任意项级数敛散性的判别

而 S2m 1 S2m u2m 1 , 由条件(2)可知,
m
lim S 2 m 1 S
得 lim S n S ,
n
7
即原级数收敛， 且其和 S u1 .
(1)
n 1

n 1
un (其中un 0)
如果交错级数满足条件
定理(莱布尼兹判别法)
（1 ） un un1 ,即 {un } 单调减少；
故原级数绝对收敛；

1 最后 , 若 x 1 , 则 un ,发散. 2 所以级数的收敛范围为| x | 1 .
15
小结
正项级数 任意 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛 ;
判
别
; 2. 当 n , un 0, 则级数发散
3. 按基本性质;
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼兹定理)
n 1
n1
(2) 若
| u
n 1

n
| 发散,不能推出 un 发散, 如上例；
n 1

1 1 收敛, 但 发散 ; n n 1 n

但如果是用比值判别法或根值判别法判定
则立刻可以断定
| u
n1
n
| 发散,
u
n 1

n
发散， 这是因为它们的依据是
一般项 | un | 不趋向于零, 从而
第三节
1
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义 若

| u
n 1

n
| 收敛,则称 un 绝对收敛；
n 1
n

若
un 收敛,但 | u
n 1
n 1
| 发散,则称 un 条件收敛.
n 1

例如 ,
Fra Baidu bibliotek
( 1)
n 1
n1

n1
1 绝对收敛, 2 n
n

收敛还是发散. 解
n
1 1 1 n e 1 ， 绝对收敛. un (1 ) n 3 3 n
5
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)
n 1

n 1
un
(其中un 0)
定理(莱布尼兹判别法) 如果交错级数满足条件
（1 ） un un1 ,即 {un } 单调减少；
14
( 1)n 是交错 级数, n1 n ln n 1 1 lim 0, lim n n n ln n n ln n 1 n

1 ( x 1) 的收敛范围. 例7 讨论级数 n n 1 1 x
1 1 0, 解 若 | x | 1 , 则 lim n n 1 x 所以级数发散； un1 1 xn 1 1， lim 若 | x | 1 ,则 lim n 1 n u n 1 x | x| n
收敛还是绝对收敛？
ln n ln x 1 lim lim lim 0, 解 n n x x x x 1 1 1 lim lim 1, n n ln n ln n n n 1 n n ( 1 ) 1 1 发散, 而 发散, n1 n n 1 n ln n n 1 n ln n
n1

原级数是交错级数,
1 1 0, 单调减少, 且 lim n n n
由莱布尼兹定理知，原级数收敛；为条件收敛.
9
(1)
n 1


n1
1 1 1 1 1 n 2 3 4
1 p n
一般地， ( 1)
n 1
n1
当 0 p 1 时， 级数条件收敛； 当 p 1 时， 级数绝对收敛.
法
16
思考题
设正项级数
un 收敛 , 能否推得
n 1


n 1
2 un
收敛 ?
反之是否成立 ? 若是任意项级数呢 ?
17
un lim un 0 解答 设 un 是正项级数， lim n u n n n 1
（若 un 收敛）， 由比较审敛法知
n 1

2
2 u n 收敛. n1

1 反之不成立. 例如： 2 收敛, n 1 n
n 1

1 n 发散. n 1
n1

2 u 若为任意项级数,则由 un 收敛不能推出 n 收敛.
( 1) n 如 收敛, 但 n n 1

1 发散 . n 1 n
18

而
( 1)
n 1
1 条件收敛 . n
2
定理： 若
| u
n 1


n
| 收敛 , 则 un 收敛.
n 1

un , u n 0 1 证明 令 v n ( | un | un ) ，n 1,2, 2 0 , un 0
即
v
n 1

n
为
u
n 1
n 0, 又 lim un lim n n n 1
所以级数收敛.
11
( ) 的收敛性. 例5 设 p 0, 0 , 讨论 p n n 1
n
解
un 1 np ( ) n1 lim lim p n n ( n 1) n u ( ) n
另一方面, S 2 m u1 ( u2 u3 ) ( u4 u5 ) ( u2 m 2 u2 m 1 ) u2 m
u1 , 即 { S 2 m } 有上界 ,
故 { S2m } 收敛,记 lim S 2 m S ,显然有 S u . 1 m
即原级数非绝对收敛;
13
1 令 f ( x ) x ln x ( x 0) , 则 f ( x ) 1 0 ( x 1) , x f ( x ) 在 (1,) 上单增 ,
1 故数列 当 n 1 时单减, n lnn
由莱布尼兹定理, 此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
n
的所有非负项组成的级数,
显然 vn | un | , 由正项级数的比较判别法可知,
v
n 1

n
收敛 , 而
un 2vn | un | ,
由
| u
n 1
n
| 的收敛性可知,
u
n 1

n
收敛 .
3
以上定理的作用： 任意项级数
说明:
(1) 定理不可逆, 如

正项级数

( 1)
（ 2 ） lim un 0 ,
n
则交错级数
n 1 ( 1 ) un 收敛 , 且其和 S u1 . n 1

8
例3 判断下列级数是否收敛；如果收敛，是条件收 敛还是绝对收敛？
1 1 1 1 ( 1) 1 n 2 3 4 n 1 1 1 n1 | , 发散；非绝对收敛； 解 | ( 1) n n 1 n 1 n
un 也不趋向于零.
4
sinn 例1 判定 的绝对收敛、条件收敛或发散性. 2 n n 1

1 sinn 1 2 , 而 2 收敛 , 解 因为 2 n n n 1 n
故原级数绝对收敛.
1 1 n2 例2 判定 ( 1) n (1 ) 是绝对收敛、条件 3 n n 1
（ 2 ） lim un 0 ,
n
则交错级数
n 1 ( 1 ) un 收敛 , 且其和 S u1 . n 1

称莱布尼茨 型级数
6
证
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) ,
由条件 (1) 可知, u2 k 1 u2 k , 所以 { S 2 m } 单调不减；
10
例4
( 1) n n 判别级数 的收敛性 . n1 n 2

x (1 x ) , 则 f ( x ) 解 设 f ( x) 0, 2 x 1 2 x ( x 1) ( x 2) x 故函数 单调减少, x 1
n 所以数列 单调减少, n1
若 1 ,则原级数绝对收敛；
若 1 ,则原级数发散；
(1) 若 1 , 原级数为 , p n 1 n
n
因此当 p 1 时绝对收敛； 当 0 p 1 时条件收敛.
12
(1) 例6 判断级数 是否收敛；如果收敛，是条件 n1 n ln n
n