6第十一章机械振动

例如，心脏的跳动 次 分 例如，心脏的跳动80次/分 1 60 周期为 T = (m ） in = (s) = 0.75 s 80 80 频率为 ν =1/ T =1.33Hz
参考值,单位 动物的心跳频率(参考值 单位 参考值 单位:Hz)
大象 猪 松鼠
0.4~0.5 1~1.3 6.3
马 兔 鲸
∴ x = Acos(ωt + ϕ )
解方程
d x 2 = −ω x 2 dt 设初始条件为: 设初始条件为
2
简谐运动的微分方程
t = 0 时，x = x0 ， =v0 ，v
解得 x = A cos( ω t + ϕ )
简谐运动方程
积分常数， 积分常数，根据初始条件确定
由 x = A cos( ω t + ϕ ) 简谐运动方程 dx = − Aω sin(ωt + ϕ ) 得 v= dt d2x a = 2 = − A ω 2 cos( ω t + ϕ ) dt dt v0 2 2 A = x0 + ( ) 其中 ω ϕ = arctan( − v 0 ) ω x0
相位的意义: 表征任意时刻（ ） 相位的意义 表征任意时刻（t）物体振 动状态. 物体经一周期的振动， 动状态 物体经一周期的振动，相位改变 2π .
五 常数 A和 ϕ的确定
x = A cos( ω t + ϕ )
v = − A ω sin( ω t + ϕ )
初始条件 t = 0 x = x0 v = v 0
第11章 机械振动基础
11.1 简谐振动 11.2 谐振动的合成 11.3 阻尼振动和受迫振动简介
吴文俊
1、如何判断一个物体是否做简谐运动； 、如何判断一个物体是否做简谐运动； 2、如何建立简谐运动方程； 、如何建立简谐运动方程； 3、如何使用旋转矢量法解决简谐运动的问题； 、如何使用旋转矢量法解决简谐运动的问题； 4、简谐运动的能量特征； 、简谐运动的能量特征； 5、简谐运动的合成。 、简谐运动的合成。
v
x/m
− 0.08 − 0.04
o
0.04
0.08
已知 m = 0.01 kg, A = 0.08 m, T = 4 s t t = 0, x = 0.04 m, v0 < 0 求（1） = 1.0 s, x, F ） 2 π π −1 解 A = 0.08 m ω = = s T 2
t = 0， x = 0 . 04 m 代入 x = A cos( ω t + ϕ )
A=
x0 +
2
ω
v0
2 2
− v0 tan ϕ = ωx0
对给定振动 系统，周期由系 统本身性质决定， 振幅和初相由初 始 条 件 决 定 .
讨论
已知 t = 0, x = 0, v 0 < 0 求 ϕ
v
x
π 0 = A cos ϕ ϕ = ± 2 ∵ v0 = − Aω sin ϕ < 0 π ∴ sin ϕ > 0 取 ϕ = 2 π x = A cos(ωt + ) 2
旋转矢量
ω
t =t
A
ωt + ϕ
o
x = A cos(ωt + ϕ )
x
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
x = A cos( ω t + ϕ )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
y
ωt + ϕ
O
vm
π ωt +ϕ + 2
π ∵ v 0 < 0 ∴ϕ = 3
− 0.08 − 0.04
ω
π ϕ =± 3
A
o
π 3
x/m
0.08
0.04
π ∵ϕ = 3 π π ∴ x = 0.08cos( t + ) 2 3 t 可求（ ） 可求（1） = 1.0 s, x, F t = 1 .0 s 代入上式得 x = −0.069 m
A/ 2
X
X
ϕ = π/3
ϕ = - π/2
例 已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图 所示，试求其振动方程。 题 所示，试求其振动方程。 x(cm) 2 解 振动方程为： 振动方程为： 31.4
x = Acos(ωt +ϕ)
由图可知： 由图可知：
A = 31.4cm
15.7 0 −15.7 − 31.4
x −t图
T
T 2
t
m T = 2π k
x = A cos(ωt + ϕ ) = A cos[ω (t + T ) + ϕ ] 1 ω 频率 ν = = T 2π x
圆频率
x −t图
T 2
2π ω = 2 πν = T
A o
−A
T
t
周期和频率仅与振动系统本身的 周期和频率仅与振动系统本身的 本身 物理性质有关
1
t(s)
t = 0 : x0 = −15.7 = −A/ 2,
v0 < 0
∵ x0 = Acosϕ = −A/ 2, cosϕ = −1/ 2,ϕ = ±2π / 3 v0 = −Aω sinϕ < 0, ∴ϕ = 2π / 3
方法2： 用旋转矢量法辅助求解。 方法 ： 用旋转矢量法辅助求解。
ω
F = − kx = − mω 2 x = 1.70×10−3 N
m = 0.01 kg
− 0.08 − 0.04
v
o
0.04
0.08
x/m
（2）由起始位置运动到 = -0.04 m处所需 ）由起始位置运动到x 处所需 要的最短时间. 要的最短时间. 设由起始位置运动到x= 法一 设由起始位置运动到 -0.04 m处所 处所 需要的最短时间为t 需要的最短时间为
1 2 1 2 2 Ek = m = kA sin (ωt +ϕ) v 2 2
平均动能 2. 势能
1 t +T 1 Ek = ∫ Ekdt = kA2 T t 4
1 2 Ekmax = kA 2
0.7~0.8 1.7 0.13
昆虫翅膀振动的频率（ ） 昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子 雄性蚊子 苍 黄 蝇 蜂 355~415 455~600 330 220
四 相位 ω t + ϕ
x = A cos(ωt + ϕ )
相 位 初相位 ϕ
Φ (t) = ωt + ϕ
t = 0时，Φ (t ) = ϕ
0.08
法二
t
时刻
ω
ωt
π3 π3
起始时刻
x/m
0.08
− 0.08 − 0.04
o
0.04
π ωt = 3
π 2 −1 ω = rad ⋅ s t = = 0.667 s 3 2
例 题 3
已知一质点做简谐振动。 已知一质点做简谐振动。t = 0 时的运动状态为 最大位移处且向位移的负方向运动。 过1/2最大位移处且向位移的负方向运动。已知 最大位移处且向位移的负方向运动 周期为T=2s，求再次通过 最大位移处且向位 周期为 ，求再次通过1/2最大位移处且向位 移的正方向运动的时刻。 移的正方向运动的时刻。
牛顿第二定律： 牛顿第二定律：
由胡克定律： 由胡克定律： f = −kx
d x f = ma = m 2 dt
2
d2x ∴ f = ma ⇒ −kx = m 2 dt
2
f
d2 x d x k 2 谐振动微 + x = 0⇒ 2 + ω x = 0 (1) 2 分方程 dt m dt
ω
2
Ox
x
其通解为： 其通解为：
v
− 0.08 − 0.04
x/m
o
0.04
0.08
π π π π x = 0.08cos( t + ) − 0.04 = 0.08 cos( t + ) 2 3 2 3 1 π arccos(− ) − 2 3 = 2 = 0.667 s t= π2 3
v
− 0.08 − 0.04
x/m
o
0.04
简谐运动方程
2π x = Acos(ωt +ϕ) = Acos( t +ϕ) T
x
二 振幅
A = xmax
x −t图
T
T 2
A o
−A
t
周期、 三 周期、频率 x = A cos(ωt + ϕ ) = A cos[ω (t + T ) + ϕ ]
周期 T = 注意 弹簧振子周期
2π
ω
A o
−A
x
ϕ = π/3
o
ω
∆ϕ = 2π - 2π/3 = 4π/3
∆t = ∆ϕ / ω = (∆ϕ / 2π)T x = (4π/3)/(2π ) ⋅ 2 = 4/3s
∴t = 0 + ∆t = 4/3s
以水平弹簧振子为例) 四、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例 简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例
1. 动能
o
x
x −t图
T
T 2
A o
−A
t
自Ox轴的原点 O作一矢量 A 使 ， ω 它的模等于振动的 振幅A， 振幅 ，并使矢量 A A 在 Oxy平面内绕点 t=0 ϕ O作逆时针方向的 逆时针方向的 o x0 x 匀角速转动， 匀角速转动，其角 x0 = A cos ϕ 速度 ω 与振动频率 相等， 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量 旋转矢量. 叫做旋转矢量