任意项级数敛散性的判别
关于任意项级数敛散性判别的两个结论
刘志高: 关于任意项级数敛散性判别的两个结论
! !
271
a n , 令函数 f ( x ) , 对
n= 1
解 =
对于
n= 1
ห้องสมุดไป่ตู้
( 1 - sin 1 ) , 考虑函数 f ( x ) n n
所有的正整数 n , 使得 f ( 0, + ! ) 有 lim +
x ∀0
1 = an . 若对某个 t # n
关于任意项级数敛散性判别的两个结论
刘志高
( 安徽工业大学职业技术学院 , 安徽 马鞍山 243011)
摘
要:
以级数收敛定义和比较原则为基础 , 补充两个结论来判断某些任意项级数的敛散性. 任意项级数; 绝对收敛 O173. 1 文献标识码: A 条件下, 可以由加括号后所得新级数的收敛性来 得到原级数的收敛性. 例1 判定级数 1 1 1 1 1 1 + 2 3 2- 1 2 3- 1 3 + ∃+ 的敛散性 . 解 显然n lim a n = 0. 又因为 ∀+ ! 1 n+ 1- 1 1 1 n+ 1 n+ 1
且级数
n= 1
n + 4n + 2 发散 . 由结论 1 可知 n ( n + 1) ( n + 2)
2
原级数发散.
收稿日期: 2008- 01- 29 作者简介: 刘志高 ( 1975- ) , 男 , 安徽郎溪人 , 硕士 , 讲师 , 任职于安徽工业大学职业技术学院 .
第2 期 结论 2 设任意项级数
!
f %( x ) 存在且f ( 0) = 0, 则 an t x n= 1
级数的收敛、求和与展开
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4.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 （Dirichlet 判别法） 判别法）
k→∞
级数∑akbk
k =1
∞
若序列 ak }单调且lim ak = 0, 又级数∑bk {
k =1
∞
的部分和有界， 即存在常数 M>0 使
| ∑bk |≤ M, n =1,2,L
k =1 n
则级数∑akbk收敛 .
∑
= x 2 e x − x(e x − 1)
∴
∞
x ∑ n! n =1
∞
n
(n - 1)2 n 1 ∞ (n − 1)2 n +1 1 ∞ (n − 1) x n +1 = ∑ = ∑ | x = 2 = e 2 + 1. ∑ n! 2 n =1 n! 2 n =1 n! n =1
xn 例10 求 级数∑ 的和函数, 其中 x < 1. 1 n( n + 1) ∞ ∞ x n +1 xn xS(x) = ∑ 解 S(x) = 1 n ( n + 1) 1 n( n + 1)
第十章 习题课 级数的收敛、 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数敛散性的判别法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法
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求和 展开
(在收敛域内进行) 时为数项级数; 时为幂级数;
(an , bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
2
x = 2
2
x 当 <1, 即− 2 < x < 2 时 级数收敛; ， 2
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进⾏了深⼊细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及⼀般项级数的敛散性判别⽅法，提出了数项级数敛散性判定的⼀般步骤，以及判定过程中需要注意的⼀些问题。
使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提⾼了解题能⼒。
关键词：数项级数；正项级数；交错级数；⼀般项级数；敛散性引⾔：⽆穷级数是⾼等数学的⼀个重要组成部分，是研究“ ⽆穷项相加” 的理论，它是表⽰函数、研究函数的性质以及进⾏数值计算的⼀种⼯具。
如今，⽆穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应⽤中不可缺少的有⼒⼯具，⽽应⽤的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得⼗分重要，判断级数敛散的理论和⽅法很多，本⽂的根本⽬的是对数项级数敛散性的判定进⾏深⼊的研究与总结。
1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定⼀个数列{}n u ，对它的各项依次⽤“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。
其中n u 称为该数项级数的通项。
数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。
称为数项级数第n 个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。
若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。
即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。
性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>?ε，0>?N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。
（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。
8.3任意项级数敛散性的判别
ρ <1
ρ >1
收 敛
发 散
3. 任意项级数判别法 概念: 概念 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法 判别法: 判别法
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(1)nun收敛
n=1
∞
作业 13(1)(4)( P287 13(1)(4)(9)(12)
n =1 n =1
∞
∞
×
对正项级数有比较判别法 1 取vn = ( un + un ) ∵ un ≤ un ∴0 ≤ vn ≤ un 2 ∞ ∞ ∞ 故∑ | un |收敛 ∑ vn收敛 ∑ 2vn收敛
n =1 n =1 n =1
而un = 2vn un ∑ un收敛
n =1
性质 2 ∞
发散, 如何? 问题: 问题: 若∑ un 发散, un如何? ∑
n =1
∞
练习 : 一.下列级数是条件收敛还 是绝对收敛 ?
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞
2.∑ ( 1)
n =1
∞
n ( n 1 ) 2
n2 2n
3.∑ ( 1)
n =1
∞
( n 1 )
2n + 1 n( n + 1)
sin n 4.∑ ( 1) n2 n =1
n
∞
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞ ∞ n =1 n =1
∞
x ∈ [1,1) 其他
三.设级数 ∑ an , ∑ cn均收敛 , 且对任意的 n, an ≤ bn ≤ cn ,
证明级数 ∑ bn收敛 .
n =1
数项级数的敛散性判别法-数项级数敛散性判别法
1 2 n 1
,
显然收敛。
综上所述，原级数收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数判别法
必要条件 nl im un 0 满足
不满足 发 散
比值判别法
lim
n
un u
1 n
根值判别法 nl im nun
1
1
比较判别法
1 不定 部分和极限
用它法判别 积分判别法
S2n 是单调递增有界数列, 故 n l i m S2nSu1 又 n l iS 2 m n 1 n l i(S m 2 n u 2 n 1 )nl im S2n S
故级数收敛于S, 且 S u1, Sn的余项: rnSSn ( u n 1 u n 2 ) r n u n 1 u n 2 un1
但 p1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数 nxn1 (x0) 的敛散性 .
n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
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(1) 当0 < l <∞时, 取l,由定理 2 可知 u n 与 v n
同时收敛或同时发散 ;
n 1 n 1
(2) 当l = 0时, 利 u n ( l用 ) v n ( n N ) 由定,理2 知
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
n 1
高数-任意项级数敛散性判别法
x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章 第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节 任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义： 如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1
任意项级数敛散性的判别
另一方面, S 2 m u 1 (u 2 u 3 ) (u 4 u 5 ) (u 2 m 2 u 2 m 1 ) u 2 m
u 1 , 即 {S 2m } 有 上 界 ,
故 {S2m } 收敛,记 mlimS2m S ,显然有 Su1 .
解
因为 si nn
n2
1 n2
,而
n1
1 n2
收敛,
故原级数绝对收敛.
例2
判定
(1)n
n1
1 3n
(11)n2 n
是绝对收敛、条件
收敛还是发散.
解
n
un
1(11)n 3n
1 n3 e
1
，
绝对收敛.
5
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un (其中 un0)
n1
定理(莱布尼兹判别法) 如果交错级数满足条件
判 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散
别 3. 按基本性质;
4.充要条件
法 5.比较法
4.绝对收敛 5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼兹定理)
16
思考题
设 正 项 级 数un收 敛 ,能 否 推 得un 2 收 敛 ?
n1
n1
反 之 是 否 成 立 ? 若 是 任 意 项 级 数 呢 ?
（ 1 ） u n u n 1 , 即 { u n } 单 调 减 少 ；
（ 2）ln im un0,
称莱布尼茨 型级数
则 交 错 级 数 (1)n1un收 敛 ,且 其 和 Su1.
n1
6
证 S 2 m ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,
泰勒公式判断级数敛散性的方法
教学方法课程教育研究学法教法研究 123引言大学数学课程中，级数部分是该课程知识体系中重要的组成部分。
数学专业的后续课程，如《复变函数论》等都和级数有密切的关系，对于工科的学生来讲，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控和电子产品的制造等领域，因此级数和这些内容的相应的课程紧密相关。
作为函数项级数基础的数项级数部分自然尤为重要。
判断数项级数敛散性是学习级数的重要环节，关系到后面各类函数项级数的学习。
数项级数敛散性的判断如果掌握了一些特定的技巧，则可以帮助我们巧妙地解决这个问题。
关于数项级数敛散性的判断，有一些基本方法，如：敛散性的定义、级数收敛的必要条件、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等，这些方法针对一些特定形式的级数敛散性判断都非常有效，该部分在文献[4]中有详细讲解，这里不再赘述。
但是，这里存在的普遍问题是，以上方法只是针对一些特定形式的数项级数能够确定其敛散性，对于一般级数的问题，需要探索新的方法，比如对于交错级数，只有级数满足Leibniz 定理[4]的两个条件时，才能判断它是收敛的，显然这个方法有一定的局限性。
泰勒公式是高等数学课程中一个功能强大的工具，我们熟知的在近似计算、误差估计、极限计算等方面都有广泛的使用[3]。
用泰勒公式判定级数的敛散性在一些文章已有所提及[5],但这些论证没有深入挖掘它的奇妙之处及具体使用方法。
下面，本文将论证用泰勒公式判定级数的敛散性的方法：：该等式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 。
2.在几类基本初等函数中，幂函数是形式简单，容易确定极限的一类函数，借助泰勒公式可以把各类函数转化为幂函数的问题。
泰勒公式中，参照点取零，展开式各项都是关于的幂函数，余项是当变量趋向零时的无穷小量，这样无论原始级数什么形式都可以通过幂函数的次数判断该项的敛散性。
以下通过三个实例分别说明用泰勒公式判别交错级数、任意项级数、正项级数的敛散性的方法。
数学毕业论文级数敛散性的判别方法
淮北师范大学信息学院2012 届学士学位论文级数敛散性的判别方法系别:数学系专业:数学与应用数学学号: 20081884083姓名: 赵高指导教师: 陈冬君指导教师职称: 讲师2012年 5 月10 日级数敛散性的判别方法赵高(淮北师范大学信息学院，淮北，235000)摘要级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点.通过判别级数的敛散性进一步了解级数的性质.本文探论了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、任意项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有多种，主要有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法.当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别.本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件.关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法.The Convergence of the Series of Discriminant MethodZhao GaoCollege of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,235000AbstractThe series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This article of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the convergence of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discriminant. This paper summarized some criteria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp the discriminant conditions.Key words: Series of positive terms，Alternating series，Convergence and divergence，Discriminant analysis method目录引言 (1)一、级数及其敛散性的有关概念 (1)二、正项级数敛散性的判别方法 (2)1、比式判别法（达朗贝尔判别法） (2)2、根式判别法（柯西判别法） (3)3、拉贝判别法 (4)4、高斯判别法 (5)5、对数判别法 (5)6、隔项比值判别法 (5)7、运用微分中值定理判别级数敛散性 (6)8、利用数列判别级数的敛散性 (6)9、运用等价无穷小替换判别级数的敛散性 (7)三、交错级数敛散性的判别方法 (8)1、利用级数敛散性定义判定 (8)2、莱布尼茨判别法 (9)3、极限判别法 (10)4、添加括号法 (11)5、通项变形法 (12)6、微分形式判别法 (13)7、比值判别法或根值判别法 (14)四、任意项级数敛散性判别法 (15)总结 (16)参考文献 (16)致谢 (17)引言级数是数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及数值计算的一种工具.对于一个级数，我们首先要讨论其敛散性，然后才讨论其求和问题.本文就级数的敛散性的判别方法作了一些探讨.正项级数和交错级数是整个级数家族中比较重要和特殊的.对其敛散性的判别方法也有别于一般的级数，除适用于一般级数的敛散性判别法外，还有许多专门针对正项级数和交错级数敛散性的判别方法，常见的如达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、微分形式判别法等.其实正项级数敛散性的判别方法远不止这些，下面就介绍几种级数敛散性的判别法.一、级数及其敛散性的有关概念定义1 给定数列{n u }：1u ,2u ,,nu则式子=1n n u ∞∑=12n u u u ++++称为无穷级数，简称为级数.定义2 如果级数=1n n u ∞∑满足n u ≥0（n =1，2，）则称=1n n u ∞∑为正项级数.如果级数是正负项交错出现的，即11234=1=+u n n n u u u u ∞---+∑（-1），或11234=1=+u +u n n n u u u ∞---∑（-1）(n u ≥0，n =1,2) 则称为交错级数.由定义，级数表示无穷多个数的和，但不能理解为无穷多个数逐次求和.事实上，这样也做不到.利用数列极限可以表示级数的和，同时给出级数敛散性的定义.定义3 级数=1n n u ∞∑前n 项之和记为S n =12n u u u +++，称为级数=1n n u ∞∑的第n 次部分和. 当n 分别取1,2, ,n ,时，得到级数=1n n u ∞∑的部分和数列{n S }：12,,,,n S S S 如果当n →∞时，n S 的极限存在，即lim =n n S S →∞时，则称级数=1n n u ∞∑是收敛的，且S 称为级数=1nn u∞∑的和，记为S ==1n n u ∞∑;如果当n →∞时，n S 的极限不存在, 即lim n n S →∞不存在，则称级数=1n n u ∞∑是发散的.由定义，只有收敛的级数才有和的问题，发散的级数没有和，或者说发散级数的和不存在.所以有必要研究级数的敛散性.由于正项级数是各项的符号均为正号的级数，它是数项级数中最简单也是最有代表意义的数项级数. 所以它收敛的最基本的判别方法也是从级数的判敛性质中引出，因此本文先讨论正项级数的敛散性. 有了着一方法来判断某些简单的正项级数的敛散性后，以它作为参照，可以判断另外一些稍微复杂的正项级数的敛散性.下面先来介绍正项级数敛散性的判别方法.二、正项级数敛散性的判别方法1、比式判别法（达朗贝尔判别法）定理[]11 设有正项级数=1n n u ∞∑，如果+1lim=n n nu l u →+∞，则（1） 当0≤l <1时，级数收敛； （2） 当1<l ≤+∞时，级数发散； （3） 当l =1时，此法失效. 例1 判断正项级数=12nn n∞∑的敛散性. 解：1121(1)limlim lim lim ()2(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n en++→+∞→+∞→+∞→+∞+=<==+++<1所以满足定理1中的（1），故正项级数=12nn n∞∑收敛. 例2 判别正项级数=12!n n ∞∑的敛散性. 解：由2!1(1)!lim lim lim 02(1)!1!n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞+===++可知满足定理1中的（1），所以正项级数=12!n n ∞∑收敛. 像正项级数 =1x !nn n ∞∑（x>0）、=1!10n n n ∞∑等都可采用此法判断.2、根式判别法（柯西判别法）定理[]12 设有正项级数=1n n u ∞∑，如果n l ，则（1）当0≤l <1时，级数收敛； （2）当1<l ≤+∞时，级数发散； （3）当l =1时，此法失效.例3 研究级数=12+12nnn ∞-∑（）的敛散性. 解：由于12n n →∞=<所以级数2+12nn-∑（）是收敛的. 注：级数=12n n n ∞∑、=1+1nn na n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ (0)a >、-1=1n n n αβ∞∑（α>0,β>0）等都可采用此法判 断.比式判别法与根式判别法都是建立在正项级数比较判别法基础上的，所用的比较级数是收敛速度相对比较快的等比级数.这两种方法虽然更方便，但是它们也只能用于判别那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于那一类比等比级数收敛速度更缓慢的级数，这两种判别法就无能为力了.这两种判别方法是我们用得比较多，因为它们用起来很方便.但是，对于比值判别法与根值判别法存在两点不足：1) 当=1l 时，判别法失效，既有收敛的，也有发散的级. 2) 判别法可能由于 l 根本不存在而失效.3、拉贝判别法定理[]43 （拉贝判别法） 设n u >0 （n =1,2,3）1。
【2019年整理】任意项级数的敛散性判别
0 r ,同敛散
给定
v
n
,
若
lim
n
un vn
r r 0, r ,
vn收敛，则 un收敛
v
发
n
散
，
则
un发散
1、p
级数
:
n1
1 np
当p 1时, 当p 1时,
收敛 发散
2、 aqn敛散性
n0
当q 当q
1时, 收 敛 1时, 发 散
3、调和级数
1 发散.
n1 n
比值判别法： （不需要比较对象）
复习
正项级数判别法：
（1）
lim
n
un
0?
（2）比值判别法（含n的阶乘）不用比较对象
或根式判别法（通项中含有n次幂）
（3）比较判别法极限形式(含对数函数时 经常采用比较法)
（4）比较判别法 需要敛散性已知的比较对象
比 较 判 别 法：非极极限限形形式式：：un
cvn
,
则
vn收敛，则 un收敛 un发散，则 vn发散
(2)
lim
n
un
0
则 (1)n1un收敛,且它的和s u1 .
n1
证 un1 un 0, S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
即数列 {S2n }是单调增加的 ,
又S2n u1 (u2 u3 )
u (u2n2 u2n1 ) u2n
n1 n
当x 1时, 原级数 1 发散.
n1 n
例
判别级数
n1
s
in na n2
(a
0)
的收敛性.
解 经判断该级数为任意项级数（易出错认为正项级数）
数项级数敛散性判别法。(总结)
n 1
u
n
绝对
收敛；若级数 n1 un
收敛，而级数 n1
un
发散，则称级数
n 1
u
n
条件收敛．易
(1)n1 1
(1) n1 1
知 n1
n2 是绝对收敛级数，而 n1
n 是条件收敛级数．
定理八、 若 n1 un 收敛，则 n1 un 必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过
an a1 a2 a3 a4 ...............
常见的几类重要的常数项级数 正项级数：级数中所有项均大于等于零。 交错级数：级数中的项正负相间的级数。 等比级数
a aq aq2 aq3 ....... aqn ...... aqn
调和级数
1 1 1 1
23
n
1
n1 ，则对任何正数 A， f (x) 在
[1，A]上可积，从而有
n
f (n)
f (x)dx
n1
f (n 1) ， n 2,3,
依次相加，得
m
m
m
m1
f (n) f (x)dx f (n 1) f (n)
1
n2
n2
n1
若反常积分收敛，则对m ，有
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series, we all know which
way to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible. But for one series, using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong. So we need to sum up to determine the convergence and divergence, and to understand their characteristics, in order to make better use of them.
8.3 任意项级数敛散性的判别
由根值判别法知
n1
n3 2n
收敛,
所以原级数收敛.
问题 : 若 un 发散， un如何？ 不确定!
n1
n1
如 (1)n1 1 ,
n1
n
1 发散, (1)n1 1 收敛.
n1 n
n1
n
如 (1)n1
n
,
n
发散,
(1)n1
n
发散.
n1
n 1 n1 n 1
n1
n1
定义8.3 若| un | 收敛，则称级数 un绝对收敛.
1
lim
x
10x
ln 10
0
由莱布尼兹判别法级数收敛.
例3.判断交错级数 (1)n1
1
的敛散性.
n1
n ln n
1
解：un
1 , lim 1 lim 1 lim x n ln n n n ln n x x ln x x 1 ln x
0
x
设f ( x) 1 , x ln x
un f (n),
注2：在证明 un 0时, 要会把数列极限转化为函数极限， 再利用洛必达法则等方法.
注3：若交错级数不满足 un 0 时, 该级数一定发散.
!! 注4：若交错级数不满足 un 时, 该级数不一定发散.
二、任意项级数 un (转化为正项级数讨论) n1
定理8.8 设 un为任意项级数，若| un | 收敛，则 un也收敛.
1 n n1 3
是交错级数，能否用莱布尼兹判别法？
n1
2n
n3
n3
x3
un 2n ,
lim
n
2n
lim
x
2x
函数项级数敛散性的判别方法及其应用毕业论文精要
函数项级数敛散性的判别方法及其应用Discrimination Methods of Convergence and Divergence of Series of Functions and ItsApplication专业:数学与应用数学作者:指导老师:二○一五年五月摘要本文介绍了函数项级数敛散性判别法，如柯西判别法、阿贝尔判别法、达朗贝尔判别法和它们的极限形式，以及多种特殊函数项级数敛散性的判别方法. 然后介绍了这些判别法在实际解题中的应用. 本文探究和总结了一些判别函数项级数敛散性的方法, 为今后处理函数项级数敛散性的判别提供理论基础.关键词: 函数项级数; 一致收敛; 判别法;AbstractThis paper introduces discrimination methods of convergence and divergence of series of functions, such as Cauchy criterion, Abel discrimination method, Darren Bell discrimina- tion method and their respective forms, and series of discrimination methods of convergence and divergence of a variety of special functions. Then the paper introduces these disctimina- tion methods in the application of the practical problems. This paper discusses and summari- zes discrimination methods of convergence and divergence of series of functions ,which pro- vide theory for practical problems.Keywords: series of functions, uniform convergence, discrimination method目录0引言 (1)1预备知识 (1)2函数项级数敛散性的判别方法 (2)3判别法的一些应用 (6)致谢 (11)参考文献 (12)0 引言函数项级数在现代工程技术方面有着普遍的应用,它在数学分析中也具有重要地位,是学习数学分析的重难点所在,不易被掌握和应用.而我们要理解和掌握函数项级数,就必须要先研究它的敛散性,而这项工作往往是比较困难的.书本上介绍了一些判别函数项级数敛散性的基本方法,但是这些方法往往只能解决一些比较常规的问题.因此对于不同类型的函数项级数,往往需要寻求不同的方法来判别其敛散性.目前已经有许多学者们在判别函数项级数敛散性方面做出了很多贡献,但很多都具有其本身的局限性.本文从三个层面展开论述:首先论述函数列、函数项级数的定义及其敛散性的概念.然后分别列出函数项级数敛散性的一些常见判别法以及在这些判别法上推出的一些定理. 最后用一些实际例题来验证这些判别法.1 预备知识设12,,,,n f f f 为一列定义在同一数集D 上的函数,称为定义在D 上的函数列.该函数也可简单地写作()n f x 或 n f ,1,2,...n =.定义[1]1 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上,若对任给的正数ε,总存在某一正整数N ,使得当n N >时,对一切x D ∈,都有()()n f x f x ε-<, 那么称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ,记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞,x D ∈.设{()}n u x 为定义在数集D 上的一个函数列,则D x x u x u x u n∈++++,)()()(21称为定义在D 上的函数项级数,简记为()n u x ∑,并称1()(),,1,2,...nn k k s x u x x E n ==∈=∑为函数项级数的部分和函数列.定义[1]2 若函数项级数)(1x u n n ∑∞=的部分和函数列{})(x S n 在数集D 上一致收敛于)(x S ,则称函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛于)(x S 或称)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛.2 函数项级数敛散性的判别方法定理]1[1（柯西一致收敛准则）函数项级数)(x u n ∑在数集D 上一致收敛的充要条件：对于任意的正数ε,总存在个某正整数N ,使得当N n >时,对一切D x ∈和一切正整数p 都有 |)()(x s x s n p n -+|<ε或 |)()()(21x u x u x u p n n n ++++++ |<ε.柯西收敛准则和定义是数学分析中判断一致收敛的常用方法，我们还可以根据级数各项的特征去判定其敛散性.下面讨论定义在区间I 上形如++++=∑)()()()()()()()(2211x v x u x v x u x v x u x v x un n n n（2.1）的函数项级数敛散性的判别.推论1（柯西准则逆否命题）函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件为0o ε∃>，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1.这里最关键的是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，然后凑出o ε，此类型题目也有一个简便方法，即取1=p 能适用于许多题型．这种做法比较实用，优先考虑．推论2 函数列(){}x u n 在数集D 上非一致收敛于0，那么函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．推论3[]9 如果函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，并在区间D 中存在点列{}n x ，使()0lim ≠∞→n n n x u ，有函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛． 定理2[1]（M 判别法）设定义在数集D 上的函数项级数()x u n ∑, ∑M n 为收敛的正项级数,如果对一切D x ∈,有(),,2,1, =≤n x M u n n 那么函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.定理3[1]（阿贝尔判别法）设 (1))(x u n ∑在区间I 上一致收敛; (2)对于每一个)}({,x v I x n ∈是单调的；(3))}({x v n 在I 上一致有界,即对任意I x ∈和正整数n ,存在正数M ,使,|)(|M x v n ≤ 那么原级数在I 上一致收敛. 定理4[1]（狄利克雷判别法）（1）∑)(x u n 的部分和函数列)()(1x u x U nk k n ∑== )2,1( =n 在I 上一致有界；（2）对于每一个{})(,x v I x n ∈是单调的； （3）在I 上)(0)(∞→⇒n x v n , 则级数(2.1)在I 上一致收敛.定理5（比式判别法） 设()n u x 是定义在数集D 上的函数列,且()0n u x >, ,2,1=n 记)()()(1x u x u x q n n n +=，存在正整数N 和实数M q ,使得()1n q x q ≤<,()N u x M ≤对任意的N n >, x D ∈成立,那么函数项级数1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛.此定理的极限形式为：设)(x u n 为数集D 上的正函数列,)()()(1x u x u x q n n n +=,因为lim ()()1n n q x q x q →∞=≤<,且)(x u n 在D 上一致有界,则函数项级数)(1x un n∑∞=在D 上一致收敛.定理6[5]（根式判别法）设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列,若存在正整数N ,使1|)(|<≤q x u nn ,对∀Nn > ,D x ∈ 成立，那么函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛.该定理的极限形式为：设)(1x u n n ∑∞-为数集D上的函数列，()1n q x q ≤<,对D x ∈∀成立,有函数项级数在D 上一致收敛定理7[5](对数判别法) 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,若存在l n ()l i m ()ln n n u x p x n→∞-=那么(1)若对∀x D ∈,()1p x p >>，则函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 非一致收敛；(2)若对∀x D ∈,()1p x p <<，则函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上非一致收敛；定理8（端点判别法）设()n u x 在[,]a b 上单调(1,2,...)n =，若(),()n n u a u b ∑∑绝对收敛，则()n u x ∑在[,]a b 绝对且一致收敛。
级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性
级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数；收敛；判别 ；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如n u u u +++21①称为无穷级数(常简称级数),用∑∞=1n n u 表示。
无穷级数①的前n 项之和，记为∑==nn n n u s 1=n u u u +++ 21②称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。
若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。
数项级的敛散性判别法
第六讲 数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑都是正项级数，存在0c >，使（i ） 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也收敛；（ii ） 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑也发散．比较原理II （极限形式）设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑均为正项级数，若则1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设1nn u∞=∑为正项级数，（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >1q ≤<（q 为常数）， 则1nn u∞=∑收敛；（ii1≥，则1n n u ∞=∑发散．证（i ）若当n N >1q ≤<，即nn u q≤，而级数1nn q∞=∑收敛，根据比较原理I 知级数1nn u∞=∑也收敛．（ii ）1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知1nn u ∞=∑发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1nn u ∞=∑收敛；（ii ） 当1r>（或r =+∞）时，1n n u ∞=∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性23123(1)()()()35721nn n ++++++；n nn e∞-∑n=1(2)n n x α∞∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）．解 (1) 因为112n r==<，所以原级数收敛．(2) 因为lim n n nre→∞===∞，所以原级数发散．(3) 对任意α，n rx ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1α-≤时，即1α≥-时发散．例2 判别级数11[(1)]3n nnn ∞=+-∑的敛散性． 解 由于不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑是否收敛？并说明理由．解 答案：级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛，证明如下：由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞存在．设lim ,n n a a →∞=则0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知1(1)nnn a∞=-∑收敛，这与1(1)nnn a∞=-∑发散矛盾，故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取111q a =<+， 根据柯西判别法1知111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的通项n u 的()0an b a +>次根的极限等于r，即lim an n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有()()an r r εε-<<+ （1）对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有0an b +> （2）取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，那么有an bn u q+<，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑收敛（因为其为等比级数且公比01nq <<），由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，则an bn u q+>，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑发散，由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑发散．当1r =时，取1n pu n =，那么，对任何0,a b >为常数，有/()1lim lim 1an p an b n n n +→∞→∞==．而11n n ∞=∑发散，211n n∞=∑收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 例4 判别级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑的收敛性．解因为21lim lim01,31n n n →∞→∞==<-由广义柯西判别法1知，级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑收敛．注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的m n （m 是大于1的正整数）次根的极限等于r，即lim n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任给的正数ε，存在正整数N ，当n N >时有当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上面的讨论，存在N ，当n N >时， 有m n n u q <．因为mn nqq <，又正项级数1nn q ∞=∑收敛（因(0,1)q ∈），由比较审敛法知1mnn q ∞=∑收敛 ，所以1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n u q>>，那么lim 0n n u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．当1r =时，同样取()10n p u p n=>，那么 这说明1r =时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取1,0a b ==，在广义柯西判别法2中，取1m =便得定理2（柯西判别法2）．例5 判断级数2121n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑的收敛性． 解因为1lim lim lim1212n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．定理5（广义柯西判别法3） 设,0,0,(1,2,)n n n n n w u v u v n =≥≥=，若n u =，1limnn n v v v →∞-=．则当1uv <时，级数1n n w ∞=∑收敛；当1uv >时，级数1n n w ∞=∑发散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz 定理 设{}n a 、{}n b 为两个数列，数列{}n b 在某顶之后单调递增,且lim n n b →∞=+∞，若11limn n n n n a a l b b -→∞--=-，（或+∞），则lim n n nal b →∞=（或+∞）．命题1 设数列{}n x ．若lim n n x l →∞=，则12lim lim nn n n x x x l x n→∞→∞+++==。
级数审敛法
;
n=1 n!
n!
(2) n=1 10n ; 1
1
(3)
.
n=1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
=
(n 1)! 1
=
1
0
n1
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n=1 n!
(2)
un1 un
=
(n 1)! 10n1
10n n!
= n1 10
(n ),
故级数
n=1
n! 10n
n=1
n=1
(3) 当 l = 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n=1
n=1
5.极限审敛法：
设 un 为正项级数,
n=1
如果lim n
nun
=l0
(或lim n
nun
= ),
则级数 un 发散;
n=1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n=1
例 3 判定下列级数的敛散性:
设
n=1
un
是正项级数,如果
lim
n
un1 un
=
(可为 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; = 1时失效.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意: 1.当 = 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n=1 n
(
=
1)
级数
n=1
1 n2
收敛,
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
x)
=
0
(x在收敛域上)
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级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛｝，形如n u ①n u u u +++21称为无穷级数(常简称级数),用表示。
无穷级数①的前n 项之和，记为∑∞=1n n u = ②∑==nn n n u s 1n u u u +++ 21称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。
若无穷级数②的部分和数列｛｝收敛于s.则称无穷级数收敛，若级数的部分和发散则称级数n s ∑∞=1n n u 发散。
∑n v 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1若级数和都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数∑n u ∑n v 亦收敛，且=c +d )(n n dv cu ∑+)(n n du cu ∑+∑n u ∑nv 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给＞0，总存在自然数N ，使得当εm ＞N 和任意的自然数，都有＜εp p m m m u u u ++++++ 21以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{}有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有＜M 。
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n
则交错级数
n 1 ( 1 ) un 收敛 , 且其和 S u1 . n 1
称莱布尼茨 型级数
6
证
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) ,
由条件 (1) 可知, u2 k 1 u2 k , 所以 { S 2 m } 单调不减；
即原级数非绝对收敛;
13
1 令 f ( x ) x ln x ( x 0) , 则 f ( x ) 1 0 ( x 1) , x f ( x ) 在 (1,) 上单增 ,
1 故数列 当 n 1 时单减, n lnn
由莱布尼兹定理, 此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
un 也不趋向于零.
4
sinn 例1 判定 的绝对收敛、条件收敛或发散性. 2 n n 1
1 sinn 1 2 , 而 2 收敛 , 解 因为 2 n n n 1 n
故原级数绝对收敛.
1 1 n2 例2 判定 ( 1) n (1 ) 是绝对收敛、条件 3 n n 1
而
( 1)
n 1
1 条件收敛 . n
2
定理： 若
| u
n 1
n
| 收敛 , 则 un 收敛.
n 1
un , u n 0 1 证明 令 v n ( | un | un ) ，n 1,2, 2 0 , un 0
即
v
n 1
n
为
u
n 1
收敛还是绝对收敛？
ln n ln x 1 lim lim lim 0, 解 n n x x x x 1 1 1 lim lim 1, n n ln n ln n n n 1 n n ( 1 ) 1 1 发散, 而 发散, n1 n n 1 n ln n n 1 n ln n
10
例4
( 1) n n 判别级数 的收敛性 . n1 n 2
x (1 x ) , 则 f ( x ) 解 设 f ( x) 0, 2 x 1 2 x ( x 1) ( x 2) x 故函数 单调减少, x 1
n 所以数列 单调减少, n1
（ 2 ） lim un 0 ,
n
则交错级数
n 1 ( 1 ) un 收敛 , 且其和 S u1 . n 1
8
例3 判断下列级数是否收敛；如果收敛，是条件收 敛还是绝对收敛？
1 1 1 1 ( 1) 1 n 2 3 4 n 1 1 1 n1 | , 发散；非绝对收敛； 解 | ( 1) n n 1 n 1 n
14
( 1)n 是交错 级数, n1 n ln n 1 1 lim 0, lim n n n ln n n ln n 1 n
1 ( x 1) 的收敛范围. 例7 讨论级数 n n 1 1 x
1 1 0, 解 若 | x | 1 , 则 lim n n 1 x 所以级数发散； un1 1 xn 1 1， lim 若 | x | 1 ,则 lim n 1 n u n 1 x | x| n
若 1 ,则原级数绝对收敛；
若 1 ,则原级数发散；
(1) 若 1 , 原级数为 , p n 1 n
n
因此当 p 1 时绝对收敛； 当 0 p 1 时条件收敛.
12
(1) 例6 判断级数 是否收敛；如果收敛，是条件 n1 n ln n
n
故原级数绝对收敛；
1 最后 , 若 x 1 , 则 un ,发散. 2 所以级数的收敛范围为| x | 1 .
15
小结
正项级数 任意 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛 ;
判
别
; 2. 当 n , un 0, 则级数发散
3. 按基本性质;
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼兹定理)
n
的所有非负项组成的级数,
显然 vn | un | , 由正项级数的比较判别法可知,
v
n 1
n
收敛 , 而
un 2vn | un | ,
由
| u
n 1
n
| 的收敛性可知,
u
n 1
n
收敛 .
3
以上定理的作用： 任意项级数
说明:
(1) 定理不可逆, 如
正项级数
( 1)
法
16
思考题
设正项级数
un 收敛 , 能否推得
n 1
n 1
2 un
收敛 ?
反之是否成立 ? 若是任意项级数呢 ?
17
un lim un 0 解答 设 un 是正项级数， lim n u n n n 1
（若 un 收敛）， 由比较审敛法知
n 1
第三节
1
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义 若
| u
n 1
n
Hale Waihona Puke | 收敛,则称 un 绝对收敛；
n 1
n
若
un 收敛,但 | u
n 1
n 1
| 发散,则称 un 条件收敛.
n 1
例如 ,
( 1)
n 1
n1
n1
1 绝对收敛, 2 n
n1
原级数是交错级数,
1 1 0, 单调减少, 且 lim n n n
由莱布尼兹定理知，原级数收敛；为条件收敛.
9
(1)
n 1
n1
1 1 1 1 1 n 2 3 4
1 p n
一般地， ( 1)
n 1
n1
当 0 p 1 时， 级数条件收敛； 当 p 1 时， 级数绝对收敛.
n
收敛还是发散. 解
n
1 1 1 n e 1 ， 绝对收敛. un (1 ) n 3 3 n
5
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)
n 1
n 1
un
(其中un 0)
定理(莱布尼兹判别法) 如果交错级数满足条件
（1 ） un un1 ,即 {un } 单调减少；
另一方面, S 2 m u1 ( u2 u3 ) ( u4 u5 ) ( u2 m 2 u2 m 1 ) u2 m
u1 , 即 { S 2 m } 有上界 ,
故 { S2m } 收敛,记 lim S 2 m S ,显然有 S u . 1 m
n 0, 又 lim un lim n n n 1
所以级数收敛.
11
( ) 的收敛性. 例5 设 p 0, 0 , 讨论 p n n 1
n
解
un 1 np ( ) n1 lim lim p n n ( n 1) n u ( ) n
而 S2m 1 S2m u2m 1 , 由条件(2)可知,
m
lim S 2 m 1 S
得 lim S n S ,
n
7
即原级数收敛， 且其和 S u1 .
(1)
n 1
n 1
un (其中un 0)
如果交错级数满足条件
定理(莱布尼兹判别法)
（1 ） un un1 ,即 {un } 单调减少；
2
2 u n 收敛. n1
1 反之不成立. 例如： 2 收敛, n 1 n
n 1
1 n 发散. n 1
n1
2 u 若为任意项级数,则由 un 收敛不能推出 n 收敛.
( 1) n 如 收敛, 但 n n 1
1 发散 . n 1 n
18
n 1
n1
(2) 若
| u
n 1
n
| 发散,不能推出 un 发散, 如上例；
n 1
1 1 收敛, 但 发散 ; n n 1 n
但如果是用比值判别法或根值判别法判定
则立刻可以断定
| u
n1
n
| 发散,
u
n 1
n
发散， 这是因为它们的依据是
一般项 | un | 不趋向于零, 从而