半角公式说课稿
半角的正弦、余弦、正切公式及其推导语文
孤立的观点看问题，培养学生用相对的联系的观点来分析 问题． 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：半角的正弦、余弦、正式公式及其推导． 2．教学难点：公式中“±”号的选择及公式的应用． 3．教学疑点：半角的正切公式是有条件的，教学过程要 注意帮助学生分析条件． 三、课时安排 建议安排2课时． 四、教与学的过程设计
一、教与学的过程设计 (一)复习引入 师：上节课我们学习了半角公式，请同学们回忆半角公式(请 一位同学板书)． 生：(板书)
是我们还利用以上公式求半角的三角函数的值，今天我们继续 学习半角公式在其它方面的应用． (二)新课 1°条件求值．
分析：本题已知条件是点α 的正切值，求的是含2α的 三角函数的
第一课时 半角公式及其推导
(一)复习引入 师：上一节课我们学习了倍角公式，其实质就是用单 角的三角函数来表示二倍角的三角函数，下面请同学 们一起回忆倍角公式(引导学生从公式的推导去回忆， 这样等于同时回忆公式的推导)． 生：(板书) sin2α=2sinα·cosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
二、四象限角． (教师边叙述边板书)
(三)应用举例
要先求 sinθ，也要根据θ的范围来求．请同学们自己 给出两种解法． (四)总结
(五)练习 课本 P．224中练习 1、2、3、4． 五、作业 本P．225中习题十六，1、2、3、4、5、6、7、8． 六、板书设计
第二课时 半角公式及应用
生：有利于计算． 师：所以我们要灵活地应用公式，不能生搬硬套， 哪位同学的证法与甲同学不同． 生乙：(板书)
师：这位同学对二倍角公式的证法简直达到惟妙惟 肖的境地，大家考虑看还有没有其它证法(启发学生 从函数的名称出发去思考)． 生丙：把正切、余切化弦． 师：很好，但是大家别急着证题，我们先来考虑两 个式子：
3.3.2半角公式学案
1．若 cos α＝13，α∈(0，π)，则 cos α2的值为(
)
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
2．函数 f(x)＝2sin
x 2
sin
π－x 3 2 的最大值等于(
)
A．12
B．32
C．1
D．2
3．计算：4cotsa2n121°2－°－2si3n
＝________. 12°
4．设 5π<θ<6π，cos
提示：cos α2＝±
1＋cos α，sin 2
α2＝±
1－cos α，α∈R. 2
tan α2＝±
1－cos 1＋cos
α＝ sin α α 1＋cos
中，α≠2kπ＋π，k∈Z， α
tan
α＝1－cos 2 sin α
α中，α≠kπ，k∈Z.
2．如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？
提示：例如α可以看成α2的倍角，也可以看成 2α的半角． 3．怎样把 asin x＋bcos x 化成 Asin(ωx＋φ)形式？
根号前应保持正、负两个符号，而对于
tan2θ，还要注意运用公式
tanθ2＝1＋sincoθs
＝ θ
1－cos θ来求值. sin θ
[跟踪训练]
已知 sin θ＝45，且52π<θ<3π，求 cos
θ和 2
tan
2θ.
化简：
利用半角公式化简求值
2/4
sin
α2－cos
α 2
1＋cos α＋sin α
(2)f(x)在
x∈
－π，π 34
上的最值．
初中半角模型教案模板
初中半角模型教案模板一、教学目标1. 让学生理解半角模型的概念及应用。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维。
二、教学内容1. 半角模型的定义及性质2. 半角模型的应用3. 相关练习题三、教学重点与难点1. 半角模型的定义和性质2. 半角模型在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究半角模型的性质和应用。
2. 利用几何画板软件，动态展示半角模型的变换过程，增强学生的直观感受。
3. 案例教学法，分析实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。
五、教学步骤1. 导入新课1.1 教师通过展示一些实际问题，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。
1.2 学生尝试分析问题，发现问题的解决关键在于理解半角模型。
2. 讲解半角模型2.1 教师给出半角模型的定义，并解释其性质。
2.2 学生通过几何画板软件，动态观察半角模型的变换过程，加深对半角模型的理解。
3. 应用半角模型解决问题3.1 教师展示几个与半角模型相关的实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。
3.2 学生独立解决这些问题，并在课堂上分享解题思路和方法。
4. 巩固练习4.1 教师布置一些有关半角模型的练习题，让学生巩固所学知识。
4.2 学生独立完成练习题，教师进行点评和指导。
5. 总结与拓展5.1 教师引导学生总结本节课所学内容，加深对半角模型的理解。
5.2 学生结合自己的生活实际，思考半角模型在生活中的应用。
5.3 教师提出一些拓展问题，激发学生的创新思维。
六、教学评价1. 学生对半角模型的理解和掌握程度。
2. 学生运用半角模型解决实际问题的能力。
3. 学生在课堂上的参与度和合作意识。
七、教学反思教师在课后要对课堂教学进行反思，分析学生的学习情况，针对性地调整教学方法和解题策略，以提高教学效果。
同时，关注学生的学习兴趣和需求，不断丰富教学内容，提高教学质量。
高一数学倍角公式和半角公式知识精讲
高一数学倍角公式和半角公式【本讲主要内容】倍角公式和半角公式（正弦、余弦、正切）【知识掌握】 【知识点精析】1. 倍角公式：二倍角公式sin sin cos ()cos cos sin ()cos sin tan tan tan ()222211222122222222αααααααααααααα==-=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪S C T注意：①公式T 2α只有当αππαππ≠+≠+∈k k k Z 242和()才成立； ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它只要两个角有二倍的关系，如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是32α的二倍等等都可以用二倍角公式。
例如：cos cos sin sin cos sin αααααα3663312622=-=， 12242151153022-=-=sin cos tan tan tan αα，°°°③熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）④注意公式的变形应用与逆用。
特别是公式：cos cos sin 2211222ααα=-=-可变形为cos cos sin cos 22122122αααα=+=-，，两式相除得tan cos cos 21212ααα=-+，这样就得到了降幂公式。
降幂公式sin cos cos cos tan cos cos 2221221221212ααααααα=-=+=-+⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪升幂公式cos cos sin cos sin 221122222ααααα=-=-=-⎧⎨⎪⎩⎪2. 半角公式：()()半角公式，，sin cos cos cos tan cos cos sin cos cos sin ααααααααααππαααπααα212212*********=±-⎛⎝ ⎫⎭⎪=±+⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+≠+∈=-≠∈⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪S C T k k Z k k Z 注意：①应用半角公式时，要特别注意根号前的符号，它是由α2所在象限的三角函数符号确定。
初中几何半角模型教案
初中几何半角模型教案教案标题：初中几何半角模型教案教案目标：1. 理解半角的概念和性质。
2. 掌握使用半角模型解决几何问题的方法。
3. 培养学生的空间想象力和几何思维能力。
教学重点：1. 半角的概念和性质。
2. 半角模型的应用。
教学难点：1. 运用半角模型解决几何问题。
2. 提高学生的空间想象力和几何思维能力。
教学准备：1. 教师准备好黑板、白板、彩色粉笔、半角模型等教具。
2. 学生准备好几何工具、练习册等学习材料。
教学过程：Step 1：引入1. 教师用彩色粉笔在黑板上绘制一个直角三角形ABC，角A为直角，边AB为横坐标轴，边AC为纵坐标轴。
2. 教师解释什么是半角，并引导学生观察直角三角形ABC中的半角，即角B和角C。
3. 教师提问学生，半角的度数是多少？（答案：45度）Step 2：概念讲解1. 教师在黑板上绘制一个正方形DEFG，边DE平行于边FG。
2. 教师解释正方形DEFG中的半角模型，即将正方形沿对角线DG对折，形成的两个直角三角形。
3. 教师引导学生观察半角模型中的角度关系，并解释半角模型的性质：两个直角三角形的半角是相等的。
Step 3：应用练习1. 教师提供一些几何问题，要求学生使用半角模型解决。
2. 学生独立思考并解答问题，教师适时给予指导和帮助。
3. 学生展示自己的解题过程和答案，教师进行点评和讲解。
Step 4：拓展练习1. 教师提供更复杂的几何问题，要求学生通过运用半角模型解决。
2. 学生分组合作解题，教师在小组之间进行巡回指导和帮助。
3. 学生展示解题过程和答案，教师进行综合点评和总结。
Step 5：归纳总结1. 教师带领学生回顾本节课所学的内容，总结半角的概念和性质。
2. 教师强调半角模型在解决几何问题中的重要性，并鼓励学生在以后的学习中积极运用。
3. 教师布置相关的练习作业，巩固学生的学习成果。
教学延伸：1. 学生可以自行寻找更多与半角模型相关的几何问题，并进行解答和讨论。
初中数学半角模型教案
初中数学半角模型教案教学目标：1. 理解半角模型的概念和特点；2. 学会运用半角模型解决相关几何问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 半角模型的概念和特点；2. 运用半角模型解决几何问题。
教学难点：1. 半角模型的理解和运用；2. 解决相关几何问题。
教学准备：1. 教师准备半角模型的相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT展示半角模型的图片，引导学生观察和思考；2. 学生分享对半角模型的理解和认识。
二、新课讲解（15分钟）1. 教师讲解半角模型的概念和特点，引导学生理解和掌握；2. 教师通过例题演示如何运用半角模型解决几何问题；3. 学生跟随教师一起解答例题，巩固理解和掌握半角模型的运用。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出一些有关半角模型的问题，让学生独立解答；2. 学生展示解答过程和答案，教师进行点评和指导。
四、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生总结半角模型的概念和特点；2. 学生分享自己在解决问题时的经验和困惑；3. 教师给出建议和指导，帮助学生进一步提高解决问题的能力。
五、课后作业（5分钟）1. 教师布置一些有关半角模型的练习题，让学生巩固所学知识；2. 学生完成作业，教师进行批改和反馈。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了半角模型的概念和特点，并能运用半角模型解决相关几何问题。
在教学过程中，教师注意引导学生观察和思考，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过课堂练习和课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
在今后的教学中，教师还需注意以下几点：1. 针对不同学生的学习情况，给予个别化的指导和帮助，提高学生的学习效果；2. 增加一些拓展练习，让学生更好地理解和运用半角模型；3. 结合其他几何模型，让学生综合运用所学知识解决问题。
综上所述，本节课的教学目标是让学生理解和掌握半角模型的概念和特点，学会运用半角模型解决相关几何问题。
初中半角模型教案数学
初中半角模型教案数学教学目标：1. 理解半角模型的定义和特点；2. 掌握半角模型的应用方法；3. 能够解决实际问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 半角模型的定义和特点；2. 半角模型的应用方法。
教学难点：1. 半角模型的理解和应用；2. 解决实际问题时的计算和推导。
教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示半角模型的图像和定义；2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用半角模型解决问题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾等腰直角三角形的性质和特点；2. 引入半角模型的概念，让学生观察和理解半角模型的定义和特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解半角模型的定义和特点，引导学生理解半角模型的共端点的等线段和共顶点的倍半角的特点；2. 通过示例，讲解半角模型的应用方法，包括旋转目标三角形法和翻折目标三角形法；3. 引导学生总结半角模型的应用步骤和注意事项。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些简单的半角模型问题，巩固对半角模型的理解和应用；2. 引导学生思考和讨论解决实际问题时的方法和策略。
四、拓展提升（15分钟）1. 引导学生探索半角模型的推广和应用，例如在正方形中的半角模型；2. 给出一些综合性的问题，让学生运用半角模型和其它几何知识一起解决问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
五、总结和反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结半角模型的定义、特点和应用方法；2. 引导学生反思在解决问题时的思考过程和方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学反思：本节课通过引导学生回顾等腰直角三角形的性质和特点，引入半角模型的概念，让学生观察和理解半角模型的定义和特点。
通过讲解半角模型的定义和特点，引导学生理解半角模型的共端点的等线段和共顶点的倍半角的特点，并通过示例讲解半角模型的应用方法，包括旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
然后让学生独立完成一些简单的半角模型问题，巩固对半角模型的理解和应用。
初中几何半角模型教案模板
初中几何半角模型教案模板教学目标：1. 理解半角模型的定义和特点；2. 学会运用半角模型解决几何问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学内容：1. 半角模型的定义和特点；2. 半角模型的应用；3. 半角模型与其他几何模型的联系。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入等腰三角形的概念，让学生回顾等腰三角形的性质；2. 引导学生思考：如何利用等腰三角形的性质解决几何问题；3. 提问：同学们听说过半角模型吗？ half-angle model。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解半角模型的定义：过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半；2. 分析半角模型的特点：共端点、相等的线段、对角互补；3. 举例说明半角模型的应用，如解决等腰三角形的边长、面积等问题；4. 引导学生发现半角模型与其他几何模型的联系，如全等三角形、相似三角形等。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 引导学生运用半角模型解决练习题，巩固所学知识；3. 解答学生提出的问题，给予指导和帮助。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课的主要内容和知识点；2. 强调半角模型在解决几何问题中的重要性；3. 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
教学评价：1. 课后作业：布置有关半角模型的练习题，检验学生对知识的掌握程度；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习效果；3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断改进教学方法。
教学反思：本节课通过讲解半角模型的定义、特点和应用，让学生掌握了半角模型在解决几何问题中的方法。
在教学过程中，要注意引导学生发现半角模型与其他几何模型的联系，提高学生的综合运用能力。
同时，通过课堂练习和课后作业，巩固学生对半角模型的理解和掌握。
半角公式教案及练习
半 角 公 式 ( 1 )2012年 月 日 班级 姓名 教学目标 掌握半角的正弦、余弦和正切的公式及推导方法．掌握公式的应用. 教学重点 半角公式的推导过程．教学难点 对公式的分析和理解．教学过程一、复习引入 二倍角公式：αααcos sin 22sin =； ααα2tan 1tan 22tan -= ααα22sin cos 2cos -= 1cos 22-=αα2sin 21-=二、新课讲解 半角公式的推导2cos 12cos ,2cos 12sin αααα+±=-±=αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=例1。
如果αcos =53，πθπ325<<,求2tan ,2cos ,2sin ααα的值.练习：已知32cos -=α，23πθπ<<,求2tan ,2cos ,2sin ααα的值例2.若θ是第二象限角，且54cos -=θ，求2tan ,2cos ,2sin ααα的值.练习：若α是第四象限角，且53cos =α，求2tan ,2cos ,2sin ααα的值.例3.已知53sin =α，135)cos(=+βα，α、β均为锐角，求2cos β的值。
例4.)2,23(ππθ∈化简下列各式：（1）2)2sin(1θπ++ （2）2)cos(1θπ-+小结：使用半角公式时，应根据α的范围推出2α的范围，再确定2α三角比的符号！半 角 公 式 ( 1 )（作业）2012年 月 日 班级 姓名 1.572cos 2sin =-αα已知，则αsin =2.已知51cos -=θ，πθπ325<<，那么2sin θ=_____________。
3.53sin =θ，πθπ325<<，那么2tan θ=_________ 4.53sin =θ，πθπ325<<，那么2cos θ=_________5.已知)2,(ππα∈，则2)cos(1απ+-=___________6.2sin θ-2cos θ=55-，00540450<<θ，则2tan θ=__________。
高一数学《半角公式》学案公开课
高一数学必修4《半角公式》学案（公开课）§3.2.2《半角的正弦、余弦和正切》学案【学习目标】1、学会利用二倍角公式，推导出半角的正弦、余弦和正切公式，知道各公式之间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程。
2、能记住半角公式及相关变形。
3、能用半角公式进行化简，求值。
【重难点】重点：掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式；方程思想，分类讨论思想，和化归思想的运用。
难点：公式前符号的确定；变换中三统一原则的运用； "倍与半"的相对性思考方法。
半角与倍角公式之间的内在联系。
【学法指导】自主探究公式的内在联系【知识链接】复习二倍角的正弦、余弦、正切的公式cos()===sin()=tan()=【学习过程】知识点1.半角公式的推导及理解问题1：已知，求的值。
问题2：若，且为锐角，则=，=，=。
1?在中，以?代2?，代?即得2?在中，以?代2?，代?即得3?以上结果相除得半角公式：=（1）=（2）===（3）特点：1?左式中的角是右式中的角的一半。
2?公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切。
3?根号前均有""它由角""所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，""应保留。
注意：公式（3）成立的条件,公式（1）、（2）、（3）叫做半角公式，实际是二倍角公式的推论。
用于三角函数的求值、化简和证明。
基础训练：你能根据上面的公式解答下列问题吗？1、求值：（1）（2）（3）例题分析：例1：求证：（1），（2）（三角变换选择公式的依据是：使角统一；名统一；结构统一）练习：已知，求的值。
例2：已知,求，，的值。
变式练习：变式1：将条件中的"" 改为"是第三象限角"，结论如何？变式2：将条件中的""去掉，结论如何？变式3：将结论改为求""的值。
高中数学北师大版2019必修第二册半角公式
由sin22θ＝1－c2os θ＝1＋2 35＝45得，sin 2θ＝－
54＝－2
5
5 .
由cos22θ＝1＋c2os θ＝1－2 35＝15得，cos 2θ＝－ 55.
∴tan
θ2＝ sin cos
θ22θ＝－－2 5555＝2.
规律方法 已知 θ 的某三角函数值，求θ2的相应三角函数值时，常借助于半 角公式 sin2θ2＝1－c2os θ，cos22θ＝1＋c2os θ，tan 2θ＝1＋sincoθs θ＝1－sincoθs θ 来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求 2θ的范围.
又∵4tan α2＝1－tan2α2， α
∴tan α＝12－tatnan22α2＝12， ∴tan(α＋β)＝2tan α＝1， ∵α＋β∈0，π2，∴α＋β＝π4.
当堂达标 固双基
1．已知cos α＝35，α∈32π，2π，则sin α2等于(
)
A．
5 5
B．－
5 5
C．45
D．2 5 5
30 6 .]
2．下列各式与tan α相等的是( )
1－cos 2α A. 1＋cos 2α
sin α B.1＋cos α
C.1－sicnosα2α
1－cos 2α D. sin 2α
D[
1－cos 1＋cos
22αα＝
22csoins22αα＝ tan2α＝|tan α|；
αα
sin α 1＋cos
＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x＝2ssiinn2x2x＝csoisn2x2x＝2s2inco2xsc2o2xs2x＝1＋sincoxs x＝右边．
所以原等式成立．
初中数学教案三角函数的倍角与半角公式
初中数学教案三角函数的倍角与半角公式初中数学教案三角函数的倍角与半角公式一、引言三角函数是中学数学中的重要内容，而其中的倍角与半角公式更是关键知识点之一。
掌握了倍角与半角公式，能够简化计算过程，解决复杂的三角函数问题。
本篇教案将系统地介绍倍角与半角公式的概念、推导及应用，旨在帮助学生深入理解和掌握这一知识点。
二、倍角公式1. 正弦函数的倍角公式在给定角度θ的情况下，我们可以通过倍角公式计算得到sin(2θ)的值。
具体而言，倍角公式为：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 余弦函数的倍角公式同样地，在给定角度θ的情况下，我们可以通过倍角公式计算cos(2θ)的值。
具体而言，倍角公式为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ3. 正切函数的倍角公式正切函数的倍角公式推导过程略复杂，此处不再展开，直接给出倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)三、半角公式1. 正弦函数的半角公式与倍角公式类似，在给定角度θ的情况下，我们可以通过半角公式计算sin(θ/2)的值。
具体而言，半角公式为：sin(θ/2) = ±√[(1 - c osθ) / 2]2. 余弦函数的半角公式同样地，在给定角度θ的情况下，我们可以通过半角公式计算cos(θ/2)的值。
具体而言，半角公式为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]3. 正切函数的半角公式正切函数的半角公式同样推导复杂，此处给出半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]四、应用举例以下是一些常见的应用场景，通过倍角与半角公式解决问题：1. 求解三角函数值已知一个角度θ，利用倍角或半角公式可以计算sin(2θ)、cos(2θ)等表达式的值。
2. 求解三角方程对于某些复杂的三角方程，可以利用倍角或半角公式进行化简，从而更容易求解方程。
高三数学下册《半角公式的应用》教案、教学设计
-利用半角公式化简复杂的三角函数表达式；
-结合其他三角函数公式，求解综合性三角函数问题。
（3）实践题：
-在直角三角形中，已知一直角边和斜边长度，求另一直角边上的高的长度；
-在一个等腰三角形中，已知底边长度和腰上的高，求腰长。
（4）小组研究性学习：
-探讨半角公式在平面几何中的应用；
-应用：设计不同难度的练习题，让学生运用半角公式解决问题，巩固所学知识；
-拓展：结合实际情境，让学生尝试解决更具挑战性的问题，提高学生的解题能力；
-总结：引导学生总结半角公式的特点、应用方法，形成自己的解题策略。
3.教学评价：
-采用多元化的评价方式，关注学生在课堂上的参与度、合作交流、解题思路等方面；
4.小组研究性学习：以小组为单位，选取一个与半角公式相关的拓展性问题进行深入研究，鼓励学生查阅资料、互相讨论，形成研究报告。
具体作业布置如下：
（1）基础练习题：
-利用半角公式求出特殊角的正弦、余弦值；
-给定一个角的正弦值，求该角的一半的正弦值；
-给定一个角的余弦值，求该角的一半的余弦值。
（2）提高题：
-激发学生的学习兴趣，通过设置有趣的问题情境，让学生在愉悦的氛围中学习数学。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习旧知：通过提问方式引导学生复习已学的三角函数知识，如正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义及性质，为新课的学习打下基础。
2.创设情境：向学生展示一个实际问题，如“在直角三角形中，已知一个角的正弦值，如何求该角的一半的正弦值？”引发学生思考，激发学生的学习兴趣。
高三数学下册《半角公式的应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
半角公式教学案
高二数学教学案材料编号09半角的正弦、余弦和正切教学案班级姓名学号设计：李绍京审查：李荣使用时间：9.15一、学习目标：半角公式的推导与应用。
二、学习重点与难点重点：半角公式的推导与应用。
难点：半角公式的应用。
三、课前自学：（一）课前检测：1．证明不等式：（1）1sin2sin cossin cosϕϕϕϕϕ+=++；（2）sin(1cos2)sin2cosθθθθ+=。
2．化简：sin50(1)︒︒（二）知识点梳理：1．cos cos(2)2αα=⨯= = 。
2．cos 2α= ；sin 2α= ； t a n 2α= 。
（三）自学检测：1．求sin15,cos15,tan15︒︒︒值。
四、例题分析：例1求证；sin 1cos tan ,tan 21cos 2sin αααααα-==+。
例2求cos 8π的值。
五、重难点突破：1．半角公式中的“半角”是相对的，如2α是4α的半角，32α是3α的半角。
2．半角公式中根式前的正负号由半角所在的象限确定。
六、当堂检测：1．下列各式中，值12为的是 （ ） A ．sin1515coc ︒︒ B ．22cos 112π- C． D ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒2．θ为第三象限角，且sin cos 22θθ-=2θ是 （ ） A ．第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角3．已知450︒〈α〈540︒（ ） A ．sin2α- B ．cos 2α C ．sin 2α D ．cos 2α-4．已知α为锐角，且sin 85sin 2αα=，则的cos α值为 （ ） A ．45 B ．825 C ．1225 D ． 7255．化简 （ ）A ．2sin 4︒B ．2sin 44cos 4︒-︒C ．2sin 4-︒D ．4cos 42sin 4︒-︒6．若sin cos αα+=，则tan cot αα+等于 （ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-7．已知3cos 5α=-，且π〈α〈32π，则cos 2α的值为 （ ）A ．5B ．5-C ．5D ．5-8．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．sin 1cos xy x =- B ．1tan 2sin xy x =- C ．2cos (2)y x =D ．tan cot αα-9．求12log (tan15cot15)︒+︒的值。
半角公式及推论
半角公式及推论古希腊哲学家亚里士多德的半角公式和推论又称作亚里士多德四种因果关系。
它最早出现在其著作《物理学》中，并被普遍认为是哲学史上最重要的三个学说之一。
因此，它被认为是哲学中因果关系的核心理论，尤其是在古代世界的哲学界中得到广泛的认同和重视。
半角公式的核心命题是：每一件事（物）都是按照四种不同的原因（因果关系）来产生或表现的。
这四种因果关系分别是：一，必然性的因果关系；二，自发性的因果关系；三，普遍的因果关系；四，同时存在的因果关系。
第一种因果关系是必然性的，也就是每一件事（物）都有自身特定的内在原理，使它按照一定规则，独立于外界而发展和表现，如一棵树会有生长的原理。
第二种是自发的、不受外力影响的因果关系，它是一种内在性的，由于动物、植物有自发行动的能力，因此他们独立于外部因素，会以自身灵活多变的行为表现出来。
第三种是普遍性的因果关系，它是一种普遍导致的因果关系，即通过特定的原理，通过外部因素影响、进行持续不断变化及表现，如以重力为例，外部重力作用于物体，而物体表现出移动的能力和变化过程。
第四种是同时存在的因果关系，就是某一物体存在的特定的状态，是复合的结果，由两个或两个以上的因果关系共同影响所形成的，如一棵树不仅受重力及自身原理的影响，而且还受物理环境的气候及其它因素的影响，因此它的生长表现也是由这种内外复合的因果关系决定的。
以上就是古希腊哲学家亚里士多德的半角公式及其推论。
此外，亚里士多德还提出以法律和自然为准则，以正义及善良构建社会的推论，此公式和推论在历史上有着重要地位，特别是在今天被广泛认可并被用于以法律和自然为准则，以正义及善良构建社会的哲学思考中。
学案4：§4.5和角公式、倍角公式和半角公式
§4.5和角公式、倍角公式和半角公式考纲要求1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.要点识记1个必记口诀——两角和与差公式的记忆口诀正弦公式概括为“正余，余正符号同”．余弦公式概括为“余余，正正符号异”． 2个拼凑技巧——拆角和拼凑角的技巧(1)用已知角表示未知角2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2； α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． (2)互余与互补关系⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2；⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2； ⎝⎛⎭⎫3π4－α＋⎝⎛⎭⎫π4＋α＝π；⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π. 3种必知变化——应用公式解决问题的三个变化角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.考点突破考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式填一填(1)sin24°cos36°＋cos24°°sin36°＝ .(2)cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝ .(3)cos295°sin70°－sin115°cos110°＝ .(4)已知sin α＝45，α∈(π2，π)，cos β＝－513，β是第三象限，则cos(α－β)＝ . (5)1＋tan15°1－tan15°＝ . 考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式考向一 三角函数式的化简问题例1 f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．变式训练1. 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．考向二 给值求值问题例2 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3.变式训练2.已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( )A. －255B. －3510C. －31010D. 255考向三 给值求角问题例3 已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x . (1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈(π2，π)，且f (α)＝22，求α的值．变式训练3. 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2， (1)求tan2α的值；(2)求β.参考答案考点突破考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式填一填(1) 32(2)12(3)22 (4)－3365 (5)3考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式考向一 三角函数式的化简问题例1 解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ， g (x )＝2sin 2x 2＝1－cos x . (1)由f (α)＝335得sin α＝35， 又α为第一象限角，所以cos α>0，从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15. (2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin(x ＋π6)≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z . 故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z . 变式训练1. 解：(1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx＝－sin(2ωx －π3)． 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)，知f (x )＝－sin(2x －π3)．设t ＝2x －π3， 则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤8π3， 如图所示，作出函数y ＝sin t 在[5π3，8π3]上的图象， 由图象可知，当t ∈[5π3，8π3]时，sin t ∈[－32，1]， 故－1≤－sin t ≤32， 因此，－1≤f (x )≤32，故f (x )在区间[π，32π]上的最大值、最小值分别为32，－1. 考向二 给值求值问题例2 解 (1)f (－π6)＝2cos(－π6－π12)＝2cos(－π4)＝2cos π4＝1. (2)f (2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π12) ＝2(cos2θ＋π4)＝cos2θ－sin2θ. 因为cos θ＝35，θ∈(32π，2π)，所以sin θ＝－45. 所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos2θ－sin2θ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725. 变式训练2.A【解析】由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255. 考向三 给值求角问题例3 解 (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)·sin2x ＋12cos4x ＝cos2x sin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin(4x ＋π4)， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22. (2)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1. 因为α∈(π2，π)， 所以4α＋π4∈(9π4，17π4)． 所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16. 变式训练3.解：(1)∵cos α＝17，0<α<π2， ∴sin α＝437，∴tan α＝43， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， ∴sin(α－β)＝3314， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.。
第三章 3.2半角公式
学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一 半角公式思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α用α替换，结果怎样？答 结果是sin α＝2sin α2cos α2；cos α＝2cos 2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2 α2－sin 2a2；tan α＝2tanα21－tan 2α2. 思考2 利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答 tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2·2cos α2cos α2·2 cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2·2sin α2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝± 1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin αa sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(其中tan θ＝ba).类型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.解 ∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4＜θ2＜3π2.∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思与感悟 1.若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. 2.由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： (1)先化简所求的式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手). 跟踪训练1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2.解 ∵α为钝角，β为锐角， sin α＝45，sin β＝1213.∴cos α＝－35，cos β＝513.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－35×513＋45×1213＝3365.又∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴0＜α－β＜π，0＜α－β2＜π2，∴cosα－β2＝ 1＋cos (α－β)2＝ 1＋33652＝76565. 类型二 利用辅助角公式研究函数性质例2 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R ). (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合. 解 (1)∵f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin [2⎝⎛⎭⎫x －π12]＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12 (k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }. 反思与感悟 1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.2.本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障.跟踪训练2 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 解 (1)由已知，得f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin2x －14cos 2x＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 类型三 三角函数在实际问题中的应用例3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin(α＋π4)＋R .∵0＜α＜π2，∴π4＜α＋π4＜3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大.反思与感悟 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围.跟踪训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示).解 如图所示，连接OC ，设∠COB ＝θ，则0<θ<π4，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π4－12. ∴当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2).∴割出的长方形的最大面积为2－12 (m 2).类型四 三角恒等式证明 例4 求证：tan3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x. 证明 方法一 tan 3x 2－tan x2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x2cos 3x 2cosx 2＝sin (3x 2－x2)cos 3x 2cosx 2＝sin xcos 3x 2cosx 2＝2sin xcos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x.方法二2sin xcos x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cosx 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cosx 2＝tan 3x 2－tan x 2.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.例如本题中：“方法一是切化弦，应用切化弦时应注意通分，而方法二中拆角的目的是利用两角和与差的三角函数构造出恒等式左边三角函数中的角. 跟踪训练4 证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明 ∵左边＝2tanα21＋tan 2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan 2α21＋tan 2α2＝tan 2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝⎛⎭⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝⎛⎭⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立.1.已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2的值为( )A.2B.－2C.12D.－12答案 B解析 方法一 ∵180°<θ<270°， ∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.方法二 ∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.2.已知tan θ2＝3，则cos θ等于( )A.45B.－45C.415D.－35 答案 B解析 cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2cos 2θ2＋sin 2θ2＝1－tan 2θ21＋tan2θ2＝1－321＋32＝－45.3.若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数 答案 D解析 f (x )＝1－cos 2x 2－12＝－cos 2x2，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为 . 答案 －1解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1. 5.求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值. 解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60° ＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°) ＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ) ＝7sin ()x ＋20°＋φ， 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限；②tanφ＝ba(或sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2).3.研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握， 例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等.一、选择题1.已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( )A.－23B.－13C.13D.23答案 C解析 直接根据两角和与差的余弦公式求解.2.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形答案 B解析 用降幂公式进行求解. 3.sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( ) A.－2π3 B.－π3 C.π3 D.2π3答案 D解析 利用和差化积得到相应的求值.4.将函数y ＝f (x )sin x 的图象向右平移π4个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )的表达式是( ) A.f (x )＝cos xB.f (x )＝2cos xC.f (x )＝sin xD.f (x )＝2sin x答案 B解析 y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图象关于x 轴对称的曲线是y ＝－cos 2x ，向左平移π4得y ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x . 5.设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R ).且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π6，则ω的值为( )A.12B.－13C.－23D.2π3 答案 A 解析 f (x )＝32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3＋32＋a ， 依题意得 2ω·π6＋π3＝π2⇒ω＝12.6.若0<α<β<π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A.a ＞bB.a ＜bC.ab <1D.ab >2答案 B解析 sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， sin β＋cos β＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4， ∵0＜α＜β＜π4，∴π4＜α＋π4＜β＋π4＜π2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＜2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4， ∴a ＜b .7.设a ＝12cos 7°＋32sin 7°，b ＝2tan 19°1－tan 219°，c ＝1－cos 72°2，则有( ) A.b ＞a ＞c B.a ＞b ＞c C.a ＞c ＞bD.c ＞b ＞a答案 A解析 a ＝sin 37° ，b ＝tan 38°，c ＝sin 36°.∴b ＞a ＞c .8.已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2＜θ＜π)，则tan θ2等于( ) A.－13B.5C.－5或13D.－13或5 答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1， 解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213， tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 二、填空题9.设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于 . 答案 － 1－a 2解析 由sin 2θ4＝1－cos θ22， ∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2， ∴sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－ 1－a 2. 10.在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝ .答案 －19解析 sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1 ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝－19. 11.若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝ . 答案 4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780. 三、解答题12.已知△AOB 中，∠AOB ＝π2，且向量OA →＝(－1,3)，OB →＝(cos α，－sin α). (1)求sin (π－2α)＋cos 2α2cos 2α＋sin 2α＋2； (2)若α是钝角，α－β是锐角，且sin(α－β)＝35，求sin β的值. 解 (1)由OA →＝(－1,3)，OB →＝(cos α，－sin α)且OA →⊥OB →，即－cos α－3sin α＝0，从而tan α＝－13. sin (π－2α)＋cos 2α2cos 2α＋sin 2α＋2＝2sin αcos α＋cos 2α4cos 2α＋2sin αcos α＝2tan α＋14＋2tan α＝110. (2)因为α为钝角，tan α＝－13，α－β为锐角，sin(α－β)＝35， 所以cos α＝－31010，sin α＝1010，cos(α－β)＝45.所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝131050. 13.已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值. 解 (1)由已知，得f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14， 所以函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.。
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3.2.2 半角的正弦余弦和正切
（－）教学目标
1 知识目标：会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简
2 能力目标：会灵活运用公式进行推导变形
3 情感目标灵活运用公式化繁为简
（二）教学重点，难点
重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明
难点是用公式求值
（三）教学方法
引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。