2005高等数学(下)A试卷及答案

2005年高数试卷A
一、填空题：(20分)
1． 曲线t z t y t x 2,sin ,cos ===在4
π
=
t 处的法平面方徎为________。

2． 点(1,2,1)到平面1022=++z y x 的距离为_______。

3． 设平面过点)2,1,1(),2,2,2(),1,1,1(----.则平面方程为________。

4． 已知x y z arctan =,则y
x z
∂∂∂2=________。

5． 交换积分
⎰⎰
10
),(y y
dx y x f dy 的积分次序为___________。

6． 设∑：2222
a z y x =++．则dS z ⎰⎰∑
2=_________ 。

7． 函数u=ln(x 2
+y 2
+z 2
), 则div(grad u)= 。

8． 设函数f (x )是以π2为周期，f (x )=2
x x +(-ππ
≤<x )，f (x)的Fourier 级数为
)sin cos (21
0∑+∞
=++n n n nx b nx a a ，则b 3= 。

9． 设函数f (x )是以
π2为周期的奇函数，它的Fourier 级数为
)sin cos (210∑+∞
=++n n n nx b nx a a ，则级数∑∞
=0
n n a = 。

10．
下列四个命题：（1）.若级数
∑∞
=1
2004
n n
a
发散，则级数
∑∞
=12005n n
a
也发散；（2）.若级数
∑∞
=1
2005
n n
a
发散，则级数
∑∞
=12006n n
a
也发散；（3）.若级数
∑∞
=1
2004n n
a
收敛，则级数
∑∞
=1
2005
n n
a
也
收敛；（4）.若级数
∑∞
=1
2005n n
a
收敛，则级数
∑∞
=1
2006
n n
a
也收敛。

上述正确的命题是______。

二. （8分）求函数
y y y x y x f -+=32),(的极值，并指出是极大值，还是极小值。

三. （8分）求级数
∑∞
=-1
1
n n nx
的收敛域和它的和函数。

四. （8分）计算
⎰
L
ds y ，其中L 是抛物线2x y =上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。

五. （8分）计算曲面积分
⎰⎰∑
-+=dxdy z yzdzdx xzdydz I 22,其中∑是由锥面
22y x z +=与半球面222y x z --=所围立体的表面外侧。

六．（10分）求下列方程的通解。

1.2'''x y xy =-;
2. x xe y y =+''
七. （8分）两个物体A 、B 的形状如图（一），体积相等，物体A 是由抛物面（22
y x z +=）
和平面（1=z ）所围。

物体B 是柱体，它的母线平行于z 轴，底面是由1,2==y x y 所围的平面区域，求柱体B 的高。

八. （5分）设),(y x u 有二阶连续导数，n 为光滑的简单闭曲线L 的外法向量（如图二），
D 为L 围成的区域，有人利用切向量和外法向量的夹角的关系，以及格林公式，证明了如下结论：dxdy y u
x
u ds n u D L )(2222∂∂-∂∂=∂∂⎰⎰⎰。

若你认为是正确的，请给出证明过程；若你认为
是错误的，请推理出正确的结论。

九. （5分）证明不等式：)11(410
2
e
dx e
x ->
⎰-π。

答案： 一、1.02422=-++-
πz y x . 2. 1。

3. 023=--z y x .
4.22222)
(y x x y +-. 5.⎰⎰102),(x x dy y x f dx . 6. 434a π. 7. 2222
z y x ++. 8.
3
2
. 9. 0. 10.(3) 二、
13,222-+=∂∂=∂∂y x y f xy x f ,驻点为)33,0(1P ,)3
3,0(2-P ,)0,1(3P ,)0,1(4-P . y x
f C x x y f y x f B y x f A 6,2,2222222=∂∂==∂∂∂=∂∂∂==∂∂=.由极值存在的充分条件知：
)33,
0(1P 为极小值点，)3
3
,0(2-P 为极大值点,)0,1(3P 和)0,1(4-P 不取极值。

三、1=R , 收敛域为（-1，1），因为∑∞
==-011n n
x x .两边求导得∑∞=-=-1
12
)1(1n n nx x . 所以，
2
1
1)
1(1
x nx n n -=
∑∞
=-,)1,1(-∈x . 四、12
155|)41(121411
023
21
02
-=
+=+⎰x dx x x 。

五、由高斯公式知：2
sin cos 4
/0
20
2
2π
θθϕθππ=
==⎰⎰⎰⎰
⎰⎰Ω
dr r r d d zdxdydz I .
六、1.令p y =
',化简为一阶线性方程:x p x
p =-
'1
,解得:x C x p 12+=,即x C x y 12+='. 22132
1
31C x C x y ++=.
也可直接得出：12
='-'x
y y x ,即1)(=''x y ，1C x x y +='
, x C x y 12+=', 22132
1
31C x C x y ++=.
2．特征方程：012
=+λ
，i ，±=21λ,所以齐次方程的通解为：x c x c y sin cos 21+=，设
非齐次的特解形式为：
x e B Ax y )(*+=.代入解得：2
1
21-==B ，A .所以通解为：
x c x c y sin cos 21+=x e x )2
1
21(-+
七、⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
=
==πρ
π
ρρϕ20
10
1
22
dz d d dv V A ,
⎰⎰⎰⎰-=
⋅=⋅=D
x
B h
dy dx h dxdy h V 11
1
23
4. 由B A
V V =，得8
3π=
h . 八、是不正确的（2分），正确结果应为 dxdy y u
x
u ds n u D L )(2222∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰⎰。

设从x 轴正向到
曲线的切向量s （和曲线同向）方向和曲线的外法线方向n 的转角分别为βα、。

则总是有
2
π
βα=
-, 而}sin ,{cos },sin ,{cos 00
ββαα==n s
,（1分）
⎰⎰⎰∂∂-∂∂=∂∂+∂∂∂∂L
L L ds y u
x u ds y u x u 导数公式方向ds n u )cos sin ()sin cos (ααββ
=⎰∂∂-∂∂L 式Green 公dx y u dy x u dxdy y u x
u D )(2222∂∂+∂∂⎰⎰。

（2分） 注：主要要清楚夹角和转角的区别，如果用和x 轴的夹角可能会得2
π
βα=
+，从而得出
错误结果，而在单位向量}sin ,{cos 0
αα=s 这种表示中的α，
应是转角。

此题若回答错误，但也推出该错误结果，可给2分;此题若回答正确，但推理错误或没有推理，也可给2分。

九
、
⎰⎰⎰---⋅=1
1
2
10
2
2
2
)(dy
e dx e dx e y x x =
⎰⎰⎰⎰---->2
2
21
2
2D y x D y x dxdy e
dxdy e
⎰⎰-=20
1
2
π
ρρ
ρϕd e
d =
)1
1(4e
-π
.其中
1
0,10:1≤≤≤≤y x D ,
0,0,1:222≥≥≤+y x y x D .。