吉林省长春外国语学校_学年高二数学下学期期末试卷(含解析)【含答案】
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吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 文本试卷共5页.考试结束后,将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生 信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写,字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共15小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ )A 。
B. C. D. 2. 若(为虚数单位），则复数所对应的点在（ ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知函数，则（ ）A.是偶函数，且在R 上是增函数 B 。
是奇函数，且在R 上是增函数 C 。
是偶函数,且在R 上是减函数 D 。
是奇函数，且在R 上是减函数4. 角的终边与单位圆交于点,则（ ） A ． B ． - C 。
D ．5. 已知，，，则实数的大小关系是( )=A{}1,2,3,4{|B xy ==B A {}01,2，{}1,2(02)，[0,2](1)1zi +=i z 1()22x xf x =-（）()f x αc os2α=15153535-0.63a =30.6b =0.6log 3c =,,a b cA ．B ．C 。
D ． 6。
已知向量|｜=，且,则（ ） A 。
B 。
C.7. 等差数列中，，为等差数列的前n 项和,则( ） A. 9 B. 18 C 。
27D 。
548。
已知实数,则的最小值为( )A ．9B ．C ．5D ．49. 已知四个命题： ①如果向量与共线,则或；②是的充分不必要条件；③命题：，的否定是:,； ④“指数函数是增函数,而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误,但推理形式是正确的。
2016-2017学年吉林省长春外国语学校高二(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝（）A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7}D．{2，5，7} 2．（5分）i是虚数单位，复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．4．（5分）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝ln（x+2）B．C．D．5．（5分）下列关系式中成立的是（）A．B．C．D．6．（5分）有下列四个命题：①“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A．①②B．①③C．②③D．③④7．（5分）函数f（x）＝e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）8．（5分）已知f（x）满足f（a•b）＝f（a）+f（b）且f（2）＝p，f（3）＝q，则f（36）＝（）A．2pq B．2（p+q）C．p2q2D．p2+q29．（5分）y＝sin x（cos x+1）的导数是（）A．cos2x﹣cos x B．cos2x+cos x C．cos2x+sin x D．cos2x+cos x 10．（5分）曲线y＝e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2B．2e2C．e2D．e211．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f（﹣1）＜f（lgx）的解集是（）A．（0，10）B．（，10）C．（，+∞）D．（0，）∪（10，+∞）12．（5分）函数f（x）＝2x+lnx2的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝，则f（﹣3）＝．14．（5分）若z＝4+3i，则＝．15．（5分）圆的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π），若Q（﹣2，2）是圆上一点，则对应的参数θ的值是．16．（5分）若曲线y＝x4的一条切线l与直线x+4y﹣8＝0垂直，则l的方程为．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知f（x）为定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈[﹣2，0]时，函数解析式（a∈R）．（1）写出f（x）在[0，2]上的解析式；（2）求f（x）在[﹣2，2]上的值域．19．（12分）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c在x＝1及x＝2时取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．20．（12分）为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．下列的临界值表供参考：（参考公式：）21．（12分）在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+alnx（a∈R）（1）若f（x）在[1，e]上是增函数，求a的取值范围；（2）若a＝1，a≤x≤e，证明：f（x）x3．2016-2017学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，∴∁U A＝{2，4，7}．故选：C．2．【解答】解：复数＝＝＝2﹣i故选：B．3．【解答】解：函数的定义域是：{x|}，解得{x|1}．故选：C．4．【解答】解：A，y＝ln（x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A正确；B，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除BC，在R上为减函数；排除CD，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D故选：A．5．【解答】解：∵y＝log3x是增函数，∴log34＞log33＝1；∵是减函数，∴，∵，∴．故选：A．6．【解答】解：对于①，“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y＝0．它是真命题．对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．对于③，若q≤1，则△＝4﹣4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q＝0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．故选：B．7．【解答】解：因为f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．8．【解答】解：由f（a•b）＝f（a）+f（b），得f（36）＝f（6）+f（6）＝2f（6）＝2[f（2）+f（3）]＝2（p+q），故选：B．9．【解答】解：∵y＝sin x（cos x+1）∴y′＝cos x（cos x+1）+sin x（﹣sin x）＝cos2x+cos x﹣sin2x＝cos2x+cos x故选：B．10．【解答】解析：依题意得y′＝e x，因此曲线y＝e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y﹣e2＝e2（x﹣2），当x＝0时，y＝﹣e2即y＝0时，x＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S＝×e2×1＝．故选：D．11．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（|x|），因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．故选：D．12．【解答】解：当x＝﹣1时，函数f（﹣1）＝2﹣1+ln（﹣1）2＝，对应点的坐标在第二象限，排除B、C、D；故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．【解答】解：函数f（x）＝，故f（﹣3）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝1+1＝2，故答案为2．14．【解答】解：z＝4+3i，则＝＝﹣i．故答案为：﹣i．15．【解答】解：根据题意，圆的参数方程为，若Q（﹣2，2）是圆上一点，则有，即，又由0≤θ＜2π，解可得θ＝；故答案为：．16．【解答】解：与直线x+4y﹣8＝0垂直的直线l与为：4x﹣y+m＝0，即y＝x4在某一点的导数为4，而y′＝4x3，∴y＝x4在（1，1）处导数为4，故方程为4x﹣y﹣3＝0．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤.17．【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，解得x＞10，或x＜﹣2，记A＝{x|x＞10，或x＜﹣2}．q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B＝{x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而非p是q的充分不必要条件，而¬p⇒q，∴A⊊B，∴，∴0＜a≤3．18．【解答】解（1）∵f（x）为定义在[﹣2，2]上的奇函数，且f（x）在x＝0处有意义，∴f（0）＝0，即f（0）＝a＝0．∴a＝0．设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]．∴f（﹣x）＝．又∵f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝．∴f（x）＝．x∈[0，2]．（2）当x∈[0，2]，f（x）＝，∴f（x）max＝f（2）＝1∵f（x）是奇函数，f（x）的值域为[﹣1，1]．19．【解答】解：（1）方法一：∵函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c，求导，f′（x）＝6x2+6ax+3b．∵函数f（x）在x＝1及x＝2时取得极值，则，则，∴，解得．∴f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．经验证当a＝﹣3，b＝4时，函数f（x）在x＝1及x＝2时取得极值．∴a＝﹣3，b＝4；方法二：由函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c，求导，f′（x）＝6x2+6ax+3b．∵函数f（x）在x＝1及x＝2时取得极值，则1，2是方程6x2+6ax+3b＝0的两个根，则，则a＝﹣3，b＝4，f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．经验证当a＝﹣3，b＝4时，函数f（x）在x＝1及x＝2时取得极值．∴a＝﹣3，b＝4；（2）由（1）可知：f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．令f′（x）＝0，解得x＝1，2，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，故函数f（x）在区间[0，1），（2，3]上单调递增；在区间（1，2）上单调递减．∴函数f（x）在x＝1处取得极大值，且f（1）＝5+8c．而f（3）＝9+8c，∴f（1）＜f（3），∴函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）＝9+8c．对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2，x∈[0，3]⇔9+8c＜c2，由c2﹣8c﹣9＞0，解得c＞9或c＜﹣1．∴c的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．20．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%．（2）由列联表中数据，得K2观测值为k＝≈9.967．由于9.967＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关．21．【解答】解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ＝4cosθ可化为ρ2＝4ρcosθ．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4＝0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△＝16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2＝﹣4（sinα+cosα），t1t2＝4．∴|PM|+|PN|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝4|sinα+cosα|＝，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．22．【解答】解：（1），且在[1，e]上是增函数，∴≥0恒成立，即a≥﹣x2在[1，e]上恒成立，∴a≥﹣1 …（6分）（2）证明：当a＝1时，f（x）＝，x∈[1，e]，令F（x）＝f（x）﹣，∴，∴F（x）在[1，e]上是减函数，∴．∴x∈[1，e]时，．…（12分）。
2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，则∁U M（）A．{3，5，6}B．{1，3，5}C．{2，5，6}D．U2．（5分）在区间（0，+∞）不是单调递增函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝C．y＝3x2+1D．y＝x2+2x+1 3．（5分）函数y＝log2（1+x）+的定义域为（）A．（﹣1，3）B．（0，3]C．（0，3）D．（﹣1，3] 4．（5分）为了得到函数y＝sin2x，x∈R的图象，只需把y＝sin（2x+），x∈R的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．（5分）已知函数f（x）＝，其中a＞0且a≠1，若f（﹣1）＝f（1），则log a b＝（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）设x，y均为正实数，则当（+）（4x+y）取得最小值时，＝（）A．B．C．2D．37．（5分）若实数x，y满足：，则z＝2x+y的最小值是（）A．0B．﹣1C．﹣3D．38．（5分）三边长分别为1，1，的三角形的最大内角的正弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）函数f（x）＝log2（x+1）﹣x2的零点个数为（）A．0B．1C．2D．310．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为（）A．4B．C．8D．11．（5分）已知数列{a n}满足log2a n+1＝log2a n+1（n∈N+），且a2+a4+a6＝4，则a5+a7+a9的值是（）A．32B．C．8D．﹣812．（5分）已知非零向量、满足向量+与向量﹣的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（）A．||＝||B．＝C．⊥D．∥二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（2，3），＝（m，2m﹣1），若向量与共线，则实数m＝．14．（5分）若cosθ＝﹣，tanθ＞0，则sinθ＝．15．（5分）已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y＝f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，则实数k的值是．16．（5分）如图是某学院抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为20，则抽取的学生人数为．三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面P AD．18．（12分）已知＝（cos+sin，sin），＝（sin﹣cos，2cos），（1）设f（x）＝•，求f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最值；（2）设x1，x2为f（x）＝在（π，3π）内的两个实数根，求x1+x2的值．19．（12分）某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校的600名师生进行调查，统计结果如下：在这600名师生中随机抽取1人，这个人“赞成改革”且是学生的概率为0.4，已知y＝z （1）现从这600名师生中用分层抽样的方法抽取60人进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生的人数各是多少？（2）在（1）中抽取的“不赞成改革”的教师中（甲在其中），随机选出2人进行座谈，求教师甲被选中的概率．20．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象：（1）画出函数f（x）在y轴右侧图象，并写出函数f（x）（x∈R）的单调递增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2（x∈[0，2]），求函数g（x）的最大值．21．（12分）已知等差数列{a n}满足：a5＝9，a2+a6＝14．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．22．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1交于M，N点．（1）求k的取值范围；（2）若•＝24，其中O为坐标原点，求k的值．2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，∴∁U M＝{2，5，6}，故选：C．2．【解答】解：对于A，y＝3x﹣1在定义域R上是单调增函数，不满足题意；对于B，y＝在区间（0，+∞）上是单调递减函数，满足题意；对于C，y＝3x2+1在区间[0，+∞）上是单调递增函数，不满足题意；对于D，y＝x2+2x+1在区间[﹣1，+∞）是单调递增函数，不满足题意．故选：B．3．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即﹣1＜x≤3，即函数的定义域为（﹣1，3]，故选：D．4．【解答】解：由于把函数y＝sin2x，x∈R的图象向左平移个单位，可得y＝sin2（x+）＝sin（2x+）的图象，故为了得到函数y＝sin2x，x∈R的图象，只需把y＝sin（2x+），x∈R的图象上所有点向右平移个单位长度即可，故选：D．5．【解答】解：∵函数f（x）＝，其中a＞0且a≠1，f（﹣1）＝f（1），∴﹣1+a＝b﹣1，∴a＝b，∴log a b＝1．故选：C．6．【解答】解：∵x，y均为正实数，则（+）（4x+y）＝5++≥5+2＝9，取得最小值9时，＝2．故选：C．7．【解答】解：画出，可行域，得在直线x﹣y+2＝0与直线x+y＝0的交点A（﹣1，1）处，目标函数z＝2x+y的最小值为﹣1．故选：B．8．【解答】解：设三边长分别为1，1，的三角形的最大内角为θ，则由余弦定理可得cosθ＝＝﹣，∴θ＝120°，∴sinθ＝sin120°＝sin60°＝，故选：C．9．【解答】解：函数f（x）＝log2（x+1）﹣x2的零点个数，即函数y＝log2（x+1）的图象和函数y＝x2（图中红色曲线）的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y＝log2（x+1）的图象和函数y＝x2的图象的交点个数为2，故选：C．10．【解答】解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥，所以三棱锥的体积为：＝．故选：B．11．【解答】解：∵数列{a n}满足log2a n+1＝log2a n+1（n∈N+），∴2a n＝a n+1＞0．∴数列{a n}是公比为2的等比数列．∵a2+a4+a6＝4，则a5+a7+a9＝23（a2+a4+a6）＝8×4＝32，故选：A．12．【解答】解：∵向量与向量的夹角为，所以，即，∴，即，故选：A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：向量＝（2，3），＝（m，2m﹣1），若向量与共线，可得：3m＝4m﹣2，解得m＝2故答案为：2．14．【解答】解：∵cosθ＝﹣，tanθ＞0，∴θ在第三象限，∴sinθ＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．15．【解答】解：∵函数y＝f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，∴只有一个x的值，使f（x2）+f（k﹣x）＝0，∵函数f（x）是奇函数，∴只有一个x的值，使f（x2）＝f（x﹣k），又函数f（x）是R上的单调函数，∴只有一个x的值，使x2＝x﹣k，即方程x2﹣x+k＝0有且只有一个解，∴△＝1﹣4k＝0，解得：k＝．故答案为：．16．【解答】解：前3个小组的频率和为1﹣（0.0375+0.0125）×5＝0.75，所以第2小组的频率为×0.75＝0.25；所以抽取的学生人数为：＝80．故答案为：80三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）17．【解答】证明：（1）在△P AD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴EF∥PD．又∵EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD∴直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．在△ABD中，∵AB＝AD，∠BAD＝60°．即两底角相等并且等于60°，∴△ABD为正三角形．∵F是AD的中点，∴BF⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面P AD．又∵BF⊂平面EBF，∴平面BEF⊥平面P AD．18．【解答】解：（1）f（x）＝•＝（cos+sin）•（sin﹣cos）+sin•2cos，＝sin2﹣cos2+2sin cos，＝sin x﹣cos x，＝sin（x﹣），由T＝＝2π，x∈[0，]，x﹣∈[﹣，]，由正弦函数图象可知f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，f（x）在区间[0，]上的最大值为1，最小值为﹣1；（2）f（x）＝，即sin（x﹣）＝，x1﹣，x2﹣关于x＝+2kπ（k∈Z）对称，由x1，x2∈（π，3π），x1﹣，x2﹣关于x＝+2π对称，由正弦函数图象可知：x1+x2＝（+2π）×2+×2＝，∴x1+x2＝．19．【解答】解：（1）∵这600名师生中随机抽取1人，这个人“赞成改革”且是学生的概率为0.4，∴＝0.4，∴x＝240∴y+z＝100；又因为y＝z，所以y＝40，z＝60．∴应抽取的教师人数为×40＝4人；应抽取的教师人数为×60＝6人；（2）在（1）中抽取的“不赞成改革”的教师4人中，随机选出2人进行座谈，有＝6种，教师甲被选中，有＝3种，∴教师甲被选中的概率为．20．【解答】解：（1）根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，画出函数f（x）在y轴右侧图象，函数f（x）（x∈R）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（0，1）；（2）函数f（x）（x∈R）的解析式f（x）＝；（3）x∈[0，2]，函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2＝﹣x2+2x﹣2ax+2＝﹣[（x﹣（a﹣1）]2+3﹣2a+a2，a﹣1＜0，即a＜1，g（x）max＝g（0）＝2；0≤a﹣1≤2，即1≤a≤3，g（x）max＝g（a﹣1）＝；3﹣2a+a2，a﹣1＞2，即a＞3，g（x）max＝g（2）＝﹣4a+2．21．【解答】解：（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，则由a5＝9，a2+a6＝14，得…（2分）解得…（4分）所以{a n}的通项公式a n＝2n﹣1．…（6分）（2）由（1）知a n＝2n﹣1，所以．…（8分）…（10分）＝…（12分）22．【解答】解：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y＝kx+1，即：kx﹣y+1＝0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（3，4），半径R＝1．若过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1交于M，N点，故圆心C到直线kx﹣y+1＝0的距离d ＝＝＜1，平方得9k2﹣18k+9＜1+k2，即8k2﹣18k+8＜0，即4k2﹣9k+4＜0，得＜k ＜．（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝kx+1，代入圆C的方程（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，可得（1+k2）x2﹣6（k+1）x+17＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∴y1•y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝•k2+k •+1＝，由•＝x1•x2+y1•y2＝+＝24，解得k＝1，第11页（共12页）故直线l的方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|＝2．第12页（共12页）。
吉林省长春外国语学校10-11学年高二数学下学期期末考试文(人教版B版)
吉林省长春外国语学校10-11学年高二数学下学期期末考试 文第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卡的指定位置.1．集合},2,0{a A =，},1{2a B =，若}16,4,2,1,0{=B A ，则a 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 42．复数ii--13等于（ ） A. i +1 B. i 21- C, i +2 D. i -23．将函数x y sin =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得到的函数图象的解析式是（ ） A. 1)4sin(++=πx y B. 1)4sin(-+=πx yC. 1)4sin(+-=πx y D. 1)4sin(--=πx y 4．一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均为边长为2的正方形，侧视图为腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ） A. 8 B. 4 C.38 D. 34正视图 侧视图 俯视图5．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x 则y x z 2+=的最小值是（ ）A. 0B.21C. 1D. 2 6．若向量b a ,满足1||||==b a ，a 与b 的夹角为600，则)(b a a +⋅的值为（ ）A.21 B. 23C. 231+D. 27．已知}{n a 为等差数列，105531=++a a a ，99642=++a a a ，则20a 等于（ ） A. 1- B. 1 C. 3 D. 78．下列曲线中离心率为26的是（ ） 高二文科数学试卷 第1页（共4页）A. 14222=-y xB. 16422=+y xC. 12422=-y xD. 110422=+y x 9．“0>x ”是“0≠x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件10．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随意抽取2张，则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A.31 B. 21 C. 32 D. 43 11．设1>a ，函数x x f a log )(=在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21， 则实数a 的值为（ ）A. 2B. 2C. 22D. 412．函数x x y +=331在点)34,1(处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. 91 B. 92 C. 31 D. 32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填在答题卡的指定位置.13．函数x x x f ---=432)(的定义域为______________________.14．圆心为（1，1）且与直线4=+y x 相切的圆的标准方程为 _________________. 15．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，直线x y =与抛物线C 相交于A,B 两点，若)2,2(p 是AB 的中点，则抛物线C 的方程为_______________. 16．程序框图如下图所示，其输出的结果是__________________________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知)sin(2)(x x f -=πsin )2(x -π.（1）求)(x f 的最小正周期.（2）若A,B,C 是锐角△ABC 的内角，其对边分别是c b a ,,，且23)2(=Bf ，ac b =2试判断△ABC 的形状.高二文科数学试卷 第2页（共4页）18．（本小题满分12分）等比数列}{n a 中，21=a ，164=a .（1）求数列}{n a 的通项公式.（2）若 53,a a 分别是等差数列}{n b 的第三项和第五项，试求数列}{n b 的通项公式及前n 项和n S .19．（本小题满分12分）编号分别为1621,,A A A 的16名篮球运动员在某次比赛中得分记录如下；（Ⅱ）从得分在区间)30,20[内的运动员中随机抽取2人. (1)用运动员编号列出所有可能的抽取结果；(2)求这两人得分之和大于50的概率.20．（本小题满分12分）如图在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4,点D 是AB 的 中点.(1) 求证： AC ⊥BC 1(2) 求证：AC 1∥平面CDB 1(3) 求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值.C 11A 1BA21．（本小题满分12分）高二文科数学试卷 第3页（共4页）已知函数c bx ax x x f +++=3)(23，)0(≠b 且2)()(-=x f x g 为奇函数.（1）求c a ,的值.（2）求函数)(x f 的单调区间 22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：1222=+y mx （常数1>m ），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0).（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标. （2）若3=m ,求|PA|的最大值与最小值.（3）若|PA|最小值为|MA|，求实数m 的取值范围.高二年级期末文科数学试卷答题卡一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2020-2021学年吉林省长春外国语学校高二下学期期末考试数学(理)试卷及答案
2020-2021学年吉林省长春外国语学校高二下学期期末考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含卷答案)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{0,1,2,3,4,5}A =，{2,4,6}B =，则集合A B =（ ） A ．{2,4,6} B ．{0,1,2,3,4,5}C ．{2,4}D ． {0,1,2,3,4,5,6}2. 若复数cossin33z i ππ=+，则2z =（ ）A ．1322i +B ．1322i - C ．22cossin 33i ππ+ D ，22sin cos 33i ππ+ 3. “0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是（ ）A ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x >B ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤ 4. 已知函数，则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．5. 设,a b 是非零实数，若a b >，则一定有（ ）A ．11a b < B ．2a ab > C ．2211ab a b > D ．11a b a b->- 6. 余弦函数是偶函数，2()cos(1)f x x =+是余弦函数，因此2()cos(1)f x x =+是偶函数，以上推理（ ）A ．结论不正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 7. 若圆01242222=-++-+a y ax y x 上存在到直线0234=--y x 的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2921[,]44-B ．91[,]44-C ．91(,][,)44-∞-+∞D ．2921(,][,)44-∞-+∞8. 若样本123111,1,,,n x x x x ++++的平均数是12，方差是5，则对样本123222,2,,,n x x x x ++++，下列结论正确的是 （ ）A ．平均数为14，方差为5B ．平均数为13，方差为25C ．平均数为13，方差为5D ．平均数为14，方差为29. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ，b 的值分别为84，48，则输出的a 的值为（ ）A ．8B ．12C ．24D ．3610. 已知a R ∈，则“2a ≤”是“()2ln f x x x ax =+-在()0,∞+内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11. 某校有6间不同的自习室，由于某种原因，每天晚上至多开放3间，则甲乙两名同学恰好在同一间自习室自习的情况有（ ）种. A ．41 B ．63 C ．96 D ．11212. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，x R ∀∈都有()()0f x f x +-=，且在 (0,)+∞上()1f x '>，若(2)()2(1)f a f a a -->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,2) C ．(1,)+∞ D ．(1,3)-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）＝（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）“”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知，则cos2x＝（）A．B．C．D．5．（5分）△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．5B．C．D．6．（5分）曲线在x＝1处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数8．（5分）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（）A．（19+π）cm2B．（22+4π）cm2C．（10+6+4π）cm2D．（13+6+4π）cm29．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（）A．2B．8C．4D．1011．（5分）正项等比数列{a n}中，a2017＝a2016+2a2015．若a m a n＝16a12，则+的最小值等于（）A．1B．C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（3，m），且，则m＝．14．（5分）若实数x，y满足线性约束条件，则z＝3x+2y的最大值为；15．（5分）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为．三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求的值；（2）若，b＝2，求△ABC的面积．18．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC 的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．20．（10分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．21．（12分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx+1与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若，求实数k的值．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2．（1）若，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a的值．2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}故选：A．2．【解答】解：原式＝2﹣1+3i＝1+3i．故选：B．3．【解答】解：若数列{a n}是等比数列，根据等比数列的性质得：，反之，若“”，当a n＝0，此式也成立，但数列{a n}不是等比数列，∴“”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．4．【解答】解：tan（π﹣x）＝﹣tan x＝，∴tan x＝﹣，∴cos2x＝cos2x﹣sin2x＝＝＝＝．5．【解答】解：∵a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴由三角形的面积公式得：S＝ac sin B＝×1×c×＝2，∴c＝4，又a＝1，cos B＝，根据余弦定理得：b2＝1+32﹣8＝25，解得b＝5．∴△ABC的外接圆的直径为＝＝故选：B．6．【解答】解：曲线在x＝1处的切线的斜率就等于函数在x＝1处的导数，由于y′＝x2﹣2，故函数在x＝1处的导数等于﹣1．设切线的倾斜角是α，0≤α＜π，由tanα＝﹣1 可得α＝，故选：B．7．【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：B．8．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，（也可以看成是一个三棱柱与半圆柱的组合体），其底面面积S＝×2×2+π＝（2+π）cm2，底面周长C＝2++＝（2+2+π）cm，柱体的高为3cm，故几何体的表面积S＝2×（2+π）+（2+2+π）×3＝（10+6+4π）cm2，9．【解答】解：由题意可知A＝2，T＝4（﹣）＝π，ω＝2，因为：当x＝时取得最大值2，所以：2＝2sin（2×+φ），所以：2×+φ＝2kπ+，k∈Z，解得：φ＝2kπ﹣，k∈Z，因为：|φ|＜，所以：可得φ＝﹣，可得函数f（x）的解析式：f（x）＝2sin（2x﹣）．故选：D．10．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，∴D＝﹣2，E＝4，F＝﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0，令x＝0，可得y2+4y﹣20＝0，∴y＝﹣2±2，∴|MN|＝4．故选：C．11．【解答】解：根据题意，设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，若a2017＝a2016+2a2015，则q2＝q+2，解可得q＝2或a＝﹣1（舍）若a m a n＝16a12，则有（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）＝16a12，则有m+n＝6，则+＝×（m+n）（+）＝（5++）≥＝；即+的最小值等于，故选：C．12．【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）＝为减函数，又∵g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）＝＝0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（3，m），且，∴＝﹣6+3m＝0，解得m＝2．故答案为：2．14．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x+z，联立，解得A（2，1），由图可知，当直线过A时目标函数有最大值为z＝3×2+2×1＝8．故答案为：8．15．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3＝0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：＝，所以|AB|＝2＝2．故答案为：2．16．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱P A、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：＝4所以球的直径是4，半径为2，球的体积：＝．故答案为：．三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）17．【解答】解：（1）∵＝＝，∴cos A sin B﹣2sin B cos C＝2cos B sin C﹣sin A cos B，∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin B cos C+2cos B sin C，∴sin（A+B）＝2sin（B+C），∴sin C＝2sin A，∴＝2；（2）由（1）可得c＝2a，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴4＝a2+4a2﹣a2，解得a＝1，则c＝2，∵cos B＝，∴sin B＝，∴S＝ac sin B＝×1×2×＝．18．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，∴3+3d＝12，解得d＝3，∴a n＝3+（n﹣1）×3＝3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3＝＝＝8，∴q＝2，∴b n﹣a n＝（b1﹣a1）q n﹣1＝2n﹣1，∴b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．（2）由（1）知b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×＝2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．19．【解答】（1）证明：∵AB＝BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴OA＝OB＝OC，∵P A＝PB＝PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC＝0，∴PO⊥平面ABC；（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO＝，在△COM中，OM＝＝．＝××＝，S△COM＝＝．设点C到平面POM的距离为d．由V P﹣OMC＝V C﹣POM⇒，解得d ＝，∴点C到平面POM 的距离为．20．【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p ＝＝．（2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）°C时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20°C时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20°C的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P ＝．21．【解答】解：（I）设圆C（a，a）半径r．因为圆经过A（﹣2，0），B（0，2）所以：|AC|＝|BC|＝r，解得a＝0，r＝2，所以C的方程x2+y2＝4．（II）方法一：因为，，所以，，∠POQ＝120°，所以圆心到直l：kx﹣y+1＝0的距离d＝1，，所以k＝0．第11页（共13页）方法二：P（x1，y1），Q（x2，y2），因，代入消元（1+k2）x2+2kx﹣3＝0．由题意得△＝4k2﹣4（1+k2）（﹣3）＞0且和因为，又y1•y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，所以，化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）＝0，所以：k2＝0即k＝0．22．【解答】（1）证明：当时，，f''（x）＝e x﹣x，令u（x）＝e x﹣x﹣1，则u（0）＝0．u′（x）＝e x﹣1≥0（x≥0）．∴当x≥0时，u（x）≥u（0）＝0，则f'（x）在[0，+∞）上单调递增，则f'（x）≥f'（0）＝e0﹣0＝1．∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝e0﹣0＝1，即f（x）≥1．（2）解：当x∈（0，+∞），令f（x）＝0，则e x﹣ax2＝0，．令，x∈（0，+∞），则，令，则x＝2．当x∈（0，2）时，g'（x）≤0，g（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，g'（x）≥0，g（x）单调递增；∴当x＝2时，，∵f（x）在（0，+∞）只有一个零点，∴．第12页（共13页）第13页（共13页）。
【解析】吉林省长春外国语学校2017-2018学高二下学期期末考试数学(文)试题
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角.
详解：因为 ，所以
所以曲线 在 处的切线的斜率为
因此倾斜角是 ，
选B.
7. 已知函数 ，则 ( )
A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数
因为 ，所以 ，
因此
当且仅当 时取等号
选
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为 （ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由三角形面积公式可得 ，再由余弦定理可得 ，最后结合正弦定理即可得结果.
详解：根据三角形面积公式得， ，得 ，则 ，即 ， ，故正确答案为C.
点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.
2016-2017学年吉林省长春外国语学校高二下学期期末考试数学试题 解析版
长春外国语学校2016-2017学年第二学期期末考试高二年级数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A＝( )A. {1,3,5,6}B. {2,3,7}C. {2,4,7}D. {2,5,7}【答案】C【解析】试题分析：集合A的补集为全集中除去集合A中的元素，剩余的元素构成的集合，所以∁U A＝{2，4，7}考点：补集运算2.是虚数单位，复数＝( )A. B. C. D.【答案】B【解析】,故选B.3. 函数的定义域是 ( )A. [0，)B. [0，]C. [1，)D. [1，]【答案】C【解析】要使函数有意义，需满足,解得,则函数的定义域为，故选C.4. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A. y＝ln(x＋2)B. y＝C. y＝D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数和函数在区间上为减函数；函数在区间上先减后增的函数，故选A．考点：函数的单调性．5. 下列关系式中，成立的是 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，,，则成立，故选B.6. 有下列四个命题：(1)若 , 则互为相反数”的逆命题；(2)全等三角形的面积相等”的否命题；(3)“若 ,则有实根”的逆否命题；(4)不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A. (1)(2)B. (2)(3)C. (1)(3)D. (3)(4)【答案】C【解析】试题分析：①的逆命题为若互为相反数，则，故正确;②的否命题是面积相等的三角形的两个三角形是全等三角形；③，则，所以原命题正确，根据等价性，其逆否命题正确；④逆命题：三角形的三个内角相等，则三角形是不等边三角形．不正确．故选①③．考点：四种命题7. 函数的零点所在的一个区间是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，故函数的零点所在的一个区间是，选C考点：零点存在定理8. 已知函数满足且则等于（）A. B. C. D.【解析】∵，，， ∴故选A.9. 函数y ＝的导数是 ( )A. B.C.D.【答案】C【解析】由求导公式可得：，故选C. 10. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．解析：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点A（2，e 2）处的切线的斜率等于e 2，相应的切线方程是y-e 2=e 2（x-2），当x=0时，y=-e 2，即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：，故答案为D.考点：线的方程、三角形的面积、导数的几何意义点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．11. 若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg x )的解集是 ( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】∵偶函数在内单调递减，∴在内单调递增，则不等式等价于，∴或∴或，∴不等式的解集是，点睛：本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题；由于偶函数在内单调递减故在内单调递增，利用函数的性质可得等价于，从而解得的范围.12. 函数f(x)＝2x＋ln x2的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，单调递增，故排除B、C；，故排除D；故选A.点睛：本题主要考查了由函数的解析式确定函数的图象，注重对基础的考查，难度一般；最常用的方法之一为排除法，主要通过函数常见的基本性质即函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等与图象的关系，以及在特殊点处函数的符号，其中包括和等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 函数，则_________.【答案】2【解析】由题意知14. 若z＝4＋3i，则＝_________.【答案】【解析】由得：,,则，故答案为.15. 圆的参数方程为 (θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2,2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是_________.【答案】【解析】根据题意，圆的参数方程为（为参数，），若是圆上一点，则有，，解可得，则，故答案为.16. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为______________.【答案】考点：导数的几何意义与两直线的位置关系，直线方程的几种形式．三、解答题：共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤.17. 已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围【答案】.【解析】试题分析：，，，，是的真子集，通过数轴，确定参数的取值范围．则利用充要条件求参数的取值范围，关键是合理的转化条件，准确的将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验，其思维方式是（1）若是的充分不必要条件，则且不能推出；（2）若是的必要不充分条件，则不能推出且；（3）是的充要条件，则．试题解析：解：而，即考点：充分、必要条件．18. 已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式．(1)写出f(x)在上的解析式；(2)求f(x)在上的值域．【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）利用，求出，结合时，函数解析式，可得在上的解析式；（2）配方，结合奇偶性即可得其值域.试题解析：(1)∵f(x)为定义在上的奇函数，且f(x)在x＝0处有意义，∴f(0)＝0，即f(0)＝a＝0.∴a＝0.设x∈[0,2]，则－x∈[－2,0]．∴f(－x)＝.又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝.∴f(x)＝.(2)当x∈[0,2]，f(x)＝，∴∵是奇函数,的值域为.19. 设函数在及时取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．【答案】（1），；（2）或.【解析】试题分析：（1）先求函数的导数，根据极值点处的导数值为0列方程组，从而求出a、b的值；（2）先由（1）结论根据函数的导函数求上的单调性，求此区间上的最大值，让最大值小于，从而解不等式可得解.试题解析：（1），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（6分）（2）由（1）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．（12分）因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为．（16分）考点：1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的极值及最值；3、解不等式.20. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关？附：P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由列联表可知调查的位老年人中有位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值；（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.试题解析：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.(2)由列联表中数据，得K2观测值为k＝≈9.967.由于9.967＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关．点睛：本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力；解题步骤：（1）认真读题，取出相关数据，作出列联表；（2）根据列联表中的数据，计算的观测值；（3）通过观测值与临界值比较，得出事件有关的可能性大小．21. 在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为.(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．【答案】（1）；（2）...................试题解析：(1)直线l的参数方程为(t为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C：x2＋y2＝4x.(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，则有∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)，所以α∈，t1<0，t2<0.而|PM|＋|PN|＝＋＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝4(sin α＋cos α)＝4sin.∵α∈，∴α＋∈，∴<sin≤1，所以|PM|＋|PN|的取值范围为(4,4]．22. 已知函数．(1)若在上是增函数，求的取值范围；(2)若,证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，函数递增转化为≥0恒成立，利用分离参数思想可得结果；（2）令，利用导数判断其单调性，证其最大值成立即可.试题解析：(1)∵ ,且在[1,e]上是增函数,∴≥0恒成立，即在[1,e]上恒成立, ∴a≥1（2）证明：当a=1时，x∈[1,e]．令F(x)=,∴,∴F(x) 在[1,e]上是减函数，∴F(x)≤F(1)∴x∈[1,e]时， .点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.11。
2020-2021学年吉林省长春外国语学校高二下学期期末考试数学(理科)试题 (Word版含答案)
长春外国语学校2021-2021学年第二学期期末考试高二年级数学试卷(理科)出题人 ：本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
考前须知：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一卷一、选择题：此题共12小题，每题5分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.设集合{0,1,2,3,4,5}A =，{2,4,6}B =，那么集合AB =〔 〕A ．{2,4,6}B ．{0,1,2,3,4,5}C ．{2,4}D ． {0,1,2,3,4,5,6} 2. 假设复数cossin33z i ππ=+，那么2z =〔 〕A ．12+ B ．12- C ．22cos sin 33i ππ+ D ，22sin cos 33i ππ+ 3. “0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <〞的否认是〔 〕A ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x >B ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤ 4. 函数，那么的最大值为〔 〕 A ．1 B ．2 C ．0 D ．5. 设,a b 是非零实数，假设a b >，那么一定有〔 〕 A ．11a b <B ．2a ab >C ．2211ab a b >D ．11a b a b->-6. 余弦函数是偶函数，2()cos(1)f x x =+是余弦函数，因此2()cos(1)f x x =+是偶函数，以上推理〔 〕A ．结论不正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确7.假设圆01242222=-++-+a y ax y x 上存在到直线0234=--y x 的距离等于1的点，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A ．2921[,]44-B ．91[,]44-C ．91(,][,)44-∞-+∞D ．2921(,][,)44-∞-+∞ 8.假设样本123111,1,,,nx x x x ++++的平均数是12，方差是5，那么对样本123222,2,,,nx x x x ++++，以下结论正确的选项是 〔 〕A ．平均数为14，方差为5B ．平均数为13，方差为25C ．平均数为13，方差为5D ．平均数为14，方差为29.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术〞.执行该程序框图，假设输入a ，b 的值分别为84，48，那么输出的a 的值为〔 〕 A ．8B ．12 C ．24D ．3610. a R ∈，那么“2a ≤〞是“()2ln f x x x ax =+-在()0,∞+内单调递增〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.某校有6间不同的自习室，由于某种原因，每天晚上至多开放3间，那么甲乙两名同学恰好在同一间自习室自习的情况有〔 〕种. A ．41 B ．63 C ．96 D ．11212. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，x R ∀∈都有()()0f x f x +-=，且在(0,)+∞上()1f x '>，假设(2)()2(1)f a f a a -->-，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(,1)-∞B ．(1,2)C ．(1,)+∞D ．(1,3)-第二卷二、填空题：此题共4小题，每题5分。
【解析】吉林省长春外国语学校2017-2018学高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
长春外国语学校2017-2018学年第二学期期末考试高二年级数学试卷（文科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.B. D.【答案】A【解析】分析：根据并集定义求结果.选A.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．【答案】B【解析】分析：根据复数乘法法则求结果.选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、对应点为3. ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：由反例得充分性不成立，再根据等比数列性质证必要性成立.为等比数列，则.选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1”的真假．并注意和图示相结合，例如“3的必要条件；若件．4.B. C.【答案】D.选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）【答案】C果.，故正确答案为C.点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.6. （）B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角.在处的切线的斜率为因此倾斜角是，选B.7. 已知函数 ( )是偶函数，且在R上是增函数 B. R上是增函数R上是减函数 D. R上是减函数【答案】B【解析】所以该函数是奇函数，是增函数，是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B．用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数．8. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（）B.【答案】C本题选择C选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．9. 的部分图象如图所示，则函数（）D.【答案】B，所以选B.考点：三角函数解析式(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求10. ，，y轴于M，N两点，【答案】C【解析】分析：先根据三点坐标求圆方程，再根据垂径定理求弦长.选C.点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．11. ）【答案】D【解析】分析：先求公比，再得m,n关系式，最后根据基本不等式求最值.当且仅当时取等号选点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12. 内单调递减，则实数( )【答案】A0，2）内单调递减，0，2）内恒成立，0，2）内恒成立，0，2）内恒成立，所以二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量；【答案】2【解析】分析：根据向量垂直坐标表示得方程，解得m值.14. _____________；【答案】8【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数所表示直线，平移可得最大值取法.A（2，18.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. ；【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.2，，故答案为点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.16. 则此三棱锥的外接球的体积为_________.【解析】分析：先将三棱锥补成长方体，再根据长方体外接球直径等于长方体对角线长，计算球体积.，因此三棱锥的外接球的体积等于两两互相垂直，且三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,(1)(2)b＝2，求△ABC的面积S.【答案】（1（2【解析】试题分析：(1)先由正弦定理将已知条件中的角化为边，然后十字相乘展开整理，利（2）由（1）的值，再利用同角三角函数.试题解析：（1）由正弦定理，设所以=3分，所以分（2分由余弦定理， 9分，所以=. 12分考点：正弦定理；余弦定理；三角形面积公式；两角和与差的三角公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；运算求解能力18.比数列．（1）求数列（2）求数列【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n n项和。
吉林省长春外国语学校2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题文含解析
某某省某某外国语学校2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{2，4，6}B．{0，1，2，3，4，5，6}C．{2，4}D．{0，1，2，3，4，5}2．已知复数z＝（i为虚数单位），则的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．“∃x0∈[2，+∞），log2x0＜1”的否定是（）A．∀x∈[2，+∞），log2x≥1B．∀x∈（﹣∞，2），log2x＞1C．∃x0∈（﹣∞，2），log2x0≥1D．∃x∈[2，+∞），log2x≤14．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则f（x）的最大值为（）A．1B．2C．0D．5．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．a2＞abC．D．6．余弦函数是偶函数，f（x）＝cos（x2+1）是余弦函数，因此f（x）＝cos（x2+1）是偶函数，以上推理（）A．结论不正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确7．设圆C1：x2+y2＝1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含8．若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是12，方差是5，则对样本2+x1，2+x2，2+x3，…，2+x n，下列结论正确的是（）A．平均数为14，方差为5B．平均数为13，方差为25C．平均数为13，方差为5D．平均数为14，方差为259．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（）A．8B．12C．24D．3610．已知a∈R，则“a≤2”是“f（x）＝lnx+x2﹣ax在（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[﹣1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y＞的数对（x，y）共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的偶函数y＝f（x）的导函数为f'（x），函数f（x）满足：当x＞0时，x•f'（x）+f（x）＞1，且f（1）＝2020．则不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
吉林省长春外国语学校高二数学下学期期末考试试题理(2021年整理)
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考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）1。
设集合{}321，，=A ，{}432，，=B 则=B A ( )A. {}4321，，， B. {}321，， C 。
{}432，， D. {}431，，2.()()=++i i 21 ( ）A. i -1 B 。
i 31+ C. i +3 D. i 33+3。
数列{}n a 满足112+-=n n n a a a ),2(N n n ∈≥是数列{}n a 为等比数列的（ )A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D 。
既不充分也不必要条件4. 已知37tan(=-）x π，则cos2x = ( ）A 。
14- B.14 C 。
18- D.185. △ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为 （ ）A ． 5B ． 43 C. 52 D ．62 6。
曲线x x y 2313-=在1=x 处的切线的倾斜角是（ ） A 。
6π B. 43π C. 4πD 。
3π7.已知函数1()3()3x xf x =-，则（ ）A 。
)(x f 是偶函数，且在R 上是增函数 B. )(x f 是奇函数，且在R 上是增函数C. )(x f 是偶函数,且在R 上是减函数D. )(x f 是奇函数,且在R 上是减函数8。
吉林省长春高二下学期期末考试数学试题-含答案
长春外国语学校第二学期期末考试高二年级数学试卷（文科）出题人 ： 陈怡安 审题人：孟艳萍本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( )A ．{1,3, 5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ．{2,5,7} 2．i 是虚数单位，复数ii-131-＝( ) A ．i +2 B ．i -2 C ．i 21+- D ．i 21-- 3．函数)35lg(lg x x y -+=的定义域是 ( )A ． C ．4． 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( ) A ．y ＝ln(＋2) B ．y ＝1+-x C ．y ＝x )21( D ．x x y 1+=5．下列关系式中，成立的是 ( )A ．4log 5110log 3031>⎪⎭⎫⎝⎛>B ． 10log 514log 3103>⎪⎭⎫⎝⎛>C ．03135110log 4log ⎪⎭⎫⎝⎛>>D ．0331514log 10log ⎪⎭⎫⎝⎛>>6 有下列四个命题：(1)若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； (2)全等三角形的面积相等”的否命题；(3)“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； (4)不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ） A (1)(2)B (2)(3)C (1)(3)D (3)(4)7．函数2)(-+=x e x f x的零点所在的一个区间是 ( ) A ． )1,2(--B ．)0,1(-C ． )1,0(D ．)2,1(8．已知函数)(x f 满足)()()(b f a f b a f +=⋅且,)3(,)2(q f p f ==则)36(f 等于（ ） A. )(2q p + B. )(q p p + C. 22q p D. 22q p + 9．函数y ＝)1cos sin +x x （的导数是 ( )A ．x x cos 2cos -B ．x x sin 2cos +C ．x x cos 2cos +D ．x x cos cos 2+ 10．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.294eB. 22eC. 2eD. 22e11．若偶函数f ()在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg )的解集是 ( )A ．）（10,0B ）（10,101 C ）（+∞,101 D ),10(1010+∞Y ），（12．函数f ()＝2＋ln 2的图象大致为( )第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
吉林省长春外国语学校2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理
吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理本试卷共5页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生 信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共15小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合=A {}1,2,3,4， {|B x y ==，则=B A （ ）A. {}01,2， B. {}1,2 C. (02)， D. [0,2] 2. 若(1)1z i i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1BC ．2D ．43. 已知函数1()22xx f x =-（），则()f x （ ） A.是偶函数，且在R 上是增函数 B.是奇函数，且在R 上是增函数 C.是偶函数，且在R 上是减函数 D.是奇函数，且在R 上是减函数4. 角α的终边与单位圆交于点,则cos2α=（ ）A ．15 B ． -15C. 35 D ．35-5. 已知0.63a =,30.6b =,0.6log 3c =,则实数,,a b c 的大小关系是 ( )A ．a b c >>B ． b c a >> C. c b a >> D ．a c b >> 6. 已知向量|a b +|=||a b -，且2||||==b a ,则|2|a b -=（ ）A. B. 2 C. 7. 等差数列{}n a 中，3852=++a a a ，n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则=9S ( )A. 9B. 18C. 27D. 548.262()x x-的展开式中常数项为( ) A ．-240 B ．-160 C ．240 D ．160 9. 已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a b =或a b =-； ②3x ≤是3x ≤的充分不必要条件；③命题p ：0(0,2)x ∃∈，200230x x --<的否定是p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x -->；④“指数函数xy a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数” 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10.已知数据1x ，2x ，，5x ，2的平均值为2，方差为1，则数据1x ，2x ，，5x相对于原数据（ ）A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断 11.《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为8π、高为h ,则该容器外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．18πC ．36πD ．48π12．已知()R f x 为定义在上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，则(10)f 的值 为 ( )A. 0B. 2 C ．5 D ．1013．已知)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=，若将其图像右移）（0>ϕϕ个单位后,图象关于原点对称，则ϕ的最小值是 ( ) A.2π B. 6π C ．3πD ．4π14. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>,过其右焦点F 作斜率为2的直线，交双曲线的两条渐近线于,B C 两点()B 点在x 轴上方，则BFCF=（ ） A. 2 B.3C.D.15.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( )A. 1[,12）B. 1[,22）C. 1[,2]2D.1[,1]2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本题包括必考题和选考题两部分,第16-24题为必考题,每个考生都必须作答,第25-26题为选做题,考生根据要求作答.二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.16. 已知实数,x y 满足约束条件0401x y x y y ì-?ïï+-?íï³ïî，则z x y =-的最大值为_____________.17. 已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B 两点，若4||=AF ， 则点B 的坐标为 ．18. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时, 甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”； 丙说：“甲说的对”； 丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 . 19. 若函数a xx x f ++=1ln )(有且只有一个零点，则实数a 的值为__________.三、解答题：本题共6小题，20-24题每题12分，25-26题10分,选一题作答,解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.20.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C c A b B a cos 2cos cos =+. （1）求角C 的大小；（2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1cos 1=C a ，且1a ，3a ，7a 成等比数列， 求数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .21．为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞 赛。
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吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设集合{}321，，=A ,{}432，，=B 则=B A ( )A. {}4321，，， B. {}321，， C. {}432，， D. {}431，， 2.()()=++i i 21 ( )A. i -1B. i 31+C. i +3D. i 33+ 3. 数列{}n a 满足112+-=n n n a a a ),2(N n n ∈≥是数列{}n a 为等比数列的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知37tan(=-）x π,则cos2x = ( ) A.14-B.14C.18-D.185. △ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为 （ ） A ． 5 B ． 43 C. 52 D ．626.曲线x x y 2313-=在1=x 处的切线的倾斜角是（ ） A.6π B. 43π C. 4π D. 3π7. 已知函数1()3()3x xf x =-，则( )A. )(x f 是偶函数，且在R 上是增函数B. )(x f 是奇函数，且在R 上是增函数C. )(x f 是偶函数，且在R 上是减函数D. )(x f 是奇函数，且在R 上是减函数 8.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为 （ ）（8题图） （9题图） A ．()219πcm + B.()2224πcm + C ．()210624πcm ++D.()213624πcm ++9. 函数()()sin 0 0 2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ） A.()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.()2sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10. 过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN = ( )A ．26B ．8C ．46D ．10 11. 正项等比数列中，2017201620182a a a +=．若，则41m n+的最小值等于（ ）A ． 1B ． C.136D ． 3212. 设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -< 则使得()0f x >成立的x的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞第II 卷二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.已知向量()3,2-=a ，()m b ,3=，且ba ⊥，则=m ；14. 若实数x ， y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+x y x y x 2213，则y x z 23+=的最大值为________；15. 直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________；16. 已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5,7,2PA PB PC ===，则此三棱锥的外接球的体积为 . 三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）17．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .18. (12分) 已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．19. (12分)如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．20. (10分) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10，15）15，20） 20，25） 25，30） 30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．21. (12分)已知圆C 经过点)0,2(-A ,)2,0(B 且圆心C 在直线x y =上，又直线1:+=kx y l 与圆C 相交于P,Q 两点. （1）求圆C 的方程；（2）若2-=•OQ OP ，求实数k 的值.22. (12分)已知函数2)(ax e x f x-=．（1）若21=a ，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a 的值.长春外国语学校2017-2018学年第二学期期末考试高二年级数学答案（理科）一、 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A BBDCBBCBCDA二、填空题： 13. 2 14. 8 15. 22 15. 332π三、解答题：17.解：(1)由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab 得BAC B C A sin sin sin 2cos cos 2cos -=-B AC B C B B A cos sin sin cos 2cos sin 2sin cos -=-----------------2分C B C B B A B A cos sin 2sin cos 2sin cos cos sin +=+)sin(2)sin(C B B A +=+ 即A C sin 2sin =-------------------------------4分所以21sin sin =A C -------------------------------------------------------------------------------6分（2）由正弦定理及21sin sin =A C 得21=a c 即c a 2=由余弦定理：B ac c a b cos 2222-+=, 由41cos =B , c a 2=，2=b -----8分 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-+=412242222c c c c 解得 1=c ，则2=a --------------10分又由41cos =B ，π<<B 0，得：415sin =B ---------------------------------11分 所以 △ABC 的面积2154152121=⨯⨯⨯=S ----------------------------------------12分 18.解：（1）由{}n a 是等差数列，则⎩⎨⎧==12341a a 即 ⎩⎨⎧=+=123311d a a 解得⎩⎨⎧==331d a ----------------------------------------------------------------------------------------------2分 所以n n d n a a n 33)1(3)1(1=⨯-+=-+=------------------------------------------4分由{}n n a b -是等比数列，则834122011443=--=--=a b a b q ，所以2=q -----------6分所以12-=-n n n a b 则123-+=n n n b -------------------------------------------------------8分（2）设数列{}n b 的前n项和为nS ，则1223232-++=n n n n S ---------------------12分 19.（1）证明：连结OB因为 22,4===BC AB AC , 所以222BC AB AC +=, 则BC AB ⊥所以221==AC OB , 在三角形PAC 中，OC OA PC PA AC ====,4,则32=OP在三角形POB 中，222OB OP PB +=, 所以OB PO ⊥又因为OC OA PC PA ===, 所以AC PO ⊥所以 ⊥PO 平面ABC-------------------------------------------------------------------------------6分（2）解：取AO 中点D ，连结BD ，设点C 到平面POM 的距离为h ，由COM P POM C V V --=,则PO S h S COM POM ∆∆=3131 则POMCOM S POS h Λ∆=----------------------------------------8分5=BD , 352=OM , 所以31523523221=⨯⨯=∆POM S ---------10分34=∆COM S , 所以554=h -------------------------------------------------------------12分 20.解：（1）最高气温低于25时这种酸奶的需求量不超过300 则539036162=++=P ----------------------------------------------------------3分（2）当最高气温不低于25时，需求量为500，进货450瓶均可售出所以利润()90046450=-⨯=Y （元）-----------------------------------5分当最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶，进货450瓶只能售出300瓶 所以利润 ()()300300450246300=-⨯--⨯=Y （元）----------7分 当最高气温低于20，需求量为200瓶，进货450瓶只能售出200瓶所以利润 ()()300200450246200-=-⨯--⨯=Y （元）--------9分 当利润 0>Y 时，最高气温不低于20， 所以5490472536=+++=P 或者54901621=+-=P --------------10分21.解:（1）由已知，设圆心),(a a C ，则CB CA = 即()()222222-+=++a a a a 解得0=a ，所以圆心()0,0，半径为2=r圆的方程为422=+y x -----------------------------------------------4分 （2）设()()2211,,,y x Q y x P ， ⎩⎨⎧=++=4122y x kx y 得 ()4122=++kx x ，整理得()032122=-++kx x k()0112422>++=∆k k --------------------------------------------------------------6分22112k k x x +-=+； 22113k x x +-= -----------------------------8分()()22212115111k k kx kx y y +-=++=---------------------------------10分2152x 222121-=+--=+=•k k y y x OQ OP=k ------------------------------------------------------------------------------------12分 22.解：（1）当21=a 时，221)(x e x f x-=x e x f x -=')(， x e x f x -='')(，令0=-x e x 则0=x当0≥x 时，0)(≥''x f ，则)(x f '在[)+∞,0上单调递增，则10)0()(0=-='≥'e f x f所以)(x f 在[)+∞,0上单调递增，10)0()(0=-=≥e f x f ，即1)(≥x f ---------6分（2）当()+∞∈,0x ，令0)(=x f ，则02=-ax e x， 2xe a x=令2)(x e x g x=， ()+∞∈,0x342)2(2)(x x e x xe e x x g x x x -=-=' 令0)2()(3=-='xx e x g x ，则2=x 当()2,0∈x 时，0)(≤'x g ，)(x g 单调递减； 当()+∞∈,2x 时，0)(≥'x g ，)(x g 单调递增；所以当2=x 时，4)2()(2mine g x g ==，所以42e a =------------------------12分。
吉林省长春外国语学校2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)
吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共15小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={}1,2,3,4， {|B x y ==，则A B =I （ ）A. {}01,2， B. {}1,2C. (0)2，D. [0,2]【答案】B 【解析】 【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】B ＝{x |x ≤2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：B ．【点睛】本题考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.若(1)1z i +=（i 为虚数单位），则复数z 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】由z （1+i ）＝1，得z ()()111111122i i i i i -===-++-， ∴复数z 所对应的点的坐标为（12，12-），在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知函数1()22xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A. 是偶函数，且在R 上是增函数 B. 是奇函数，且在R 上是增函数 C. 是偶函数，且在R 上是减函数 D. 是奇函数，且在R 上是减函数【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得f （﹣x ）＝2x ﹣（12）x＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，由指数函数的性质可得y ＝（12）x在R 上为减函数，y ＝2x 在R 上为增函数，则函数f （x ）＝（12）x ﹣2x在R 上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝（12）x ﹣2x，有f （﹣x ）＝2x ﹣（12）x ＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，又由y ＝（12）x 在R 上为减函数，y ＝2x在R 上为增函数，则函数f （x ）＝（12）x ﹣2x 在R上为减函数， 故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题．4.若角α的终边与单位圆交于点(,则cos2α=（ ） A. 15B. 15-C.35D. 35-【答案】D 【解析】根据题意可得：sin 5α=，cos 5α=-2222325cos cos sin ααα⎛=-=-=- ⎝⎭⎝⎭故选D5.已知0.63a =,30.6b =,0.6log 3c =,则实数,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D.a cb >>【答案】A 【解析】 【分析】容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log 0.63＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log 0.63＜log 0.61＝0； ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记单调性是关键，是基础题6.已知向量|a r b +v|=||a b -r r ，且||||2a b ==r r ,则|2|a b -=r r （ ）A. B. 2C.【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量模的运算可得：a b r r ⋅=0，得 2a b -=r r 【详解】因为向量|a b +r r |a b =-r r ，所以a b rr ⋅=0，又2a b ==rr ，所以2a b -==r r故选：C ．【点睛】本题考查了平面向量模的运算，熟记运算性质是 关键，属基础题．7.等差数列{}n a 中，2583a a a ++=，n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则9S =( ) A. 9 B. 18C. 27D. 54【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质求得a 5，再由考查等差数列的前n 项和公式求S 9． 【详解】在等差数列{a n }中，由a 2+a 5+a 8＝3，得3a 5＝3，即a 5＝1． ∴S 9()19559299922a a a a+⨯⨯====．故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．8.已知实数,a b R +∈，且2a b +=则14a b+的最小值为( )A. 9B.92C. 5D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件可得()141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后利用基本不等式可求出最小值． 【详解】∵实数a ，b ∈R +，且a +b ＝2，∴()141141419552222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4b a a b =，即a 23=，b 43=时取等号， ∴14a b +的最小值为92． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和“1“的代换，考查了转化思想和计算能力，属基础题．9.已知四个命题：①如果向量a r 与b r 共线，则a b =r r或a b =-r r ；②3x ≤是3x ≤的充分不必要条件；③命题p ：0(0,2)x ∃∈，200230x x --<的否定是p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x -->；④“指数函数xy a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线定理可判断①；由充分必要条件的定义可判断②；由特称命题的否定为全称命题，可判断③；由指数函数的单调性可判断④．【详解】①，如果向量a r 与b r 共线，可得x a +r y 0b =r r ，不一定a b =r r 或a b =-r r ，故①错误；②，|x |≤3⇔﹣3≤x ≤3，x ≤3不能推得|x |≤3，但|x |≤3能推得x ≤3，x ≤3是|x |≤3的必要不充分条件，故②错误；③，命题p ：∃x 0∈（0，2），200230x x --＜的否定是￢p ：∀x ∈（0，2），x 2﹣2x ﹣3≥0，故③错误；④，“指数函数y ＝a x 是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数” 由于a ＞1时，y ＝a x为增函数，0＜a ＜1时，y ＝a x为减函数，此三段论大前提错误，但推理形式是正确的，故④正确．其中正确个数为1． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是向量共线定理和充分必要条件的判断、命题的否定和三段论，考查推理能力，属于基础题．10.已知数据1x，2x，L，5x，2的平均值为2，方差为1，则数据1x，2x，L，5x相对于原数据（）A. 一样稳定B. 变得比较稳定C. 变得比较不稳定D. 稳定性不可以判断【答案】C【解析】【分析】推导出数据x1，x2，…，x5的方差S215=[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2+（2﹣2）2]＞1，从而数据x1，x2，…，x5相对于原数据变得比较不稳定．【详解】∵数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，∴16[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2+（2﹣2）2]＝1，即16[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2]＝1，又数据x1，x2，…，x10的平均值为2，∴数据x1，x2，…，x10的方差S215=[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2]＞1，∴数据x1，x2，…，x5相对于原数据变得比较不稳定．故选：C．【点睛】本题考查方差的求法及应用，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为8π、高为h,则该容器外接球的表面积为（）A. 12πB. 18πC. 36πD. 48π【答案】C【解析】【分析】首先求出外接球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果【详解】根据已知条件，圆锥的底面积为8π，所以π•r 2＝8π，解得圆锥的底面半径为r =由题外接球球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球半径为R,则1322R h h h ==+=，解得32,32h R h =∴==所以表面积24(3)36S ππ=⋅⋅=．故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：组合体的外接球的半径的求法及应用，球的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，则(10)f 的值为 ( ) A. 0 B. 2C. 5D. 10【答案】A 【解析】 【分析】由已知求得函数的周期为4，可得f （10）＝f （2+8）＝f （2）＝0． 【详解】∵f （1+x ）＝f （1﹣x ），∴f （﹣x ）＝f （2+x ）， 又f （x ）为定义在R 上的奇函数，∴f （2+x ）＝﹣f （x ）， 则f [2+（2+x ）]＝﹣f （2+x ）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ）， 即f （4+x ）＝f （x ），∴f （x ）为以4为周期的周期函数，由f （1+x ）＝f （1﹣x ），得f （2）＝f （0）＝0， ∴f （10）＝f （2+8）＝f （2）＝0． 故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．13.已知()()sin f x x x x R =∈，若将其图像右移0ϕϕ>（）个单位后,图象关于原点对称，则ϕ的最小值是 ( ) A.2πB.6π C.3π D.4π 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【详解】∵f （x ）＝sin x x ＝2sin （x 3π+） （x ∈R ）， 若将其图象右移φ（φ＞0）个单位后，可得y ＝2sin （x ﹣φ3π+）的图象；若所得图象关于原点对称，则﹣φ3π+=k π，k ∈Z ，故φ的最小值为3π，故选：C ．【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>,过其右焦点F 作斜率为2的直线，交双曲线的两条渐近线于,B C 两点（B 点在x 轴上方），则BF CF=（ ）A. 2B. 3C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的离心率可得a ＝b ，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c ，0），过其右焦点F 作斜率为2的直线方程为y ＝2（x ﹣c ），联立渐近线方程，求得B ，C 的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值．【详解】由双曲线的离心率为2，可得c 2=a ，即有a ＝b ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，设右焦点为（c ，0），过其右焦点F 作斜率为2的直线方程为y ＝2（x ﹣c ）， 由y ＝x 和y ＝2（x ﹣c ），可得B （2c ，2c ），由y ＝﹣x 和y ＝2（x ﹣c ）可得C （23c ，23c-）， 设BF =u u u r λFC uuu r ，即有0﹣2c ＝λ（23c--0）， 解得λ＝3，即则BF CF=3．故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( ) A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1[,2]2D. 1[,1]2【答案】A 【解析】 【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n，进而S n的取值范围．【详解】∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y），∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1），即()()11nnf naa f n++==f（1）12=，∴数列{a n}是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n＝f（n）＝（12）n，∴S n11122112n⎛⎫-⎪⎝⎭==-1﹣（12）n∈[12，1）．故选：C．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）得到数列{a n}是等比数列，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.16.已知实数,x y满足约束条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y=-的最大值为_____________.【答案】2【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣y对应的直线进行平移并观察z的变化，即可得到z＝x﹣y的最大值．【详解】作出实数x，y满足约束条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（3，1），C（2，2）将直线l：z＝x﹣y进行平移，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值； ∴z 最大值＝2； 故答案为：2．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z ＝x ﹣y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．17.已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B 两点，若||4AF =，则点A的坐标为 _________． 【答案】(3,23或(3,23- 【解析】 【分析】如图所示，F （1，0）．由|AF |＝4，可得x A +1＝4，解得x A ，代入抛物线方程可得y A ．可得点A 的坐标．【详解】如图所示，F （1，0）． ∵|AF |＝4，∴x A +1＝4，解得x A ＝3．代入抛物线方程可得23A y =23A y =- 故点A 的坐标为(3,23或(3,23- 故答案为：(3,23或(3,23-【点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_____．【答案】甲 【解析】 试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．考点：逻辑推理．19.若函数1()ln f x x a x=++有且只有一个零点，则实数a 的值为__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】 将()1f x lnx a x =++有且只有一个零点问题转化成a ＝﹣lnx 1x -，两函数有一个交点，然后令g （x ）＝﹣lnx 1x-，对g （x ）进行单调性分析，即可得到g （x ）的大致图象，即可得到a的值．【详解】由题意，可知： 令()1f x lnx a x=++=0，即：a ＝﹣lnx 1x-，x ＞0． 可设g （x ）＝﹣lnx 1x-，x ＞0．则g ′（x ）22111xx x x-=-+=，x ＞0．①当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增； ②当x ＞1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；③当x ＝1时，g ′（x ）＝0，g （x ）取极大值g （1）＝﹣1． ∵函数()1f x lnx a x=++有且只有一个零点， ∴a 只能取g （x ）的最大值﹣1． 故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查函数零点问题，构造函数的应用，用导数方法研究函数的单调性．属中档题．三、解答题：本题共6小题，20-24题每题12分，25-26题10分,选一题作答,解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 20.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A c C +=.（1）求角C 的大小； （2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1cos 1a C =，且1a ，3a ，7a 成等比数列，求数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）3π；（2）2n n +. 【解析】 【分析】1）首先利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出C 的值．（2）利用（1）的结论，进一步利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．【详解】（1）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a cos B +b cos A ＝2c cos C ． 利用正弦定理sin A cos B +sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin （A +B ）＝sin C ＝2sin C cos C ， 由于0＜C ＜π， 解得C 3π=．（2）设公差为d 的等差数列{a n}的公差不为零，若a 1cos C ＝1，则a 1＝2， 且a 1，a 3，a 7成等比数列，所以()2111(2)6a d a a d +=⋅+，解得d ＝1．故a n ＝2+n ﹣1＝n +1． 所以()()1221121212n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以1111112233412n S n n ⎛⎫=-+-++-⎪++⎝⎭L ，11222n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，2nn =+． 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，等差数列的性质的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．21.为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。
吉林省长春外国语学校2020学年高二数学下学期期末考试试题 理
吉林省长春外国语学校2020学年高二数学下学期期末考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设集合{}321，，=A ,{}432，，=B 则=B A Y ( )A. {}4321，，， B. {}321，， C. {}432，， D. {}431，， 2.()()=++i i 21 ( )A. i -1B. i 31+C. i +3D. i 33+ 3. 数列{}n a 满足112+-=n n n a a a ),2(N n n ∈≥是数列{}n a 为等比数列的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知37tan(=-）x π,则cos2x = ( ) A.14-B.14C.18-D.185. △ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为 （ ） A ． 5 B ． 43 C. 52 D ．626.曲线x x y 2313-=在1=x 处的切线的倾斜角是（ ） A. 6π B. 43π C. 4π D. 3π7.已知函数1()3()3x x f x =-，则( )A. )(x f 是偶函数，且在R 上是增函数B. )(x f 是奇函数，且在R 上是增函数C. )(x f 是偶函数，且在R 上是减函数D. )(x f 是奇函数，且在R 上是减函数 8.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为 （ ）（8题图） （9题图） A ．()219πcm + B.()2224πcm + C ．()210624πcm ++D.()213624πcm ++9. 函数()()sin 0 0 2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ） A.()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.()2sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10. 过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN = ( )A ．26B ．8C ．46D ．1011. 正项等比数列{}n a 中，2017201620182a a a += ．若2116m n a a a =，则41m n+的最小值等于（ ）A ． 1B ．35 C. 136 D ． 3212. 设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<则使得()0f x >成立的x的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U第II 卷二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.已知向量()3,2-=a ，()m b ,3=，且ba ⊥，则=m ；14. 若实数x ， y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+x y x y x 2213，则y x z 23+=的最大值为________；15. 直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________；16. 已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5,7,2PA PB PC ===，则此三棱锥的外接球的体积为 . 三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）17．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .18. (12分) 已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和．19. (12分)如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．20. (10分) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10，15）15，20） 20，25） 25，30） 30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．21. (12分)已知圆C 经过点)0,2(-A ,)2,0(B 且圆心C 在直线x y =上，又直线1:+=kx y l 与圆C 相交于P,Q 两点. （1）求圆C 的方程；（2）若2-=•，求实数k 的值.22. (12分)已知函数2)(ax e x f x-=．（1）若21=a ，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a 的值.长春外国语学校2020学年第二学期期末考试高二年级数学答案（理科）一、 选择题：二、填空题： 13. 2 14. 8 15. 22 15. 332π三、解答题：17.解：(1)由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab 得BAC B C A sin sin sin 2cos cos 2cos -=-B AC B C B B A cos sin sin cos 2cos sin 2sin cos -=-----------------2分C B C B B A B A cos sin 2sin cos 2sin cos cos sin +=+)sin(2)sin(C B B A +=+ 即A C sin 2sin =-------------------------------4分所以21sin sin =A C -------------------------------------------------------------------------------6分（2）由正弦定理及21sin sin =A C 得21=a c 即c a 2=由余弦定理：B ac c a b cos 2222-+=, 由41cos =B , c a 2=，2=b -----8分 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-+=412242222c c c c 解得 1=c ，则2=a --------------10分又由41cos =B ，π<<B 0，得：415sin =B ---------------------------------11分 所以 △ABC 的面积2154152121=⨯⨯⨯=S ----------------------------------------12分 18.解：（1）由{}n a 是等差数列，则⎩⎨⎧==12341a a 即 ⎩⎨⎧=+=123311d a a 解得⎩⎨⎧==331d a ----------------------------------------------------------------------------------------------2分 所以n n d n a a n 33)1(3)1(1=⨯-+=-+=------------------------------------------4分由{}n n a b -是等比数列，则834122011443=--=--=a b a b q ，所以2=q -----------6分 所以12-=-n n n a b 则123-+=n n n b -------------------------------------------------------8分（2）设数列{}n b 的前n项和为nS ，则1223232-++=n n n n S ---------------------12分 19.（1）证明：连结OB因为 22,4===BC AB AC , 所以222BC AB AC +=, 则BC AB ⊥所以221==AC OB , 在三角形PAC 中，OC OA PC PA AC ====,4,则32=OP在三角形POB 中，222OB OP PB +=, 所以OB PO ⊥又因为OC OA PC PA ===, 所以AC PO ⊥所以 ⊥PO 平面ABC-------------------------------------------------------------------------------6分（2）解：取AO 中点D ，连结BD ，设点C 到平面POM 的距离为h ，由COM P POM C V V --=,则PO S h S COM POM ∆∆=3131 则POMCOM S POS h Λ∆=----------------------------------------8分5=BD , 352=OM , 所以31523523221=⨯⨯=∆POM S ---------10分34=∆COM S , 所以554=h -------------------------------------------------------------12分 20.解：（1）最高气温低于25时这种酸奶的需求量不超过300 则539036162=++=P ----------------------------------------------------------3分（2）当最高气温不低于25时，需求量为500，进货450瓶均可售出所以利润()90046450=-⨯=Y （元）-----------------------------------5分当最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶，进货450瓶只能售出300瓶 所以利润 ()()300300450246300=-⨯--⨯=Y （元）----------7分 当最高气温低于20，需求量为200瓶，进货450瓶只能售出200瓶所以利润 ()()300200450246200-=-⨯--⨯=Y （元）--------9分 当利润 0>Y 时，最高气温不低于20， 所以5490472536=+++=P 或者54901621=+-=P --------------10分21.解:（1）由已知，设圆心),(a a C ，则CB CA = 即()()222222-+=++a a a a 解得0=a ，所以圆心()0,0，半径为2=r圆的方程为422=+y x -----------------------------------------------4分 （2）设()()2211,,,y x Q y x P ， ⎩⎨⎧=++=4122y x kx y 得 ()4122=++kx x ，整理得()032122=-++kx x k()0112422>++=∆k k --------------------------------------------------------------6分22112k k x x +-=+； 22113k x x +-= -----------------------------8分()()22212115111k k kx kx y y +-=++=---------------------------------10分2152x 222121-=+--=+=•k k y y x OQ OP=k ------------------------------------------------------------------------------------12分 22.解：（1）当21=a 时，221)(x e x f x-=x e x f x -=')(， x e x f x -='')(，令0=-x e x 则0=x当0≥x 时，0)(≥''x f ，则)(x f '在[)+∞,0上单调递增，则10)0()(0=-='≥'e f x f所以)(x f 在[)+∞,0上单调递增，10)0()(0=-=≥e f x f ，即1)(≥x f ---------6分（2）当()+∞∈,0x ，令0)(=x f ，则02=-ax e x， 2xe a x=令2)(x e x g x=， ()+∞∈,0x342)2(2)(x x e x xe e x x g x x x -=-=' 令0)2()(3=-='x x e x g x ，则2=x 当()2,0∈x 时，0)(≤'x g ，)(x g 单调递减； 当()+∞∈,2x 时，0)(≥'x g ，)(x g 单调递增；所以当2=x 时，4)2()(2min e g x g ==，所以42e a =------------------------12分。
2020-2021学年吉林省长春外国语学校高二(下)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1，2，3，4，5}，B={2,4，6}，则A∪B=()A. {2,4，6}B. {0,1，2，3，4，5，6}C. {2,4}D. {0,1，2，3，4，5}2.已知复数z=1+ii(i为虚数单位)，则z−的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i3.“∃x0∈[2,+∞)，log2x0<1”的否定是()A. ∀x∈[2,+∞)，log2x≥1B. ∀x∈(−∞,2)，log2x>1C. ∃x0∈(−∞,2)，log2x0≥1D. ∃x∈[2,+∞)，log2x≤14.已知函数f(x)=sinx+cosx，则f(x)的最大值为()A. 1B. 2C. 0D. √25.设a，b是非零实数，若a>b，则一定有()A. 1a <1bB. a2>abC. 1ab2>1a2bD. a−1a>b−1b6.余弦函数是偶函数，f(x)=cos(x2+1)是余弦函数，因此f(x)=cos(x2+1)是偶函数，以上推理()A. 结论不正确B. 大前提不正确C. 小前提不正确D. 全不正确7.设圆C1：x2+y2=1与C2：(x−2)2+(y+2)2=1，则圆C1与C2的位置关系是()A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含8.若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是12，方差是5，则对样本2+x1，2+x2，2+x3，…，2+x n，下列结论正确的是()A. 平均数为14，方差为5B. 平均数为13，方差为25C. 平均数为13，方差为5D. 平均数为14，方差为259.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为()A. 8B. 12C. 24D. 3610. 已知a ∈R ，则“a ≤2”是“f(x)=lnx +x 2−ax 在(0,+∞)内单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年.在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[−1,1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x,y)，其中满足不等式y >√1−x 2的数对(x,y)共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为( )A. 7825B. 7225C. 257D. 227 12. 已知定义在R 上的偶函数y =f(x)的导函数为f′(x)，函数f(x)满足：当x >0时，x ⋅f′(x)+f(x)>1，且f(1)=2020.则不等式f(x)<1+2019|x|的解集是( )A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知数列的前n 项和S n =n 2+n +1，则a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=_____________.14. 已知向量a ⃗ =(4,2)，向量b ⃗ =(x,1)，若a ⃗ //b⃗ ，则|b ⃗ |=______． 15. 已知函数f(x)={log 2(x 2+1),x ≤2f(x −3),x >2，则f(f(4))=______． 16. 设有下列四个命题：p 1：∀x ∈R ，e x −1≥x ；p2：∃x0∈(0,+∞)，lnx0≤x0−1；p3：方程x2−2ax−3=0有两个不相等实根；p4：函数f(x)=sinx+1的最小值是2．sinx则下述命题中所有真命题的序号是______ ．①p1∧p2，②p1∧￢p4，③￢p2∨p4，④￢p3∨￢p4．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，bcosA+(2c+a)cosB=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b=√7，△ABC的周长为3+√7，求△ABC的面积．18.在等比数列{a n}中，a2=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a2，a3+1，a4为等差数列{b n}的连续三项，其中b1=a2，设数列{b n}的前n项和为S n，若S n=155，求n的值．19.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=AC=AA1，D是BC的中点．(Ⅰ)求证：A1B//平面AC1D；(Ⅱ)求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1；(Ⅲ)求直线AC与平面AC1D所成角的正弦值．20.已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且圆C与x轴相切，点P(−5,−2)在圆C上，点Q(−4,−5)在圆C外．(1)求圆C的方程；(2)若过点(−2,−4)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|=2√3，求直线l的方程．21.天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：(1)求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分．(2)已知样本中成绩在[140,150]内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，①写出这个试验的样本空间；(用恰当的符号表达)②设事件A：“选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A的样本点，并求事件A发生的概率．22.已知函数f(x)=e x−a．(Ⅰ)若函数f(x)的图象与直线l：y=x−1相切，求a的值；(Ⅱ)若f(x)−lnx>0恒成立，求整数a的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={0,1，2，3，4，5}，B={2,4，6}，则A∪B={0,1，2，3，4，5，6}，故选：B．直接进行并集的运算即可．本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z−=1+i，则z−的虚部为1．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，“∃x0∈[2,+∞)，log2x0<1”是特称命题，其否定为∀x∈[2,+∞)，log2x≥1；故选：A．根据题意，由特称命题的否定方法，分析可得答案．本题考查命题的否定，注意特称、全称命题的否定方法，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵f(x)=sinx+cosx=√2(√22sinx+√22cosx)=√2(sinxcosπ4+cosxsinπ4)=√2sin(x+π4)，∵x∈R∴f(x)的最大值为√2，故选：D．由f(x)=sinx+cosx，知f(x)=√2sin(x+π4)，由此能求出f(x)的最大值．本题考查正弦函数的图象和性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5.【答案】C【解析】解：对于A：当a>0>b，不成立．对于B：当b<a<0时，不成立．对于C：∵a，b是非零实数，a>b，当a>0>b，恒成立，当b<a<0时，ab>0，则−ab<0，0>1b >1a，∴1ab2>1ba2，当0<b<a时，a2>b2，ab>0，1b>1a>0，∴1ab2>1ba2.则C对．对于D：当a=1，b=−12时不成立，故选C．根据不等式的基本性质依次判断即可得到答案．本题考查了不等式的基本性质的变形运用能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，该演绎推理的大前提为“余弦函数是偶函数”，小前提为“f(x)=cos(x2+1)是余弦函数”，结论为“f(x)=cos(x2+1)是偶函数”，其中小前提错误；故选：C．根据题意，分析该演绎推理的三段论形式，据此分析可得到答案．本题考查演绎推理的应用，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：圆心C1：(0,0)，C2：(2,−2)，半径R=1，r=1，则|C1C2|=√22+(−2)2=√4+4=2√2>1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选A．求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是12，方差是5，∴对样本2+x1，2+x2，2+x3，…，2+x n的平均数是13，方差是5．故选：C．利用平均数、方差的性质直接求解．本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=84，b=48，满足a>b，则a变为84−48=36，由b>a，则b变为48−36=12，由a>b，则，a=36−12=24，由a>b，则，a=24−12=12，由a=b=12，则输出的a =12．故选B ．10.【答案】A【解析】解：∵f(x)=lnx +x 2−ax 在(0,+∞)内单调递增∴f′(x)=1x +2x −a ≥0在(0,+∞)上恒成立， 即a ≤(2x +1x )min ，令g(x)=2x +1x ，g′(x)=2−1x 2=2x 2−1x 2， 令g′(x)<0，∴0<x <√22，令g′(x)>0，∴x >√22， ∴g(x)在(0,√22)递减，在(√22,+∞)递增， ∴g(x)min =g(√22)=2√2，∴a ≤2√2， ∵(−∞,2]⊆(−∞，2√2]，∴a ≤2是f(x)=lnx +x 2−ax 在(0,+∞)内单调递增的充分不必要条件， 故选：A ．求出函数的导数，问题转化为a ≤2x +1x 在(0,+∞)恒成立，令g(x)=2x +1x ，根据函数的单调性求出a 的范围即可，再根据集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查函数恒成立问题，属于中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了几何概型中的面积型，及不等式表示的平面区域，属于中档题． 由不等式表示的平面区域得：不等式y >√1−x 2的平面区域为正方形内位于第一，二象限圆x 2+y 2=1外的区域，由几何概型中的面积型得：78100=S 圆S正方形ABCD ，即π=78×4100=7825，得解． 【解答】解：从区间[−1,1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x,y)，其中满足不等式y>√1−x2的数对(x,y)共有11个，即从区间[−1,1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x,y)，其中满足不等式y≤√1−x2的数对(x,y)共有100−2×11=78个，由几何概型中的面积型可得：78100=S圆S正方形ABCD，所以π=78×4100=7825，故选：A．12.【答案】C【解析】解：当x>0时，x⋅f′(x)+f(x)>1，所以：x⋅f′(x)+f(x)−1>0，令：F(x)=x⋅f(x)−x=x(f(x)−1)，则F′(x)=x⋅f′(x)+f(x)−1>0，即当x>0时，F(x)单调递增，又f(x)为R上的偶函数，所以F(x)为R上的奇函数，F(0)=0，则当x<0时，F(x)单调递增，不等式f(x)<1+2019|x|，当x>0时，x⋅f(x)<x+2019，即：x⋅f(x)−x<2019，F(1)=f(1)−1=2019，即：F(x)<F(1)，所以：0<x<1；当x<0时，−xf(x)<−x+2019，x⋅f(x)−x>−2019，F(−1)=−F(1)=−2019，即：F(x)>F(−1)，所以：−1<x<0；综上，不等式的解集为：(−1,0)∪(0,1)．故选：C．由已知构造新函数F(x)=x(f(x)−1)，利用函数的导数判断单调性讨论x的范围、求解不等式即可．本题考查函数的单调性、奇偶性、构造函数、解不等式．属于难题．13.【答案】100【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、数列求和，考查推理能力与计算能力，属于基础题．数列的前n项和S n=n2+n+1，n≥2时，可得a n=S n−S n−1，即可得出．【解答】解：数列的前n项和S n=n2+n+1，n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+n+1−[(n−1)2+(n−1)+1]=2n．则a8+a9+a10+a11+a12=2×(8+9+10+11+12)=100．故答案为：100．14.【答案】√5【解析】解：∵向量a⃗=(4,2)，向量b⃗ =(x,1)，若a⃗//b⃗ ，则x4=12，∴x=2，b⃗ =(2,1)，则|b⃗ |=√4+1=√5，故答案为：√5．由题意利用两个向量平行的性质，求得x的值，可得要求向量的模．本题主要考查两个向量平行的性质，求向量的模，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：∵函数f(x)={log 2(x 2+1),x ≤2f(x −3),x >2， ∴f(4)=f(1)=log 22=1，f(f(4))=f(1)=log 22=1．故答案为：1．推导出f(4)=f(1)=log 22=1，从而f(f(4))=f(1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】①②④【解析】解：P 1：f(x)=e x −1−x ，f′(x)=e x −1=0，x =0，所以f(x)min =f(0)=0，所以P 1为真． P 2：当x 0=1时成立，所以P 2为真．P 3：△=(−2a)2−4(−3)=4a 2+12>0，方程有两个不相等实根，所以P 3为真．P 4：当sinx =−1时，f(x)=sinx +1sinx <0，所以P 4为假．所以P 1∧P 2，P 1∧￢P 4，￢P 3∨￢P 4为真，所以真命题为①②④．故答案为：①②④．P 1：设f(x)=e x −1−x ，求导且令f′(x)=e x −1=0，得x =0，进而可得f(x)min =f(0)=0，可判断P 1是否为真命题．P 2：举例当x 0=1时成立，即可判断P 2是否为真命题．P 3：由△>0，得方程有两个不相等实根，即可判断P 3是否为真命题．P 4：举例当sinx =−1时，得f(x)=sinx +1sinx <0，即可判断P 4是否为真命题．本题考查命题真假的判断，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为bcosA +(2c +a)cosB =0，由正弦定理可得sinBcosA +(2sinC +sinA)cosB =0，所以sin(A +B)+2sinCcosB =0，即sinC +2sinCcosB =0，又角C 为△ABC 的内角，sinC >0，所以cosB =−12，又B∈(0,π)，所以B=2π3．(Ⅱ)因为a+b+c=3+√7，b=√7，所以a+c=3，由余弦定理b²=a²+c²−2accosB，得7=(a+c)²−ac，所以ac=(a+c)²−7=2，所以S△ABC=12acsinB=√32，所以△ABC的面积为√32．【解析】(Ⅰ)由正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可求得sinC+2sinCcosB=0，由sinC>0，可求得cos B，从而可得角B的大小；(Ⅱ)由题可得a+c=3，由余弦定理可求得ac=2，再利用面积公式即可得结论．本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由a2=2，且a2，a3+1，a4成等差数列，可得a1q=2，2(a3+1)=a2+a4，即2(a1q2+1)=a1q+a1q3，解得a1=1，q=2，所以a n=2n−1；(Ⅱ)a2，a3+1，a4为等差数列{b n}的连续三项，即为2，5，8为等差数列{b n}的连续三项，所以等差数列{b n}的首项为2，公差为3，S n=2n+12n(n−1)×3=3n2+n2．由S n=155，即3n2+n=310，解得n=10(−313舍去)，故n=10．【解析】(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求；(Ⅱ)由等差数列的定义和求和公式，解方程可得所求值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1，∴侧面AA1C1C是正方形，则点O是AC1的中点，又点D是BC的中点，故OD是△A1CB的中位线，∴OD//A1B，又A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，∴A1B//平面AC1D；(Ⅱ)证明：∵AA1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC，可得CC1⊥AD，又AC=AB，D为BC的中点，∴AD⊥BC，而CC1∩BC=C，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面BCC1B1；(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，平面AC1D⊥平面BCC1B1，又AC1D∩平面BCC1B1=C1D，在平面BCC1B1中，过C作CG⊥C1D，可得CG⊥平面AC1D，连接AG，∴∠CAG为直线AC与平面AC1D所成角，设AB=BC=AC=AA1=2，在Rt△C1CD中，求得CG=2√55，∴sin∠CAG=CGAC =2√552=√55，即直线AC与平面AC1D所成角的正弦值为√55．【解析】(Ⅰ)连接A1C交AC1于点O，连接OD，根据OD是△A1CB的中位线可得OD//A1B，再由线面平行的判定可得A1B//平面AC1D；(Ⅱ)证明AD⊥平面BCC1B1，即可证明平面AC1D⊥平面BCC1B1；(Ⅲ)由(Ⅱ)知，平面AC1D⊥平面BCC1B1，在平面BCC1B1中，过C作CG⊥C1D，可得CG⊥平面AC1D，连接AG，得∠CAG为直线AC与平面AC1D所成角，设AB=BC=AC=AA1=2，求解三角形得答案．本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设圆心C(a,a+1)，则半径r=|a+1|，圆C的方程为(x−a)2+(y−a−1)2=(a+1)2，∵点P(−5,−2)在圆C上，∴(5+a)2+(a+3)2=(a+1)2，解得a=−3或−11．∵点Q(−4,−5)在圆C外，经检验a=−11不符，舍去．∴圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=4；(2)由(1)可知圆C的半径为r=2，又|AB|=2√3，∴圆心到直线的距离d=√r2−(|AB|2)2=√4−3=1．当k不存在时，直线方程为x=2；当k存在时，设直线方程为y+4=k(x+2)，整理得kx−y+2k−4=0．∴圆心C到直线l的距离d=√1+k2=1，即(k+2)2=k2+1，解得k=−34．∴直线方程为y+4=−34(x+2)，即3x+4y+22=0．综上，直线l的方程为x=−2或3x+4y+22=0．【解析】(1)设圆心C(a,a+1)，则半径r=|a+1|，可得圆C的方程为(x−a)2+(y−a−1)2=(a+1)2，把已知点的坐标代入求得a，可得圆C的方程；(2)由已知求得圆心到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在求解直线方程．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：0.1−(0.010+0.020+0.030+0.012)= 0.028，成绩不低于1(20分)的频率为：(0.030+0.028+0.012)×10=0.7，所以高三年级不低于1(20分)的人数为：0.7×1000=700人．平均分x−=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.28+145×0.12=126.2；(2)由频率分布直方图知，成绩在[140,150]的人数是6，记女生为A，B，男生为c，d，e，f，从这6人中抽取2人的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种．其中至少有一名女生的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9种，故至少有一名女生的概率915=35．【解析】(1)根据频率分布直方图中求频数与平均数的算法计算即可解决此问题；(2)根据题意可算出成绩在[140,150]的人数是6，其中2名女生和4名男士，进行编号罗列样本点进行计算即可解决此问题．本题考查频率分布直方图中频数及平均数求法、古典概型，考查数学运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)的图象与直线l ：y =x −1相切，设切点为(x 0,e x 0−a)，则{e x 0=1e x 0−a =x 0−1，解得x 0=0，a =2； (Ⅱ)现证明e x >x +1(x >0)，设F(x)=e x −x −1，令F′(x)=e x −1=0，即x =0，∴当x ∈(0,+∞)时，F′(x)>0，F(x)为单调增函数，∴F(x)min =F(0)=0；同理可证lnx ≤x −1．即e x −2>x −1≥lnx ，由题意，当a ≤2时，e x −a ≥e x −2>x −1≥lnx ，即a ≤2时，f(x)−lnx >0成立．又当a =3时，存在x 使e x −3≤lnx ，即e x −3>lnx 不恒成立．因此整数a 的最大值为2．【解析】(Ⅰ)设切点为(x 0,e x 0−a)，由题意列关于x 0与a 的方程组求解；(Ⅱ)证明e x >x +1，lnx ≤x −1(x >0)，可得e x −2>x −1≥lnx ，则当a ≤2时，e x −a ≥e x −2>x −1≥lnx ，即a ≤2时，f(x)−lnx >0成立．说明当a =3时，存在x 使e x −3≤lnx ，即e x −3>lnx 不恒成立，可得整数a 的最大值为2．本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力，是中档题．。
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2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，4}，则∁U M（）A．{3，5，6} B．{1，3，5} C．{2，5，6} D．U2．在区间（0，+∞）不是单调递增函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y= C．y=3x2+1 D．y=x2+2x+13．函数y=log2（1+x）+的定义域为（）A．（﹣1，3）B．（0，3] C．（0，3）D．（﹣1，3]4．为了得到函数y=sin2x，x∈R的图象，只需把y=sin（2x+），x∈R的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．已知函数f（x）=，其中a＞0且a≠1，若f（﹣1）=f（1），则log a b=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．设x，y均为正实数，则当（+）（4x+y）取得最小值时， =（）A．B．C．2 D．37．若实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．38．三边长分别为1，1，的三角形的最大内角的正弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．函数f（x）=log2（x+1）﹣x2的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为（）A．4 B．C．8 D．11．已知数列{a n}满足log2a n+1=log2a n+1（n∈N+），且a2+a4+a6=4，则a5+a7+a9的值是（）A．32 B．C．8 D．﹣812．已知非零向量、满足向量+与向量﹣的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（）A．||=|| B． =C．⊥D．∥二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（2，3），=（m，2m﹣1），若向量与共线，则实数m= ．14．若cosθ=﹣，tanθ＞0，则sinθ= ．15．已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，则实数k的值是．16．如图是某学院抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为20，则抽取的学生人数为．三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．18．已知=（cos+sin，sin），=（sin﹣cos，2cos），（1）设f（x）=•，求f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最值；（2）设x1，x2为f（x）=在（π，3π）内的两个实数根，求x1+x2的值．19．某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校的600名师在这600名师生中随机抽取1人，这个人“赞成改革”且是学生的概率为0.4，已知y=z（1）现从这600名师生中用分层抽样的方法抽取60人进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生的人数各是多少？（2）在（1）中抽取的“不赞成改革”的教师中（甲在其中），随机选出2人进行座谈，求教师甲被选中的概率．20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=﹣x2﹣2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象：（1）画出函数f（x）在y轴右侧图象，并写出函数f（x）（x∈R）的单调递增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[0，2]），求函数g（x）的最大值．21．已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1交于M，N点．（1）求k的取值范围；（2）若•=24，其中O为坐标原点，求k的值．2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，4}，则∁U M（）A．{3，5，6} B．{1，3，5} C．{2，5，6} D．U【考点】补集及其运算．【分析】由全集U及M，求出M的补集即可．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，4}，∴∁U M={2，5，6}，故选：C．2．在区间（0，+∞）不是单调递增函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y= C．y=3x2+1 D．y=x2+2x+1【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据题意，对选项中的函数进行分析，判断其在区间（0，+∞）上是否为单调减函数即可．【解答】解：对于A，y=3x﹣1在定义域R上是单调增函数，不满足题意；对于B，y=在区间（0，+∞）上是单调递减函数，满足题意；对于C，y=3x2+1在区间[0，+∞）上是单调递增函数，不满足题意；对于D，y=x2+2x+1在区间[﹣1，+∞）是单调递增函数，不满足题意．故选：B．3．函数y=log2（1+x）+的定义域为（）A．（﹣1，3）B．（0，3] C．（0，3）D．（﹣1，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即﹣1＜x≤3，即函数的定义域为（﹣1，3]，故选：D4．为了得到函数y=sin2x，x∈R的图象，只需把y=sin（2x+），x∈R的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于把函数y=sin2x，x∈R的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故为了得到函数y=sin2x，x∈R的图象，只需把y=sin（2x+），x∈R的图象上所有点向右平移个单位长度即可，故选D．5．已知函数f（x）=，其中a＞0且a≠1，若f（﹣1）=f（1），则log a b=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】由已知得﹣1+a=b﹣1，从而a=b，由此能求出log a b的值．【解答】解：∵函数f（x）=，其中a＞0且a≠1，f（﹣1）=f（1），∴﹣1+a=b﹣1，∴a=b，∴log a b=1．故选：C．6．设x，y均为正实数，则当（+）（4x+y）取得最小值时， =（）A．B．C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y均为正实数，则（+）（4x+y）=5++≥5+2=9，取得最小值9时， =2．故选：C．7．若实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．【解答】解：画出，可行域，得在直线x﹣y+2=0与直线x+y=0的交点A（﹣1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为﹣1．故选：B．8．三边长分别为1，1，的三角形的最大内角的正弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】余弦定理．【分析】设最大角为θ，由余弦定理可得cosθ，可得θ的值，从而求得sinθ的值．【解答】解：设三边长分别为1，1，的三角形的最大内角为θ，则由余弦定理可得cosθ==﹣，∴θ=120°，∴sinθ=sin120°=sin60°=，故选：C．9．函数f（x）=log2（x+1）﹣x2的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数零点的判定定理．【分析】本题即求函数y=log2（x+1）的图象和函数y=x2（图中红色曲线）的图象的交点个数，数形结合得出结论．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）﹣x2的零点个数，即函数y=log2（x+1）的图象和函数y=x2（图中红色曲线）的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y=log2（x+1）的图象和函数y=x2的图象的交点个数为2，故选：C．10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为（）A．4 B．C．8 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】依据三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥，所以三棱锥的体积为： =．故选B11．已知数列{a n}满足log2a n+1=log2a n+1（n∈N+），且a2+a4+a6=4，则a5+a7+a9的值是（）A．32 B．C．8 D．﹣8【考点】等比数列的通项公式．【分析】数列{a n}满足log2a n+1=log2a n+1（n∈N+），可得2a n=a n+1＞0．于是数列{a n}是公比为2的等比数列．再利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足log2a n+1=log2a n+1（n∈N+），∴2a n=a n+1＞0．∴数列{a n}是公比为2的等比数列．∵a2+a4+a6=4，则a5+a7+a9=23（a2+a4+a6）=8×4=32，故选：A．12．已知非零向量、满足向量+与向量﹣的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（）A．||=|| B． =C．⊥D．∥【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由向量+与向量的夹角为，知，故，即．【解答】解：∵向量与向量的夹角为，所以，即，∴，即，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（2，3），=（m，2m﹣1），若向量与共线，则实数m= 2 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程，求解即可．【解答】解：向量=（2，3），=（m，2m﹣1），若向量与共线，可得：3m=4m﹣2，解得m=2故答案为：2．14．若cosθ=﹣，tanθ＞0，则sinθ= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】依题意，可得θ在第三象限，利用同角三角函数基本关系即可求得sinθ的值．【解答】解：∵cosθ=﹣，tanθ＞0，∴θ在第三象限，∴sinθ=﹣=﹣，故答案为：﹣．15．已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，则实数k的值是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点⇒f（x2）+f（k﹣x）=0只有一解⇔f（x2）=f（x﹣k）只有一解⇒x2=x﹣k有唯一解⇒△=1﹣4k=0，问题得解．【解答】解：∵函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，∴只有一个x的值，使f（x2）+f（k﹣x）=0，∵函数f（x）是奇函数，∴只有一个x的值，使f（x2）=f（x﹣k），又函数f（x）是R上的单调函数，∴只有一个x的值，使x2=x﹣k，即方程x2﹣x+k=0有且只有一个解，∴△=1﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．16．如图是某学院抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为20，则抽取的学生人数为80 ．【考点】频率分布直方图．【分析】根据题意求出前3个小组的频率和，再求第2小组的频率，从而求出样本容量．【解答】解：前3个小组的频率和为1﹣（0.0375+0.0125）×5=0.75，所以第2小组的频率为×0.75=0.25；所以抽取的学生人数为： =80．故答案为：80三、解答题（共70分，要求要有必要的文字说明和解题过程）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．【解答】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．18．已知=（cos+sin，sin），=（sin﹣cos，2cos），（1）设f（x）=•，求f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最值；（2）设x1，x2为f（x）=在（π，3π）内的两个实数根，求x1+x2的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，利用二倍角公式及辅助角公式将f （x ）化简，根据周期公式及正弦函数图象及性质即可求得求f （x ）的最小正周期及在区间[0，]上的最值；（2）由f （x ）=，求得sin （x ﹣）=，根据正弦函数的对称性即可求得x 1+x 2的值．【解答】解：（1）f （x ）=•=（cos +sin ）•（sin ﹣cos ）+sin •2cos ，=sin 2﹣cos 2+2sin cos ，=sinx ﹣cosx ，=sin （x ﹣），由T==2π，x ∈[0，]，x ﹣∈[﹣，]，由正弦函数图象可知f （x ）的最大值为1，最小值为﹣1，f （x ）在区间[0，]上的最大值为1，最小值为﹣1；（2）f （x ）=，即sin （x ﹣）=，x 1﹣，x 2﹣关于x=+2k π（k ∈Z ）对称，由x 1，x 2∈（π，3π），x 1﹣，x 2﹣关于x=+2π对称， 由正弦函数图象可知：x 1+x 2=（+2π）×2+×2=， ∴x 1+x 2=．19．某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校的600名师在这600名师生中随机抽取1人，这个人“赞成改革”且是学生的概率为0.4，已知y=z（1）现从这600名师生中用分层抽样的方法抽取60人进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生的人数各是多少？（2）在（1）中抽取的“不赞成改革”的教师中（甲在其中），随机选出2人进行座谈，求教师甲被选中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）根据题意，求出x 、y 和z 的值，计算出应抽取的教师与学生人数；（2）确定基本事件数，求出对应的概率即可．【解答】解：（1）∵这600名师生中随机抽取1人，这个人“赞成改革”且是学生的概率为0.4，∴=0.4，∴x=240∴y+z=100；又因为y=z，所以y=40，z=60．∴应抽取的教师人数为×40=4人；应抽取的教师人数为×60=6人；（2）在（1）中抽取的“不赞成改革”的教师4人中，随机选出2人进行座谈，有=6种，教师甲被选中，有=3种，∴教师甲被选中的概率为．20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=﹣x2﹣2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象：（1）画出函数f（x）在y轴右侧图象，并写出函数f（x）（x∈R）的单调递增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[0，2]），求函数g（x）的最大值．【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．【分析】（1）根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，画出函数f（x）在y轴右侧图象，可得函数f（x）（x∈R）的单调递增区间；（2）根据图象写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[0，2]），分类讨论求函数g（x）的最大值．【解答】解：（1）根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，画出函数f（x）在y轴右侧图象，函数f（x）（x∈R）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（0，1）；（2）函数f（x）（x∈R）的解析式f（x）=；（3）x∈[0，2]，函数g（x）=f（x）﹣2ax+2=﹣x2+2x﹣2ax+2=﹣[（x﹣（a﹣1）]2+3﹣2a+a2，a﹣1＜0，即a＜1，g（x）max=g（0）=2；0≤a﹣1≤2，即1≤a≤3，g（x）max=g（a﹣1）=；3﹣2a+a2，a﹣1＞2，即a＞3，g（x）max=g（2）=﹣4a+2．21．已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【分析】（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，由已知建立方程组可解；（2）由（1）可得数列{b n}的通项公式，分别代公式可得结果．【解答】解：（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，则由a5=9，a2+a6=14，得…解得…所以{a n}的通项公式a n=2n﹣1．…（2）由（1）知a n=2n﹣1，所以．……=…22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1交于M，N点．（1）求k的取值范围；（2）若•=24，其中O为坐标原点，求k的值．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．【解答】解：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（3，4），半径R=1．若过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1交于M，N点，故圆心C到直线kx﹣y+1=0的距离d==＜1，平方得9k2﹣18k+9＜1+k2，即8k2﹣18k+8＜0，即4k2﹣9k+4＜0，得＜k＜．（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，可得（1+k2）x2﹣6（k+1）x+17=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=•k2+k•+1=，由•=x1•x2+y1•y2=+=24，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2．。