, 则级数 un发散.
n
敛
法
3.按基本性质;
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
n 1
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
n 1 n 1
级数条件收敛． 绝对收敛、条件收敛与收敛 之间有着什么样的关系呢？
定理2
若 un 收敛, 则 un收敛.
n 1 n 1
证明 令 vn 1 (un un ) (n 1, 2,),
2
显然vn 0, 且vn un ， vn收敛,
又 un (2vn un ), un收敛.
n 1
若 un 收敛，则绝对收敛. n 1 结论：级数 un收敛, n 1 若 u 发散，则条件收敛. n n 1
n 1
n 1
n 1
例3
sin n 2 的收敛性. 判别级数 n n 1
解
sin n 1 2 2, n n
§9.3
任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
判别法，判断出正项级数 u n 发散，
n 1
任意项级数(精)
s2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) ... (u2n2 u2n1 ) u2n
5
于是有s2n≤u1,根据单调有界数列必有极限的准则可知， s2n的极限存在，且极限值记为s，则有
lim s2 n s u1
n
由于s2n+1=s2n+u2n+1，由条件(ⅱ)可推得
lim s2 n 1 lim s2 n lim u2 n1 s
n n n
6
前2n项之和的极限为s，前2n+1项之和的极限也为s，故有
lim sn s u1
n
最后，不难看出余项rn可以写成
rn (un1 un 2 ...)
故由莱布尼兹定理知，所给级数收敛．
9
二、绝对收敛与条件收敛
前面讨论的正项级数、交错级数都是形式比较特殊 的级数，下面讨论更一般形式的级数的敛散性．
10
设有级数 un ，其中un(n=1,2…)为任意实数，这样的级 n 1 数称为任意项级数．取级数的各项绝对值组成一正项 级数
u
n 1
由莱布尼兹定理知，该级数收敛．
8
例8 讨论级数 ( 1)
n 1
n1
1 . 的敛散性 ( 2n 1)(2n 1)!
解 此级数为交错级数，因为
1 1 1 1 .... 3 3! 5 5! 7 7!
1 lim 0 n ( 2n 1)(2n 1)!
15
1 1 1 ( 2)因 为 3 3 ， 且lim 3 0， n n1 n n
常数项级数的概念和性质
的说法．从数学的角度上看，这就是
111 248
1 2n
1．
1.1 常数项级数的概念
再如，计算半径为 R 的圆面积 A，具体做法如下：如图所示，作圆的内接正六 边形，算出这六边形的面积 a1 ，它是圆面积 A 的一个粗糙的近似值．为了比较准确 地计算出 A 的值，我们以这个六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和为 a2 ，那么 a1 a2 （即内接正十二边形 的面积）就是 A 的一个较好的近似值．同样地，再在正十二边形的每一边上分别作 一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和为 a3 ，那么 a1 a2 a3 （即内接正二十四边形的面积）是 A 的一个更好的近似值．如此继续下 去，内接正 n 边形的面积就逐步逼近圆的面积，即
高等数学
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数性质以 及用简单函数逼近复杂函数进行数值计算的有力工具．无穷级数在自然科学、 工程技术和数学的许多分支中都有着广泛的应用．像其他数学理论一样，无穷 级数理论也是在科学技术的发展和推动下，逐渐形成和完善起来的．早在魏晋 时代，我国数学家刘徽就已经用无穷级数的思想来计算圆的面积了．直到19世 纪，极限理论的建立，才给无穷级数奠定了理论基础．
a
；如果| q |
1，则级数 aqn
n0
1 q
n0
发散．
1.1 常数项级数的概念
例 2 证明级数
1 2 3 n 是发散的．
证明 此级数的部分和为
Sn 1 2 3
n n(n 1) ． 2
显然，
lim
n
Sn
，因此所给级数是发散的．
任意项级数敛散性的判别
另一方面, S 2 m u 1 (u 2 u 3 ) (u 4 u 5 ) (u 2 m 2 u 2 m 1 ) u 2 m
u 1 , 即 {S 2m } 有 上 界 ,
故 {S2m } 收敛,记 mlimS2m S ,显然有 Su1 .
解
因为 si nn
n2
1 n2
,而
n1
1 n2
收敛,
故原级数绝对收敛.
例2
判定
(1)n
n1
1 3n
(11)n2 n
是绝对收敛、条件
收敛还是发散.
解
n
un
1(11)n 3n
1 n3 e
1
，
绝对收敛.
5
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un (其中 un0)
n1
定理(莱布尼兹判别法) 如果交错级数满足条件
判 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散
别 3. 按基本性质;
4.充要条件
法 5.比较法
4.绝对收敛 5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼兹定理)
16
思考题
设 正 项 级 数un收 敛 ,能 否 推 得un 2 收 敛 ?
n1
n1
反 之 是 否 成 立 ? 若 是 任 意 项 级 数 呢 ?
（ 1 ） u n u n 1 , 即 { u n } 单 调 减 少 ；
（ 2）ln im un0,
称莱布尼茨 型级数
则 交 错 级 数 (1)n1un收 敛 ,且 其 和 Su1.
n1
6
证 S 2 m ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,
任意项级数学习课件
二.任意常数项级数
可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了.
绝对收敛;
例如级数
是条件收敛的.
是绝对收敛的;
它的每一项取绝对值后组成的级数——正项级数,便
考察
收敛, 则称级数
则称级数
若级数
发散, 而级数
条件收敛.
定理12 若级数 收敛, 则级数 必定收敛.
即绝对收敛的级数必收敛.
证 设
收敛.
收敛.
注1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛.
注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来判定任意常数项级数是否绝对收敛, 从而收敛.
而不能断定它必为发散,
(2) 若用比值法和根值法判别级数 , 得出级数
注意:
定理13 若任意项级数 满足条件
①首先判断它是否绝对收敛
②再看它是否为交错级数;
是否收敛);
(即用正项级数的判
别法,判别
若是交错级数，就用
莱布尼兹判别法判别
是否收敛;
③若前面方法失效,就考虑用其它方法;
例15 判定下列级数的敛散性:
由比较判别法的极限形式知
故原级数绝对收敛.
发散.
收敛.
从而原级数不绝对收敛；
则原级数条法)
若交错级数
满足条件:
则交错级数收敛, 且其和
证 因为
则序列 单増.
则序列
余项
则无论n是奇数还是偶数均有
于是交错级数
收敛, 且其和
也是交错级数, 同样满足定理给
出的两个条件.从而
例14 判定下列交错级数的敛散性.
收敛.
由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们
ch-8-1反常积分的概念与计算
数学分析
设函数 f ( x ) 在区间 ( ,) 上连续,如果 反常积分 f ( x )dx 和 0
0
f ( x )dx 都收敛， 则称
上述两反常积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( ,)上的反常积分，记作 f ( x )dx .
f ( x )dx f ( x )dx 0
a b ，如果极限 lim
b
a f ( x )dx 存在，则称此极 a
b
限为函数 f ( x ) 在无穷区间 ( , b] 上的反常积 分，记作 f ( x )dx .
f ( x )dx
b
lim a f ( x )dx
a
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
1 π lim cos cos 1. b b 2
数学分析 例3
证明反常积分 1
1 dx 当 p 1时收敛， p x
当 p 1时发散.
1 1 dx dx ln x 1 , (1) p 1, 1 证 1 xp x , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx p 1 , p1 1 x 1 p 1 p1 1 因此当 p 1时反常积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1时反常积分发散.
a f ( x )dx .
a f ( x )dx lim0 a
b
b
f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
数学分析
类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b ) 上连续， 而在点 b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
任意项级数的概念
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【2019年整理】任意项级数的敛散性判别
0 r ,同敛散
给定
v
n
,
若
lim
n
un vn
r r 0, r ,
vn收敛，则 un收敛
v
发
n
散
，
则
un发散
1、p
级数
:
n1
1 np
当p 1时, 当p 1时,
收敛 发散
2、 aqn敛散性
n0
当q 当q
1时, 收 敛 1时, 发 散
3、调和级数
1 发散.
n1 n
比值判别法： （不需要比较对象）
复习
正项级数判别法：
（1）
lim
n
un
0?
（2）比值判别法（含n的阶乘）不用比较对象
或根式判别法（通项中含有n次幂）
（3）比较判别法极限形式(含对数函数时 经常采用比较法)
（4）比较判别法 需要敛散性已知的比较对象
比 较 判 别 法：非极极限限形形式式：：un
cvn
,
则
vn收敛，则 un收敛 un发散，则 vn发散
(2)
lim
n
un
0
则 (1)n1un收敛,且它的和s u1 .
n1
证 un1 un 0, S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
即数列 {S2n }是单调增加的 ,
又S2n u1 (u2 u3 )
u (u2n2 u2n1 ) u2n
n1 n
当x 1时, 原级数 1 发散.
n1 n
例
判别级数
n1
s
in na n2
(a
0)
的收敛性.
解 经判断该级数为任意项级数（易出错认为正项级数）
任意项级数的敛散性判别
un收敛 un发散
r 1, 方法失效
第2页/共29页
§7.3 任意项级数敛散性的判别
• 一、交错级数 • 二、莱布尼兹判别法 • 三、绝对收敛、条件收敛
第3页/共29页
一、任意项级数、交错级数的定义
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
若 un是正项级数, 则 un收敛 其部分和数列Sn有界.
n1
n1
根据比值判别法：判定 un 发散，则 un发散.
n1
n1
第15页/共29页
例：判别级数
(1)n1
n3的敛散性。 2n
解： lim | un1 |
n | un |
(n 1)3
lim
n
2n1
2n n3
lim 1 (1 1 )3
n 2
n
1 2
1
(1)n
n3 2n
绝对收敛。
例：判别级数
例
判别级数
n1
(1)n n
的收敛性.
(1)n1un
解
（1）un
1, n
1 1 , n n1
un un1 ,
n1
（2）
lim
n
un
lim
n
1 n
0.
所以原级数收敛.
例 判别级数 (1)n1( n 1 n ) 的收敛性. n1
1
n1 n
解 （1）un
n1 n
1 n1
n
1 n 2
n1
n
(n
1)2
2n1
n2
2n
1 1
2
所以该级数收敛.
第19页/共29页
(2)
n1
任意项级数
∑ an 是发散的，则级数 ∑ an 也是发散的。理由是，在上述判别法的证明
n =1 n =1
∞
∞
过程中，我们得到了 an 不趋向于零，因而我们知道 an 也不趋向于零。由此，我们有下列定 理：
定理 2：设 ∑ an 是任意项级数，
n =1
∞
1) 若 lim
n →∞
∞ an +1 < 1 ，则 ∑ an 绝对收敛； an n =1
证明：设级数
∑a
n =1
∞
n
绝对收敛，即：
∑a
n =1
∞
n
收敛，由收敛级数的 Cauchy 准则，
∀ε > 0 ，∃ N ∈N ，n > N 时，∀ p ∈N ， 有： an +1 + an + 2 + " + an + p < ε ，
因此： an +1 + an + 2 + " + an + p ≤ an +1 + an + 2 + " + an + p < ε ， 即级数
高等微积分讲义
第4讲
任意项级数
上一节讨论了正项级数收敛的条件。对于负项级数，利用级数的基本性质（数乘），只 需对其每一项同乘以 −1 即化为正项级数，因而我们可以认为对于定号级数的问题已经基本 讨论清楚了。另外，对于只有有限项为负的（或有限项为正的）级数，其级数的收敛性与定 号级数没有区别，这里也不做讨论了。这一节我们来讨论最一般的数项级数的性质。一般说 来，它可以同时有无穷多项为正，无穷多项为负。
下面对一类比较特殊的任意项级数进行讨论。 我们考虑正负项交替出现的级数， 即交错 级数的收敛性。记级数为：
高教社2024高等数学第五版教学课件-8.3 任意项级数
注意：上述定理的逆定理不成立。即不能由级数 σ∞
=1 收敛得出级
数σ∞
=1 收敛。
例4
∞
判定级数σ=1
2
解
考 虑 级 数 σ∞
=1
σ∞
=1
(为常数)的敛散性。
2
，因为
2
=
2
1
∞
σ
收敛，由比较判别法可知，级数 =1
−1
= 0，由定理1知级数σ∞
(−1)
=1
2
<1
2
2
收敛。
2
2
= ，
二、绝对收敛与条件收敛
为了判定任意项级数 σ∞
=1 的敛散性，通常先考察其各项的绝对值组
成的正项级数σ∞
=1 的收敛性。
定义2
∞
σ
如果级数σ∞
收敛，则称级数
=1
=1 绝对收敛；如果级数
=1
或
∞
(−1) = −1 + 2 − 3 + 4 + ⋯ + (−1) + ⋯
=1
其中 > 0 (n=1,2,3,…)
−1 或级数σ∞ (−1) 为交错级数。
则称级数σ∞
=1(−1)
=1
= − σ∞ (−1)−1 ，所以在后面的讨论中，
第八章 无穷级数
第三节 任意项级数
任意项级数 σ∞
=1 中 (n=1,2,3,…)为任意实数，
本节只讨论某些特殊类型任意项级数的敛散性问题。
一、交错级数
第3讲 任意项级数
n p
对任意 >0和任意的p,只要n> 1 就有 k n1 k 但是
n 1 n p n p
1,
1 p 1 n 1 n 1 . k n
1 发散. n
方法二:交错级数收敛性判别 1、交错级数定义
n+1 形如u1 u2 u3 u4 1） un （
(-1)
k 1
uk
un1 un 2 un 3 un 4 un 5 un1 , n 1、、 23
n＝1
所以lim rn =0，故级数 xn收敛。
n
注意1:两个条件缺一不可!!!! 1.设xn 0, 且xn 0,问交错级数 1
s －s m n x n1 x n 2 x n 3
x n p
un1
根据Cauchy原理, (-1)n1un收敛。
证法2：已经知道级数 xn收敛 lim rn =0.
n＝1 n
由于u n单调减少， 所以 rn
k＝n 1
1 例:证明级数 当 1时收敛. k 1 k
解:当m n N时分析
m m 1 1 1 1 k k1 k n x dx k n n m
1 1 1 1 m n n1 m 1 1 1 1 1 n 0( m , n ). 1
显然 sin 0 递减，且 lim sin 2 n n2 1 n n 1 n 故 sin( n 2 1 )是leibniz级数，从而收敛. 注意：应用该定理时，有两种情况，一是显而易见的 交错级数；二是可化为交错级数的级数。
大学高等数学上册：Ch8-1-3任意项级数
证明 反证法.
若 ∑ un 与 ∑ vn 之一发散，另一个收敛 ， 例如 ∑ un 发散, 而 ∑ vn 收敛， 则由 un − vn = an ,
即 un = vn + an , 可知 ∑ un 收敛，
与条件矛盾.
若 ∑ un 与 ∑ vn 都收敛， 由定理 3 可知
∑ an 绝对收敛，
所以定理成立.
由比较判别法可知：当 ∑| an | 收敛时，∑ un 与 ∑ vn 均收敛．
“⇐” 由于 | an |= un + vn，而 ∑ un 与 ∑ vn 均收敛，
所以 ∑| an | 收敛，即 ∑ an 绝对收敛．
推论 对于绝对收敛级数 ∑ an 成立 ∑ an = ∑ un − ∑ vn．
定理4 若 ∑ an 条件收敛, 则 ∑ un 与 ∑ vn 均发散．
∞
∑ | a1 | + | a2 | +L+ | an | +L = | an |
(2)
n=1
称为原级数所对应的 绝对值级数．
∞
∞
定理 2 若级数 ∑| an | 收敛， 则级数 ∑ an 一定收敛．
n=1
n=1
证明 Q an + | an | ≥ 0，且 an + | an | ≤ 2 | an |
n→∞
1 1
= 1，
∞
且
1
n=1 n 13
发散，
∞
则 | an | 发散．
n=1
n3
而
lim
n2 3
= 0， 设 f ( x) =
x2 3
，
n→∞ n + 100
x + 100
8.3任意项级数
∴{S 2 n }单调递增且有上界, 故{S 2 n }收敛
【微积分8-3-2】
而S 2 n +1 = S 2 n + u2 n +1
∴ lim S2 n +1 = lim S 2 n + lim u2 n +1 = lim S 2 n
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞
n =1
∞
二、交错级数收敛判别法 1、莱布尼兹判别法
若交错级数∑ (−1) n −1 un 满足条件
n =1
(1)un ≥ un +1 , (n = 1, 2,L)
则交错级数∑ (−1) n −1 un收敛
n =1 ∞
(2) lim un = 0
n →∞
【微积分8-3-1】
2、证明：
Q S 2 n = u1 − u2 + u3 − u4 + L + u2 n −1 − u2 n
本节作业：P292页 13（2、5、8）
【微积分8-3-12】来自∞n −1(0 < p ≤ 1)的敛散性
1 1 Q un = p > = un +1 , (n = 1, 2,L) p n (n + 1)
1 lim un = lim p = 0, (0 < p ≤ 1) n →∞ n →∞ n
(−1) n −1 ∴ 依莱布尼兹判别法有交错级数∑ 收敛 p n n =1
n −1
n n 1 = lim( ) = <1 n →∞ n + 1 e
(−1) n −1 n ! ∴∑ 绝对收敛 n n n =1
∞
【微积分8-3-10】
例5
任意项级数敛散性的判别
n1
n1
3
以上定理的作用： 任意项级数
正项级数
说明:
(1) 定理不可逆, 如 (1)n1 1 收敛, 但 1 发散;
n1
n
n1 n
(2) 若 | un |发散,不能推出 un 发散, 如上例；
n1
n1
但如果是用比值判别法或根值判别法判定 | un | 发散,
n1
则立刻可以断定 un 发散，这是因为它们的依据是
n1
6
证 S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) ,
由条件(1)可知, u2k1 u2k , 所以{S2m }单调不减；
另一方面,
S2m u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2m2 u2m1 ) u2m
u1 , 即 {S2m }有上界,
n2 n 1
解 设 f ( x) x , 则 f ( x) (1 x) 0 ,
x1
2 x ( x 1)2
故函数 x 单调减少 , x1
( x 2)
所以数列
n
n 1
单调减少,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0,
所以级数收敛.
11
例5
设
p
0,
0 ,讨论
()n
n1 n p
的收敛性.
若为任意项级数,则由 un 收敛不能推出 un2 收敛.
n1
n1
如 (1)n 收敛, 但 1 发散.
n1 n
n1 n
18
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1020. 12.10Thursday, December 10, 2020
§4任意项级数
§４ 任意项级数定理（Cauchy 收敛原理）1nn x∞=∑收敛0,,:N n m N ε⇔∀>∃∀>>1,0:n m m n n p n S S x x n N p S S εε++-=++<⇔∀>>-< ．一 交错级数判别法 交错级数：Leibniz 级数or1(1)(0)nnnn u u∞=->∑Leibniz 级数：交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞+=->∑满足{}n u ↓收敛于０．定理 Leibniz 级数必收敛．其和S 与首项同号且1S x <．证：设1(1)n n n x u +=-，则2123421212322212()()()()()n n n n n nS u u u u u u u u u u u u ---=-+-++-=------ 2{}n S ↑，且210n S u <<有界，∴收敛．设21lim n n S S u →∞=≤21221,()n n n S S u S n ++=+→→∞．推论：Leibniz 级数余项和11(1)k n k k n r u ∞+=+=-∑与首项21(1)n n u ++-同号(1)n -．且1n n r u +≤．例１：111(1)n n n ∞-=-∑收敛．11(1)ln n n n-∞=-∑收敛． 例２：1)n ∞=∑(1))(1)sinn n n x n π=-=-．二 任意项级数的A D -判别法引理１（Abel 变换） {}{}n n a b 为数列，11,2,,kk i i B b k ===∑ 则 1111()nn k knnk k k k k a b a B a a B -+===--∑∑ ． 证：1111111211n nn n k kkkk n n k k k k k k k k a b a B B a B a B a B a B ---+=====+=+-∑∑∑∑ (-) ．引理２（Abel 引理）若（１）{}n a 单调．（２）10,..,nkk M s t n bM =∃>∀≤∑，则11(2)nk kn k a bM a a =≤+∑．证：111111112nn n k kn n k k k n k k n k k k a ba B B a a M a a a M a a --++===≤+-≤+-≤+∑∑∑．定理（A D -判别法）若下列两个条件之一满足，则1n nn a b∞=∑收敛．（１）（Abel 判别法）{}n a 单调有界，1nn b∞=∑收敛．（２）（Dirichlet 判别法）1{}nk k b =∑有界，na单调趋于０．证：（１）设.0.n a M ε≤∀>1n n b ∞=∑收敛．∴对0,,:3N m n M Mε>∃∀>>13mkk n bMε=+<∑．由Abel 引理：11(2)3mk k n m k n a b a a Mεε+=+≤+≤∑．（２）设1.0,0,0,nkn k bM a N m n N ε=<∀>→∴∃>∀>>∑ ，6n a Mε<⇒1,66n m a a MMεε+<<112(2)mkknm k n a bM aa ε+=+≤+<∑．（111mmnkkkkn k k bb b =+==≤+∑∑∑ ）．例：{}n a 单调1,sin nn x ax ∞=∀∈∑ 且0n a →，则1,sin n n x a nx ∞=∀∈∑ 收敛．1111()(1)sin Im((cos sin ))Im Im 122cos n n nnk k z z z z z kx kx i kx z x ++==---=+==--∑∑ 21sin (cos cos )sin sin(1)sin 22222cos 1cos x x n x nx n x x x x+--++==--有界．例：1(1)1(1)ln(1)(1),(0),ln(1)02n n nn n pp n u p u n n ∞=--+=-<≤=+>∑∑． 22(1)(1)11ln(1)[()]2n n n n n p p p p x o a b n n n n --=+=-+=-．,,0n N n N b ∃∀>>且212n p b n ，则当102p <≤时，n b ∑发散．(1)n p n-∑收敛（0p >）． ∴当102p <≤时，n x ∑发散．12p >时，收敛． 三 绝对收敛与条件收敛１．概念1nn x∞=∑绝对收敛：1nn x∞=∑收敛⇒1nn x∞=∑收敛．1nn x∞=∑条件收敛：1nn x∞=∑收敛，1nn x∞=∑发散．例：1nn x∞=∑()x ∈ 1x <绝对收敛，1x ≥发散．例：1()np n x x n∞=∈∑ 1x <绝对收敛，1x >非绝对收敛．np x n→∞ 发散．1x =时，1x =时，1p >绝对收敛；1p ≤发散．1x =-时，1p >绝对收敛；01p <<条件收敛；0p ≤发散．例：1sin pn nxn ∞=∑ sin n x nx ∑ n x 单调且1()n px o n =，则 0p ≤时，发散；1p >时，绝对收敛；01p <≤时，条件收敛．0p ≤时，sin 0n x nx →/发散．（2x k π≠）． 1p >时，sin n pbx nx n ≤绝对收敛． 01p <≤时，21cos 2sin sin ()22n p p p a nxx nx nx a n n n ≥=-发散． ２．级数的正、负部的收敛性1nn x∞=∑任意项．正部：1nn x ∞+=∑ 000n n n n x x x x +>⎧=⎨≤⎩ 2n n n x x x ++=． 负部：1nn x ∞-=∑ 000n n nn x x x x +-<⎧=⎨≥⎩ 2nn n x x x --=． 定理1nn x∞=∑绝对收敛⇔1nn x∞+=∑和1nn x∞-=∑均收敛．1nn x∞=∑条件收敛⇒1nn x∞+=∑和1nn x∞-=∑均发散．证：（１）n n n x x x +-=+ n n nx x x +-=-均收敛．0n n x x +≤≤ 0n n x x -≤≤ ⇒（２）条件收敛．若1nn x∞+=∑收敛⇒1nn x∞-=∑也收敛⇒1nn x∞=∑收敛．1nn x∞+=∑，1nn x∞-=∑一个收敛，一个发散⇒1nn x∞=∑发散．矛盾．四 级数的运算性质 ３．加法交换律定理２ 绝对收敛级数的变序级数仍然绝对收敛，且和不变． 证：（１）设1nn x∞=∑正项，和为S ，则,n n S S ∀≤．变序级数1n n x ∞='∑正项．11max{}k k kn n n n S x x S S '=++≤≤ ，则1n n x ∞='∑收敛且和S S '≤．反过来可的S S '≤． （２）1nn x∞=∑任意项，绝对收敛，则1nn x∞+=∑，1nn x∞-=∑均收敛．1nn x ∞+='∑为1nn x∞+=∑的变序级数，1nn x ∞-='∑为1nn x∞-=∑的变序级数．故均收敛且和不变⇒1nn x ∞='∑收敛且和与1nn x∞=∑相同．11n nn n x x∞∞=='=∑∑．例：2111111111()()ln 22142442422nnn k k S k k k k k ==--=-=→---∑∑．定理３（Riemann 定理）若1nn x∞=∑条件收敛，则()a a ∀-∞≤≤+∞，∃1nn x∞=∑的变序级数1nn x ∞='∑，..s t 1nn x a ∞='=∑． 证：设1nn x∞+=∑，1n n x∞-=∑的部分和数列为,n n S S +-．,n n S S +-→+∞→+∞ ，∃最小的1n ，使111n n n S a S a x +++⎧>⎪⎨<+⎪⎩，∃最小的1m ，..s t 11111m n m m n S S a x S S a -+--+⎧<-+⎪⎨>-⎪⎩，即：11111n m m n m S S a x S S a +--+-⎧->-⎪⎨-<⎪⎩． ∃最小的1,..k k n n s t ->，11k k k k kn m n m n S a S S a S x --+-+-+⎧>+⎪⎨<++⎪⎩，∃最小的1k k m m ->，..s tk kk k k m n m m n S S a S x S a-+--+⎧>-⎪⎨-<-⎪⎩，即，变序级数1121211()()n n m n n m m n x S S S S S S ∞='=-+---+∑ ，其部分和数列k k m nn a x S a x -+'-<<+，11k k k k n m n n m +++≤<+．lim n n S a →∞'∴=． ４．级数的乘法正方形乘积：1211()nnn nn n n n a b a b a b a ba b b -++++++=∑∑ ．,nna b∑∑收敛⇒其正方形乘积级数收敛1,n n n n n n n n d b A a B S A B -=+=．Cauchy 乘积（三角形乘积）12111111()n n n n i j n n n i j n c a b a b a b a b ∞∞∞-===+=+=+++=∑∑∑∑,nna b∑∑收敛⇒/其Cauchy 乘积级数收敛．定理７ 若,n na b∑∑绝对收敛，则按任意方式排列的乘积级数11n mn m a b∞==∑绝对收敛且和等于11()()n nn n a b ∞∞==∑∑．证：设i k j k a b 为i j a b 的一种排列，则111nnnn ikjk ikjkk k k S ab a b====≤∑∑∑有界．∴1nikjkk a b =∑收敛．则其任意变序级数也绝对收敛且其和不变，设为S ，则正方形乘积：1nn n n dS a b ∞===∑∑∑．例：00!!n n n n x y n n ∞∞==∑∑绝对收敛．00000()!!!()!!n n k n k nn n n n k n x y x y x y n n k n k n -∞∞∞∞=====+==-∑∑∑∑∑．。
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∴ un > un+1 ,
又 lim un = lim
n→ ∞
= 0.
由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.
2. 绝对收敛与条件收敛
设有级数
a1 + a 2 + L + a n + L
(1)
其中 a n ( n = 1, 2, L) 为任意实数， 这级数称为 任意项级数 ． 其各项绝对值所构成的 正项级数为 | a1 | + | a 2 | + L + | a n | + L =
n =1
由定理 3 的推论可知： ∑ a n = ∑ un − ∑ v n． ∑ | an | 收敛．
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∞
若
∞
n =1
∑ an 的一个重排为
∞
∞
n =1
∑ an ， 则相应地
*
∞
n =1
| an | − an | an | + an 定理 3 对于级数 ∑ a n， un = ， 令 ， vn = 2 2 则 ∑ a n 绝对收敛 ⇔ ∑ un 与 ∑ v n 均收敛．
证明
“⇒” 由于 0 ≤ un ≤| a n | ， 0 ≤ v n ≤| a n | ，
由比较判别法可知： 当 ∑ | a n | 收敛时，∑ un 与 ∑ v n 均收敛．
满足： (i ) a k ≥ a k +1； (ii ) lim a k = 0，
k →∞
从而有 | Rn |≤ a n+1．
例 1 判定下列级数的敛散性 ：
n −1 1 ； (1) ∑ ( −1) n n =1 ∞
( 2)
n =1
∑ ( −1)
∞
n −1
n ． n 10 1 lim = 0， n→ ∞ n
四. 任意项级数
定义 1 对于级数 ∑ an ， an (∀n ∈ N ) 为任意实数， 若 则称此级数为 任意项级数 ．
1. 交错级数
定义 2 若级数的各项是正负交 错的，即 a1 − a 2 + a 3 − a4 Ʊ L ( a n > 0)
或 − a1 + a 2 − a 3 + a4 + L − a 2 k −1 + a 2 k + L
n→ ∞
因此得：
n→ ∞
lim S n = S ≤ a1．
所以级数
∑ ( −1)n+1 an
收敛。
( 2) 余和
Rn = ± (a n+1 − a n+ 2 + an+ 3 − a n+ 4 + L)
则 | Rn |= a n+1 − a n+ 2 + a n+ 3 − a n+ 4 + L 也是一交错级数，
对任何固定的 n， 可取 m 足够的大， 使得 σ n中的 a1* , a2* , L , an*各项
都出现在部分和 S m = a1 + a 2 + L + a m 中，于是得
σ n ≤ Sm≤ S
*
所以正项级数
并且有
n =1
∑ an
∞
*
的部分和 σ n 有界， 从而
n =1
∑ an
∞
收敛．
n→ ∞
且
n =1
(− 1)n 1 ∑
n
n
条件收敛 ,
1 ⎛ 2⎞ ∑ n ⎜ 3 ⎟ 为正项级数 , n =1 ⎝ ⎠
∞
n
由于 lim
∞
n→ ∞
2 1 2 1 2 n ( ) = lim n = < 1 n→ ∞ 3 n 3 n 3
n
1 ⎛ 2⎞ 可知 ∑ ⎜ ⎟ 收敛 . n =1 n ⎝ 3 ⎠
所以原级数条件收敛。
∞ 1 1 1 Q > , ( n ≥ 2) 而 ∑ 发散 , n − ln n n n =1 n
∞
∞ ( −1) n 1 =∑ ∴ ∑ 发散, 即原级数非绝对收敛． n =1 n − ln n n =1 n − ln n 1 1 1 n 设 f ( x) = , = lim = 0, 而 lim x − ln x n→ ∞ 1 − ln n n→ ∞ n − ln n n 1 −1+ 1− x x = ′( x ) = f < 0, ( x > 1) 2 2 ( x − ln x ) x ( x − ln x )
∞ ∞
n =1
n =1
∑ an 绝对收敛 ．
∞
收敛，其中 α 为常数． 1 而 ∑ 4 收敛， n =1 n cos nα ∑ n4 绝对收敛． n =1
∞ ∞ ∞
cos nα ∴ ∑ 收敛， 从而 4 n n =1
∞
注意 每个绝对收敛级数都收 敛，但收敛级数不一定绝对 收敛．
n −1 1 收敛，但其绝对值级数 例如 ∑ ( −1) n n =1
则称此级数是 交错级数 ．
( a n > 0)
定理 1 (莱布尼兹判别法 )
如果交错级数
n =1
∑ ( −1)
∞
n +1
an (或 ∑ ( −1) n an ) 满足条件：
n =1
∞
(1) a n ≥ a n+1 （n = 1, 2, 3, L)；
∞
( 2)
n→ ∞
lim a n = 0，
则级数收敛，且其和 S ≤ a1，其余项 Rn 的绝对值 | Rn |≤ a n+1．
1 3
即 可知：当 x >> 200 时，f ′( x ) < 0， f ( x ) ↓ ，
∞
2
n3 n+1 收敛． 由莱布尼兹定理可知： ∑ ( −1) n + 100 n = 201 从而可知：
n =1
∑ (−1)
∞
n+1
n3 条件收敛． n + 100
2
( −1) n 例 5 判断级数 ∑ 是否收敛？如果收敛，是条件 收敛 n =1 n − ln n 还是绝对收敛？ 解
1 1 解 (1) 已知： > ，n = 1, 2, 3, L； 且 n n+1 所以
( 2) Q
n =1 n+1
∑ ( −1)
10 n + 1
∞
n −1
1 收敛． n
n+1 n 即 < n， n n +1 10 10 10 n n x 1 且 lim n = lim x = lim x = 0， n→ ∞ 10 x → ∞ 10 x → ∞ 10 ln 10
∞ n =1
∞
所以 ∑ (a n + | an |) (c )，
n =1 ∞
∞
∑ [(an + | an |)− | an |] (c )， 即 ∑ an (c )．
n =1
定义 3 当 ∑ | a n | 收敛时，称级数
∞
cos nα 例 3 证明级数 ∑ n4 n =1 1 cos nα ≤ 4， 证 Q 4 n n
∞
所以原级数必发散．
例7
(− 1)n ⎛ 判定级数 ∑ 2 ⎜ 1 − cos n =1 ln (n + 1)⎝
∞
1 ⎞ ⎟ n⎠
是否收敛？
如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 解 因为
(− 1)n ⎛ ⎜ 1 − cos 2 ln (n + 1) ⎝
1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎟= 2 ⎜ 1 − cos ⎟ n ⎠ ln (n + 1) ⎝ n⎠
lim σ n = σ ≤ S．
另一方面，如果把原来的级数 则也有
S ≤ σ，
n =1
∑ an 看作级数
∞
n =1
a n* 的一个重排， ∑
∞
从而有 σ = S．
( 2) 再证明定理对一般的绝 对收敛级数是正确的．
设级数
| an | + an | an | − an 其中 un = ， vn = ． 2 2
=
n+1 <1 10 ⋅ n
所以
n =1
∑ ( −1)
∞
n −1
n 收敛 n 10
( − 1) n n 例 2 判别级数 ∑ 的收敛性. n= 2 n − 1
∞
解
Q(
x − (1 + x ) )′ = < 0 ( x ≥ 2) 2 x −1 2 x ( x − 1)
故函数
x 单调递减 , x −1 n n→ ∞ n − 1
“⇐” 由于 | a n |= un + v n， ∑ un 与 ∑ v n 均收敛， 而
所以 ∑ | a n | 收敛，即 ∑ a n 绝对收敛． 推论 对于绝对收敛级数
∞ ∞
∑ an 成立
∞
n =1
∑ an = ∑ un − ∑ vn．
n =1 n =1
定理4 证明
若 ∑ a n 条件收敛 ,
*
仍为绝对收敛，
且其和相同， 即 ∑ an = 证明
n =1 ∞
∑ an ．
*
∞
(1) 首先证明定理对收敛的 正项级数是正确的． 设收敛的正项级数为
a1 + a 2 + L + a n + L
和为 S． 它的任一更序级数为 其部分和为 S n，
a1* + a2* + L + an* + L
其部分和为 σ n．
证明 (1) 考察级数